МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Э. БАУМАНА ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП – НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО КОМПЛЕКСУ ПРЕДМЕТОВ «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ» ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДМЕТ «ФИЗИКА» ВАРИАНТ № 1 З АД АЧА 1 A На рисунке показаны предмет АВ и его изображение А1В1, полученное с помощью линзы. Определите построением положение линзы и её главной оптической оси. В1 А1 З АД АЧА 2 Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы равно B 10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчёта, где её время жизни равно 20 нс? З АД АЧА 3 o Упругий шарик бросают со скоростью 5 м / c под углом 15 к горизонту. Коэффициент восстановления вертикальной составляющей скорости шарика после удара о горизонтальную плоскость, с которой производился бросок, R = 0, 95. Найдите расстояние S от точки бросания , на котором шарик перестанет подпрыгивать, если горизонтальная составляющая его скорости не изменяется. (Коэффициентом восстановления K 2 1 называется отношение скорости после удара 2 к скорости до удара 1 ) З АД АЧА 4 F Небольшой кубик массы m = 1 кг покоится на шероховатой плоскости, наклоненной к горизонту под углом = 30о. Коэффициент трения кубика о плоскость = 0,7. Определите минимальную горизонтальную силу F , с которой нужно толкать кубик, чтобы он начал двигаться . Сила лежит в плоскости склона, как показано на рисунке. З АД АЧА 5 Небольшой шарик массы m =50 г прикреплен к концу упругой нити, жесткость которой k = 63 Н/м. Нить с шариком отвели в горизонтальное положение, не деформируя нити, и осторожно отпустили. Когда нить проходила вертикальное положение, её длина L оказалась равной 1,5 м, а скорость шарика 3 м / c . Найдите силу натяжения нити в этом положении. З АД АЧА 6 Пирамида SABCD высотой H равномерно заряжена по объёму. Потенциал в S точке S равен o . От этой пирамиды плоскостью, параллельной основанию, отрезают пирамиду SABCD высотой h = 2/3 H и удаляют её на бесконечность. Найдите потенциал в той точке, где Е R C D находилась вершина S исходной пирамиды. С K H A З АД АЧА 7 R B Определите заряд q, протекающий через ключ К D C при его замыкании в схеме, изображённой на рисунке. 2С 3R Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. 2R З А Д А Ч А 8 A B Сверхпроводящее кольцо радиуса R, имеющее индуктивность L, расположено в однородном магнитном поле. Первоначально плоскость кольца параллельна вектору магнитной индукции, и ток в кольце равен нулю. Определите величину индукции магнитной В, если известно, что для поворота кольца на угол = 90о вокруг оси, проходящей через его диаметр, надо затратить работу, равную А. З АД АЧА 9 В сосуде укреплена неподвижная перегородка, по обе стороны от Po Po которой помещают подвижные поршни. Левая часть сосуда (между перегородкой и левым поршнем) содержит по 0,5 моль водорода и азота , правая (между перегородкой и правым поршнем) часть - один моль воды. Температура системы t = 100 oC . Перегородка проницаема для водорода и непроницаема для остальных газов. Определите объём V , левой части сосуда после установления равновесия. Атмосферное давление Pо = 105 Па. Силами трения пренебречь. З А Д А Ч А 10 Два одинаковых шарика, имеющих массы 3m, соединены между собой недеформированной пружиной жесткости k, как показано на рисунке. Вся система движется со скоростью по горизонтальной плоскости и налетает на вертикальную стену. В момент времени t = 0 правый шарик находился на расстоянии S от стены. S 3m 3m Определите интервал времени Δt, через который правый шарик опять окажется на расстоянии S от стены после удара. Удар считать абсолютно упругим. Силами трения и массой пружины пренебречь. h 1-1 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ «ШАГ В БУДУЩЕЕ-2015» ПО КОМПЛЕКСУ ПРЕДМЕТОВ «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ» ФИЗИКА РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 1 З А Д А Ч А 1. (4 балла) А В1 O А1 З А Д А Ч А 2. (4 баллов) В Ответ: L 5,2 м . L t в лабораторной системе отсчета. 2 t o t o 2 t Следовательно, Откуда 1 1 2 t t L ct 1 o t 2 2 10 8 9 3 10 20 10 1 5,2 , м 20 З А Д А Ч А 3. (5 баллов) Ответ: S 2 sin 2 25 м . g (1 R ) Между моментом броска шарика и его первым ударом о плоскость пройдёт время t 2 sin . g После удара горизонтальная составляющая скорости шарика не изменится, а вертикальная станет равна R. Значит, между первым и вторым ударами шарика о плоскость пройдёт время t1 Рассуждая аналогично, tn получим, что между n-ым и (n+1)-ым 2 R sin . g ударами пройдёт время 2 sin n R . Полное время T , в течение которого шарик будет продолжать прыгать может быть g найдено, как сумма промежутков времени tn : T tn n 0 2 sin g R n0 n 2 sin 1 . Здесь мы g 1 R использовали формулу для суммы геометрической прогрессии. Так как горизонтальная составляющая скорости шарика во время процесса не изменяется, то для расстояния, которое пропрыгает шарик, получим 2 sin 2 5 2 1 25 25 м . S cos T g (1 R ) 10 2 (1 0,95) 20 0,05 З А Д А Ч А 4. (4 балла) Ответ: Fmin mg ( cos ) 2 sin 2 3,4 H . Рассмотрим проекции на наклонную плоскость сил, действующих на кубик. Т.к. мы ищем предельное условие равновесия, сила трения покоя достигает максимальное значение : FTPEH N mg cos Эта сила уравновешивает равнодействующую двух взаимноперпендикулярных сил: F и проекции силы тяжести 2 2 2 F TPEH F ( mg sin ) . Следовательно, Fmin mg ( cos ) 2 sin 2 3, 4 H . FTPEH F mgsin на плоскость- mgsin 1-2 З А Д А Ч А 5. (5 баллов) Ответ: T km(2gL - v 2 ) 8 H Используя закон сохранения механической энергии, запишем m 2 mgL 2 2 mv kL , откуда 2 2 L 2mgL - mv / k g 2 Сила натяжения нити равна T kL km(2gL - v ) 8 H . T V З А Д А Ч А 6. (5 баллов) 2 h Ответ: 1 2 H 5 0 0 . 9 S h Пусть V, V, Q, Q, - объёмы и заряды пирамид SABCD и SABCD соответственно. Так как пирамиды подобны и их заряды пропорциональны объёмам, а объёмы кубу сходственных высот, V то V Q Q H A 3 h3 C D H B D C . До того, как часть исходной пирамиды A отрезали, потенциал 0 в точке S складывался из потенциала пирамиды SABCD и потенциала оставшейся части B ABCDABCD , то есть 0 . Потенциал, создаваемый в точке S каждой из пирамид, прямо пропорционален их Q 2 0 H заряду и обратно пропорционален их характерному линейному размеру. Поэтому H 2 . h Q h 2 h Из двух последних уравнений получаем: 0 1 2 H 2 2 h 4H 5 0 1 2 0 1 При h =2/3 H, 2 0 9 H 9H 0 . Е З А Д А Ч А 7. (5 баллов) R K R Ответ: q q1 q 2 11 CE . 6 I (3R 2 R R) E . Отсюда следует I E 6R 1 и q 2 , соответственно. Е . При переключении ключа изменятся заряды на конденсаторах. Найдём эти изменения. Обозначим заряды на конденсаторах C и 2C до замыкания ключа q1 и q 2 , а после замыкания ключа q 2С 3R Сила тока при любом положении ключа остаётся неизменной, и её можно определить по второму правилу Кирхгофа при обходе по внешнему контуру: R 2R R K a e U2 I С + + U1 + 2С + II 3R С d 2R b 1-3 До замыкания ключа: В разомкнутом положении ключа оба конденсатора соединены последовательно и к ним приложено напряжение, равное падению напряжения на сопротивлении 2R, т.е. U bd I 2 R Полярность обкладок конденсаторов указана на рисунке. Заряды на конденсаторах С и 2С одинаковы и E 3 равны . q1 q 2 q БАТ . 2 2 2 E 2 q БАТ С БАТ U bd СU bd С I 2 R C 2 R CE . 3 3 3 6R 9 После замыкания ключа К Расставим знаки зарядов на конденсаторах, исходя из падений напряжения на сопротивлениях 3R и 2R. По второму правилу Кирхгофа для I контура adea: I 3R U 2 I 3R q 2 E E 1 1 5 0 . откуда q 2 I 3R 2C 3 R 2C C CE CE CE . 2C 6R 3 2 3 6 abda: q q I 2R 1 2 0 ; C 2C для II контура q 5E E E 5E q 2 I 2 R 1 2C 2R 2C 2C CE . С 6 R 6 3 6 5 Заряды на конденсаторах стали q1 CE ; q 2 CE . 6 Изменения зарядов на конденсаторах (знаки зарядов поменялись на противоположные): 5 2 11 q1 q1 q1 CE CE CE . 6 9 18 2 11 q 2 q 2 q 2 CE CE CE . 9 9 Заряд, который потечёт через ключ, q q1 q 2 11 11 11 CE CE CE . 18 9 6 З А Д А Ч А 8. (5 баллов) 2AL R2 Т.к. сопротивление кольца равно нулю, то суммарная электродвижущая сила в нем должна быть равна нулю. Иначе сила тока , согласно закону Ома, станет бесконечно большой. Следовательно, изменение магнитного потока внешнего магнитного поля равно по модулю и противоположно по знаку изменению магнитного потока, созданного индукционным током: Ф L I . Учитывая, что поток меняется от 0 до R 2 B , а индукционный ток меняется при этом от 0 до I, получим R 2B L I . R 2B L I 2 2 R 4 B2 Отсюда I . Кольцо с таким током обладает энергией W . Эта энергия равна L 2 2L 2 R 4 B2 работе, совершенной при повороте кольца, A = W, т.е. A . Из последнего равенства 2L 2AL найдем B . R2 Ответ: B 1-4 З А Д А Ч А 9. (6 баллов) Ответ: V 2 RT 20,6 10 3 м 3 3 po Из условия равенства давлений слева и справа от перегородки, и равенства парциальных давлений водорода, следует, что объёмы, занимаемые азотом и водяным паром, будут пропорциональны их количествам. Количества Po Po водорода, находящиеся в разных частях сосуда, пропорциональны 1 их объёмам . Итак, слева от перегородки находятся моль азота 2 1 1 1 2 и моль водорода, всего моль при температуре T = 373K и давлении Po = 105 Па. Искомый 3 2 6 3 2 RT объём левой части сосуда V 20,6 10 3 м 3 3 po З А Д А Ч А 10. (6 баллов) Ответ: T T 2S 3m 2S 2 2k . С момента первого удара шарика о стенку в течение полупериода происходит сжатие и возвращение пружины в недеформированное состояние. Затем происходит второй удар, после чего шарики начинают двигаться в обратном направлении с постоянной скоростью . Период T 2 T 3m 3m 3m 2 ; (3m 3m)k 2k T 2S 3m 2S . 2 2k 3m 3m S