Решение систем уравнений с

Сценарий
урока алгебры в 9 классе
по теме
« Решение систем уравнений
с двумя переменными
II степени»"
Модульный урок
Учитель математики Макаровской ООШ
Глинская Ольга Александровна
2010г.
Пояснительная записка.
Урок проводится в 9 классе общеобразовательной школы. Преподавание алгебры
осуществляется по учебнику Ю.Н.Макарычева «Алгебра 9», ( изд. 2009г.)
в соответствии с Примерной программой основного общего образования. Урок рассчитан
на 1 час.
Урок проводится по разделу программы « Уравнения с двумя переменными и их
системы». На эту тему отводится 12 часов
Планирование темы
Тема : уравнения с двумя переменными и их системы -12 часов
1урок –уравнения с двумя переменными и их системы – обобщающая лекция
2урок –решение систем уравнений графическим способом – урок практикум
3урок– решение систем уравнений графическим способом – урок практикум
4 урок – решение систем уравнений способом подстановки - урок практикум
5 урок - решение систем уравнений способом подстановки - урок практикум
6 урок -Решение систем уравнений способом сложения и способом введения новой
переменной – модульный урок
7урок – решение задач с помощью систем уравнений – комбинированный урок
8урок – решение задач с помощью систем уравнений – комбинированный урок
9урок - решение задач с помощью систем уравнений – комбинированный урок
10урок – уравнения с двумя переменными и их системы – обобщающий урок
11урок - зачѐт по теме «Уравнения с двумя переменными и их системы»
12урок – урок коррекции знаний
Значение урока:
1) Применение технологии модульного обучения позволяет осуществлять личностно
ориентированный подход в обучении математики. На данный момент учащиеся освоили
базовый уровень решения систем уравнений. Поэтому на этом уроке ученики имеют
возможность проверить базовый уровень усвоения темы и познакомиться с новыми
способами решения систем уравнений с двумя переменными ( повышенный уровень) в
оптимальном для себя темпе.
2) Применение технологии модульного обучения включает каждого школьника в
осознанную учебную деятельность, формирует у каждого школьника навыки
самообучения и самоконтроля.
3) Использование технологии модульного обучения в классах комплектах сельских школ
позволяет учителю для одного класса быть только консультантом и больше времени на
уроке уделить работе с другим классом.
В результате овладения содержанием модуля учащиеся должны уметь:
I уровень – решать системы уравнений с двумя переменными способом подстановки и
графическим способом по алгоритму;
II уровень – решать системы уравнений с двумя переменными , где оба уравнения
II степени, выбирая самостоятельно способ решения;
III уровень – применять полученные знания в нестандартных ситуациях.
Цели урока:
1) Отрабатывать навыки решения систем уравнений способом
подстановки и графическим способом
2) Обеспечить усвоение учащимися других способов решения систем
уравнений II степени : способа сложения, способа введения новой
переменной
3) Формировать у каждого школьника навыки самообучения и
самоконтроля
4) Включить каждого школьника в осознанную учебную деятельность,
предоставить возможность продвигаться в изучении материала в
оптимальном для себя темпе.
Структура урока:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Актуализация опорных знаний
Мотивационная беседа, постановка цели урока
Входной контроль
Изучение нового материала. Учебный элемент №1, учебный элемент №2
Итоговый контроль
Рефлексия
Домашнее задание
Содержание урока:
1. Актуализация опорных знаний
а) Фронтальная проверка домашней работы
б) Фронтальная работа с классом
- Что называется решением системы уравнений с двумя переменными
-Что значит решить систему уравнений?
- Какие вы знаете способы решения систем уравнений?
- Как решают систему уравнений способом подстановки?
- Как решают систему уравнений графическим способом?
2. Мотивационная беседа. Сообщение темы и цели урока
-Ребята, вы уже научились решать системы уравнений с двумя переменными IIстепени
способом подстановки и графически. Посмотрите на систему уравнений , записанную на
доке.
+
-
= 3,
=-1 .
- Каким способом вы предлагаете решить эту систему? (Вызвать сильного ученика к
доске)
Вы убедились, что решить данную систему известными нам способами не удалось.
Существуют другие способы решения систем уравнений IIстепени , с которыми мы
познакомимся на этом уроке. Итак, цель нашего урока – проверить базовый уровень
усвоения темы и научиться решать системы новыми способами.
3. Входной контроль.
Цель: оценить исходный уровень ваших знаний по решению систем
уравнений II степени
1 вариант
1. (1балл) На рисунке изображены графики функций у = х 2-2х -3 и у = 1 – 2х
Используя графики, решите систему уравнений
у = х2-2х -3,
у = 1 – 2х.
Ответ: _________________________
2. (1балл) Какая пара чисел является решением данной системы
а) (8;5)
б) (5; 8)
в) (-5;-8)
х2 – 2у = 54,
у=х -3
г)(6; -9)
3.(2балла) Решите систему уравнений :
х2 – 3у = -9,
х + у = 3.
2 вариант
1. (1балл) На рисунке изображены графики функций у = -х2+2х +3 и у = 2х - 1
Используя графики, решите систему уравнений
у = - х2+ 2х +3,
у = 2х - 1
Ответ: _________________________
( 1 балл) Какая пара чисел является решением системы уравнений
а) (4;5)
б) (-4; -5) в) (-2;-1)
3.( 2 балла) Решите систему уравнений :
х2 + 2у = 6
у = х - 1.
г) (4; -5)
х2 – 3у = -9,
х - у = 3.
Оцените ответы . Если получили 4 балла , то переходите к следующему элементу
Если получили менее 4 баллов , то перерешайте пример с ошибкой из 2 варианта
4. Изучение нового материала
Учебный элемент №1
Цель: научиться применять способ сложения при решении систем уравнений с
двумя переменными II степени
Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то
найти еѐ решения бывает очень трудно. В отдельных случаях такие системы удаѐтся
решить, используя способ сложения. Например, решить систему уравнений:
5х2 + 3у2 = 18,
5х2 - 3у2 = 12.
Сложим почленно эти уравнения , получим : 10х2 = 30 Заменим одно из уравнений
системы, получим 5х2 + 3у2 = 18,
10х2 = 30.
откуда х1 = , х2 = Подставим найденные значения х =
в первое уравнение, получим 15 + 3у2 = 18.
Решив данное уравнение найдѐм значение у 1 = 1, у2 = -1. Следовательно, решением
системы является пары чисел ( ;1) ( ;-1)
Подставим значение х =
в первое уравнение , получим у 1 = 1, у2 = -1
Следовательно решением системы также является пары чисел (- ; 1), (- ;-1)
Ответ : ( ;1) ( ;-1) (- ; 1), (- ;-1)
При применении способа сложения получается равносильное уравнение, из которого
легче выразить одну из переменных. Например,
ху – х2 = -18,
ху + х2 = 14.
Применив способ сложения , получим ху = -4, откуда у =
. Далее решаем систему
способом подстановки.
Решите самостоятельно № 448 а) (3 балла)
Проверьте решение. Если вы решили правильно , то переходите к учебному
элементу № 2. Если допустили ошибку, то обратитесь за консультацией к учителю.
Учебный элемент № 2
Цель: научиться решать системы уравнений с двумя переменными с применением
способа введения новой переменной
При решении систем уравнений II степени часто используется способ введения
новых переменных. Например, решить систему уравнений
+
= 3,
-
=-1 .
Выразить одну переменную через другую сложно, поэтому введѐм новые переменные.
Обозначим выражение
= а,
Получим следующую систему уравнений
4 а + 12b = 3,
8 а - 18 b = -1.
Решив систему способом сложения , получим
а= ,
b=
.
Для нахождения переменных х и у подставим вместо а и b найденные значения.
Получим :
=
, откуда
х – у = 4,
Решаем каждую систему способом сложения и получаем окончательный ответ(5;1)
Решите самостоятельно (4 балла)
-
= -2,
+
= 8.
Проверьте решение . Если вы выполнили правильно, то переходите к следующему
элементу. Если допустили ошибки, то обратитесь за консультацией к учителю.
5. Итоговый контроль
Цель : оценить уровень усвоения нового материала
1 вариант
1. (4 балла) Решите систему уравнений способом сложения
у2 + ху = 3,
у2 - ху = 5.
2. (4балла) Решите систему уравнений способом введение новой переменной величины
+ =4
+ =9
Проверь задание и поставь в карточку зачѐтку набранное количество баллов.
2 вариант
1. (4балла) Решите систему уравнений способом сложения
2у2 – 3х2 = 1,
2у2 + 3х2 = 19
2. (4балла) Решите систему уравнений способом замены переменной величины
+ =4
-
= 10.
Проверь задание и поставь в карточку зачѐтку набранное количество баллов.
6. Рефлексия .
Проверь задания и результаты запиши в карточку-зачѐтку
фамилия
имя
№ учебного
модуля
Кол –во
баллов
За основное
зад.
Кол –во баллов
за доп. задание
Общее кол-во
баллов
Входной контроль
УЭ №1
УЭ №2
Итоговый контроль
Итоговое кол-во баллов
Оценка
Подсчитайте количество заработанных баллов, оцените свой труд
15 – 19 баллов – оценка «5»
7 – 11 баллов -
оценка «4»
4 балла
оценка «3»
-
Если вы не достигли желаемого результата, не огорчайтесь. На следующем уроке у вас будет
возможность его улучшить.
7. Домашнее задание .
Если вы получили оценку «4» или «5», то изучите самостоятельно п. 23 учебника
«Алгебра,9» ( для тех, кто хочет знать больше) и выполните № 3.17, 3.18, 3.29 из сборника
для подготовки к экзаменам под редакцией Кузнецова Л.В.
Если вы получили оценку «3» , то выполните из учебника «Алгебра,9» под редакцией
Макарычева Ю.Н. №439, 440а)
Приложение
Решение заданий
Входной контроль
1 вариант
1 задание.
Решения системы – координаты точек пересечения графиков функций. На графике мы видим
две точки пересечения. Определим их координаты (-2;5), (2; -3)
Ответ : (-2;5), (2; -3)
2 задание.
Решением системы является та пара чисел, которая обращает каждое уравнение системы в
верное равенство. Подставим пару чисел (8;5) Получим: 82-2*5 =54 верно,
5=8–3
верно.
Следовательно (8;5) - решение системы. Аналогично проверим остальные пары чисел
52-2*8 =54 неверно,
б) (5;8)
8=5–3
в)(-5;-8)
Пара чисел (5;8) не является решением системы
(-5)2- 2*(-8) =54 неверно,
-8 = -5 – 3
г) (6;-9)
неверно.
верно. Пара чисел (-5;-8) не является решением системы
62-2*(-9) =54 верно,
6 = -9 – 3
неверно. Пара чисел (6;-9) не является решением системы
Ответ: (8;5)
3 задание.
Выразим из второго уравнения переменную у через х: у = 3 – х.
Подставим в первое уравнение вместо х выражение 3 – х,
получим уравнение с переменной х: х2 – 9 + 3х = -9.
После упрощения получим равносильное уравнение х 2 + 3х = 0.Решим это уравнение
х(х + 3)= 0 х=0 или х – 3 = 0 х = -3
Подставим найденные значения в формулу у = 3 - х, получим: у1=3 -0= 3, у2 = 3-(-3) =6
Ответ: (0;3), (-3;6)
Решение заданий
Входной контроль
2 вариант
1 задание.
Решения системы – координаты точек пересечения графиков функций. На графике мы видим
две точки пересечения. Определим их координаты (2;3), (-2; -5)
Ответ : (2;3), (-2; -5)
2 задание.
Решением системы является та пара чисел, которая обращает каждое уравнение системы в
верное равенство. Подставим пару чисел (4;5) Получим: 16+2*5 =6 неверно,
5=4–1
неверно.
Следовательно (4;5) - не является решением системы. Аналогично проверим остальные пары
чисел
(-4)2+ 2*(-5) =6 верно,
б) (-4;-5)
-5 = -4 – 1
верно.
Пара чисел (-4;-5) является решением системы
(-2)2+ 2*1 =6 неверно,
в)(-2;1)
1 = -2 – 1
неверно. Пара чисел (-2;1) не является решением системы
г) (4;-5) 42+2*(-5) =6 верно,
-5 = 4 – 1
неверно. Пара чисел (4;-5) не является решением системы
Ответ: (-4;-5)
3 задание.
Выразим из второго уравнения переменную у через х: у = х – 3.
Подставим в первое уравнение вместо х выражение х – 3, получим уравнение с переменной
х: х2 - 3х + 9 = 9. После упрощения получим равносильное уравнение х2 - 3х = 0. Решим
это
уравнение
х(х - 3)= 0 х=0 или х – 3 = 0 х = 3
Подставим найденные значения в формулу у = х – 3, получим: у1=0 – 3 = -3, у2 = 3- 3 =0
Ответ: (0;-3), (3;0)
Учебный элемент №1 .
Решение.
х – 2у = 14,
х2 + 2у2 = 18.
1) Сложим почленно левые и правые части уравнений части уравнения системы. Получим:
2х2 = 32
2) Заменим одно из уравнений ему равносильным
2х2 = 32,
х2 +2у2 = 18.
3) Решим первое уравнение : 2х2 = 32, х2 = 16 откуда х1 = 4, х2 = -4. Решение системы
сводится к решению совокупности систем уравнений
х = 4,
х = -4,
2
2
х +2у = 18.
х2 +2у2 = 18.
4) Решив эти системы , получим ответ (4;1), (4;-1), (-4;1),(-4;-1)
2
2
Учебный элемент 2
Решение
1) Введѐм новые переменные. Обозначим выражение
= а, выражение
2) заменим данные выражения в системе , учитывая что
=6*
=в
Получим :
6а – 8 в = -2,
9а + 10в = 8.
3) Решим данную систему способом сложения ( или способом подстановки)
6а – 8 в = -2, *(-3)
9а + 10в = 8. *2
-18а + 24в = 6,
18а + 20в =16.
44в =22,
18а +20в =16.
44в = 22 , в =
18а + 20* = 16
18а =6
а=
4) Подставим найденные значения в выражения
= ,
х –у = 3,
2х = 5,
х = 2,5,
= ,
х+у=2
х + у =2
у =- 0,5.
Ответ (2,5; -0,5)
= а,
= в,и найдѐм х и у
Итоговый контроль
Решение
1 вариант
1 задание.
у2 + ху = 3,
у2 – ху = 5.
Сложим почленно уравнения системы. Получим равносильное уравнение 2у2 = 8, откуда у2 =
4, у1 = 2 , у2 = -2.
Подставим найденные значения у = 2 в первое уравнение системы, получим: 4 + 2х = 3,
2х = -1,
х =Подставим у = -2 в первое уравнение , получим 4 – 2х =3. Откуда х =
Ответ : (2;- ), (-2; )
2 задание
+ = 4,
-
= 4,
Заменим выражения =а,
Получим систему уравнений:
2а +в =4,
а – 3в = 9
Данную систему решим способом сложения
2а + в = 4,
7в = -14,
в = -2,
-2а +6в = -18
-2а + 6в = -18 а = 3.
Возвращаясь к переменным х у, получим: =3,
Ответ: (
)
Откуда х = ,
Итоговый контроль
2 вариант
1 задание.
2у2 -3х2 = 1,
2у2 +3х2 = 19.
Сложим почленно уравнения системы. Получим равносильное уравнение 4у2 = 20, откуда
у2 = 5, у1 =
, у2 =
.
Подставим найденное значение у =
в первое уравнение системы, получим: 10 – 3х2 = 1,
-3х2 = -9,
х2 =3 Откуда х1= , х2 = Подставим у = - в первое уравнение , получим 10 – 3х2 = 1. Откуда х1 =
Ответ : (
),(
),
),(
)
2 задание
+ = 4,
-
= 10,
Заменим выражения =а,
Получим систему уравнений:
а +4в =4,
в – 2а = 10.
Данную систему решим способом сложения
2а + 8в = 8,
9в = -18,
в = 2,
-2а +в = 10;
-2а + в = 10
а = -4.
Возвращаясь к переменным х у, получим: =-4,
Ответ: (
)
Откуда х = - ,
, х2 =
Проверь задания и результаты запиши в карточку-зачѐтку
фамилия
имя
№ учебного
модуля
Кол –во
баллов
За основное
зад.
Кол –во баллов
за доп. задание
Общее кол-во
баллов
Входной контроль
УЭ №1
УЭ №2
Итоговый контроль
Итоговое кол-во баллов
Оценка
Подсчитайте количество заработанных баллов, оцените свой труд
15 – 19 баллов – оценка «5»
7 – 11 баллов -
оценка «4»
4 балла
оценка «3»
-
______________________________________________________________________________
Проверь задания и результаты запиши в карточку-зачѐтку
фамилия
имя
№ учебного
модуля
Кол –во
баллов
За основное
зад.
Кол –во баллов
за доп. задание
Входной контроль
УЭ №1
УЭ №2
Итоговый контроль
Итоговое кол-во баллов
Оценка
Подсчитайте количество заработанных баллов, оцените свой труд
15 – 19 баллов – оценка «5»
7 – 11 баллов -
оценка «4»
4 балла
оценка «3»
-
Общее кол-во
баллов