МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ
Рабочая программа для подготовки магистров по специальности
511200 – Математика. Прикладная математика
специализация
511215 – Математическое и программное обеспечение вычислительных машин,
комплексов и сетей
Курс
Семестр
1
1,2
Всего аудиторных занятий, час
Лекции, час
Лабораторные работы, час
Практические занятия, час
Самостоятельная работа, час
70
35
Зачет, семестр
Экзамен, семестр
35
176
1
2
Ижевск 2007
Аннотация
Рабочая программа учебной дисциплины "Проекционно-сеточные методы
решения задач математической физики" предназначена для подготовки магистров
по направлению 511200 – "Математика. Прикладная математика", специализация
511215 – "Математическое и программное обеспечение вычислительных машин,
комплексов и сетей". Программа составлена на основе требований государственного стандарта (ГОС ВПО) и учебного плана УдГУ.
Курс предназначен для изучения проекционно-сеточных методов решения
задач математической физики, в частности метода конечных элементов, и программной реализации данных методов. Изложение дисциплины базируется на курсах: "Высшая математика", "Методы вычислений", "Уравнения математической
физики".
Цели и задачи изучения дисциплины
Цель изучения дисциплины
Целью изучения дисциплины является ознакомление с проекционносеточными методами, освоение метода конечных элементов (МКЭ) и получение
навыков программирования МКЭ и решения задач математической физики на персональных компьютерах.
Целевые установки курса
В результате изучения курса студент должен уметь:
- выбрать метод дискретизации задачи в соответствии с ее особенностями и ограничениями на реализацию;
- выбрать тип конечного элемента;
- построить на заданной сетке конечно-элементную аппроксимацию;
- выбрать метод численного интегрирования;
- выбрать метод решения системы сеточных уравнений;
- оценить погрешность конечно-элементного решения;
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лекции - 35 часов
Введение - 2 часа.
Классификация уравнений математической физики. Обзор проекционносеточных методов. Метод конечных элементов.
Вариационные принципы- 3 часа.
Вариационные принципы. Условие стационарности функционала. Конструирование естественных вариационных принципов.
Методы взвешенных невязок – 2 часа.
Метод коллокации. Метод подобластей. Метод моментов. Метод наименьших квадратов. Метод Галеркина
Приближение функций конечными элементами – 10 часов.
Локальная система координат. Естественные координаты. Конечные элементы Лагранжа и Эрмита. Иерархическая аппроксимация. Изопараметрические элементы.
Классификация конечно-элементных сеток и методы построения.
Интегрирование в методе конечных элементов - 2 часа.
Интегрирование в естественных координатах. Применение интегрирования
по формулам Гаусса.
Системы линейных сеточных уравнений -2 часа.
Объединение по узлам и элементам. Учет граничных условий Дирихле с сохранением симметрии системы.
Решение систем сеточных уравнений -6 часов.
Структура матриц жесткости. Схемы хранения глобальной матрицы жесткости. Оценки обусловленности конечно-элементных уравнений. Итерационное
уточнение. Перестановка неизвестных. Элементные итерационные схемы. Предобусловливание сеточных систем.
Оценки погрешности конечно-элементного решения -2 часа.
Априорные оценки. Апостериорные оценки. Оценки на основе невязок.
Оценки на основе восстановления производных.
Адаптивное уточнение в МКЭ – 6 часов.
Методы адаптивного уточнения. Методы уменьшение шага сетки. Движение
узлов. Деление конечных элементов. Ретриангуляция в подобласти. Повышение
степени аппроксимирующих полиномов.
Практические занятия - 35 часов
Темы занятий:
1. Сравнение методов взвешенных невязок на примере одномерной задачи.
2. Влияние переменного шага сетки и степени функции формы на погрешность
аппроксимации в одномерном случае.
3. Получение одномерной квадратичной функции формы интерполяцией.
4. Построение линий уровня на треугольном линейном конечном элементе.
5. Схемы хранения конечно-элементных матриц.
6. Зависимость коэффициентов локальной матрицы жесткости от площади и углов
в треугольном элементе.
7. Матрицы жесткости иерархических и изопараметрических элементов.
8. Задание граничных условий Дирихле при помощи множителей Лагранжа.
9. Редукция системы при учете граничных условий Дирихле.
10. Переупорядочивание неизвестных алгоритмом минимальной степени.
11. Элементная схема метода сопряженных градиентов.
12. Сглаживание градиентов на линейных конечных элементах.
13. Применение изопараметрических конечных элементов.
14. Двумерные конечные элементы в плоских и осесимметричных задачах.
15. Критерии адаптации. Области уточнения решения в многомерном случае.
Самостоятельная работа студентов - 176 часов
Текущий и итоговый контроль
Текущий контроль по дисциплине осуществляется по результатам выполнения практической и самостоятельной работы.
Итоговый контроль по дисциплине осуществляется по результатам выполнения самостоятельных работ, сдачи зачета и экзамена.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Литература
1. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация – M.: Миp, 1986.
2. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. – M.: Миp, 1977.
3. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы – М.:
Наука, 1981.
4. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. – Л.: Изд.ЛГУ, 1988.
5. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – M.: Миp, 1979.
6. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. – M.: Миp, 1981.
7. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. – М.: Мир, 1988.
8. Джордж A., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. – М.: Мир, 1984.
9. Копысов С.П., Альес М.Ю., Устюжанин С.Л. Сравнение способов уточнения в
методе конечных элементов //В сб.: Применение матем. моделирования для решения задач в науке и технике. Ижевск, 1996.
10. Круглякова Л.В., Неледова А.В., Тишкин В.Ф., Филатов А.Ю. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики (обзор) // Матем. моделирование. – 1998. – T.10. – № 3.
11. Альес М.Ю., Копысов С.П., Варнавский А.И., Новиков А.К. Построение диаграмм Вороного и триангуляции Делоне на плоскости и в пространстве. – Ижевск,
1996. (Препринт УрО РАН, Ин-т. прикл. механики).