ЛЕКЦИЯ 12 Момент импульса твердого тела. Свободное

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
ЛЕКЦИЯ 12
Момент импульса твердого тела. Свободное вращение симметрического волчка. Уравнение движения твердого тела. Уравнения Эйлера. Устойчивость вращения.
Момент импульса твердого тела
Как мы знаем, величина момента импульса системы материальных точек, вообще говоря, зависит от выбора начала координат, относительно
которого он определен. И только в том случае, если в выбранной системе отсчета скорость поступательного движения твердого тела V = 0,
его момент импульса не зависит от выбора точки отсчета. Поэтому в
этом случае естественно в качестве такой точки выбрать центр инерции
тела — начало подвижной системы координат. Тогда в выражении для
момента импульса
X
M=
m[r × v]
(1)
скорость v надо заменить на [Ω × r]:
X
X ¡
¢
M=
m [r × [Ω × r]] =
m Ωr2 − r(Ω · r) .
(2)
Вводя тензорные обозначения, получим
X ¡
¢ X
2
Mi =
m Ωi xl − xi (Ωk xk ) =
m(δik Ωk x2l − xi xk Ωk ) =
X
= Ωk
m(x2l δik − xi xk ) = Ωk Iik .
(3)
Таким образом, связь между двумя векторами M и Ω можно записать
в виде
Mi = Iik Ωk .
(4)
Если оси x1 , x2 , x3 направлены вдоль главных осей инерции тела, то
недиагональные компоненты тензора инерции равны нулю и эта формула
дает
M1 = I1 Ω1 , M2 = I2 Ω2 , M3 = I3 Ω3 .
(5)
В частности, для шарового волчка, у которого все три главных момента
инерции совпадают, I1 = I2 = I3 = I, имеем
M = IΩ.
1
(6)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
Таким образом, для шарового волчка момент количества движения пропорционален угловой скорости вращения и имеет одинаковое с ней направление.
В общем же случае произвольного тела вектор M, вообще говоря, не
совпадает по направлению с вектором Ω. Это обстоятельство является
причиной сложного поведения вращающихся тел. Направления M и Ω
совпадают лишь при вращении твердого тела вокруг одной из его главных осей 1 .
Как и у всякой замкнутой системы, момент импульса свободно вращающегося тела постоянен. Для шарового волчка условие M = const дает
Ω = const. Это значит, что свободное вращения шарового волчка есть
просто равномерное вращение вокруг постоянной оси.
Столь же простым является и случай ротатора. Здесь, так как I1 =
I2 = I, а I3 = 0 (ось 3 направлена вдоль оси ротатора), M = IΩ, причем
вектор Ω перпендикулярен оси ротатора. Поэтому свободное вращение
ротатора есть равномерное вращение в одной плоскости вокруг направления, перпендикулярного к этой плоскости.
Свободное вращение симметрического волчка
Закона сохранения момента достаточно и для определения более сложного свободного вращения симметрического волчка. Для этого воспользуемся произвольностью выбора направлений главных осей инерции x1
и x2 , перпендикулярных к оси симметрии волчка x3 . А именно, выберем
ось x2 перпендикулярной к плоскости, которая определяется постоянным
вектором M и мгновенным положением оси x3 (рис. 1)
x2 ⊥ плоскости {M, x3 } .
Тогда M2 = 0, а следовательно, и Ω2 = 0. Таким образом, направления
M, Ω и x3 в каждый момент времени лежат в одной плоскости. Отсюда, в свою очередь, следует, что скорости v = [Ω × r] всех точек на оси
волчка x3 в каждый момент времени перпендикулярны к этой плоскости
(направлены против оси x2 ). Другими словами, ось волчка равномерно
(см. ниже) вращается вокруг направления M, описывая круговой конус с углом раствора θ = const. Это есть так называемая регулярная
прецессия волчка. Одновременно с прецессией сам волчок равномерно
вращается вокруг собственной оси x3 .
1
Это может служить определением главных осей и способом их нахождения на практике.
2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
M
W
W пр
x3
x1
W3
q
x2
Рис. 1: Вращение симметрического волчка.
Угловые скорости обоих вращений легко выразить через заданную величину момента M и угол наклона θ оси волчка x3 к направлению M.
Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть проекция Ω3
вектора Ω на эту ось:
M
M3
=
cos θ.
(7)
I3
I3
Для определения же скорости прецессии Ωпр надо разложить вектор Ω
по правилу параллелограмма на составляющие вдоль оси x3 и вдоль направления M. Из них первая составляющая вдоль x3 не приводит ни
к какому перемещению самой оси волчка, а поэтому вторая составляющая дает искомую угловую скорость прецессии. Из рисунка видно, что
Ωпр sin θ = Ω1 , а поскольку Ω1 = M1 / I1 = M sin θ/I1 , то мы получаем
Ω3 =
Ωпр =
M
.
I1
(8)
Это и значит, что Ωпр = const.
Выведем теперь формулу, связывающую момент импульса M и угловую скорость вращения Ω с кинетической энергией вращения Tвр . Для
этого заметим, что с одной стороны,
1
Tвр = Iik Ωi Ωk ,
(9)
2
а с другой, —
Mi = Iik Ωk .
(10)
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
Поэтому имеем
Tвр =
1
1
1
I|ik{zΩ}k Ωi = Mi Ωi = M · Ω,
2
2
2
(11)
Mi
В результате мы получили важную формулу
1
Tвр = M · Ω,
(12)
2
то есть кинетическая энергия вращения равна половине скалярного произведения момента импульса на угловую скорость вращения (сравни с
выражением для кинетической энергии поступательного движения mv 2 /2 =
(p · v)/2). Отсюда для свободного вращения, когда Tвр = (M · Ω)/2 =
const и M = const, следует, что проекция вектора Ω на направление M
в процессе вращения не изменяется.
Уравнения движения твердого тела
2
Поскольку в общем случае твердое тело обладает шестью степенями
свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть
независимых уравнений. Их можно представить в виде двух векторных
уравнений для скорости изменения импульса и момента импульса тела.
Первое из этих уравнений получается в результате простого суммирования уравнений движения ṗ = f для каждой из составляющих тело
частиц, где p — импульс частицы, а f — действующая на нее сила. Вводя
полный импульс тела
X
P=
p = MV
(13)
P
и полную действующую на него силу
f = F, получим
dP
= F.
dt
(14)
Выше мы определили F как сумму всех сил f , действующих на каждую из частиц, в том числе и со стороны других частиц тела. Однако
ясно, что фактически в F входят только силы, действующие со стороны внешних источников, поскольку все силы взаимодействия между частицами самого тела взаимно сокращаются. Действительно,
Смотри
подборку
интересных
видео
демонстраций
из
МИФИ
ханике
твердого
тела
на
сайте
кафедры
Экспериментальной
http://lms.physics.spbstu.ru/mod/forum/view.php?id=618.
2
4
по
мефизики:
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
при отсутствии внешних сил импульс тела, как и у всякой замкнутой
системы, должен сохраняться, то есть должно быть F = 0.
Если U — потенциальная энергия твердого тела во внешнем поле, то
сила F может быть определена путем ее дифференцирования по координатам центра инерции тела:
∂U
(15)
.
∂Rc
Для вывода второго уравнения движения, определяющего скорость изменения момента импульса M, поступим следующим образом. Выберем
нашу “неподвижную” (инерциальную) систему отсчета таким образом,
чтобы в каждый данный момент времени центр инерции тела покоился
относительно нее. Полученное таким образом уравнение будет справедливо и в любой другой инерциальной системе отсчета в силу галилеевского принципа относительности.
Имеем
X
X
d X
Ṁ =
[r × p] =
[r × ṗ] +
[ṙ × p].
(16)
dt
В силу сделанного нами выбора системы отсчета, в которой V = 0, зна˙ Но
чение ṙ в данный момент времени совпадает со скоростью v = ℘.
поскольку векторы v и p = mv имеют одинаковое направление, то
[ṙ × p] = 0. Заменив ṗ на силу f , получим окончательно
X
dM
= K, где K =
[r × f ].
(17)
dt
Вектор [r × f ] называется моментом силы f , так что K есть сумма
моментов
P всех сил, действующих на тело. Как и в полной силе F, в
сумме [r × f ] фактически должны учитываться лишь внешние силы. В
соответствии с законом сохранения момента импульса, сумма моментов
всех сил, действующих внутри замкнутой системы, должна обращаться
в нуль.
Аналогично формуле (15), момент силы K можно связать с изменением потенциальной энергии U при повороте тела на бесконечно малый
угол δϕ. Действительно
X
X
X
δU = −
f · δ℘ = −
f · [δϕ × r] = −δϕ ·
[r × f ] = −K · δϕ. (18)
F=−
Отсюда следует, что
3
K=−
3
∂U
.
∂ϕ
Заметим, что согласно формуле (17) момент силы K имеет размерность энергии.
5
(19)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
Вообще говоря, момент силы, как и момент импульса, зависит от выбора начала координат, относительно которого он определен. Выше все
моменты были определены относительно центра инерции тела. Однако
представляет интерес выяснить, как момент силы изменяется при переносе начала отсчета. Так, при переносе начала координат на расстояние
a новые радиус-векторы r0 точек тела связаны со старыми r таким образом:
r = r0 + a.
(20)
Поэтому
K=
X
X
X
[r × f ] =
[r0 × f ] +
[a × f ],
(21)
или, вынося a за знак суммы, получаем
K = K0 + [a × F].
(22)
Отсюда, в частности, видно, что величина момента сил не зависит от выбора начала координат, если полная сила F равна нулю (в таком случае
говорят, что к телу приложена пара сил).
Предположим теперь, что векторы F и K взаимно перпендикулярны.
В этом случае всегда можно найти такой вектор a, чтобы в формуле (22)
K0 обратилось в ноль, так что будет:
K = [a × F] .
(23)
При этом выбор a неоднозначен: прибавление к нему любого вектора,
параллельного F, не изменит равенства (23), так что условие K0 = 0
даст не определенную точку в подвижной системе координат, а лишь
определенную прямую линию. Таким образом, при K ⊥ F действие всех
приложенных к телу сил можно свести к одной силе F, действующей
вдоль определенной прямой линии.
В качестве примера рассмотрим движение твердого тела в однородном
поле тяжести Земли. В этом случае сила, действующая на материальную
точку f = mg, где g есть ускорение силы тяжести. Тогда имеем
hX
i
X
X
X
F=
mg = g
m, K =
[r × mg] =
mr × g .
(24)
P
Если мы теперь введем полную массу M =
m и радиус вектор центра
инерции тела
P
mr
(25)
Rc = P ,
m
то формулы (24) можно переписать в виде
F = Mg,
K = [Rc × F].
6
(26)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
Таким образом, при движении твердого тела в однородном поле тяжести
влияние поля сводится к действию одной силы F = Mg, “приложенной”
в точке с радиус вектором Rc , т. е. в центре инерции тела.
Уравнения Эйлера
4
Рис. 2: Леонард Эйлер (Швейцария, Россия) 1707-1783.
Выведенные нами уравнения движения
dP
dM
=F и
=K
(27)
dt
dt
относятся к неподвижной системе координат, и производные в этих уравнениях характеризуют изменение этих векторов по отношению к этой
же системе. Для первого уравнения, поскольку P = MV, где масса
тела M не меняется со временем, это не приводит к возникновению дополнительных трудностей по сравнению с уравнением движения одной
материальной точки. Однако во втором уравнении, описывающем вращение твердого тела, момент импульса M связан с угловой скоростью Ω
посредством тензора инерции Iik . Компоненты последнего, будучи неизменными во времени в подвижной (жестко связанной с телом) системе
Леонард Эйлер (нем. Leonhard Euler; 4(15) апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября
1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — швейцарский, немецкий и российский математик,
внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и
ряда прикладных наук.
4
7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
координат, вообще говоря меняются со временем в неподвижной (лабораторной) системе. Это изменение обусловлено поворотом подвижной системы координат относительно неподвижной в процессе вращения тела.
Величина поворота зависит от угловой скорости вращения, которая, в
свою очередь, определяется моментами инерции Iik . В результате проблема интегрирования уравнений движения становится несравненно более
сложной, чем в случае обычного поступательного движения. В этом мы
с вами уже убедились на примере свободного вращения симметрического
волчка.
С другой стороны, в подвижной системе координат с осями, направленными по главным осям инерции твердого тела, величины Iik не зависят от времени, и, более того, имеется простая связь между компонентами вращательного момента M и компонентами угловой скорости Ω.
Поэтому представляет интерес выяснить, как будут выглядеть уравнения, описывающие вращение тела в подвижной системе координат 5 . Для
этого нам нужно преобразовать уравнение (17) от лабораторной системы
к подвижным координатам x1 , x2 , x3 .
Пусть dA/dt — скорость изменения какого-либо вектора A по отношению к неподвижной системе координат. Если по отношению к вращающейся системе вектор A не изменяется, то его изменение относительно
неподвижной системы обусловлено только его вращением и тогда
dA
= [Ω × A]
dt
(28)
(сравни с выражением dr/dt = [Ω × r]). В общем же случае к правой
части этого равенства надо добавить скорость изменения вектора A по
отношению к подвижной системе координат. Обозначим эту скорость через d0 A/dt. Тогда получим
dA d0 A
=
+ [Ω × A].
dt
dt
(29)
Эта формула является прямым следствием правила дифференцирования произведения двух функций. Действительно, вектор A можно разложить по ортам подвижной системы координат:
A = A1 n1 + A2 n2 + A3 n3 .
(30)
По отношению к подвижной системе координат тело разумеется не движется и не вращается,
поэтому речь здесь идет лишь о том, как меняются со временем проекции вектора угловой скорости
вращения тела Ω (определенного, естественно, относительно неподвижной системы координат) на
оси подвижной системы координат x1 , x2 , x3 .
5
8
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
Тогда
µ
¶ µ
¶
dA
dA1
dA2
dA3
dn1
dn2
dn3
=
n1 +
n2 +
n3 + A1
+ A2
+ A3
. (31)
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Учитывая, что
dn1
dn2
dn3
= [Ω × n1 ] ,
= [Ω × n2 ] ,
= [Ω × n3 ] ,
(32)
dt
dt
dt
мы приходим к формуле (29), где первое слагаемое соответствует первому слагаемому в формуле (31), а второе слагаемое — второму слагаемому
в формуле (31).
Применив это равенство к скорости изменения момента импульса, получим
d0 M
+ [Ω × M] = K.
(33)
dt
Положив теперь, что оси подвижной системы координат выбраны вдоль
главных осей инерции тела и что M1 = I1 Ω1 , M2 = I2 Ω2 , M3 = I3 Ω3 ,
получаем для проекции на ось x1
dM1
+ [Ω × M]1 = K1 ,
(34)
dt
или
dΩ1
I1
+ Ω2 M 3 − Ω 3 M 2 = K1 ,
(35)
dt
или
dΩ1
I1
+ (I3 − I2 )Ω2 Ω3 = K1 .
(36)
dt
Применяя такую же процедуру к проекциям на две другие оси, получим
систему трех уравнений
dΩ1
I1
+ (I3 − I2 )Ω2 Ω3 = K1 ,
dt
dΩ2
I2
+ (I1 − I3 )Ω1 Ω3 = K2 ,
(37)
dt
dΩ3
+ (I2 − I1 )Ω1 Ω2 = K3 ,
I3
dt
которые называются уравнениями Эйлера. В случае свободного движения K = 0 и мы имеем
dΩ1 I3 − I2
+
Ω2 Ω3 = 0,
dt
I1
dΩ2 I1 − I3
+
Ω1 Ω3 = 0,
(38)
dt
I2
dΩ3 I2 − I1
+
Ω1 Ω2 = 0.
dt
I3
9
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
В качестве примера давайте применим эти уравнения к уже рассматривавшемуся нами свободному вращению симметрического волчка. Полагая I2 = I1 , из третьего уравнения получаем, что
Ω̇3 = 0,
или
Ω3 = const.
(39)
После этого первые два уравнения принимают следующий вид:
dΩ1 I3 − I1
+
Ω2 Ω3 = 0,
dt
I1
dΩ2 I1 − I3
+
Ω1 Ω3 = 0.
dt
I1
Вводя обозначение
ω = Ω3
получаем
I3 − I1
,
I1
Ω̇1 = −ωΩ2 ,
Ω̇2 = ωΩ1 .
(40)
(41)
(42)
Умножив второе уравнение на i и сложив его с первым уравнением, получаем
d
(Ω1 + iΩ2 ) = iω(Ω1 + iΩ2 ).
(43)
dt
Решение этого уравнения с разделяющимися переменными, очевидно,
такое:
Ω1 + iΩ2 = Aeiωt ,
(44)
где A — постоянная, которую можно считать вещественной (это сводится
к надлежащему выбору начала отсчета времени). После этого, используя
известную формулу
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ,
(45)
получаем, что
Ω1 = A cos ωt,
Ω2 = A sin ωt.
(46)
Из последнего уравнения следует, что проекция угловой скорости на
плоскость, перпендикулярную оси волчка, вращается в этой
p плоскости с
угловой скоростью ω, оставаясь постоянной по величине: Ω21 + Ω22 = A.
Поскольку проекция Ω3 на ось волчка тоже постоянна, то мы приходим к
выводу, что и весь вектор Ω равномерно вращается с угловой скоростью
10
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
ω вокруг оси волчка x3 , оставаясь неизменным по величине. Поскольку
имеется связь
M1 = I1 Ω1 ,
M2 = I1 Ω2 ,
M3 = I3 Ω3
(47)
между компонентами векторов Ω и M, такое же движение (по отношению к оси волчка) совершает, очевидно, и вектор момента M. Полученная картина, разумеется, совершенно эквивалентна той, которая была
получена при рассмотрении движения волчка в неподвижной системе
координат.
Устойчивость вращения
Пользуясь уравнениями Эйлера, можно исследовать вопрос об устойчивости вращения твердого тела вокруг одной из главных осей. В частности, можно показать, что вращение вокруг оси с промежуточным значением момента инерции неустойчиво. Пусть, например,
I3 > I2 > I1
(48)
и тело вращается вокруг оси x2 . Тогда Ω1 = Ω3 = 0 и Ω2 = Ω20 = const 6=
0. Подставляя это в уравнения Эйлера, получим, что
dΩ1
dΩ2
dΩ3
=
=
= 0.
(49)
dt
dt
dt
Таким образом, вращение с постоянной угловой скоростью вокруг оси x2
удовлетворяет уравнениям Эйлера. Однако, как мы покажем, оно является неустойчивым относительно малого возмущения.
Пусть угловая скорость Ω немного отклонилась от своего направления
x2 , так что появились малые составляющие вдоль осей x1 и x3 :
Ω1 = ω1 ,
Ω3 = ω3 ,
(50)
где ω1 , ω3 ¿ Ω20 малы (изменением проекции Ω2 можно в первом приближении пренебречь). Тогда
I3 − I2
dω1
+
Ω20 ω3 = 0,
dt
I1
I2 − I1
dω3
+
Ω20 ω1 = 0.
(51)
dt
I3
Будем искать решение этой системы уравнений в виде экспоненты
ω1 ∼ ω3 ∼ ept .
11
(52)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
Подставляя это в (51), получаем для величины p систему линейных однородных уравнений
I3 − I2
p ω1 +
Ω20 ω3 = 0,
I1
I2 − I1
Ω20 ω1 + p ω3 = 0.
(53)
I3
Условие существования нетривиального (то есть отличного от нуля) решения этой системы уравнений заключается в равенстве нулю ее определителя:
¯
¯
¯
¯
I3 − I2
¯
p
Ω20 ¯¯
¯
I1
¯
¯
(54)
¯ = 0.
¯
¯ I2 − I1
¯
¯
¯
Ω20
p
¯ I3
¯
Отсюда получаем так называемое характеристическое уравнение
для p
I3 − I2 I2 − I1 2
p2 −
·
Ω20 = 0,
(55)
I1
I3
корни которого при I3 > I2 > I1 вещественны,
s
(I3 − I2 )(I2 − I1 )
,
(56)
p1,2 = ±Ω20
I1 I3
причем p1 > 0, а p2 < 0. Наличие положительного корня p1 означает, что
решение Ω1 = Ω3 = 0, Ω2 = Ω20 = const неустойчиво, так как случайно
возникшее возмущение усиливается и растет по экспоненте:
 s


(I3 − I2 )(I2 − I1 ) 
ω1 ∼ ω3 ∼ exp Ω20
t .
(57)


I1 I3
Чтобы наглядно убедиться в справедливости приведенных выше рассуждений, предлагаем вам провести следующий нехитрый опыт. Возьмите в руку книгу с твердой обложкой (например механику Ландау и
Лифшица), и заклейте ее скотчем так, чтобы она не раскрывалась при
движении. Если вы теперь подбросите книгу, сообщив ей одновременно
вращательное движение вокруг короткого (перпендикулярного плоскости обложки) или длинного ребра (лежащего в плоскости обложки), то во
время подъема и падения ось вращения будет оставаться параллельной
первоначальному направлению. Однако все попытки сохранить ось вращения неизменной у книги, подброшенной с вращением вокруг среднего
12
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
ребра, окажутся тщетными — в этом случае книга во время движения
будет беспорядочно кувыркаться 6 .
Задачи
1. Доказать, что при движении твердого тела в однородном поле тяжести его момент импульса, определенный относительно центра инерции тела, остается постоянным и сила тяжести не оказывает никакого влияния на вращение тела.
2. Однородная пластина произвольной треугольной формы и весом P
поддерживается в горизонтальном положении тремя вертикальными
опорами, расположенными в вершинах этого треугольника. Доказать, что реакции этих опор равны друг другу независимо от формы
треугольника: F1 = F2 = F3 = P/3.
3. Однородный тонкий негнущийся стержень весом P поддерживается в горизонтальном положении двумя вертикальными опорами у
концов стержня (см. рис.). В момент времени t = 0 одна из опор выбивается. Найти силу F , которая действует на вторую опору сразу
же после этого момента.
Ответ: F = P/4.
4. Почему половую швабру легче удерживать на пальце (в положении
неустойчивого равновесия), чем палку той же длины (и значительно
легче, чем карандаш)?
Ответ: Представим себе швабру в виде однородного стержня длины l и массы m на конце которого закреплена половая щетка массы
M . Пусть ϕ — характеризует угол отклонения швабры от вертикали (положения неустойчивого равновесия). Тогда закон падения
швабры вниз (при закрепленной нижней точке опоры) описывается
уравнением
I ϕ̈ = (m + M )ga sin ϕ,
(58)
где I = ml2 /3 + M l2 — момент инерции швабры (стержень + щетка),
В. Ланге, Почему кувыркается книга. Квант, N3, стр.37-38, 2000
http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/03/kv0300lange.pdf. Смотри также интересное видео с борта
международной орбитальной космической станции
http://www.youtube.com/watch?v=LzVItPwiQyI. Смотри также аналогичную демонстрацию из
МИФИ http://lms.physics.spbstu.ru/mod/forum/discuss.php?d=211.
6
13
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
а
1 2 + m/M
a= l
2 1 + m/M
— расстояние от центра масс швабры до нижней точки опоры.
При малых углах |ϕ| ¿ 1 (начальная стадия падения) уравнение
(58) принимает вид
s
2
d ϕ (m + M )ga
ϕ
I
ϕ
≡
.
=
,
где
τ
=
dt2
I
τ2
(m + M )ga
Решение этого линейного уравнения ищем в виде суперпозиции двух
экспонент
µ ¶
µ ¶
t
t
+ B exp −
.
ϕ = A exp
τ
τ
Потребовав, чтобы в начальный момент времени щетка была неподвижна, т. е. ϕ̇(0) = 0, получаем A = B. В результате находим
t
ϕ(t) = ϕ(0) ch ,
τ
где ϕ(0) — небольшое начальное отклонение щетки от вертикали при
t = 0 (иначе щетка не упадет).
Таким образом, характерное время падения щетки определяется характерным временем τ , которое можно представить в виде
s
s
I
lпр
I
2 m + 3M
τ=
=
, где lпр =
= l
.
(m + M )ga
g
(m + M )a 3 m + 2M
Чем больше приведенная длина lпр , тем больше время τ и тем медленнее падает щетка. Поэтому всего лишь небольшая корректировка ее нижнего положения позволяет удержать ее в равновесии. Если
масса щетки мала, M ¿ m, то lпр = 2l/3. Если же наоборот масса
щетки велика M À m, то lпр = l и оказывается максимальной в
данной ситуации. Поэтому швабру со щеткой удержать в равновесии
легче, так как ее приведенная длина больше. Так, например, если
lпр = 10 см, то τ = 0.1 сек, а при lпр = 160 см, τ = 0.4 сек.
5. Стержень длины l вертикально стоит в прямом углу, образованном
гладкими вертикальной и горизонтальной плоскостями. Нижний конец стержня смещают горизонтально на очень маленькое расстояние, и стержень начинает двигаться. Найти скорость нижнего конца
14
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
стержня в тот момент, когда верхний конец стержня оторвется от
вертикальной плоскости.
√
Ответ: vнижн = gl/3.
6. На гладкой горизонтальной поверхности стола лежит тонкий однородный стержень длины L. На конец стержня перпендикулярно ему
действует импульс силы, лежащий в горизонтальной плоскости. На
какое расстояние s передвинется центр масс стержня за время полного своего оборота.
Ответ: s = πL/3.
7. На гладкой горизонтальной поверхности стола лежит однородный
стержень массы m и длины l. На один из его концов начали действовать постоянной, направленной все время вертикально вверх силой
F = mg. Найти угловую скорость стержня ω в зависимости от угла
ϕ его поворота. При каком угле ϕc стержень оторвется от поверхности стола? Найти его скорость поступательного движения вверх и
амплитуду возникших колебаний после отрыва.
Ответ: До отрыва стержня от стола
sr
s
r
12g
sin ϕ
11 1
ωI =
,
при
ϕ
<
ϕ
=
arccos
− ≈ 47◦ .
c
2
l
1 + 3 cos ϕ
12 2
После отрыва
r
g
ωII = ωc2 + 12 (sin ϕ − sin ϕc ),
l
при ϕc < ϕ <
π
,
2
где ωc = ωI (ϕc ). Скорость Vc поступательного движения стержня
вверх после отрыва
1
Vc = ωc l cos ϕc .
2
Амплитуда колебаний (по углу)
µ
¶
3 sin ϕc cos2 ϕc
ϕ0 = arcsin
≈ 25◦ .
2
1 + 3 cos ϕc
Все углы в этой задаче отсчитываются от горизонтали.
15
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
Анекдот
Давида Гильберта (1862-1943) спросили об одном из его бывших учеников.
— Ах, этот-то? – вспомнил Гильберт. — Он стал поэтом. Для математики
у него было слишком мало воображения.
16
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
Леонард Эйлер
Леонард Эйлер (нем. Leonhard Euler; 4 (15) апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18)
сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — швейцарский, немецкий
и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а
также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.
Эйлер — автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике,
математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.
Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление
российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург, куда
переехал годом позже. С 1731 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и
часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские
академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С.Я. Румовский) были
учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.
Биография
Швейцария (1707—1727)
Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье базельского пастора, друга семьи Бернулли. Рано обнаружил математические способности. Начальное обучение получил
дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли.
Пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой — как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления.
Одновременно с обучением в гимназии мальчик увлечённо занимался математикой
под руководством Якоба Бернулли, а в последние гимназические годы посещал университетские лекции младшего брата Якоба, Иоганна Бернулли.
20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Но любовь к математике направила Леонарда по
иному пути. Вскоре способный мальчик обратил на себя внимание профессора Иоганна Бернулли. Он передал одарённому студенту математические статьи для изучения,
а по субботам пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли — Даниилом и Николаем, также увлечённо занимавшимися математикой.
8 июня 1724 года 17-летний Леонард Эйлер произнёс на латыни речь о сравнении
философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра.
В последующие два года юный Эйлер написал несколько научных работ. Одна
из них, «Диссертация по физике о звуке», получившая благоприятный отзыв, была
представлена на конкурс для замещения неожиданно освободившейся в Базельском
университете должности профессора физики (1725). Но, несмотря на положительный
отзыв, 19-летнего Эйлера сочли слишком юным, чтобы включить в число кандидатов
на профессорскую кафедру. Надо отметить, что число научных вакансий в Швейцарии было совсем невелико. Поэтому братья Даниил и Николай Бернулли уехали в
Россию, где как раз шла организация Академии наук; они обещали похлопотать там
и о должности для Эйлера.
17
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
В начале зимы 1726 года Эйлеру сообщили из Санкт-Петербурга: по рекомендации
братьев Бернулли он приглашён на должность адъюнкта по физиологии с окладом
200 рублей. Получение аванса для компенсации проездных расходов растянулось
почти на год, и лишь 5 апреля 1727 года Эйлер навсегда покинул Швейцарию.
Первый приезд в Россию (1727—1741)
22 января 1724 года Пётр I утвердил проект устройства Петербургской Академии.
28 января вышел указ сената о создании Академии. Из 22 профессоров и адъюнктов, приглашённых в первые годы, оказалось 8 математиков, которые занимались
также механикой, физикой, астрономией, картографией, теорией кораблестроения,
службой мер и весов.
Одной из важнейших задач Академии стала подготовка отечественных кадров.
Позднее при Академии были созданы университет и гимназия. В силу острой нехватки учебников на русском языке Академия обратилась к своим членам с просьбой составить такие руководства. Эйлер, хотя и числился физиологом, составил на немецком языке очень добротное «Руководство к арифметике», которое тут же было переведено на русский и служило не один год в качестве начального учебника. Перевод
первой части выполнил в 1740 году первый русский адъюнкт Академии, ученик Эйлера Василий Адодуров. Это было первое систематическое изложение арифметики
на русском языке. Ко всеобщему удивлению, Эйлер уже в следующем по приезде
году стал бегло говорить по-русски.
В 1730 году, когда на русский престол вступила Анна Иоанновна, интерес к Академии упал. За годы своего правления императрица посетила Академию всего лишь
один раз. Часть приглашённых профессоров стала возвращаться на родину. Освободившееся место профессора физики было предложено Эйлеру (1731), одновременно
он получил увеличение оклада до 400 рублей. Ещё через два года Даниил Бернулли
вернулся в Швейцарию, и Эйлер занял его кафедру, став академиком и профессором чистой математики с окладом 600 рублей (впрочем, Даниил Бернулли получал
вдвое больше). Николай Бернулли, талантливый математик, скоропостижно умер от
болезни вскоре после приезда в Россию, в 1726 году.
В один из последних дней 1733 года 26-летний Леонард Эйлер женился на своей ровеснице Катарине (нем. Katharina Gsell), дочери живописца (петербургского
швейцарца) Георга Гзеля. Молодожёны приобрели дом на набережной Невы, где и
поселились. В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили 3 сына и 2 дочери.
Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. По отзывам современников, для него жить означало заниматься математикой. А работы у молодого профессора было много: картография, всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование
пожарных насосов и т. д. От него даже требуют составления гороскопов, каковой
заказ Эйлер со всем возможным тактом переадресовал штатному астроному. Но всё
это не мешает ему активно проводить собственные исследования.
За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных
работ. Значительная часть академических «Записок» заполнена трудами Эйлера.
Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в
выполнении различных технических заказов правительственных ведомств.
В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое
астрономическое (по другим данным, картографическое) вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3
18
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
дня — и справился самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно:
он заболел и потерял зрение на правый глаз.
В 1730-е годы Эйлер становится известен и в Европе. Двухтомное сочинение «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении», изданное в 1736 году,
принесло ему мировую славу. В этой монографии Эйлер блестяще применил методы
математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. «Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе, сможет всё увидеть
с необычайной лёгкостью и без всякой помощи прочитает работу полностью», — заканчивает Эйлер своё предисловие к книге. Начиная с этого момента, теоретическая
механика становится прикладной частью математики.
Обстоятельства ухудшились, когда в 1740 году умерла императрица Анна Иоанновна, и царём был объявлен малолетний Иоанн VI. «Предвиделось нечто опасное, —
писал позднее Эйлер в автобиографии. — После кончины достославной императрицы Анны при последовавшем тогда регентстве. . . положение начало представляться
неуверенным». В самом деле, в регентство Анны Леопольдовны Петербургская Академия окончательно приходит в запустение. Эйлер обдумывает возврат на родину. В
конце концов он принимает предложение прусского короля Фридриха, который приглашал его в Берлинскую Академию на весьма выгодных условиях, на должность
директора её Математического департамента. Академия создавалась на базе прусского Королевского общества, основанного ещё Лейбницем, но в те годы находившегося
в удручающем состоянии.
Пруссия (1741—1766)
Эйлер подал руководству Петербургской Академии прошение об отставке: “Того ради нахожусь принужден, как ради слабого здоровья, так и других обстоятельств,
искать приятнейшего климата и принять от его Королевского Величества Прусского учиненное мне призывание. Того ради прошу Императорскую Академию наук
всеподданнейше меня милостиво уволить и снабдить для моего и домашних моих
проезду потребным пашпортом”.
29 мая 1741 года разрешение Академии было получено. Эйлер был «отпущен» и
утверждён почётным членом Академии с окладом 200 рублей. Взамен он обещал по
мере своих сил помогать Петербургской Академии — и действительно, все проведённые в Пруссии годы Эйлер участвовал в публикациях Академии, редактировал
математические отделы русских журналов, приобретал для Петербурга книги и инструменты. На квартире Эйлера, на полном пансионе, годами жили молодые русские
учёные, командированные на стажировку. Известно об оживлённой переписке Эйлера с Ломоносовым, в творчестве которого он высоко ценил «счастливое сочетание
теории с экспериментом». В 1747 году он дал благоприятный отзыв президенту Академии наук графу К. Г. Разумовскому о статьях Ломоносова по физике и химии,
утверждая:
Все сии диссертации не токмо хороши, но и весьма превосходны, ибо он
[Ломоносов] пишет о материях физических и химических весьма нужных,
которые по ныне не знали и истолковать не могли самые остроумные люди,
что он учинил с таким успехом, что я совершенно уверен в справедливости
его изъяснений. При сём случае г. Ломоносову должен отдать справедливость, что имеет превосходное дарование для изъяснения физических и химических явлений. Желать должно, чтоб и другия Академии в состоянии
были произвести такия откровения, как показал г. Ломоносов.
19
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
Эйлер, в ответ к его сиятельству г. президенту 1747 года
Этой высокой оценке не помешало даже то, что Ломоносов математических работ не
писал и высшей математикой не владел.
В июне 1741 года Леонард Эйлер с женой, двумя сыновьями и четырьмя племянниками прибыл в Берлин. Он провёл там 25 лет и издал около 260 работ.
Первое время Эйлера встречают в Берлине доброжелательно, его приглашают даже на придворные балы. Король постоянно в отлучке из-за непрерывных войн, но
работы у Эйлера немало. Помимо математики, он занимается многими практическими делами, включая лотереи, чеканку монет, прокладку нового водопровода и
организацию пенсионного обеспечения.
В 1742 году вышло четырёхтомное собрание сочинений Иоганна Бернулли. Посылая его из Базеля Эйлеру в Берлин, старый учёный писал своему ученику: «Я
посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости». В берлинский период, одна за другой, выходят работы Эйлера:
«Введение в анализ бесконечно малых» (1748), «Морская наука» (1749), «Теория
движения Луны» (1753), «Наставление по дифференциальному исчислению» (1755).
Многочисленные статьи по отдельным вопросам печатаются в изданиях Берлинской
и Петербургской Академий. В 1744 году Эйлер открывает вариационное исчисление.
В его работах используются продуманная терминология и математическая символика, в значительной степени сохранившиеся до наших дней, изложение доводится до
уровня практических алгоритмов.
В 1753 году Эйлер купил поместье в Шарлоттенбурге (пригород Берлина) с садом
и участком. Мать известила Эйлера о смерти в Швейцарии его отца; вскоре она
переехала к Эйлеру.
Огромную популярность приобрели в XVIII веке, а отчасти и в XIX-м, эйлеровские
«Письма о разных физических и философических материях, написанные к некоторой
немецкой принцессе. . . », которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках (в том
числе 4 издания на русском). Это научно-популярная энциклопедия широкого охвата,
написанная ярко и общедоступно.
По отзывам современников, Эйлер всю жизнь оставался скромным, жизнерадостным, чрезвычайно отзывчивым человеком, всегда готовым помочь другому. Однако
отношения с королём не складываются: Фридрих находит нового математика невыносимо скучным, совершенно не светским, и обращается с ним пренебрежительно. В
1759 году умер Мопертюи, президент Берлинской Академии наук. Пост президента
Академии король Фридрих II предложил Даламберу, но тот отказался. Фридрих,
недолюбливавший Эйлера, всё же поручил ему руководство Академией, однако без
титула президента.
Во время Семилетней войны русская артиллерия разрушила дом Эйлера; узнав об
этом, фельдмаршал Салтыков немедленно возместил потери, а позже императрица
Елизавета прислала от себя ещё 4000 рублей.
1765: новый шедевр Эйлера, «Теория движения твёрдых тел». В 1766 году опубликованы «Элементы вариационного исчисления». Именно здесь впервые появилось
название нового раздела математики, созданного Эйлером и Лагранжем.
В 1762 году на русский престол вступила Екатерина II, которая осуществляла
политику просвещённого абсолютизма. Хорошо понимая значение науки как для
прогресса государства, так и для собственного престижа, она провела ряд важных,
благоприятных для науки, преобразований в системе народного просвещения и культуры. Императрица предложила Эйлеру управление математическим классом (отде20
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
лением), звание конференц-секретаря Академии и оклад 1800 рублей в год. «А если
не понравится, — говорилось в письме её представителю, — благоволит сообщить
свои условия, лишь бы не медлил приездом в Петербург».
Эйлер сообщил в ответ свои условия:
• оклад 3000 рублей в год и пост вице-президента Академии;
• ежегодная пенсия 1000 рублей супруге после его смерти;
• оплачиваемые должности для троих его сыновей, в том числе пост секретаря
Академии для старшего.
Все эти условия были приняты. В письме от 6 января 1766 года Екатерина пишет
канцлеру графу Воронцову: “Письмо к Вам г. Эйлера доставило мне большое удовольствие, потому что я узнаю из него о желании его снова вступить в мою службу.
Конечно, я нахожу его совершенно достойным желаемого звания вице-президента
Академии наук, но для этого следует принять некоторые меры, прежде чем я установлю это звание — говорю установлю, так как доныне его не существовало. При
настоящем положении дел там нет денег на жалование в 3000 рублей, но для человека с такими достоинствами, как г. Эйлер, я добавлю к академическому жалованию из
государственных доходов, что вместе составит требуемые 3000 рублей. . . Я уверена,
что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее
поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека.
Эйлер подал королю прошение об увольнении со службы, но никакого ответа не
получил. Подал повторно — но Фридрих не желал даже обсуждать вопрос о его
отъезде. В ответ на это Эйлер прекратил работать для Берлинской Академии.
Решающую поддержку Эйлеру оказали настойчивые ходатайства российского представительства от имени императрицы. 30 апреля 1766 года Фридрих наконец-то разрешил великому учёному покинуть Пруссию, отпустив вдогонку (в письмах того
периода) несколько злобных острот. Правда, Кристофа, младшего сына Эйлера, служившего подполковником артиллерии (нем. Oberstleutnant), король наотрез отказался отпустить из армии. Позднее благодаря заступничеству Екатерины II он всё же
смог присоединиться к отцу; в русской армии он дослужился до генерал-лейтенанта.
Эйлер возвращается в Россию, теперь уже навсегда.
Снова Россия (1766—1783)
В июле 1766 года 60-летний Эйлер, его семья и домочадцы (всего 18 человек) прибыли в российскую столицу. Сразу же по прибытии он был принят императрицей.
Екатерина, теперь уже Вторая, встретила его как августейшую особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и на
приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и
поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.
К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта левого глаза — он перестал видеть. Вероятно, по этой причине обещанный пост
вице-президента Академии он так и не получил. Однако слепота не отразилась на
его работоспособности. Эйлер диктовал свои труды мальчику-портному, который всё
записывал по-немецки. Число опубликованных им работ даже возросло; за полтора
десятка лет второго пребывания в России он продиктовал более 400 статей и 10 книг.
1767—1770: работа над двухтомной классической монографией «Универсальная
арифметика» (издавалась также под названиями «Начала алгебры» и «Полный курс
21
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
алгебры»). На русском языке этот замечательный труд выходит сразу же (первый
том: 1768), на немецком — два года спустя. Книга была переведена на многие языки
и переиздавалась около 30 раз (трижды — на русском). Все последующие учебники
алгебры создавались под сильнейшим влиянием книги Эйлера.
В эти же годы выходит трёхтомник «Оптика» (лат. Dioptrica, 1769—1771) и фундаментальное «Интегральное исчисление» (лат. Institutiones calculi integralis), тоже
в 3 томах.
В 1771 году в жизни Эйлера произошли два серьёзных события. В мае в Петербурге случился большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти
всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спасли. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть «Новой теории движения луны», но она быстро
была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости
феноменальную память. Эйлеру пришлось временно переселиться в другой дом.
В сентябре того же года, по особому приглашению императрицы, в Санкт-Петербург
прибыл для лечения Эйлера известный немецкий окулист барон Вентцель. После
осмотра он согласился сделать Эйлеру операцию и удалил с левого глаза катаракту.
Эйлер снова стал видеть. Врач предписал беречь глаз от яркого света, не писать,
не читать — лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Однако уже через
несколько дней после операции Эйлер снял повязку, и вскоре потерял зрение снова.
На этот раз — окончательно.
1772: «Новая теория движения Луны». Эйлер наконец завершил свой многолетний
труд, приближённо решив задачу трёх тел.
В 1773 году по рекомендации Даниила Бернулли в Петербург приехал из Базеля
ученик Бернулли, Никлаус Фусс. Это было большой удачей для Эйлера. Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела,
что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие
десять лет — до самой своей смерти — Эйлер преимущественно ему диктовал свои
труды, хотя иногда пользовался «глазами старшего сына» и других своих учеников.
В 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет; у них было
три сына (младший сын Христофор впоследствии был генерал-лейтенантом российской армии и командиром Сестрорецкого оружейного завода). Это было большой
потерей для учёного, искренне привязанного к семье. Вскоре Эйлер женился на её
сводной сестре Саломее.
1779: выходит «Всеобщая сферическая тригонометрия», первое полное изложение
всей системы сферической тригонометрии.
Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летний учёный стал ощущать головные боли и слабость. 7 (18) сентября после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с академиком А.И. Лекселем о недавно открытой планете
Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести: «Я
умираю», — и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание,
он скончался от кровоизлияния в мозг.
«Он перестал вычислять и жить», — сказал Кондорсе на траурном заседании
Парижской Академии наук (фр. Il cessa de calculer et de vivre).
Его похоронили на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Надпись
на памятнике гласила: «Здесь покоятся бренные останки мудрого, справедливого,
знаменитого Леонарда Эйлера».
В 1955 году прах великого математика был перенесён в «Некрополь XVIII века»
на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры. Плохо сохранившийся над22
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
гробный памятник при этом заменили.
Интересные факты
• А. С. Пушкин приводит романтический рассказ: якобы Эйлер составил гороскоп
для новорождённого Иоанна Антоновича (1740), но результат его настолько испугал, что он никому не стал его показывать, и лишь после смерти несчастного
царевича рассказал о нём графу К. Г. Разумовскому. Достоверность этого исторического анекдота крайне сомнительна.
• Маркиз Кондорсе сообщает, что вскоре после переезда в Берлин Эйлера пригласили на придворный бал. На вопрос королевы-матери, отчего он так немногословен, Эйлер ответил: «Прошу меня простить, но я только что из страны, где
за лишнее слово могут повесить».
• Другой рассказ Кондорсе: однажды два студента, выполняя независимо сложные астрономические вычисления, получили немного различающиеся результаты в 50-м знаке, и обратились к Эйлеру за помощью. Эйлер проделал те же
вычисления в уме и указал правильный результат.
• Рассказывают, что Эйлер не любил театра, и если попадал туда, поддавшись
уговорам жены, то чтобы не скучать, выполнял в уме сложные вычисления,
подобрав их объём так, чтобы хватило как раз до конца представления.
• В 1739 году вышла работа Эйлера «Tentamen novae theoriae musicae» по математической теории музыки. По поводу этой работы ходила шутка, что в ней
слишком много музыки для математиков и слишком много математики для музыкантов.
Адреса в Санкт-Петербурге
С 1766 года Эйлер проживал в доходном доме по адресу: Николаевская набережная, 15 (с перерывом, вызванным сильным пожаром). В советское время улица была
переименована в «Набережную лейтенанта Шмидта». На доме установлена мемориальная доска, сейчас в нём располагается средняя школа.
Вклад в науку
Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. С точки зрения математики,
XVIII век — это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были
разрознены и не всегда согласованы, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и другие дисциплины в единую систему, и добавил немало
собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по
Эйлеру».
Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, удивительная по
красоте «формула Эйлера», операция сравнения по целому модулю, полная теория
непрерывных дробей, аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы
интегрирования и решения дифференциальных уравнений, число e, обозначение i
для мнимой единицы, гамма-функция с её окружением и многое другое.
23
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
Рис. 3: Дом 15 на набережной Лейтенанта Шмидта, где с 1766-1783 жил Леонард Эйлер. В советское
время в этом доме располагалась восьмилетняя средняя школа N 31. В ее стенах явно присутствовал
«дух Эйлера». Слева видна большая дверь — вход в школу, справа — мемориальная доска.
Рис. 4: Мемориальная доска на стене дома 15 на набережной Лейтенанта Шмидта, где с 1766-1783
жил Леонард Эйлер.
По существу именно он создал несколько новых математических дисциплин — теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную геометрию поверхностей, специальные функции. Другие области его трудов:
диофантов анализ, астрономия, оптика, акустика, статистика и т. д. Познания Эйлера были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину,
химию, теорию музыки, множество европейских и древних языков.
24
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
Биографы отмечают, что Эйлер был виртуозным алгоритмистом. Он неизменно
старался довести свои открытия до уровня конкретных вычислительных методов.
Эйлер охотно участвовал в научных дискуссиях, из которых наибольшую известность получили:
• Спор о струне.
• Спор с Д’Аламбером о свойствах комплексного логарифма.
• Спор с английским оптиком Джоном Доллондом (англ.) о том, возможно ли
создать ахроматическую линзу.
Во всех упомянутых случаях Эйлер отстаивал правильную позицию.
Теория чисел
П. Л. Чебышёв писал: «Эйлером было положено начало всех изысканий, составляющих общую теорию чисел». Большинство математиков XVIII века занимались развитием анализа, но Эйлер пронёс увлечение древней арифметикой через всю свою
жизнь. Благодаря его трудам интерес к теории чисел к концу века возродился.
Эйлер продолжил исследования Ферма, ранее высказавшего (под влиянием Диофанта) ряд разрозненных гипотез о натуральных числах. Эйлер строго доказал эти
гипотезы, значительно обобщил их и объединил их в содержательную теорию чисел.
Он ввёл в математику исключительно важную «функцию Эйлера» и сформулировал
с её помощью «теорему Эйлера». Эйлер создал теорию сравнений и квадратичных
вычетов, указав для последних критерий Эйлера.
n
Он опроверг гипотезу Ферма о том, что все числа вида Fn = 22 + 1 — простые;
оказалось, что F5 делится на 641.
Доказал утверждение Ферма о представлении нечётного простого числа в виде
суммы двух квадратов.
Дал одно из решений задачи о четырех кубах.
Эйлер доказал Великую теорему Ферма для n = 3 и n = 4, создал полную теорию непрерывных дробей, исследовал различные классы диофантовых уравнений,
теорию разбиений чисел на слагаемые.
Он открыл, что в теории чисел возможно применение методов математического
анализа, положив начало аналитической теории чисел. В основе её лежат тождество
Эйлера и общий метод производящих функций.
Эйлер ввёл понятие первообразного корня и выдвинул гипотезу, что для любого
простого числа p существует первообразный корень по модулю p; доказать это он
не сумел, позднее теорему доказали Лежандр и Гаусс. Большое значение в теории
имела другая гипотеза Эйлера — квадратичный закон взаимности, также доказанный
Гауссом.
Математический анализ
Одна из главных заслуг Эйлера перед наукой — монография «Введение в анализ
бесконечно малых» (1748). В 1755 году выходит дополненное «Дифференциальное
исчисление», а в 1768—1770 годах — три тома «Интегрального исчисления». В совокупности это фундаментальный, хорошо иллюстрированный примерами курс, с
продуманной терминологией и символикой, откуда многое перешло и в современные
25
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
учебники. Собственно современные методы дифференцирования и интегрирования
были опубликованы в данных трудах.
Основание натуральных логарифмов было известно ещё со времён Непера и Якоба Бернулли, однако Эйлер дал настолько глубокое исследование этой важнейшей
константы, что с тех пор она носит его имя. Другая исследованная им константа:
постоянная Эйлера — Маскерони.
Он делит с Лагранжем честь открытия вариационного исчисления, выписав уравнения Эйлера — Лагранжа для общей вариационной задачи. В 1744 году Эйлер опубликовал первую книгу по вариационному исчислению («Метод нахождения кривых,
обладающих свойствами максимума либо минимума»).
Эйлер значительно продвинул теорию рядов и распространил её на комплексную
область, получив при этом знаменитую формулу Эйлера. Большое впечатление на
математический мир произвели ряды, впервые просуммированные Эйлером, в том
числе не поддававшийся до него никому ряд обратных квадратов:
µ
¶
1
1
1
1
π2
lim
+
+
+
·
·
·
+
=
.
n→∞
12 22 32
n2
6
Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических
функций — тоже его заслуга, так же как их символика и обобщение на комплексный
случай. Формулы, часто именуемые в учебниках «условия Коши — Римана», более
правильно было бы назвать «условиями Даламбера — Эйлера».
Он первый дал систематическую теорию интегрирования и используемых там технических приёмов, нашёл важные классы интегрируемых дифференциальных уравнений. Он открыл эйлеровы интегралы — ценные классы специальных функций,
возникающие при интегрировании: бета-функция и гамма-функция Эйлера. Одновременно с Клеро вывел условия интегрируемости линейных дифференциальных
форм от двух или трёх переменных (1739). Первый ввёл двойные интегралы. Получил серьёзные результаты в теории эллиптических функций, в том числе первые
теоремы сложения.
С более поздней точки зрения, действия Эйлера с бесконечными рядами не всегда
могут считаться корректными (обоснование анализа было проведено лишь полвека
спустя), но феноменальная математическая интуиция практически всегда подсказывала ему правильный результат. Впрочем, дело было не только в интуиции, Эйлер
действовал здесь достаточно сознательно, во многих важных отношениях его понимание смысла расходящихся рядов и операций с ними превосходило стандартное
понимание XIX века и послужило основой современной теории расходящихся рядов,
развитой в конце XIX — начале XX века.
Геометрия
В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, не замеченных Евклидом:
• Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре).
• В треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежат
на одной прямой — «прямой Эйлера».
• Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон
и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все
на одной окружности (окружности Эйлера).
26
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
• Число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) у любого выпуклого многогранника
связаны простой формулой: В + Г = Р + 2.
Второй том «Введения в анализ бесконечно малых» (1748) — это первый в мире
учебник по аналитической геометрии и основам дифференциальной геометрии. Термин аффинные преобразования впервые введён в этой книге вместе с теорией таких
преобразований.
В 1760 году вышли фундаментальные «Исследования о кривизне поверхностей».
Эйлер обнаружил, что в каждой точке гладкой поверхности имеются два нормальных сечения с минимальным и максимальным радиусами кривизны, и плоскости их
взаимно перпендикулярны. Вывел формулу связи кривизны сечения поверхности с
главными кривизнами.
1771 год: опубликовано сочинение «О телах, поверхность которых можно развернуть на плоскость». В этой работе введено понятие развёртывающейся поверхности,
то есть поверхности, которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер, однако, даёт здесь вполне общую теорию метрики, от которой зависит
вся внутренняя геометрия поверхности. Позже исследование метрики становится у
него основным инструментом теории поверхностей.
Комбинаторика
Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в виде сумм специального вида и сформулировал ряд теорем для вычисления числа разбиений.
Он исследовал алгоритмы построения магических квадратов методом обхода шахматным конем.
При решении комбинаторных задач он глубоко изучил свойства сочетаний и перестановок, ввёл в рассмотрение числа Эйлера.
Другие области математики
• Теория графов началась с решения Эйлером задачи о семи мостах Кёнигсберга.
• Метод ломаных Эйлера,
Механика и математическая физика
Множество работ Эйлера посвящены математической физике: механике, гидродинамике, акустике и др. В 1736 году вышел трактат «Механика, или наука о движении,
в аналитическом изложении», знаменующий новый этап в развитии этой древней
науки. 29-летний Эйлер отказался от традиционного геометрического подхода к механике и подвёл под неё строгий аналитический фундамент. По существу, с этого
момента механика становится прикладной математической дисциплиной.
В 1755 году публикуются «Общие принципы движения жидкостей», в которых
положено начало теоретической гидродинамике. Выведены основные уравнения гидродинамики (уравнение Эйлера) для жидкости без вязкости. Разобраны решения
системы для разных частных случаев.
В 1765 году в книге «Теория движения твёрдых тел» Эйлер математически описал кинематику твёрдого тела конечных размеров (до него исследовалось в основном движение точки). Он ввёл в математику углы Эйлера и теорему вращения. Его
имя также носят кинематическая формула распределения скоростей в твёрдом теле,
27
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
уравнения (Эйлера — Пуассона) динамики твёрдого тела, важный случай интегрируемости в динамике твёрдого тела.
Эйлер обобщил принцип наименьшего действия, довольно путано изложенный Мопертюи, и указал на его основополагающее значение в механике. К сожалению, он не
раскрыл вариационный характер этого принципа, но всё же привлёк к нему внимание
физиков, которые позднее выяснили его фундаментальную роль в природе.
Астрономия
Эйлер много работал в области небесной механики. Он заложил основу теории возмущений, позднее завершённой Лапласом, и разработал очень точную теорию движения
Луны. Эта теория оказалась пригодной для решения насущной задачи определения
долготы на море, и английское Адмиралтейство выплатило за неё Эйлеру специальную премию.
Основные труды Эйлера в этой области:
• «Теория движения Луны», 1753.
• «Теория движения планет и комет» (лат. Theoria motus planetarum et cometarum),
1774.
• «Новая теория движения Луны», 1772.
Эйлер исследовал поле тяготения не только сферических, но и эллипсоидальных
тел, что представляло собой существенный шаг вперёд.
Инженерное дело
В 1757 году Эйлер впервые в истории нашёл формулы для определения критической
нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли
найти практического применения.
Почти сто лет спустя, когда во многих странах — и прежде всего в Англии — стали
строить железные дороги, потребовалось рассчитать прочность железнодорожных
мостов. Модель Эйлера принесла практическую пользу в проведении экспериментов.
Память
В честь Эйлера названы:
• Кратер Euler на Луне.
• Астероид 2002 Эйлер.
• Международный математический институт им. Леонарда Эйлера Российской
Академии наук, основанный в 1988 году в Петербурге.
• Благотворительный фонд поддержки отечественных учёных.
• Медаль (англ. Euler Medal), с 1993 года ежегодно присуждаемая канадским Институтом комбинаторики и её приложений (англ. Institute of Combinatorics and
its Applications) за достижения в этой области математики.
• Золотая медаль имени Леонарда Эйлера Академии наук СССР и Российской
академии наук.
28
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Момент импульса
Лекция 12
• Множество понятий в математике и других науках, см.: список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера.
Полное собрание сочинений Эйлера, издаваемое с 1909 года Швейцарским обществом естествоиспытателей, до сих пор не завершено; планируется выпуск 75 томов,
из них вышло 72. 8 дополнительных томов будут посвящены научной переписке Эйлера (свыше 3000 писем).
В 1907 году российские и многие другие учёные отметили 200-летие великого математика. В канун его 300-летия (2007) в Петербурге состоялся международный юбилейный форум и был снят кинофильм о жизни Эйлера. В том же году в Петербурге,
у входа в Международный Институт Эйлера, был открыт памятник Эйлеру работы
скульптора А.Г. Дёмы. Центробанк РФ выпустил памятную монету в ознаменование
этого события. Портрет Эйлера помещался на швейцарскую 10-франковую банкноту
(6-я серия) и на почтовые марки Швейцарии, России и Германии.
Математические олимпиады
Очень многие факты в геометрии, алгебре и комбинаторике, доказанные Эйлером,
повсеместно используются в олимпиадной математике.
15 апреля 2007 года была проведена интернет-олимпиада для школьников по математике, посвящённая 300-летию со дня рождения Леонарда Эйлера, происходившая
при поддержке ряда организаций. В декабре 2008 — марте 2009 года проводится математическая олимпиада имени Леонарда Эйлера для восьмиклассников, призванная
отчасти заменить им утрату регионального и заключительного этапов Всероссийской
математической олимпиады для 8 классов.
29