1 КАЗУС В УРАВНЕНИИ НЕПРЕРЫВНОСТИ ЭЙЛЕРА В физике

КАЗУС В УРАВНЕНИИ НЕПРЕРЫВНОСТИ ЭЙЛЕРА
Ю.А. Спиричев
yuspir@rambler.ru
Существует казус в уравнении непрерывности Эйлера, заключающийся в его несоответствии
закону сохранения массы в задачах гидродинамики, в результате допущенных при его выводе двух
ошибок. В настоящей работе получены две формы и две формулировки нового уравнения непрерывности,
соответствующ ие закону сохранения массы.
В физике фундаментальную роль играют законы сохранения энергии, массы,
импульса, момента импульса, заряда. Общность и универсальность этих законов
определяют их большое научное, методологическое и философское значение.
Дифференциальной
формой
законов
сохранения
являются
уравнения
непрерывности, записанные для соответствующих физических величин. К сожалению,
исторически общепринятое уравнение непрерывности, полученное Л. Эйлером в работе
«Общие законы движения жидкостей» [1] не отражает закон сохранения массы при
движении жидкости. Это несоответствие закону сохранения массы приводит к ошибкам и
парадоксам в теориях, использующих существующий вид уравнения непрерывности. В
связи с большой важностью этого уравнения, его необходимо привести в соответствие с
законом сохранения массы.
При выводе уравнения непрерывности Эйлер рассматривал движущуюся
сжимаемую жидкость, на основе закона сохранения массы жидкости.
Поскольку
предполагается, что в локальной области жидкости ее масса не рождается и не
исчезает, то изменение плотности жидкости происходит только за счет изменения
объема выбранной локальной области жидкости при ее движении. При этом другие
физические факторы, например температура, также влияющие на плотность жидкости и
ее объем, в данном случае в расчет не принимаются, как не имеющие отношения к
рассматриваемому вопросу. Суть вывода Эйлером уравнения непрерывности
заключается в том, что в рассматриваемой движущейся жидкости в начальный момент
времени выбирается область жидкости с начальным объемом Q1 с плотностью q1 и
массой М . Затем, через интервал времени dt рассматривается изменившийся в
процессе движения жидкости объем Q2 и ее изменившуюся в этом объеме плотность
q 2 , при условии неизменности массы М жидкости в этом изменяющемся объеме.
Далее из соотношения:
Q1
Q2
q2
q1
(1)
находится уравнение непрерывности.
Ниже приводится описание по Эйлеру этих двух рассматриваемых объемов
жидкости, взятое из [1] с. 32:
1
Из этого выражения следует, что величина второго объема Q2
увеличилась, по
сравнению с начальным объемом Q1 dx dy dz , на величину положительных
приращений (здесь запись частных производных сделана в современном виде):
u
v
w
dx dy dz[dt ( ) dt ( ) dt ( )]
x
y
z
Поскольку масса М жидкости в объемах Q1 и Q2 принята постоянной, то плотность
жидкости q1 , при ее переходе из первого объема Q1 во второй Q2 , больший по размеру,
должна уменьшиться. Далее Эйлер записывает выражение для плотности q 2 в объеме
жидкости Q2 [1] с. 33:
Это выражение, по мнению Эйлера, описывает плотность жидкости q 2 в объеме
жидкости Q2 . В нем сделаны две ошибки. Первая ошибка касается второго члена этого
выражения, являющегося локальной производной плотности жидкости по времени.
Изменение плотности жидкости во времени, кроме изменения за счет ее движения,
может происходить, например, за счет изменения температуры жидкости. Но в данном
случае рассматривается изменение плотности в зависимости только от изменения
объема жидкости в результате ее движения, т.е. должна рассматриваться только
конвективная производная, уже отражающая изменение объема жидкости во времени
при его движении. Поэтому из этого выражения нужно исключить второй член с
локальной производной плотности по времени, оставив только члены с конвективными
производными, иначе изменение плотности во времени будет учтено дважды:
q
q
q
q1 udt( ) vdt( ) wdt( )
x
y
z
Как видно из этого выражения знаки приращений к начальной плотности q1 взяты
Эйлером положительные. Это означает, что при увеличении объема происходит
увеличение и плотности жидкости в этом объеме. Это вторая ошибка. При увеличении
объема плотность должна уменьшаться и поэтому знаки приращений к начальной
плотности q1 должны иметь отрицательный знак. Тогда правильно плотность q 2 должна
быть записана в следующем виде:
q
q
q
q1 udt( ) vdt( ) wdt( )
x
y
z
Дальше Эйлер находит отношения объемов и плотностей и из них получает уравнение
непрерывности, которое в настоящее время является общепринятым [1] с. 33:
2
В современной записи это общепринятое уравнение Эйлера имеет следующий вид:
q
q
V q q
V 0 или
(q V ) 0
t
t
где V - вектор скорости движения локальной области жидкости.
Найдя отношения объемов и плотностей по (1):
q
q
q
q1 udt ( ) vdt ( ) wdt ( )
dx dy dz
x
y
z
u
v
w
q1
dx dy dz{1 [dt ( ) dt ( ) dt ( )]}
x
y
z
Отбросив слагаемые второй степени малости, получим правильное уравнение
непрерывности движущейся жидкости, отражающее закон сохранения массы:
q
q
q
u
v
w
u( ) v( ) w( ) q( ) q( ) q( ) 0
x
y
z
x
y
z
Приведем его к виду:
q
q
q
u
v
w
u( ) v( ) w( ) q( ) q( ) q( )
x
y
z
x
y
z
Запишем его в свернутом виде:
q
V
V q q
V или
q
V
Из этого уравнения следует формулировка закона гидродинамики движущейся
жидкости, отражающая закон сохранения массы: относительный градиент плотности
движущейся жидкости равен относительной дивергенции скорости ее движения.
Поскольку изменение плотности жидкости во времени происходит только за счет
изменения ее объема в результате движения, то левую часть уравнения непрерывности,
т.е. конвективную производную, можно записать в эквивалентном виде через
производную плотности жидкости по времени [2] с.38:
q
1 q
q
V или
V
t
q t
Из этой формы уравнения непрерывности следует другая формулировка закона
гидродинамики движущейся жидкости, отражающая закон сохранения массы:
относительная скорость изменения плотности движущейся жидкости равна
дивергенции скорости ее движения.
Так как уравнение непрерывности является базовым уравнением гидродинамики,
то в связи с его изменением, в гидродинамике и других разделах физики необходимо
пересмотреть результаты, ранее полученные с помощью неправильного уравнения
непрерывности Эйлера.
Литература
3
1. Л.Эйлер. Общие законы движения жидкостей. «Механика жидкостей и газа» №6,
1999.
2. Л.И. Седов. Механика сплошной среды. Т.1. Наука. М. 1973.
4