ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 155 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА ПО МЕТОДУ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 155
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА CP CV
ПО МЕТОДУ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА
Цель и содержание работы
Целью работы является изучение газовых законов.
Содержание работы – определение отношения молярных теплоемкостей воздуха
CP CV
.
Краткая теория работы
Всякий газ может находиться в различных состояниях, отличающихся параметрами
состояния (давлением P , температурой T , объемом V , плотностью
и т.д.). Уравнение,
устанавливающее связь между давлением, объемом и температурой, называют уравнением состояния.
Для идеального газа уравнение состояния имеет вид:
PV
m
RT ,
M
(1)
где m – масса газа, M – масса одного моля, R – универсальная газовая постоянная.
Если при переходе некоторой массы газа из одного состояния в другое один из параметров остается постоянным, уравнение (1) имеет вид
PV
const
(T
const – изотермический процесс),
V
T
const
(P
const – изобарический процесс),
P
T
const
(V
const – изохорический процесс).
При высоких давлениях (порядка десятков атмосфер) реальные газы не подчиняются уравнению (1), причины этого обусловлены наличием собственных размеров молекул и
силами взаимодействия между ними, что и должно быть учтено в соответствующих уравнениях.
Из уравнений, предложенных для реальных газов, наиболее простым является
уравнение Ван-дер-Ваальса. Для одного моля газа Vm оно имеет вид:
P
a
Vm2
(Vm b)
RT ,
(2)
где P – внешнее давление, оказываемое на газ,
a
– внутреннее давление газа, появVm2
ляющееся из-за сил притяжения между молекулами, b – поправка, учитывающая часть
объема, занятого молекулами газа.
При уменьшении плотности свойства всех реальных газов приближаются к свойствам идеального газа, и уравнение (2) переходит в уравнение (1).
Запишем закон сохранения энергии (первое начало термодинамики)
dQ
dU dA ,
(3)
где dQ – количество тепла, подводимого к газу. Это тепло затрачивается на работу газа
dA PdV и на изменение его внутренней энергии dU .
Количество тепла, которое нужно подвести к газу (веществу) или отнять от него
для изменения его температуры на один градус, называется теплоемкостью газа (вещества).
Теплоемкость, отнесенная к единице массы вещества, называется удельной теплоемкостью cуд .
Теплоемкость, отнесенная к одному молю вещества, называется молярной теплоемкостью C .
Удельная и молярная теплоемкости связаны выражением
cуд
C
.
M
(4)
Величина теплоемкости зависит от условий, при которых происходит нагревание тела.
Пусть один моль газа нагревается при постоянном давлении ( P
const , изобариче-
ский процесс). В этом случае получаемое газом тепло идет на увеличение его внутренней
энергии и на совершение газом работы.
CP
dQ
dT
P const
dU
dT
dA
.
dT
(5)
Если один моль газа нагревается при постоянном объеме, то для нагревания его на
один градус требуется меньшее количество тепла, так как работа газом не совершается,
dA
PdV
0.
CV
dQ
dT
V const
dU
.
dT
(6)
Найдем связь между CP и CV . Для этого продифференцируем уравнение (1) и найдем
dA
для изобарического процесса.
dT
m
RdT .
M
PdV VdP
Учтем, что VdP
0 , тогда для одного моля газа PdV
dA
dT
RdT
(7)
dA .
R.
(8)
Подставив (6) и (8) в (5), получим для молярных теплоемкостей
CP
Отношение CP CV
(
CV
R.
(9)
– показатель адиабаты) зависит только от числа степеней
свободы i молекулы газа.
Число степеней свободы определяется числом атомов в молекуле и характером связи между ними. Для одноатомного газа i
i
5 (с упругой связью i
3 , для двухатомного газа с жесткой связью
6 ), для трех и более атомов (нелинейная молекула, жесткая
связь) i 6 .
На каждую степень свободы молекулы (согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы) приходится энергия, равная
kT
. (Здесь k – постоянная Больц2
мана.)
Внутреннюю энергию одного моля идеального газа можно найти по формуле
iRT
,
2
U
(10)
где R kNА , NА – число Авогадро.
Продифференцируем выражение (10) по температуре и подставим в выражение (6).
Тогда получим для молярной теплоемкости при изохорическом процессе
CV
Согласно (9) CP
CV
R
Отсюда найдем отношение
iR
2
iR
.
2
(11)
R.
CP
CV
CP
CV
i 2
.
i
(12)
Формула (12) справедлива и для отношения удельных теплоемкостей.
Величина
входит в уравнение Пуассона
PV
const ,
описывающего адиабатический процесс в газах.
(13)
Адиабатическим процессом называется процесс, протекающий без теплообмена с
окружающей средой. Если процесс протекает достаточно быстро (например, при быстром
расширении или сжатии газа), то его можно считать практически адиабатическим и при
отсутствии тепловой изоляции.
Закон Пуассона (13) может быть представлен также через параметры PT и TV .
Для этого используют уравнение Менделеева – Клапейрона (1).
Так, например, выразив V из (1), и, подставив в (13), получим
P1 T
const .
(14)
Выразив P из (1) и, подставив в (13), получим
TV
1
const .
Первое начало термодинамики для адиабатического процесса ( dQ
dA
dU
(15)
0 ) принимает вид
CV dT .
(16)
Из выражения (16) видно, что адиабатическое расширение сопровождается понижением температуры, а адиабатическое сжатие – повышением температуры.
Описание установки и метода выполнения работы
Рис. 1. Внешний вид установки.
Установка смонтирована в комплекс. Внешний вид установки (с указанием элементов) представлен на рис. 1.
Основной элемент установки – стеклянный баллон (объемом V
3,25 л ) располо-
жен за передней панелью. В целях безопасности на баллон в рабочем состоянии надет
мешок из плотной ткани.
Посредством крана К1 стеклянный баллон может быть соединен с насосом (в данной работе это груша-помпа, при помощи которой в баллон накачивается воздух) или, наоборот, отсоединен от него.
Кран К2 соединяет (или перекрывает) стеклянный баллон с другим сосудом (известного или неизвестного объема). В нашей работе он должен быть закрыт.
Стеклянный баллон снабжен краном К3, рукоятка которого выведена на переднюю
панель прибора (внизу). Кран К3 соединяет баллон с атмосферой и позволяет быстро
сбрасывать давление газа в нем. При повороте рукоятки из положения “открыт” в положение “закрыт” (или обратно) срабатывает микропереключатель, подключенный к секундомеру. Результатом является измерение времени открытого или закрытого состояния
крана.
За передней панелью установлен осушитель (стеклянный баллончик с силикагелем).
Дифференциальный водяной манометр состоит из нижнего и верхнего бачков, соединенных прозрачной трубкой. Вблизи трубки расположена линейка, по которой отсчитывается уровень жидкости.
Необходимо учесть, что манометр измеряет давление в миллиметрах (мм) водяного
столба. 1 мм водяного столба соответствует, примерно, 10 Па.
Исследуемый газ подается в стеклянный баллон при помощи груши-помпы (насоса) через штуцер Ш1. При этом происходит удаление осушителем влаги из газа.
Чтобы измерить давление в баллоне, штуцер Ш3 шлангом соединяют со штуцером
Ш4. Если штуцер Ш5 открыт в атмосферу (как в данной работе), манометр измеряет превышение давления в резервуаре над атмосферным. (Если штуцер Ш5 соединен с другим
резервуаром, то манометр измеряет разность давлений в них.)
Штуцер Ш2 служит для подключения другого резервуара. (В данной работе не используется.)
Жидкость (вода) заливается лаборантом в нижний бачок через штуцер Ш4 с помощью резиновой груши со шлангом так, чтобы начальный уровень жидкости находился напротив нулевого деления шкалы линейки. (В противном случае, надо обратиться к лаборанту.) Верхний бачок служит предохранителем: он принимает в себя воду при случайном
превышении предельного значения давления в нижнем бачке.
Часы-таймер
предназначены
для
измерения
ни с точностью 0,01 с. Кнопка MODE – выбор режима раmode
alt/set
date/up
боты. В режиме “секундомер” мигает надпись в верхней
части дисплея. Кнопка DATE/UP в режиме “секундомер”
поочередно запускает и останавливает отсчет времени.
Кнопка ALT/SET, нажатая при остановленном отсчете
времени, сбрасывает (обнуляет) отсчет и показания дисплея. Кнопка ALT/SET, нажатая в
процессе отсчета времени, фиксирует показания дисплея, но не останавливает отсчета
времени.
(Дроссели ДР1 и ДР2 предназначены для изучения видов течения газа в трубе и
измерения вязкости воздуха. В данной работе не используются.)
Пусть мы имеем баллон с газом, находящийся при атмосферном давлении P0 и
комнатной температуре T0 . (Кран К3 открыт.)
Закроем кран К3 и накачаем в баллон воздух до некоторого давления P1 . Через некоторое время (1-2 мин.) вследствие теплообмена с окружающей средой температура в
баллоне станет комнатной T0 . По водяному манометру устанавливается разность давлений P1 P0
h1 , где h1 – высота столбика жидкости. Единица массы газа при этом зани-
мает объем V1 . Это состояние соответствует точке 1 (см. рис. 2). Параметры данного состояния P1 , T0 ,V1 .
Откроем на короткое время (до 2 с) кран К3, соединяющий баллон с атмосферой.
При этом воздух, находящийся в баллоне, быстро (адиабатически) расширится и вследствие этого охладится до температуры T1 , а давление будет равно атмосферному P0 . Единица массы газа займет объем V2 . Это состояние соответствует точке 2 (см. рис.2). Параметры данного состояния T1 , P0 ,V2 .
Как только кран оказывается закрытым, температура (вследствие теплообмена) начинает повышаться до комнатной T0 и (так как процесс изохорический) давление также
повышается до P2 . При этом по водяному манометру устанавливается разность давлений
P2
P0
h2 , где h2 – высота столбика жидкости. Это состояние соответствует точке 3 (см.
рис.2). Параметры данного состояния P2 , T0 ,V2 .
Получим расчетную формулу для определения в нашей работе.
P
P1
1
T0
3 T
0
P2
P0
2
T1
V
V2
V1
Рис. 2. Графики процессов: 1 – 2 – адиабата, 2 – 3 – изохора.
Переход из состояния 1 в состояние 2 описывается уравнением Пуассона. Для состояний 1 и 2 запишем уравнение адиабатического процесса (см. 14).
1
P1 T0
P01 T1
(18)
или
T0
T1
1
P1
P0
.
(18a)
Переход из состояния 2 в состояние 3 – изохорический. Поэтому параметры состояний 2 и 3 связаны следующим соотношением
T0 T1
P2 P0 .
(19)
Возведем уравнение (19) в степень , получим:
T0
T1
P2
P0
.
Приравняем правую часть последнего уравнения к правой части уравнения (18a):
P2
P0
Подставим в (20) P1
P0 h1 , и P2
P1
P0
1
(20)
P0 h2 , где h1 – давление, превышающее ат-
мосферное в состоянии 1, и h2 – давление, превышающее атмосферное в состоянии 2.
h
1 2
P0
h
1 1
P0
1
(21)
Так как h1 и h2 намного меньше P0 , то, разложив в ряд обе части уравнения (21),
будем иметь:
1
h2
P0
1 (
h2
(
1)
h1
P0
или
1)h1 .
Откуда и получим расчетную формулу для :
h1
(h1 h2 )
.
(22)
Порядок выполнения работы
1. Убедитесь, что штуцеры Ш3 и Ш4 соединены шлангом (при этом стеклянный баллон
соединен с манометром), а груша-помпа присоединена к крану К1. Убедитесь, что кран К1
открыт, а краны К2 и К3 закрыты (при этом стеклянный баллон не соединяется с атмосферой.)
2. Осторожно накачайте в баллон воздух до давления 180 – 200 мм водяного столба. Закройте кран К1. Подождите 1 – 2 минуты до установления комнатной температуры T0
воздуха в баллоне.
3. Определите показание манометра h1 и запишите его значение в таблицу.
4. Включите часы в режим “секундомер”, обнулите их показания, нажав сначала
DATE/UP, а затем ALT/SET.
5. На короткое время (до 1 – 2 с) откройте кран К3, повернув рукоятку крана по часовой
стрелке до упора, а затем закройте, повернув назад. (Время открытого состояния крана автоматически покажет таймер.) В этом случае газ адиабатическим путем из состояния 1 переходит в состояние 2 (см. рис.2).
6. Подождите 1 – 2 минуты, пока не установится комнатная температура (изохорный процесс). Определите по манометру избыточное давление h2 , установившееся в результате
этого процесса, и запишите его значение в таблицу.
7. Чтобы привести газ в начальное состояние, откройте кран К3, соединяющий баллон с
атмосферой, и подождите до опускания жидкости в начальное положение.
8. Откройте кран К1, закройте кран К3. Убедитесь, что кран К2 закрыт.
9. Повторите пункты 2 – 7 еще девять раз, записывая полученные данные в таблицу.
Таблица
№
измерения
h1 , мм
h2 , мм
h1 h2 , мм
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Обработка результатов измерений
1. Исходя из полученных данных, подсчитайте по формуле (22) величину . Данные запишите в таблицу.
2. Оцените абсолютную погрешность величины . Вычисления случайной погрешности
серии измерений проводить, как для прямых измерений:
t (n)
2
i
n(n 1)
,
где t (n) – коэффициент Стьюдента, n – число измерений. Необходимо, также, учесть
приборную погрешность = 0,02 , которую надо прибавить к случайной.
3. Окончательный результат представьте в виде
,
где
.
Контрольные вопросы
1. Напишите уравнение состояния для идеального газа. Каков физический смысл универсальной газовой постоянной R?
2. .Какой процесс называется изохорическим? изотермическим? изобарическим? адиабатическим? Нарисуйте в координатах PV графики этих процессов.
3. Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите его для всех изопроцессов.
Как меняется температура газа при адиабатическом процессе?
4. Дайте определение удельной и молярной теплоемкостей газа. Получите соотношение
между теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме.
5. Что называется числом степеней свободы молекулы? Получите формулу для
число степеней свободы молекулы. Каково численное значение
через
для одно-, двух- и
многоатомного газов?
6. Расскажите о методе определения в данной работе?
7. Напишите уравнение состояния для реального газа. Поясните физический смысл поправок в нем.
8. Как определяется погрешность серии измерений в данной работе?
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики Т.1 - М. Наука, 1977.
2. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Молекулярная физика. М. Наука, 1978.