Часть 5 4. Примеры решения задач разделов Квантовые

Часть 5
4. Примеры решения задач разделов Квантовые явления
Задача 1. Определите длину волны, соответствующую максимуму
энергии излучения лампы накаливания. Нить накала лампы имеет длину
ℓ=15 см и диаметр d=0,03 мм. Мощность потребляемая лампой Р=10Вт.
Нить лампы излучает как серое тело с коэффициентом поглощения α=0.3,
при этом 20% потребляемой энергии передается другим телам
теплопроводностью и конвекцией.
Анализ и решение. По закону смещения Вина, длина волны для
максимума испускательной способности абсолютно черного тела:
λ max = b T
,
b = 2,89 ⋅ 10 −3 м ⋅ К
(1)
Температуру нити можно найти, используя закон Стефана-Больцмана,
применительно к серому телу с учетом потери мощности на теплопередачу:
σ = 5,67 ⋅ 10−8 Вт м 2 К 4
0,8 ⋅ P = α ⋅ σ ⋅ T 4 ⋅ πd ⋅ l ,
(2)
Таким образом, выразив температуру из соотношения (2) и подставив в
(1), получим:
λ max = b ⋅ 4
ασπdl
= 1,2 ⋅ 10−6 м .
0,8 ⋅ P
Ответ: λmax=1,2 мкм.
Задача 2. Металлические шары из алюминия и стали диаметром D
= 10 см, обладающие теплоемкостями соответственно с Al = 896 Дж/(кг·К) и
ccт = 460 Дж/(кг·К), от начальной температуры Т 0 =1000 К остывают
вследствие лучеиспускания. Коэффициенты поглощения α Al = 0,3 и
α ст = 0,67 . Через сколько времени температуры шаров станут равными Тl
=300 К?
Анализ и решение. Изменение внутренней энергии шара при остывании
выражается известной формулой термодинамики:
dU = −cт dT , где индексы т = Al , ст
(1)
То же изменение внутренней энергии можно выразить через энергетическую светимость, площадь поверхности шара и время:
dU = Rэ S ⋅ dt = 0,25 RэπD 2dt
Приравняем правые части уравнений (1) и (2):
- ст dT = 0,25 RэπD 2dt = 0,25ασT 4πD 2dt
Разделим переменные:
(2)
-
dT 0,25ασπD 2
=
dt
T4
cт
(3)
Интегрируя (3) по всему промежутку времени охлаждения шаров,
получим:
0,25ασπD 2t
=
+ const ,
cт
3Т 3
(4)
1
ασπD 2
1
=
t+ 3
3
3T
4cт
3T0
(5)
1
где соnst = 1 (3T03 ) - постоянная интегрирования, значение которой может быть
найдено из (4) при начальном условии t=0, т.к. Т=Т0..Тогда
Отсюда время остывания несложно выразить из (2.5):
(
)
(
)
4cT 1 T 3 − 1 T0
4cT 1 / 3003 − 1 / 10003
t=
=
3πασ D 2
3 ⋅ 3,14 ⋅ α ⋅ 5,67 ⋅ 10 −8 ⋅ 10 − 2
3
Так для алюминиевого шара tAℓ=11,1ч время остывания больше, чем для
стального tст=2,6ч.
Ответ: tAl = 11,1 ч; tст=2,6 ч.
Задача 3. Определить максимальную скорость υmax фотоэлектронов,
вырываемых с поверхности серебра: 1)ультрафиолетовым излучением с
длиной волны λ1=0,155 мкм; 2) γ -излучением с длиной волны λ2=1 пм
(АAg=7,7 эВ).
Анализ и решение. Максимальную скорость фотоэлектронов можно
определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта одноэлектронного
приближения:
ε=А+Тmax ,
(1)
где ε- энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А – работа
выхода; Тmax- максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.
Энергия фотона вычисляется также по формуле:
ε=hc/λ ,
(2)
где h - постоянная Планка; с - скорость света в вакуума; λ - длина волны.
Кинетическая энергия электрона может быть найдена по формуле (при
υ <<с):
(3)
T = m0υ 2 2
или по релятивистской формуле (при υ ~с ) из специальной теории
относительности:
(4)
Т = Е0 1 1 − β 2 − 1 ,
Е0 = m0c 2 и β = υ c ,
в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость
фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект. Если
энергия ε фотона много меньше энергии покоя ЕО= 0,51 МэВ электрона, то
может быть применена формула (3) для «медленных» электронов . Если же
она сравнима по величине с E0 , то вычисление по формуле классической
физики (3) приводит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).
(
)
1) Вычислим энергию фотона ультрафиолетового
тового излучения по формуле
(2):
εI=hc
hc/λ=6.63·10-34·3·108/1.55·10-7=1.28·10-18
Дж.
или во внесистемных единицах:
ε1= 1,28·10-18/ 1,6·10-19= 8 эВ
Полученная энергия фотона ε1 = 8эВ много меньше энергии покоя
электрона Е0=0,51 МэВ.
МэВ Следовательно, для данного случая кинетическая
энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической
формуле (3):
2
ε1 = A + m0υ max
2
откуда:
υ max = 2(ε I − A) / m0 = 2(1,28 ⋅ 10−18 − 0,75 ⋅ 10−18 )/ 9,11 ⋅ 10− 31 = 1,08 ⋅ 106 м / с.
2). Вычислим энергию фотона γ - излучения:
ε2=hc//λ=6.63·10-34·3·108/10-12=1,99·10-13 Дж.
Дж
или во внесистемных единицах:
ε2=1,99
1,99·10-13/1,6·10-19=1,24·106 эВ= 1,24 МэВ.
МэВ
Работа выхода электрона ( ААg, = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по
сравнению с энергией фотона ( Е2= 1,24 МэВ) поэтому можно принять, что
максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона Тmax=
Е2= 1,24 МэВ. Так как в данном случае ε 2 > E0 , то для вычисления скорости
электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4).
Из этой формулы найдем
найдем:
β=
(2 Е0 + Т )Т / (E0 + Т ).
Заметив, что υ = c ⋅ β и Т max = ε 2 , получим:
υ max = c (2 E 0 + ε 2 )ε 2 /( E 0 + ε 2 )
Ответ: υmax
υ max = 3 ⋅ 10 8 ⋅ (2 ⋅ 0,5 + 1,24) ⋅ 1,24 /(0,51 + 1,24) = 2,85 ⋅ 10 8 м / с
= 1,08 ⋅ 106 м / с , υ max = 2,85 ⋅ 10 8 м / с .
Задача 4. На слабо связанный электрон падает рентгеновский фотон с
энергией ε =0,1 МэВ и рассеивается под прямым углом. Найти:
Найти 1)
приращение длины волны фотона, 2) энергию ε' рассеянного фотона, 3)
кинетическую энергию Т электрона отдачи.
Анализ и решение. 1) Изменение длины волны ∆λ
рентгеновского фотона при рассеянии на электроне на
угол ϑ в эффекте Комптона определяется по формуле:
∆λ = λэ − λ = 2πh (1 − cosϑ ) / me c
(1)
1)
С учетом условия задачи: ∆λ=λc(1--cos900)=2,436 пм
2) Энергию рассеянного фотона ε'
ε можно
определить если, учитывая выражение энергии через
определить,
длину волны, преобразовать (1) к виду:
виду
2πhс 2πhс 2πhс
−
=
ε'
ε
ме с
Следовательно, вводя энергию покоя электрона E0 = mec 2 = 0,511МэВ ,
можно рассчитать энергию рассеянного фотона:
ε '=
(ε
ε
E 0 )(1 − cos ϑ ) + 1
=
ε
ε Е0 + 1
=
0,1
= 83,6кэВ
0,1 0,51 + 1
3) кинетическая энергия Т электрона отдачи определяется из закона
сохранения энергии, по которому разность между энергией ε падающего и
энергией ε ' рассеянного фотона передается нерелятивистскому электрону:
Т = ε- ε'=16,4 кэВ .
Ответ: ∆λ= 0,2436 пм, ε'=83,6 кэВ, Тс=1б,4 кэВ.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
4.1.Задачи раздела Тепловое излучение
Определить во сколько раз необходимо уменьшить температуру
абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая светимость
уменьшилась в 16 раз?
Энергетическая светимость абсолютно черного тела 10 кВт м 2 .
Определить длину волны, соответствующую максимуму спектральной
плотности энергетической светимости этого тела.
Как надо изменить температуру абсолютно черного тела, чтобы
максимум спектральной плотности излучательности переместился с
красной границы видимого спектра ( λ = 0,78 мкм ) на фиолетовую
( λ = 0, 4 мкм ) .
Считая никель, абсолютно черным телом, определить мощность,
необходимую для поддержания температуры расплавленного никеля
1453°С неизменной, если площадь его поверхности равна 0,5 см 2 .
Потерями энергии можно пренебречь.
Принимая Солнце за абсолютно черное тело и учитывая, что его
максимальной спектральной плотности энергетической светимости
соответствует длина волны 500 нм, определить температуру поверхности
Солнца.
Мощность излучения абсолютно черного тела равна 10 кВт. Найти
величину излучающей поверхности, если известно, что максимум
спектральной плотности излучения приходится на длину волны 0,7 мкм.
Определить как и во сколько раз изменится мощность излучения
абсолютно черного тела. Если длина волны, соответствующая максимуму
его спектральной плотности излучения, сместилась с 720 нм до 400 нм.
Считая площадь поверхности человеческого тела равной 2 м 2 определить
количество энергии, теряемой человеком в течение суток. Принять
температуру окружающей среды равной 20°С .
9. Считая человека абсолютно черным телом, определить на какую длину
волны приходится максимум спектральной плотности излучательности
человека.
10. Мощность излучения шара радиусом 10 см равна 1 кВт. Найти
температуру шара, считая его серым телом с коэффициентом серости 0,25.
11. При какой температуре абсолютно черного тела максимум спектральной
плотности излучательности будет приходиться на длину волны 0,4 мкм?
12. Принимая коэффициент серости угля при температуре 600 К равным 0,8
определить количество энергии излучаемой с поверхности 5 см 2 за 10
мин.
13. Можно условно принять, что Земля излучает как серое тело, находящееся
при температуре 280 К. Определить коэффициент серости Земли, считая,
что ее энергетическая светимость равна 325 кДж (м 2 ⋅ ч ) .
14. При увеличении температуры абсолютно черного тела в два раза длина
волны, на которую приходится максимум спектральной плотности
излучения, уменьшилась на 400 нм. Определить начальную и конечную
температуру тела.
71. Вследствие изменения температуры тела максимум его спектральной
энергетической светимости переместился с 2,5 мкм до 0,125 мкм. Тело
абсолютно черное. Во сколько раз изменилась: а) температура; 6)
интегральная энергетическая светимость?
Ответ: Т2 =20Т1, R2=16-104R1 .
72. Максимальная спектральная светимость абсолютно черного тела 416
кВт/мм2. На какую длину волны она приходится?
Ответ: λmax= 1,45 мкм.
73.В черный тонкостенный металлический сосуд, имеющий форму куба,
налита вода массой 1 кг при температуре 50°С, целиком заполняющая
сосуд. Определите время остывания сосуда до температуры 10°С, если
сосуд помещен в чёрную полость, температура стенок которой близка к
абсолютному нулю.
Ответ: t = 17,2 часа.
74.Принимая положительный кратер электрической дуги за абсолютно
черное тело, определить отношение мощности излучения в диапазоне длин
волн от 696 нм до 705 нм к полной мощности излучения. Температура
кратера дуги 4000 К.
Ответ: n= 0,009 .
75.Мощность излучения, измеренная в интервале
∆λ2=0,5
нм вблизи длины
волны, соответствующей максимуму излучения λmax, равна мощности
излучения в интервале ∆λ2 вблизи длины волны λ=2λmax. Определите
ширину интервала ∆λ2.
Ответ:
∆λ2 =1,225
нм.
76. Во сколько раз интенсивность излучения черного тела при 100°С
больше, чем при 0°С?
Ответ: в 3,5 раза.
77. При открытой дверце печи внутри ее поддерживается температура
800°С. Размеры дверцы равны 22x15 см2. Сколько энергии в единицу
времени получает комната от печи через открытую дверцу?
Ответ:
2,5 кДж.
78. Принимая температуру накала нити электрической лампы равной
2000°С, определить длину волны, на которую приходится максимум
энергии в спектре ее излучения. В какой части спектра лежит эта волна?
Ответ: λ=1270 нм, в длинноволновой области инфракрасного
излучения.
79. Определить длину волны, на которую приходится максимум
энергии в спектре звезды с температурой 30 000 К. Чему равна интенсивность излучения такой звезды?
Ответ: λmax =96 нм; R3=4,6 1010 Вт/м2.
80. Найти площадь излучающей поверхности нити лампочки
мощностью 75 Вт, если температура нити 2450 К. Излучение нити
составляет 30% излучения абсолютно черного тела при данной температуре.
Потерями тепла, связанными с теплопроводностью, пренебречь.
Ответ: S=0,4 см2 .
81. Пластинка с черной поверхностью площадью 1 м2 помещена в
вакууме перпендикулярно падающим лучам, Определить лучистую
энергию, поглощаемую поверхностью пластинки за одну секунду, если
температура пластинки устанавливается равной 327°С. Потерями тепла,
связанными с теплопроводностью, пренебречь.
Ответ: Е= 7348 Дж.
82. По металлической пластинке длиной 30 мм и шириной 10 мм
проходит электрический ток при напряжении 2В. После установления
теплового равновесия температура пластинки стала, равной 1200 К. Оп-
ределить силу тока, если коэффициент поглощения пластинки
0,82.Температура пластинки одинакова по всей плоскости.
Ответ:
I=14,5 А.
83. При работе лампы накаливания мощности 25 Вт на переменном
токе 50 Гц наибольшая и наименьшая температуры нити отличаются на 70
К. Определить относительное изменение энергий лучистого потока за
полупериод (*мигание* лампы), принимая среднюю температуру нити 2450
К.
Ответ: η=0,11
84. Площадь поверхности вольфрамовой нити накала 25-ваттной
вакуумной лампы 0,403 см2. Температура накала 2177 К. Во сколько раз эта
лампа излучает меньше энергий, чем абсолютно черное тело при тех же
значениях поверхности и температуры? Каков коэффициент поглощения
вольфрама при этой температуре?
Ответ: n= 0,3.
85. Вольфрамовая нить накаливается в вакуума током 1 А до
температуры 1000 К. Какое значение должен иметь ток, чтобы температура
нити быта 3000 К? Потерями энергии вследствие теплопроводности и
изменениями линейных параметров нити пренебречь.
Ответ: I = 7,9 А.
86. Термостат потребляет от сети мощность 0,5 кВт. Температура его
внутренней поверхности, определенная по излучению из открытого
круглого отверстия диаметром 5 см, равна 700 К. Какая часть потребляемой
мощности рассеивается внешней поверхностью термостата?
Ответ: η=94,66 %.
87. Вольфрамовая нить диаметром 0,1 мм соединена последовательно с
другой вольфрамовой нитью. Нити накаливаются в вакууме электрическим
током, причем первая нить имеет температуру 2000 К, а вторая 3000 К.
Каков диаметр второй нити?
Ответ: d2= 55 мкм.
88. При работе радиолампы происходит разогревание анода вследствие
бомбардировки его электронами. Рассеяние энергии, в основном,
осуществляется в виде излучения (рассеяние посредством
теплопроводности подводящих частей незначительно). Определить
допустимую силу анодного тока в лампе, работающей под напряжением 400
В. Анод сделан из никеля в виде цилиндра длиной 4 см и диаметром 1 см.
Принять, что энергия рассеивается только с наружной поверхности
цилиндра и что нагревание анода до 1000 К. является допустимым. При
этой температуре коэффициент полного излучения никеля равен 0,2.
Ответ: Iа =35,6 мкА.
89. Оценить диаметр медной проволоки, предназначенной для плавкого,
предохранителя на ток силой 5 А. Температура плавления меди равна 1355
К, удельное сопротивление при этой температуре равно 0,1 мкОм·м. При
температурах около 1000 К теплоотдача идет, в основном, через излучение,
которое близко к излучению абсолютно черного тела.
От в е т: d=0,17 мм.
90. На корпусе космической лаборатории, летящей вокруг Солнца по
круговой орбите, радиус которой равен среднему расстоянию Земли от
Солнца, установлено устройство, моделирующее абсолютно черное тело.
Наружная поверхность оболочки этого устройства является идеально
отражающей. Отверстие в оболочке все время обращено к Солнцу.
Пренебрегая теплообменом через крепление устройства к корпусу
лаборатории, определить равновесную температуру, которая установится
внутри устройства. Температуру солнечной поверхности принять равной
5800 К.
Ответ: Т=395 К.
91. Приняв температуру поверхности Солнца равной 6000 К, радиус 6,5
10 м, определить какое количество энергии излучает оно за время 60 с.
Излучение Солнца считать близким к излучению абсолютно черного тела.
Также, исходя из формулы Эйнштейна о взаимосвязи массы и энергии,
найти какое количество массы Солнца переходит в энергию излучения за
секунду.
8
Ответ: Е = 2,5 1025Дж, m = 4,3 109кг.
92. Имеются два абсолютно черных источника теплового излучения.
Температура одного из них 2500 К. Найти температуру другого источника,
если длина волны, соответствующая максимуму его испускательной
способности на 0,5 мкм больше длины волны, соответствующей максимуму
излучения первого источника.
Ответ: Т2= 1747 К.
4.2.Задачи раздела Фотоэффект
93. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 400 нм.
Определить минимальное значение энергии фотона, вызывающего
фотоэффект.
94. Калий освещается светом с длиной волны 400 нм. Определить
минимальное задерживающее напряжение, при котором фототок
прекращается. Работа выхода электронов из калия равна 2,2 эВ.
95. Определить работу выхода электронов из вольфрама, если красная
граница фотоэффекта для него равна 275 нм.
96. Будет ли наблюдаться фотоэффект, если на поверхность серебра
направить излучение с длиной волны 300 нм? Работа выхода электронов из
серебра равна 4,7 эВ.
97.Красная граница фотоэффекта для металла равна 500 нм. Определить
максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности
излучением с длиной волны 400 нм.
98. Выбиваемые светом с длиной волны 400 нм из катода электроны
полностью задерживаются напряжением 1,2 В. Определить красную границу
фотоэффекта.
99.Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с
поверхности цинка (работа выхода 4 эВ), излучением с длиной волны 247 нм.
100. В 1916 г. Р. Милликен при исследовании фотоэффекта с поверхности
натрия Nа получил данные, приведённые в таблице:
Частота света; 10 14 Гц
Задерживающее напряжение; В
5,49
6,92
7,41
8,22
9,60
11,83
0,47
1,02
1,20
1,60
2,13
3,02
Используя эти данные, определить: а) значение постоянной
Планка; б) работу выхода электрона для натрия.
Ответ: ћ=1,04·10-34 Дж·с, Авых=1,8 эВ.
101. Красная граница фотоэффекта для калия соответствует длине волны
577 нм. Вычислите минимальную энергию кванта, необходимую для
освобождения фотоэлектрона из данного металла.
Ответ: ε=2,15 эВ.
102. Фотоэффект у некоторого металла начинается при частоте
падающего света 600 ТГц (терагерц, 1012 ). Определите частоту света, при
которой освобождаемые им с поверхности данного металла электроны
полностью задерживаются разностью потенциалов в 3 В. Найдите работу
выхода для данного металла.
Ответ: ν=1,33 1015 с-1, Авых=2,48 эВ.
103. При освещении фотокатода излучением с длиной волны 279 нм
задерживающий потенциал равен 0,66 В, при длине волны 245 нм
задерживающий потенциал становится равным 1,26 В. Считая заряд
электрона и скорость света известными, определите постоянную Планка и
работу выхода электрона из данного металла.
Ответ: h= 6,55·10-34 Дж·с , Авых=3,74 эВ.
104. Квант света с длиной волны 232 нм освобождает с поверхности
платинового электрода фотоэлектрон. Определите импульс, сообщаемый
при этом электроду, если известно, что фотоэлектрон вылетает навстречу
падающему кванту.
Ответ: 1,38·1025 кг·м/с.
105. При исследовании вакуумного фотоэлемента, оказалось, что при
освещении катода светом частоты 1 ПГц (петагерц, 1015 ) фототок с
поверхности катода прекращается при задерживающей разности
потенциалов 2 В между катодом и анодом. Определить работу выхода
материала катода.
Ответ: Авых =3,35 ·1019 Дж=2,1 эВ.
106. Катод фотоэлемента освещается монохроматическим светом. При
отрицательном потенциале на аноде – 1,6 В ток цепи прекращается. При
изменении длины волны света в 1,5 раза для прекращения тока
потребовалось, подать на анод отрицательный потенциал – 1,8 В.
Определить работу выхода материала.
Ответ: Авых =2e(1,5·U1-U2)=1,2 эВ= 1,9 · 10-19Дж.
107. Для измерения постоянной Планка катод вакуумного фотоэлемента
освещается монохроматическим светом. При длине волны излучения 620 нм
ток фотоэлектронов прекращается, если в цепь между катодом и анодом
включить задерживающий потенциал не меньше определенного значения.
При увеличении длины волны на 25 % задерживающий потенциал
оказывается на 0,4 В меньше. Определить по этим данным постоянную
Планка.
Ответ: h=5λe∆U/с= 6,6 · 10-34 Дж·с.
108. Плоский алюминиевый электрод освещается ультрафиолетовым светом
с длиной волны 83 нм. На какое максимальное расстояние от поверхности
электрода может удалиться фотоэлектрон, если вне электрода имеется
задерживающее электрическое поле напряженности 7,5 В/см? Красная
граница фотоэффекта для алюминия соответствует длине волны 332 нм.
Ответ: l = 1,5см =
Т
hc  1 1 
=
 − .
еЕ еЕ  λ λ 
109. Какова максимальная скорость электронов, вылетающих с поверхности
цезия под действием излучения с длиной волны 0,36 мкм? Принять работу
выхода равной 1,23 эВ.
Ответ: υ =882 км/с.
110. Красная граница фотоэффекта для калия 0,577 мкм. При какой
задерживающей разности потенциалов на сетке, расположенной между
катодом и анодом, прекратится фототок в цепи, если освещать катод светом
с длиной волны 0,4 мкм?
Ответ: U3= 0,95 В.
111. Красная граница фотоэффекта для цинка 0,29 мкм. Какая часть энергии
фотона, вызывающего фотоэффект, расходуется на работу выхода, если
максимальная скорость электронов, вырванных с поверхности металла,
равна 1000 км/с?
Ответ: η=0,6.
112. Определить наименьшую задерживающую разность потенциалов,
необходимую для прекращения фотоэмиссии с катода, если поверхность его
освещается излучением с длиной волны 0,4 мкм, а красная граница для
этого катода 0,67 мкм.
Ответ: Uз=1,26 В.
113. До какого потенциала можно зарядить удаленный от других тел
цинковый шарик, облучая его ультрафиолетовым излучением с длиной
волны 200 нм? Работа выхода для цинка 4,34 эВ.
Ответ: φ=2,5 В.
4.3.Задачи раздела Эффект Комптона
114.Определить длину волны рентгеновского излучения, если при
комптоновском рассеянии этого излучения под углом 60° длина волны
рассеянного излучения оказалась равной 57 пм.
115. Фотон с энергией 0,3 МэВ рассеялся под углом 180° на свободном
электроне. Определить долю энергии фотона, приходящуюся на рассеянный
фотон.
116.Фотон с энергией 0,4 МэВ рассеялся под углом 90° на свободном
электроне. Определить энергию рассеянного фотона и кинетическую
энергию электрона отдачи.
117.Фотон с энергией 1,025 МэВ рассеялся на первоначально покоившемся
электроне. Определить угол рассеяния фотона, если длина волны
рассеянного фотона стала равна 2,43 пм.
118.Фотон с энергией 0,25 МэВ рассеялся на свободном электроне на угол
120° . Определить кинетическую энергию электрона отдачи.
106.Фотон с длиной волны 5 пм испытал рассеяние под углом 90° на
первоначально покоящемся свободном электроне. Определить изменение
длины волны фотона, энергию электрона отдачи, импульс электрона отдачи.
119.Угол рассеяния фотона 90° . Угол отдачи электрона 30° . Определить
энергию падающего фотона.
120. Фотон длиной волны 700 пм (видимая часть спектра) рассеивается под
углом 90° на свободном покоящемся электроне. Определить: а) какую долю
первоначальной энергии теряет при этом фотон; б) какую скорость
приобретает электрон.
Ответ: а) ∆Е/Е=λс( λ+λс)=3,5 мкм; б) υ » 1,5 км/с.
121. Фотон рентгеновского излучения с длиной волны 214 нм в результате
эффекта Комптона испытал рассеяние под углом 90° к первоначальному
направлению. Какую часть своей энергии фотон передал электрону?
Ответ: η=10,2 %.
122. В результате комптоновского рассеяния длина волны фотона с
энергией 0,048 пДж изменилась на 20 %. Определить энергию электрона
отдачи.
Ответ: Е = 0,008 пДж.
123. Длина волны света, падающего на вещество со свободными
электронами, равна 0,003 нм. Какую энергию приобретут электроны отдачи
при рассеяния кванта под углом 60°?
Ответ: Е= 120 кэВ.
124. Найдите длину волны, соответствующую фотону, если известно, что
энергия рассеянного фотона и электрона отдачи равны между собой при
угле 90° между управлениями их движений.
Ответ: λ=0,00242 нм.
125. Определить длину волны рентгеновских лучей, для которых
комптоновское рассеяние на угол 90° удваивает длину волны.
Ответ:
λ=2,5·10-10 см.
126. В результате комптоновского рассеяния фотона на покоящемся
электроне последний получил импульс отдачи Р=mc. Определить, под
каким углом по отношению к направлению падающего фотона мог вылететь
электрон с таким импульсом.
Ответ: φ= 64,5°.
5. Примеры решения задач разделов
Атом по теории Бора и волновые свойства частиц
Задача 1. Оценить относительное изменение уровня энергии электрона
в основном состоянии для атома водорода при учете конечности массы ядра.
Анализ и решение. В реальном атоме электрон и ядро вращаются
вокруг их центра массы. Поэтому энергия стационарного состояния атома En
слагается из кинетической энергии электрона и ядра Т и их взаимной
потенциальной энергии U .
Для вычисления этой внутренней энергии предполагается, что
расстояние между центрами масс ядра и электрона выражается b = R + r , где
соответственно R и r расстояния частиц от центра масс, масса ядра М, масса
электрона m, a их скорости υ1 и υ2 .
Между частицами действуют кулоновские силы, которые каждой
частице сообщают нормальные ускорения такие, что:
Mυ12
Ze 2
mυ 22
=
=
.
R
r
4πε ob 2
(1)
Следовательно, энергия стационарного состояния атома, определяемая
энергиями движения частиц и взаимного притяжения, равна
En = T + U =
En =
Mυ12
2
+
mυ2
2
2
Ze 2
−
Ze 2
4πεob
(2)
Ze 2
Ze 2
−
=−
8πε ob 4πε ob
8πε ob
Для преобразования формулы (2) к виду используемому в случае
неподвижного ядра (обычно предполагается для бесконечно большой
массы ядра по сравнению с массой электрона) необходимо определить b. Это
возможно, если воспользоваться постулатом Бора и законом сохранения
момента импульса для ядра и электрона движущихся вокруг их центра
массы.
Mυ1R = mυ 2 r = nh ,
(3)
mωr 2 = MωR 2
(4)
Из уравнения (4) можно найти связь b и r:
mr 2 = M (b − r )2 ,
откуда
b = r ( m M + 1)
(5)
Решение уравнения (1) совместно с (3) и (5) определяет радиусы
допустимых орбит:
rn =
4πεo n 2h 2
(
)2
m M +1
(6)
Ze 2m
Следовательно, выражение для внутренней энергии атома может быть
найдено из уравнения (2) с учетом (5) и (6):
En = −
(Ze ) m
h n ( m M + 1)
2 2
32π 2 ε o2
3
2 2
(7)
Для Z=1 и М → ∞ уравнение (1.7) определяет энергию стационарного
состояния атома водорода, полученного в предположении неподвижного
ядра:
En ∞ = −
(Ze ) m
2 2
(8)
32π 2 ε o2 h 2 n 2
Таким образом, относительное изменение уровня энергии электрона при
учете конечности массы ядра составит:
η=
E n∞ − E n
=1−
E n∞
(
1
)
m M +1
3
=1−
( 9,11 ⋅ 10
1
−31
1,67 ⋅ 10
− 27
)
+1
3
≈ 7%
Ответ: η = 7%.
Задача 2. На узкую щель шириной b = 1мкм направлен пучок
электронов, имеющих скорость υ = 3,65 ⋅ 10 6 м с . Найти расстояние между
двумя максимумами первого порядка в дифракционной картине,
наблюдаемой на экране, который находится на расстоянии L = 10 см от щели
и ей параллелен.
Анализ и решение. Проходя через щель, электроны рассеиваются и на
экране формируют дифракционную картину. По гипотезе де Бройля длина
волны, соответствующая частице массой m , движущейся со скоростью υ <
c , определяется величиной:
(1)
λ = h p = h (mυ )
Условие для наблюдения максимума интенсивности в дифракционной
картине k -го порядка позволяет найти его угловое положение по уравнению:
1
λ
sin ϕ = ± (2k + 1) ,
(2)
b
2
k
где k =0, 1, 2, 3, … - порядковый номер максимума, b - ширина щели.
Для максимумов первого порядка (k = 1) угол ϕ мал, что позволяет
сделать приближение sin ϕ ≈ tgϕ ≈ ϕ . Тогда из уравнения (2) угловое
расстояние между первыми максимумами 2ϕ = 3λ b .
Линейное расстояние на экране выражается:
(3)
x = 2 L ⋅ tgϕ ≈ 2 Lϕ
Учитывая соотношение де Бройля (4.1), рассчитывается:
x=
3Lh
3 ⋅ 0,1 ⋅ 6,62 ⋅ 10 −34
= −6
= 6 ⋅ 10 − 5 м
− 31
6
bmυ 10 ⋅ 9,1 ⋅ 10 ⋅ 3,65 ⋅ 10
Ответ: 60 мкм.
Задача 3. Оценить с помощью соотношения неопределенностей
∆р х ∆x ≥ h 2 минимальную кинетическую энергию Т электрона,
находящегося в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
Ширина ямы 10-10 м.
Анализ и решение. Электрон в потенциальной яме находится в
пределах области с неопределенностью:
∆x = l 2
(1)
Физически разумная неопределенность импульса ∆р не должна
превышать значения самого импульса р:
∆р x ≤ p = 2mo T
(2)
Тогда, используя соотношение неопределенности, и выражения (1) и (2),
можно записать:
∆p x ∆x = 2m e T l 2 ≥ h 2
(3)
Откуда значение минимальной кинетической энергии вычисляется:
4h 2
1,05 2 ⋅ 10 −68
Т= 2
= − 20
= 0,57 ⋅ 10 −18 Дж = 0,036 эВ
− 31
4l ⋅ 2m e 10 ⋅ 2 ⋅ 9,11 ⋅ 10
Ответ: Т = 0,036эВ .
5.1.Задачи раздела Атом по теории Бора
1. Определить наибольшую и наименьшую длины волн в видимой области
спектра (серия Бальмера) атомарного водорода.
Ответ: λ макс = 0,65 мкм , λ мин = 0,36 мкм .
2. Определить номер орбиты электрона в атоме водорода, если известно, что
переход с этой орбиты на вторую (n =2) сопровождается излучением кванта с
длиной волны 0,487 мкм.
Ответ: n = 4
3. В опытах Франка и Герца энергия возбуждения атомов ртути оказалась
равна 4,9 эВ. Чему равна длина волны излучения атомов ртути при переходе
в невозбужденное состояние?
Ответ: λ = 0,253мкм .
4. Какую наименьшую скорость должны иметь сторонние электроны, чтобы
при соударении с невозбужденными атомами водорода вызвать излучение
хотя бы одной спектральной линии спектра водорода? Вычислить длину
волны этой линии.
Ответ: υ = 1890 км с , λ = 0,122 мкм .
5. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти сторонний
электрон, чтобы при столкновении с атомом водорода ионизовать его, то есть
выбить электрон из атома водорода в основном состоянии?
Ответ: U = 13,6 B .
6. Вычислить частоты обращения электрона в атоме водорода на второй ( n
=2) и третьей ( n =3) орбитах. Сравнить эти частоты с частотой излучения при
переходе электрона с третьей на вторую орбиту.
Ответ:ν изл = 4,62 ⋅ 1014 Гц, n 2 = 8,25 ⋅ 1014 об с, n3 = 2,44 ⋅ 1014 об с.
7. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной
волны 0,1215 мкм. Определить радиус электронной орбиты возбужденного
атома водорода.
Ответ: rn = 0,212 нм, n = 2 .
8. Длины волн первой линии в серии Лаймана и последней линии в серии
Бальмера в спектре атома водорода соответственно равны 0,1215 мкм и 0,365
мкм. Вычислить на основании этих данных энергию ионизации атома
водорода.
Ответ: Е = 2,174 ⋅ 10 −18 Дж .
9. Определить орбитальный магнитный момент электрона В основном
состоянии атома водорода . (Магнетон Бора - µ Б ).
Ответ:
µ
Б
= 9,27 ⋅ 10
−24
А⋅ м
2
.
10. Вычислить для атома водорода Н и иона гелия Не + радиус первой
боровской орбиты ri и скорость электрона υi на ней.
Ответ:1) r H = 52,9 пм и υ Н = 2,19 Мм с ; 2) r + = 26,5 пм и υ + = 4,38 Мм с .
11. Определить потенциал ионизации U i и первый потенциал возбуждения U1
иона лития Li++.
Ответ: U i = 122,4 В и U 1 = 91,8 В.
12. Найти численное значение кинетической, потенциальной и полной
энергии электрона на первой боровской орбите.
О т в е т: Т= 13,6 эВ, U=-27,2 эВ, Е= 13,6 эВ .
13. На атом водорода падает фотон и выбивает из атома электрон с
кинетической энергией 3,5 эВ. Вычислить энергию падающего фотона, если
выбитый электрон находился первоначально на второй орбите.
Ответ: Е = 6,9 эВ.
14. Вычислить длины волн спектральных линий, которые появятся В спектре
атомарного водорода при облучении его ультрафиолетовым светом с длины
волны 100 нм.
Ответ: λ 31 = 102,6 нм; λ 32 = 656,3 нм; λ 21 = 121,5 нм.
He
He
5.2.Задачи раздела Соотношения неопределённостей
15.Определить скорость движения частицы, если ее масса в два раза больше
массы покоя.
16. Определить скорость, при которой импульс частицы в три раза
превышает ее ньютоновский импульс.
17. Полная энергия частицы в 8 раз превышает ее энергию покоя. Определить
скорость этой частицы.
18.Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя.
Определить скорость частицы.
19.Определить какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти
электрон, чтобы он двигался со скоростью v = 0,8 c .
20. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями v1 = 0,6 c и
v 2 = 0,9 c . Определить относительную скорость частиц.
21.Две частицы удаляются друг от друга с одинаковыми по модулю
скоростями. Их относительная скорость в этой системе отсчета v = 0,5 c .
Определить скорость частиц.
22.Электрон движется со скоростью 2 ⋅ 108 м с . Определить длину волны де
Бройля для электрона, учитывая зависимость массы от скорости.
23.Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон,
чтобы длина волны де Бройля была равна 0,1 нм?
24.Найти длину волны де Бройля протона, прошедшего ускоряющую
разность потенциалов 1 МВ.
25.Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы
равна дебройлеровской длине волны, определить относительную
неопределенность ∆р р импульса частицы.
26. Электрон с кинетической энергией 15 эВ находится в металлической
пылинке диаметром 1 мкм. Оценить в процентах относительную неточность,
с которой может быть определена скорость электрона.
Ответ: ∆υ х υ = 0,01% .
27. Положение центра тяжести шарика, масса которого 5 мг, может быть
установлено с точностью до 2 мкм. Имеет ли в этом случае практическое
значение соотношение неопределенности при определении скорости
движения шарика?
Ответ: ∆υ х = 10 −23 м с .
28. Для того чтобы установить принадлежность электрона к данному атому
водорода, положение его должно быть определено с точностью до 0,1 мкм,
так как диаметр атома в невозбужденном состоянии имеет такой порядок
величины. Сравнить получающуюся при этом неопределенность в скорости
электрона с величиной самой скорости на первой боровской орбите атома
водорода.
Ответ: ∆υ х = 1100 км с , υ = 2000 км с .
29.Траектория частицы в камере Вильсона представляет собой цепочку
маленьких капелек тумана, размер которых порядка 1 мкм. Можно ли
наблюдая след электрона с энергией 1 кэВ, обнаружить отклонения в его
движении от законов классической механики?
Ответ: ∆р х р х = 6,2 ⋅ 10−6 .
30. Атом излучает фотон с длиной волны 0,6 мкм. Известно, что время
излучения порядка 10 нс. С какой точностью может быть локализован
данный фотон в направлении своего движения? Оценить, исходя из
соотношения неопределенностей для энергии, неточность в определении
указанной длины волны.
Ответ: ∆х ≈ 3 м ; ∆λ ≥ 1,9 ⋅ 10 −14 м .
31.Электрон движется со скоростью 2 ⋅ 108 м с . Определить длину волны де
Бройля для электрона, учитывая зависимость массы от скорости.
32. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон,
чтобы длина волны де Бройля была равна 0,1 нм?
33. Найти длину волны де Бройля протона, прошедшего ускоряющую
разность потенциалов 1 МВ.
34. Электрон находится в потенциальной яме шириной l в возбужденном
состоянии ( n = 2 ) . Определить в каких точках интервала ( 0 < x < l )
плотность вероятности нахождения частицы минимальна?
35. Электрон находится в потенциальной яме шириной l в возбужденном
состоянии ( n = 2 ) . Определить в каких точках интервала ( 0 < x < l )
плотность вероятности нахождения частицы максимальна?
36. Электрон в одномерной потенциальной яме шириной l находится в
возбужденном состоянии ( n = 2 ) . Определить вероятность обнаружения
3
5
частицы в области l < x < l .
8
8
37. Электрон в одномерной потенциальной яме шириной l находится в
возбужденном состоянии ( n = 3) . Определить вероятность обнаружения
1
2
частицы в области l < x < l
3
3
38. Электрон находится в потенциальном яме шириной l = 0,5 нм.
Определить наименьшую разность ∆E энергетических уровней электрона .
Ответ выразить в электрон-вольтах .
Ответ : 4,48 эВ .