Методические указания к лабораторным работам по физике по

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Кемеровский технологический институт пищевой промышленности
КАФЕДРА ФИЗИКИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к лабораторным работам по физике по курсу
«Молекулярная физика и термодинамика» для студентов всех специальностей
Составили: профессор кафедры физики
Бахтин Н.А.,
доцент кафедры физики
Уфимцева Л.Д.
Утверждено: на кафедре физики
протокол № 5 от 26.06.02
Утверждено: на заседании методической
комиссии
протокол №
от
Кемерово 2002 г.
3
Лабораторная работа №1
Определение величины отношения теплоемкостей воздуха при постоянном давлении и постоянном объеме
Цель работы: Определить экспериментально значение отношения γ = Ср/СV
и сравнить его со значением вычисленным теоретически.
Оборудование. Лабораторная установка для определения γ = Ср/СV.
Краткая теория
Под теплоемкостью тела понимают физическую величину, численно равную
количеству теплоты, которое необходимо подвести к телу, для того чтобы повысить
его температуру на один градус.
Теплоемкость газов зависит от условий, при которых они нагреваются. Для
теоретического определения теплоемкости газа необходимо ввести ряд понятий.
Внутренняя энергия системы
Пусть система состоит из N молекул. Т.к. средняя энергия одной молекулы
равна ε , то полная энергия системы W = ε N.
Если масса газа m, а молекулярная масса µ, то количество вещества, т.е. число
молей, равно ν = m/µ. В одном моле содержится NA молекул, тогда
N= ν NA. С учетом этого полная энергия равна
W = ν⋅ ε ⋅NA.
Средняя энергия ε одной молекулы зависит от числа степеней свободы.
Степени свободы молекул
Под числом степеней свободы i понимают минимальное количество независимых координат, которые необходимо ввести, чтобы однозначно определить положение тела в пространстве.
1. Если точка может двигаться только по прямой, то для определения ее положения
нужна лишь одна координата, т.е. i = 1.
2. Положение точки на плоскости определяется двумя координатами, например
х и y. Точка на плоскости имеет две степени свободы: i = 2.
3. Положение точки в пространстве определяется тремя координатами, например, х, y и z. Точка в пространстве имеет три степени свободы: i = 3.
4. Двухатомная жесткая молекула. Такая молекула может двигаться поступательно вдоль трех независимых осей, т.е. имеет три поступательных степени свободы. Молекула может вращаться, причем ее вращение можно описывать тремя независимыми углами поворота вокруг трех перпендикулярных осей. Если считать, что
атомы молекулы – материальные точки, то вращение вокруг оси, на которой они
лежат, не имеет смысла (момент инерции молекулы относительно этой оси равен
нулю). Таким образом, молекула имеет только две вращательные степени свободы.
Полное число степеней свободы у такой молекулы i = 5.
5. Молекула, состоящая из трех и более атомов с жесткими связями между ними. В этом случае ни один из моментов инерции не может быть равен нулю. Число
4
степеней свободы такой молекулы i = 6 (три поступательных и три вращательных).
6. Если связи в молекуле нежесткие, то к поступательным и вращательным
степеням свободы добавляются колебательные. Число колебательных степеней свободы определяется числом независимых колебаний (т.е. не являющихся комбинациями других). Например, для двухатомной молекулы имеется одна колебательная
степень свободы – колебания вдоль линии упругой связи.
Основной предпосылкой молекулярно-кинетической теории газов является
предположение о полной беспорядочности движения молекул при тепловом равновесии. Ни один из типов движения не имеет преимущества перед другим. Естественно предположить, что на каждую степень свободы приходится одинаковая энергия. Легко догадаться, какая энергия приходится на одну степень свободы. На поступательное движение приходится три степени свободы, а энергия поступательного движения ε = 3kT/2, следовательно, энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна kT/2 (следует отметить, что на каждую колебательную степень свободы
приходится вдвое большая энергия – по kT/2 на кинетическую и потенциальную
энергии колебания). Если молекула имеет i степеней свободы, то средняя энергия
такой молекулы равна ε = ikT/2. С учетом этого внутренняя энергия идеального газа может быть представлена так
m
m i
W = ε NA = ⋅ kT ⋅NA. Или окончательно
µ
µ 2
W=
mi
µ2
RT .
(1)
Внутренняя энергия идеального газа данной m массы зависит только от его
температуры. От других параметров она не зависит.
Первое начало термодинамики
Внутреннюю энергию системы можно изменить передачей ей некоторого количества тепла ∆Q или совершением над ней работы A.
Опыт показывает, что теплота, переданная системе, идет на изменение ее внутренней энергии или совершение системой работы против внешних сил:
(2)
∆Q = W2 – W1 + A, или, ∆Q = ∆W + A.
Это уравнение представляет собой математическое выражение первого начала
термодинамики.
Для малого изменения состояния системы первое начало имеет вид:
δQ = dW + δA.
(3)
В этом выражении dW является полным дифференциалом, а δ Q и δ A таковыми
не являются.
Из выражения для первого начала видно, что теплота и работа измеряются в
одних и тех же единицах.
5
Теплоемкость
Удельная теплоемкость вещества – величина равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К:
∆Q
. Единица удельной теплоемкости Дж/кг⋅К.
c=
m∆T
Молярная теплоемкость – величина равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моль вещества на один кельвин:
∆Q
. Единица молярной теплоемкости Дж/моль⋅К.
C=
ν∆T
Удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением:
C=µc, где µ - молярная масса вещества.
Для газов различают теплоемкости при постоянном объеме CV и при постоянном давлении Cp.
Т.к. δQ = CdT, а δA = pdV, то первое начало термодинамики (3) можно записать
в виде:
ν⋅CdT = dW + pdV, или для одного моля: CdT = dW + pdV.
Если газ нагревается при постоянном объеме, то dV = 0 и всё полученное тепло
δQ идет на увеличение внутренней энергии:
CV⋅dT = dW.
Откуда
dW
CV⋅=
.
(4)
dT
i
Внутренняя энергия одного моля идеального газа равна: W = RT.
2
Приращение внутренней энергии при изменении его температуры на dT:
i
dW
i
dW = RdT ⇒
= R. Сравнивая с выражением (4), заключаем:
2
2
dT
i
(5)
CV = R.
2
Получим теперь выражение для молярной теплоемкости при постоянном давлении. Вновь запишем первое начало термодинамики для одного моля газа:
i
δQ = Cp⋅dT = dW + pdV = RdT + pdV = CV dT + pdV, т.е.
2
Cp⋅dT = CV dT + pdV.
(6)
Преобразуем это выражение. Величину pdV выразим через температуру.
Возьмем дифференциал от уравнения Клапейрона-Менделеева для одного моля газа, при этом учтем, что процесс изобарический:
pdV = R⋅dT, подставив в (6) и, сократив на dT, получим:
Cp = CV + R.
(7)
Это соотношение носит название уравнения Майера. Уравнение показывает, что
всегда Cp > CV на величину универсальной газовой постоянной R. Это объясняется
тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще дополни-
6
тельное количество тепла на совершение работы по расширению газа.
Адиабатический процесс
Важную роль при анализе тепловых явлений играет адиабатический процесс.
Адиабатическим называется процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой.
Это идеализированный процесс. В реальных процессах процесс теплообмена
всегда происходит. В быстропротекающих процессах значительный теплообмен не
успевает произойти. Примером такого процесса может служить распространение
звука в воздухе. Практически адиабатическим является процесс расширения горючей смеси в цилиндре двигателя внутреннего сгорания.
В случае адиабатического процесса, т.е. при δQ = 0 первое начало термодинамики для одного моля принимает вид:
pdV + CV dT = 0.
(8)
Нам необходимо получить уравнение состояния газа при адиабатическом процессе, т.е. уравнение вида f = f ( p,V , T ) .
Исключим из уравнения (8) температуру T. Для этого возьмем дифференциал
от обеих частей уравнения Клапейрона – Менделеева.
pdV + Vdp = RdT ⇒
dT = ( pdV + Vdp) / R
(9)
Подставим (9) в (8) и преобразуем:
C
C +R
 C 
pdV ⋅  1 + V  = - V ⋅ Vdp .
⇒
pdV ⋅ V
= - Vdp .
R
R


CV
Т. к. γ =
CV + R
=
CV
CV
R
, то γ⋅ pdV = - Vdp . ⇒
γ⋅ pdV + Vdp = 0 .
(10)
Выражение (10) мы будем использовать при выводе расчетной формулы.
dp
dV
Разделим переменные в уравнении (10):
= −γ
. Интегрируя это уравp
V
γ
нение, получим ln p = − ln V + ln C , потенцируем
γ
pV = C .
(11)
Полученное выражение есть уравнение газового состояния при адиабатическом процессе, которое также носит название уравнения Пуассона. Постоянную γ
часто называют коэффициентом Пуассона.
Преобразуем выражение для γ:
Cp
C +R
R
γ=
= V
= 1+ .
CV
CV
CV
Подставив (5) и сократив на R , получим
7
γ=1+
2
.
i
(12)
Из выражения (12) следует, что для любого газа коэффициент Пуассона зависит только от числа степеней свободы i его молекул.
Воздух, в основном, состоит из азота и кислорода, которые являются двухатомными молекулами. Для двухатомной молекулы число степеней свободы i = 5 ,
поэтому коэффициент Пуассона для воздуха γ = 1 +
2
= 1,4.
5
Это теоретическое значение γ. Такое значение мы и будем ожидать при выполнении
лабораторной работы.
Описание установки
Установка для экспериментального определения γ состоит из стеклянного баллона 1 ёмкостью примерно 20 л, клапана К, соединяющего баллон с атмосферой,
насоса, состоящего из двух сосудов 2 и 3, манометра М, состоящего из сосуда 4
трубки Тр и линейки Л.
К
1. С помощью насоса в баллоне соз3
дается небольшое избыточное давле1
ние порядка 20 – 25 см водного столба. Напомним, что атмосферное давЛ
ление составляет примерно 10 м водного столба. Водяным манометром М
измеряют давление в баллоне. Пусть
Тр
это давление р1, а температура газа
4
Т0.
2. Затем на короткое время от2
крывают клапан К. Часть газа выйдет
из баллона и его давление сравняется
с атмосферным р0. Газ в баллоне адиабатически расширяется, температура его понизиться.
3. Клапан К быстро закрываем, воздух начнет нагреваться и достигнет температуры Т0. Давление газа станет р2. По измеренным давлениям р1, р2 можно вычислить γ = Ср/СV.
Этот метод измерения γ для газов предложили Клеман (ум. 1841) и Дезорм
(1777 – 1862) в 1819 году. Теплоемкость газов при постоянном объеме СV является
трудно измеримой величиной. Теплоемкость при постоянном давлении Ср величина
легко измеряемая экспериментально. Метод, предложенный Клеманом и Дезормом,
позволил преодолеть эту трудность. По экспериментальным данным Ср и γ можно
по формуле Ср/СV вычислить значение СV.
Для получения расчетной формулы мысленно выделим внутри баллона произвольный объем ограниченный замкнутой поверхностью. Эта поверхность изображена на рисунке пунктиром. В различных процессах газ, заключенный в эту «оболочку» будет расширяться и сжиматься. В моменты отсчета давления параметры газа в этой «оболочке» имели следующие значения:
1 состояние р1, Т0, V1,
2 состояние р0, Т, V2,
3 состояние р2, Т0, V2,
8
Разности давлений р1 – р0, р2 – р1, в нашей установке примерно в 50 раз меньше атмосферного давления р0, поэтому с этими разностями мы будем обращаться
как с дифференциалами. Переход газа из состояния 1 в состояние 2 совершается
адиабатически, поэтому они связаны уравнением (10):
γ⋅рdV + Vdp = 0. Полагая dV = V2 – V1,
dp = р0 – р1, запишем:
γ⋅р(V2 – V1) + V(р0 – р1) =0.
(13)
В состояниях 1 и 3 температуры газа одинаковы, поэтому в этих состояниях pV
= const. Возьмем дифференциал от этого выражения
pdV + Vdp = 0, или
p(V2 – V1) + V(p2 – p1) = 0.
(14)
Подставим (14) в (13) и преобразуем:
- γ⋅V(p2 – p1) + V(p0 – p1) = 0.
⇒ γ =
p1 − p0
.
p1 − p0
(15)
В формулу (15) входят разности давлений, поэтому безразлично, в каких единицах измерять давления. Разность p0 – p1 = ρgh1, а разность
p1 – p2 = ρg(h1 – h2), где ρ - плотность жидкости в манометре, поэтому получим:
γ=
h1
.
h1 − h2
(16)
Эта формула является расчетной в нашей работе.
Экспериментальная часть
1. Подготовить таблицу
h2
№
h1
γср
∆γi
∆γкв
γ=γср±∆γ
γ
1
2
3
4
5
2. Нажимают клапан К. Давление в баллоне станет равным атмосферному р0. При
нажатом клапане перемещают сосуд 3 в нижнее положение. Вода из сосуда 2 переливается в сосуд 3.
3. Закрывают клапаном К баллон. Медленно перемещают сосуд 3 в верхнее положение и фиксируют там. Вода, выливаясь из сосуда 3, будет вытеснять воздух из
сосуда 2. Давление в стеклянном баллоне увеличится. Жидкость в трубке манометра поднимется на некоторую высоту. Воздух в баллоне немного нагреется. Необходимо подождать некоторое время, чтобы температура воздуха в баллоне стала равной комнатной Т0, (выждать минуты 2-3). После того как уровень жидкости в трубке Тр перестанет изменяться, температура в баллоне станет равной комнатной. Занести в таблицу значение высоты h1 на которую поднимется жидкость в трубке манометра Тр.
4. Нажимают клапан К и в момент, когда уровень жидкости в трубке Тр достигнет
нулевой отметки, быстро отпустить клапан. Часть воздуха выйдет из баллона. Т.к.
9
этот процесс протекает очень быстро (порядка 1 секунды), то его можно считать
адиабатическим. Воздух в баллоне охладится. Подождать некоторое время, чтобы
воздух в баллоне прогрелся до комнатной температуры. Давление в баллоне будет
возрастать, и это зарегистрирует манометр. Выждать некоторое время (прядка 3
минут). Занести в таблицу показания манометра, т.е. высоту h2 в трубке Тр манометра.
5. Проделать пункты 2, 3, 4 не менее пяти раз.
6. Обработать экспериментальные результаты и заполнить таблицу.
Контрольные вопросы
1. Чему равна средняя энергия одной молекулы?
2. Запишите выражение для внутренней энергии идеального газа. От каких факторов
она зависит? Как определить число степеней свободы молекулы?
3. Сформулируйте первое начало термодинамики. Как можно изменить внутреннюю
энергию идеального газа?
4. Дайте определение удельной и молярной теплоемкости вещества.
5. Пользуясь первым началом термодинамики, получите выражения для молярных теплоемкостей идеального газа СР и СV. Выведите уравнение Майера.
6. Какой процесс называется адиабатическим? Как выглядит первое начало термодинамики для адиабатического процесса? Выведите уравнение Пуассона.
7. Запишите выражение для коэффициента Пуассона и вычислите его значение для
воздуха. От каких факторов зависит коэффициент Пуассона?
8. Объясните устройство экспериментальной установки и порядок проведения экспериментов на ней.
9. Выведите расчетную формулу (16).
10. Опишите порядок обработки экспериментальных данных.
11. Напишите формулу для вычисления среднеквадратичной погрешности.
12. Проанализируйте причины расхождения теоретического значения γ = 1,4 от полученного экспериментальным путем.
Приложение.
Как уже отмечалось экспериментальное определение CV затруднительно, т.к. при постоянном объеме масса газа, а следовательно и его теплоемкость, мала по сравнению с теплоемкостью
калориметра.
Методика измерения Cр заключается в следующем. Нагретый до некоторой температуры Т1
газ заставляют протекать через змеевик, находящийся в жидкости калориметра. Давление на входе змеевика поддерживается постоянным р1. На выходе змеевика поддерживается давление р2 и
температура Т2. Через змеевик можно пропустить большую массу газа и заметно нагреть жидкость в калориметре. По формуле Q = cж⋅m⋅∆Т можно определить теплоту Q, полученную калориметром, которая равна теплоте, отданной газом. cж – удельная теплоемкость жидкости калориметра, m – масса жидкости калориметра, ∆Т – изменение температуры жидкости в калориметре,
Для упрощения расчета предположим, что через змеевик прошел один моль идеального газа.
Работа, совершенная газом A = p2⋅V2 – p1⋅V1 = R(T2-T1). Приращение энергии газа W2 – W1 = CV(T2
– T1).
Запишем первое начало термодинамики для газа, прошедшего через змеевик:
– Q = W2 – W1 + A. ⇒ - Q = (CV + R)(T2 – T1) = Cp(T2 – T1). Откуда Cp =
Q
T2 − T1
.
10
Лабораторная работа № 2
Определение отношения
γ = Ср/СV по скорости звука в газе
Цель работы: Экспериментальное определение показателя адиабаты газа по
скорости распространения продольных упругих волн.
Оборудование: Звуковой генератор, электронный осциллограф, волновод с телефоном и микрофоном.
Краткая теория
Один из способов определения показателя адиабаты γ в газах основан на измерении скорости звука. Известно, что звук представляет собой упругие продольные
волны, скорость распространения которых определяется по формуле:
1
υ=
,
(1)
α⋅ρ
где ρ – плотность газа, α -коэффициент упругости.
Газы при высоких скоростях сжатия и малых амплитудах подчиняются подобно твердым телам, закону Гука, т.е. зависимость относительного сжатия столба газа
∆l
от приложенного напряжения F/S имеет вид:
l
∆l
F
= −α ,
(2)
l
S
где F – приложенная сила, S – площадь сечения столба, ∆l – абсолютное сжатие.
Поскольку для столба газа в цилиндре под поршнем выполняются соотноше∆l ∆V
F
ния
= ∆р (∆р – приращение давления) и
, то
=
S
l
V
∆V
= −α∆р ,
(3)
V
или, переходя к бесконечно малым приращениям, свойственным звуковым волнам,
имеем:
1 ⋅ dV
α =−
.
(4)
V ⋅ dр
dV
Величина
зависит от процесса сжатия. В звуковой волне сжатие и расшиdр
рение газа протекает так быстро, что смежные участки среды не успевают обмениваться теплом, т.е. процесс можно считать адиабатическим. Для адиабатического
процесса уравнение состояния имеет вид:
рV γ = const ,
(5)
Дифференцируя это уравнение получим:
γ рV γ −1dV + V γ dр = 0,
(6)
Отсюда
dV
1⋅V
=–
.
(7)
dр
γ⋅р
11
Следовательно:
1
α=
,
γ⋅р
Тогда
р
υ= γ ⋅
(8)
(9)
ρ
Может показаться, что υ зависит от р, но это не так. С увеличением р увеличивается ρ, т.е. υ = const.
m
Используя уравнение Менделеева-Клапейрона рV = RT , выразим р:
µ
m RT
.
µ V
Подставим это выражение р в (9)
RT
υ = γ
,
р=
µ
(10)
где R – универсальная газовая постоянная:
µ – молярная масса.
Т – абсолютная температура.
Из (10) получаем расчетную формулу:
γ=
µ
⋅υ 2 .
(11)
RT
Таким образом, для определения константы адиабаты γ достаточно измерить
температуру газа и скорость распространения звука в нем.
Измерение скорости звука основано на явлении акустического резонанса в
волноводе, который представляет собой стеклянную трубку с встроенными на концах источником звука (телефон) и приемником звука (микрофон). Звуковая волна в
волноводе, многократно отражаясь от его торцов, создает сложное поле сжатий и
растяжений газа. В момент резонанса, когда длина волны связана с длиной волновода соотношением:
λ
L=n⋅ ,
(12)
2
где L – длина волновода, λ – длина волны.
При n =1, 2, 3,… отраженные волны совпадают по фазе с основной волной и
усиливают друг друга, при этом картина поля сжатий и растяжений резко упрощается. В этом случае области сжатия и растяжения закономерно чередуются в стоячей волне и на концах волновода возникают максимальные изменения давления.
Микрофон, установленный на конце волновода, воспринимает резонанс как усиление звука.
При неизменной длине волновода резонанс достигается изменением частоты
звуковых колебаний.
При резонансе выполняются условия (12):
12
L=
λ1
n=
λ2
(n + 1) = … =
λk +1
(n + k).
2
2
2
Так как
υ = λ⋅f,
где f – частота колебаний, λ – длина волны.
Тогда из (13) и (14) имеем:
(13)
(14)
υ
υ
υ
υ
υ
=
n, f2 =
=
(n + 1) = f1 +
,…,
2L
2L
λ1 2L
λ2
υ
υ
υ
=
(n + k) = f1 +
k.
fk+1 =
2L
λk +1 2L
f1 =
(15)
Скорость звука, деленная на 2L, определяется по угловому коэффициенту графика зависимости частоты от номера резонанса.
υ = 2L tgα,
(16)
Описание установки.
Установка для определения скорости звука состоит из следующих приборов:
1. Звуковой генератор ГЗ-18 генерирует электрические колебания звуковой
частоты 20 – 20000 Гц и питает телефон, преобразующий их в механические колебания мембраны.
2. Волновод – стеклянная труба постоянной длины, теплоизолированная от окружающей среды слоем асбеста. С торцов трубы закреплены телефон и микрофон.
3. Электронный осциллограф и микрофон служат для регистрации явления резонанса волн в волноводе. Схема установки приведена на рис.1,
1
2
3
4
5
ГЗ-18
Рис. 1
где 1 – генератор, 2 – телефон, 3 – волновод, 4 – микрофон, 5 – осциллограф.
Экспериментальная часть
1. Ознакомьтесь с установкой, выясните назначение ручек и тумблеров генератора и осциллографа.
2. Установите переключатель "пределы напряжения" в положение 3V или 10V,
ручкой “рег. выхода”, добейтесь устойчивого звучания телефона. Установите ручки
“частота” и “расстройка” на нуль частоты и не меняя положения этих ручек, вращением ручки “установка нуля” добейтесь возврата стрелки индикатора выходного
напряжения на нуль шкалы.
3.Настройте осциллограф. Для этого подайте от генератора на телефон напряжение 3 ÷ 5V при частоте 500Гц, вращением ручки “усиление”, “смещение ↕ и ↔”,
“частота” получите устойчивое изображение синусоиды на экране осциллографа.
13
4. Измерьте скорость звука. Для этого плавно увеличивая частоту от 500Гц и
выше, получите ряд последовательных значений резонансных частот, отмечая момент резонанса по увеличению амплитуды колебаний на экране осциллографа до
наибольшего значения. Данные занести в таблицу.
Номер резонанса
n
Частота
f (n)
5. Постройте график зависимости f (n),откладывая по оси ординат частоту, а по
оси абсцисс – номер резонанса.
6. Через полученные точки проведите наилучшую прямую. Определить тангенс наклона прямой.
7. Вычислите скорость звука по формуле (16).
8. По формуле (11) определите значение показателя адиабаты.
9. Оцените систематическую погрешность измерения γ. Температуру измерьте
лабораторным термометром.
R = 8,31 Дж/моль⋅К; µ = 29⋅10-3 кг/моль, L = 0,385 м.
Контрольные вопросы
1. Как связаны теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении.
2. Выведите рабочую формулу, связывающую скорость звука и показатель адиабаты.
3. Объясните условия возникновения резонанса в волноводе.
4. Дайте определение адиабатического процесса, как он проявляется при распространении звука в воздухе.
5. Выведите уравнение адиабаты (уравнение Пуассона).
6. Объясните порядок выполнения работы.
14
Лабораторная работа № 3
Определение вязкости воздуха методом Пуазейля
Цель работы: Определить экспериментально вязкость воздуха методом Пуазейля,
оценить погрешность измерений и сравнить с табличными данными для вязкости
воздуха.
Оборудование. Лабораторная установка для определения вязкости воздуха, секундомер.
Краткая теория
Один из методов измерения вязкости газа или жидкости основан на определении объема вещества, прошедшего через капиллярную трубку за определенное время.
Найдем объем V газа вязкостью η проходящего через капилляр радиуса R за
время t при разности давлений на концах капилляра ∆р. Длина капилляра l.
Известно, что сила трения между соседними слоями газа площадью S, движущимися с различным скоростями, определяется выражением
dυ
F = −η ⋅
⋅S .
(1)
dz
r
R
Величина
dυ
dz
носит название градиента
скорости.
Выделим в капилляре радиуса R цилиндр
р2
р1
радиуса r (рис. 1).
Давление газа на торцах капилляра р1 и р2, а
разность давлений
l
∆р = р1- р2.
Вначале найдем распределение скоростей
Рис. 1
газа в зависимости от расстояния до оси капилляра. На внутренней стенке капилляра скорость равна нулю, т.к. молекулы будут
прилипать к стенке, т.е. υ (R) = 0. На оси капилляра скорость будет максимальна. На
выделенный цилиндр радиуса r действует сила внутреннего трения со стороны
внешних слоев
dυ
F = −η
2π r ⋅ l .
dr
Эта сила уравновешивается другой силой обусловленной разностью давлений
на концах капилляра. F = (p1-p2)⋅S = ∆p⋅π r2.
dυ
⋅2π r⋅l.
Поэтому ∆p⋅π r2 = -η
dr
Это дифференциальное уравнение первого порядка. Переменными в этом
уравнении являются υ и r. Разделим переменные:
∆p
∆p 2
⋅ r ⋅ dr . Интегрируя, получим: υ = dυ = ⋅r + C
2ηl
4ηl
15
Для определения постоянной С воспользуемся граничным условием:
∆p 2
υr=R = 0; 0 = R + C.
4ηl
Получим окончательно:
∆p
υ=–
(R2 – r2). (2)
4ηl
Мы видим, что скорость максимальна на оси, а затем убывает по квадратичному закону.
Найдем объем воздуха, который прошел через сечение капилляра за время t.
Нахождение объема осложняется тем, что скорость газа является функцией радиуса.
Выделим тонкий цилиндр радиусом r и толщиной dr (рис. 2)
Толщина выделенного цилиндра должна, быть такой, чтобы в пределах dr скорость
потока можно было считать постоянной и равной υ. Т.к. в выделенном цилиндре
газ движется со скоростью υ, то количество газа, прошедшего через это сечение за
время t определяется формулой:
dV = 2π r⋅dr⋅υ⋅t.
r
Подставив в это уравнение выражение
для скорости, и проинтегрировав от 0 до R,
р2
р1
получим:
R
∆p 2 2
V = ∫ 2π r ⋅
R − r ⋅ t ⋅ dr , откуда
4ηl
0
dr
π ⋅ ∆p ⋅ R 4 ⋅ t
V=
.
(3)
8 ⋅η ⋅ l
Рис. 2
Последнее выражение носит название
формулы Пуазейля. Мы видим, что при увеличении радиуса трубки в два раза и при
сохранении остальных параметров прежними, объем жидкости или газа, проходящего через капилляр, возрастает в 16 раз!
В лабораторной установке давление газа на торцах капилляра изменяется в зависимости от времени, поэтому для определения вязкости нельзя непосредственно
воспользоваться формулой Пуазейля.
(
)
Описание установки
Установка для определения вязкости воздуха изображена на рис. 3. В ее состав
входят:
1. Мензурка длиной около 0,5м и площадью поперечного сечения S = 2⋅10–4м2 с
нанесенными на неё делениями.
2. Закрытый сосуд.
3. Капиллярная трубка длиной 2,7м и радиусом 0,49⋅10-3м.
4. Клапан, с помощью которого можно выпускать воздух из сосуда через капилляр.
5. Кнопка, при нажатии которой открывается клапан и запускается секундомер.
6. Секундомер.
Если наполнить мензурку водой до высоты H, то перепад давлений на торцах
капилляра при открытом клапане будет равен ∆р = ρ⋅g⋅H.
16
Рис. 3
При открытом клапане уровень жидкости в мензурке начнет понижаться, а
воздух выходить наружу через капилляр. Найдем время, за которое уровень жидкости понизится от Н1 до Н2. За время dt уровень жидкости в мензурке опустится на
dH. Приращение объема жидкости
(т.е. убыль) будет равно:
π ⋅ ρ ⋅ g ⋅ H ⋅ R 4 ⋅ dt
.
S⋅dH = 8ηl
Это дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Разделим переменные:
dH
πρ gR 4
=dt .
H
8Sηl
Проинтегрировав левую часть от H1 до H2, а правую от 0 до t, получим:
ln
H1 πρgR 4
=
⋅ t . Из последнего уравнения выразим вязкость:
H2
8Sl
η=
πρ gR 4
8Sl
⋅
t
ln( H1 / H 2 )
, или
t
.
(4)
H1
ln
H2
Формула (4) является расчетной в нашей лабораторной работе.
Коэффициент k определяется параметрами установки:
πρ gR 4
k=
.
8Sl
В нашей установке: R = 0,49⋅10-3м, S = 2⋅10-4м2, l = 2,8м, ρ = 103кг/м3.
Подставив численные значения, найдем k = 4⋅10-7 кг
.
с2 ⋅м
η=k⋅
17
Экспериментальная часть
Подготовить таблицу.
N
H1
H2
t
ln
H1
H2
η
ηср
∆ηi
∆ηср η =ηср±∆ηср
1
2
3
4
5
1. Осторожно поднять закрытый сосуд с капилляром на высоту около 1 м над столом и нажать кнопку клапана. Клапан держать до тех пор, пока жидкость заполнит мензурку до самого верха. Закрыть клапан и опустить сосуд на стол.
2. С помощью клапана опустить уровень жидкости в мензурке до нулевой отметки.
(Нулевая отметка находится в верхней части мензурки.)
3. Занести в таблицу Н1. Высота Н1 равна разности между уровнем жидкости в сосуде и мензурке.
4. Установить секундомер на «нуль».
5. Открыть клапан на время около 10 секунд и закрыть. Уровень жидкости в мензурке понизится. Записать значение Н2.
6. Проделать 5 измерений и результаты занести в таблицу.
7. Обработать экспериментальные данные.
Молекулярно – кинетическая теория вязкости
Вязкость есть свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной части относительно другой.
Основной закон вязкого трения был установлен Ньютоном в 1687 году.
При течении слоев газа с различными скоростями между слоями возникают
силы. Более быстрый слой ускоряет соседний с ним медленный и, наоборот, более
медленный слой задерживает более быстрый. Возникающие при этом силы внутреннего трения касательны к слоям газа.
Обозначим скорость течения слоев газа через u, в отличие от скорости молекул, обозначаемых буквой υ. Рассмотрим две параллельные пластины площадью S,
размеры которых много больше расстояния между пластинами d. Предположим,
что одна из пластин движется с большей скоростью, чем вторая.
На границе между смежными слоями газа действует сила внутреннего трения,
величина которой определяется эмпирической формулой (1).
du
F = η⋅ ⋅S, где
dz
η - коэффициент вязкости или коэффициент внутреннего трения,
du
– изменение скорости в направлении оси z, перпендикулярном к направлению
dz
18
движения частиц, или градиент скорости, S – величина поверхности, по которой
действует сила F.
Рассмотрим явление с точки зрения молекулярно-кинетической теории.
Возьмем контрольную площадку S перпендикулярную к оси z и подсчитаем
число молекул, проходящих за время ∆t через эту площадку.
Количество молекул проходящих через площадку в том и другом направлении
равно
N=
1
⋅n⋅S⋅υ ⋅∆t.
6
Хотя число молекул, проходящих в обоих направлениях одинаково, они переносят разный импульс. В результате этого переноса и возникает сила трения между
соседними слоями.
Каждая молекула, пересекающая площадку S, переносит импульс m⋅u. Импульс, переносимый вдоль положительного направления оси z равен
∆К1 = ∆N⋅m⋅u1 =
1
⋅n⋅S⋅υ ⋅∆t⋅n⋅m⋅u1,
6
где u1 – скорость направленного движения в той плоскости, где произошло последнее столкновение.
В отрицательном направлении оси z будет перенесен импульс
∆К2 = ∆N⋅m⋅u2 =
1
⋅n⋅S⋅υ ⋅∆t⋅n⋅m⋅u2.
6
Разность
∆К = ∆К1 - ∆К2 =
1
⋅n⋅S⋅υ ⋅∆t⋅n⋅m⋅(u1 – u2)
6
представляет собой изменение импульса слоя.
Разность скоростей может быть представлена следующим образом. Разложим
функцию u(z- λ ) в ряд Тейлора в окрестности точки z и ограничимся двумя первыми членами. Это можно сделать т.к. λ - малая величина.
du
u1 = u(z - λ ) = u(z) –
λ.
dz
du
u2 = u(z + λ ) = u(z) +
λ.
dz
Разность скоростей равна
du
u1 – u2 = -2⋅
λ.
dz
Замечая, что величина n⋅m = ρ, получим
1
du
∆К = – ⋅ρ⋅υ ⋅ λ ⋅ ⋅S⋅∆t.
dz
3
Откуда сила F, действующая со стороны одного слоя на другой,
1
∆K
du
F=
= - ⋅ρ⋅υ ⋅ λ ⋅ ⋅S. (5)
∆t
dz
3
Сравнив формулу (1) с (5) приходим к заключению, что
19
1
3
η = ⋅ρ⋅υ ⋅ λ .
(6)
Сделаем оценку коэффициента вязкости по формуле (6) для воздуха при давлении р = 105Па, и температуре Т = 293К.
Плотность воздуха ρ оценим, используя уравнение Менделеева –Клапейрона.
pV =
m
µ
RT, ⇒ ρ =
pµ
,
RT
ρ=
105 ⋅ 29 ⋅10−3
= 1,2кг/м3.
8,31⋅ 293
Средняя скорость молекул равна:
8RT
υ=
πµ
.
υ=
8 ⋅ 8,31 ⋅ 293
= 462,4м/с.
π ⋅ 29 ⋅10−3
Средняя длина свободного пробега определяется формулой:
1
.
λ=
2 ⋅π d 2 n
Эффективный диаметр молекул примем d = 3⋅10-10м.
Концентрацию молекул определим по формуле p = nkT. ⇒ n =
n=
p
.
kT
105
= 2,47⋅1025.
−23
1,38 ⋅10 ⋅ 293
1
= 1,01⋅10-7м.
25
2 ⋅ π (3 ⋅10 ) ⋅ 2, 47 ⋅10
λ=
−10 2
Подставим в формулу (6):
1
3
η = ⋅1,2⋅462,4м 1,01⋅10-7 = 1,856⋅10-5 Па⋅с.
Это теоретическая оценка вязкости воздуха.
Табличное значение вязкости воздуха при этих условиях:
η = 1,814⋅10-5 Па⋅с.
Таким образом теория достаточно точно предсказывает значение вязкости.
Контрольные вопросы
1. Объясните механизм возникновения внутреннего трения в газе с точки зрения молекулярно- кинетической теории.
2. Чему равна сила трения между соседними слоями газа, движущимися с различными скоростями?
3. Какая величина называется градиентом скорости?
4. От каких факторов зависит коэффициент внутреннего трения?
5. Выведите формулу (2).
6. Выведите формулу Пуазейля (3).
7. Выведите формулу (4).
8. Объясните принцип действия лабораторной установки.
9. Объясните порядок выполнения работы.
10. Как оценить погрешность измерений.
20
Лабораторная работа № 4
Определение коэффициента внутреннего трения воздуха
Цель работы: Экспериментальным путем определить коэффициент внутреннего трения (вязкости) воздуха, сравнить его с эталонным значением и на основе этих
результатов вычислить среднюю длину свободного пробега и эффективное сечение
молекул воздуха.
Оборудование: установка для измерения вязкости воздуха, мерная посуда, секундомер.
Краткая теория.
Краткая теория метода изложена в предыдущей работе.
Описание установки.
Установка по определению вязкости воздуха состоит из капилляра 1 длиной l =
0,39м и радиусом 0,63мм, наклонного водяного манометра 2 со шкалой в мм, асL
1
пиратора 3, заполненного водой. Уста4
h
α
новка работает следующим образом.
Если открыт кран 4, то из аспиратора
2
начнет выливаться вода, давление в нем
3
понижается и через капилляр засасывается воздух. Вследствие внутреннего трения воздуха давления на концах капилляра неодинаковы. Разность этих давлений
∆р = р1 - р2 измеряется наклонным манометром. Объем газа, прошедшего через капилляр равен объему жидкости, вышедшей из аспиратора в мерную посуду. Время
измеряется секундомером.
Разность давлений на концах капилляра вычисляется по формуле:
∆р = р1 - р2 = ρжgh = ρжgLsinα.
(1)
где h – высота поднятия жидкости в манометре:
ρж – плотность воды, pж = 103кг/м3; В нашей установке sinα = 0,324.
Формула (3) из предыдущей работы может быть преобразована следующим
образом:
ρ ж L g sin α π R 4t
ρ ж g sin α ⋅ π R 4 L ⋅ t
η=
=
⋅
(2)
8lV
8l
V
L ⋅t
и представлена в виде: η = А⋅
,
(3)
V
ρ ж g sin α ⋅ π R 4
.
где А =
8l
Для нашей установки вычисления дают: А=5,036⋅10–10кг⋅м/с2
Формула (3) является рабочей при выполнении первой части работы.
Для определения η необходимо измерить L, t, V.
21
Задание 1.
1. При подготовке к работе подготовить таблицу.
№
V
А⋅
t
L ⋅t
V
η=
η1 + η2 + η3
3
∆ηN
∆η
η ± ∆η
1
2
3
2. Открыть кран 4, предварительно подставив под него пустую емкость.
3. После того, как течение жидкости станет установившемся, а жидкость в манометре сместиться по шкале на расстояние порядка 0,2м и будет неподвижно стоять на этом уровне, заменить заполняемую емкость на мерную, одновременно
включив секундомер.
4. После заполнения определенного объема выключить секундомер и закрыть
кран.
5. Результаты измерений длины столба в манометре, объема жидкости в мерном сосуде и времени занести в таблицу.
6. Сравните полученное среднее значение коэффициента вязкости с табличным
и сделайте выводы о точности измерений.
Некоторые значения коэффициента вязкости воздуха можно найти в таблице .
Температура °
Давление,
атм.
1
20
50
100
0
14
1720
––
1815
1970
1786
1816
1877
2018
С
16
25
50
–8
Вязкость воздуха η1, 10 кг/м⋅с
1795
1837
1955
1825
––
1980
1855
1922
2032
2025
2060
2150
90
100
2135
2170
2200
2298
2180
––
2240
2335
Данные взяты из справочника “Таблицы физических величин”. Москва. Атомиздат. 1976, с.273.
Сделать вывод о качестве результатов, полученных вами при выполнении лабораторной работы.
Систематическая погрешность измерений может быть оценена следующим образом.
Прологарифмируем формулу (2):
lnη = lnρж + lng + ln(sinα) + lnπ + 4⋅lnR + lnL + lnt – ln8 – lnl – lnV.
Дифференцируем
dη 4dR dL dt dl dV
=
+
+ − −
η
R
L
t
l
V
Заменим дифференциалы на погрешности прямых измерений, а «минусы» на «плюсы».
22
∆η
4∆R ∆L ∆t ∆l ∆V
+
+ +
+
η
R
L
t
l
V
Погрешности измерений составляют:
∆R = 0,02мм,
∆L = 0,5см, ∆l = 0,5см,
∆t= 5 с,
Оценить относительную погрешность в процентах:
∆η
⋅ 100 % .
ε=
ε=
=
(4)
∆V = 50 мл.
η
Вычислить абсолютную погрешность: ∆η = ηε .
Результат записать в виде:
η = η ± ∆η и занести в таблицу.
Задание 2.
Выразим среднюю длину свободного пробега молекул λ из формулы:
1
3η
η = ρυλ ⇒ λ =
(5)
ρυ
3
где ρ – плотность воздуха при Т=293 К, определяется по уравнению МенделееваКлапейрона.
υ – средняя скорость при Т=293 К, определяется по формуле:
8 RT
υ =
.
πµ
Задание 3.
Вычислить эффективный диаметр молекул воздуха по формуле:
1
d=
,
2π nλ
где d – эффективный диаметр молекулы:
n – концентрация молекул воздуха при Т = 293К, р = 105Па
Концентрация может быть вычислена по формуле: р = nkT.
(6)
Задание 4.
Найдите отношение:
d
λ
.
Сделайте вывод о том, велика ли средняя длина свободного пробега молекул
по сравнению с эффектным диаметром молекул.
Контрольные вопросы:
1.Объясните молекулярно-кинетический механизм внутреннего трения.
2.Что такое средняя длина свободного пробега и от чего она зависит.
3.Что такое коэффициент вязкости и в каких единицах он измеряется.
4.Как зависит коэффициент внутреннего трения воздуха от температуры.
5.Объясните порядок выполнения эксперимента.
23
Лабораторная работа №5
Определение коэффициента внутреннего трения жидкости
по методу Стокса
Цель работы: Экспериментальное определение коэффициента внутреннего
трения (вязкости жидкостей).
Оборудование: Стеклянная труба с исследуемой жидкостью, микрометр, секундомер, стеклянные шарики, линейка.
Краткая теория.
Вязкость жидкостей или газов – это свойство, благодаря которому выравниваются скорости движения различных слоев жидкостей или газов. Выравнивание скоростей происходит благодаря тому, что импульс переносится от слоя с большей
скоростью к слою с меньшей скоростью. Перенос импульса осуществляется моле!
кулами.
р
Пусть изменение скорости движения жидкости проυ
исходит в направлении оси х, которое в данном случае
перпендикулярно к направлению самой скорости движеS
х ния газа (рис. 1).
Для количественной оценки скорости от слоя к слою
Рис. 1
dυ
– это
вдоль оси вводят понятие градиента скорости
dx
изменение скорости, приходящееся на каждую единицу длины оси, перпендикулярной скорости.
Импульс, переносимый вдоль оси х в единицу времени через площадь, равную
единице:
dυ
.
(1)
р = −η ⋅
dx
Знак “минус” в формуле (1) указывает, что перенос импульса р происходит в
направлении убывания скорости. Импульс в единицу времени есть ни что иное, как
сила F. Следовательно, вязкость приводит к тому, что любой слой газа или жидкости, движущейся относительно соседнего, испытывает действие некоторой силы
dυ
F = −η ⋅
.
(2)
dx
В формуле (2) площадь слоев между которыми действует сила равна единице.
Если же площадь слоев равна S, то
dυ
F = −η ⋅
⋅S .
(3)
dx
Выясним физический смысл коэффициента вязкости. Из формулы (1) следует,
24
что коэффициент вязкости численно равен импульсу, который переносится в единицу времени через единицу площади при градиенте скорости, равном единице. Перенос импульса осуществляется в направлении, перпендикулярном единичной
площади. Из формулы (3) следует, что коэффициент вязкости численно равен силе
трения, действующей на единицу площади поверхности, разделяющих два соседних
слоя газа или жидкости при градиенте скорости, равном единице.
Существует ряд методов измерения коэффициента вязкости. В данной работе
вы познакомитесь с одним из них – методом Стокса.
Краткая теория метода
Если твердое тело поместить в смачивающую его жидкость, то на его поверхности образуется тонкий прилипший слой жидкости, который удерживается силами
молекулярного притяжения. Когда тело движется относительно жидкости с некоторой скоростью υ, то с той же скоростью перемещается вместе с ним и прилипший
слой. Это явление позволяет производить измерение коэффициента методом Стокса.
При малых значениях числа Рейнольдса Re << 1. (Число Рейнольдса есть безразмерный коэффициент, определяющий характер движения жидкости).
ρ ⋅υ ⋅ l
, где υ – относительная скорость тела, l – характерный размер тела,
Re =
η
(в случае шара – его диаметр), η – коэффициент внутреннего трения жидкости. Сопротивление среды движению тела возникает главным образом благодаря вязкости
жидкости и пропорционально первой степени скорости:
F = C⋅υ,
где С – коэффициент зависящий от вязкости жидкости, размеров и формы тела.
Стокс теоретически нашел значение коэффициента сопротивления для случая
движения сферического тела в безграничной среде при малых значениях числа Рейнольдса:
C = 6π rη
Значение силы сопротивления в этом случае:
(4)
F = 6π rηυ,
Следовательно, если мы измерим значение силы сопротивления, скорость движения тела υ и его радиус r, то сможем найти значение коэффициента внутреннего
трения η.
Для измерения коэффициента внутреннего трения Стокс предложил использовать измерение скорости равномерно падающего в жидкости тела. При падении шара сила тяжести уравновешена силой сопротивления и силой Архимеда.
25
Предположим, что небольшой шарик падает в жидкости. На шарик действуют
три силы:
FA
4 3
сила тяжести: P = m ⋅ g = π r ⋅ ρ т ⋅ g ,
Fc
3
4
Архимедова сила: FA = π r 3 ⋅ ρ ж ⋅ g ,
3
mg
сила сопротивления: Fc = 6πη ⋅ r ⋅ υ .
Рис.2
Уравнение движения шарика запишется в виде:
P – Fc – FA = m а или
4 3
π r ( ρ т − ρ ж ) ⋅ g − 6πη ⋅ r ⋅ υ = mа.
(5)
3
Вначале некоторое время шарик движется ускоренно. Но первый член в правой
части уравнения (5) остается постоянным, а второй увеличивается с ростом скорости. Благодаря этому разность между ними при некоторой скорости обращается в
нуль. Далее шарик падает равномерно. При установившемся движении уравнение
имеет вид:
4 3
π r ( ρ т − ρ ж ) g − 6πη rυ = 0.
3
Из этого уравнения можно выразить коэффициент вязкости жидкости:
2 ρ − ρж 2
η= ⋅ т
gr ,
(6)
9
υ
Таким образом, зная скорость установившегося движения υ, плотности ρт и ρж
шарика и жидкости, радиус шарика r, можно вычислить значение коэффициента
вязкости жидкости.
Описание экспериментальной установки.
Установка состоит из стеклянного цилиндра, наполненного исследуемой жидкостью. Цилиндр укреплен на подставке. На цилиндре имеются два проволочных
кольца, которые можно передвигать. Верхнее кольцо должно быть несколько ниже
уровня жидкости в сосуде, чтобы до его достижения шарик приобретал скорость
установившегося движения. Для измерения коэффициента вязкости используются
стеклянные шарики.
Задание 1.
1. Измерить микрометром диаметры пяти шариков и занести в отчет.
2. Установить верхнее кольцо на стеклянном цилиндре на 5см ниже уровня
жидкости. Расстояние между верхним и нижним кольцами установить
10 – 15см. Измерить линейкой расстояние и занести в протокол.
3. Один из шариков опускают как можно ближе к оси цилиндра. Если шарик не
тонет, то с помощью стеклянной палочки протолкнуть его через поверхностный
слой жидкости.
4. В момент, когда шарик будет проходить верхнее кольцо, секундомер включить, а при прохождении кольца выключить его. Время движения шарика между
26
кольцами занести в протокол.
5. Ту же операцию произвести с всеми остальными шариками.
6. Для каждого шарика по формуле (3) вычислить значение коэффициента вязкости и найти его среднее значение.
7. Оценить погрешность измерения. Для этого прологарифмируем формулу (3),
продифференцируем ее, заменим дифференциалы на погрешности прямых измерений, а “-” на “+”, получим:
∆η ∆ρ т + ∆ρ ж ∆υ 2∆r
ε=
.
=
+
+
η
ρт − ρж
υ
r
Так как
∆υ ∆L ∆t
=
+ .
υ = L / t,
то
L
t
υ
Следовательно,
∆η ∆ρ т + ∆ρ ж ∆L ∆t 2∆r
ε=
.
=
+
+ +
L
t
r
η
ρт − ρж
Справочные материалы, необходимые для обработки экспериментальных результатов лабораторной работы:
плотность стекла: ρт = 2,6⋅103 кг/м3,
погрешность плотности стекла: ∆pт = 0,2⋅103кг/м3,
плотность раствора глицерина в воде: ρж = 1,2⋅103кг/м3,
погрешность плотности раствора глицерина: ∆ρж = 0,1⋅103кг/м3.
Задание при подготовке к работе.
При подготовке к защите проработать следующий материал:
И. В. Савельев. Курс общий физики. т.1. Москва, Наука, 1977, гл. 9.
Заготовить отчет, в котором разработайте таблицу, в которую Вы будите заносить экспериментальные данные.
Контрольные вопросы:
1.Объясните молекулярно-кинетический механизм возникновения внутреннего трения.
2.Что понимается под коэффициентом внутреннего трения и от каких факторов он
зависит?
3.Определите понятие “градиент скорости”.
4.Какое движение называется ламинарным?
5.Запишите формулу числа Рейнольдса. Что оно определяет.
6.Чему равна сила сопротивления движению шарика в жидкости при небольших скоростях?
7.Выведите рабочую формулу.
27
Лабораторная работа № 6
Определение коэффициента поверхностного натяжения
методом отрыва кольца
Цель работы: Экспериментальным путем определить коэффициент поверхностного натяжения жидкости и сравнить полученные значения с табличными.
Оборудование: металлическое кольцо, подвешенное на пружинном динамометре, чашка с водой, линейка.
Краткая теория
На сегодняшний день в физике нет вполне законченной и общепризнанной
теории жидкости. Это обусловлено тем, что жидкое состояние, занимая промежуточное положение между газами и кристаллами, является сложным по своим свойствам.
Какие свойства или черты кристалла носит в себе жидкость?
– для жидкостей как и для кристаллов характерно наличие объема:
– для кристаллического состояния характерно упорядоченное расположение частиц
(атомов или молекул), в газах в этом отношении царит полный хаос. Согласно рентгенографическим исследованиям, в отношении расположения частиц, жидкость
также занимает промежуточное положение. В расположении частиц жидкости наблюдается так называемый ближний порядок. Это означает, что по отношению к
любой частице расположение ближайших к ней соседей является упорядоченными.
Однако по мере удаления от данной частицы довольно быстро порядок в расположении частиц вообще исчезает.
В кристаллах имеет место дальний порядок – упорядоченное расположение
частиц по отношению к любой частице в пределах занимательного объема.
Наличие в жидкости ближнего порядка служит причиной того, что структуру
жидкости называют квазикристаллической или кристаллообразной.
Молекулы жидкости находятся в компактных пространственных образованиях, плотность которых может быть даже больше кристалла. Эти образования английский ученый Джон Бернал (1901 – 1971) назвал псевдоядрами, т.е. ложными ядрами. Между ядрами существуют большие отверстия, или дырки. Наличие этих
«дырок» компенсирует избыточную плотность ядер и приводит к тому, что плотность жидкостей обычно меньше плотности кристалла.
Какие свойства газов носит в себе жидкость?
Это изотропность (одинаковость свойств по всем направлениям) и подвижность.
Советский физик Я. И. Френкель (1894 - 1952) решил ряд проблем теории жидкого состояния. Согласно Френкелю, тепловое движение в жидкости имеет следующий характер. Каждая молекула в течение некоторого времени τ0 – называемым
временем оседлой жизни колеблется около определенного положения равновесия.
28
Время от времени молекула меняет место равновесия, скачком перемещаясь в новое
положение, к другому псевдоядру отстоящему от предыдущего на расстоянии порядка размеров самих молекул. Таким образом, молекулы медленно перемещаются
внутри жидкости, пребывая часть времени около определенных мест.
Для того чтобы частица оторвалась от псевдоядра, она должна обладать кинетической энергией, превосходящей работу, которую нужно затратить на преодоление молекулярных сил притяжения. Эта энергия называется энергией активации ε 0 .
Чем больше энергия активации, тем меньше вероятность переселения частицы с одного псевдоядра на другой.
Среднее время оседлой жизни определяется выражением:
α ⋅ε 0
τ = τ 0 ⋅ е кT
где τ0 – время оседлой жизни при ε 0 = 0 (или при неограниченном возрастании
температуры Т → ∞); α - коэффициент, определяемый природой жидкости; k =
1,38⋅10-23Дж/К – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура; е =
2,71828 – основание натурального логарифма.
Я.И. Френкель подсчитал, что за 1сек молекула испытывает 1010 перемещений
или дрейфов.
Интересные явления наблюдаются в поверхностном слое жидкости. Поверхность жидкости соприкасается с окружающим паром или с воздухом и находится в
особых условиях. Молекулы поверхностного слоя взаимодействуют с молекулами
двух слоев, имеющих различную плотность. Последнее обстоятельство обуславли!
!
вает равнодействующую f = ∑ fi сил, действующих на молекулу в поверхностном
слое, направленную внутрь жидкости (рис.1).
Таким образом, в поверхности жидкости будут действовать силы, образующие “поверхностное” силовое поле,
∑ fi ≠ 0
расположенное в тонком слое. Этот слой имеет толщину
–7
∑ fi = 0
порядка 10 см. Молекулы, находящиеся в этом слое, обладают
повышенной
потенциальной
энергией.
Рис.1
Cледовательно, при выходе молекул из глубины жидкости
на поверхность их энергия возрастает, а при уходе на глубину – убывает. Эти изменения энергии происходят только в поверхностном слое. При изменении формы
жидкости и уменьшении ее свободной поверхности, часть молекул с повышенной
энергией уходит внутрь жидкости, освобождающаяся при этом энергия расходуется
на совершение работы по сокращению свободной поверхности жидкости, а часть
энергии переходит в тепло.
Энергия поверхностного слоя, идущая на совершение работы при изотермическом процессе, называется “свободной энергией”, и ее минимум определяет положение устойчивого равновесия. Поэтому при отсутствии внешних сил, или при их
незначительности, поверхность жидкости сокращается и стремится принять форму
с минимальной поверхностью, возможной в данных условиях. Например, форма ка-
29
пли жидкости, с уменьшением размера, в поле силы тяжести приближается к сферической из-за незначительности её веса.
Работа А, которую надо совершить, чтобы увеличить площадь свободной поверхности жидкости на единицу ∆S = 1м2 при постоянной температуре, называется
коэффициентом поверхностного натяжения или просто поверхностным натяжением и обозначается греческой буквой σ (сигма).
A
σ=
(1)
∆S
Почему же величина σ называется поверхностным натяжением? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим случай, когда жидl
кость существует в форме тонкой пленки, примером
A
B
которой может служить мыльная пленка. Возьмем
проволочный каркас, имеющий форму прямоугольниC
D
ка (рис. 2).Сторона СD каркаса может свободно сколь∆х
зить вдоль направляющих проволок АС и ВD. Затянем
площадь АВСD мыльной пленкой. Эта пленка двойная.
2F
Опыт показывает, что она стремится сократиться, и Рис. 2
поэтому перемычка СD приходит в движение. Для
удержания перемычки в равновесии к ней надо приложить определенную силу, например, подвесить грузик. Так как пленка двойная, то величину этой силы надо удвоить, считая, что на каждую сторону пленки действует сила F. Тогда при перемещении перемычки на расстояние ∆x будет совершена работа:
А = 2F ∆х.
(2)
Площадь поверхности пленки увеличивается на 2 l ∆x = 2 ∆S, где l – длина перемычки СD; ∆S – увеличение поверхности одной стороны пленки.
Из определения коэффициента поверхностного натяжения (1) работа А может
быть записана в виде:
A = 2σ⋅∆S = 2σ⋅∆x⋅l
(3)
Приравняв правые части выражения (2) и (3), получим:
F
σ= .
(4)
2l
Поверхностный слой находится в состоянии натяжения. В таком же состоянии
находятся свободная поверхность всякой жидкости.
Разрежем мысленно свободную поверхность жидкости вдоль прямой линии.
Тогда каждая из половин разрезанной поверхности будет действовать на границу
разреза с некоторой силой, распределенной по всей линии. Эта сила направлена по
касательной к поверхности и перпендикулярна линии разреза.
Сила, отнесенная к единице длины линии разреза, является коэффициентом
поверхностного натяжения.
В данной работе коэффициент поверхностного натяжения воды определяют
методом отрыва кольца.
30
Описание установки.
Установка для определения коэффициента поверхностного натяжения изображена на рис. 3. На штативе Ш укреплены динамометр Д с делениями в миллиньютонах (1мН = 10–3 Н), к которому прикрепляется металлическое кольцо Е, столик С
для сосуда А с водой. Столик может перемещаться вверх и вниз с помощью винта
М.
Коэффициент поверхностного натяжения можно
Д
определить, если измерить силу F, которую необходимо приложить, чтобы оторвать тонкое металлическое
Е
Ш
кольцо от жидкости.
С
А
Нальем в сосуд А воду и с помощью винта М поднимем сосуд настолько, чтобы кольцо Е прилипло к
поверхности или даже немного погрузилось в воду.
М
Динамометр покажет некоторое начальное значение силы F0. Эта сила определяется весом подвеса и
кольца.
Затем осторожно опускаем сосуд А до тех пор,
пока кольцо оторвется от воды. В момент отрыва
Рис.3
кольца динамометр будет показывать силу FN.
Сила, действующая на кольцо со стороны жидкости в
момент его отрыва, равна
F = FN- F0.
Разрыв поверхности происходит по линии длиной
(4)
2l = 2π D.
По определению
F
σ=
2l
Заменив в последнем соотношении 2l выражением (4), получим:
σ=
FN − F0
.
2π D
(5)
Эта формула является расчетной в нашей работе. Величины FN, D и F0 измеряют в ходе опыта.
31
Порядок выполнения работы:
1. Подготовить таблицу.
Таблица.
N
D
F0
FN
F=FN–F0 σN=
F
2π D
σ
∆σ N
∆σ
σ = σ ± ∆σ
1
2
3
4
5
1. Поместим под кольцо сосуд А с водой. Поднимем сосуд с помощью винта М,
пока кольцо не коснется поверхности воды. Динамометр будет показывать некоторую силу F0. Занесем эти показания динамометра в таблицу.
2. Осторожно с помощью винта М опускаем сосуд А до отрыва кольца. В момент отрыв заметим показания динамометра FN. Эти показания занести в таблицу.
3. Опыт с отрывом кольца повторить 5 раз, занося результаты в таблицу.
3. По формуле (5) вычислить коэффициент поверхностного натяжения для каждого измерения.
4. Вычислить относительную погрешность по формуле:
 ∆F ∆D 
ε= 
+
 ⋅ 100 %
D 
 F
5. Вычислить абсолютную погрешность
∆σ = ε σ
6. Результат записать в виде:
σ = σ ± ∆σ.
Контрольные вопросы
1. Объяснить характер теплового движения молекул жидкости.
2. Почему существуют силы поверхностного натяжения и как они направлены.
3. Дать определение коэффициента поверхностного натяжения. В каких единицах он
измеряется.
4. Почему поверхностное натяжение зависит от среды, с которой граничит
жидкость.
5. При каких условиях капля жидкости принимает форму шара.
6. Вывести рабочую формулу.
32
Лабораторная работа № 7
Распределение Максвелла
Цель работы: Экспериментальное получение распределения Максвелла.
Оборудование: Установка для экспериментального исследования распределения Максвелла.
Краткая теория.
Пусть имеется сосуд, содержащий N молекул газа при температуре Т. Задача
нахождения закона распределения скоростей ставится так: найти долю числа молекул
∆Nυ
, или число молекул ∆Nυ, имеющих скорости, заключенные между значеN
ниями υ и υ + ∆υ.
Для упрощения рассуждений в статистической фиυz
зике вводится абстрактное понятие фазового пространства. В нашем случае события рассматриваются в фазовом пространстве скоростей. Координатами точки этого
υ
пространства являются компоненты скорости молекул
υ+∆υ
υx,υy,υz. Молекулы, имеющие скорости в пределах от υ
до υ + ∆υ, попадают в область, лежащую между сферами радиусов υ и υ + ∆υ. Объем этой области равен υx
Рис. 1
4πυ2∆υ. Число молекул ∆Nυ попадающих в эту область,
равно:
∆Nυ = N⋅f(υ)⋅4πυ2∆υ,
(1)
здесь N⋅f(υ)⋅- плотность точек в пространстве скоростей
Величина
F(υ) = f(υ)⋅4πυ2
(2)
называется функцией распределения молекул по скоростям.
Вид этой функции был теоретически получен Максвеллом в 1859 году.
3
υ
 m  2 − m2 kT
F(υ) = 4π⋅ 
υ2,
 ⋅e
 2π kT 
где m– масса молекулы,
k = 1,38⋅10-23Дж/К – постоянная Больцмана,
Т – абсолютная температура,
е = 2,718281828 – основание натурального логарифма.
Подставив (3) в (1) и учтя (2), получим:
υy
2
3
(3)
υ
 m  2 − m2 kT
∆Nυ = 4π⋅N⋅ 
υ2⋅∆υ.
(4)
 ⋅e
 2π kT 
Это выражение полностью решает поставленную задачу.
Распределение Максвелла имеет более удобный вид, если ввести относительную скорость u:
2
33
υ
, где υ - данная скорость, а υв – наиболее вероятная скорость при темпеυв
ратуре Т. Наиболее вероятная скорость определяется формулой:
u=
2kT
. Преобразуем формулу (4), введя в нее относительную скорость:
m
υв =
3
2


 1  − υυв 
∆Nυ = 4π⋅N⋅  2  ⋅ e
 πυв 
2
4
N ⋅ e − u u 2 ∆u .
∆Nu =
2
2
υ 
υ 
⋅   ⋅∆   ⋅ υв3 . Откуда следует:
 υв 
 υв 
(5)
π
Функция распределения молекул F(υ) в зависимости от относительной скорости u приобретет вид:
F (u ) =
4
⋅ e−u u 2 .
2
π
График функции F(u) представлен на рис. 2.
(6)
F(u)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
u
0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,9 3
Рис. 2
Площадь, охватываемая кривой F (u ) и осью абсцисс равна 1.
∞
∫
0
4
π
⋅ e − u u 2 du = 1.
2
Выражение (7) носит название условия нормировки.
Функция F (u ) , как видно из графика (рис.2), асимметрична.
(7)
34
Экспериментальная установка
Л
µA
В лабораторной работе предлагается экспериментально исследовать распределение скоростей электронов, вылетающих из раскаленного катода электронной лампы.
В
Схема (рис 3) состоит из электронной лампы
Л, источников питания, микроамперметра µA,
Рис. 3
вольтметра В.
Для того, чтобы уяснить сущность предлагаемого метода схематизируем установку. Электронная лампа, используемая в установке, обладает осевой симметрией. Поэтому её проекция на плоскость перпендикулярную оси симметрии будет иметь вид (рис. 4).
В результате термоэлектронной эмиссии пространство между управляющей сеткой и катодом заНить
полнится электронным газом. «Молекулы» этого газа Анод
накала
(электроны) имеют всевозможные скорости от нуля до
максимальной скорости υмах. Перед нами стоит задача
экспериментально исследовать зависимость распределения электронов по скоростям, т.е. выяснить какое
количество электронов имеют ту или иную скорость. Сетка
Катод
Электроны, находящиеся в пространстве между
Рис. 4
сеткой и катодом, при не очень больших отрицательных напряжениях на сетке, могут преодолевать потенциальный барьер, созданий
отрицательным напряжением на сетке, и достигать анода. В цепи анод – катод протекает ток.
Если бы мы могли поставить на пути электронов такой фильтр, который пропускал только электроны в интервале скоростей ∆υ, то сразу решили поставленную
задачу. Однако такой возможностью мы не располагаем.
Мы можем создать «фильтр», который пропускает электроны из области между сеткой и катодом от некоторой минимальной скорости υз до максимальной υмах,
а затем, специальным образом обработав результаты измерений, установим закон
распределения электронов по скоростям.
Таким своеобразным «фильтром» является управляющая сетка на которую
можно подавать различные задерживающие (отрицательные относительно катода)
потенциалы Uз.
На анод, при некотором задерживающем потенциале Uз, могут проникнуть все
электроны, кинетическая энергия которых удовлетворяет условию
mυ 2
≥ eUз.
2
Микроамперметр µА, включенный в анодную цепь лампы, регистрирует ток,
созданный электронами со скоростями υ лежащими в пределах υз⋅< υ < υмах. В последнем выражении υз = (2eU З ) / m - минимальная скорость электронов, пропускаемых сеткой. Т.е.
35
υз⋅∼ U з .
(8)
Электроны же со скоростями υ < υз управляющей сеткой не пропускаются.
Количество электронов, достигающих анода в единицу времени, найдем путем
интегрирования выражение (1) от υз до υмах. Скорость υмах >>υвер поэтому верхний
предел интеграла можно положить равным бесконечности.
3 ∞
mυ
 m  2 − 2 kT 2
⋅υ dυ
Nυ = 4π⋅N⋅ 
 e
 2π kT  υ
2
∫
(9)
з
Каждый электрон несет элементарный заряд е = 1,6⋅10-19Кл, поэтому полный
заряд, переносимый Nυ электронами за единицу времени, т.е. ток будет:
3 ∞
mυ
 m  2 − 2 kT 2
⋅υ dυ .
I = е Nυ= e⋅4π⋅ 
 e
 2π kT  υ
2
∫
(10)
з
Ток в цепи является функцией от υз, поэтому, если от выражения (10) взять производную по нижнему пределу, то получим:
3
dI
 m  2 − m2 υkT 2
⋅υ .
= - 4π⋅N⋅e⋅ 
(11)
 ⋅e
dυ
 2π kT 
Мы видим, что с точностью до некоторой постоянной выражение (11) совпадает с функцией распределения Максвелла (3).
Поскольку υз⋅∼ U з , то отсюда следует практический вывод. Чтобы получить
распределение Максвелла необходимо снять экспериментальную зависимость I = f
( U з ), затем эту зависимость продифференцировать по U з .
2
Экспериментальная часть
1. Подготовить таблицу 1.
Таблица 1
№
Uз (В)
Uз
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 0,36 0,49 0,64 0,81
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
10
1
1
I (µA)
2. Значения напряжения Uз на управляющей сетке выбраны такими для того,
чтобы удобно было дифференцировать экспериментальную кривую.
3. Включить прибор в сеть и дать прогреться не менее 5 минут.
4. Произвести измерения тока анода I при указанных напряжениях на сетке Uз
и занести в таблицу. Вначале необходимо определить цену деления прибора. Цена
деления зависит от верхнего и нижнего пределов используемого прибора. Приборы,
используемые в установке рассчитаны на измерение постоянного тока в пределах от
0 до 300 µА. Шкала прибора имеет 60 делений. Цена деления такого прибора равна
300/60 = 5µА/В. При измерении тока анода I отсчет показаний производится непосредственно по шкале прибора.
36
На основе второго микроамперметра, установленного в приборе, создан многопредельный прибор который служит для измерения запирающего напряжения Uз.
Нижний предел измерения смещается переключателем. Пределы измерения напряжения указаны у стрелки переключателя и имеют диапазоны: 0 - 0,3; 0,3 – 0,6; 0,6
– 0,9; 0,9 – 1,2 В.
Пределы шкалы прибора составляют 0 - 0,3 В. Цена деления 0,3/60 = 0,005 В.
Первое измерение тока произвести при Uз = 0 В. Второе - при Uз = 0,01 В. 0,01 В
соответствует двум делениям шкалы. Третье измерение произвести при Uз = 0,04 В.
Это соответствует 8 делениям шкалы прибора. При установке напряжения на сетке
Uз = 0,36 В необходимо сделать первое переключение, чтобы увеличить нижний
предел измерения на 0,3 В. И так далее до 1 В.
Для обработки экспериментальных результатов подготовить таблицу 2.
Таблица 2
1
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
x
0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95
3
∆IN
4
F(u)экс
5
uэкс
В первой строке таблицы указан номер обрабатываемой точки.
Во второй строке абсцисса точки. Например, абсцисса первой точки находится
посредине интервала значений U з от 0 до 0,1. (см. третью строку таблицы 1).
В третью строчку таблицы 2 занести значения приращений тока двух соседних
точек ∆IN = IN - IN-1.
Далее необходимо нормировать значения приращений тока. Для этого разделите каждое значение приращения ∆IN на максимальное значение ∆Iмах и помножьте
на 0,8302. (Найдите значение 0,8302 в таблице 3. Какому значению u оно соответст∆I N
⋅ 0,8302
вует?). В этом случае максимум экспериментальной кривой F(u)экс =
∆I мах
совпадет с максимумом кривой на рис.2. Результаты занести в четвертую строку
таблицы 2.
Наиболее вероятная скорость – это скорость при которой функция распределения достигает максимума. Относительная скорость u = υ/υв в этой точке u = 1.
Нормируем значения U з кривой. Найдем в строке 3 таблицы 2 xмах при которой ∆IN достигает максимального значения и обозначим ее через ∆Iмах. В пятую
строчку занесем значения uэкс = х/хмах.
5. Скопируйте в протокол график рисунка 2. Для построения графика можно
использовать значения F(u) из таблицы 3.
6. Нанести на этот рисунок значения экспериментальных точек F(u)экс. (четвертая строчка таблицы 2) Абсциссы экспериментальных точек находятся в пятой
строчке таблицы 2 (uэкс).
37
В таблице 3 приведены численные значения функции F(u) =
4
e −u u 2 в преде2
π
лах 0<u<2,9. Значения даны для построения графика зависимости F(u) (рис. 2). Из
таблицы видно, то максимальное значение функции F(u) = 0,8302, которое она имеет при u = 1. Это значение мы использовали для нормировки приращений тока.
Таблица 3
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
F(u)
0
0,0223
0,0867
0,1856
0,3077
0,4394
u
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
F(u)
0,5668
0,6774
0,7616
0,8132
0,8302
0,8143
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
u F(u)
0,77
0,7037
0,6231
0,5352
0,4466
0,3625
u
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
F(u)
0,2864
0,2204
0,1653
0,121
0,0864
0,0602
u
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
F(u)
0,041
0,0272
0,0177
0,0112
0,007
0,004
Контрольные вопросы
1. Дайте определение функции распределения молекул по скоростям.
2. Чему равны: наиболее вероятная скорость, среднеквадратичная скорость, средняя
арифметическая скорость?
3. Дайте определение относительной скорости.
4. Запишите выражение для функции распределения Максвелла в зависимости от относительной скорости.
5. При какой относительной скорости функция распределения достигает максимума. Чему равно значение функции распределения в максимуме?
6. Нарисуйте схему экспериментальной установки. От чего зависит температура электронного газа между катодом и сеткой.
7. Объясните сущность метода экспериментального определения распределения Максвелла.
8. Электроны с какими скоростями достигают анода при запирающем напряжении на
сетке UЗ?
9. Как из зависимости анодного тока от U з получить функцию распределения Максвелла?
10. Как определить цену деления измерительных приборов, используемых в установке?
11. Используя экспериментальные данные оцените численное значение наиболее вероятной скорости электронов.
12. Как зная наиболее вероятную скорость определить температуру катода лампы.
13. Объясните причину расхождения теоретической и экспериментальной зависимости
распределения Максвелла.
38
Таблицы физических величин
Плотность жидкостей при 15°С (103кг/м3)
Вода (дистиллированная при 4°)…………1,00
Глицерин …………………………………..1,26
Керосин …………………………………….0,8
Масло касторовое …………..……………..0,9
Ртуть …………………………………….…13,6
Спирт ………………………………………0,8
Эфир ……………………………………….0,7
Плотность газов при нормальных условиях (кг/м3)
Азот ………………………………………..1,25
Водород ………………………………...….0,09
Воздух ………………………………….….1,29
Гелий ……………………………………….0,18
Кислород ……………………………….….1,43
Эффективный диаметр молекул при нормальных условиях (10-10м)
Азот ……………………………………...….3,8
Водород ……………………………....…….2,8
Гелий ……………………………………….2,2
Кислород ……………………………….…..3,6
Динамическая вязкость жидкостей при 20°С (мПа⋅с)
Вода ………………………………………...1,00
Глицерин …………………………………..1480
Масло касторовое ………………………….987
Масло машинное …………………………..100
Ртуть ………………………………………..1,58
Поверхностное натяжение жидкостей при 20°С (мН/м)
Вода …………………………………………73
Глицерин ……………………………………62
Мыльная вода ………………………………40
Ртуть …………………………………………5,0⋅102
Спирт ………………………………………..22
Скорость звука (м/с)
Вода …………………………………………1450
Воздух (сухой при нормальных условиях)..332
Некоторые физические постоянные
Постоянная Авогадро ………………………NA = 6,02⋅1023моль-1
Молярная газовая постоянная ………………R = 8,31Дж/(моль⋅К)
Постоянная Больцмана ………………………k = 1,38⋅10–23Дж/К
Стандартный объем ………………………….Vm = 22,4⋅10–3м3/моль
39
Содержание
Лабораторная работа № 1
Определение величины отношения теплоемкостей воздуха
при постоянном давлении и постоянном объеме ………….……..3
Лабораторная работа № 2
Определение отношения γ = СР/СV по скорости звука в газе …..10
Лабораторная работа № 3
Определение вязкости воздуха методом Пуазейля ………………14
Лабораторная работа № 4
Определение коэффициента внутреннего трения воздуха ………20
Лабораторная работа № 5
Определение коэффициента внутреннего трения жидкости
по методу Стокса …………………………………………………...23
Лабораторная работа № 6
Определение коэффициента поверхностного
натяжения методом отрыва кольца …………...…………………..37
Лабораторная работа № 7
Распределение Максвелла …………….………………………….. 32
Таблицы физических величин …………………..……………….. 38
40
Подписано в печать
Формат 60х84/16.
Тираж
Заказ
Цена
ЛМТ
КемТИПП, г. Кемерово,
ул. Красноармейская, 52
экз.