13. Примеры применения уравнений механики жидкости и газа

13. Примеры применения уравнений механики жидкости и газа
13.1. Элементы гидростатики
Пример № 1. В жидкости находится прямоугольная
призма, размеры которой показаны на рисунке. Найдите
сумму сил, действующих на переднюю и нижнюю грани
призмы, если давление жидкости равно 2⋅105 Па. Чему равна
сумма сил, действующих на призму?
1. Ввиду незначительных размеров призмы по сравнению
с предполагаемой глубиной погружения (Р = ρgh = 2⋅105Па)
давление принимается постоянным по высоте призмы, т.е.
F1 = p ⋅ a 2 , F2 = p ⋅ a 2 ,
(1)
модуль равнодействующей этих, перпендикулярных сил определится теоремой Пифагора
r r
F1 + F2 = F12 + F22 = pa 2 2 = 2000 2 Па .
(2)
2. В соответствии с законом Блеза Паскаля давление на
элементарную площадку, находящуюся в жидкости не зависит от её ориентации. Применительно к призме, это означает,
что сумма сил, действующих на грани должна быть равной
нулю. Действительно, призма ведь неподвижна, поэтому
r r r
F1 + F2 + F3 = 0,
r
F12 + F22 = F3 .
(3)
Пример № 2. Результирующая сила, действующая со стороны сжатой жидкости на три грани правильного тетраэдра, равна F = 1⋅107 Н. Длина ребра тетраэдра x = 1 м. Определите давление жидкости.
1. Правильный тетраэдр представляет собой пространственную фигуру, составленную из четырёх правильных, т.е.
равносторонних треугольников. Полная площадь правильного
тетраэдра определяется как
(1)
sΣ = x 2 3 ,
площадь одной грани равна
s=
x2 3
.
4
(2)
2. Давление в жидкости с учётом уравнения (2) запишется
следующим образом
p=
F
4F
= 2
≅5,77⋅107Н.
s x 3
(3)
Пример № 3. В трубе находится поршень, продольное сечение которого показано на рисунке. Давление жидкости с
обеих сторон поршня одинаково. Находится ли поршень в
равновесии?
298
1. Давление в трубе одинаково, а площади поверхностей поршня, соприкасающихся с водой разные, тогда из
уравнения p = F/s, как бы следует, что поршень должен
двигаться. Однако это не так. Проанализируем уравнение
второго закона Ньютона
r e d (mvr )
F
.
∑
i =
dt
i =1
i=n
(1)
2. Поршень, расположенный в трубе, обладает одной степенью свободы, поэтому достаточно проанализировать только проекцию уравнения (1) на ось x
Fx1 − Fx 2 = d(mv x ) dt ,
(2)
векторы сил в данном случае перпендикулярны соответствующим поверхностям поршня, поэтому
F1 cos α − F2 = 0, ⇒
re
F
∑ k =0.
n
(3)
1
Пример № 4. Шар перекрывает отверстие радиуса r в плоской стенке, разделяющей жидкости, давление которых ЗР и Р.
С какой силой прижимается шар к отверстию?
1. Сила, действующая со стороны жидкости на шар, будет
определяться площадью поверхности раздела и разностью давлений по обе стороны пластины, т.е.
F = (3p − p )s , F = 2p ⋅ πr 2 .
Пример № 5. Коническая пробка перекрывает сразу
два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью
при давлении Р. Радиус отверстий r и R. Определите силу
F, действующую на пробку со стороны жидкости.
1. Изобразим часть пробки, находящуюся в жидкости,
которая будет представлять собой усечённый конус, и покажем действующие силы. Результирующая сила F0 будет
перпендикулярна основаниям усечённого конуса и пропорциональна разности площадей этих оснований
F0 = (s1 − s 2 )p = πR 2 − πr 2 = πp R 2 − r 2 .
(
)
(
)
Пример № 6. Сферический баллон радиуса R со стенками толщины d разрывается избыточным внутренним давлением Р. Определите
предел прочности материала стенок.
1. Предел прочности материала стенок можно определить как некоторую критическую величину напряжений, возникающих в материале
σ = dFn ds ,
(1)
где Fn – проекция действующей силы на внешнюю нормаль. В виду
сферической симметрии задачи, уравнение (1) можно переписать в
виде
σ = F Δs .
2. Сила, обусловленная внутренним давлением, определится в виде произведения
299
(2)
F = p ⋅ s1 = p ⋅ π(R − d ) .
2
(3)
3. Величина же Δs в виде разности внешней и внутренней поверхности сосуда
2
Δs = s 2 − s1 = π R 2 − (R − d ) .
4. При подстановке уравнений (3) и (4) в уравнение (2), окончательно получаем
[
]
p(R − d )
.
σ= 2
2
R − (R − d )
(4)
2
(5)
Пример № 7. Почему сосиски и сардельки, изготовленные из натуральных продуктов, при помещении их в кипяток лопаются преимущественно
вдоль, а не поперек?
1. Представим сосиску в виде герметичной цилиндрической оболочки с
двумя полусферическими оконечностями. Пусть толщина стенок, а следовательно и их прочность по свей площади сосиски одинакова.
2. Разрушение оболочки происходит вследствие повышения давления p
внутри оболочки. Рассмотрим цилиндрическую часть сосиски. Цилиндр
можно представить как прямоугольник АВСD с площадью s1 = L⋅2R. Сила,
отнесённая к единице длины цилиндрической части сосиски определится
как
⎛ 2RL ⎞
f1 = ⎜
⎟ ⋅ p = pR , [ Н/м] .
⎝ 2L ⎠
(1)
3. Определим аналогичную силу, действующую на единичную длину
полусфер
(2)
f 2 = πR 2 2πR ⋅ p = Rp 2 = f1 2 .
(
)
4. Таким образом за концы сосиски можно не переживать, для их разрыва нужна в два раза большая сила, чем
для цилиндрической части.
5. Рассмотрим далее два элементарных слоя цилиндрической поверхности сосиски шириной Δx при L ≅ 10
cм и R ≅ 0,7 см . Один слой расположен вдоль образующей цилиндра, а второй по круговому периметру. Длина
окружности при выбранных размерах составляет
l = 2πR = 4,76см , в то время как L = 10 см. Другими
словами, сила, отнесённая к единице длины вдоль сосиски, будет в 2.1 раза меньше, чем сила в поперечном сечении, потому и лопнет вдоль, а не поперёк.
Пример № 8. Три сообщающихся сосуда с водой прикрыты поршнями. К поршням шарнирно прикреплена на вертикальных стержнях легкая горизонтальная перекладина. В каком месте
нужно приложить к палке силу F, чтобы она осталась горизонтальной? Диаметры сосудов и
расстояния между ними указаны на рисунке.
1. Гидростатическое состояние сосудов (отсутствие движения жидкости) предполагает равенство давлений во всех точках рассматриваемого замкнутого объёма жидкости.
2. Силы (Реакции связи), действующие на перекладину со стороны жидкости, будут не
одинаковы по причине разности площадей поршней. Если систему предоставить самой себе, то
уровень жидкости в сосудах будет не одинаковым, в сосуде с диаметром d1 он будет самым высоким, а в сосуде с диаметром d3 – самым низким. При попытке расположить рейку горизонr r r
тально возникнут три реакции связи F1 , F2 , F3 .
{
}
300
3. Если шарнирные соединения заменить реакциями связей, то рейку можно рассматривать свободной.
Точка приложения силы определяется уравнениями
равновесия, которых, в данном случае, в виду параллельности всех сил достаточно всего двух:
i=4
∑ Fiy = 0,
i =1
i =4
∑ M (F ) = 0 ,
C
i =1
(1)
i
сумму моментов инерции целесообразно составлять
относительно точки приложения одной из сил, исключая F, разумеется, её плечо надо искать.
(2)
F = F1 + F2 + F3 = ( πp 4) d12 + d 22 + d 32 ,
(
)
− F1a + Fx + F3a = 0,
(3)
4. Подставляя в уравнение (3) значение F из уравнения (2) и F1 и F3 из уравнения (1), получим
x=
a (F1 − F3 )
d2 − d2
= 2 1 2 3 2 a.
F
d1 + d 2 + d 3
(4)
Значение x будет отрицательным, т.к. d3 > d1, т.е. значение x необходимо откладывать влево от моментной точки С.
Пример № 9. Гидравлический пресс, заполненный водой,
имеет поршни, сечение которых 1м2 и 50 см2. На больший
поршень встает женщина массы 80 кг. На какую высоту поднимется после этого малый поршень?
1. В гидравлическом прессе давление во всех точках жидкости одинаково, т.е.
p=
mg F2
mg ⋅ s1
.
= , ⇒ F2 =
s1
s2
s2
(1)
2. Естественно предположить, что сила F2, действующая на
малый поршень приведёт к подъёму уровня воды. Модуль F2
будет равен весу столба воды высоты h, т.е.
ρgs 2 h = F2 ,
h=
F2
ms
= 21 ≅ 16 м.
ρgs 2 ρs 2
Приме № 10. Куб, ребро которого 20 см, находится в
воде. Нижняя грань куба удалена от поверхности воды на
расстояние 1 м. Чему равна сила, действующая со стороны воды на нижнюю грань куба? Верхнюю грань? Какая
сила действует на боковую грань куба? Найдите векторную сумму сил, действующих со стороны воды на тело.
Атмосферное давление 105 Па.
1. Сила F1, действующая на нижнюю грань куба, будет
обусловлена атмосферным давлением p0 и гидростатическим давлением столба воды высоты h, т.е.
(1)
F1 = (ρgh + p 0 )a 2 ≅ 4400 H .
2. Сила F2, действующая на верхнюю грань
F2 = [ρg (h − a ) + p 0 ]a 2 ≅ 4320 H .
301
(2)
3. Силы F3 и F4, действующие на боковые грани, будут одинаковы по модулю и противоположны по направлению. Следует отметить, что высота столба жидкости для боковых граней
меняется от (h-a) до h, поэтому
r
r
F3 = F4 = [ρg (h − 0,5a ) + p 0 ]⋅ a 2 ≅ 4360H .
(3)
4. Векторная сумма сил, действующих на все грани куба определится вычитанием модулей
сил F1 и F2, силы приложенные к вертикальным граням в сумме дают ноль
r
FΣ = F1 − F2 ≅ 80H .
(4)
Пример № 11. Нижняя грань правильного тетраэдра с
ребром а, полностью погруженного в жидкость плотности ρ,
находится на глубине h. Определите силу, действующую со
стороны жидкости на боковую грань тетраэдра, если атмосферное давление равно p0.
1. Запишем уравнения для площади одной грани правильного тетраэдра
a2 3
s=
,
4
(1)
и для высоты
H=a 2 3.
(2)
2. Центр тяжести тетраэдра, точка, где будет приложена сила гидростатического давления,
располагается на расстоянии L от основания, причём,
1
L= H=a 2 3 3.
3
(3)
3. Расстояние от поверхности жидкости до точки приложения силы, вызванной гидростатическим давлением, определится как
(4)
h0 = h − L = h − a 2 3 3 .
4. Грань тетраэдра, помещённого в воду, находится под действием атмосферного и гидростатического давления, поэтому
⎛ 3 3h − 2a ⎞
⎟ + p 0s ,
F = p г s + p 0s = ρgs⎜⎜
⎟
3
⎝
⎠
F=
(
)
1
3p 0 a 2
ρga 2 3 3h − 2a +
.
12
4
(5)
Пример № 12. Бетонная плотина толщиной а = 40 м, протяжённостью L = 1 км и высотой H
= 250 м перегораживает прямоугольный канал с водой глубиной h = 200 м. Определите результирующий момент, действующий на плотину относительно оси, проходящей через основание,
параллельно зеркалу воды. Плотность бетона ρ = 2,5⋅103 кг/м3, плотность воды ρ0 = 1⋅103 кг/м3.
1. Определим вес плотины
mg = ρLaH ≅ 2,5⋅1010 Н .
2. Определим момент силы тяжести плотины относительно оси z
r
M z (mg ) = (a 2) ⋅ mg = 5⋅1011 Н⋅м.
3. Найдём модуль силы, обусловленной гидростатическим давлением
(1)
(2)
h
ρ0 gLh 2
≅ 2⋅1011 Н.
F = ∫ ρ0 gLhdh =
2
0
302
(3)
4. В данном случае на плотину действует распределённая нагрузка треугольного характера. На поверхности воды величина силы гидростатического давления имеет нулевое значение Fmin = 0, а у подошвы плотины максимальное Fmax = ρghs, где s – площадь поверхности плотины,
контактирующей с водой. Точка приложения равнодействующей распределённой нагрузки совпадает с центром
масс треугольника, построенного на элементарных сосредоточенных силах. Её можно определить, суммируя моменты элементарных сосредоточенных сил
F ⋅ y F = lim
n
∑
i =1
Δy →0
n →∞
h
h
Fmax
Δh = ∫ ρgLh 2 dh ,
h
0
(4)
2
ρ0 gLh 2
ρ gLh 3
, ⇒ yF = h .
yF = 0
2
3
3
(5)
5. Таким образом, равнодействующая силы гидростатического давления будет приложена
на расстоянии h/3 от оси z, т.е. момент этой силы определится как
r
(6)
M z F = − F ⋅ (h 3) ≅ 1,3⋅1013 Н⋅м .
6. Суммарный момент сил, приложенных к плотине
r
r
(7)
M z = M z (mg ) − M z F ≅ -1,25⋅1013 Н⋅м,
другими словами, на платину действует опрокидывающий момент значительной величины.
Для повышения прочности больших плотин их строят расширяющимися к низу, в соответствии
с гидростатической нагрузкой.
()
()
Пример № 13. Опытные водители перед ездой по мокрому песку снижают давление в шинах автомобиля. Оцените эффективность такого действия для автомобиля массой m = 2 т с начальным давлением в шинах p = 2 атм, при снижении давления вдвое.
1. Снижение давления в шинах приводит к увеличению площади соприкосновения их с поверхностью.
Колёса при этом оказывают меньшее давление на
грунт, что особенно важно при передвижении по песчаной и болотистой местности.
2. Эффективность способа понижения давления в
шинах, можно оценить путём сравнения площади колёс. В первом случае, при нормальном давлении:
p1 ⋅ 4s1 = mg , s1 = mg 4p1 ≅ 0,025 м2.
(1)
3. При уменьшении давления в шинах вдвое
площадь соприкосновения, судя по уравнению (1) тоже увеличится в два раза, s2 ≅ 0,05 м2. Другими словами: s2/s1 =2.
Пример № 14. При однократном сокращении сердце человека выталкивает в систему кровообращения примерно V = 700 см3 крови при средней величине давления 105 мм рт. ст. Определите мощность сердечной мышцы в обычном состоянии и после длительных физических нагрузок, например, после десятикилометрового кросса.
1. Исходя из определения элементарной работы δA, получим уравнение для мощности N,
выраженной через давление и объём
r r
dF δA
δA = Fd r , p = n ,
= dp ⋅ ds ,
ds
dr
δA
δA = dp ⋅ dV , δN =
= dp ⋅ dV ⋅ ν ,
dt
303
(1)
где ν - частота сердечных сокращений. Уравнение (1) для осреднённых величин можно представить в виде
N = pVν .
(2)
–1
2. Если в спокойном состоянии принять ч.с.с. ν0 ≅ 1 с , то
N 0 = pVν 0 ≅ 1,4⋅104⋅7⋅10 –4 ⋅1 ≅ 9,8 Вт.
(3)
3. При длительных физических нагрузках частота сердечных сокращений увеличивается.
Предположим, что она увеличилась до ν1 ≅ 3 с –1 , мощность, развиваемая сердечной мышцей,
станет равной N2 ≅ 29,4 Вт.
Пример № 15. Блез Паскаль для доказательства справедливости своего
закона при стечении любопытствующих экспериментировал с заполненным доверху винным бочонком диаметром D ≅ 50 см и высотой H ≅ 1 м. В
верхнее дно бочки он вставлял трубку длинной L = 4 м и внутренним диаметром d ≅ 11,2 мм. При вливании в трубку около 0,5 л воды, добротный
дубовый бочонок буквально разлетался на куски. Объясните, почему? Подтвердите свою версию оценочным расчетом.
1. Определим высоту столба воды объёмом VВ = 0,5 л в трубке диаметром d = 5,6⋅10 –3 м
h=
VB
4 ⋅ 5 ⋅10 −4
=
s T 3,14 ⋅ 1,120 − 2
(
)
2
≅ 5м.
(1)
2. Гидростатическое давление, соответствующее этому столбу воды
равно
p G = ρgh ≅ 5⋅105 Па.
(2)
3. Найдём далее внутреннюю поверхность винного бочонка, считая его
цилиндром
s полн = 2πR (R + H ) ≅ 2 м2.
(3)
4. Сила, действующая на внутренние поверхности бочонка, будет порядка
F = p G s ≅ 1⋅106 Н,
(4)
полученный результат делает совершенно объяснимым факт разрушения бочки от заливания в
длинную трубку всего 0,5 л обычной воды, хоть и средневековой.
Пример № 16. Атмосферное давление на Венере составляет р0 ≅ 107 Па, радиус планеты R ≅
6200 км, средняя плотность − <ρ> ≅ 4,95 г/см3. Рационально ли использовать там ртутный барометр?
1. Прежде всего найдём массу Венеры
4
M = ρV = ρ πR 3 ≅ 4,7⋅10 24 кг.
3
(1)
2. Ускорение свободного падения на планете будет равно
g B = GM R 2 =
G 4ρπR 3
= 1,33GπρR ≅ 8,7 м/с2.
3R 2
3. Показания ртутного барометра на поверхности Венеры составят
h рт .ст = p 0 ρ Hg g B ≅ 84,5 м,
(2)
(3)
другими словами, измерение венерианского давления старым добрым методом невозможно по
вполне понятным чисто техническим причинам.
304
Пример № 17. До какой высоты h необходимо налить жидкость в сосуд в форме куба со
стороной a = 1 м, чтобы сила давления жидкости на дно была равна силе давления на все его
боковые стенки?
1. Гидростатическое давление, как известно, зависит от высоты столба жидкости. Суммарное давление на боковые стенки при высоте слоя жидкости h запишется следующим образом
(см. пример 12)
h
F1− 4 = 4∫ ρgahdh = 2ρgh 2 .
(1)
0
2. Сила, обусловленная давлением на квадратное дно сосуда равна
F0 = ρga 2 h .
3. Приравнивая уравнения (1) и (2), получим
h = a 2 = 0,5м .
(2)
(3)
Пример № 18. Поверхность газонаполненного пузырька при его
всплывании со дна водоёма увеличился в n = 3 раза. Определите, с какой
глубины всплывал пузырёк. Температура воды при всплытии постоянна.
1. Предположим, что давление в точке начала путешествия пузырька
вверх равно p0, тогда на поверхности жидкости давление составит
p = p0 − ρgh.
2. Полагая, что диффузией газа из жидкости можно пренебречь, условие равновесия газовой полости в конечной и начальной точках запишется как
p 0 4πR 2 = (p 0 − ρgh )4nπR 2 ,
откуда глубина всплытия определится как
h=
p 0 (n − 1)
≅ 20м.
ρg
Пример № 19. Из сосуда откачали некоторое количество воздуха и закрыли его пробкой.
Затем сосуд опустили в воду горлышком вниз на глубину h = 1м и пробку вынули. Сосуд на α =
0,9 своего объёма заполнился водой. Определите давление в сосуде p после откачивания воздуха.
1. После погружения сосуда в воду и открытия пробки в нём восстановится давление
p1 = p 0 + ρgh .
(1)
2 Взаимосвязь внешнего давления и объёма воздуха в сосуде можно установить, записав два
уравнения состояния газа, полагая его идеальным
(p 0 + ρgh )(1 − α )V = νRT; , p x V = νRT ,
(2)
откуда
p x = (p 0 + ρgh )(1 − α ) ≅ 1,1 103 Па.
(3)
Пример № 20. Определите скорость истечения воды из малого отверстия в дне широкого
сосуда, сообщающегося с атмосферой, если в него налита вода слоем толщиной H = 1 м, а сверху поместили слой масла такой же толщины h с плотностью ρ2 = 0,8 г/см3 .
1. Выделим элементарный слой воды толщиной dy, вытекающий из отверстия с постоянной
скоростью v. Кинетическая энергия этого слоя равна
305
dK =
dmv 2 ρ Bsdyv 2
=
,
2
2
(1)
где ρВ – плотность воды, s – площадь дна сосуда.
2. Изменение кинетической энергии воды происходит за
счёт уменьшения потенциальной энергии воды, уровень которой опускается на dy, а масса её в сосуде уменьшается на dm.
Количество масла не уменьшается, но потенциальная энергия
его тоже уменьшается за счёт опускания уровня.
3 Закон сохранения энергии в данном случае можно записать следующим образом
dK = dUВ +dUМ,
ρ Bgsdyv 2
= ρ B gsdyh + ρ M gsdyh ,
2
откуда
v = 2gh (1 + ρ M ρ B ) ≅ 6 м/с.
(2)
(3)
Пример № 21. Два сообщающихся
сосуда с площадью сечения s1 = 100 см2
и s2 = 200 см2 заполнены водой и закрыты невесомыми поршнями. Когда система находилась в равновесии на большой поршень поместили сахарницу массой m = 1кг после чего поршни заняли
новое положение. Определите, какое
количество тепла выделилось при переходе в новое положение равновесия.
1. Очевидно, что при переходе системы из одного равновесного состояния в другое будет изменяться потенциальная энергия.
Принимая за нулевой уровень дно сосудов, потенциальную энергию начального состояния системы. Когда поршни находятся на одинаковой высоте от дна h
U1 = ρghs1
h
h
+ ρghs 2 + mgh .
2
2
(1)
2. После установки на больший поршень сахарницы система придёт в движение и через короткое время установится новое положение равновесия, при этом поршни будут находиться на
разных высотах h1 и h2, соответственно
U 2 = ρgh1s1
h1
h
+ ρgh 2s 2 2 + mdh 2 .
2
2
(2)
3. Величины h1 и h2 можно выразить из условия равенства давления во всех точках системы
ρgh1 = ρgh 2 + mg s 2 , ⇒ h1 = h 2 +
и неизменности массы воды
ρh1s1 + ρh 2s 2 = ρh (s1 + s 2 ) , h 2 =
m
,
ρs 2
h (s1 + s 2 ) hs1
−
.
s2
s2
(3)
(4)
4. Разность потенциальных энергий будет равна количеству выделившегося, в основном, за
счёт внутреннего трения тепла
ΔQ = U1 − U 2 =
m 2 gs1
≅ 0,08 Дж.
2ρgs 2 (s1 + s 2 )
306
(5)
Пример № 21. Шероховатую доску с лежащим
на ней кирпичом с массой m = 3 кг и площадью основания s = 200 см2 начинают медленно и равномерно поднимать за один конец. При некотором угле наклона доски к горизонту кирпич начинает
скользить. Определите производимое кирпичом
давление в момент начала его движения, если коэффициент трения μ = 0,5.
1. Для определения давления кирпича на наклонную плоскость необходимо найти нормальную реакцию связи
N = mg cos α ,
(1)
и угол, при котором начнётся скольжение
μ = tgα , α = arctgμ .
(2)
2. Искомое давление, с учётом (1) и (2) запишется следующим образом
p=
N mg cos(arctgμ )
=
≅ 1340 Па.
s
s
(3)
Пример № 22. Давление крови, как известно, рекомендуется измерять, прикрепляя аппарат
к руке. Почему не рекомендуется измерять давление на ноге? Подтвердите свою версию ответа
оценочным расчетом.
1. Нормальным считается давление, измеренное на уровне сердца. Для здоровых людей
систолическое артериальное давление примерно равно 120 мм рт. ст. а диастолическое – 75 мм
рт. ст. Если измерения давления производить на ногах, то в каждом конкретном случае придётся вводить поправку на расстояние от уровня сердца до уровня измерения давления. Т.к. рост
людей имеет значительный разброс, то и влияние гидростатического давления (p = ρgh) на показания будет различным.
Пример № 23. Погружение в морскую пучину даже на два, три метра, у начинающих ныряльщиков вызывает неприятные болевые ощущения в ушах, а подъём в гору на высоту 100 м и
более уши «не чувствуют». Сделайте количественную оценку этой особенности с позиций гидростатики, приняв площадь барабанной перепонки s = 0,5 см2
1. Всё дело в том, что в формулу гидростатического давления входит плотность среды,
примем плотность воды ρ1 = 103 кг/м3, плотность воздуха при условиях, близких к нормальным
- ρ2 = 1,3 кг/м3 . Давление трёхметрового столба воды в этом случае составит
p1 = ρ1gh = 103 ⋅10 ⋅ 3 = 3 ⋅104 Па ,
(1)
что эквивалентно столбу воздуха высотой
hx =
p1
≅ 2307м .
ρ2g
(2)
2. Дополнительная нагрузка на барабанную перепонку в воде составит
ΔF = p1 ⋅ s = 1,5H ,
(3)
что и ощущается болезненно. Опытные ныряльщики во время погружения регулярно при зажатом носе и сжатых губах пытаются выпускать воздух из ушей, т.е. «продуваются», выравнивая давление. Это избавляет от боли в ушах и временной глухоты после подъёма.
Пример № 24. Почему конструкторы глубоководных аппаратов отдают предпочтение капсулам сферической формы а не другим, технологически более удобным формам? Покажите
преимущество количественно.
1. Качественный ответ очевиден и прост: при одинаковом объёме площадь сферы мини307
мальна, тому много свидетельств. От формы планет, до формы маленьких капель жидкости.
Глубоководные аппараты предназначены для работы в условиях высоких гидростатических
давлений так, например, при погружении на h = 6000 м каждый квадратный метр поверхности
противостоит силе F = 6⋅107 Н.
2. Предположим, что требуется V = 1м3 внешнего объёма аппарата. Капсула кубической
формы должна иметь при этом длину ребра а = 1 м, площадь наружной поверхности составит s1
= 6 м2.
Для аппарата сферической формы указанный объём достигается при его радиусе
R=3
3V
≅ 0,63 м.
4π
Поверхность сферы s2 = 4πR2 = 5 м2. Таким образом, отношение площадей рассматриваемых
тел равного объёма составит ξ =s1/s2=1,2. Другими словами, стенки сферического аппарата, при
прочих равных условиях можно делать примерно на 20% тоньше.
Пример № 25. Мишень представляет собой прямоугольную пластмассовую ёмкость размерами 10×10 см и высотой h = 40 см, наполовину заполненную водой. Стреляют из автоматического оружия пулями массой m = 8 г, летящими со скоростью v = 700 м/с, плотность материала
пуль ρ1 = 8 г/см3. При попадании пуль выше уровня воды в мишени, как и положено, остаются
два отверстия, входное и выходное. Первая же пуля, попавшая в мишень ниже уровня жидкости, разносит её на очень маленькие куски. Сделайте приближённую количественную оценку
явления, полагая сжимаемость воды равной β ≅ 5⋅10 10 Па-1?
1. На качественном уровне разрушение мишени объясняется малой сжимаемостью воды.
2. Количественно явление можно охарактеризовать так. Пуля, имея скорость v = 700 м/с,
пролетает мишень за τ = 1,43⋅10 –4 с. Объём воды сразу при входе пули в воду должен увеличиться на величину ΔV = m/ρ1 = 1⋅10– 6м3, но этого не происходит, потому что уровень попросту
не успевает так быстро подняться.
3. Таким образом, при попадании пули вода должна сжаться на ΔV/V= 5⋅10 –4 своего первоначального объёма. Величина коэффициента сжимаемости воды β = 5⋅1010 Па-1 показывает, что
при давлении в 1Па вода изменяет свой объём на 5⋅10-10 от первоначального. Таким образом,
давление воды возрастёт до рх = 1⋅106 Па, что эквивалентно силе, действующей на боковую
стенку F = p⋅s = 2⋅104 Па. Комментарии, как говориться, излишни.
Привет № 26. Почему ртутные барометры получили большее распространение чем масляные или водяные? Определите, во сколько раз точность водяного барометра отличается от
точности ртутного барометра.
1. Способ, которым Эванджелиста Торричелли (1608 – 1647), ученик великого Галилея,
предложил измерять атмосферное давление, был основан на уравновешивании столба ртути
(1)
p A = ρ Hg gh Hg ,
при этом, с учётом величины плотности ртути ρHg≅ 13,6⋅103 кг/м3, высота столба составляла на
уровне моря
h Hg =
pA
≅ 0,735 м (735 мм).
ρ Hg g
(2)
2. Для воды, с плотностью ρ = 1⋅103 Па, высота столба, компенсирующего атмосферное давление, составит
h H 2O =
pA
ρ H 2O g
≅ 10 м.
(3)
Другими словами, водяные барометры требовали, наличие балкона, как минимум третьего этажа, что существенно снижало их эксплуатационные характеристики.
3. Чувствительность водяных барометров, несомненно, выше. У ртутных устройств отгра308
дуированных в миллиметрах изменению давления в Δр = 1 кПа соответствует перемещение
столбика на ΔхHg = 7,65 мм. При использовании воды такое же изменение давления будет сопровождаться изменением уровня на Δx H 2 O = 100 мм. Водяные барометры в 13 раз чувствительнее.
Пример № 27. В полусферическую тяжёлую оболочку внутреннего радиуса R, плотно прилегающую к горизонтальной поверхности через малое отверстие в вершине вливается жидкость
плотности ρ. Когда жидкость доходит до отверстия, полусфера приподнимается и начинает
пропускать воду. Определите массу оболочки.
1. Для определения величины силы, действующей
на внутреннюю поверхность полусферы, разобьем объём на элементарные горизонтальные слои текущим
радиусом r и толщиной dr.
2. Определим вес элементарного объёма
f i = Δmgi = ρπri2dr .
(1)
3. Полная сила, обусловленная внутренним давлением жидкости, определится посредствам интегрирования (1) в пределах от 0 до R
R
F = ∫ ρgπr 2 dr =
0
πρgR 3
.
3
(2)
4. Масса полусферической оболочки
Mg =
πρgR 3
,
3
M=
πρR 3
.
3
(3)
Пример № 28. В цилиндрическом сосуде радиуса R, частично заполненном жидкостью
плотности ρ, в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину х? Пробка имеет вид цилиндра радиуса r. Центр отверстия находится на расстоянии h от поверхности жидкости. Жидкость из сосуда не выливается.
1. Работа в данном случае может быть представлена в виде суммы работ силы гидростатического давления на перемещении х и работы по увеличению потенциальной энергии воды.
2. Работа силы гидростатического давления
A1 = F1 ⋅ x = p ⋅ s ⋅ x = ρgh ⋅ πr 2 x .
(1)
3. Высоту слоя жидкости, образовавшегося после перемещения
пробки, определим из следующих соображений
r2
x.
R2
πR 2 h1 = πR 2 h + πr 2 x , Δh = h1 − h =
(2)
4. Масса, поднявшегося слоя жидкости определится как произведение плотности на объём,
изменение потенциальной энергии произойдёт за счёт изменения положения центра тяжести на
величину Δh/2
ΔU =
1 2 r2
πr ρx 2 x .
2
R
(3)
5. Полная работа, таким образом, определится как
⎛
1 r2 ⎞
⎜
A = A1 + ΔU = πr ⎜ h + x 2 ⎟⎟ ⋅ ρgx .
2 R ⎠
⎝
2
309
(4)
Пример № 29. Под каким углом к горизонту расположится поверхность жидкости в сосуде,
скользящем по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, если коэффициент
трения равен μ?
1. Выделим на поверхности жидкости элементарный
объём массой m. Система действующих на массу сил
должна быть такова, что результирующая силы тяжести
и нормальной реакции связи должна быть направлена,
так же как и вектор ускорения, т.е. параллельно плоскости.
2. В соответствии со вторым законом Ньютона
ma = mg ⋅ tgβ .
(1)
3. Ускорение сосуда при скольжении по наклонной
плоскости
a = g(sin α − μ cos α ) = g(tgα − μ ) .
(2)
4. Подставим значение ускорения из (2) в (1)
g(tgα − μ ) = gtgβ ,
β = arctg(tgα − μ ) = α − arctgμ .
(3)
Пример № 30. Посередине барометрической трубки, заполненной ртутью, имеется пузырёк
воздуха цилиндрической формы. При температуре t0=00C длина столбика равна x = 10 см. Определите, какой станет длина этого столбика при температуре t = 270C.
1. Давление внутри воздушного промежутка будет равно
p = mg s ,
(1)
где m – масса ртути, находящейся над воздушным промежутком, s – площадь поперечного сечения трубки.
2. При изменении температуры размеры столбика, т.е.
величина x0 увеличится до некоторого значения х, уменьшится плотность воздуха, а масса m останется постоянной,
так же как и масса воздуха. Давление воздуха, таким образом, останется неизменным.
3. Запишем далее для двух состояний воздуха уравнения
состояния с учётом постоянства давления, массы и молярной массы
⎧psx 0 = νRT0 ;
⇒
⎨
⎩psx1 = νRT1 ;
x 0 T0
= ;
x1 T1
(2)
откуда
x1 = x 0
T1
293
= 0,1
≅ 0,107м .
T0
273
(3)
Пример № 31. Определите давление на нижнюю поверхность плавающей шайбы сечения s
и массы m, если атмосферное давление р0.
1. При погружении шайбы на глубину h гидростатическое
давление на уровне её дна составит
p1 = ρgh =
m
m
mg
gh = gh =
.
V1
sh
s
(1)
2. С учётом гидростатического давления
p = p 0 + p1 = (mg s) + p 0 .
310
(2)
Пример № 32. На границе раздела двух жидкостей
плотности ρ1 и ρ2 плавает шайба плотности ρ, причём ρ1 <
ρ < ρ2. Высота шайбы Н. Определите глубину погружения
шайбы h в жидкость плотности ρ2.
1. Сила Архимеда в данном случае определится в виде
суммы
FA = ρ1gV1 + ρ2gV2 ,
(1)
где V2 = hs – объём шайбы погруженной в нижнюю жидкость, V1 = s(H-h) – объём, находящийся в верхней жидкости.
2. Условие плавания шайбы выразится в виде равенства сил Архимеда и тяжести
ρ2gh + ρ1gs(H − h ) = ρgsH ,
(2)
откуда
h=
H(ρ − ρ1 )
.
(ρ2 − ρ1 )
(3)
Пример № 33. Тонкостенный стакан массы m вертикально плавает на границе раздела жидкостей плотности ρ1
и ρ2. Определите глубину погружения стакана в нижнюю
жидкость, если дно стакана имеет толщину h и площадь s, а
сам стакан заполнен жидкостью ρ1 .
1. Условие плавания стакана на границе раздела двух
жидкостей будет заключаться в равенстве суммы сил Архимеда весу стакана. Если расстояние от дна стакана до
границы жидкостей обозначить как Н, то условие равновесия можно записать так
ρ2gHs + ρ1g(H − h )s = mg ,
(1)
откуда
H=
m − ρ1hs
.
s(ρ1 − ρ 2 )
(2)
Пример № 34. Деревянный куб с ребром 0,5 м плавает в озере, на две третьи своего объёма
погруженный в воду. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью погрузить
куб в воду?
1. Сила Архимеда, как известно, зависит от объёма жидкости, вытесненной телом. В данном
случае, при погружении куба эта сила будет меняться от некоторого минимального значения
2
Fmin = ρg a ⋅ a 2 ,
3
(1)
и до максимального
Fmax = ρga 3 .
(2)
2. Средняя величина силы Архимеда с учётом (1) и (2) определится как
< F >=
Fmax − Fmin 1
= ρga 3 .
2
6
(3)
3. Перемещение куба до полного его исчезновения в воде должно составить 1/3а, т.к. 2/3 его
объёма уже находятся в воде. Работа, на этом перемещении равна
1
1
A =< F > a = ρga 4 =34,7 Дж.
3
18
311
(4)
Пример № 35. Стальная деталь весит в воде mg = 10 Н. Определите объём детали, принимая плотность равной ρ1 = 7,8⋅10 3 кг/м3.
1. Вес тела в воде можно представить в виде разности веса тела в воздухе и силы Архимеда,
которая возникает при погружении его в воду
Mg − FA = mg , ρ1V − ρL 2 V = m ,
(1)
3
3
где ρ1 – плотность детали, ρ2 = 1⋅10 кг/м – плотность воды, V – искомый объём.
2. Решая (1) относительно V и подставляя значения заданных величин, получим
V=
m
≅1,47⋅10 –4 м3.
ρ1 − ρ 2
(2)
Пример № 36. Тело в воде весит в три раза меньше, чем в воздухе. Чему равна плотность
тела?
1. Другими словами, разность между весом тела в воздухе и силой Архимеда, возникающей
в воде, равна третьей части веса в воздухе
1
ρ1gV − ρ 2 gV = ρ1gV ,
3
или
1−
(1)
ρ1 1
2
= , ⇒ ρ1 = ρ 2 = 1,5⋅103 кг/м3.
ρ2 3
3
(2)
Пример № 37. В сообщающиеся сосуды диаметра d1 и d2 налита жидкость плотности ρ. На
какую высоту h поднимется уровень жидкости, если в один из сосудов положить тело массой
m, выполненное из материала плотностью меньше ρ1?
1. Определим суммарную площадь поперечного сечения сосудов
s=
π 2
d1 + d 22 .
4
(
)
(1)
2. Объём жидкости, вытесненной плавающим телом
V=
π 2
d1 + d 22 ⋅ h .
4
(
)
(2)
3. Условие равновесие тела в жидкости
π
ρ d12 + d 22 ⋅ h = m ,
4
4m
.
h=
ρ d12 + d 22
(
ρgV = mg , ⇒
(
)
)
(3)
(4)
Пример № 38. Поплавок рыболовной удочки плавает в воде.
Определите силу натяжения нижнего участка лески, если поплавок
погружен в воду на две трети своей длины. Масса поплавка m = 2 г.
1. Поплавок в стационарном состоянии находится под действием системы их трёх сил: силы тяжести mg, силы Архимеда FA и силы реакции связи в виде натяжения лески Т. Поплавок находится в
равновесии, потому что сумма моментов этих сил относительно
произвольной оси равна нулю.
312
2. Определим сумму моментов действующих сил относительно оси, проходящей через точку С, перпендикулярно плоскости чертежа, это позволит составить уравнение моментов не зная
массы поплавка, т.к. момент силы тяжести относительно точки её приложения равен нулю
( )
()
r
r
⎡ ⎛ L 2 ⎞⎤ 1
− M C FA + M C T = 0 , − ⎢FA ⎜ − L ⎟⎥ + LT = 0 ,
⎣ ⎝ 2 3 ⎠⎦ 2
(1)
откуда
1
1
− FA L + TL = 0 .
6
2
(2)
3. Определим далее величину силы Архимеда
2
FA = ρ0 g Ls ,
3
(3)
где ρ0 – плотность воды, s – площадь поперечного сечения поплавка. Объём поплавка можно
выразить через его массу
2
3m
m = ρLsg = ρ0 Lsg, ⇒ V = Ls =
.
3
2ρ0
(4)
4. Разрешим далее уравнение (2) относительно силы натяжения Т и подставим в полученное
уравнение объём поплавка их в уравнение (4)
T=
12
2
2
3m
ρ0 sLg = ρ0sLg = ρ0 g
,
33
6
6
2ρ0
1
T = mg ≅ 1 ⋅10 − 2 H .
2
(5)
Пример № 39. С какой силой давит тяжёлый стержень на
дно водоёма, если жёстко связанный с ним пустотелый шарик радиуса r = 1 см плавает, наполовину погрузившись в
воду. Плотность жидкости ρ = 1⋅103 кг/м3, длина стержня L =
10 см .
1. Условие равновесия поплавка можно записать в виде
уравнения моментов. В данном случае удобно приравнять к
нулю сумму моментов относительно оси, проходящей через
центр масс стержня С, перпендикулярно плоскости чертежа
i =2
∑M
i =1
C
r
(F) = 0 ,
N
L 4 3 ⎛L ⎞
− πr ρg⎜ + r ⎟ = 0,
2 6
⎝2 ⎠
(1)
откуда
N=
2 2 ⎛ 2r ⎞
πr ρg⎜1 + ⎟ ≅ 7 Н.
3
L⎠
⎝
(2)
Пример № 40. Определите силу натяжения цепи, связывающей два сферических поплавка
объёмом V0 = 10 см3 каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в вводу.
Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего. Вес цепи не учитывать.
1. Условие равновесия системы двух поплавков в проекции на вертикальную ось запишется
следующим образом
T = FA1 + FA 2 − 4mg ,
(1)
313
причём
3
FA1 = 0,5ρgV, FA 2 = ρgV, FA1 + FA 2 = ρgV .
2
(2)
2. Выразим массу шара через уравнения их равновесия
3
3
ρgV = 4mg, ⇒ m = ρV .
2
8
(3)
3. Подставим значение массы из (3) в уравнение (1)
3
3
T = ρgV − ρgV = 0,125 ⋅10 − 2 H .
2
8
(4)
Пример № 41. Коническая пробка высоты H = 10 см с углом при вершине β = 900 перекрывает в сосуде отверстие радиуса r = 5 см. Чему должна быть равна масса этой пробки, чтобы
она не всплывала по мере заполнения сосуда водой?
1. Определим значение проекций сил N на вертикальную ось, с которыми пробка дёйствует на
перегородку
(1)
N 2 = mg, ⇒ N = mg 2 .
2. Запишем условие равновесия пробки в проекции на вертикальную ось
i=n
∑F
i =1
y
= FA −
2mg
= 0.
2
(2)
3. Всплывание пробки будет иметь место, когда
уровень воды дойдёт до верхнего основания конуса
(пробки). В этом состоянии объём пробки, находящийся в жидкости будет представлять собой усечённый конус
VПогр =
(
)
1
πh d 2 + dD + D 2 ,
12
(3)
где h = 5⋅10 –2 м - высота усечённого конуса, d = 0,1 м – диаметр меньшего нижнего основания,
D = 0,2 м – диаметр верхнего основания.
4. Максимальное значение силы Архимеда
(
)
1
FA = ρgπh d 2 + dD + D 2 .
2
(4)
5. Подставим значение N и FA в условие равновесия (1)
1
2m
ρ0 πh (d 2 + dD + D 2 ) =
,
12
2
m=
(
)
2
ρ0 πh d 2 + dD + D 2 ≅ 0,645кг .
24
(5)
Пример № 42. Глубоководный батискаф в виде полого ситалового шара с внешним радиусом R = 3 м, и внутренним радиусом r =
2,8 м плавает на поверхности воды, погрузившись на 2/3 своего объёма. Определите, балласт, какой массы mx необходимо принять на
борт, чтобы аппарат полностью погрузился?
1. Условие равновесия батискафа на поверхности воды характеризуется равенством нулю суммы проекций сил на вертикальную
ось, т.е. равенством модулей сил Архимеда и тяжести
314
FA = ρ0
4
2
πR 3 g ,
3
3
mg = ρC
(
)
4
π R 3 − r3 ,
3
(1)
где ρ0 – плотность воды, ρС – плотность ситала.
2. Определим величину плотности ситала из условия равенства сил (1)
ρC =
ρ0 R 3
кг
≅ 5348 3 .
3
3
R −r
м
(
)
(2)
3. Чтобы батискаф полностью затонул необходимо, чтобы сумма веса собственно аппарата
и балласта стала рана силе Архимеда, т.е.
(
)
4
4
πρ0 R 3g = m x g + πρC R 3 − r 3 g ,
3
3
откуда:
mx =
[
)]
(
4
π ρ0 R 3 − ρC R 3 − r 3 ≅ 1040кг .
3
(3)
(4)
Пример № 43. Какую работу необходимо совершить,
чтобы полностью утопить в воде айсберг кубической формы с длиной ребра равной а = 100 м, если плотность льда
равна ρл = 900 кг/м3.
1. Используя условие равновесия айсберга в воде, определим отношение подводного VП и полного объёмов V0
ρ0gVΠ = ρ Л gV0 ,
VП ρ Л
=
= 0,9 .
V0 ρ0
(1)
2. Таким образом, над поверхностью воды находится h
= 10 м ледяной глыбы. Для её полного погружения необходимо совершить работу
h
h2
A = ∫ ρ Л ga ydy = ρ Л ga
≅ 4,5 ГДж.
2
0
2
2
Пример № 44. Жёсткая термоизолированная оболочка, наполненная лёгким газом, общей массой m = 40 кг и объёмом V = 50 м3 поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v = 10м/с. Сила
сопротивления движению пропорциональна квадрату скорости, причём коэффициент пропорциональности k = 0,1 кг/м. Определите плотность газа заполняющего оболочку, приняв плотность воздуха постоянной, ρ0 = 1,3 кг/м3.
1. Всплывание воздушных шаров в атмосфере возможно вследствие того, что сила Архимеда, действующая на шар, превосходит силу
тяжести. Сила, обеспечивающая движение оболочки, которую иногда
называют выталкивающей, в данном случае определится как
(1)
F = ρ 0 gV − mg + ρ g gV ,
(
)
где ρg – плотность газа внутри оболочки.
2. Поскольку движение оболочки в воздушной среде происходит с постоянной скоростью,
то сумма проекций сил на вертикальную ось должна быть равна нулю, т.е.
kv 2 = ρ 0 gV − mg + ρ g gV ,
(2)
(
)
откуда
ρg = ρ0 −
kv 2 m
− =0,48 кг/м3 .
gV V
315
(3)
Пример № 45. Жёсткая термоизолированная оболочка массой m = 50кг и объёмом V = 50
м3 начинает подниматься с поверхности Земли. Определите, пренебрегая стратификацией температуры, на какую предельную высоту может подняться оболочка, если начальная плотность
воздуха составляет ρ0 = 1,3 кг/м3 .
1. По мере подъёма в верхние слои атмосферы, концентрация молекул газа будет уменьшаться, что повлечёт за собой уменьшение величины силы Архимеда. Всплывание оболочки в
атмосфере прекратится при условии равенства нулю выталкивающей силы (см. предыдущую
задачу), т.е.
ρ0gV − mg − ρ h gV = 0 ,
(1)
где ρh – плотность атмосферы на высоте h, соответствующей прекращению подъёма.
2. Определим из уравнения (1) плотность атмосферы на критической высоте
ρh =
m
ρ0 V − m
= ρ0 − = 0,3 кг/м3.
V
V
(2)
3. Барометрическая формула позволяет записать закон изменения плотности атмосферы с
высотой следующим образом
⎛ ρ gh ⎞
ρ h = ρ 0 exp⎜⎜ − 0 ⎟⎟ ,
⎝ p0 ⎠
(3)
здесь p0 =1⋅105 Па – атмосферное давление.
4. Опреде6лим h путём логарифмирования уравнения (3)
ln
1.47 p 0
ρ gh
ρh
≅ 11280м .
=− 0 , h=
ρ0g
ρ0
p0
(4)
Пример № 46. Водолазный колокол с древних времён служит надёжным средством для спуска человека
на глубину. Определите предельно возможную глубину
погружения в колоколе цилиндрической формы радиусом R = 1м и высотой h = 2,5 м, если сидение водолазов
располагается на расстоянии а = 1,5 м от нижнего основания. Первоначально аппарат находится при атмосферном давлении и во время погружения температура
забортной воды не меняется.
1. При погружении колокола, за счёт действия гидростатического давления, объём воздуха будет уменьшаться, уровень воды внутри аппарата будет подниматься.
2. Определим начальный V0 и предельно допустимый Vk объёмы воздушного пространства внутри колокола
(1)
V0 = πR 2 h , Vk = πR 2 (h − a ) .
3. Считая воздух идеальным газом, запишем уравнения Клайперона – Менделеева для поверхности и предельной глубины
p 0 V0 = νRT,
⎫
(p 0 + ρ0gh )Vk = νRT,⎬⎭
(2)
откуда
p 0 V0 = p 0 Vk + ρ0ghVk ,
p (V − Vk )
h= 0 0
≅ 15м.
ρ0 gVk
316
(3)
Пример № 47. Футбольный мяч массой 2 кг и радиусом R = 10 см погрузили в воду на глубину h = 1 м. Определите, через какое время прекратится поступательное движение мяча. Сопротивление движению не учитывать.
1. Движение мяча можно представить состоящим из трёх участков: на участке ОВ мяч, без учёта сопротивления, движется в течение времени t1 ускоренно за счёт действия выталкивающей силы; на
участке AB мяч в течение времени t2 будет пребывать в состоянии
тела, брошенного вертикально вверх; участок полёта ВС тело проходит за время t3, как свободно падающее.
2. На основе уравнения второго закона Ньютона в проекции на
ось у, определим величину ускорения мяча при его всплывании с
глубины
FA − mg = ma , a = ρ0 g
4
πR 3 − g ≅ 10 м/с2,
3m
(2)
время движения с глубины h определится из кинематических соображений
(3)
t1 = 2h a ≅ 0,45 с.
3. Время полёта t2 определим по значению скорости, которую имел мяч при выходе на поверхность
v1 = at1 , ⇒ t 2 = v1 g = at1 g ≅ 0,45 с.
(4)
4. Как известно, в отсутствие сопротивления время подъёма в верхнюю точку траектории
рано времени спуска, т.е. t3 = t2, поэтому общее время движения мяча, без учёта его колебаний
после падения, определится как
t 0 = t1 + t 2 + t 3 = 1,35 с.
(5)
Пример № 48. Сплошной пластмассовый шар радиуса плавает в воде, погрузившись на 2/3
своего объёма. Шар поднимают на высоту h1 = 10 м и отпускают без начальной скорости. Определите, на какую глубину погрузится шар в жидкость? Сопротивление движению не учитывать.
1. Определим плотность пластмассы из условия плавания шара
4
2
4
ρ1g πR 3 = ρ1g πR 3 ,
3
3
3
2
ρ 2 = ρ0 ,
3
(1)
где ρ1 – плотность жидкости, ρ2 – плотность материала шара.
2. Предположим, что шар после падения с десятиметровой высоты вошёл в воду и погрузился на глубину h2, при этом потенциальная энергия, соответствующая высоте h1, перед погружением в воду полностью преобразуется в кинетическую энергию, которая, в свою очередь,
тратится на совершение работы против выталкивающей силы. Математически этот процесс
можно записать так
U=
mv 2
= A(FB ) ,
2
откуда
h2 =
ρ2gVh1 = (ρ1gV − ρ2gV )h 2 ,
ρ 2 h1
= 2h1 = 20 м.
ρ1 − ρ 2
(2)
(3)
Пример № 49. Пенопластовый куб (ρ1 = 60 кг/м3) с ребром а = 0,5 м плывший по водной
глади реки, оказался зажатым между водой и горизонтальным деревянным настилом шириной
b = 2 м, расположенным на высоте h = 0,2м над водой. Коэффициент трения между деревом и
пенопластом равен μ = 0,3. Какая работа будет совершена горизонтальной силой при пропихивании куба под настилом?
317
1. Чтобы куб пришёл в движение, необходимо преодолеть силу трения, которая в данном случае будет
определяться весом куба и силой Архимеда, т.е. выталкивающей силой
(1)
Fтр = μ(FA − mg ) ,
FA = ρ 0 ga 2 (a − h ), mg = ρ1a 3 ,
FТр = μga 3 [ρ 0 (a − h ) − ρ1a ] .
(2)
2. Перемещение куба состоится только в том случае, когда горизонтальная сила F будет больше силы
трения, работа же этой силы, на перемещении b определиться как
A = FТр b = μga 3 b[ρ 0 (a − h ) − ρ1a ] ≅ 400 Дж. (3)
Пример № 50. Торцы стальной трубы (ρ1 = 7,88⋅103 кг/м3) с толщиной стенок h = 1 см закрыты невесомыми крышками, из образовавшейся полости откачали воздух. Определите диаметр трубы, при котором конструкция может взлететь в атмосфере с плотностью ρ0 = 1,3 кг/м3.
1. Конструкция может стать невесомой в воздухе при условии равенства выталкивающей
силы силе тяжести, т.е.
⎛ πD 2 πd 2 ⎞
πD 2
⎟⎟L = ρ0
ρ1 ⎜⎜
−
L,
4
4
4
⎝
⎠
где D – внешний диаметр цилиндра, d = (D-h) – внутренний диаметр.
2. Уравнение (1) легко преобразуется к обычному квадратному уравнению
ρ 0 D 2 − 4ρ1D + 4ρ1 = 0 ,
D − 2424,6D + 2424,6 = 0 ,
D ≅ 2424м .
2
(1)
(2)
(3)
(4)
Пример № 51. Оболочка воздушного шара массой М = 50 кг и объёмом V = 50 м3 заполняют газом в количестве ν = 1000 моль. В первый раз в качестве газа используют водород, во второй раз – гелий. Водород в два раза легче гелия, можно ли по этому случаю утверждать, что во
втором случае подъёмная сила упадёт вдвое?
1. Действительно молярная масса водорода μ1(H2)=2⋅10 –3 кг/моль в два раза превышает молярную массу гелия μ2(Не) =4⋅10 –3 кг/моль, но это ещё ничего не значит, потому что подъёмная
сила определяется в виде разности силы Архимеда и силы тяжести.
2. Для определения силы тяжести найдём массы газов
m1 = νμ1 = 2кг, m 2 = νμ 2 = 4кг ,
(1)
3. В случае заполнения оболочки шара водородом её подъёмная сила будет равна
F1 = ρ0gV − g(M + m1 ) = 130H .
(2)
4. Для шара заполненного гелием, который, кстати, менее опасен в плане возгорания, подъёмная сила по аналогии с уравнением (2) определится как
F2 = ρ0 gV − g(M + m 2 ) = 110H .
(3)
5. Отношение подъёмных сил, таким образом, составит всего
F2 F1 ≅ 1,18 ,
(4)
это обстоятельство делает гелий более предпочтительным при заполнении внутренностей аппаратов легче воздуха.
318
Пример № 52. Два одинаковых магниевых шара (ρм = 1740 кг/м3) радиусом R = 3 см уравновешены в воздухе на равно плечном рычаге длиной L = 1 м с шарниром посередине. Затем,
один из шаров погружают в ацетон (ρА =780 кг/м3), а второй − в воду (ρВ = 1000 кг/м3). Как
нужно изменить соотношение плеч рычага, чтобы равновесие сохранилось?
1. Величина сил, приложенных к концам рычага, при погружении шаров в жидкости определится в виде соответствующих разностей силы тяжести и силы Архимеда
4 3
πR (ρ M − ρ A )g ≅ 1Н,
3
4
FB = πR 3 (ρ M − ρ B )g ≅ 0,8Н,
3
FA =
(1)
(2)
где FA – результирующая сила для шара, находящегося в ацетоне, FB – для шара в воде.
2. Равновесие плеч будет иметь место при равенстве моментов сил FA и FB относительно
оси, проходящей через шарнир, перпендикулярно рычагу, т.е.
FA x A − FB x B = 0 ,
(3)
если подвес шара в воде оставить на прежнем месте, т.е. xB = 0,5L, то из уравнения (3) следует,
что
B
B
xA =
FB L
≅ 0,4 м,
2FA
(4)
другими словами, шар находящийся в ацетоне, для сохранения равновесия необходимо сдвинуть на 10 см в сторону шарнира.
Пример № 53. Из дерева разных пород,
из самшита (ρ2 = 1200 кг/м3) и красного
дерева (ρ1 = 800 кг/м3) изготовили два одинаковых кубика со стороной а = 10 см. Кубики склеили и поместили в воду. Определите, как будет расположен в воде параллелепипед.
1. Бруски одинакового размера, будучи
исполненными, из различных сортов дерева
будут иметь не одинаковую массу, что
приведёт к смещению центра масс системы
из области геометрического центра параллелепипеда. Если начало системы отсчёта
совместить с гранью кубики из самшита, то горизонтальная координата центра масс определится как
xC =
0,5m1a + 1,5m 2a 0,5ρ1a 4 + 1,5ρ 2a 4 a (0,5ρ1 + 1,5ρ 2 )
=
=
,
ρ1 + ρ 2
m1 + m 2
a 3 (ρ1 + ρ 2 )
x C =0,11 м,
(1)
т.е. центр масс смещён относительно плоскости склейки на 1 см в сторону бруска из самшита.
2. Точка приложения силы Архимеда будет приложена в плоскости склейки, поэтому на параллелепипед будет действовать момент силы. Относительно оси, проходящей через начало
отсчёта , момент численно равен
r
(2)
M C ( F) = FA a − (m1 + m 2 )gx C ,
где FA = 2ρ0ga3 ≅ 20H – сила Архимеда, m1 = ρ1a3 ≅ 0,8 кг, m2 = ρ2a3 ≅ 1,2 кг.
3. С учётом значений масс брусков и силы Архимеда уравнение моментов (2) перепишется
следующим образом
r
(3)
M O F = 20 H ⋅ 0,1м − 20 Н ⋅ 0,11м = −0,2Н ⋅ м ,
()
319
другими словами, параллелепипед под действием этого момента перевернётся в воде по часовой стрелке, о чём говорит знак «минус», и полностью погрузится в воду, займёт состояние
безразличного равновесия, потому что
ρ1 + ρ 2
кг
= 1000 3 = ρ0 .
2
м
< ρ1, 2 >=
(4)
Пример № 54. Учебную торпеду, обладающую средней плотностью ρ1 = 5⋅103 кг/м3, диаметром d = 1,5 м и высотой h = 15 м начинают вертикально поднимать из воды тросом длиной
L = 20 м и массой m1 = 25 кг. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы вынуть
торпеду за трос из воды?
1. Чтобы кормовая часть торпеды оказалась на поверхности воды трос необходимо выбрать на длину (L +h), ввиду несоизмеримости объёмов торпеды
и троса выталкивающей силой троса можно пренебречь. Работа по подъёму
троса, таким образом, определится как
A1 = m1g(L + h ) = 8750 Дж.
(1)
2. Пока торпеда полностью находится в воде на неё действует постоянная
выталкивающая сила, по мере выхода корпуса из воды эта сила будет уменьшаться по линейному закону от максимального значения до нуля
A 2 = FA
h
πd 2 h ρ0 gπd 2 h 2
h =
= ρ0 g
≅
2
4 2
8
1,5⋅107Дж.
(2)
3. Всю работу по подъёму торпеды без учёта влияния силы Архимеда можно записать так
πd 2
A 0 = mg(L + h ) = ρ1g
h (L + h ) ≅ 4⋅107 Дж.
4
(3)
4. Чтобы определить минимальную работу по подъёму торпеды необходимо из А0 вычесть
работу постоянной силы Архимеда на перемещении L, т.е.
A 3 = FA L = ρ0 g
πd 2
hL ≅ 5⋅106 Дж,
4
и величину А2, а работу по подъёму троса А1 - прибавить. Таким образом
A min = A 0 + A1 − A 2 − A 3 ≅ 2⋅107 Дж.
(4)
(5)
Пример № 55. Определите минимальный объём воздушного шара, наполненного водородом, который может поднять человека массой m1 = 70 кг на высоту h = 100 м за время τ = 30 с.
Масса оболочки и корзины равна m2 = 20 кг. Плотность водорода принять равным ρ1 = 0,1кг/м3,
плотность воздуха ρ0 =1,3 кг/м3. Сопротивление воздуха не учитывать.
1. Ускорение, с которым должен двигаться шар, чтобы равноускоренно переместиться за
время τ на расстояние h
h=
aτ 2
2h
, ⇒ a = 2 ≅ 0,2 м/с2.
2
t
(1)
2. Уравнение второго закона Ньютона с учётом вилы Архимеда в проекции на вертикальную ось имеет в данном случае вид
ρ0gV − (m1 + m 2 + ρ1V )g = (m1 + m 2 + ρ1V )a .
(2)
3. Разрешая (2) относительно неизвестного объёма, получим
V=
(m1 + m 2 )(g + a ) ≅ 76 м3.
ρ0 g − ρ1 (g − a )
320
(3)
Пример № 56. В цилиндрический сосуд радиусом R = 0,5 м налит глицерин плотностью ρ0
= 1200 кг/м3. У одной из стенок находится стальной шарик (ρ1 = 7,8⋅103 кг/м3) радиусом r = 0,5
см. Сосуд вращается вокруг вертикальной оси, делая 180 оборотов в минуту. Определите силу,
с которой шарик действует на стенку.
1. На шарик в глицерине у стенки и дна вращающегося сосуда будет действовать система сил: сила тяжести mg; сила Архимеда FA = ρ0gVШ; сила инерции FI = mv2/2.
2. Определим разность между силой тяжести и силой Архимеда
r
4
4
4
ΔF = ρ πr 3g − ρ0 πr 3g = πr 3g(ρ − ρ0 ) ,
3
3
3
(1)
3. Шарик вместе с глицерином участвует во вращательном
движении, т.е. движется с нормальным ускорением an = ω2R,
сила инерции при учёте компенсации части веса силой Архимеда равна
4
FI = g πr 3 (ρ − ρ0 )ω2 R ≅ 15,3 Н
3
(2)
Пример № 57. Ареометр массой m = 30 г в виде цилиндра диаметром D = 1 см плавает в
растворе электролита плотностью ρ = 1,2 г/см3. Ареометр немного притопили, и отпустили без
начальной скорости. Определите частоту возникших свободных колебаний.
1. Колебания, как известно, возникают только в том
случае, если система находится в состоянии устойчивого
равновесия, т.е. при её смещении из положения равновесия
возникает возвращающая сила. Равновесие системы нарушается вследствие того, что при дополнительном погружении увеличивается объём ареометра, находящийся в жидкости и, как следствие, увеличивается сила Архимеда.
2. Величина возвращающей силы, численно равная приращению силы Архимеда будет пропорциональна глубине
дополнительного погружения ареометра Δz
ΔFA = ρgsΔz = ρgπ D 2 4 Δz = k ⋅ Δz .
(1)
3. Частота собственных колебаний ареометра
(
ν0 =
)
1
k m = ρgs m ≅ 0,89 Гц.
2π
321
(2)