×èñëåííîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé  çàäà÷àõ ìåõàíèêè ÷àñòî âîçíèêàþò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, êîòîðûå íåëüçÿ ðåøèòü àíàëèòè÷åñêè, ò. å. ïîëó÷èòü ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ ðåøåíèÿ, ïóñòü äàæå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèìâîëà èíòåãðàëà. Òàêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ðåøèòü òîëüêî ÷èñëåííî, ò. å. ïðèáëèæåííî ïðè ïîìîùè îïðåäåëåííûõ âû÷èñëåíèé. Çäåñü áóäåò îïèñàí îäèí èç ñàìûõ ïîïóëÿðíûõ ìåòîäîâ äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì ïåðâîãî ïîðÿäêà. Âîîáùå ãîâîðÿ, â ìåõàíèêå îáû÷íî âñòðå÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ è ñèñòåìû óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà (óñêîðåíèå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîëîæåíèå è ñêîðîñòü), ïîýòîìó ïåðåä ïðèìåíåíèåì ýòîãî ìåòîäà èõ íóæíî ïðåîáðàçîâàòü ê ñèñòåìàì óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, ââåäÿ äîïîëíèòåëüíûå ïåðåìåííûå, îáîçíà÷àþùèå ïåðâûå ïðîèçâîäíûå êîîðäèíàò. Äàííûé ìåòîä (ìåòîä Ðóíãå-Êóòòû 4 ïîðÿäêà), êàê è áîëüøîå êîëè÷åñòâî äðóãèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèé è ñèñòåì ïåðâîãî ïîðÿäêà, èìååò äåëî ñ çàäà÷àìè Êîøè (çàäàíî íà÷àëüíîå çíà÷åíèå èñêîìîé ôóíêöèè) âèäà: dy = F (x, y), y(x0 ) = y0 . dx Çäåñü ìû íå áóäåì äåëàòü íèêàêîãî ðàçëè÷èÿ ìåæäó óðàâíåíèÿìè è ñèñòåìàìè óðàâíåíèé, ïðîñòî â ñëó÷àå óðàâíåíèÿ y(x) áóäåò îáîçíà÷àòü ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ, à â ñëó÷àå ñèñòåì âåêòîð-ôóíêöèþ èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëà êîìïîíåíò. Ìåòîä ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì âû÷èñëåíèè ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé yi äëÿ èñêîìûõ âåëè÷èí y(xi ), ãäå xi ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, â êîòîðûõ íàì íóæíî ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå (áîëåå ñëîæíûå âàðèàíòû ìû ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì) xi àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñ ðàçíîñòüþ h (ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ øàãîì ñåòêè, à ñàìè xi åå óçëàìè). Ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû äëÿ äàííîãî ìåòîäà âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ãäå 1 yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ), 6 k1 = hF (xn , yn ), h 1 k2 = hF (xn + , yn + k1 ), 2 2 h 1 k3 = hF (xn + , yn + k2 ), 2 2 k4 = hF (xn + h, yn + k3 ). (1) (2) (3) (4) Îöåíêà ïîãðåøíîñòè äàííîãî ìåòîäà äîâîëüíî òðóäíîå äåëî, îäíàêî èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà äëÿ ãëàâíîãî ÷ëåíà àñèìïòîòèêè ïîãðåøíîñòè 1 íà î÷åðåäíîì øàãå, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïðåäûäóùèå øàãè âû÷èñëåíû òî÷íî: 1 y(xn+1 ) − yn+1 ≈ 31 ∗ (yn+1 − yn+1 ), ∗ ãäå yn+1 ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå èñêîìîé ôóíêöèè, ïîëó÷åííîå ïî yn−1 è xn−1 ñ øàãîì 2h. 2