ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра «Высшая и вычислительная математика» С.И. Вдовина, Н.А. Корниенко, Н.Н. Субоч НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний для студентов технических специальностей ИТТСУ Москва —2015 УДК 517 В -2 5 Вдовина С.И., Корниенко Н.А., Субоч Н.Н. Некоторые типы неопределенных интегралов: Методические указания к практическим занятиям по теме «Интегрирование, использующее подведение функции под знак дифференциала». - М.: МГУПС (МИИТ), 2015. - 28 с. Методические указания к практическим занятиям представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя основные теоретические положения и формулы по теме «Вычисление неопределенных интегралов методом подведения функции под знак дифференциала», содержат образцы типовых примеров с подробным решением. В методическом издании предлагаются задачи для самостоятельной индивидуальной работы студентов на аудиторных занятиях и могут быть использованы в качестве типовых расчётов, выполняемых учащимися дома. Методические указания к практическим занятиям предназначены студентам 1 курса всех технических специальностей ИТТСУ МИИТа. О МГУПС (МИИТ), 2015 Для самостоятельного изучения теоретических вопросов, относящихся к практическим занятиям, рекомендуются учебники и учебные пособия, имеющиеся в большом количестве в библиотеке и читальных залах МИИТа в свободном доступе: 1. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по высшей математике. - Мн.: ТетраСистемс, 1999. - 640 с. 2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов.-М.: 3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х ч.: Учебное пособие для вузов. - 8-е изд., испр. —М.: Просвещение, 2012. - 368 с.: ил. 4. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. - М.: Астрель ACT, 2012. 5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗОВ в 2-х т. - М.: 6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по математике. - М.: Айрис-Пресс, 2005. - 256 с.: ил. высшей 7. Сборник задач по математике для всех специальностей. Часть I: / Под ред. А.Д.Мышкиса, В.Б.Минасяна - М.: МИИТ, 2005. - 143 с. 8. Шипачев B.C. Высшая математика. Полный курс - М.: Юрайт, 2014. 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. Дифференциал функции одной переменной.................. 5 Задание 1 ............................................................................. 6 2. Подведение функции под знак дифференциала............10 Задание 2 ............................................................................ 10 3. Интегрирование, использующее подведение функции под знак дифференциала.................................................... 14 Задание 3 ..................................................... ........................17 Приложение 1. Правила дифференцирования.................. 23 Приложение 2. Таблица производных..............................24 Приложение 3. Таблица основных интегралов................ 26 4 1. Дифференциал функции одной переменной Дифференциалом функции у = f(pc) называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. Формула дифференциала функции: d y = у dx, т.е. дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента. Дифференциалом аргумента приращение аргумента dx = Ах. называется ПРИМЕР 1. Найти dy, если у = tg3x . РЕШЕНИЕ. 1 dy = ---- г— 3 d x . cos2Зх ПРИМЕР 2. Найти dy, если у = 1°9г^~х ^ . arccos Зх РЕШЕНИЕ. dy = 1 ( (1 - х 2) Ы2 (- 2*)arcc° ' 3* - ' ° ^ (1 - х ~> (arccos Зх)2 5 1 \ 3 —2xarccos3x 3log2( t — x 2) . _ (1 ~ g j ln2 Vi _ 9xz (arccos 3x)2 3(1 —x 2)ln2log2( l —x 2) - 2xV l —9x2 arccos3x (1 —x2) I!n2 V l —9x2 arccos 23x Задание 1 Найти d y . а) у = cos46x а) у = e x arctg3x б) _______ у = 5* у = \/5 — 7х а) у = Мг(р5 - 4х) а) у = 10х б) а) — б) у = \/х arctg3x 0- V* arccos 5* 6. а) у = 1пЩх2 — Зх) 7. а) у = V x* — 4х 8. 9. а) у = cos38х б) у = 5х tg25x б) .... faEfe5- 2 ) У б) у = tg7x е 10х а) б) \&=г у = tgASx 10. 11. а) Ух б) у = х 3 arcsin7x а) у = tg37x У= 12. а) у = 1пЩе* + 5х) б), у = Vx2"arctgSx 13. а) у = 9 Vac 14. sinSx б) arccos Орх—1) у Vtei+5 а) ^2 7У = Л/1Зх— 15. б) • б) у = е-9* гп(6х —1) б) а) arcctg 4х у _ д 16х+2 y= ~ w 7 16. а) у= 17. M S — x 6 х 6) у = arcsin2e~7x 2 а) б) _ = у а) = V 4 —5л: 18. 19. х У- 20. = б) s i n 21. = л / 7 х — З х 2 б) у = 6 ^ Zn(x + 2) а) у = arcsin 6х У= -1 * г- 5 8 х а) у inSSBi+l) V4-*3 б) у = arctg6V* а) у 22. t g 3 8 у б) c t g A 7 x у = 1Ш * а) у 2х+3 б) iwlfflx—1) _ ^ 23. а) у = 1пП(Р5* —4х) 24. а) у = 7tg62x cos5x б) у = л/зГ arcsin6x б) _arccos Зх У ~ In (З х —1) 25. а) у = ctg9x 26. а) у = c o s 49x б) у = е~9х \/7х2 - 1 3 б) _ arcsin 6х ^ /л!$Вх-1) 27. а) у = е~7х б) у = V4 - Зх arctg2x 28. а) у = V4 —7хг б) у = 3 ^ arcctg3x 29. а) б) y =J H L у = ln(arcsin3x) 30. а) у = sinB2x arcsin 5а: 6) _ у = е 9* arccos8x 9 2. Подведение функции под знак дифференциала Операция «подведение функции под знак дифференциала» осуществляется на основании равенства: f \ x ) dx = d (/(* )) ■ ПРИМЕР. Подвести функцию дифференциала. f i x ) = cos2x под знак РЕШЕНИЕ. 1 cos2x dx = —d(sin2x), и т. к. 1 1 , 1 —d(sin2x) = —(sin2x)' dx = - 2 cos2x dx = cos2x d x . L* L* Lt Задание 2 Подвести под знак дифференциала функцию. 1. а) sin3x dx б) е~3х dx 2. а) cos9x dx б) е6х dx а) dx cos26х б) 3х dx 10 4. а) (х - 1 ) dx 5. а) х 2 dx 6. а) dx lx 7. а) dx 8. а) sinSx dx a) dx sin 2 3x 10. 11. a) cos8x dx a) dx cos2— 12. a) (5x + 2)dx 13. a) x dx 14. 15. 16. а) х 3 dx а) у[х dx a) dx x ln 2x 17. 18. 19. 20. a) yfxdx a) O x - 3) dx a) 8Xdx a) dx sin 2 5x 21. 22. 23. a) x 5 dx a) x 1 dx a) (4x - 1) dx 6) dx x 2+16 6) dx s in 2Ax 6) x 4 dx 6) dx x 2+36 6) dx Vl —9 x2 6) (x + 3) dx 6) dx л/Зж^Т 6) dx V l- 2 5 x z 6) dx X ln3x 6) dx s in 2x ctgx 12 24. а) dx 4+х 25. а) dx Зх 26. 27. 28. 29. а) (5х + 3) dx а) cos6x dx а) s in 4- dx а) dx V l- 8 1 * 2 30. a) dy c o s 27x 6) dx 49x2+ l 6) dx cos2Sx 6) dx s in 26x 6) dx 9 x-S 6) л/2х —1 dx 6) (5x —2) dx 6) dx_ 5x 13 3. Интегрирование, использующее подведение функции под знак дифференциала Нахождение неопределенных интегралов, допускающих подведение функции под знак дифференциала, осуществляется на основании формул: fix') dx = d(F(x)) F 00 dx = fix') dx j f ( x ) dx = J d(Fix )) = Fix) + с ПРИМЕР 1. Найти интеграл J х 5 dx. РЕШЕНИЕ. 1 x 5 dx = - d(x6) 6 d ix 6) = (x6)' dx = 6x5 dx j x U x - l l d(x6) = ^ + 14 ПРИМЕР 2. Найти интеграл Inx — dx. /т РЕШЕНИЕ. Определим функцию по ее дифференциалу: / 1 dx d(lnx) = (lux')' dx = — dx — — — = d ( ln x ) . X Следовательно, (In x f dx f ln2x I — dx = I Inx — = I Inx d(lnx) = — + с . При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала: dx = d(x ± а ) , а = const 1 dx = —d(kx ± а ) , К а = const, к = const (к =£ 0) 1 dx = ± —d(a ± кх) , К 1 х п dx = ----- - d(xn+1) , п +1 а = const, к = const (к Ф 0) n it-1 15 1 x d x = - d(x2) (x ± a)n dx = n+ 1 d((x ± a)n+1) , dx — = d(lnx) dx = d(ln(x ± a)) , x±a ax dx = r— d(a*) , Ina a = const a = const ex dx = d(e*) cosx dx = d(sinx) sin* dx = —d(cosx) dx ---- — = d(tgx) coszx dx —~T~ = - d(ctgx) s irx dx = d(arctgx) = - d(arcctgx) 1+ x2 dx V1 —x2 = d(arcsiTix) = —d(arccosx) 16 n * -1 , a = const Задание 3 Найти интеграл. 1. а) б) dx •? arcsvrrx . dx ... = J VT^x* С 2. а) Г J 3. х J б) dx dx r e arcctgx J X In x a) f 4. Г 3 + 1п5 х Г dx dx l + x 2 6) o r c tg x f x2 V7 “ 3x3 a) 6) л S ts2 x - ^ k 5. a) f w I=F dx 6) dx Г 7arccosx J ln x x J VT="F 17 dx 6. а) f 6) . з arcsin^x ' dx V l^ x 2 J 7. a) f J 8. , dx ctg x : 5 sin x J x3 sinx4 dx a) Г 6) , dx J orct« x I T ? a) f J Vl + e2* 6) dx J t52x 11. Г 1пЩЬс - 5) ^ J 5- x 6) / ZnS* T 10. J i T ^ dx 6) a) 9. Г 5x2 a) dx (1 + x 2) a rctg x Г 5 —Inx j — ^ dx 6) ^ =8 * Jf T V 2=5 -X 18 12. а) б) I dx ах J tg2x cos2x 13. г 7C0SX sirvc dx J a) 6) Г dx J x ln3x г sirvc J VcosT a) 6) 14. -4 . I (6x + 5) dx J 15. I f sinx — dx J \ 1 + cos2x a) 6) Г dx J (7x - 1)3 16. Г1 cos Inx dx J x a) J 17. 6) 4 dx IJ TJLTI xЛ Л a) Г -------- dx 6) dx Г _______ dx ) jл/ fl — r e2x 19 18. а) Г J 6) a rcsinA x 19. dx a) J x 3 2x4~3 dx a) f 6) dx J У sin7x cosx dx J (5 + x)4 21. a) 6) Г cosx I T7= = = dx J Vsin2x J V4x —3 dx 22. 6) a) f sinx ^-------- 5“ dx J 1 + cos^x f dx J x ln5x 23. j x 3 У2х4 - 9 dx 6) f ч dx ctg bx —r~2~ J s in zx 20. — V l—16x2 6) a) Г - dx J a rcctg x T T x * 20 247 а) б) dx fJ ctg7x -sin*x ту" 25. Г sinx dx f J yfcoshc a) 6) f dx J (7x - 2)4 26. J 27. - 7 arcsin'X dx J dx If ■ x 3 Vl —x2 J V25 + x8 dx J x l n 10x Г x J cos2x 2 a) dxdx f Г x2 stn2x 3 J si a) f dx 6) J VSx + 2 29. ax 6) Г Г J 6) a) 28. sinx J VI - cos2x a) Г f dx 6) . J “r c c t g 'x ^ dx Г J 21 x dx 30. а) Г dx | tg 7x — =J COSAX 6) f 5x2 J л/ l —x 22 dx ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Правила дифференцирования С у = 0 си у = c(u)' u±v у' = u '± v ' UV у' /О О )) У = уй и'х — UV (c=const) (c=const) + uv' (у = /(и ), и = (pipe)) ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Таблица производных у = ип У= 1 у = X у = л/гГ у = аи у' = у — ем у' = аи In а и' и' у = 1ода и у = In it у = s in у и у ' — c o s и и' у' = co s и = — s in и и ' 1 г У = tg и У у У' = - ^ к и' = c t# и у = a r c s in и у' = и 1г Ь г и ' 24 (а > 0 , a it 1) у = arccos и у' = ~ 1 Т = Р и ' у = arctg и У' = ч Ь и ’ у = arcctg и У' = - т Ь и ' 25 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Таблица основных интегралов Г хп+1 I x ndx = ----- - + с J п+1 Г (х + а )п+1 I (х + a)ndx = -------- ------ 1- с J v ' п+1 (n * -1 ) Г , ,nj J (n * - 1 ) l ( k x ± a ) n+1 fc n + l I (fcx ± a)ndx = -------- —----- 1- с J dx = x + с j ~ ^ = l n \x \ + c j y j ^ d x = ln\f(x)\ + c f dx I —■— = ln\x ± a + с J x±a f , *** dx = r ln\kx ± a \ + c, J kx± a к (к = const) f xdx I J x2 ± a Г ax axdx = ------h с J Ina J exdx = e x + с 1 , , x Щх ± a \ + c 2 Г . 1 akx akxdx = - -— + c, (k = const) J к Ina J ekxdx = —ekx + c, (k = const) 26 J -s m x d x = - c o s x + с J sinfcxdx = - i c o s f c x + с (к = const) J co sx dx = s in x + с J cos kx dx = ^ s i n kx + с Ск = const) f J dx dx Г s ; =tJI+t 1 ) n s ? t o = k tekx+c (fc = const) f dx f dx x .............. = a rcsin - + c. J у!a 2 - x2 a u = arcsinx + с J Vl - X2 f dx I — — 5- = arctgx + J l + x2 * Г с dx 1 x dx 1 \x —a\ —=■= - a r c t g - + с J a2 + x 2 a a I f j F ^ = s ,nlf e l +c f j= L ....= ' \ x 2± a 27 M«Px + -у/* 2 ± a I + с Учебно-методическое издание Вдовина Светлана Ивановна Корниенко Нина Амосовна Субоч Наталья Николаевна НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Методические указания к практическим занятиям по теме «Интегрирование, использующее подведение функции под знак дифференциала» Подписано в печать S>2s £ 0 /5 z Заказ № /£2 # Усл.-печ. л. - 1 Тираж 100 экз. Изд. № Формат—60 x 84/16 127994, Россия, г. Москва, ул. Образцова, дом 9, стр. 9, УПЦ ГИ МИИ 28