Задачи по статистической физике

Задачи по статистической физике
(Механико-математический факультет, отделение механики, 9 семестр)
1. Вывести уравнение адиабатического процесса для идеального газа с
фиксированным числом частиц N в переменных ( p, v = V N ); c p и cv — удельные
(в расчете на одну частицу) теплоемкости.
2. Найти удельные (в расчете на одну частицу) изменения значений внутренней
энергии ∆ε и энтропии ∆s при равновесном переходе идеального газа из одного
состояния в другое.
3. Найти химический потенциал µ идеального газа и газа Ван-дер-Ваальса.
4. Получить выражение, связывающее внутреннюю энергию системы U со
статистическим интегралом Z.
5. Выразить энтропию системы S через статистический интеграл Z.
6. Идеальный газ содержит N частиц, имеющих массу m, и занимает объем V при
температуре T. Вычислить статистический интеграл Z этой системы.
7. Определить внутреннюю энергию U и энтропию S идеального газа (см. задачу 6).
8. Показать, что дисперсия энергии системы для канонического распределения
Гиббса определяется соотношением
∆E 2 = ( E − U ) 2 = kT 2CV , где
CV –
теплоемкость при постоянном объеме, U – внутренняя энергия системы.
9. Используя выражение для статистического интеграла Z, найти давление P
идеального газа (см. задачу 6).
10. Используя каноническое распределение Гиббса, показать, что средние значения
∂H
∂H
равны kTδ ij . Здесь qi и pi — i-я обобщенная координата
и qi
величин pi
∂p j
∂q j
и сопряженный ей импульс, соответственно.
11. Найти среднее значение кинетической энергии, приходящейся на одну степень
свободы классической системы, имеющей температуру T.
12. Используя результат задачи
гармонического осциллятора.
10,
вычислить
среднее
значение
энергии
13. Оценить теплоемкость CV классического идеального газа, состоящего из: а) N
двухатомных молекул; б) N трехатомных линейных молекул; в) N трехатомных
нелинейных молекул. Колебания молекул считать гармоническими.
14. Оценить теплоемкость CV твердого тела, содержащего N атомов. Считать, что
движение атомов в твердом теле представляет собой гармонические колебания
около положений равновесия.
1
15. Идеальный газ, состоящий из N молекул, обладающих электрическим дипольным
r
r
моментом d , помещен в постоянное электрическое поле с напряженностью E .
r
r
Вычислить величину вектора электрической поляризации P = ( N V ) d .
Потенциальная энергия диполя в электрическом поле равна u (θ ) = − dE cosθ , где θ
r
r
— угол между векторами d и E.
16. Вычислить энтропию идеального газа дипольных молекул (см. задачу 17) как
функцию напряженности приложенного электрического поля E.
17. Идеальный газ находится в равновесии при температуре T в цилиндре, имеющем
высоту h и радиус основания R. Общее число атомов равно N. Цилиндр вращается
вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Найти давление газа на боковую
поверхность цилиндра. Действие силы тяжести не учитывать.
18. Идеальный газ, состоящий из N атомов с массой m, находится в цилиндре (высота
h, объем V) в поле силы тяжести. Определить внутреннюю энергию газа и
распределение его давления по высоте. Температура газа равна T, ускорение
свободного падения — g.
19. В стенке сосуда, содержащего газ при температуре T, имеется небольшое круглое
отверстие площадью S . Найти полное число частиц газа, вылетающих из этого
отверстия в вакуум за время ∆t . Масса одной частицы равна m
r
20. Исходя из распределения Максвелла f ( p) , найти функции распределения f ( p x ) ,
r
f ( p) и f (ε ) , где p = p , ε = p 2 2m .
v
21. Рассчитать средние значения величин p x и p x , где p — импульс одной частицы
из равновесной системы, имеющей температуру T.
r
v
22. Рассчитать средние значения величин p = p и p 2 , где p — импульс одной
частицы из равновесной системы, имеющей температуру T.
23. Рассчитать среднее значение кинетической
среднеквадратичное отклонение (дисперсию).
энергии
частицы
ε
и
ее
24. Вычислить среднее значение модуля относительной скорости двух частиц
r r
vотн = v1 − v2 максвелловского газа, если масса одной частицы равна m .
25. Найти нормированное распределение f (E ) по полной кинетической энергии E
классического газа, состоящего из N частиц.
26. Вычислить дисперсию полной кинетической энергии
газа, состоящего из N частиц.
(E
2
−E2
)
12
классического
2
27. Исходя из цепочки уравнений для частичных функций распределения (цепочка
ББГКИ), определить одночастичную функцию распределения для разреженного
r
газа с концентрацией n , находящегося во внешнем поле u (r ) , в нулевом
приближении по параметру плотности ( nr03 << 1 ).
28. Исходя из цепочки уравнений ББГКИ, определить двухчастичную функцию
распределения для разреженного газа с концентрацией n , потенциальная энергия
r
взаимодействия молекул которого равна Φ ( r ) , в нулевом приближении по
параметру плотности ( nr03 << 1 ).
29. Вычислить внутреннюю энергию U и энтропию S разреженного газа с
концентрацией n при следующих условиях: внешнее поле отсутствует, а
потенциальная энергия взаимодействия молекул имеет вид
Φ (r ) = +∞ при r < r0 , Φ (r ) < 0 при r > r0 ( Φ (r ) << kT ).
30. Вычислить давление P разреженного газа с концентрацией n при следующих
условиях: внешнее поле отсутствует, а потенциальная энергия взаимодействия
молекул имеет вид
Φ (r ) = +∞ при r < r0 , Φ (r ) < 0 при r > r0 ( Φ (r ) << kT ).
3