2. Основные уравнения динамики жидкости для осредненных величин в декартовой системе координат. 2.1. Осреднение основных уравнений Применим правила осреднения Рейнольдса (1.8) и Фавра (1.30)-(1.34) к основным уравнениям динамики жидкости. 1) Уравнение неразрывности в декартовой системе имеет вид (см. Главу 1) ∂ρ ∂ + ( ρu j ) = 0 ∂t ∂x j (2.1) Осредним его: ∂ρ ∂ ∂ρ ∂ ∂ρ ∂ ∂ρ ∂ ρu j ) = ρu j ) = ρu j = ρ uj + + + + ( ( ∂t ∂x j ∂t ∂x j ∂t ∂x j ∂t ∂x j ( ) ( ) Таким образом, уравнение неразрывности для осредненных величин имеет вид: ∂ρ ∂ + ρ uj = 0 ∂t ∂x j ( 2) Аналогично поступаем с ) уравнением (2.2) движения, которое для мгновенных значений параметров имеет вид: ∂ ∂ ρu j ) + ( ( ρuiu j + δ ij p − τ ji ) = ρ Fj , ∂t ∂xi j = 1, 2,3 (2.3) Применим к нему осреднение: ∂ ∂ ∂ ∂ ρu j ) + ρuiu j + δ ij p − τ ji ) = ρu j + ρ uiu j + δ ij p − τ ji = ( ( ∂t ∂xi ∂t ∂xi ( ) = ( ) ∂ ∂ ρ uj + ρ ui B + ρ ui′′u j′′ + δ ij p − τ ji ∂t ∂xi ( ) Уравнение количества движения: ∂ ∂ ρ uj + ρ ui u j + ρ ui′′u j′′ + δ ij p − τ ji = ρ F j , ∂t ∂xi ( ) 3) Применяя осреднение к уравнению энергии j = 1, 2,3 (2.4) ∂(ρE) ∂t + ∂ ρ u j H − uiτ ij + q j = ρ Fj u j , ∂x j (2.5) получаем: ( )+ ∂ ρE ∂t 1 2 ∂ ρ u j H + ρ u j′′h′′ + ui ρ u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′ + q j − uiτ ij − ui′′τ ij = ρ Fj u j ∂x j 2 (2.6) Пульсациями плотности массовой силы можно пренебречь. При выводе уравнения (2.6) использованы следующие соотношения: ui ui 1 = ρ u j h + ρ u j ui ui = 2 2 1 1 1 = ρ u j h + ρ u j′′h′′ + ρ u j ui 2 + u j ρ ui′′2 + ui ρ u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′2 = 2 2 2 1 1 1 = ρ u j h + ui 2 + ui′′2 + ρ u j′′h′′ + ui ρ u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′2 = 2 2 2 + ρ u ′′h′′ + u ρ u ′′u ′′ + 1 ρ u ′′u ′′2 ; = ρ u j H j i j j j i 2 ρu j H = ρu j h + ( )( ρ u j uiui = ρ u j + u j′′ ui + ui′′ ) 2 = ) ( = ρ ui 2u j + 2 ρ ui u j u j′′ + ρ u j ui′′2 + ρ u j′′ui 2 + 2 ρ ui u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′2 = = ρ ui 2u j + u j ρ ui′′2 + 2ui ρ u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′2 , ( ) uiτ ij = uiτ ij + ui′′τ ij + uiτ ij′ + ui′′τ ij′ = uiτ ij + ui′′τ ij + ui′′τ ij′ Здесь: = h + 1 u 2 + K H i 2 (2.7) осредненная полная энтальпия H , 1 K = ui′′2 2 - турбулентная кинетическая энергия. Внутренняя энергия e и энтальпия h связаны соотношением: (2.8) h=e+ p (2.9) ρ Кроме того, для идеального справедливо уравнение состояния: p = ρ RT = ( γ − 1) CV T ρ = ( γ − 1) eρ (2.10) После осреднения этих уравнений получаем: p h = e + , (2.11) p = ρ RT = ( γ − 1) CV T ρ = ( γ − 1) e ρ (2.12) ρ В уравнениях (2.4),(2.6) присутствуют важные корреляции пульсаций ρ u j′′ui′′ и ρ u j′′h′′ В параграфе 1.3. на примере двумерного слоя мы убедились, что корреляции пульсаций компонент скорости имеют физический смысл дополнительного турбулентного трения. Аналогично, корреляции пульсаций скорости и энтальпии имеет смысл дополнительного турбулентного переноса тепла. Таким образом, указанные члены имеют следующий физический смысл: ρ u j′′ui′′ = ρ u j′′ui′′ - компоненты тензора напряжений дополнительного турбулентного трения; ρ u j′′h′′ = ρ u j′′h′′ - компоненты вектора дополнительного турбулентного теплового потока; 2.2. Основные допущения Полученную систему невозможно решить без введения дополнительных допущений. Эти допущения можно разбить на несколько логических групп. Группа 1. Относится к моделированию молекулярных вязких, тепловых и диффузионных потоков. Пренебрегаем корреляцией ui′′τ ij = 0 (2.13) Тензор вязких напряжений и тепловой поток моделируются по формулам: ∂ui ∂u j 2 ∂u + − δ ij µ m , ∂x ∂xm j ∂xi 3 (2.14) ∂T ∂x j (2.15) τ ij = µ q j = −λ Переносные свойства при этом выражаются через средние (по Фавру) значения параметров: ( ) λ = λ (T ) = λ (T ) µ = µ (T ) = µ T , (2.16) Если ввести в рассмотрение критерий Прандтля Pr = µ CP , λ (2.17) То уравнение для теплового потока (2.15) можно записать в виде qj = − µ CP ∂T Pr ∂x j =− µ ∂ h (2.18) Pr ∂x j Некоторые аргументы в обоснование правомочности допущений этой группы будут рассмотрены позднее в данной главе. Группа 2. Относится к моделированию дополнительных турбулентных потоков ρ u j′′ui′′ , ρ u j′′h′′ , 1 ρ u j′′ui′′2 . Основное допущение, наиболее часто 2 используемое на практике, состоит в том, что эти потоки моделируются аналогично молекулярным потокам (см. Главу 1 и формулы (2.14) и (2.18) ). Тензор турбулентных напряжений моделируется через скорость деформаций ∂u ∂u j 2 ∂um 2 − ρ u j′′ui′′ = µT i + − δ µ − δ ρK , ∂x j ∂xi 3 ij T ∂xm 3 ij (2.19) Последний член в формуле добавлен для совпадения инвариантов тензоров, стоящих в формуле справа и слева. Здесь µT - коэффициент турбулентной вязкости. Для моделирования µT за основу можно взять формулу (1.22): ′′2 L µT = C1ρ v В качестве масштаба скорости ′′2 v (2.20) можно по аналогии со слоем смешения использовать среднеквадратичную пульсацию скорости по направлению по нормали к линиям тока Vn′′2 . Однако в общем случае для практического использование масштаба турбулентности L неудобно. Для описания турбулентных течений более важным параметром является не какой-то один характерный масштаб длины, а характерный масштаб времени τ , т.е. время, за которое энергия движения крупных вихрей, полученная от осредненного движения, проходит весь спектр масштабов размеров – от наиболее крупных до самых мелких, при которых происходит диссипация турбулентной энергии. Исходя из теории размерностей, получаем: L = Vn′′2τ , (2.21) и окончательная формула для µT принимает вид: µT = C1 ρ Vn′′2τ (2.22) Эту формулу и будем рассматривать как основу для дальнейших выкладок. Турбулентные потоки скалярных величин моделируются через градиенты этих величин: ρ u j′′h′′ = − µT ∂ h PrT ∂x j , 1 µ ∂K ρ u j′′ui′′2 = − T , 2 σ K ∂x j (2.23) (2.24) где PrT - турбулентное число Прандтля, σ K - аналог числа Прандтля для потока турбулентной кинетической энергии K (обычно полагается константой близкой к единице). Таким образом, задача моделирования турбулентности сведена к определению параметров, входящих в определение коэффициента турбулентной вязкости µT (2.22), турбулентной кинетической энергии K и турбулентного число Прандтля. Этому вопросу будут посвящены следующие параграфы.