Ãðåêîâ Ì. À. 23 Óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà è Ïóàññîíà. Ôîðìóëà Ãðèíà. Çàäà÷è Äèðèõëå è Íåéìàíà, èõ ñâåäåíèå ê èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà 1. Óðàâíåíèå âèäà ∆u = m X ∂ 2u k=1 ∂x2k =0 (1) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëàïëàñà. Ñîîòâåòñòâóþùåå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå ∆u = −f (x), x = (x1 , x2 , . . . , xm ) (2) íîñèò íàçâàíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà. Çäåñü f (x) çàäàííàÿ ôóíêöèÿ òî÷êè x ∈ Ω åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà Rm , ∆ îïåðàòîð Ëàïëàñà, x1 , x2 , . . . , xm äåêàðòîâû êîîðäèíàòû. Îáëàñòü Ω èìååò êóñî÷íî ãëàäêóþ ãðàíèöó è â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòü ìíîãîñâÿçíîé. Ñ óðàâíåíèåì Ëàïëàñà òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ u(x) íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â êîíå÷íîé îáëàñòè Ω, åñëè u ∈ C 2 (Ω) è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1); u(x) ãàðìîíè÷åñêàÿ â áåñêîíå÷íîé îáëàñòè Ω, åñëè u ∈ C 2 â ëþáîé êîíå÷íîé òî÷êå x ∈ Ω, óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1), è ïðè x → ∞ ñïðàâåäëèâà îöåíêà C |u(x)| ≤ m−2 , C = const. (3) |x| Äëÿ m = 2 ãàðìîíè÷åñêàÿ â áåñêîíå÷íîé îáëàñòè ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà íà áåñêîíå÷íîñòè. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ äâóõ òî÷åê x è ξ 1 (m − 2)rm−2 , m > 2, E(x, ξ) = (4) ln 1 , m = 2, r ãäå r = |x − ξ| ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè x è ξ , ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â ëþáîé êîíå÷íîé, à â ñëó÷àå m > 2 è â áåñêîíå÷íîé îáëàñòè, íå ñîäåðæàùåé òî÷êè ξ . Äåéñòâèòåëüíî, èç (4) íàõîäèì ∂ 2E = −r−m + mr−m−2 (xk − ξk )2 , k = 1, 2, . . . , m. ∂x2k Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ E óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà (1). Òàê êàê E(x, ξ) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî x è ξ , òî îíà ãàðìîíè÷íà è ïî ïåðåìåííîé ξ . Çàìåòèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ïðè m = 3 ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ïîòåíöèàëîì ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ïîìåùåííîãî â òî÷êå x èëè ξ . 1 Ôóíêöèÿ E(x, ξ) íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì (òàêæå ýëåìåíòàðíûì, èëè ñèíãóëÿðíûì) ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Ðàññìàòðèâàÿ åå êàê ôóíêöèþ èç êëàññà îáîáùåííûõ ôóíêöèé, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ∆u = |S1 |δ(x − ξ). (5) Çäåñü δ äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà, |S1 | ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè m-ìåðíîãî øàðà åäèíè÷íîãî ðàäèóñà. 2. Äëÿ äâóõ ôóíêöèé u, v ∈ C 2 (Ω), íåïðåðûâíûõ è èìåþùèõ íåïðåðûâíûå ïåðâûå ïðîèçâîäíûå âïëîòü äî ãðàíèöû Γ = ∂Ω êîíå÷íîé îáëàñòè Ω, âòîðàÿ ôîðìóëà Ãðèíà ïðèìåíèòåëüíî ê îïåðàòîðó Ëàïëàñà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ¶ Z Z µ ∂v ∂u dΓ, (6) (v∆u − u∆v)dΩ = v −u ∂n ∂n Ω Γ ãäå n âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ãðàíèöå Γ. Âîçüìåì â êà÷åñòâå v ôóíêöèþ E è ïðèìåíèì ôîðìóëó (6) ê îáëàñòè Ω\(Ω ∩ B), ãäå B = {ξ : |ξ − x| ≤ ε}. Òîãäà â ïðåäåëå ïðè ε → 0 ïðèõîäèì ê èíòåãðàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ôóíêöèè êëàññà C 2 , êîòîðîå òàêæå íîñèò íàçâàíèå ôîðìóëû Ãðèíà äëÿ òàêèõ ôóíêöèé Z Z Z ∂E(x, ξ) ∂u(ξ) ωu(x) = u(ξ) dΓ − E(x, ξ) dΓ + E(x, ξ)∆u(ξ)dΩ. (7) ∂ν ∂ν Γ Γ Ω Âåëè÷èíà ω îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ãàóññà x ∈ Ω+ , Z −|S1 |, ∂E(x, ξ) ω= dΓ = −|S1 |/2, x ∈ Γ, ∂ν Γ 0, x ∈ Ω− . (8)  (8) ïðè x ∈ Γ çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü Γ äîëæíà áûòü ëÿïóíîâñêîé.  îñòàëüíûõ äâóõ ñëó÷àÿõ ïîâåðõíîñòü Γ ìîæåò áûòü êóñî÷íî ãëàäêîé. Îïðåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòü Γ â ïðîñòðàíñòâå Rm íàçûâàåòñÿ ëÿïóíîâñêîé, åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì Ëÿïóíîâà: 1.  ëþáîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè Γ ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííàÿ íîðìàëü. 2. Åñëè x è ξ òî÷êè ïîâåðõíîñòè Γ, r = |x − ξ| ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè, ϑ óãîë ìåæäó íîðìàëÿìè n è ν ê Γ â ýòèõ òî÷êàõ ñîîòâåòñòâåííî, òî ñóùåñòâóþò òàêèå ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå A è α, ÷òî ϑ ≤ Arα . (9) 3. Ñóùåñòâóåò ÷èñëî d, îäíî è òî æå äëÿ âñåõ òî÷åê ïîâåðõíîñòè, îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì: ïàðàëëåëè ê íîðìàëè â ëþáîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ ñ ÷àñòüþ ïîâåðõíîñòè, íàõîäÿùåéñÿ âíóòðè ñôåðû ðàäèóñà d ñ öåíòðîì â ýòîé òî÷êå, òîëüêî îäèí ðàç. 2 Òàêèì îáðàçîì, åñëè èçâåñòíû ôóíêöèè µ(ξ) = ∂u(ξ)/∂ν è σ(ξ) = u(ξ) ïðè ξ ∈ Γ è ôóíêöèÿ ρ(ξ) = ∆u(ξ) ïðè ξ ∈ Ω, òî ôîðìóëà Ãðèíà (7) âûðàæàåò çíà÷åíèå ôóíêöèè u âíóòðè îáëàñòè Ω ÷åðåç çíà÷åíèÿ òðåõ ôóíêöèé: ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ V ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ (çàðÿäîâ) σ(ξ), ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ W ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ (çàðÿäîâ) µ(ξ) è îáúåìíîãî ïîòåíöèàëà U ñ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ (çàðÿäîâ) ρ(ξ) Z Z 1 ∂E(x, ξ) 1 V (x) = dΓ, W (x) = σ(ξ) E(x, ξ)µ(ξ)dΓ, |S1 | ∂ν |S1 | Γ Γ 1 U (x) = |S1 | Z E(x, ξ)ρ(ξ)dΩ. (10) Ω Åñëè u ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, òî U = 0 è ôîðìóëà Ãðèíà ïðèíèìàåò âèä u(x) = W (x) − V (x), x ∈ Ω, (11) ïðè÷åì u ∈ C ∞ (Ω), â ñèëó âîçìîæíîñòè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñêîëü óãîäíî ðàç ïîä çíàêàìè ïåðâûõ äâóõ èíòåãðàëîâ â (10). 3. Îñíîâíûìè êðàåâûìè çàäà÷àìè äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà (1) ÿâëÿþòñÿ ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à, èëè çàäà÷à Äèðèõëå, â êîòîðîé èùåòñÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ â Ω ôóíêöèÿ u ∈ C(Ω ∪ Γ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ ¯ u(x)¯Γ = ϕ(x), (12) è âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à, èëè çàäà÷à Íåéìàíà, â êîòîðîé ãàðìîíè÷åñêàÿ â Ω ôóíêöèÿ u ∈ C 1 (Ω ∪ Γ) è ∂u ¯¯ (13) ¯ = ψ(x). ∂n Γ Çäåñü ϕ(x) è ψ(x) çàäàííûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà ãðàíèöå Γ, à óñëîâèå (13) ïðåäïîëàãàåò ñóùåñòâîâàíèå íîðìàëè â òî÷êå x.  äåéñòâèòåëüíîñòè, óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé ìîãóò áûòü ñëåãêà îñëàáëåíû. Åñëè ôóíêöèÿ u èùåòñÿ â êîíå÷íîé îáëàñòè Ω, òî ñîîòâåòñòâóþùèå çàäà÷è íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âíåøíèìè. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ âíåøíèõ çàäà÷ ôóíêöèÿ u äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ (3). Àíàëîãè÷íûå êðàåâûå çàäà÷è ñòàâÿòñÿ è äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (2). Ïîäñòàíîâêà u = v + U, (14) ãäå ôóíêöèÿ U îïðåäåëåíà â (10) ïðè ρ = f , ñâîäèò âíóòðåííèå êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ê ñîîòâåòñòâóþùèì âíóòðåííèì êðàåâûì çàäà÷àì äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, åñëè f ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω ∪ Γ). Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ v äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñîîòâåòñòâóþùåìó êðàåâîìó óñëîâèþ ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (14). Âíóòðåííÿÿ çàäà÷à Íåéìàíà íå âñåãäà ðàçðåøèìà. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2), (13) äëÿ êîíå÷íîé îáëàñòè Ω ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå 3 ðàâåíñòâà, êîòîðîå âûòåêàåò èç ôîðìóëû Ãðèíà (6) Z Z f (x)dΩ + ψ(x)dΓ = 0. Ω (15) Γ Â ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà (1) óñëîâèå (15) ïðèíèìàåò âèä Z Z ∂u dΓ = ψ(x)dΓ = 0, ∂n Γ Γ à ïðè íóëåâûõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ Z Z f (x)dΩ = ∆udΩ = 0. Ω Ω Èìåþò ìåñòî äâå òåîðåìû: Òåîðåìà 1. Ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå, âíóòðåííåé èëè âíåøíåé, åäèíñòâåííî. Òåîðåìà 2. Ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è Íåéìàíà, èìåþùåå íåïðåðûâíûå âïëîòü äî ãðàíèöû ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà, ïðè m > 2 åäèíñòâåííî, à ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è ïðè m = 2 è ðåøåíèå âíóòðåííåé çàäà÷è îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû. 4.  ôîðìóëå Ãðèíà (11) ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè Ω ôóíêöèÿ u îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðåäåëüíûì çíà÷åíèÿì ýòîé ôóíêöèè è åå íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé íà ãðàíèöå Γ. Îäíàêî, êàê ñëåäóåò èç òåîðåì åäèíñòâåííîñòè, ýòè çíà÷åíèÿ íåëüçÿ çàäàòü ïðîèçâîëüíî, è çàðàíåå èçâåñòíà íà ãðàíèöå ìîæåò áûòü ëèáî ñàìà ôóíêöèÿ (çàäà÷à Äèðèõëå), ëèáî åå íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ (çàäà÷à Íåéìàíà). Îäíèì èç ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ Äèðèõëå è Íåéìàíà ÿâëÿåòñÿ ñâåäåíèå ýòèõ çàäà÷ ê èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ñâîéñòâà ïîòåíöèàëîâ äâîéíîãî è ïðîñòîãî ñëîÿ. Ïóñòü Γ çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü Ëÿïóíîâà, îãðàíè÷èâàþùàÿ äâå îáëàñòè: âíóòðåííþþ (êîíå÷íóþ) Ω+ è âíåøíþþ Ω− . Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû î ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèÿõ: Òåîðåìà 3. Åñëè ïëîòíîñòü σ(ξ) ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ V íåïðåðûâíà íà Γ, òî ñóùåñòâóþò ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëà V + è V − íà Γ, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâîì 1 V ± (x0 ) = ∓ σ(x0 ) + V (x0 ), x0 ∈ Γ. (16) 2  (16) ïî îïðåäåëåíèþ V ± (x0 ) = lim V (x) ïðè x ∈ Ω± , x0 ∈ Γ; V (x0 ) ïðÿìîå x→x0 çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ íà ïîâåðõíîñòè Γ Òåîðåìà 4. Åñëè ïëîòíîñòü µ(ξ) ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ W íåïðåðûâíà íà Γ, òî ñóùåñòâóþò ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé ïîòåíöèàëà ∂W + /∂n è ∂W − /∂n íà Γ, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ïî ôîðìóëå 1 ∂W (x0 ) ∂W ± (x0 ) = ± µ(x0 ) + . ∂n 2 ∂n 4 (17) Çäåñü ∂W ± (x0 )/∂n = lim ∂W (x)/∂n ïðè x ∈ Ω± , x0 ∈ Γ. x→x0 Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (17) íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì çíà÷åíèåì íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ. Ýòî çíà÷åíèå ìîæíî ïîëó÷èòü, äèôôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèå äëÿ W â (10) ïî âíåøíåé íîðìàëè n ê Γ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó x. Ïðè x = x0 ∈ Γ ïîëó÷èì Z ∂W (x0 ) ∂E(x0 , ξ) = µ(ξ) dΓ. (18) ∂n ∂n Γ Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ïëîòíîñòü µ(ξ) èçìåðèìà è îãðàíè÷åíà, òî èíòåãðàë â (18) ñõîäèòñÿ. 5. Ïîñòàâèì ñðàçó ÷åòûðå êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà (1): íàéòè ôóíêöèþ u(x), ãàðìîíè÷åñêóþ â Ω+ èëè Ω− è óäîâëåòâîðÿþùóþ ëèáî óñëîâèþ çàäà÷è Äèðèõëå (12), ëèáî óñëîâèþ çàäà÷è Íåéìàíà (13). Ôóíêöèè ϕ(x) è ψ(x) áóäåì ñ÷èòàòü íåïðåðûâíûìè íà çàìêíóòîé ëÿïóíîâñêîé ïîâåðõíîñòè Γ, îãðàíè÷èâàþùåé ðàññìàòðèâàåìûå îáëàñòè. Ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå áóäåì èñêàòü â âèäå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ u(x) = V (x), x ∈ Ω+ (Ω− ), (19) à ðåøåíèå çàäà÷è Íåéìàíà â âèäå ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ x ∈ Ω+ (Ω− ), u(x) = W (x), (20) ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû ñîîòâåòñòâóþùèå ïëîòíîñòè σ(x) è µ(x) áûëè íåïðåðûâíû íà Γ. Ëþáàÿ èç ôîðìóë (19), (20) äàåò ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ u êàê â Ω+ , òàê è â Ω− . Îñòàëîñü óäîâëåòâîðèòü òîëüêî êðàåâûì óñëîâèÿì. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå íå âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (19), òàê êàê îíî ìîæåò èìåòü ïîðÿäîê óáûâàíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè O(|x|2−m ), â òî âðåìÿ êàê ïîòåíöèàë V óáûâàåò áûñòðåå è èìååò ïîðÿäîê O(|x|1−m ). Ïåðåéäåì â (19) è (20) ê ïðåäåëó ïðè x → x0 ∈ Γ èç Ω+ è Ω− . Òîãäà ïðè ó÷åòå (12), (13), (16) è (17), çàìåíèâ îáîçíà÷åíèå x0 íà x, ïîëó÷èì ÷åòûðå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïëîòíîñòåé σ è µ, íåïðåðûâíûõ íà Γ Z 2 ∂E(x, ξ) σ(x) − σ(ξ) dΓ = −2ϕ(x), x ∈ Γ, (21) |S1 | ∂ν Γ 2 µ(x) + |S1 | σ(x) + µ(x) − 2 |S1 | 2 |S1 | Z µ(ξ) ∂E(x, ξ) dΓ = 2ψ(x), x ∈ Γ, ∂n (22) σ(ξ) ∂E(x, ξ) dΓ = 2ϕ(x), ∂ν (23) Γ Z x ∈ Γ, Γ Z µ(ξ) ∂E(x, ξ) dΓ = −2ψ(x), ∂n Γ 5 x ∈ Γ. (24) Óðàâíåíèÿ (21) è (22) îòâå÷àþò âíóòðåííèì çàäà÷àì Äèðèõëå è Íåéìàíà ñîîòâåòñòâåííî, à (23) è (24) ñîîòâåòñòâóþùèì âíåøíèì çàäà÷àì. ßäðà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (21)(24) ∂E/∂ν è ∂E/∂n èìåþò ñëàáóþ îñîáåííîñòü. Äåéñòâèòåëüíî ∂E ∂E cos (ν, r) ∂E cos (n, r) = cos(ν, r) = − m−1 , = − m−1 . ∂ν ∂r r ∂n r (25) Äëÿ ëÿïóíîâñêîé ïîâåðõíîñòè èìååò ìåñòî îöåíêà | cos (ν, r)| ≤ Crα , | cos (ν, r)| ≤ Crα , C = const, 0 < α ≤ 1. (26) Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ (21)(24) èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ ñî ñëàáîé (èíòåãðèðóåìîé) îñîáåííîñòüþ (ïîðÿäîê îñîáåííîñòè ìåíüøå ðàçìåðíîñòè ïîâåðõíîñòè Γ). Ýòè óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ê èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà, è ïîýòîìó èõ òàêæå íàçûâàþò ôðåäãîëüìîâñêèìè. Òàê, åñëè â äâóìåðíîì ñëó÷àå ïåðåéòè îò êîîðäèíàò òî÷åê x, ξ íà Γ ê èõ äóãîâûì êîîðäèíàòàì, òî ÿäðà óðàâíåíèé îêàçûâàþòñÿ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè íîâûõ êîîðäèíàò è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿþòñÿ ôðåäãîëüìîâñêèìè. Òåì ñàìûì òåîðèÿ, ðàçâèòàÿ äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà, ïðèìåíèìà è ê óðàâíåíèÿì (21) (24). Âàæíûì ñâîéñòâîì ýòèõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî óðàâíåíèÿ (21) è (24), à òàêæå (22) è (23) ïîïàðíî ñîïðÿæåííûå. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ÿäðà ∂E/∂ν è ∂E/∂n âåùåñòâåííû è ïîëó÷àþòñÿ îäíî èç äðóãîãî ïåðåñòàíîâêîé àðãóìåíòîâ, òî îíè ñîïðÿæåííûå. Èññëåäîâàíèå êàæäîé èç ýòèõ ïàð èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ñëó÷àÿ ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Γ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è ëÿïóíîâñêîé ñ ïîêàçàòåëåì α = 1, ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó: 1◦ . Âíóòðåííÿÿ çàäà÷à Äèðèõëå ðàçðåøèìà äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ϕ(x), è ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ (19). 2◦ . Ïðè m > 2 âíåøíÿÿ çàäà÷à Íåéìàíà ðàçðåøèìà äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ψ(x), è ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ (20). 3◦ . Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòè âíåøíåé çàäà÷è Íåéìàíà ïðè m = 2, à òàêæå âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà ïðè ëþáîì m ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî Z ψ(x)dΓ = 0, (27) Γ êîòîðîìó äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü çàäàííàÿ íà Γ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ψ(x). Ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ. 4◦ . Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòè âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî Z ϕ(x)µ0 (x)dΓ = 0, Γ 6 (28) êîòîðîìó äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü çàäàííàÿ íà Γ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ϕ(x). Çäåñü µ0 (x) íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèþ (22) äëÿ âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà.  ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ, óáûâàþùåå íà áåñêîíå÷íîñòè êàê |x|1−m . Åñëè ðàâåíñòâî (28) íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ. Îäíàêî ðàçðåøèìîñòü âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå âñå æå èìååò ìåñòî äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ϕ(x), ïðè ýòîì ðåøåíèå ïðåäñòàâèìî â âèäå Z Z 1 ∂E(x, ξ) 1 u(x) = σ(ξ) dΓ + σ(ξ)dΓ. (29) |S1 | ∂ν |S1 ||x|m−2 Γ Γ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ 1. Áèöàäçå À. Â. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1982. 336 ñ. 2. Âëàäèìèðîâ Â. Ñ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1971. 3. Êîøëÿêîâ Í. Ñ., Ãëèíåð Ý. Á., Ñìèðíîâ Ì. Ì. Óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1970. 4. Ìèõëèí Ñ. Ã. Ëåêöèè ïî ëèíåéíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1959. 232 ñ. 5. Ìèõëèí Ñ. Ã. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1968, ÑÏá., 2002. 6. Ïåòðîâñêèé È. Ã. Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ì., 1961. 7. Ñìèðíîâ Â. È. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ò. 2, 5. 8. Ñîáîëåâ Ñ. Ë. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.-Ë., 1950. 9. Òèõîíîâ À. Í., Ñàìàðñêèé À. À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1972. 7