C = C γ d Q cm T δ = d QC cm T δ = μ = μ m

Лабораторная работа № 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ВОЗДУХА
ПРИ ПОСТОЯННЫХ ДАВЛЕНИИ И ОБЪЕМЕ
Цель работы – изучение процессов в идеальных газах, определение
CP
.
отношения теплоемкостей (коэффициента Пуассона) g =
CV
Удельной теплоемкостью вещества называется величина, равная
количеству теплоты, которую необходимо сообщить единице массы
вещества для изменения ее температуры на один кельвин:
dQ
c=
.
(4.1)
md T
Соответственно наименование размерности удельной теплоемкости Дж/(кг·К).
Молярной теплоемкостью вещества называется физическая величина C
равная количеству теплоты, которую необходимо сообщить одному молю
вещества для изменения его температуры на один кельвин:
dQ
C = mc =
,
(4.2)
m
dT
m
m
где m–масса, μ–молярная масса вещества, отношение
– определяет число
m
молей. Наименование размерности молярной теплоемкости - Дж/(моль·К).
Значение теплоемкости газов зависит от условий их нагревания. В
соответствии с первым началом (законом) термодинамики количество
теплоты δQ, сообщенное системе, расходуется на увеличение внутренней
энергии dU и на выполнение системой работы δА против внешних сил:
dQ = d U + dA .
(4.3)
Увеличение внутренней энергии идеального газа в случае изменения
его температуры на dТ равно
mi
dU =
R dT .
(4.4)
m2
Здесь R – универсальная газовая постоянная, i – число степеней свободы
молекулы, под которыми подразумевается число независимых координат,
определяющих положение молекулы в пространстве.
Для одноатомной молекулы i=3, поскольку такая молекула имеет только
три поступательных степени свободы, соответствующие трем осям
декартовой системы координат.
Для двухатомной молекулы i=5, так как добавляются еще две
вращательных степени свободы, соответствующие возможности вращения
вокруг двух осей перпендикулярных воображаемой прямой, «соединяющей»
атомы. И, наконец, i=6 – для трехатомных (нелинейных) молекул, поскольку
добавляется третья вращательная степень свободы.
При расширении газ выполняет работу
δA = РdV .
(4.5)
Если идеальный газ нагревать при постоянном объеме V=const, то δА=0,
и согласно первому началу термодинамики (4.3) все полученное газом
количество теплоты расходуется только на увеличение его внутренней
энергии δQV=dU. С учетом выражения (4.4), молярная теплоемкость газа при
постоянном объеме CV:
dU i
CV =
= R .
(4.6)
dT 2
Если идеальный газ нагревать при постоянном давлении (Р=const), то
полученное газом количество теплоты расходуется не только на увеличение
внутренней энергии dU , но и выполнение работы δА:
δQP = dU + PdV .
Тогда молярная теплоемкость газа при постоянном давлении CP:
dU
æ dV ö
CP =
+Pç
(4.7)
÷ .
dT
è d T øP
Используя уравнение состояния идеального газа (уравнение КлапейронаМенделеева)
m
PV = RT ,
m
можно показать, что для одного моля идеального газа
æ dV ö
Pç
÷ =R ,
d
T
è
øP
и поэтому
dU
æ dV ö
CP =
+Pç
(4.8)
÷ .
dT
è d T øP
Отношение теплоемкостей
C
i+2
g= P =
.
(4.9)
CV
i
Адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена с
окружающей средой, т.е. при выполнении условия dQ=0.
На практике он может быть осуществлен в системе, окруженной
теплоизоляционной оболочкой, но поскольку для теплообмена необходимо
некоторое время, то адиабатным можно считать также процесс, который
протекает так быстро, что система не успевает вступить в теплообмен с
окружающей средой.
Первое начало (закон) термодинамики с учетом (4.4) - (4.6) для
адиабатного процесса имеет вид
m
CV d T = - Pd V .
m
Продифференцировав уравнение Клапейрона-Менделеева
m
Pd V + Vd P = R d T
m
и подставив dТ в формулу (4.10), получим
(CV + R ) Pd V + CVVd P = 0
(4.10)
.
Учитывая соотношение между молярными теплоемкостями идеального
газа при постоянном давлении и объеме, которое описывается формулой
Майера (4.8), а также отношение (4.9), получим
dV dP
g
+
=0 .
V
P
Решение написанного дифференциального уравнения имеет вид
PV g = const .
(4.11)
Уравнение (4.11) называют уравнением адиабаты (уравнением
Пуассона), а величину γ – показателем адиабаты (коэффициентом Пуассона).
Метод определения показателя адиабаты, предложенный Клеманом и
Дезормом (1819), основывается на изучении параметров состояния некоторой
массы газа, переходящей из одного состояния в другое двумя
последовательными процессами – адиабатным и изохорным. Эти процессы
на диаграмме P–V (рис. 4.1) изображены соответственно кривыми 1–2 и 2–3.
Если в баллон, соединенный с открытым водяным манометром, накачать
воздух и подождать до установления теплового равновесия с окружающей
средой, то в этом начальном состоянии газ имеет параметры P1, V1, T1,
причем температура газа в баллоне равна температуре окружающей среды
Т1= Т0, а давление P1=P0+Р' немного больше атмосферного.
Если теперь на короткое время соединить баллон с атмосферой, то
произойдет адиабатное расширение воздуха. При этом воздух в баллоне
перейдет в состояние 2, а его давление понизится до атмосферного P2=P0.
Масса воздуха, оставшегося в баллоне, которая в состоянии 1 занимала часть
объема баллона, расширяясь, займет весь объем V2 . В процессе расширения
температура воздуха, оставшегося в баллоне, понизится до Т2. Поскольку
процесс 1–2 – адиабатный, к нему можно применить уравнение
Пуассона (4.11):
T1g
T2g
g
g
=
PV
.
1 1 = P2V2 или
P1g -1 P2g-1
P
P1
1
Откуда следует, что
g-1
g
æ P0 + P' ö
æ T0 ö
ç
÷ =ç ÷ .
(4.12)
è P0 ø
è T2 ø
3
P3
После
кратковременного
соединения
баллона с атмосферой охлажденный из-за
P2
2
адиабатного расширения воздух в баллоне
будет нагреваться (процесс 2–3) до
V1
V2 V
температуры окружающей среды Т3=Т0 при
Рис. 4.1. Процессы изменепостоянном объеме V3=V2. При этом
ния состояния газа во время
давление в баллоне поднимется до
проведения опыта
P3= P2 + P ¢¢ . Поскольку процесс 2–3 изохорный, к нему можно применить закон Шарля:
P2 P3
=
T2 T3
и получить соотношение:
P0 + P ¢¢ T0
=
.
(4.13)
P0
T2
Из уравнений (4.12) и (4.13) находим:
æ P0 + P ¢ ö
ç
÷
è P0 ø
g-1
g
æ P + P ¢¢ ö
=ç 0
÷ .
è P0 ø
После логарифмирования этого уравнения получаем:
æ
( g - 1) ln ç 1 +
è
æ
P¢ ö
P ¢¢ ö
=
g
+
ln
1
÷
ç
÷ .
P0 ø
P0 ø
è
Поскольку избыточные давления P' и P'' малы по сравнению
с атмосферным давлением P0 и применяя приближенную формулу ln(1+x)≈x
(формула справедлива при х<<1), будем иметь:
(g-1)P'=gP'',
откуда
P¢
g=
.
(4.14)
P ¢ - P ¢¢
Избыточные давления P' и P'' измеряют с помощью U-образного
манометра по разности уровней жидкости с плотностью ρ:
P' = ρgH,
P'' = ρgh,
(4.15)
где H и h – разности уровней в коленах U-образного манометра.
Из (4.14) и (4.15) получим расчетную формулу для определения γ:
g=
H
.
H -h
(4.16)
Экспериментальная установка
Рис. 4.2. Общий вид экспериментальной установки ФПТ 1-6:
1 – стойка, 2 – блок манометра, 3 – блок приборов,
4 – пневмотумблер «Атмосфера»
Для
определения
отношения
теплоемкостей
воздуха
g=
CP
CV
предназначена экспериментальная установка ФПТ 1-6, общий вид которой
показан на рис. 4.2.
Установка состоит из стеклянной колбы, соединенной с открытым
водяным манометром 2. Воздух нагнетается в колбу микропроцессором,
размещенным в блоке рабочего элемента 3. Микропроцессор включается
тумблером «Воздух», установленным на передней панели приборного блока.
Пневмотумблер «Атмосфера» 4, расположенный на приборной панели блока,
позволяет при повороте его по часовой стрелке до щелчка соединить колбу с
атмосферой.
Порядок выполнения работы
1. Включите установку тумблером «Сеть».
2. Включите тумблер «Воздух» для подачи воздуха в колбу.
3. Контролируйте давление в колбе с помощью манометра. Отключите
подачу воздуха, когда разность уровней воды в манометре достигнет
150…250 мм столба жидкости.
4. Подождите 2…3мин, пока температура воздуха в колбе сравняется с
температурой окружающего воздуха Т0. При этом в колбе установится
постоянное давление P1=P0+ρgH. Определить разность уровней H=H1-H2,
установившуюся в коленах манометра, и полученное значение занести в
таблицу 4.1.
Номер
измерения
1
2
H1,
мм
вод. ст.
H2,
мм
вод. ст.
H,
мм
вод. ст.
h1,
мм
вод. ст.
h2,
мм
вод. ст.
Таблица 4.1
γ
h,
мм
вод. ст.
5. Повернуть резко пневмотумблер «Атмосфера» по часовой стрелке до
щелчка. В процесс поворота пневмотумблера, колба на короткое время
соединяется с атмосферой.
6. Через 2…3 мин., когда в колбе установиться постоянное давление
P3=P0+ρgh, определить разность уровней h=h1-h2, установившуюся в коленах
манометра, и полученное значение занести в таблицу 4.1.
7. Повторить измерения по пп. 2…6 не менее 10 раз при различных
значениях величины H.
8. Выключить установку тумблером «Сеть».
Обработка результатов измерения
1. Определите по формуле (4.16) коэффициент Пуассона γ для каждого
измерения.
2.
Найдите среднее значение коэффициента Пуассона <γ>.
3.
Вычислите погрешности косвенных измерений из выражения (4.16) по
формуле:
2
2
Dg
h
æ DH ö æ Dh ö
=
+
,
g
H - h çè H ÷ø çè h ÷ø
где DH и Dh – приборные погрешности манометра.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение понятия изопроцесса. Перечислите существующие
изопроцессы и законы их описывающие.
2. Изобразите графические зависимости изопроцессов в осях Р-V, Р-Т, V-Т.
3. Сформулируйте первое начало (закон) термодинамики. Запишите этот
закон для изобарного, изохорного, изотермического и адиабатного
процессов.
4. Дайте определение удельной и молярной теплоемкостей и укажите
единицы, в которых они измеряются в системе СИ.
5. Объясните физический смысл понятия теплоемкости газа.
6. Выведите формулу для молярных теплоемкостей СV и СР идеального
газа.
7. Дайте определение числа степеней свободы молекулы. Чему равна
величина i для 1-, 2-, 3-х атомных молекул идеальных газов?
8. Охарактеризуйте адиабатический процесс.
9. Выведите уравнение Пуассона.
10. Рассчитайте теоретическое значение показателя адиабаты для одно-,
двух-, трехатомного идеального газа?
11. Объясните в чем заключается метод Клемана-Дезорма для определения
CP
отношения
.
CV
12. Опишите рабочий цикл экспериментальной установки по P-V
диаграмме.
13. Выведите расчетную формулу для определения γ.
14. Объясните, как и почему изменяется температура газа в колбе при
проведении опыта.