Фракталоподобные свойства двухфазной зоны при

УДК 536.42:536.421.4
ФРАКТАЛОПОДОБНЫЕ СВОЙСТВА ДВУХФАЗНОЙ ЗОНЫ ПРИ
НАПРАВЛЕННОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ БИНАРНЫХ РАСПЛАВОВ
Д.В. Александров, А.О. Иванов, С.В. Булычева
Уральский государственный университет им. А.М. Горького
В работе показано, что решение сложной нелинейной задачи тепло– и
массопереноса, описывающей квазистационарную и нестационарную кристаллизацию
с
двухфазной
зоной
концентрационного
переохлаждения,
описывается
фракталоподобными скейлинговыми законами (6).
Ключевые слова
Фазовые переходы, кристаллизация, фракталы, скейлинг
Условные обозначения
cl - теплоемкость в жидкой фазе, Дж/кгС; c m - теплоемкость в двухфазной зоне,
Дж/кгС; c s - теплоемкость в твердой фазе, Дж/кгС; D - скейлинговый параметр; Dl коэффициент диффузии в жидкой фазе, м2/с; Dm - коэффициент диффузии в
двухфазной зоне, м2/с; LV - коэффициент скрытой теплоты кристаллизации, Дж/м3; k равновесный коэффициент распределения примеси; m - наклон линии ликвидус,
С/вес%; u s - постоянная скорость кристаллизации, м/с; a - параметр автомодельных
решений; b - параметр автомодельных решений; d - протяженность двухфазной зоны,
м; q l - температура расплава, C; q m - температура двухфазной зоны, C; q s температура твердой фазы, C; q 0 - температура фазового перехода чистого расплава, C;
l l - коэффициент теплопроводности расплава, Дж/мсС; lm - коэффициент
теплопроводности двухфазной зоны, Дж/мсС; l s - коэффициент теплопроводности
твердой фазы, Дж/мсС; x - пространственная координата, м; r l - плотность жидкой
фазы, кг/м3; r m - плотность двухфазной зоны, кг/м3; r s - плотность твердой фазы,
кг/м3; s l - концентрация примеси в расплаве, вес%; s m - концентрация примеси в
двухфазной зоне, вес%; s s - концентрация примеси в твердой фазе, вес%; s концентрация примеси в расплаве вдали от границы фазового перехода, вес%; s e концентрация примеси на границе двухфазная зона - расплав, вес%; s - концентрация
примеси на границе твердая фаза – двухфазная зона, вес%; t - время, с; j - объемная
доля твердой фазы в двухфазной зоне; j - объемная доля твердой фазы на границе
твердая фаза – двухфазная зона.
Введение
Большое количество физических, механических и химических процессов,
связанных с фазовыми или химическими превращениями, традиционно описываются
на основе классической фронтальной модели Стефана. Примерами могут служить:
испарение жидкостей, рост новой фазы в метастабильной среде, фронтальное горение
или фронтальные химические реакции, фильтрационное вытеснение вязких жидкостей
в пористых веществах и другие. Во многих случаях локально-плоская форма фронта,
разделяющего две фазы, нарушается с образованием переходной области, содержащей
элементы обеих фаз. В этой двухфазной области граница раздела часто представляет
собой сильно разветвленную структуру, обладающую свойствами масштабновременного самоподобия. Известными проявлениями являются растущие дендриты,
облака, фрактальные кластеры, гидродинамические вязкие «пальцы» в пористых
средах, химические реакции в турбулентных потоках [1-3]. Указанные объекты
представляют собой природные примеры так называемых фрактальных образований
[1], самоподобие и масштабно-временная инвариантность которых описываются
скейлингово-степенной зависимостью с дробным показателем степени, именуемым
фрактальной размерностью. Среди многих явлений фазовых превращений важную
прикладную роль играют процессы направленной кристаллизации многокомпонентных
расплавов и растворов, используемые для получения чистых кристаллов или сплавов с
заданными свойствами. В затвердевающем расплаве часто происходит интенсивное
выделение примеси из объема кристалла. Если это сопровождается сильной
зависимостью температуры фазового перехода кристаллизующейся жидкости от
концентрации примеси, то перед фронтом затвердевания возникает метастабильная
область, называемая зоной концентрационного переохлаждения [4]. Далее, в работе
демонстрируется, что квазистационарный и нестационарный режимы кристаллизации с
двухфазной зоной концентрационного переохлаждения обладают фрактальноскейлинговыми закономерностями.
1. Квазистационарная кристаллизация с двухфазной зоной
Рассмотрим процесс направленного затвердевания бинарного расплава вдоль
пространственной оси
. Будем предполагать, что кристаллизация протекает с
постоянной скоростью u s , а распределения примеси m
, температуры m
и
объемной доли твердой фазы j x в двухфазной зонеx
t
t d достигли
установившихся значений. Процесс тепломассопереноса в двухфазной зоне
описывается с помощью уравнений теплопроводности и диффузии примеси:
qr
t
m
l
m
x
qm
V
x
j
,
t
t
1(
)
kD
m
x
sm
x
s
j
.
t
(1)
Эффективные коэффициенты Dm , r c и l m переноса в двухфазной зоне зависят от
объемной доли твердого компонента j и в простейшем случае выражаются
зависимостями:
m
l
(1
) , ()
(j )
r l l (1 j )
r s c sj ,
)( l l (1 j )
lj.
(2)
Температура в двухфазной зоне определяется через концентрацию примеси с помощью
уравнения ликвидуса, которое имеет вид:
ms ,tx
q0
t
d.
(3)
На границах твердая фаза – двухфазная зона и двухфазная зона – расплав, выполняются
следующие условия баланса тепла и массы:
qs
x
, ls
0,
m
qm
x
lm
l
,
m
LV1(
sm
x
j )
l
sl
,
x
s
t
,
k
l
m
, lm
us ,
,
qm
x
ll
(4)
ql
,
x
us
d.
(5)
Затвердевание расплава с постоянной скоростью u s может реализоваться тогда, когда
межфазные границы располагаются вдали от стенок области кристаллизации. В этом
случае можно считать, что градиенты температуры g l и g s на границах двухфазной
зоны остаются постоянными. Таким образом, будем считать, что в твердой фазе и
расплаве выполняются стационарные уравнения теплопроводности, а концентрация
примеси в жидкой фазе описывается уравнением диффузии (диффузией примеси в
твердой фазе традиционно пренебрегается). В работах [5,6] было построено точное
аналитическое решение нелинейной модели (1)-(5) с указанными уравнениями
переноса по чисто твердой и жидкой фазам при условии l
при x
.
Основная идея работ [5,6] заключается в переходе к интегрированию по новой
независимой переменной – объемной доле j твердой фазы в двухфазной зоне после
перехода в движущуюся систему координа т:
u / Dl . Кроме того, в работе
[5] продемонстрировано, что протяженность двухфазной зоны, объемная доля твердой
фазы и концентрация примеси в ней претерпевают самоподобное изменение при
варьировании операционных параметров процесса – управляющих затвердеванием
температурных градиентов. Такое поведение наталкивает на мысль о возможной
фракталоподобной скейлинговой структуре двухфазной зоны концентрационного
переохлаждения. Хорошо известно, что многие фракталоподобные объекты,
встречающиеся в природе, могут быть описаны с помощью масштабно-инвариантных
степенных фракталов [1-3]. В связи с этим, подойдем к изучению двухфазной зоны с
помощью степенных зависимостей, описываемых однородными самоподобными
функциями:
D
,
(s
m
s )
D
,
1
e,
s
l
.
(6)
Введенные степенные зависимости (6) удовлетворяют скейлинговым соотношениям:
()l Dj (
),
m
s
l D (s m ( ) s ) ,
где l - произвольная постоянная. Скейлинговый параметр D , являющийся
показателем степени в пространственных распределениях (6), играет роль размерности
фрактальных объектов [1-3]. Как легко заметить, s e в соотношениях (6) представляет
собой нефрактальный участок функции s m y . Другими словами, распределение
примеси s m y вблизи границы двухфазная зона – расплав не является фрактальным,
поскольку вытеснение примеси в расплав на этой границе не происходит. На рис. 1
представлено
сравнение
точного
аналитического решения модели (1)-(5),
полученного в работах [5,6], и степенных
зависимостей (6) для железо-никелевого
сплава, теплофизические характеристики
которого приведены в [5,6]. Хорошее
совпадение скейлинговых зависимостей (6) с
аналитическими решениями работ [5,6]
подтверждает гипотезу о фракталоподобной
структуре
двухфазной
зоны.
Следует
подчеркнуть, что в соответствии со
скейлинговыми законами (6), объемная доля
и концентрация примеси внутри двухфазной
зоны
определяются
только
своими
значениями на ее границах и не зависят от
скейлингового
параметра,
который
составляет D .137
0.05 для всех кривых на рис. 1.
2. Нестационарные режимы кристаллизации с зарождающейся и развитой
двухфазной зоной
Возникает естественный вопрос о сохранении обнаруженных скейлинговых
свойств двухфазной зоны в нестационарных режимах кристаллизации. Одним из таких
режимов является автомодельный процесс, формирующийся на поздних стадиях
затвердевания. Этот процесс характеризуется тем, что пространственная координата
и время t связаны соотнош ение м
двухфазная зона
s
S
/2
l
, а границы твердая фаза –
и двухфазная зона – жидкая фаза
l
выражаются в виде:
2 D
и
2 D . После перехода к автомодельной переменной x ,
система (1)-(5) становится нелинейной системой обыкновенных дифференциальных
уравнений с фиксированными границами
x 0 и x b a . Эта система, приведенная в
работе [7], решалась численно. На рис. 2
приведено сравнение численного решения
системы
уравнений
автомодельной
двухфазной
зоны
и
скейлинговых
зависимостей (6) (в данном случае e b a ).
Расчеты проведены для модельной системы 1
и системы 2, состоящей из водного раствора
нитрата соды (значения теплофизических
параметров этих систем приведены в работе
[7]). Рис. 2 демонстрирует, что при
фиксированных значениях системных параметров, изображенные профили не зависят
от скейлингового параметра D , который составляет .103
0.05 (система 1) и
07
.1
0.05 (система 2). Отсюда следует, что фракталоподобные зависимости (6)
хорошо описывают кристаллизацию с двухфазной зоной на автомодельной стадии
процесса. Поскольку автомодельность характерна для поздних стадий затвердевания,
представляет интерес исследование вопроса о пригодности соотношений (6) для
описания кристаллизации на ее начальных этапах. На рис. 3 показаны
концентрационные профили перед границей x 0 твердая фаза - двухфазная зона для
начальных стадий сильно нестационарной
кристаллизации водного раствора KCl по
данным работы [8] (здесь x и e играют
роль
размерных
переменных).
На
временах t 60 с перед плоским
фронтом
кристаллизации
возникает
концентрационное переохлаждение и, как
следствие, появляется двухфазная зона.
Рис. 3 показывает, что расстояние между
соседними профилями концентрации со
временем
уменьшается,
т.е.
концентрационное поле стремится к
некоторому установившемуся значению.
Сравнение скейлингового соотношения (6) с экспериментальными данными работы [8]
показывает их хорошее соответствие и дает одинаковое значение параметра
D 7
.2
0.05 для всех изображенных на рис. 3 зависимостей.
Выводы
Вышеприведенные результаты позволяют сформулировать концепцию о
подчинении характеристик двухфазной зоны универсальным фрактальноскейлинговым закономерностям (6) на всех стадиях возможной реализации процесса.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов № Е02-4.0-86
(Минобразование РФ), № 02-03-96437 (РФФИ Урал), № Y1-PME-05-02 (CRDF и
Минобразование РФ в рамках программы BRHE), № REC-005 (CRDF).
Литература
1. Mandelbrot B.B. Fractal geometry of nature. New York: W.H. Freeman, 1982.
2. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991, 254 с.
3. Vicsek T. Fractal growth phenomena. Singapore: World Scientific, 1989.
4. Иванцов Г.П. Диффузионное переохлаждение при кристаллизации бинарного сплава
// ДАН СССР. 1951. Т. 81, № 2. С. 179-182.
5. Alexandrov D.V. Solidification with a quasiequilibrium two-phase zone // Acta Mater.
2001. Vol. 49. P. 759-764.
6.Alexandrov D.V. Solidification with a quasiequilibrium mushy region: exact analytical
solution of nonlinear model // J. Crystal Growth. 2001. Vol. 222. P. 816-821.
7. Worster M.G. Solidification of an alloy from a cooled boundary // J. Fluid Mech. 1986.
Vol. 167. P. 481-501.
8.Nagashima K., Furukawa Y. Time development of a solute diffusion field and
morphological instability on a planar interface in the directional growth of ice crystals // J.
Crystal Growth. 2000. Vol. 209. P. 167-174.