Лаб.раб.No 21

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 21
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
Цель работы: измерение поверхностного натяжения жидкостей методом
отрыва капель при комнатной температуре.
Оборудование: капельница, исследуемые жидкости.
Теоретическое введение
Жидкость - это состояние вещества, промежуточное между газом и твердым телом. В газах все межмолекулярные связи разорваны, отдельные молекулы разлетаются и движутся независимо одна от другой. Поэтому газы могут занимать любой объем, а их плотность мала.
В твердых телах между молекулами
(атомами) действуют силы притяжения, выстраивающие их в упорядоченную структуру. Такие связи, обозначены на рис.21-1
штриховыми линиями,
а вызвавшие их силы
G
притяжения F имеют электрическую или
квантовую природу.
В жидкости большое число связей разорвано (рис.21-2). Но оставшиеся связи, поРис. 21-1
прежнему, удерживают отдельные молекулы
вместе, не позволяя им разлететься как в газах. Отдельные молекулы связаны в макромолекулы или молекулярные слои, и
объем и плотность жидкости не слишком отличаются от объема и плотности
твердого тела.
Тем не менее, разорванных
связей много, и отдельные молекулы могут легко оторваться от
одной макромолекулы и присоединиться к другой в месте пустой разорванной связи (вакансии). Это
приводит к тому, что молекулы
жидкой среды могут легко смещаться а жидкость деформироваться, т.е. менять форму при неРис. 21-2
Gизменном объеме, течь.
Заметим, что межмолекулярные силы F , действующие на молекулу А в
глубине жидкости в целом уравновешивают друг друга, а силы, действующие на
молекулу Б на поверхности жидкости, стремятся втянуть ее вглубь (рис.21-2). Это
приводит к появлению поверхностного слоя вблизи границы жидкости. Физические свойства поверхностного слоя отличаются от свойств остального объема
жидкости. Толщина поверхностного слоя не превышает размера макромолекул
~ 0,1 ÷ 1,0 мкм. Межмолекулярные силы стремятся уменьшить площадь поверхностного слоя, втянуть все молекулы из этого слоя в объем жидкости. Такое явление называется поверхностным натяжением , а результирующие всех межмолекулярных сил, т.е. силы, действующие на поверхностный слой жидкости, называются силами поверхностного натяжения.
Свободная поверхность жидкости это та поверхность, которая может деформироваться, т.е. изменять свою форму и
размер. Она существует, например, на границе жидкость - воздух. Силы поверхностного натяжения всегда направлены по
касательной к свободной поверхности
(поверхностному слою) жидкости и
стремятся сократить ее площадь.
Так как каждый кусочек свободной
поверхности жидкости, заштрихованной на
рис. 21-3, уравновешен, то результируюРис. 21-3
щие силы поверхностного натяжения
приложены к контуру, ограничивающему свободную поверхность и направлены перпендикулярно к этому контуру.
Величину этих сил можно определить с помощью коэффициента поверхностного натяжения σ , который численно равен силе поверхностного натяжения,
действующей на единицу длины контура, ограничивающего свободную поверхность (рис. 21-3):
F
σ= n.
(21-1)
A
Увеличим площадь поверхностного
слоя, оттянув участок его границы длины A на
расстояние dx (рис. 21-4). Для этого надо совершить работу против сил поверхностного
натяжения:
dA = − Fn dx = −σ Adx = −σ dS ,
(21-2)
где dS = A dx -изменение площади поверхности. Заметим, что если таким образом растягивать тонкую пленку на рамке, то величина
работы (21-2) удваивается, т.к. у пленки поРис. 21-4
верхность существует с двух сторон.
Все фазовые переходы, включая рост одной фазы и уменьшение другой,
в том числе образование и рост поверхности раздела фаз или поверхностного
слоя происходят при неизменной температуре Т, т.е. изотермически. Поэтому
приходим к другому определению коэффициента поверхностного натяжения σ это работа, которую надо совершить при неизменной температуре для увеличения
площади поверхности на единицу:
σ=
dA
dS
.
(21-3)
T
Эта работа идет на изменение потенциальной энергии. Действительно, из
рис. 21-2 видно, что при растягивании поверхностного слоя надо добавить в него
молекулы
А из глубины жидкости, совершая работу против межмолекулярных
K
сил F . Молекулы в поверхностном слое обладают большей энергией, чем
молекулы в объеме жидкости.
Но при растягивании поверхности происходит не только изменение потенциальной энергии. Вспомним, что множество молекул жидкости образуют термодинамическую систему, обладающую внутренней энергией U. Исходя из I начала
термодинамики
δ Q = TdS = dU + δ A ,
где dS -энтропия, а δ A - работа, совершаемая над системой:
δ A = −dU + TdS = d (U − TS ) − SdT .
При изотермическом процессе работа системы равна изменению функции
F, введенной Гельмгольцем в 1882 году и называемой свободной энергией термодинамической системы:
F =U−TS
(21-4)
Так как δ A T = −dF , то именно свободную энергию можно сопоставить с
потенциальной энергией. Для работы совершаемой над системой внешними силами имеем
δ A T = dF
(21-5)
Иначе говоря, при изотермическом процессе невозможно превратить всю
внутреннюю энергию системы в работу. Та ее часть, которую можно превратить в
механическую работу называется свободной энергией, оставшаяся часть Q = TS
называется связанной энергией.
Поверхностный слой обладает дополнительной внутренней энергией по
сравнению с остальными молекулами жидкости. Эта энергия называется поверхностной энергией U n . Она также в соответствии с формулой (14-5) на свободную
энергию поверхности Fn и ее связанную энергию Qn :
U n = Fn + Q n .
(21-6)
Согласно формулам (21-3) и (21-5), где S - площадь поверхности,
(21-7)
Fn = σ S .
т.е. коэффициент поверхностного натяжения σ равен свободной энергии единицы площади поверхностного слоя жидкости.
Заметим, что способная превращаться в механическую работу свободная
энергия Fn будет потенциальной энергией поверхностного слоя. Связанная
энергия поверхности Qn является скрытой теплотой образования поверхности.
При увеличении или уменьшении площади поверхности энергия Qn выделяется
или поглощается в виде теплоты.
Свободный поверхностный слой возникает на границе раздела любых фаз:
жидкость-газ, жидкость-жидкость, жидкость-твердое тело и т.п. Его форма опре-
деляется условием равновесия всех сил, включая силы поверхностного натяжения. Так на краю трубки или капилляра, наполненного жидкостью с плотностью
ρ , появляется капля с поверхностью довольно сложной формы (рис.21-5). Пусть
радиус трубки равен r, а высота жидкости в ней равна h.
Свободная поверхность капли ограничена
контуром длины A = 2π r - это окружность, проходящая по линии раздела трех сред: жидкостьвоздух-твердое тело (стенки трубки). Силы поверхностного натяжения направлены перпендикулярно к этой окружности, по касательной к поверхности капли и стремятся уменьшить ее площадь, т.е. направлены вверх (рис. 21-5). В общем
случае угол θ между поверхностью капли и
стенками трубки не равен нулю. Этот угол называется краевым.
Выделим верхнюю поверхность капли с
объемом V и массой m = ρV ( заштрихованное на
Рис. 21-5
рис. 21-5 сечение площадью S = πr 2 ). Если давление атмосферы равно p0 , то сверху на эту поверхность действует давление
p = p0 + ρ gh (учитываем гидростатическое давление жидкости в трубке, но пренебрегаем капиллярными явлениями в ее верхней части). Снизу на каплю действует только давление воздуха p0 . Независимо от формы замкнутой поверхности
одинаковое давление p0 со всех сторон компенсируется и нескомпенсированной
остается сила гидростатического давления Fдавл = ρ gh ⋅ πr 2 .
Краевой
найти из условия равновесия всех сил, действующих
G угол
G θ можно
G
на каплю: Fдавл + Fn + mg = 0 . В соответствии с формулой (14-1) получим
V
ρg 
ρ gh ⋅ πr 2 − σ ⋅ 2πr cosθ + ρVg = 0 , откуда cosθ =
 hr +  . (21-8)
r
2σ 
Если высота столба воды h и радиус трубки r малы, то капля висит на конце
трубки, не падая. Но если увеличивать r и h, то краевой угол θ стремится к нулю,
а затем, когда правая часть формулы (21-8) станет больше 1, условие равновесия
(21-8) нарушится, и капля двинется вниз. Это еще не означает отрыв капли. Любой физический параметр не может измениться мгновенно, скачком. Поэтому
давление внутри капли, в месте отрыва, должно
сравняться с атмосферным давлением p0 .
Происходит это следующим образом. Произвольно изогнутая двумерная поверхность жидкости характеризуется двумя главными радиусами кривизны R1
и R2 (рис. 21-6). Под этой поверхностью давление
внутри жидкости возрастает на величину
 1
1 
 .
∆p = σ  +
(21-9)
Рис. 21-6
 R1 R2 
Это - формула Лапласа. Такое дополнительное лапласовское давление
внутри капли уравновешивало большое гидростатическое давление сверху от заштрихованного на рис. 21-5 сечения: ∆p = ρgh .
Чтобы величина ∆p уменьшилась до нуля и давление внутри капли стало
равным p0 , один из главных радиусов кривизны в формуле (21-9) должен стать
отрицательным, что и происходит в шейке капли в момент отрыва (рис. 21-7).
Капля медленно растет. Её центр
масс С смещается вниз, и потенциальная
энергия mghC жидкости уменьшается. Но
одновременно увеличивается площадь
поверхности капли и её свободная энергия (21-8). Суммарная потенциальная
энергия остается минимальной:
U = Fn + mqhC = min . (21-10)
Именно это условие определяет рост и
форму капли.
В момент её отрыва, который происходит в шейке капли (рис. 21-7), сила
поверхностного натяжения, приложенная
Рис. 21-7
к контуру, охватывающему шейку, уравновешена силой тяжести:
Fn = mg или σ ⋅ 2πR = ρVg ,
где R - радиус шейки, V - объём капли, находящейся ниже шейки. Отсюда находим:
ρVg
σ=
.
(21-11)
2π R
При малейшем увеличении объема V капли шейка рвется, капля летит вниз, а на
краю трубки начинает образовываться новая капля.
Измерить радиус R шейки капли очень сложно (например, фотографируя
каплю в момент отрыва). Поэтому в данной работе применяется сравнительный
способ использования формулы (21-11).
При одинаковом радиусе r трубки геометрические размеры главных радиусов кривизны R и R′ = − R на рис. 21-7 будут одинаковы для капель любой жидкости. Т.е. можно считать радиус шейки R капли в момент отрыва практически одинаковым для капель любой жидкости. Тогда, используя эталонную жидкость (например, дистиллированную воду) с известным коэффициентом поверхностного
натяжения σ 0 и плотностью ρ 0 , можно записать
ρVg
(21-12)
σ0 = 0 0 .
2π R
Если из трубки вытекают в виде капель одинаковые объемы эталонной и
исследуемой жидкости, то
NV = N 0V0 ,
(21-13)
где, соответственно, V0 и V - объемы капель, N 0 и N - подсчитываемое число капель этих жидкостей. Взяв отношение формул (21-11) и (21-12) и используя связь
(21-13), получим:
ρ N0
ρV
ρ N0
σ
=
=
, откуда σ = σ 0
.
(21-14)
ρ0 N
σ 0 ρ 0V0 ρ 0 N
Заметим, что поверхностное натяжение σ жидкостей сильно уменьшается с
ростом температуры Т. Поэтому сравнивать истечение жидкостей и измерять величину σ надо при постоянной (комнатной) температуре.
Кроме того, на вытекание капель может повлиять вязкость жидкостей. Поэтому используемый метод можно применять только при сравнении жидкостей с
приблизительно одинаковой и малой вязкостью. Для жидкости с большой вязкостью скорость образования капель ограничена количеством жидкости, протекающей через поперечное сечение узкой трубки за единицу времени. Оно выражается
по формуле Пуазейля.
Лабораторная установка представляет собой укрепленную на вертикальном
штативе капельницу. Капельница - это стеклянная трубка с узким нижним концом. Перед узкой частью трубки имеется кран, которым регулируется истечение
жидкости из капельницы. На трубке нанесены деления, позволяющие определять
объем протекающей жидкости.
Контрольные вопросы
1. Чем жидкость отличается от газа и от твердого тела? Почему жидкость течет
так же легко как газ, а плотность ее близка к плотности твердого состояния?
2. Чем отличаются молекулы из поверхностного слоя от молекул из объема жидкости? Чем определяется толщина поверхностного слоя? Существует ли поверхностный слой у идеального газа? у твердой среды?
3. По какой причине возникает явление поверхностного натяжения? Как возникают силы поверхностного натяжения? К чему они приложены и как направлены?
4. Что такое свободная поверхность жидкости и контур, ограничивающий свободную поверхность? Покажите их для воды, налитой в стакан.
5.
Дайте
два
определения
коэффициента
поверхностного натяжения (через силу и через
работу или энергию). Тонкая пленка с
коэффициентом σ натянута на прямоугольную
рамку со сторонами a и b. Какую работу надо
совершить, чтобы растянуть пленку, увеличив
его ширину на х (рис. 21-8)?
6.
Что такое внутренняя, свободная и связанная
Рис. 21-8
энергия термодинамической системы? В каком
случае работа равна изменению внутренней энергии? Почему в данной работе мы
интересуемся именно изотермическими процессами? Докажите из I начала термодинамики, что работа равна изменению свободной энергии и в нашем случае. Что
такое энтропия системы?
7. Будет ли поверхностная энергия U n полной внутренней энергией всех молекул
из поверхностного слоя? Чем она отличается от внутренней энергии молекул
из объема жидкости? Почему связанная энергия поверхности называется скрытой теплотой? Когда выделяется и когда поглощается эта теплота? Может ли
скрытая теплота выделяться при растягивании жидкой пленки?
8. В каких случаях капля не отрывается от трубки, заполненной жидкостью? Что
называется краевым углом? Как его определить (выведите формулу (21-8)?
9. Что будет происходить с краевым углом и с формой висящей капли (см. рис.
21-5) при увеличении или уменьшении h жидкости? радиуса трубки r? Коэффициента поверхностного натяжения σ ?
10. Что описывает формула Лапласа? Что такое главные радиусы кривизны поверхности? Чему они равны для капли на рис. 21-5? Можно ли внутри этой капли Лапласовское давление вычислять по формуле ∆p = 2σ r , где r - радиус
трубки? Если нет, то почему?
11. Какое условие определяет рост капли? Почему она не отрывается и не летит
вниз, как и все другие тела, стремящиеся уменьшить потенциальную энергию
mgh ?
12. Как стремятся изменить поверхность капли силы поверхностного натяжения?
Какую форму примет капля, висящая в невесомости, и почему?
13. Каково условие отрыва капли? В каком месте она отрывается? Объясните её
сложную форму (рис. 21-7). Получите формулу (21-11).
14. Как изменится формула (21-8) для определения краевого угла θ ,. Если учесть
капиллярные явления (искривление поверхности жидкости) в верхней части
трубки? Пусть жидкость смачивает (не смачивает) стенки трубки.
15. Используя равенство Лапласовского и гидростатического давления, свяжите
длину капли A и радиус её поверхности в нижней точке (рис. 21-7).
16. Объясните метод определения σ данной работе и выведите формулу (21-14).
17. Что происходит со скоростью падения капель из трубки при нагревании жидкости и почему?
Порядок выполнения работы
2.
3.
4.
5.
1. Промытую капельницу закрепите вертикально в штативе и залейте в нее определенный объем дистиллированной воды.
Открыв кран, подсчитайте число капель, получившихся при изменении уровня
жидкости в капельнице на одно большое деление. Опыт проведите 5 раз.
Залейте в капельницу такой же объем исследуемой жидкости и повторите пп. 2.
Вычислите поверхностное натяжение исследуемой жидкости по формуле (21-14).
Определить погрешность измерения σ .
Литература
1. И.В. Савельев Курс общей физики, 3-е изд., 1986, т. I, § 115, 116, 119.
2. Ю.Н. Колмаков, Ю.А. Пекар, Л.С. Лежнева Термодинамика и молекулярная
физика, Тула, 1999, гл. 7, § 5.