Системы случайных величин

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перейти на страницу с полной версией»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ивановский государственный химико-технологический университет
Системы случайных величин
Методические указания для самостоятельной работы студентов
Составитель В.А. Бобкова
Иваново 2010
Перейти на страницу с полной версией»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перейти на страницу с полной версией»
Составитель В.А. Бобкова
УДК 519.2
Системы случайных величин: метод. указания для самостоятельн.
работы ст-тов / Сост. В. А. Бобкова; Иван. гос. хим.-технол. ун-т. – Иваново, 2010-28 с.
Методические указ ания посвящены одному из разделов курса «Теория вероятностей и математическая статистика», а именно: системам случайных величин. Дано понятие системы случайных величин, описаны способы задания систем дискретных и непрерывных случайных величин.
Р ассмотрены понятия зависимости и независимости случайных величин,
условные законы распредел ения, числовые характеристики зависимости.
Отдельно рассмотрены системы нормально распредел енных случайных
величин. Приведены графические иллюстрации и примеры решения задач.
Методические указ ания предназначены для самостоятельной работы студентов всех направлений подготовки.
Библиогр.: 4 назв.
Р ецензент доктор технических наук, про ф ессор А. Н. Лабутин
(Ивановский государственный химико-технологический университет)
2
Перейти на страницу с полной версией»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перейти на страницу с полной версией»
1. Основные сведения о системах случайных величин
и о способах их задания
1.1. Понятие о системе случайных величин
В практических применениях теории вероятностей приходится иметь
дело с зад ачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или боле е случайными величинами, образующими систему или случайный вектор.
Например, успева емость наудачу взятого студента характеризуется
несколькими оценками, полученными им в ходе экзаменационной сессии;
на урожайность данной сельскохозяйственной культуры влияют погодные
условия, применяемые удобрения, характер почвы, качество посевного
материала и так дал е е.
Случайным вектором (n-мерной случайной величиной, системой n случайных величин) называют упорядоченный набор из n случайных величин
(Х1, Х2, … , Хn).
Одномерные случайные величины Х1, Х2, … , Хn называются компонентами или составляющими n-мерной случайной величины (Х1, Х2, … ,
Хn). Их можно рассматривать как координаты случайной точки или случайного вектора X = ( X 1 , X 2 ,..., X n ) в пространстве n измер ений.
Системы случайных величин могут быть дискретными, непрерывными
и смешанными в зависимости от типа случайных величин, образующих
систему. В первом случае компоненты этих систем являются дискретными
случайными величинами, во втором – непрерывными случайными величинами, в третьем – случайными величинами разных типов.
Р ассмотрим сначал а наиболе е простой случай – систему, состоящую
из двух случайных величин (двумерную случайную величину).
Пример: станок-автомат штампует стальные плитки. Контролируемыми размер ами являются длина X и ширина Y. Имеем двумерную случайную величину (X,Y).
Геометрически двумерную случайную величину (X,Y) можно истолковать либо как случайную точку M(X,Y) на плоскости (то есть как точку со
случайными координатами), либо как случайный вектор ОМ (рис. 1 и рис.
2).
3
Перейти на страницу с полной версией»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перейти на страницу с полной версией»
y
y
M(X,Y)
M(X,Y)
O
x
x
O
Рис.1.
Рис. 2
1.2.Функция распределения вероятностей
двумерной случайной величины и её свойства
Универсальной ф ормой зад ания двумерной случайной величины является функция распредел ения (или «интегральная функция»).
Функцией распределения двумерной случайной величины (X,Y) называют
вероятность совместного выполнения двух нер авенств {X<x} и {Y<y}:
F ( x, y ) = p{ X < x; Y < y} .
(1)
Геометрическая интерпретация: если двумерную случайную величину
(X,Y) рассматривать как случайную точку в прямоугольной декартовой
системе координат, то функция распределения F(x,y) есть вероятность
попадания случайной точки (X,Y) в бесконечный квадрант с вершиной в
точке (x,y), лежащий леве е и ниже е ё (рис.3):
Рис. 3. Геометрическая интерпретация функции распредел е ния
двумерной случайной величины
В аналогичной интерпретации функция распредел ения первой компоненты X случайного вектора – обозначим е ё F1(x) – представляет собой
вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную
справа абсциссой х (рис. 4); функция распред ел ения величины Y – F2(y) –
вероятность попадания в полуплоскость, ограниченную сверху ординатой
y (рис. 5):
4
Перейти на страницу с полной версией»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перейти на страницу с полной версией»
Рис. 4. Геометрическая интерпретация функции распределения первой компоненты F1(x)
двумерной случайной величины
(X,Y).
Рис. 5. Геометрическая интерпретация функции распределения второй компоненты F2(y)
двумерной случайной величины
(X,Y).
5
Перейти на страницу с полной версией»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перейти на страницу с полной версией»
Пример 1. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая X двумерной случайной величины (X,Y) примет значение X<2,
при этом составляющая Y примет значение Y<3, если известна функция
распредел ения системы
1
x 1 1
y 1
F ( x, y ) = ( arctg + ) × ( arctg + )
p
3 2
2 2 p
Решение:
Тогда
F ( x, y ) = P{ X < x; Y < y}
1
2 1 1
3 1
p{ X < 2; Y < 3} = F ( 2,3) = ( arctg + ) × ( arctg + ) =
2
2 2 p
3 2
1 p 1 1 p 1
3 3 9
= ( × + )×( × + ) = × =
= 0,5625
p 4 2 p 4 2
4 4 16
Ответ: 0,5625.
Свойства функции распределения двумерной случайной величины
1)
0 £ F ( x, y ) £ 1 ,
(2)
так как это вероятность.
2) F(x,y) есть неубывающая ф ункция своих аргументов, то есть
F ( x 2 , y ) ³ F ( x1 , y ) при x 2 > x1 ,
(3)
F ( x, y 2 ) ³ F ( x, y1 ) при y 2 > y1 .
(4)
Доказательство. При увеличении какого-либо из аргументов (x,y) заштрихованная на рис.1 область увеличивается, значит, вероятность попадания в неё случайноё точки (X,Y) не может уменьшаться.
3) Если хотя бы один из аргументов обраща ется в -∞, то функция распредел е ния F(x,y) равна нулю:
F ( x,-¥) = F (-¥, y ) = F (-¥,-¥) = 0 .
(5)
Доказательство. События {X < -¥}, {Y < -¥} и их произвед ение невозможны, следовательно, вероятности этих событий равны нулю.
4) Если оба аргумента равны +∞, то функция распределения F(x,y) равна единице:
F (+¥,+¥) = 1 .
(6)
Доказательство. Событие {X < +¥}× {Y < +¥} достоверно, следовательно,
его вероятность равна единице.
5) При одном из аргументов, равном +∞, функция распредел е ния двумерного вектора превраща ется в функцию распредел ения компоненты,
соответствующей другому аргументу:
Перейти на страницу с полной версией»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перейти на страницу с полной версией»
F ( x,+¥) = F1 ( x); F (+¥, y ) = F2 ( y ) .
(7)
Доказательство: Так как событие Y<+∞ достоверно, то F(x, +∞) определяет вероятность события X <x, то есть представляет собой функцию распредел е ния составляющей X.
Итак, зная совместное распределение двух случайных величин, можно найти одномерные распредел е ния каждой из этих случайных величин,
однако обратное, в общем случае, неверно.
Вероятность попадания случайной точки в полуполосу
Используя функцию распредел ения системы случайных величин Х и
Y, найдем вероятность того, что в результате испытания случайная точка
попадет в полуполосу x1<X<x2
и Y<y
y (x1,y)
(x2,y)
p{x1<X<x2, Y<y} =
= p( x<x2, Y<y) - p{ X<x1, Y<y}=
= F(x2,y) - F(x1,y)
x1
x
Аналогично,
p{X<x, y1<Y<y2} = F(x,y2) - F(x,y1).
Таким образом, вероятность попадания случайной
точки в полуполосу равна приращению функции
(x,y1)
распредел ения по одному из аргументов.
x2
y
y2
y1
(x,y2)
x
x
Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
y
y2
y1
A(x1,y2)
C(x1,y1)
x1
B(x2,y2)
D(x2,y1)
x2
x
Р ассмотрим прямоугольник со сторонами, паралл е льными координатным
осям. Пусть уравнения сторон: X=x1; X=x2; Y=y1; Y=y1.
Тогда p{x1<X<x2, y1<Y<y2} = p{x1<X<x2, Y< y2} - p{x1<X<x2, Y< y1} =
= [F(x2,y2)- F(x1,y2)]- [F(x2,y1)- F(x1,y1)].
Итак,
7
Перейти на страницу с полной версией»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перейти на страницу с полной версией»
p{x1 < X < x 2 , y1 < Y < y 2 } = [F (x 2 , y 2 ) - F ( x1 , y 2 )] - [F (x 2 , y1 ) - F (x1 , y1 )]
(8)
Пример 2. Найти вероятность попад ания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми
x=p/6; x=p/2; y=p/4; y=p/3, если
F(x,y)=sin(x)sin(y) (0≤x<p/2; 0≤y<p/2).
Решение:
p
p p
p
p p
p p
p p
p p
< x < , < y < ) = [ F ( , ) - F ( , )] - [ F ( , ) - F ( , )] =
6
2 4
3
2 3
6 3
2 4
6 4
p
p
p
p
p
p
p
p
= [sin sin - sin sin ] - [sin sin - sin sin ] =
2
3
6
3
2
4
6
4
æ 3
3ö æ 2
2 ö ( 3 - 2)
÷=
÷-ç
.
= çç
ç
÷
÷
2
4
2
4
4
ø
è
ø è
P(
Ответ:
( 3 - 2)
.
4
1.3. Закон распределения вероятностей
дискретной двумерной случайной величины
Законом распределения вероятностей дискретной двумерной случайной
величины называ е тся совокупность всех возможных значений этой случайной величины, то есть пар чисел (xi,yi), и их вероятностей p(xi,yi):
pij = p( xi , yi ) = p{ X = xi ; Y = yi }, i = 1, n, j = 1, m
Зд есь n, m – число возможных значений случайных величин X и Y (n и m
могут быть конечными или бесконечными).
Обычно закон распределения задают в виде таблицы. Пусть x1, x2, … ,
xn – все возможные значения случайной величины X, y1, y2, … , ym – все
возможные значения случайной величины Y. Тогда закон распредел ения
может быть представлен в виде следующей таблицы:
Таблица 1
y
x
y1
y2
…
yj
x1
p(x1,y1)
p(x1,y2)
…
x2
p(x2,y1)
p(x2,y2)
…
…
…
…
…
xi
p(xi,y1)
…
…
…
…
…
…
xn
p(xn,y1)
…
…
В клетке на пересечении строки xi
p(xi,yj) того, что двумерная случайная
(xi,yj).
…
ym
p(x1,yj)
…
P(x1,ym)
…
…
…
…
…
…
p(xi,yj)
…
…
…
…
…
…
…
p(xn,ym)
и столбца yj указана вероятность
величина (X,Y) примет значение
8
Перейти на страницу с полной версией»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перейти на страницу с полной версией»
Так как события { X = xi ; Y = y j }, i = 1, n, j = 1, m образуют полную
группу событий, то сумма вероятностей во всех клетках равна единице:
n
m
åå
i =1 j =1
p ij = 1
(9)
Зная закон распредел ения двумерной случайной величины, можно
найти законы распредел е ния каждой из составляющих. Действительно, так
как, например, события {X=x1,Y=y1},{X=x1,Y=y2}, … , {X=x1,Y=ym} несовместны, то вероятность p(x1) того, что одномерная случайная величина X примет значение x1, по теореме сложения вероятностей несовместных событий равна
p1 = p{ X = x1} = p ( x1 , y1 ) + p ( x1 , y2 ) + ... + p ( x1 , ym ) .
(10)
В общем случае имеем:
m
m
j =1
j =1
pi = p{ X = xi } = å p( xi , y j ) = å pij .
(11)
Аналогично можно записать:
n
p j = p{Y = y j } = å pij .
(12)
i=1
Пример 3. Качество продукции характеризуется двумя случайными величинами: X и Y. Закон распредел е ния случайного вектора (X,Y) представлен в таблице:
Таблица 2
yj
0
0,1
0,2
0,3
pi
5
6
7
0,2
0
0
0,1
0,15
0
0,05
0,15
0,1
0,05
0,1
0,1
0,4
0,4
0,2
pj
0,2
0,25
0,3
0,25
xi
åå p
i
ij
=1
j
Найдём закон распределения координат X и Y случайного вектора.
Вероятность события {X = xi } = pi есть сумма вероятностей, находящихся
в i-ой строке. Вероятности pi находятся в последнем столбце таблицы.
Ряд распредел ения случайной величины Х имеет вид:
Таблица 3
xi
5
6
9
Перейти на страницу с полной версией»
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перейти на страницу с полной версией»
pi
0,4
0,4
0,2
Ряд распредел ения Y находим, вычисляя суммы элементов столбцов
таблицы 2. Эти вероятности
p j находятся в последней строке таблицы 2.
Ряд распредел ения случайной величины Y имеет вид:
Таблица 4
yi
0
0,1
0,2
0,3
pj
0,2
0,25
0,3
0,25
1.4. Плотность распределения вероятностей
непрерывной двумерной случайной величины и её свойства
Р аспредел ение многомерных непрерывных случайных величин обычно характеризуют плотностью распредел ения.
Плотностью распределения двумерной непрерывной случайной величины
называют предел отношения вероятности попадания случайной величины
в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба его
размера стремятся к нулю:
y
R∆
∆y
∆x
x
p{( x, y ) Î RD } ¶ 2 F ( x, y )
f ( x, y ) = lim
=
Dx ®0
D
x
×
D
y
¶x¶y
Dy ®0
(13)
Плотность распредел ения двумерной непрерывной случайной величины вычисляется как вторая смешанная частная производная от
функции распредел ения.
Геометрически плотность распредел ения вероятностей f ( x, y ) системы двух случайных величин (X,Y) представляет собой некоторую поверхность, называ емую поверхностью распределения (рис. 6):
10
Перейти на страницу с полной версией»