Cведение одного диофантова уравнения к классу

Cведение одного диофантова уравнения к классу алгебраических уравнений от двух
натуральных параметров
Кочкарев Б. С.
Кочкарев Б. С. Cведение одного диофантова уравнения к классу алгебраических уравнений от двух натуральных параметров
Кочкарев Баграм Сибгатуллович / Kochkarev Bagram Sibgatullovich – кандидат
физико-математических наук, доцент,
кафедра высшей математики и математического моделирования,
Институт математики и механики имени Н. И. Лобачевского, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г.
Казань
Аннотация: предлагается метод решения одного известного диофантова уравнения путем сведения его к
классу алгебраических уравнений от двух натуральных параметров. Доказывается, что все примитивные
решения рассматриваемого диофантова уравнения, получаемые по формулам его общего решения,
известным еще индусам, получаются как решения соответствующих алгебраических уравнений при
определенных условиях на натуральные параметры. В других случаях предложенный метод позволяет
получать решения рассматриваемого диофантова уравнения в классе вещественных чисел.
Abstract: we propose a method for solving a famous diophantine equation by reducing it to a class of algebraic
equations of two natural parameters. It proves that all primitive solutions considered diophantine equation, known
to the Hindus, are obtained as solutions of the corresponding algebraic equations under certain conditions, to
natural parameters. In other cases, the proposed method allows to obtain the solution of the diophantine equation in
the class of real numbers.
Ключевые слова: диофантово уравнение, алгебраическое уравнение.
Keywords: diophantine equation, algebraic equation.
Известно [1, 70], что основой для формулировки Пьером Ферма своей Великой гипотезы послужило
диофантово уравнение u  v  w , с решением которого он ознакомился из книги Арифметика
Диофанта. Поскольку Великая гипотеза Ферма была нами полностью доказана [2], мы решили использовать
идею доказательства для решения указанного частного диофантова уравнения
2
2
2
u 2  v 2  w2 .
(1)
Рассмотрим алгебраическое уравнение
( x  i) 2  ( x  j ) 2  x 2 ,
где
(2)
i и j натуральные числа.
Очевидно, написанное уравнение эквивалентно уравнению x  2(i  j ) x  i  j  0 , которое
2
имеет два решения x1, 2  (i  j ) 
2
2
(i  j ) 2  i 2  j 2 = (i  j )  2ij .
Полученные решения, очевидно, являются решениями нашего диофантова уравнения (1), если положить
u  x  i, v  x  j , w  x .
Для произвольных натуральных чисел i, j мы получим, вообще говоря, вещественные решения
диофантова уравнения (1)
(u1  x1  i, v1  x1  j, w1  x1 ) ; (u 2  x2  i, v2  x2  j, w2  x2 ) .
Если 2ij  r , где r - натуральное число, то решениями диофантова уравнения (1) будут целые числа.
Из [3, 31] известно, что для нахождения всех решений уравнения (1) достаточно найти лишь состоящие из
положительных целых чисел примитивные решения (u, v, w) уравнения (1), для которых u - четно. Из [3,
31] также известно, что такие примитивные решения получаются по формулам
2
u  2mn, v  m 2  n 2 , w  m 2  n 2 , (3)
где m и n  m взаимно простые положительные целые числа разной четности. Докажем, что любое
2
такое примитивное решение получается как решение некоторого уравнения (2) для i, j таких, что 2ij  r .
Таким образом, если (u, v, w) - примитивное решение диофантова уравнения (1), полученное по формулам
(3), то i  w  u и j  w  v для алгебраического уравнения (2), к которому сводится диофантово
уравнение (1). В этом случае
2ij  2(w  u)(w  v)  2(m 2  n 2  2mn)(m 2  n 2  m 2  n 2 )  2(m  n) 2 2n 2  4(m  n) 2 n 2  r 2 что
и
требовалось
доказать.
Пример: пусть n  2, m  3 , тогда u  2mn  12, v  m  n  5, w  m  n  13 является
примитивным решением диофантова уравнения (1)
2
12 2  5 2  132 .
2
2
2
Составим соответствующее алгебраическое уравнение для
i  1, j  8
( x  1) 2  ( x  8) 2  x 2  x 2  18x  65  0 ,
решениями которого являются x1  13, x2  5 . Целочисленные решения диофантова уравнения (1),
соответствующие алгебраическому уравнению (2) при i  1, j  8 , будут (12, 5, 13) и (4, 3, 5), первое из
которых примитивное, состоящее из положительных целых.
Известно [3, 31], что если u, v нечетны, то уравнение (1) не имеет целочисленных решений. Можно
показать, что если i, j такие, что 2ij не является квадратом натурального числа, то алгебраическое
уравнение (2), к которому свелось диофантово уравнение, будет иметь иррациональные решения, а
диофантово уравнение будет иметь решения в классе вещественных чисел. Пусть, например, i  1, j  3 .
Тогда алгебраическое уравнение (2) примет вид ( x  1)  ( x  3)  x , и оно имеет решения
2
x1, 2  4  6 .
Можно
убедиться,
что
2
2
вещественные
тройки
чисел
(3  6 ,1  6 ,4  6 ), (3  6 ,1  6 ,4  6 ) являются вещественными решениями диофантова
уравнения (1).
Литература
1. Самин Д. К. Сто великих ученых. Москва, «Вече», 2001. 592 с.
2. Кочкарев Б. С. Об одном классе алгебраических уравнений, не имеющих рациональных решений.
Проблемы современной науки и образования, № 4 (22), 2014 с. 8-10.
3. Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. Москва, Наука, 1982. 240 с.