2009-2010 ó÷. ãîä. Ôàêóëüòåò ýëåêòðîíèêè. Òåðìîäèíàìèêà è ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà (Ôèçèêà 5) (çàäàíèÿ ïî êóðñîâîé ðàáîòå) Òåìà I. Òåðìîäèíàìèêà ìîëåêóëÿðíûõ ãàçîâ. Âëèÿíèå ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé. Òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòü: 1. Ìîäåëü áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà. Îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ìîäåëè. 2. Âûâîä âûðàæåíèé äëÿ îñíîâíûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà: F (T, V, N ) (Ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ) G(T, p, N ) (Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà) U (T, V, N ) è U (T, p, N ) (Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ) S(T, V, N ) è S(T, p, N ) (Ýíòðîïèÿ) µ(T, V, N ) è µ(T, p, N ) (Õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë) CV (T, V, N ) è Cp (T, V, N ) (Òåïëîåìêîñòè) 3. Âûâîä ôîðìóëû äëÿ âêëàäà ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ è òåïëîåìêîñòü CV ìîëåêóëÿðíîãî ãàçà. Ðàñ÷åòíàÿ ÷àñòü: Âàðèàíò Ià. Îñíîâíîé ýëåêòðîííûé òåðì ìîëåêóëû NO åñòü äóïëåò (äâà áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ óðîâíÿ ýíåðãèè), ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ñîñòàâëÿåò ∆ = 0, 0153 ÝÂ. Îáà óðîâíÿ äóïëåòà äâóêðàòíî âûðîæäåíû. 1) Îöåíèòü òåìïåðàòóðó Týë , ïðè êîòîðîé kTýë ≈ ∆. Êàêîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò ýòà òåìïåðàòóðà? 2) Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ âêëàäà ýëåêòðîííîãî äóïëåòà Fýë â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ ãàçà. 3) Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ âêëàäà ýëåêòðîííîãî äóïëåòà Cýë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà. 4) Âûâåñòè è îáñóäèòü ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ Fýë è Cýë â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Týë è T Týë . 5) Îöåíèòü âêëàä ýëåêòðîííîãî äóïëåòà â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ T ≈ 20 0 C. 6) Ïîñòðîèòü è îáñóäèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè Cýë îò òåìïåðàòóðû. (Ãðàôèê ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà). Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñëåäóåò ñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåïëîåìêîñòè Cýë /R (R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ) îò áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T /Týë . Âàðèàíò I á. Îñíîâíîé ýëåêòðîííûé òåðì ìîëåêóëû O2 òðåõêðàòíî âûðîæäåí (ïî çíà÷åíèÿì ïðîåêöèè ñïèíà ìîëåêóëû), à ïåðâûé âîçáóæäåííûé óðîâåíü ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ (äâóêðàòíî âûðîæäåííûé) îòäåëåí îò îñíîâíîãî òåðìà ùåëüþ ∆E = 0, 974 ÝÂ. 1) Îöåíèòü òåìïåðàòóðó Týë , ïðè êîòîðîé kTýë ≈ ∆E . Êàêîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò ýòà òåìïåðàòóðà? 2) Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ âêëàäà âîçáóæäåííîãî ýëåêòðîííîãî óðîâíÿ Uýë âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ ãàçà. 3) Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ âêëàäà âîçáóæäåííîãî ýëåêòðîííîãî óðîâíÿ Cýë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà. 4) Âûâåñòè è îáñóäèòü ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ Uýë è Cýë â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Týë è T Týë . 5) Îöåíèòü âêëàä âîçáóæäåííîãî ýëåêòðîííîãî óðîâíÿ â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ T ≈ 20 0 C. 6) Èçîáðàçèòü è îáñóäèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè Cýë îò òåìïåðàòóðû. (Ãðàôèê ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà) Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñëåäóåò ñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåïëîåìêîñòè Cýë /R (R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ) îò áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T /Týë . Óêàçàíèå: Óêàçàíèå: 1 Òåìà II. Òåðìîäèíàìèêà ìîëåêóëÿðíûõ ãàçîâ. Âëèÿíèå âðàùåíèÿ ìîëåêóë. Òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòü: 1. Ìîäåëü áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà. Îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ìîäåëè. 2. Âûâîä âûðàæåíèé äëÿ îñíîâíûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà: F (T, V, N ) G(T, p, N ) U (T, V, N ) è U (T, p, N ) S(T, V, N ) è S(T, p, N ) µ(T, V, N ) è µ(T, p, N ) CV (T, V, N ) è Cp (T, V, N ) (Ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ) (Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà) (Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ) (Ýíòðîïèÿ) (Õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë) (Òåïëîåìêîñòè) 3. Âûâîä ôîðìóëû äëÿ âêëàäà âðàùåíèÿ ìîëåêóë â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ è òåïëîåìêîñòü CV ìîëåêóëÿðíîãî ãàçà. Ðàñ÷åòíàÿ ÷àñòü: Âàðèàíò II à. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå çíà÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû Tr äëÿ âðàùåíèé ìîëåêóëû HD (H è D èçîòîïû âîäîðîäà) ñîñòàâëÿåò Tr = 64 o K. 1) Îöåíèòü ñ ïîìîùüþ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî çíà÷åíèÿ Tr ìîìåíò èíåðöèè ìîëåêóëû HD è ðàâíîâåñíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè â ìîëåêóëå. 2) Âûâåñòè ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäà âðàùåíèé ìîëåêóë â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ ãàçîîáðàçíîãî HD â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Tr è Tr Tr . 3) Âûâåñòè è îáñóäèòü ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäà âðàùåíèé ìîëåêóë Câðàù â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçîîáðàçíîãî HD â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Tr è Tr Tr . 4) Îöåíèòü âêëàä âðàùåíèé ìîëåêóë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ T ≈ 20 0 C. 5) Ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè Câðàù îò òåìïåðàòóðû, ó÷èòûâàÿ â ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììå äëÿ âðàùåíèé çíà÷åíèÿ âðàùàòåëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà îò J = 0 äî J = 5. (Ãðàôèê ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà). Ñ êàêîé òî÷íîñòüþ âîñïðîèçâîäèòñÿ ïðè ýòîì ïðåäåëüíûé êëàññè÷åñêèé ðåçóëüòàò äëÿ Câðàù ? Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñëåäóåò ñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåïëîåìêîñòè Câðàù /R (R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ) îò áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T /Tr . Âàðèàíò II á. Ìîëåêóëà ìåòàíà CH èìååò ôîðìó òåòðàýäðà è îòíîñèòñÿ ê òèïó øàðîâîãî âîë÷êà (âñå òðè ãëàâíûõ ìîìåíòà èíåðöèè4 ìîëåêóëû îäèíàêîâû). Âðàùàòåëüíûå óðîâíè òàêîé ìî~ J(J + 1), ãäå I îáùåå çíà÷åíèå òðåõ ãëàâíûõ ìîìåíòà èíåðöèè, ëåêóëû äàþòñÿ ôîðìóëîé ε = 2I J = 0, 1, 2, . . . âðàùàòåëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå çíà÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû äëÿ âðàùåíèé ìîëåêóëû ìåòàíà ñîñòàâëÿåò Tr = 50 o K. Ñïèí ÿäðà C ðàâåí íóëþ, îäíàêî ñïèí ÿäðà H îòëè÷åí îò íóëÿ è ðàâåí s = 1/2 (â åäèíèöàõ ~). Òàêèì îáðàçîì, ïîëíûé ÿäåðíûé ñïèí ìîëåêóëû CH4 ìîæåò áûòü ðàâåí Sÿä = 0, 1, 2. Êàê ïîêàçûâàåò êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèé àíàëèç, äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ J ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííîå ÷èñëî êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ïîëíîãî ÿäåðíîãî ñïèíà. Íèæå ïðèâîäÿòñÿ ýòè ÷èñëà äëÿ ïåðâûõ òðåõ çíà÷åíèé J : Óêàçàíèå: 2 J Ïîëíûé ÿäåðíûé ñïèí J =0 J =1 J =2 Sÿä : 0 − − 2 1 − 1 1 2 1 − − 1) Îöåíèòü ñ ïîìîùüþ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî çíà÷åíèÿ Tr ìîìåíò èíåðöèè ìîëåêóëû CH4 . 2) Âûâåñòè ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû âðàùåíèé Zâðàù (äëÿ îäíîé ìîëåêóëû) ïðè òåìïåðàòóðàõ T Tr , ó÷èòûâàÿ ëèøü âêëàä ñîñòîÿíèé ñ J = 0, 1, 2. 3)  òîì æå ïðèáëèæåíèè ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ âêëàäà âðàùåíèé Câðàù â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçîîáðàçíîãî CH4 ïðè T Tr . 4) Îöåíèòü âêëàä âðàùåíèé ìîëåêóë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ T ≈ 20 0 C. 5) Ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè Câðàù îò òåìïåðàòóðû, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó èç ïóíêòà 2) çàäàíèÿ. (Ãðàôèê ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà). Äàåò ëè ýêñòðàïîëÿöèÿ ýòîé çàâèñèìîñòè íà îáëàñòü T > Tr ðàçóìíóþ îöåíêó êëàññè÷åñêîãî ðåçóëüòàòà äëÿ Câðàù ? Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñëåäóåò ñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåïëîåìêîñòè Câðàù /R (R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ) îò áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T /Tr . Óêàçàíèå: 2 Òåìà III. Òåðìîäèíàìèêà ìîëåêóëÿðíûõ ãàçîâ. Âëèÿíèå êîëåáàíèé àòîìîâ. Òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòü: 1. Ìîäåëü áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà. Îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ìîäåëè. 2. Âûâîä âûðàæåíèé äëÿ îñíîâíûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà: F (T, V, N ) (Ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ) G(T, p, N ) (Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà) U (T, V, N ) è U (T, p, N ) (Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ) S(T, V, N ) è S(T, p, N ) (Ýíòðîïèÿ) µ(T, V, N ) è µ(T, p, N ) (Õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë) CV (T, V, N ) è Cp (T, V, N ) (Òåïëîåìêîñòè) 3. Âûâîä ôîðìóëû äëÿ âêëàäà êîëåáàíèé àòîìîâ â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ è òåïëîåìêîñòü CV ìîëåêóëÿðíîãî ãàçà. Ðàñ÷åòíàÿ ÷àñòü: Âàðèàíò III à. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå çíà÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû äëÿ êîëåáàíèé àòîìîâ â ìîëåêóëå O2 ñîñòàâëÿåò Tv = 2230 o K. 1) Âûâåñòè ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäà êîëåáàíèé àòîìîâ Uêîë âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ ãàçîîáðàçíîãî êèñëîðîäà â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Tv è T Tv . 2) Âûâåñòè ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäà êîëåáàíèé àòîìîâ Cêîë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçîîáðàçíîãî êèñëîðîäà â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Tv è T Tv . 3) Îöåíèòü âêëàä êîëåáàíèé ìîëåêóë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ T ≈ 20 0 C. 4) Ïîñòðîèòü è îáñóäèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè Cêîë îò òåìïåðàòóðû T äëÿ ãàçîîáðàçíîãî êèñëîðîäà. (Ãðàôèê ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà). Îïðåäåëèòü ïî ãðàôèêó, ÷åìó ðàâíî îòíîøåíèå Cêîë ê êëàññè÷åñêîìó ðåçóëüòàòó ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ (T ≈ 20o C). Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñëåäóåò ñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåïëîåìêîñòè Cêîë /R (R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ) îò áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T /Tv . Âàðèàíò III á. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå çíà÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû äëÿ êîëåáàíèé àòîìîâ â ìîëåêóëå NO ñîñòàâëÿåò Tv = 2690 o K. 1) Âûâåñòè ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäà êîëåáàíèé àòîìîâ Sêîë â ýíòðîïèþ ãàçîîáðàçíîãî NO â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Tv è T Tv . 2) Âûâåñòè ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäà êîëåáàíèé àòîìîâ Cêîë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçîîáðàçíîãî NO â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ T Tv è T Tv . 3) Îöåíèòü âêëàä êîëåáàíèé ìîëåêóë â ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ T ≈ 20 0 C. 4) Ïîñòðîèòü è îáñóäèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè Cêîë îò òåìïåðàòóðû T äëÿ ãàçà NO. (Ãðàôèê ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà). Îïðåäåëèòü ïî ãðàôèêó, ÷åìó ðàâíî îòíîøåíèå Cêîë ê êëàññè÷åñêîìó ðåçóëüòàòó ïðè òåìïåðàòóðå T = 500o C. Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñëåäóåò ñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåïëîåìêîñòè Cêîë /R (R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ) îò áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T /Tv . Óêàçàíèå: Óêàçàíèå: 3