Листок 9

÷ûü, 2010 ç., 3 íïäõìø
9. ëòé÷ùå îá ðìïóëïóôé.
ôïðïìïçéñ
úÁÄÁÞÁ 1. ðÕÓÔØ f : [0; 1] → [0; 1] | ÇÌÁÄËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ f (0) = 0, f (1) = 1. ðÕÓÔØ c ∈ [0; 1] |
ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (Ô.Å. ÅÓÌÉ f (x) = c, ÔÏ f 0 (x) 6= 0). Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á f −1 (c)
ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÁ. Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï f −1 (c) ËÏÎÅÞÎÏ. ×) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ #{x ∈ [0; 1] | f (x) = c; f 0 (x) >
0} − #{x ∈ [0; 1] | f (x) = c; f 0 (x) < 0} = 1.
úÄÅÓØ É × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ S 1 = {(x; y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. óÉÍ×ÏÌÏÍ (p; q) ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÄÕÇÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ
ÏÔ ÔÏÞËÉ p ÄÏ ÔÏÞËÉ q, ÓÞÉÔÁÑ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
ðÕÓÔØ f : S 1 → S 1 | ÇÌÁÄËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, É ÐÕÓÔØ q ∈ S 1 . åÓÔØ ÔÒÉ ÓÐÏÓÏÂÁ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f × ÔÏÞËÅ q.
óÐÏÓÏ ÐÅÒ×ÙÊ. óÉÍ×ÏÌÏÍ Tq S 1 ⊂ R2 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÐÒÑÍÕÀ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÕÀ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë S 1 × ÔÏÞËÅ q. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : S 1 → S 1 × ÔÏÞËÅ q ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
f 0 (q) : Tq S 1 → Tf (q) S 1 , ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
¢
1 ¡ q + tv
(1)
f 0 (q)v = lim f (
)
− f (q ) :
t→0 t
|q + tv |
úÁÄÁÞÁ 2. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌ × ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (1) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÏÎ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ Tf (q) S 1 , É ÞÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÜÔÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Tq S 1 → Tf (q) S 1 | ÌÉÎÅÊÎÏÅ.
óÐÏÓÏ ×ÔÏÒÏÊ. ðÕÓÔØ E : R → S 1 | ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ ÎÁÄ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ: E (t) = (cos t; sin t), Á
F : R → R | ÐÏÄÎÑÔÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f , Ô.Å. ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ E ◦ F = f ◦ E (ÉÎÙÍÉ
ÓÌÏ×ÁÍÉ, E ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÞÉÓÌÕ t ÔÏÞËÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ó ÐÏÌÑÒÎÙÍ ÕÇÌÏÍ t, Á F ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f , ÚÁÐÉÓÁÎÎÏÅ
\× ËÏÏÒÄÉÎÁÔÅ t"). ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ f × ÔÏÞËÅ q = E (t) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÞÉÓÌÏ f 0 (q) def
= F 0 (t).
úÁÄÁÞÁ 3. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÉ Ä×Á ÓÐÏÓÏÂÁ Ó×ÑÚÁÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ v ∈ S 1
ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ v⊥ ∈ Tv S 1 ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ, ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÐÏ×ÏÒÏÔÏÍ v ÎÁ =2 ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ. ôÏÇÄÁ
f 0 (q)q⊥ = f 0 (q)f (q)⊥ , ÇÄÅ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ f 0 (q) ÐÏÎÉÍÁÅÔÓÑ × ÓÍÙÓÌÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, Á × ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ
| × ÓÍÙÓÌÅ ×ÔÏÒÏÇÏ. Â) ðÕÓÔØ E : R → S 1 | ÏÐÉÓÁÎÎÏÅ ×ÙÛÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ, Á : S 1 → R2 |
\ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ" ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÅÅ ÖÅ, ÎÏ ËÁË ÔÏÞËÕ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ
(ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ). ôÏÇÄÁ ◦ f ◦ E | ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ R × ÐÌÏÓËÏÓÔØ R2 . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ
q = E (t), ÔÏ ( ◦ f ◦ E )0 (t) = (f 0 (q)q⊥ ).
÷ÅËÔÏÒ v⊥ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÂÁÚÉÓ × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Tv S 1 ⊂ R2 . ÷ ÓÉÌÕ
ÚÁÄÁÞÉ 2 ÚÎÁÞÅÎÉÅ f 0 (q)q⊥ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f 0 (q) É, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÚÁÄÁÞÅ 3, ÔÁËÖÅ É ÞÉÓÌÏ
f 0 (q). üÔÏ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÄÁÔØ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ:
óÐÏÓÏ ÔÒÅÔÉÊ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ f 0 (q) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ f 0 (q)q⊥ ∈ Tf (q) S 1 (ÚÄÅÓØ × ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ | ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÉÚ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ).
íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ËÁÖÄÙÍ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÐÏÓÏÂÏ×, \ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ",
\ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ-ÞÉÓÌÏ" É \ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ-×ÅËÔÏÒ" ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ; ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ: f 0 (q) (ÎÅÕÄÏÂÎÏ, ÎÏ
ÏÂÝÅÐÒÉÎÑÔÏ. . . ).
úÁÄÁÞÁ 4. ðÕÓÔØ f : S 1 → S 1 | ÇÌÁÄËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ f (p) = p (ÇÄÅ p = (1; 0)). ðÕÓÔØ c ∈ S 1 |
ÎÅËÒÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, Ô.Å. ÅÓÌÉ f (x) = c, ÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f 0 (x) 6= 0 (ÐÒÏÚ×ÏÄÎÁÑ-ÞÉÓÌÏ). Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á f −1 (c) ⊂ S 1 ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÙ, Á ÏÎÏ ÓÁÍÏ ËÏÎÅÞÎÏ. Â) ðÕÓÔØ F | ÐÏÄÎÑÔÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
f , ÐÒÉÞÅÍ F (0) = 0, Á F (1) = 2k, k ∈ Z. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ #{q ∈ S 1 | f (q) = c; f 0 (q) > 0} − #{q ∈ S 1 | f (q) =
c; f 0 (q) < 0} = k (f 0 (q) | ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ-ÞÉÓÌÏ).
úÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ | ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ : S 1 → R2 . ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ × ÔÏÞËÅ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ 0 (q) : Tq S 1 → R2 , ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
¢
1 ¡ q + tv
)
− (q ) :
0 (q)v = lim (
t→0 t
|q + tv |
úÁÄÁÞÁ 5. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ, | ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ.
1
ëÁË É ÄÌÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ S 1 → S 1 , ÞÁÓÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, Á ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 0 (q)q⊥ |
\ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ-×ÅËÔÏÒ" (× ÓÉÌÕ ÚÁÄÁÞÉ 5 ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ-×ÅËÔÏÒ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ).
úÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÌÁÄËÏÊ, ÅÓÌÉ ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÏÞËÉ É ÎÉ × ËÁËÏÊ ÔÏÞËÅ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. äÌÑ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
W : S 1 → S 1 ÆÏÒÍÕÌÏÊ W (t) = | ((tt))| ; ÓÔÅÐÅÎØ ÜÔÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÅËÓÏÍ õÉÔÎÉ ËÒÉ×ÏÊ É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ w( ).
úÁÄÁÞÁ 6. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ k ÐÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÐÒÉÍÅÒ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ Ó ÉÎÄÅËÓÏÍ õÉÔÎÉ k.
ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ p ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ: p ∈= (S 1 ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ `;p : S 1 → S 1 , ÚÁÄÁÎÎÏÅ
ÆÏÒÍÕÌÏÊ `:p (t) = | ((tt))−−pp| . åÇÏ ÓÔÅÐÅÎØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÅËÓÏÍ ÔÏÞËÉ p ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÒÉ×ÏÊ (ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ
ind (p)).
úÁÄÁÞÁ 7. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÇÌÁÄËÕÀ ËÒÉ×ÕÀ Ó ÉÎÄÅËÓÏÍ õÉÔÎÉ 0 É ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÉÎÄÅËÓ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË
ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ.
úÁÄÁÞÁ 8. ðÕÓÔØ | ÇÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ, ÔÏÞËÁ a ÌÅÖÉÔ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ É ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ
(ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÏ t∗ ∈ S 1 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ a = (t∗ )). óÉÍ×ÏÌÏÍ (t∗ − "1 ; t∗ + "2 ) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ
ÄÕÇÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÐÏÌÑÒÎÙÊ ÕÇÏÌ ËÏÎÃÏ× ËÏÔÏÒÏÊ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÐÏÌÑÒÎÏÇÏ ÕÇÌÁ ÔÏÞËÉ t∗ ÎÁ "1 ÐÏ ÞÁÓÏ×ÏÊ
ÓÔÒÅÌËÅ É ÎÁ "2 ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ " > 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÐÒÏÅËÃÉÑ
ËÒÉ×ÏÊ (t), ÇÄÅ t ∈ (t∗ − "; t∗ + "), ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ Ë ËÒÉ×ÏÊ × ÔÏÞËÅ a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ÕÞÁÓÔËÁ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ. Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ "1 ; "2 > 0 É > 0 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ
−1 (Ba; ) = (t∗ − "1 ; t∗ + "2 ), ÇÄÅ Ba; | ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × a, É ÞÔÏ (S 1 ) ∩ Bq; ÄÅÌÉÔ Bq; ÎÁ Ä×Å
ÞÁÓÔÉ, B1 É B2 . ×) ðÕÓÔØ a1 ∈ B1 , a2 ∈ B2 . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ ind (a1 ) É ind (a2 ) ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ ÎÁ 1; ËÁËÏÅ
ÉÚ ÎÉÈ ÂÏÌØÛÅ?
þÉÓÌÏ (ÐÏÌÕÃÅÌÏÅ) (ind (a1 ) + ind (a2 ))=2 ÉÎÏÇÄÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ind (a).
çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÇÌÁÄËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ 1 É 2 ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ t1 ; t2 ∈ S 1
ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ 1 (t1 ) = 2 (t2 ), ×ÅËÔÏÒÙ 10 (t1 ) É 20 (t2 ) ÎÅËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ, Ô.Å. ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÏÌÏÖÉÍ
(t1 ; t2 ) = +1, ÅÓÌÉ ÜÔÏÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÁ×ÏÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ, É (t1 ; t2 ) = −1, ÅÓÌÉ ÏÎ ÌÅ×ÏÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ.
úÁÄÁÞÁ 9. ðÕÓÔØ 1 , 2 | ÇÌÁÄËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Á) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÔÏÌØËÏ ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÐÁÒ (t1 ; t2 ) ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ 1 (t1 ) = 2 (t2 ); Â) ÓÕÍÍÁ ÞÉÓÅÌ (t1 ; t2 ) ÐÏ ×ÓÅÍ ÔÁËÉÍ
ÐÁÒÁÍ (t1 ; t2 ) ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ.
õËÁÚÁÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÔÅ ind1 (2 (t)) × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ t ∈ S 1 .
ðÕÓÔØ | ÇÌÁÄËÁÑ ÐÌÏÓËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ Ó ÐÒÏÓÔÙÍÉ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍÉ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÍÉ, Ô.Å. −1 (a) ⊂ S 1
ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ a ∈ R2 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË, É ÅÓÌÉ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË-ÐÒÏÏÂÒÁÚÏ× Ä×Å, t1 É t2 (a | ÔÏÞËÁ
ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ ), ÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ 0 (t1 ) É 0 (t2 ) ÎÅ ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ. ïÔÍÅÔÉÍ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÁÞÁÌØÎÕÀ
ÔÏÞËÕ p ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ (p) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ (ÞÁÓÔÏ ÂÅÒÕÔ p = (1; 0), ÎÏ ÜÔÏ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ
| × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÔÏÞËÁ p ÂÕÄÅÔ ÍÅÎÑÔØÓÑ), É ÐÕÓÔØ t1 | ÔÏÔ ÉÚ ÐÒÏÏÂÒÁÚÏ×, ËÏÔÏÒÙÊ ÌÅÖÉÔ ÂÌÉÖÅ Ë ÔÏÞËÅ
p ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÐÒÉ ÏÔÓÞÅÔÅ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ. ðÏÌÏÖÉÍ (a; p) = +1, ÅÓÌÉ ×ÅËÔÏÒÙ 0 (t1 ); 0 (t2 )
ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÐÒÁ×ÏÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, É (a; p) = −1, ÅÓÌÉ ÌÅ×ÏÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ.
úÁÄÁÞÁ 10. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ Ó ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍÉ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÍÉ ËÏÎÅÞÎÏ.
óÕÍÍÕ ÞÉÓÅÌ (a; p) ÐÏ ×ÓÅÍ ÔÏÞËÁÍ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ a ËÒÉ×ÏÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ I ( ; p).
úÁÄÁÞÁ 11. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ I ( ; p1 ) − I ( ; p2 ) = 2 ind (p1 ) − 2 ind (p2 ).
ðÕÓÔØ a = (t1 ) = (t2 ) | ÔÏÞËÁ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ; ÎÕÍÅÒÁÃÉÑ t1 ; t2 ËÁË ÕËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ 1 : S 1 → S 1 , ËÏÔÏÒÏÅ ÄÕÇÕ (t2 ; t1 ) ⊂ S 1 ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ × ÔÏÞËÕ p = (1; 0), Á ÄÕÇÕ (t1 ; t2 ) ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ
ÒÁÓÔÑÇÉ×ÁÅÔ ÎÁ ×ÓÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ 2 ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ ÔÁË ÖÅ, ÎÏ ÔÏÞËÉ t1 É t2 ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÍÅÓÔÁÍÉ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÒÉ×ÙÅ 1 = 1−1 ◦ É 2 = 2−1 ◦ ; ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ 1−1 É 2−1 ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ × ÔÏÞËÅ p, ÎÏ
ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÐÏÌÏÖÉÍ 1 (p) = 2 (p) = a = (t1 ) = (t2 ). ëÒÉ×ÙÅ 1 , 2 ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ É ÉÍÅÀÔ ÐÒÏÓÔÙÅ
ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙÅ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, ÎÏ ÎÅÇÌÁÄËÉÅ × ÔÏÞËÅ a.
úÁÄÁÞÁ 12. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÒÉ×ÙÅ 1 ; 2 ÍÏÖÎÏ ÓÇÌÁÄÉÔØ | ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ " > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÇÌÁÄËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ
e1 , e2 , ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ Ó 1 ; 2 ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ t, ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÄÕÇÅ (p − "; p + "), É ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÔÏÞÅË
ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ É ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a.
úÁÄÁÞÁ 13. ðÕÓÔØ e1 , e2 | ÓÇÌÁÖÉ×ÁÎÉÑ ËÒÉ×ÙÈ 1 , 2 Ó ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÙÍ ". Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ w( ) =
w(e1 ) + w(e2 ). Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ I ( ; a) = I (e1 ; a) + I (e2 ; a).
úÁÄÁÞÁ 14. äÏËÁÖÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÕ õÉÔÎÉ: I ( ; p) = w( ) − 2 ind (p).
0
0