Основания геометрии
реклама
Занятие № 1.
Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение
векторов.
I. Теоретические сведения.
Определения вектора, суммы, разности двух векторов, умножения
вектора на число, скалярного произведения векторов вводятся в пространстве
так же, как и на плоскости.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной
плоскости или существует плоскость, которой они параллельны.
a
Сумму трех некомпланарных векторов , b , с можно получить по
правилу параллелепипеда. Отложим от некоторой точки О пространства
Д
С
Е
В
О
А
векторы ОА a, ОВ b , ОС c и
построим на этих векторах, как на
сторонах
параллелепипед.
Тогда
диагональ
параллелепипеда
ОД ОА ОВ ОС ОА АЕ ЕД
является вектором суммы данных
a
векторов , b , c .
Совокупность трех некомпланарных векторов, взятых в определенном
порядке, называется базисом векторного пространства. Число векторов
базиса определяет размерность векторного пространства.
e3
k
e2
i
e1
В = e1 , e2 , e3 – аффинный базис
j
i
В = , j , k – ортонормированный базис
Dim V = 3
Dim V = 3
Базис называется ортонормированным, если выполняются следующие
i
условия: 1) j , i k , j k
1
2) i j k 1
Коэффициенты разложения вектора по векторам базиса называются
координатами вектора относительно данного базиса.
Т.е., если a a1e1 a2 e2 a3e3 , то a a1 , a2 , a3 относительно базиса
В = e1 , e2 , e3 .
a
Для того чтобы векторы , b , c были компланарными, необходимо и
достаточно, чтобы определитель, составленный из координат этих векторов
был равен 0. Т.е. a , b , c
- компланарны
a a1 , a2 , a3 , b b1 , b2 , b3 , c c1 , c2 , c3 .
a1
a2
a3
b1
c1
b2
c2
b3
c3
= 0, где
В дальнейшем будем рассматривать только ортонормированный базис.
Пусть a , b заданы координатами, то есть a a1 , a2 , a3 , b b1 , b2 , b3 . Тогда
операции над векторами в координатах выражаются следующим образом:
a b а1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3
λ a a1 , a2 , a3
a b = a1b1 a2b2 a3b3
2
2
2
a a 2 a1 a2 a3
cos a , b
sin a , b
Если , и
a b
ab
a2
b2
(1)
a1b1 a2b2 a3b3
a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
2
a3
a
3
b3
b3
2
a1
a
1
b1
b1
a2
b2
2
a1 a2 a3 b1 b2 b3
2
2
2
2
2
2
– углы, которые составляет a с базисными векторами,
т.е. = i , a , =
j , a ,
= k , a , то cos , cos , cos называются
направляющими косинусами вектора a .
Пусть a имеет координаты a1, a2, a3, тогда
2
a1 = a cos
a2 = a cos
a3 = a cos
(2)
Формулы (2) выражают геометрический
относительно ортонормированного базиса.
Из (1) и (2) следует, что
cos2 + cos2 + cos2 = 1
смысл
координат
a
Последнее равенство позволяет определить один из углов , , ,
если известны два других.
Проекцией a на ось u называется число, равное произведению длины
вектора a на косинус угла наклона вектора a к оси u.
прu a = a cos
Используя операцию скалярного произведения векторов, проекцию
произвольного вектора
s x, y, z на какую-нибудь ось u можно
определить формулой
прu s
s e ,
где e – единичный вектор, направленный по оси u.
Если даны углы , , , которые ось u составляет с координатными
осями, то e cos ,cos ,cos и проекция вектора
s на ось u вычисляется
по формуле:
прu s = x cos y cos z cos
II. Упражнения.
1. Определить точку N, с которой совпадает конец a 5; 2;3 , если его
начало совпадает с точкой M(2;–3:1).
2. Определить начало вектора b 3;4;1 , если его конец совпадает с точкой
(5;–3;2).
3 4 12
; .
13 13 13
3. Вычислить направляющие косинусы вектора a ;
4. Дан модуль a =2 и углы =450, =600, =1200. Вычислить проекции
вектора a на координатные оси.
3
5. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:
1) =450, =600, =1200; 2) =450, =1350, =600; 3) =900, =1500,
=600.
6. Вектор составляет с осями Ох и Оz углы =1200 и =450. Какой угол он
составляет с осью Оy?
7. Определить при каких значениях и векторы a 2i 3 j k и
b i 6 j 2k коллинеарны?
8. Проверить, что четыре точки А(3;–1;2), В(1;2;–1), С(–1;1;–3), Д(3;–5;3)
служат вершинами трапеции.
9. Найти орт вектора a6;2;3.
III. Основные типовые задачи.
1. Построение линейной комбинации векторов.
2. Разложение вектора по векторам базиса векторного пространства.
3. Вычисление координат линейной комбинации данных векторов.
4. Вычисление длины вектора.
5. Вычисление угла между векторами.
IV. Примеры решения задач.
Задача 1. В параллелепипеде АВСДА'В'С'Д' заданы векторы, совпадающие с
его ребрами: АВ m , АД n , АА p . Построить каждый из следующих
1
2
1
2
векторов: 1) m n p ; 2) m n p ; 3) m n
Д′
С′
Решение.
О′
А′
К
1) По правилу параллелепипеда сложения
трех
некомпланарных
векторов
в
пространстве имеем:
m n p = АВ ВС СС АС
В′
Д
С
2)
1 1 1 1
m n p = m n p АС АА АО
2
2
2
2
О
А
1
p.
2
В
4
1
2
1
2
1
2
3) m n p = – m n p АС p СА АА СА АК СК , где К –
1
2
середина ребра АА'.
Задача 2. Даны три вектора a2;1;0, b 1;1;2, c2;2;1. Найти разложение
вектора d 3;7;7 по базису a , b , c .
Решение.
Обозначим коэффициенты разложения вектора d по базису a , b , c
через x, y, z. Тогда d x a y b z c . Запишем это соотношение в
координатах:
3 2 x y 2 z
7 x y 2 z
7 2 y z
Получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решая
ее, получим x = 2, y = –3, z = 1 и d 2a 3b c .
Ответ: d 2a 3b c .
Задача 3. Даны три силы М 3;4;2, N 2;3; 5 и P 3; 2; 4 , приложенные к
одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих
сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из
положения М1(5;3;–7) в положение М2(4;–1;–4).
Решение.
Если вектор
f
изображает силу, точка приложения которой
перемещается из начала в конец вектора s , то работа А этой силы
определяется равенством А = f s .
Найдем силу f , являющуюся равнодействующей данных сил M , N , P ,
т.е.
f M N P , f 2; 3;1 .
Вектор перемещения s M1M 2 имеет координаты s 1; 4;3 .
Найдем скалярное произведение f s в координатах:
f s = 2∙(–1)+(–3)∙(–4)+1∙3 = 13.
Ответ: А = 13.
5
Задача 4. Даны вершины треугольника: А(–1;–2;4), В(–4;–2;0) и С(3;–2;1).
Определить его внутренний угол при вершине В.
Решение.
В
Внутренний угол при вершине В треугольника
АВС можно определить как угол между
неколлинеарными векторами ВА и ВС .
Найдем координаты этих векторов.
А
BA xA xB , y A yB , z A zB BA3;0; 4
С
BC xC xB , yC yB , zC zB BC 7;0;1
Используем формулу cos a , b
cos B =
a1 b1 a2 b2 a3 b3
a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
3 7 0 4 1
25
1
. Следовательно,
9 16 49 1 5 5 2
2
B = arccos
1
= 450
2
Ответ: B = 450.
Задача 5. Вектор x , коллинеарный вектору a 6; 8; 7,5 , образует острый
угол с осью Oz. Зная, что x 50 , найти его координаты.
Так
как
x
Решение.
коллинеарен вектору
a,
то
его
координаты
пропорциональны координатам a , т.е. x 6 ; 8 ; 7,5 . Найдем длину
вектора x :
x 36 2 64 2 56, 25 2 156, 25 2
Учитывая, что x 50 , получим
156,25α2 = 2500 α2 = 16 α = 4.
Отсюда следует, что x имеет координаты x1 24; 32; 30 или x2 24;32;30 .
Но вектор x образует острый угол с осью Oz, следовательно x k >0, где k –
направляющий вектор оси Oz, k 0;0;1 .
6
Найдем x1 k 30 <0, x2 k 30 >0. Учитывая, что x k 0 , получим,
что α = – 4 и вектор x имеет координаты 24;32;30 .
Ответ: x 24;32;30 .
Задача 6. Вычислите угол, который образуют единичные векторы a и b ,
если известно, что векторы m 3a b и n 2a 2b взаимно перпендикулярны.
Решение.
Из того, что векторы m и n взаимно перпендикулярны следует, что их
скалярное произведение равно 0.
2
2
m n 3a b 2a 2b 6a 2 8a b 2b 2 6 a 2 b 8 a b cos a , b
Так как a b 1 имеем:
8+8 cos a , b = 0
a
,
b
cos
= –1, a , b = 1800
Ответ: π.
V. Задачи для самостоятельной работы.
1. Проверить
коллинеарность
векторов
a 2; 1;3
и
b 6;3; 9 .
Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они
направлены – в одну или в противоположные стороны.
2. Два вектора a 2; 3;6 и b 1; 2; 2 приложены к одной точке.
Определить координаты вектора c , направленного по биссектрисе
угла между векторами a и b , при условии, что c 3 42 .
3. Даны три вектора p 3; 2;1 , q 1;1; 2 , r 2;1; 3 . Найти разложение
c 11; 6;5 по базису p, q , r .
4. Даны неколлинеарные векторы a и b . При каких значениях α и β для
векторов u a 2 b , v 2 a 3 b , w 4a b выполняется равенство
2u v w ?
7
5. Найдите координаты вектора a , если известны его длина и углы , и
, которые он образует с векторами базиса i ; j ; k а) a 4 , 600 ,
450 , 600 ; б) a 8 , 1350 , 600 , 600 ; в) a 2 , 1200 ,
450 , 1200 .
6. Доказать, что вектор p b a c c a b перпендикулярен к вектору
a.
7. Найдите угол между векторами a 2e1 e2 2e3 и b 4e1 e2 3e3 , если
e3 3 , e1 , e2 e1 , e3 600 , e2 и e3 взаимно
перпендикулярны.
e1 1,
e2 2 ,
8. Треугольник АВС задан векторами AB 1;0; 2 и AC 3;1; 2 . Найдите
длины медиан АМ и ВР треугольника и угол между ними.
9. Вычислить, какую работу производит сила f 3; 2; 5 , когда ее точка
приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения
А(2;–3;5) в положение В(3;–2;–1).
10.Даны вершины треугольника А(3;2;–3), В(5;1;–1) и С(1;–2;1).
Определить его внешний угол при вершине А.
11.Найти вектор x , коллинеарный вектору a 2;1; 1 и удовлетворяющий
условию x a 3 .
12.Даны три вектора: a 1; 3; 4 , b 3; 4; 2 , c 1;1; 4 . Вычислить пр b c a .
13.Даны точки А(–2;3;–4), В(3;2;5), С(1;–1;2), Д(3;2;–4). Вычислить
пр CD AB .
8
Занятие № 2.
Тема: Системы координат в пространстве.
I. Теоретические сведения.
Аффинной системой
пространстве называется
координат (или аффинным репером)
совокупность точки О пространства
в
и
упорядоченной тройки линейно-независимых векторов e1 , e2 , e3 .
R = O, e1 , e2 , e3 .
z
e3
О
y
e2
e1
e1
x
Точка О называется началом системы
координат. Координатные оси Ox, Oy, Oz
называются соответственно осями абсцисс,
ординат и аппликат, а плоскости Oxy, Oyz,
Oxz – координатными плоскостями.
Векторы e1 , e2 , e3 называются базисными
векторами.
Аффинная система координат
O, i , j , k
называется прямоугольной
декартовой системой координат, если ее базисные векторы единичны и
попарно ортогональны.
z
z
k
k
O
i
j
y
j
i
x
y
Прямоугольная декартова
система координат (левая)
x
Прямоугольная декартова
система координат (правая)
В дальнейшем мы будем пользоваться только правой системой
координат.
Под координатами точки М пространства мы будем понимать координаты ее
радиус-вектора OM .
М(x, y, z) OM xi yj zk
9
z
Мz
М
k
Мy
О
i
j
Мx
Пусть М – произвольная точка
пространства, Мx, My, Mz – ее
проекции на координатные оси,
тогда
x OM x , y OM y , z OM z
(«+» – берется в том случае, если
проекция
точки
М
на
ось
y соответствующую
принадлежит
положительной
полуоси; «–» – отрицательной
полуоси).
x
Точка М(x, y, z) принадлежит плоскости Oxy тогда и только тогда,
когда z = 0.
Аналогично, М(x, y, z) Oyz x = 0,
М(x, y, z) Oxz y = 0.
Точка М(x, y, z) лежит на оси Ox тогда и только тогда, когда y = 0 и z = 0.
Аналогично, М(x, y, z) Oy x = 0, z = 0
М (x, y, z) Oz x = 0, y = 0.
AB
Координаты вектора
в пространстве равны
соответствующих координат конца В и начала А вектора.
разности
AB x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 , где A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2).
Говорят, что точка М делит отрезок М1М2 в отношении 1 , если
M1M MM 2 .
Пусть относительно некоторой аффинной системы координат
М1(x1, y1, z1), М2(x2, y2, z2), тогда координаты точки М, делящей отрезок
М1М2 в отношении 1 (
M 1M
MM 2
) вычисляются по формулам:
x1 x2
y y2
z z2
, y 1
, z 1
.
1
1
1
Если М – середина отрезка М1М2, то 1 и тогда
x
x
x1 x2
y y2
z z
, y 1
, z 1 2.
2
2
2
10
Расстояние между двумя точками в пространстве A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2),
заданными своими координатами в прямоугольной декартовой системе
координат вычисляется по формуле:
A, B
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2
2
2
Формулы преобразования координат при переходе от старой аффинной
системы координат R = O, e1 , e2 , e3 к новой R' = O, e1, e2 , e3 имеют вид:
x c11 x c12 y c13 z x0
y c21 x c22 y c23 z y0
z c x c y c z z ,
31
32
33
0
где О'(x0, y0,z0)R, e1 c11 , c21 , c31R , e2 c12 , c22 , c32 R , e3 c13 , c23 , c33 R
c11
det C = det (CT) 0, где C c12
c
13
c21
c22
c23
c31
c32 – матрица перехода от старого
c33
базиса к новому.
Если R и R' – прямоугольные декартовы системы координат, то
матрицы С и СТ являются ортогональными. (det (C) = det (CT) = 1 ).
II. Упражнения.
1. а) Какова особенность координат точки Р(x, y, z), если она лежит в
плоскости Oxy?
б) Известно, что точка с координатами x, y, z лежит на оси Oz. Что можно
сказать о ее координатах?
в) Где лежат точки пространства, ординаты которых равны нулю?
г) Найти расстояние точки М(x,y,z) до начала системы координат.
д) Найти расстояние точки М(x,y,z) до координатных плоскостей.
2. Вывести формулы для нахождения расстояний от точки М(x,y,z) до
координатных осей.
3. Чему равны координаты проекций точки М(-3,1,2) на плоскости Oxy, Oyz,
Oxz и на оси Ox, Oy, Oz?
4. Как связаны между собой координаты симметричных друг другу точек
относительно: а) плоскости XOY; б) плоскости YOZ; в) прямой Ox; г)
прямой Oy; д) начала координат?
11
III. Основные типовые задачи.
1. Построение точки пространства по ее координатам.
2. Вычисление координат вектора по координатам его концов.
3. Вычисление расстояния между точками.
4. Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении.
5. Нахождение формул преобразования координат точек.
IV. Примеры решения задач.
Задача 1. Построить точки М(–3;2;1) и N(4;3;5).
z
i
N1
.
.
.
.
.
.
. .
M
N M1
k
.
О j
. M2
.
.
y
.
N2
x
Решение.
Для построения точки по
ее
координатам
достаточно
построить
координатную
ломанную, состоящую из трех
звеньев,
параллельных
координатным осям Ox, Oy, Oz.
М(–3;2;1)
OM1 3i , M1M 2 2 j , M 2 M k .
Аналогично, N(4;3;5)
ON1 4i , N1 N2 3 j , N2 N 5k
Задача 2. Даны две вершины треугольника: А(–4;–1;2), В(3;5;–16). Найти
третью вершину С, зная, что середина стороны АС лежит на оси Oy, а
середина стороны ВС на плоскости Oxz.
В
.
А
Q
.
С
Р
Решение.
Обозначим координаты точки С – (x, y, z).
Середина Р стороны АС лежит на оси Oy xP= 0,
zP= 0.
Середина Q стороны ВС лежит на плоскости Oxz yQ = 0. По формулам
координат середины отрезка имеем:
xP
x A xC
4 xC
, 0
,
2
2
yQ
yB yC
,
2
0
5 yC
,
2
zP
z A zC
,
2
0
2 zC
,
2
xC 4
yC 5
zC 2 .
Итак, точка С (4;–5;–2).
12
Задача 3. Прямая проходит через две точки М1(–1;6;6) и М2(3;–8;–2). Найти
точку ее пересечения с координатной плоскостью Oxz.
Решение.
Точка пересечения прямой М1М2 с координатной плоскостью Oxz
делит отрезок М1М2 в некотором отношении λ.
М
.
.
М1
М2
.
Точка М (x, y, z) лежит в плоскости
Oxz y = 0.
С другой стороны
yM yM
y
1
1
Тогда 0
6 8
,
1
6 8 0 ,
2
3
.
4
Следовательно, М делит отрезок М1М2 в отношении
3
.
4
По формулам деления отрезка в данном отношении получим:
3
1 3
xM1 xM 2
4 , x5
, x
x
7
3
1
1
4
z
z M1 z M 2
1
,
3
6 2
4
z
,
3
1
4
z
18
.
7
Итак, точка М пересечения прямой М1М2 с плоскостью Oxz имеет
5
7
координаты М ( ;0;
18
).
7
Задача 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1, в котором
АВ = 2, АД = 2, АА1 = 3. Найдите координаты вершин этого параллелепипеда
в системе координат, если: а) начало координат совпадает с точкой А, точки
В, Д, А1 принадлежат соответственно положительным полуосям координат
Ox, Oy, Oz; б) она получается из системы координат пункта а) параллельным
переносом в центр параллелепипеда.
13
z
Д1
C1
A1
y
Д
k
А=0
C
j
i
B
x
Решение.
а) Так как А совпадает с началом системы
координат, то А (0; 0; 0).
Точка В Ox y =0, z = 0
AB = 2 x =2. Следовательно, точка
B (2; 0; 0)
Точка Д Oy x = 0, z = 0
АД = 2 y = 2. Значит, точка Д (0; 2; 0)
Точка А1 Oz x = 0, y =0
АА1 = 3 z = 3. Следовательно, точка A1(0; 0; 3).
Под координатами точки С мы понимаем координаты ее радиусвектора AC .
AC AB АД 2i 2 j
Следовательно, AC 2; 2;0 . Значит С (2; 2; 0). Аналогично,
АВ1 АВ АА1 2i 3k B1 2;0;3
АС1 АВ АД АА1 2i 2 j 3k C1 2; 2;3
АД1 АД АА1 2 j 3k Д1 0; 2;3
б) Формулы преобразования координат точек при параллельном
x x x0 ,
переносе системы координат R R имеют вид: y y y0 , где (x;y;z) –
z z z ,
0
координаты точки относительно старой системы координат R , (x';y';z') –
координаты точки относительно новой системы координат R , а (x0;y0;z0) –
координаты начала новой системы координат относительно старой.
Координаты нового начала О' определяются следующим образом:
АО
1
3
3
АС1 i j k О 1;1; .
2
2
2
Формулы преобразования для точки А имеют вид:
0 x 1
x 1
0 y 1 y 1
3
3
0 z
z
2
2
Аналогично, В (2; 0; 0)R
14
3
А(–1;–1;– ).
2
2 x 1
3
0 y 1 В (1;–1;– )R';
2
3
0 z
2
С (2; 2; 0)R:
2 x 1
3
2 y 1 С (1;1;– )R';
2
3
0 z
2
Д (0; 2; 0)R:
0 x 1
3
2 y 1 Д (–1;1;– )R'.
2
3
0 z
2
3
2
Точка С1 – симметрична точке А относительно О' С1 (1;1; ).
3
2
Аналогично, Д1 – симметрична В относительно О' Д1(–1;1; )
3
2
В1 – симметрична Д относительно О' В1 (1;–1; )
3
2
А1 – симметрична С относительно О' А1 (–1;–1; ).
V. Задачи для самостоятельной работы.
1. Дано изображение ПДСК. Изобразите точки А(2; 3; 1), В(–1; 4; 0), С(4;
2; –5), D(–3; –1; –5).
2. Доказать, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках
А(7; 2; 4), В(4; –4; 2), С(6; –7; 8), D(9; –1; 10), является квадратом.
3. Даны координаты трех вершин параллелепипеда ABCDABCD, а
также точки О пересечения его диагоналей: А(2; 1; –1), В(3; 3; 4), С(–1;
–1; 0), О(2; 2; 3). Найдите координаты остальных вершин.
4. Даны
координаты
двух
вершин
равностороннего
треугольника
A(4;3;7) и B(2;1;1) . Найдите его площадь.
5. Даны вершины треугольника А(2; –1; 4), В(3; 2; –6), С(–5; 0; 2).
Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.
15
6. Даны четыре точки А(0; 1; –1), В(1; 0; 1), С(–1; 1; 0), D(1; –1; 1). Найти
точку одинаково удаленную от данных точек.
7. Даны координаты двух вершин треугольника АВС: А(–4, –1, 2), В(3, 5,
–6). Найдите координаты третьей вершины, если известно, что
середина стороны АС лежит на оси Oy, а середина стороны ВС – на
плоскости xOz.
8. На прямой, проходящей через точки А(1; 0; 4) и В(3; –1; 2) найти точку
С такую, чтобы АС=3АВ и точка В лежала между точками А и С.
9. На прямой l взяты последовательно точки A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , так что
A1 A2 A2 A3 A3 A4 A4 A5 A5 A6 . Зная координаты точек A3 (1;1; 2) и
A5 (2; 1;4) , определить отношения, в которых точки A1 , A3 , A4 , A6 делят
отрезок A2 A5 , также координаты этих точек.
10.Найти отношение, в котором каждая из координатных плоскостей
делит отрезок АВ: А(2; –1; 7), В(4; 5; –2).
11.Дан тетраэдр ОАВС. Написать формулы преобразования координат
точек при переходе от системы координат e1 OA , e2 OB , e3 OC к
системе О=А, e1 ' AO , e1 AB , e3 AC .
12.Найти формулы преобразования при переходе от системы Oxyz к
системе Ox’y’z’, если начало новой системы координат совпадает с
началом О, ось Oz’ совпадает с осью Oz, лучи Ox’ и Oy’ являются
соответственно биссектрисами углов xOz и yOz и новые координатные
векторы являются единичными.
16
Занятие № 3.
Тема: Векторное произведение векторов.
I. Теоретические сведения.
В пространстве зададим правую прямоугольную декартову систему
координат
R O, i , j , k ,
тем
самым
мы
определяем
ориентацию
в
пространстве и пространство становится положительно ориентированным.
Пусть a и b - неколлинеарные векторы.
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор
c такой что:
1) c a b sin a , b . Длина вектора c равна произведению длин векторов
a и b на синус угла между ними.
2) c a , c b . Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b .
3) Тройка векторов a , b , c одинаково ориентирована с тройкой базисных
векторов i , j , k .
Обозначать операцию векторного произведения векторов будем
следующим образом: a , b c .
b
k
О
Sпар. a, b
j
a
i
Если векторы a и b – коллинеарны, то их векторным произведением
называется нулевой вектор.
Геометрический смысл векторного произведения векторов состоит в
том, что модуль векторного произведения векторов численно равен площади
параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах.
Выражение векторного произведения в координатах:
17
a
a , b 2
b
2
a3
a
, 1
b3
b1
a3 a1
,
b3 b1
a2
b2
, где a a1 , a2 , a3 , b b1 , b2 , b3
Свойства векторного произведения.
1. a, b 0 a b
2. a, b b , a (антикоммутативность)
3. a, b a, b
(ассоциативность
относительно
скалярного
произведения)
4. a1 a2 , b a1 , b a2 , b (дистрибутивность)
Свойства 3 и 4 означают линейность векторного произведения по
первому аргументу, но в силу свойства 2 оно линейно и по второму
аргументу.
II. Упражнения.
1. Вычислить векторные произведения векторов i , j , i , k , j , k ,
j , i .
2
2. Показать, что a, b a b a b .
2
2
2
3. Вычислить геометрический смысл равенства a b , a b 2 a, b ,
изображая векторы a b и a b , диагоналями параллелограмма.
4. Известно, что a , b 0 . Верно ли, что a 0 или b 0 ?
5. Какому условию должны удовлетворять единичные векторы a и b ,
чтобы векторы m 2a 2b и
б) взаимно перпендикулярны.
n a 2b
были: а) коллинеарны;
III. Основные задачи.
1. Вычисление координат векторного произведения.
2. Доказательство коллинеарности двух векторов.
3. Вычисление площади и линейных элементов геометрических фигур.
4. Вычисление момента силы.
18
IV. Примеры решения задач.
Задача 1. Даны векторы a 3; 1; 2 и b 1;2; 1 . Найти координаты векторных
произведений: 1) 2a b , b ; 2) 2a b , 2a b .
Решение.
Воспользуемся свойствами векторного произведения:
1) 2a b , b 2a, b b , b 2 a, b
a
a , b 2
b
2
a3
a
, 1
b3
b1
a3 a1
,
b3 b1
a2
b2
1 2 3 2 3 1
,
,
5;1;7 .
2 1 1 1 1 2
Следовательно, 2a b , b 10;2;14 .
2) 2a b , 2a b 2a, 2a b b , 2a b 2 a, 2a 2 a, b b , 2a b , b
4 a, a 2 a, b 2 a, b b , b 4 a , b .
Следовательно, 2a b , 2a b = 20;4;28 .
Задача 2. Найдите вектор x , зная, что он перпендикулярен векторам
a 3;2;1 , b 2;1;3 и удовлетворяет условию 2i j 7k x 10 .
Решение.
Вектор x перпендикулярен векторам a и b , значит он коллинеарен
векторному
произведению
a, b .
Вычислим
координаты
векторного
произведения:
2 1 3 1 3 2
a, b
,
,
5;7;1 .
1 3 2 3 2 1
x a, b x 5 , 7 , .
Найдем скалярное произведение векторов:
С
другой
2i j 7k x 10 7 7 10
стороны 2i j 7k x 10 .
10 10 1. Тогда x 5;7;1 .
19
Следовательно,
имеем
связаны соотношениями a, b c , d ,
Задача 3. Векторы a , b , c и d
a, c b , d . Доказать коллинеарность векторов
a d и b c .
Решение.
Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное
произведение равно нулю.
a d , b c a, b d , b a , c d , c c , d d , b b , d d , c c , d
b , d b , d c , d 0 . Следовательно, векторы
и b c –
a d
коллинеарны.
Задача 4. Даны вершины треугольника А (1;-1;2), В (5;-6;2) и С (1;3;-1).
Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на АС.
В
Решение.
Треугольник АВС рассмотрим как
треугольник, сторонами которого являются
векторы AB и AC . Используя геометрический
смысл
векторного
произведения:
h
А
К
S ABC
5
0
4
3
Найдем AB, AC
S ABC
С
,
1
AB, AC , имеем AB 4; 5;0 , AC 0; 4; 3 .
2
4 5
15;12;16 .
0 3 0 4
4
0
,
1
1
1
25
152 122 162
225 144 256
625
.
2
2
2
2
С другой стороны, S ABC
AC 16 9 5 . Тогда,
1
AC BK
2
25 1
5 BK BK 5 .
2 2
Ответ: h = 5.
Задача 5. Даны векторы a 1;3;5 и b 0;1; 2 . Вычислите площадь
параллелограмма, для которого векторы a и b являются диагоналями.
20
В
Решение.
Диагонали параллелограмма точкой О
делятся пополам. Следовательно,
С
О
a
b
А
1
1
AC a ,
2
2
1
1
BO BД b .
2
2
AO
Д
Выразим стороны параллелограмма АД и АВ через векторы a и b .
АД АО ОД
1
1
1
1
1
1
a b ; AB AO OB AC ВД a b .
2
2
2
2
2
2
Площадь параллелограмма вычислим по формуле: S AВСД АД , АВ .
1
1 1
1
1
1
1
1
1
АД , АВ a b , a b a , a a , b a , b b , b a , b .
4
4
2
2 2
2 4
4
2
3
5
1
,
Найдем a, b
0
1 2
1 3
11; 2; 1 .
2 0 1
5
,
1
1
1
3
S АВСД АД , AB a , b
121 4 1
126
14 .
2
2
2
2
Ответ: S
3
14 .
2
Задача 6. Сила p 2; 4;5 приложена к точке М0(4;-2;3). Определить момент
этой силы относительно точки А(3;2;–1).
Решение.
Если вектор p изображает силу, приложенную к какой-нибудь точке
М0, а вектор a идет из некоторой точки А в точку М0, то вектор a, p
представляет собой момент L силы p относительно точки А.
Найдем координаты a и a, p .
a AM 0 1; 4; 4 .
4 4 1 4 1 4
L a, p
,
,
4;3; 4 .
4 5 2 5 2 4
Следовательно, момент силы равен вектору L 4;3; 4 .
21
V. Задачи для самостоятельной работы.
1. Векторы a и b взаимно перпендикулярны. Зная, что a 3, b 4 ,
вычислить: 1) a b , a b ; 2) 3a b , a 2b .
2
3
образуют угол . Зная, что
2. Векторы a и b
2
a 1, b 2 ,
2
вычислить: 1) a, b ; 2) 2a b , a 2b ; 3) a 3b ,3a b .
2
3. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b , чтобы векторы
a b и a b были коллинеарны?
4. Известно,
что
a 3, b 1, a , b .
6
Вычислите:
а)
a, b ,
б)
a 2b ,3a b .
5. Вектор x , перпендикулярный векторам a 4; 2; 3 и b 0;1;3 , образует
с осью Oy тупой угол. Зная, что x 26 , найти его координаты.
6. Вектор m , перпендикулярный к оси Oz и к вектору a 8; 15;3 ,
образует острый угол с осью Ox. Зная, что
m 51 , найти его
координаты.
7. Даны точки А(1;2;0), В(3;0;–3) и С(5;2;6). Вычислить площадь
треугольника АВС.
8. Дан треугольник АВС, в котором А(1;1;–2), В(1;1;0), С(–1;3;0).
Вычислить длину его высоты AH.
9. На векторах AB 6; 2;3 и AД 4; 2; 4 построен параллелограмм АВСД.
Вычислите расстояние между прямыми: а) АВ и СД; б) AД и ВС.
10.Найдите расстояние от точки А(3;2;–2) до прямой, проходящей через
точки В(1;2;3) и С(5;2;0).
11.Сила Q 3; 4; 2 приложена к точке С(2;–1;–2). Определите величину и
направляющие косинусы момента этой силы относительно начала
координат.
12.Сила P 2; 2;9 приложена к точке А(4;2;–3). Определить величину и
направляющие косинусы момента этой силы относительно точки
С(2;4;0).
22
13.Вычислить
площадь
параллелограмма
АВСД,
если
AB 3m 2n, AC m n, m 5, n 12, CAB 300 .
14.Отрезок OH является высотой тетраэдра ОАВС. Найти вектор OH ,
если известны векторы OA a , OB b , OC c .
23
Занятие № 4.
Тема: Смешанное произведение векторов.
I. Теоретические сведения.
Смешанным произведением трех некомпланарных векторов а , b и с ,
взятых в определенном порядке, называется скалярное произведение вектора
а на векторное произведение векторов b и с .
а, b , с а b , с
Геометрический
смысл
смешанного
произведения
векторов
заключается в том, что оно с точностью до знака совпадает с объемом
параллелепипеда, построенного на векторах а , b и с как на сторонах.
Vпар = а, b , с
а
с
b
Свойства смешанного произведения
Пусть в Е3 задан правый ортонормированный репер R O, i , j , k
1. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
численно равно определителю третьего порядка, составленного из
координат векторов.
Пусть а а1 , а2 , а3 , b b1 , b2 , b3 , с с1 , с2 , с3 , тогда
а1
а, b , с а
2
а3
b1
с1
b2
b3
с2 .
с3
Если базис левый, то знак смешанного произведения меняется на
противоположный.
24
2. Тройка некомпланарных векторов а , b , с одинаково ориентирована с
тройкой базисных векторов i , j , k тогда и только тогда, когда
а, b , с >0.
3. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда смешанное
произведение этих векторов равно нулю.
4. Смешанное произведение не меняет значения при циклической
перестановке векторов, и меняет знак при перестановке двух векторов.
а, b , с b , с , а с , а, b
а, b , с b , а, с ; а, b , с а, с , b …
5. Операция смешанного произведения векторов линейна по каждому
аргументу.
а) а, b , с а, b , с а, b , с а, b , с
б) а1 а2 , b , с а1 , b , с а2 , b , с
6. а b , с а, b с
II. Упражнения.
1. Определить, какой является тройка векторов а , b , с (правой или левой),
если:
а) а = j , b = i , с = k ; б) а = k , b = i , с = j ; в) а = i + j , b = j ,
с =k.
2. Векторы а , b , с , образующие правую тройку, взаимноперпендикулярны.
Зная, что а = 4, b = 5, с = 2, вычислить а , b , с .
3. Вектор с перпендикулярен к векторам а и b , угол между а и b равен
300. Зная, что а = 3, b = 6, с = 3, вычислить а , b , с .
4. Доказать, что смешанное произведение трех векторов, из которых два
коллинеарны, равно нулю.
5. Можно ли следующие тройки векторов принять за базисные векторы
пространства:
а) а 3;0; 2 , b 2;1; 4 , с 11, 2, 2 ;
25
б) а 1;0;7 , b 1; 2; 4 , с 3; 2;1 .
III. Примеры решения задач.
Задача 1. Вычислите смешанное произведение векторов а , b , с : а) а = 3 i +
+ 2 j – 5 k , b = i – j , с = 2 j – 4 k ; б) а 2;3;5 , b 1;0;1 , с 1;0;5 .
Решение.
а) а = 3 i + 2 j – 5 k , следовательно, а 3;2; 5 .
b = i – j b 1; 1;0 ; с = 2 j – 4 k с 0;2; 4 .
а, b , с
3
1
0
2 1 2 3 1 4 1 2 5 2 0 0 (5 1 0 1 2 4
5 0 4
+ 2 0 3) = 12 – 10 + 8 = 10.
2 1 1
б) а, b , с 3
0
1
5
0 2 0 5 1 0 5 3 1 1 (5 0 1 3 1 5
5
+ 0 1 2) 3 15 12 .
Задача 2. Установить, компланарны ли векторы а , b , с , если:
а) а 3; 2;1 , b 2;1; 2 , с 3; 1; 2 ;
б) а 2; 1; 2 , b 1; 2; 3 , с 3; 4;7 .
Решение.
Воспользуемся достаточным условием компланарности трех векторов:
а)
3
2
1
1 1 6 12 2 3 6 8 0 .
2 2
а, b , с 2
3
Векторы
а,
b,
с
не
b,
с
компланарны.
б)
2
1
2
2 4 28 9 8 12 7 24 0 .
3 7
а, b , с 1
3
компланарны.
26
Векторы
а,
Задача 3. Доказать, что четыре точки А(1;2;–1), В(0;1;5), С(–1;2;1), Д(2;1;3)
лежат в одной плоскости.
Решение:
Четыре точки А, В, С, Д лежат в одной плоскости тогда и только тогда,
когда векторы АВ , АС и АД – компланарны.
АВ 1; 1;6 , АС 2;0; 2 , АД 1; 1; 4
Д
Найдем смешанное произведение
векторов АВ , АС , АД :
С
А
1 2
В
АВ, АС, АД 1
6
0
2
1
1 2 12 8
4
– 2 = 0. Векторы компланарны. Следовательно, точки А, В, С, Д лежат в
одной плоскости.
Задача 4. Дан тетраэдр АВСД, в котором А(–1;1;1), В(0;5;–3), С(–1;4;–2).
Найдите координаты точки Д, если известно, что она лежит на оси Oz, а
объем тетраэдра равен 7.
Д
Решение.
Объем
С
А
В
тетраэдра
равен
1
6
объема
параллелепипеда, построенного на векторах
АВ , АС , АД .
АВ 1; 4; 4 , АС 0;3; 3 . Так как точка Д Oz, то
Д(0;0;z),
тогда
АД
имеет
координаты
АД {1;–1; z–1}.
1 0
1
1
1
1
1
АВ, АС , АД
4 3 3 z 1 12 12 3 3 z 3 3 3 z 6
V=
6
6
6
6
6
4 3 z 1
Но объем тетраэдра равен 7, следовательно,
1
3 z 6 7 , 3z 6 42
6
3z – 6 = 42 или 3z – 6 = – 42
3z = 48
3z = – 36
z = 16
z = – 12
27
Ответ: Д(0;0;16) или Д(0;0;–12).
Задача 5. Найти длину вектора ДН тетраэдра АВСД, вершины которого
находятся в точках А(2;–4;5), В(–1;–3;4), С(5;5;–1), Д(1;–2;2).
Решение.
Объем тетраэдра АВСД вычисляется по
Д
1
3
формуле V Sосн h , где h ДH
Отсюда следует, что ДН
А
С
.Н
В
3Vтетр
Sосн
Вычислим
объем
тетраэдра,
используя
геометрический
смысл
смешанного
произведения векторов:
Vтетр =
1
АВ, АС , АД
6
Векторы имеют следующие координаты: АВ 3;1; 1 , АС 3;9; 6 , АД 1; 2; 3 .
АВ, АС, АД
3
3
1
1 9 2 3 9 3 1 6 1 3 2 1 1 9 1 1 3 3
1 6 3
+ 2 6 3 ) = 81 + 6 – 6 – 9 + 9 – 36 = 45.
Следовательно, Vтетр =
15
.
3
Вычислим теперь площадь основания тетраэдра, т.е. площадь
треугольника АВС, используя геометрический смысл операции векторного
произведения векторов:
S ABC
1
1
Sпарал AB, AC
2
2
i
j k
1 1
3 1
3 1
AB, AC 3 1 1 i
j
k
3i 21 j 30k
9 6
3 6
3 9
3 9 6
АВ, АС 32 212 30 2 9 441 900 1350 15 14
S ABC
1
15 14
1350
2
2
28
15
13 15 2 2 14 14 .
Отсюда, ДН =
14
7
15 14 15 14
2
3
Ответ:
14
.
7
IV. Задачи для самостоятельной работы.
1. Найти смешанное произведение векторов и определить ориентацию
тройки векторов а , b , с в каждом из следующих случаев: а) а 2; 3;1 ,
b 1;1;2 , с 3;1; 1 ; б) а 2;1;5 , b 3;0; 2 , с 1; 4; 2 .
2. Определить, какой является тройка а , b , с (правой или левой), если:
1) a i j , b i j , c j ; 2) a i j , b i j , c k .
3. Даны три некомпланарных вектора m , n , p . Компланарны ли векторы
a 3m n p , b m 2n p и c m n ?
4. Векторы а , b , с некомпланарны. При каких значениях скаляра
компланарны векторы а 2b с , 4а 5b 6с , 7а 8b 2с ?
5. Даны точки А(2;1;-1), В(3;0;2), С(5;1;1), Д(0;-1;3), являющиеся
вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты
тетраэдра, опущенной из вершины С.
6. Пусть а , b , с и d - произвольные векторы. Проверить тождества:
а) a, b c b a c a b c ;
б) a, b c , d a c b d a d b c ;
в) a b , c b c , a c a, b 0 .
7. Объем тетраэдра V = 5, три его вершины находятся в точках А(2;1;–1),
В(3;0;1), С(2;–1;3). Найти координаты четвертой вершины Д, если
известно, что она лежит на оси Oy.
8. Дан параллелепипед АВСДА'В'С'Д', построенный на векторах
АВ 4;3;0 , АД 2;1; 2 и АА3; 2;5 . Найти: а) объем параллелепипеда;
б) площади граней; в) длину высоты, проведенной из вершины А' на
грань АВСД; г) косинус угла 1 между ребром АВ и диагональю В'Д;
д) косинус угла 2 между гранями АВСД и АД Д' А'.
29
9. В треугольной призме АВС А'В'С' векторы АВ 0;1; 1 , АС 2; 1; 4
определяют основание, а вектор АА3; 2; 2 направлен по боковому
ребру. Найти: а) объем призмы; б) площади граней; в) высоту; г) угол
между ребрами В'С' и А А'.
10.Дан тетраэдр, построенный на векторах АВ 2;0;0 , АС 3; 4;0 и
АД 3;4;2 . Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину
высоты h, проведенной из вершины Д; г) косинус угла 1 между
ребрами АВ и ВС; д) косинус угла 2 между гранями АВС и АДС.
30
Занятие № 5.
Тема: Различные способы задания плоскости в пространстве.
I. Теоретические сведения.
Направляющими
векторами
плоскости
называются
два
неколлинеарных вектора а и b , параллельных плоскости.
. .
а
b
Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется
вектором нормали плоскости.
n
.
Основные виды уравнений плоскости
1. Векторное уравнение плоскости, заданной точкой М0 и направляющими
векторами а и b .
а
.
.
М0
.
b
Любая точка М евклидовой плоскости
принадлежит плоскости тогда и только тогда,
когда векторы М 0 М , а , b – компланарны.
Векторы М 0 М , а , b компланарны
u, v R : M 0 M u a v b , где < u > ,
< v > - параметры.
2. Параметрические уравнения плоскости, заданной точкой М0(х0,у0,z0)R и
направляющими векторами а а1 , а2 , а3R и b b1 , b2 , b3R
x ua1 vb1 x0
y ua2 vb2 y0
z ua vb z
3
3
0
31
3. Каноническое уравнение плоскости, заданной точкой М0(х0,у0,z0)R и
направляющими векторами а а1 , а2 , а3R и b b1 , b2 , b3R
М0
а
.
.
х х0
у у0
z z0
а1
b1
а2
b2
а3
b3
b
0
4. Уравнение плоскости, заданной тремя точками, не лежащими на одной
прямой М1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3)R
M2
.
M1
.
M3
.
x x1
y y1
z z1
x2 x1
x3 x1
y2 y1
y3 y1
z2 z1 0
z3 z1
5. Уравнение плоскости, заданной двумя точками М1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и
параллельным плоскости вектором а а1 , а2 , а3R , где а не параллелен
М1М 2 .
.
М1
М2
.
а
x x1
y y1
z z1
x2 x1
а1
y2 y1
а2
z2 z1 0
а3
6. Уравнение плоскости «в отрезках».
x y z
1 , где a b c 0
a b c
и M1 a,0,0R , M 2 0, b,0R , M 3 0,0, c R - точки
М3
е3
е1
е2
М2
пересечения плоскости с осями координат.
М1
7. Уравнение плоскости в прямоугольной декартовой системе координат.
32
n
.
k
i
.
М0
О j
Пусть в Е3 задана прямоугольная декартова
система координат R O, i , j , k
n A, B, CR - вектор нормали плоскости
М0(х0,у0,z0)R
плоскости
–
точка,
принадлежащая
A x x0 B y y0 C z z0 0
8. Общее уравнение плоскости
Ax By Cz Д 0 , где A2 B 2 C 2 0
Геометрический смысл коэффициентов А, В, С в прямоугольной
декартовой системе координат состоит в том, что n A, B, C перпендикулярен
плоскости.
Теорема. Любая плоскость в пространстве имеет уравнение вида
Ax By Cz Д 0 , где А, В, С – действительные числа, не равные нулю
одновременно, т.е. A2 B 2 C 2 0 . Справедливо и обратное утверждение:
любое
уравнение
первой
степени
вида
Ax By Cz Д 0 определяет
плоскость в пространстве.
II. Упражнения.
1. Найти необходимое и достаточное условия параллельности вектора
mm1 , m2 , m3 плоскости, заданной уравнением Ax By Cz Д 0 .
2. В
аффинной
системе
координат
дана
плоскость
2 x y 3z 5 0 .
Определить: а) координаты нескольких векторов, параллельных данной
плоскости; б) координаты нескольких векторов, параллельных
одновременно данной плоскости и одной из координатных плоскостей.
3. Исследовать положение плоскости, заданной общим уравнением
Ax By Cz Д 0 относительно системы координат, если: а) один из
коэффициентов А, В, С, Д равен нулю; б) два из коэффициентов А, В, С
равны нулю и Д равно нулю.
33
4. Укажите особенности в расположении относительно системы координат
плоскости: а) 2 x y 5 z 0 ; б) y 7 z 3 0 ; в) 4x 5z 1 0 ; г) 14z 9 0 ;
x y z
1.
2 3 4
д) 11y 3z 0 ; е)
5. Определить, какие из точек М1(1;2;9), М2(2;0;4), М3(–3;1;4) лежат на
плоскости 2 x 3 y z 5 0 .
6. Определить координаты нескольких точек, лежащих в плоскости
3x 2 y z 12 0 .
7. Определить координаты точки, имеющей абсциссу, равную единице, и
расположенной в плоскости Oxz и 2 x y z 6 0 .
III. Примеры решения задач.
Задача 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через: а) точку
М(3;-1;-5) параллельно векторам a 3; 2;2 и b 5; 4;3 ; б) три точки М(1;1;1),
К(2;0;-1), Р(3;4;5). Указать их расположение относительно системы
координат.
Решение.
а) Воспользуемся каноническим уравнением плоскости и преобразуем
x 3 y 1 z 5
его:
3
5
x 3
2
4
2
3
0;
2 2
3 2
3 2
y 1
z 5
0;
4 3
5 3
5 4
2 x 3 y 1 z 5 2 0 ;
Получим уравнение плоскости:
2 x y 2 z 15 0 .
Так как все коэффициенты в уравнении плоскости отличны от нуля, то
плоскость пересекает все три оси координат и не проходит через начало.
б) Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:
x 1 y 1 z 1
2 1 0 1 1 1 0 .
3 1 4 1
5 1
Преобразуем его:
34
x 1
1 2
1 2
1 1
y 1
z 1
0;
3 4
2 4
2 3
2 x 1 8 y 1 5 z 1 0
Получим уравнение плоскости:
2x 8 y 5z 1 0
Плоскость пересекает все три оси координат и не проходит через
начало.
Задача 2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;–1;4)
перпендикулярно плоскостям x 3 y 5 z 1 0 , x y 2 z 9 0 .
Решение.
Векторы
нормалей
n1 1;3; 5
и
n2 1;1; 2
данных
плоскостей
параллельны искомой плоскости и не коллинеарны, так как их
соответствующие координаты не пропорциональны. Воспользуемся
уравнением плоскости, заданной точкой и направляющими векторами:
x2
1
1
y 1 z 4
3
1
5 0 ,
2
11 x 2 7 y 1 2 z 4 0 ,
11x 7 y 2 z 21 0 .
Уравнение искомой плоскости имеет вид: 11x 7 y 2 z 21 0 .
Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину
отрезка с концами в точках М1(3;–1;2) и М2(4;–2;–1) перпендикулярно к
нему.
Решение.
Середина отрезка, точка М имеет координаты:
3 4 7
2 1 1
1 2 3
7 3 1
xM
, yM
, M ; ; .
, zM
2
2
2
2
2
2
2 2 2
Вектор M1M 2 1; 1; 3 перпендикулярен плоскости по условию задачи, т.е.
является вектором нормали плоскости. Воспользуемся уравнением плоскости
в прямоугольно декартовой системе координат:
35
7
3
1
1 x 1 y 3 z 0 ,
2
2
2
x y 3z
7
0.
2
Уравнение искомой плоскости имеет вид: 2 x 2 y 6 z 7 0 .
Задача 4. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору l 2;1; 1 и
отсекающей на координатных осях Ox и Oy отрезки а = 3, b = –2.
Решение.
Воспользуемся уравнением плоскости «в отрезках»:
x y z
1.
3 2 c
Преобразуем это уравнение:
2cx 3cy 6 z 6c 0 .
Плоскость параллельна вектору l 2;1; 1 , следовательно, используя
необходимое и достаточное условия параллельности вектора плоскости,
заданной общим уравнением, получим:
2c 2 3c 1 6 1 0
4c 3c 6 0
c6
Тогда уравнение искомой плоскости имеет вид:
12 x 18 y 6 z 36 0 ,
2x 3y z 6 0 .
Задача
5.
Составить
x 2 y 3 z 1
2
2
2
уравнение
касательной
плоскости
к
сфере
24 в точке М0(0;1;3).
Решение.
Точка М0(0;1;3) принадлежит сфере, т.к. ее координаты удовлетворяют
уравнению сферы и она принадлежит касательной плоскости по условию
задачи, следовательно, точка М0 является точкой касания сферы и плоскости.
По свойству касательной плоскости к сфере имеем, что радиус, проведенный
в точку касания перпендикулярен касательной плоскости, т.е. является
вектором нормали к плоскости.
36
Центр сферы имеет координаты О(2;3;-1), тогда OM 0 2; 2; 4 .
Воспользуемся уравнением плоскости в прямоугольно декартовой системе
координат:
2 x 0 2 y 1 4 z 3 0 ,
2 x 2 y 4 z 10 0 .
Уравнение искомой плоскости имеет вид: x y 2 z 5 0 .
IV. Задачи для самостоятельной работы.
1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через:
а) точку М(–3;2;–5) параллельно плоскости XOY;
б) точки М1(1;2;3) и Р(2;3;1) параллельно оси аппликат;
в) точку М(4;5;–5) и ось абсцисс;
г) начало координат параллельно векторам a 1;1;1 и b 2;1;3 .
2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2;1;–1)
и имеет нормальный вектор n 1; 2;3 .
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: M1 3; 1;2 ,
M 2 4; 1; 1 и M 3 2;0; 2 .
4. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат
перпендикулярно к двум плоскостям: 2 x y 3z 1 0 , x 2 y z 0 .
5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки
M1 1; 1; 2 и M 2 3;1;1 перпендикулярно к плоскости x 2 y 3 z 5 0 .
6. Плоскость проходит через точку М1(6;–10;1) и отсекает на оси абсцисс
отрезок а = –3 и на оси аппликат отрезок с = 2. Составить для этой
плоскости уравнение «в отрезках».
7. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz отрезок с = –5 и
перпендикулярной к вектору n 2;1;3 .
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;–1;2) и
параллельной плоскости: а) x 3 y 2 z 1 0 ; б) x 5 ; в) x 4 u v ,
y 2 u 2v , z 1 7u 3v .
9. Три
грани
параллелепипеда
лежат
в
плоскостях
x 3z 18 0 ,
2 x 4 y 5 z 21 0 , 6 x y z 30 0 , а одна из его вершин А имеет
37
координаты (–1;3;1). Составить уравнение остальных граней
параллелепипеда.
10.Точки А(1;0;3) и В(–1;2;1) являются вершинами тетраэдра АВСД, точка
К(–1;5;2) – серединой ребра ВС, а точка М(0;1;4) – точкой пересечения
медиан грани ВСД. Составить уравнения плоскостей, в которых лежат
грани тетраэдра.
38
Занятие № 6.
Тема: Взаимное расположение плоскостей. Пучок плоскостей.
Угол между плоскостями.
I. Теоретические сведения.
Возможны следующие
плоскостей в пространстве:
случаи
взаимного
расположения
двух
1. Плоскости 1 и 2 пересекаются по прямой d 1 2 d ;
2. Плоскости 1 и 2 параллельны 1 2 ;
3. Плоскости 1 и 2 совпадают 1 2 .
Пусть относительно некоторой прямоугольно декартовой системы
координат R O, i , j , k плоскости заданы общими уравнениями:
1 : A1 x B1 y C1z Д1 0, n1 A1 , B1 , C1 1
2 : A2 x B2 y C2 z Д2 0, n2 A2 , B2 , C2 2
A1
A2
Пусть r rg
B1
B2
C1
A1
, r rg
C2
A2
B1
B2
C1
C2
Д1
, тогда справедливы
Д2
следующие утверждения:
1. 1 2 d r = 2
2. 1 2 r = 1, r' = 2
3. 1 2 r = 1, r' = 1.
Пусть даны две пересекающиеся плоскости 1 и 2 :
1 : A1 x B1 y C1 z Д1 0 ;
2 : A2 x B2 y C2 z Д 2 0 .
Углом между плоскостями называется любой из двугранных углов,
образованных этими плоскостями. Угол
между пересекающимися
плоскостями 1 и 2 вычисляется по формуле:
cos cos n1 , n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A2 2 B2 2 C2 2
39
.
Отсюда следует, что плоскости 1 и 2 перпендикулярны тогда и
только тогда, когда A1 A2 B1B2 C1C2 0 .
Пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, проходящих
через одну прямую.
1
2
Тогда
Прямая - ось пучка.
Пусть плоскости 1 и 2 относительно некоторой
аффинной системы координат заданы уравнениями:
1 : A1 x B1 y C1 z Д1 0 ;
2 : A2 x B2 y C2 z Д 2 0
уравнение
A1 x B1 y C1z Д1 A2 x B2 y C2 z Д 2 0 ,
где
2 2 0 называется уравнением пучка плоскостей.
и не равны нулю одновременно обозначим
t , где t R и
уравнение пучка плоскостей можно записать в виде:
A1 x B1 y C1 z Д1 t A2 x B2 y C2 z Д 2 0 .
II. Упражнения.
1. Проверить, что плоскости x 3 y 2 z 1 0 , 2 x y z 0 пересекаются.
Указать координаты какой-нибудь точки, лежащей на линии пересечения
данных плоскостей.
2. Показать, что уравнение любой плоскости, параллельной плоскости,
заданной уравнением
Ax By Cz Д 0 ,
можно записать в виде:
Ax By Cz Д1 0 .
3. Установить, какие из
параллельные плоскости:
следующих
пар
уравнений
определяют
а) 2 x 3 y 5 z 7 0, 2 x 3 y 5 z 3 0 ;
б) 4 x 2 y 4 z 5 0, 2 x y 2 z 1 0 ;
в) x 3z 6 0, 2 x 6 z 7 0 .
4. Привести пример уравнений двух взаимно перпендикулярных плоскостей.
5. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют
перпендикулярные плоскости:
а) 3x y 2 z 5 0, x 9 y 3z 2 0 ;
40
б) 2 x 3 y z 3 0, x y z 5 0 ;
в) 2 x 5 y z 0, x 2 z 3 0 .
6. Привести аналитическое условие пересечения трех плоскостей в
единственной точке.
7. Указать координаты вектора, параллельного двум плоскостям, заданным
относительно некоторой аффинной системы координат уравнениями:
A1 x B1 y C1 z Д1 0 ;
A2 x B2 y C2 z Д 2 0 .
III. Примеры решения задач.
Задача 1. Определить взаимное расположение плоскостей:
а) x y z 2 0 и 7 x 7 y 7 z 14 0 ;
б) x y z 7 0 и 2 x 2 y 2 z 1 0 ;
в) 2 x 3 y 4 z 12 0 и 13x 6 y 24 0 .
Решение.
а) Составим основную и расширенную матрицы
1 1 1 2
1 1 1
A
.
и A
7 7 7 14
7 7 7
Найдем ранг этих матриц:
1 1 1
r rangA rang
1
7
7
7
1 1 1 2
r rangA rang
1.
7 7 7 14
Так как r rgA 1 и rgA 1 , то плоскости П1 и П2 совпадают.
1
б) r rgA rg
2
1 1
1 1 1 7
1 , r rgA rg
2.
2 2
2 2 2 1
Следовательно, плоскости П1 и П2 параллельны.
в)
2 1
4
r rg
2,
13 6 24
следовательно
пересекаются по прямой.
41
плоскости
П1
и
П2
Задача 2. Через точку М0(–5;16;12) проведены две плоскости: одна из них
содержит ось абсцисс, другая – ось ординат. Вычислить угол между этими
двумя плоскостями.
Решение.
Составим уравнение плоскости П1, которая проходит через точку М0 и
содержит ось абсцисс. Плоскость П1 задается двумя точками М0(–5;16;12) и
О(0;0;0) и направляющим вектором i 1;0;0 . Следовательно, уравнение
плоскости П1 имеет вид:
x5
5
1
y 6 z 12
16
0
12
0
0.
Или П1: 3 y 4 z 0 .
Аналогично составим уравнение плоскости П2, проходящей через
точку М0 и содержащей ось ординат (П2: М0, О, j 0;1;0 ).
x5
П2: 5
0
Тогда cos
y 6 z 12
16
1
12
0
0 или П2: 12x 5z 0 .
12 0 3 0 4 5
32 42 122 52
20
4
.
5 13
13
4
Угол между плоскостями П1 и П2 равен arccos .
13
Задача 3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
М1(3;-2;-7) параллельно плоскости 2x 3z 5 0 .
Решение.
Искомая плоскость П имеет уравнение вида 2 x 3z Д1 0 . Так как
точка М1 П, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению:
2 3 3 7 Д1 0 . Отсюда Д1 = –27.
Тогда П: 2x 3z 27 0 .
Задача 4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через линию
пересечения плоскостей x y 5 z 3 0 и 2 x 3 y z 2 0 и через точку
М(3;2;1).
Решение.
42
Так как искомая плоскость П проходит через линию пересечения двух
плоскостей П1 и П2, то она принадлежит пучку плоскостей, образованному
плоскостями П1 и П2. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:
x y 5z 3 t 2 x 3 y z 2 0 , где t R .
Тогда уравнение любой плоскости пучка и в частности плоскости П
имеет вид:
1 2t x 1 3t y 5 t z 3 2t 0 .
Точка М(3;2;1) П, следовательно, ее координаты удовлетворяют
уравнению плоскости:
1 2t 3 1 3t 2 5 t 1 3 2t 0 ,
13t 13 0 t 1.
Отсюда имеем, что уравнение плоскости
П: 1 2 1 x 1 3 1 y 5 1 z 3 2 0 ,
x 2 y 6 z 1 0 или x 2 y 6 z 1 0 .
Задача 5. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;–1;4)
перпендикулярно плоскостям x 3 y 5 z 1 0 и x y 2 z 9 0 .
Решение.
Искомая плоскость перпендикулярна плоскости 1 : x 3 y 5z 1 0
и 2 : x y 2 z 9 0 . Следовательно, векторы нормали к плоскостям 1 и 2
будут параллельны плоскости . Таким образом, плоскость определяется
точкой М(2;-1;4) и двумя направляющими векторами: n 1;3; 5 и n 1;1; 2 .
1
Уравнение плоскости имеет вид:
x2
:
x 2
1
1
y 1 z 4
3
1
5 0 ,
2
3 5
1 5
1 3
y 1
z 4
0,
1 2
1 2
1 1
11 x 2 7 y 1 2 z 4 0 11x 7 y 2 z 21 0 .
Итак, плоскость задается уравнением 11x 7 y 2 z 21 0 .
43
2
Задача 6. Определить, при каких значениях a и b плоскости 2 x y 3z 1 0 ,
x 2 y z b 0 , x ay 6 z 10 0 :
1) имеют одну общую точку;
2) проходят через одну прямую;
3) пересекаются по трем различным параллельным прямым.
Решение.
1) Три плоскости, заданные относительно аффинной
координат общими уравнениями:
.
1
3
2
системы
1 : 2 x y 3z 1 0 ,
2 : x 2 y z b 0 ,
3 : x ay 6 z 10 0
Рис. 2
Рис. 1
имеют одну общую точку тогда и только тогда, когда система, составленная
из уравнений этих плоскостей, имеет единственное решение (Рис. 1).
Система имеет единственное решение определитель
2 1
1
1
2
a
3
1 0 2 2 6 1 a 3 1 1 1 6 6 2a 0 .
6
24 3a 1 12 2a 0
5a 35 0 a 7 .
Итак, плоскости имеют одну общую точку при a 7 .
2) Введем обозначения:
2 1 3
2 1 3 1
m 1 2 1 , M 1 2 1 b , n1 , n2 , n3 - векторы нормали
1 a 6
1 a 6 10
соответственно к плоскостям 1 , 2 , 3 .
Плоскости 1 , 2 и 3 проходят через прямую, если rg m 2 , rg M 2
и векторы n1 , n2 , n3 - не коллинеарны (Рис. 2).
44
1
3
2
rg m rg
5
5 rg m 2 2a 1 15
2a 1 15
2a 14
a7
1
3
1
2
rg M rg
5
5 2b 1 rg M 2 2a 1 15
2a 1 15
21
a 7
b 3
При a 7 и b 3 векторы нормали к плоскостям имеют координаты:
n1 2; 1;3 , n2 1;2; 1 , n3 1;7; 6 . Нетрудно заметить, что n1 не параллелен
n2 не параллелен n3 . Следовательно, плоскости 1 , 2 и 3 пересекаются по
прямой при a 7 и b 3 .
3) Плоскости 1 , 2 и 3 пересекаются по трем различным прямым,
если rg m 2 , rg M 2 и векторы n1 , n2 , n3 - не коллинеарны.
1
3
2
rg m rg
5
5 rg m 2 a 7
2a 1 15
rg M 3 b 3 .
3
1
2
Рис. 3
При a 7 и b 3 n1 не параллелен n2 не
параллелен n3 . Плоскости 1 , 2 и 3
пересекаются по трем различным прямым при
a7 и b3
IV. Задачи для самостоятельной работы.
1. Установить взаимное расположение следующих пар плоскостей:
а) x 3 y z 1 0 , 2 x y 4 z 2 0 ;
б) 3x y z 2 0 , 6 x 2 y 2 z 3 0 ;
в) 2 x y 3z 2 0 , 2 x 2 y 3 2 z 2 0 ;
г) x y z 1 0 , x y z 0 .
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и
параллельной
плоскости:
а)
2 x 4 y 5z 3 0 ;
в) 3x 5 0 .
45
б)
2 y 7z 6 0 ;
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;–1;2) и
параллельной плоскости: а) x 3 y 2 z 1 0 ; б) x 4 u v , y 2 u 2v ,
z 1 7u 3v .
4. Даны две плоскости. Установить, являются ли они пересекающимися,
параллельными или совпадающими:
а) 3x y z 1 0 и 5 x 3 y z 2 0 ;
б) x y 2 z 1 0 и 6 z 3x 3 y 3 0 ;
в) x 3 u v , y 2 u v , z 3u 2v и x 5 u , y 3 v , z u 2v .
5. При каких a плоскости x ay z 1 0 и ax 9 y
a3
z 3 0:
9
1)
пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают?
6. Определить, при каких значениях
и m следующие пары уравнений
будут определять параллельные плоскости:
1) 2 x y 3z 5 0 , mx 6 y 6 z 2 0 ;
2) 3x y z 9 0 , 2 x my 2 z 3 0 ;
3) mx 3 y 2 z 1 0 , 2 x 5 y z 0 .
7. Определить, при каком значении
следующие пары уравнений будут
определять перпендикулярные плоскости:
1) 3x 5 y z 3 0 , x 3 y 2 z 5 0 ;
2) 5 x y 3z 2 0 , 2 x y 3z 1 0 ;
3) 7 x 2 y z 0 , x y 3z 1 0 .
8. Найти угол между плоскостями:
а) x 4 y z 1 0 и x y z 3 0 ;
б) x 2 y z 1 и x y 3 ;
в) x 2 y 2 z 0 и z 5 ;
г) x 3 y z 1 0 и x 1 u , y 2 3u v , z 7 u v ;
д) x 3 y 2 z 1 0 и 6 z 9 y 3x 5 0 .
9. Составить уравнение плоскости1, проходящей через точку А(2;1;–1) и
перпендикулярной двум плоскостям: x y 5 z 1 0 и 2 x y 3 .
10.В пучке, определяемом плоскостями x 2 y 3z 5 0 и 4 x y 3 z 5 0 ,
найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых
проходит через точку М(1;3;1).
46
11.Показать, что плоскости 2 x y z 4 0 , x y z 2 0 и 2 x y 3z 6 0
пересекаются в одной точке; найти ее координаты.
12.Показать, что плоскости x y z 1 0 , 2 x y 3z 2 0 и 4 x 3 y z 0
пересекаются по одной прямой.
13.Показать, что плоскости x y z 4 0 , 3x z 5 0 , 5 x y z 1 0
пересекаются по трем параллельным между собой прямым.
14.Найдите угол между плоскостями, проходящими через точку М(1;–1;–1),
одна из которых содержит ось Ox, а другая – ось Oz.
15.Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М(2;0;0) и
Р(0;2;0) и образующей угол 450 с плоскостью x y z 1 0 .
16.Через линию пересечения плоскостей x y и y z проведите плоскость
под углом 450 к плоскости XOY.
17.Написать
уравнение
плоскости,
перпендикулярной
плоскости
2 x 3 y z 4 0 и пересекающей ее по прямой, лежащей в плоскости
OYZ.
18.В прямоугольной декартовой системе координат даны уравнения граней
трехгранного угла
4 x 3 y 5 z 16 0 ,
3x 2 y 4 z 7 0 ,
x 4 y 2z 5 0 .
Написать уравнения трех плоскостей, каждая из которых проходит через
некоторое ребро и перпендикулярна противолежащей грани.
19. Определить двугранные углы между следующими парами плоскостей:
а) 16 x 8 y 2 z 1 0 , 2 x 2 y z 5 0 ;
б) 2 x 5 y 4 z 15 0 , 6x 3z 2 0 .
47
Занятие № 7.
Тема: Расстояние от точки до плоскости.
Геометрический смысл знака многочлена Ax By Cz Д .
I. Теоретические сведения.
Нормальным уравнением плоскости называется уравнение
x cos y cos z cos p 0 ,
(1)
где cos ,cos ,cos – направляющие косинусы нормали плоскости, p –
расстояние плоскости от начала координат.
z
P
.
n
O
y
x
Принято считать, что нормаль
направлена от начала координат к
плоскости.
Общее уравнение плоскости
(2)
Ax By Cz Д 0
приводится к нормальному виду (1)
умножением
на
нормирующий
множитель
1
,
2
A B2 C 2
знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного
члена Д уравнения (2).
Замечание: Если Д = 0, то знак нормирующего множителя можно выбрать
любой.
Если в левую часть уравнения плоскости в нормальной форме
подставить координаты любой точки пространства, то получится число, с
точностью до знака, равное расстоянию от этой точки до плоскости.
Формула для нахождения расстояния от точки М0(x0,y0,z0) до плоскости
П: Ax By Cz Д 0 имеет вид:
d (M 0 , П )
Ax0 By0 Cz0 Д
A2 B 2 C 2
.
Геометрический смысл знака многочлена Ax By Cz Д 0 состоит
в следующем:
48
неравенство
Ax By Cz Д 0
задает
то
полупространство
относительно плоскости Ax By Cz Д 0 , которому принадлежит конец
вектора нормали n A, B, C этой плоскости, отложенного от некоторой точки
плоскости;
неравенство
Ax By Cz Д 0
задает другое полупространство
относительно указанной плоскости.
II. Упражнения.
1. Вывести формулу для вычисления расстояния между параллельными
плоскостями.
2. Выяснить условия, при которых общее уравнение плоскости
Ax By Cz Д 0 является нормальным уравнением.
3. Привести уравнение плоскости x 2 y z 5 0 к нормальному виду.
4. Определить положение точек М(3;1;-2) и N(5;0;1) относительно плоскости
2 x 3 y 5z 4 0 .
5. Даны
две
параллельные
Ax By Cz Д 2 0 ,
плоскости
Д1 Д 2 .
Записать
Ax By Cz Д1 0 ,
линейные
неравенства,
характеризующие область , расположенную между ними, и внешние
области 1 и 2 .
III. Основные типовые задачи.
1. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду.
2. Нахождение расстояния от точки до плоскости.
3. Определение положения точки относительно заданной
пространства.
области
IV. Примеры решения задач.
Задача 1. Привести к нормальному виду уравнения плоскостей: а)
2 x 2 y z 18 0 ; б) 5 y 12 z 26 0 .
Решение.
49
а)
Д
=
1
A2 B 2 C 2
форме имеет вид:
–
18,
следовательно,
нормирующий
множитель
1
1
. Уравнение плоскости в нормальной
4 4 1 3
2
2
1
x y 6 0.
3
3
3
б) Д = + 26, следовательно,
1
A2 B 2 C 2
Уравнение плоскости в нормальной форме имеет вид:
1
1
.
13
25 144
5
12
5
12
y z 2 0 или
y z 2 0.
13
13
13
13
Задача 2. Для каждой из следующих плоскостей вычислить углы , и ,
образуемые нормалью с осями координат, и расстояние p
координат: а) x y 2 z 10 0 ; б) 2 x 3 y 6 z 4 0 .
Решение:
а) Приведем уравнение плоскости к нормальному виду:
Д = –10, следовательно
1
1
.
1 2 1 2
1
2
1
x
y z 5 0 - нормальный вид уравнения плоскости.
2
2
2
1
Тогда, cos 600 ,
2
cos
2
450 ,
2
1
600 , p 5 .
2
б) П: 2 x 3 y 6 z 4 0 .
cos
Д = + 4, следовательно
1
1
;
7
4 9 36
2
3
6
4
x y z 0 - уравнение плоскости в нормальном виде.
7
7
7
7
2
2
Тогда, cos arccos
7
7
50
от начала
3
3
cos arccos
7
7
cos
6
6
4
arccos , p .
7
7
7
Задача 3. Даны точки А(5;–1;0), В(0;1;0) и С(2;1;–2). Составить линейные
неравенства, характеризующие то из полупространств, определяемых
плоскостью АВС, которому принадлежит: а) начало координат; б) точка
Е(1;1;1).
Решение.
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три данные
точки, и преобразуем его:
x5
y 1
5
2
3
z
0 0,
y 2 2
4( x 5) 10 z 6 z 10( y 1) 0 ; 4 x 20 10 z 6 z 10 y 10 0 .
Получим уравнение плоскости АВС:
4 x 10 y 4 z 10 0 .
2x 5 y 2z 5 0 .
а)
Выясним
значение
многочлена
2x 5 y 2z 5
для
начала
координат: 2 0 5 0 2 0 5 5 0 , следовательно, линейное неравенство,
характеризующее полупространство, определяемое плоскостью АВС,
которому принадлежит точка О(0;0;0) имеет вид: 2 x 5 y 2 z 5 0 .
б) Найдем значение многочлена 2 x 5 y 2 z 5 для точки Е(1;1;1):
2 1 5 1 2 1 5 8 5 3 0 , следовательно, 2 x 5 y 2 z 5 0 - линейное
неравенство, характеризующее полупространство, определяемое плоскостью
АВС, которому принадлежит точка Е(1;1;1).
Задача 4. На оси Ox найти точку, отстоящую от плоскости 2 x y 2 z 4 0
1
на расстоянии d .
3
Решение.
51
Поскольку искомая точка М лежит на оси Ox, то ее координаты (x;0;0).
Найдем расстояние от точки М до плоскости 2 x y 2 z 4 0 .
d
Поэтому
Ax0 By0 Cz0 Д
A2 B 2 C 2
2x 4
4 1 4
3
x1 ,
2
2 x 4 1, откуда
2x 4
.
3
5
x2 . Условию задачи
2
5
3
удовлетворяют две точки: M 2 ;0;0 и M 1 ;0;0 .
2
2
Задача
5.
Провести
плоскость,
параллельную
x y z 1 0 и отстающую от нее на
I
способ.
плоскости
данной
плоскости
3 ед.длины.
Решение.
плоскость параллельна
Искомая
данной
x y z 1 0 , следовательно, ее уравнение имеет вид: x y z Д 0 .
Расстояние между параллельными плоскостями находится по формуле:
Д 2 Д1
d
Д 1
3
A B C
2
2
2
, поэтому
3 , Д 1 3 , т.е. Д1 2 , Д 2 4 , откуда получаем x y z 4 0
и x y z 2 0 . Эти две плоскости удовлетворяют условию задачи.
II способ. Искомая плоскость есть геометрическое место точек М(x,y,z),
находящихся от данной плоскости на расстоянии d 3 . Поэтому
x y z 1
3
3 или x y z 1 3 ,
откуда получаем x y z 4 0 и x y z 2 0 . Эти две плоскости
удовлетворяют условию задачи.
Задача
6.
Через
линию
пересечения
плоскостей
x y z 1 0
и
2 x 5 y 2 z 13 0 провести плоскость, касающуюся сферы x 2 y 2 z 2 9 .
Решение.
Искомая плоскость проходит через линию пересечения двух данных
плоскостей, следовательно, принадлежит пучку плоскостей, образованному
52
данными плоскостями x y z 1 0 и 2 x 5 y 2 z 13 0 . Уравнение
пучка плоскостей имеет вид: x y z 1 2 x 5 y 2 z 13 0 . Уравнение
плоскости принадлежащей пучку можно записать в виде:
x 1 2 y 1 5 z 1 2 1 13 0 .
Плоскость касается сферы x 2 y 2 z 2 9 , поэтому расстояние от центра
сферы О(0;0;0) до плоскости равно радиусу сферы.
Таким образом, имеем:
1 13
1 2 1 5 1 2
2
2
2
3 , т.е. 1
13
1
, 2 .
32
2
1
уравнение плоскости 4 x 3 y 15 0 ;
2
13
при 2
уравнение плоскости 58x 33 y 6 z 201 0 .
32
При 1
Задача 7. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный
угол между двумя плоскостями 2 x y 2 z 3 0 , 3x 2 y 6 z 1 0 , в
котором лежит точка М(1;2;–3).
Решение.
Плоскости, делящие пополам двугранные углы между двумя
плоскостями, представляют собой геометрическое
место точек,
равноудаленных от двух плоскостей. Поэтому, точка М(x;y;z) лежит на одной
из биссекторных плоскостей двугранных углов, образованных данными
плоскостями тогда и только тогда, когда расстояния d1 и d2 от этой точки М
до данных плоскостей равны между собой: d1 = d2, т.е.
2x y 2z 3
4 1 4
3x 2 y 6 z 1
9 4 36
;
7 2 x y 2 z 3 3 3x 2 y 6 z 1 .
Подставляя координаты точки М в левые части уравнений данных
плоскостей, получим
2 2 6 3 9 0 , 3 4 18 1 24 0 . Значит, точка М лежит в тех
полупространствах от данных плоскостей, для координат точек которых
2x y 2z 3 0 ,
3x 2 y 6 z 1 0 .
Искомая
плоскость
проходит,
следовательно, в тех областях, для координат точек которых функции
53
2 x y 2 z 3 и 3x 2 y 6 z 1 имеют разные знаки. Значит, уравнение
искомой биссекторной плоскости: 7 2 x y 2 z 3 3 3x 2 y 6 z 1 , или
23x y 4 z 24 0 .
*
* Задача 8. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точки
М(2;-1;1) и N(1;2;-3) в одном, в смежных или вертикальных двугранных
углах, образованных при пересечении двух плоскостей:
а) 3x y 2 z 3 0 ,
б) 2 x y 5z 1 0 ,
x 2y z 4 0;
3x 2 y 6 z 1 0 .
Решение.
а) Подставляя координаты точек М и N в левую часть уравнения
первой плоскости, получим
3 2 1 (1) 2 1 3 5 0 ,
3 1 1 2 2 3 3 8 0 .
Значит, точка М лежит в положительном полупространстве
относительно первой плоскости, а точка N в отрицательном.
Подставляя координаты точек М и N в левую часть уравнения второй
плоскости, получим
1 2 2 1 1 1 4 7 0 ,
1 1 2 2 1 (3) 4 4 0 .
Значит, точки М и N лежат в положительном полупространстве
относительно второй плоскости. Следовательно, точки М и N принадлежат
смежным двугранным углам, образованным при пересечении плоскостей (на
рис. точки М1 и N1).
М1
М2
.
.
N2 .
–
– +
+
– +
.
N1
+
–
б) : 2 x y 5 z 1 0
: 3x 2 y 6 z 1 0 .
2 2 1 (1) 5 1 1 9 0
2 1 1 2 5 (3) 1 16 0 .
Следовательно, точка М принадлежит
положительному
полупространству
относительно плоскости , а точка N –
отрицательному.
3 2 2 (1) 6 1 1 13 0
3 1 2 2 6 (3) 1 20 0 .
54
Следовательно, точка М принадлежит положительному полупространству
относительно плоскости , а точка N – отрицательному. Значит, точки М и
N лежат в одном двугранном угле, образованном при пересечении
плоскостей (на рис. точки М2 и N2).
V. Задачи для самостоятельного решения.
1. Привести
к
нормальному
виду
уравнения
x 2 y 2 z 12 0 ; б) 2 x 3 y 5 z 5 0 ; в)
плоскостей:
а)
3
6
2
x y z 3 0 ; г)
7
7
7
12 y 5 z 39 0 ; д) y 2 0 ; е) 2 z 5 0 .
2. Для каждой из следующих плоскостей вычислить углы , и ,
образуемые нормалью с осями координат, и расстояние p от начала
координат: а) x y z 2 16 0 ; б) x z 6 0 ; в) y z 2 0 ; г)
x 3 y 10 0 ; д) x 2 y 2 z 6 0 ; е) 2 y 1 0 .
3. Вычислить расстояние d от точки Р(–1;1;–2) до плоскости, проходящей
через три точки М1(1;–1;1), М2(–2;1;3) и М3(4;–5;–2).
4. Найти расстояние от точки М(2;–1;–1) до плоскости 16 x 12 y 15z 4 0 .
5. На
оси
Oz
найти
точку,
расстояние
которой
от
плоскости
2 x 3 y 6 z 4 0 равно 2.
6. На оси Oy найти точку, равноудаленную от точки А(0;2;1) и от плоскости
x 2 y 2z 5 0 .
7. На оси
Ox найти
точку, равноудаленную от двух плоскостей:
12 x 16 y 15z 1 0 , 2 x 2 y z 1 0 .
8. На оси Oz найти точку, равноудаленную от точки М(1;–2;0) и от
плоскости 3x 2 y 6 z 9 0 .
9. Две грани куба лежат на плоскостях 2 x 2 y z 1 0 , 2 x 2 y z 5 0 .
Вычислить объем этого куба.
10. Составить
уравнения
плоскостей,
параллельных
плоскости
2 x 2 y z 3 0 и отстоящих от нее на расстоянии d = 5.
11. Составить
уравнение
множества
точек,
6 x 3 y 2 z 14 0 на расстоянии, равном 3.
55
отстоящих
от
плоскости
12. Найти уравнение плоскости, касающейся сферы x 2 ( y 1)2 ( z 2)2 9
и параллельной плоскости 6 x 3 y 2 z 0 .
13. У треугольной пирамиды SABC вершина S совпадает с началом
координат, а боковые грани – с координатными плоскостями. Написать
уравнение плоскости основания ABC, если SA:SB:SC = 1:3:2, а высота SH
= 6, и вершины A, B и С имеют неотрицательные координаты.
14. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точка М(2;–1;3) и
начало координат в одном, в смежных или вертикальных двугранных
углах, образованных при пересечении двух плоскостей:
а) 2 x 3 y 5 z 15 0 ,
б) x 5 y z 1 0 ,
5 x y 3z 7 0 ;
15. Составить
2 x 17 y z 2 0 .
уравнение плоскости,
которая
делит
пополам острый
двугранный угол, образованный двумя плоскостями: 2 x 3 y 4 z 3 0 ,
4x 3 y 2z 3 0 .
16. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол
между двумя плоскостями 2 x 14 y 6 z 1 0 , 3x 5 y 5 z 3 0 , в
котором лежит начало координат.
17. Доказать,
что
плоскость
3x 4 y 2 z 5 0
пересекает
отрезок,
ограниченный точками М1(3;–2;1) и М2(–2;5;2), и не пересекает отрезок,
ограниченный точками N1(1;4;–3) и N2(2;5;0).
56
Занятие № 8.
Тема: Способы задания прямой в пространстве.
I. Теоретические сведения.
Положение прямой в пространстве однозначно определяется, если
даны:
1. точка М0 и направляющий вектор a прямой;
2. две различные точки М1 и М2 прямой;
3. две различные плоскости, пересекающиеся по этой прямой.
Основные виды уравнений прямой
1. Уравнение прямой, заданной точкой М0 и направляющим вектором p :
p p1 , p2 , p3
.
.
М0(x0;y0;z0)
а) канонические уравнения
x x0 y y0 z z0
p1
p2
p3
б) параметрические уравнения
x p1t x0 ,
t R - параметр.
y p2t y0 ,
z p t z .
3
0
2. Уравнения прямой, проходящей через две точки М1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2):
.
.
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1
М2(x2,y2,z2)
М1(x1,y1,z1)
3. Уравнения прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями –
общие уравнения прямой:
57
A x B1 y C1 z Д1 0,
: 1
где
A
x
B
y
C
z
Д
0,
2
2
2
2
A B1 C1
rang 1
2.
A2 B2 C2
Чтобы перейти от общих уравнений прямой к
ее каноническим уравнениям, необходимо на
прямой найти какую-нибудь точку М0(x0,y0,z0)
и определить ее направляющий вектор p .
n1
a
M0
2
n2
.
1
Точку М0 находят так: задают произвольно значение z = z0 и из системы
находят x = x0, y = y0. Направляющий вектор p параллелен линии
пересечения плоскостей и, следовательно, перпендикулярен векторам
n1 A1 , B1 , C1 и n2 A2 , B2 , C2 - векторы нормали к плоскостям 1 и 2 .
i
Поэтому в качестве p можно взять вектор p n1 , n2 A1
A2
j
B1
B2
k
C1 .
C2
Следовательно, p имеет следующие координаты:
B
p 1
B2
C1
A
, 1
C2
A2
C1 A1
,
C2 A2
B1
B2
и канонические уравнения прямой имеют вид:
x x0
y y0
z z0
.
B1 C1
A1 C1
A1 B1
B2 C2
A2 C2
A2 B2
II. Упражнения.
1. При каком условии прямая, заданная каноническими уравнениями,
пересекает ось Ox (Oy, Oz)?
2. Докажите,
что
если
p p1 , p2 , p3
A1 p1 B1 p2 C1 p3 0
A1 x B1 y C1 z Д1 0,
, то
.
A2 p1 B2 p2 C2 p3 0
A2 x B2 y C2 z Д 2 0.
58
параллелен
прямой
3. Определяет ли
система уравнений
x 2 y 4 z 7 0,
1
2 x y 2 z 4 0.
прямую
в
пространстве?
4. Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты
A1 x B1 y C1 z Д1 0,
уравнений прямой
для того, чтобы прямая была
A
x
B
y
C
z
Д
0.
2
2
2
2
параллельна: 1) оси Ox; 2) оси Oy; 3) оси Oz.
5. Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты
A1 x B1 y C1 z Д1 0,
уравнений прямой
для того, чтобы эта прямая
A2 x B2 y C2 z Д 2 0.
пересекала: 1) ось абсцисс; 2) ось ординат; 3) ось аппликат; 4) совпадала с
осью абсцисс; 5) совпадала с осью ординат; 6) совпадала с осью аппликат.
III. Основные типовые задачи.
1. Определение положения данной точки относительно прямой. Нахождение
координат точек, принадлежащих прямой по заданному уравнению.
2. Составление уравнения прямой по условиям, однозначно определяющим
прямую.
3. Нахождение параметров, определяющих прямую, по ее уравнению.
IV. Примеры решения задач.
Задача 1. Определить координаты нескольких точек, лежащих на прямых: а)
x 1 y z 4
; б) x 3 2t , y 3t , z 5 ; в)
1
3
1
x 3 0,
. Какие из точек
x
y
z
5
0.
М1(–2;–9;7), М2(–3;0;4), М3(3;1;1) принадлежат этим прямым?
Решение.
а) Положим x = 1 и подставим это значение в уравнение прямой,
получим y = 0, z = 4.
Точка М(1;0;4) принадлежит прямой.
Положим x = 3 и подставим это значение в уравнение прямой, получим
y = 6, z = 2.
Точка N(3;6;2) принадлежит прямой.
59
1
б) Из первого уравнения выразим параметр t : t ( x 3) и подставим
2
3
y ( x 3)
найденное выражение в оставшиеся уравнения:
.
2
z 5
Положив x = 3, получим y = 0, z = 5.
Точка М(3;0;5) принадлежит прямой.
Если t 2 , то x 7 , y 6 , z 5 .
Точка N(7;6;5) принадлежит прямой.
в) Решим систему двух уравнений с тремя неизвестными. Из первого
уравнения системы имеем x = 3.
Положив y = 2, получим z = 0.
Точка М(3;2;0) принадлежит прямой.
Положив y = –3, получим z = 5.
Точка N(3;–3;5) принадлежит прямой.
Проверим, какие из точек М1, М2, М3 принадлежат данным прямым.
3 9 3
.
1
3 1
Получим верное равенство, значит М1 принадлежит прямой а). Аналогично
проверяем, что точка М3 принадлежит прямой в), а точка М2 не принадлежит
Подставим координаты точки М1 в уравнение прямой а):
ни одной из этих прямых.
Задача 2. Даны вершины треугольника А(2;3;–1), В(1;–2;0) и С(–3;2;2).
Составить канонические уравнения медианы AP.
Решение.
В
P
А
С
Точка P делит сторону BC пополам. Поэтому
координаты точки P равны полусуммам
координат B и C:
1 3
2 2
02
xp
1, y p
0 , zp
1.
2
2
2
Следовательно, P(–1;0;1). Так как медиана проходит через точки A и P,
то подставив координаты этих точек в уравнения прямой, проходящей через
две точки, получим:
x 2 y 3 z 1
x 2 y 3 z 1
или
.
1 2 0 3 1 1
3
3
2
60
Задача 3. Через точку М0(2;–3;–4) провести прямую, параллельную прямой
x y z 2 0,
x y 2 z 1 0.
Решение.
Найдем направляющий вектор данной прямой:
i
j k
p n1 , n2 1 1 1 i 3 j 2k , т.е. p 1; 3; 2 .
1 1 2
Этот же вектор будет направляющим и для искомой прямой, т.к. она
параллельна данной прямой, поэтому ее канонические уравнения запишутся
в виде:
x2 y3 z4
.
1
3
2
Параметрические уравнения этой прямой имеют вид:
x t 2,
y 3t 3,
z 2t 4.
2 x 3 y 3 z 9 0,
Задача 4. Привести уравнения прямой
к каноническому
x 2 y z 3 0.
и параметрическому виду.
Решение.
Определим координаты какой-нибудь точки данной прямой. Пусть,
2 x 3 y 9 0,
например, z = 0, тогда
x 2 y 3 0.
Отсюда x = 27, y = 15. Точка М(27;15;0) принадлежит данной прямой.
Определим
координаты
направляющего
вектора
прямой
n1 2; 3; 3 , n2 1; 2;1 .
i
j k
p n1 , n2 2 3 3 9i 5 j k или p 9; 5; 1 .
1 2 1
61
p n1 , n2 ,
В качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор
коллинеарный p , в частности p1 9;5;1 .
Запишем канонические уравнения прямой:
x 27 y 15 z
.
9
5
1
x 9t 27,
Параметрические уравнения прямой: y 5t 15,
z t.
Задача 5. Даны вершины треугольника A(1;–1;3), B(3;–4;9), C(–5;11;7). Найти
канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине A.
Решение.
B
Рассмотрим векторы AB и AC . По
биссектрисе угла BAC направлен вектор
0
0
p AB AC a 0 b 0 , где a 0 AB
L
p
0
A
C
орт вектора AB , a 0 AB
0
AB
0
-
;
AB
0
b 0 AC – орт вектора AC , b 0 AC
AC
. Найдем координаты и длины
AC
векторов AB и AC :
AB (3 1) 2 (4 1) 2 (9 3) 2 4 9 36 7
AB2; 3;6
AC (5 1) 2 (11 1) 2 (7 3) 2 36 144 16 196 14 AC 6;12;4 .
Найдем координаты векторов a 0 и b 0 :
2 3 6
6 12 4
3 6 2
a 0 ; ; , b 0 ; ; b 0 ; ; .
7 7 7
14 14 14
7 7 7
1 3 8
Тогда p a 0 b 0 ; ; . В качестве направляющего вектора
7 7 7
биссектрисы угла BAC можно взять любой вектор коллинеарный p , в
частности, вектор p1 1;3;8 . Биссектриса AL треугольника ABC задана
точкой
A(1;–1;3)
и
направляющим
канонические уравнения прямой AL:
62
вектором
p1 1;3;8 .
Составим
x 1 y 1 z 3
.
1
3
8
V. Задачи для самостоятельного решения.
2 x y z 3 0,
1. Найти точки пересечения прямой
с координатными
x y z 1 0.
плоскостями.
2. Какие из точек A(3;–1;–1), B(1;2;7), C(–5;14;–3) принадлежат прямой
x 1 t , y 2 3t , z 7 8t ?
x 2 y 3 z
и
5
1
5
имеющей: а) абсциссу, равную 3; б) ординату, равную –1.
4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку
3. Определить координаты точки, лежащей на прямой
М1(2;0;–3)
параллельно:
а)
вектору
a 2; 3;5 ;
б)
прямой
x 1 y 2 z 1
; в) оси Ox; г) оси Oy; д) оси Oz.
5
2
1
5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные
точки: а) A1(1;–2;1), A2(3;1;–1); б) B1(3;–1;0), B2(1;0;–3); в) C1(0;–2;3),
C2(3;–2;1).
6. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
М1(1;–1;–3)
параллельно:
а)
вектору
a 2; 3;4 ;
б)
прямой
x 1 y 2 z 1
; в) прямой x 3t 1, y 2t 3 , z 5t 2 .
2
5
0
7. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через две
данные точки: а) A1(3;–1;2), B1(2;1;1); б) A2(1;1;–2), B2(3;–1;0); в) A3(2;5;3),
B3(3;–2;2).
8. Напишите канонические и параметрические уравнения прямой:
2 x 5 y z 3 0,
x y 4 z 5 0,
x 2 y z 6 0,
а)
б)
в)
x 2 y z 2 0;
2 x y 2 z 4 0;
2 x y z 1 0.
9. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку
3x 4 y 2 z 0,
A(1;2;–3) параллельно прямой
2 x y 2 z 0.
63
10. В треугольной призме ABCA1B1C1 даны вершины: A(2;–1;–1), B(5;–1;2),
C(3;0;–3), A1(6;0;–1). Напишите уравнения боковых ребер призмы.
11. Даны вершины треугольника A(2;–1;–3), B(5;2;–7) и C(–7;11;6). Составить
канонические уравнения биссектрисы его внешнего угла при вершине A.
12. Даны вершины треугольника A(1;–2;-4), B(3;1;–3) и C(5;1;–7). Составить
параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины B на
противоположную сторону.
Указание: Направляющий вектор прямой BK (K – основание высоты)
найти из условий: 1) BK AB AK , где AK AC ; 2) BK ортогонален AC .
13. Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку
М0(2;1;–1) перпендикулярно плоскости x y z 1 0 .
14. Даны вершины треугольника A(3;6;–7), B(–5;2;3) и C(4;–7;–2). Составить
канонические и параметрические уравнения его медианы, проведенной из
вершины C и биссектрисы внутреннего угла при вершине B.
15. Составить уравнения прямой, образованной пересечением плоскости
3x y 7 z 9 0 с плоскостью, проходящей через ось Ox и точку
E(3;2;–5).
64
Занятие № 9.
Тема: Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
I. Теоретические сведения.
Возможны следующие случаи взаимного расположения двух прямых в
пространстве:
1. Прямые
1
и
2
скрещиваются (
2. Прямые
1
и
2
пересекаются в точке A (
3. Прямые
1
и
2
параллельны (
4. Прямые
1
и
2
совпадают (
Пусть прямые
и
1
2
1
1
1
2
2
2
)
1
2
A)
)
).
относительно аффинной системы координат
заданы каноническими уравнениями:
1
:
x x 1 y y1 z z1
;
m1
m2
m3
mm1; m2 ; m3
.
1
М2(x2;y2;z2)
p p1; p2 ; p3
3.
1
2
:
x x 2 y y2 z z 2
.
p1
p2
p3
Тогда имеют место следующие утверждения:
x2 x1 y2 y1 z2 z1
m2
m3 0 .
1. 1 2 m1
p1
p2
p3
2.
но
векторы
1 2 A 0,
mm1; m2 ; m3 и p p1; p2 ; p3 неколлинеарны.
(иначе их координаты непропорциональны).
М1(x1;y1;z1)
.
2
2
векторы mm1; m2 ; m3 и p p1; p2 ; p3 – коллинеарны, но вектор
M1M 2 x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 им не коллинеарен.
4.
1
2
все
три
вектора
mm1; m2 ; m3 ,
p p1; p2 ; p3
и
M1M 2 x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 – коллинеарны.
Углом между прямыми в пространстве называется любой из углов
между двумя параллельными им прямыми, проходящими через
произвольную точку пространства.
Угол между прямыми
1
и
вычисляется по формуле:
m1 p1 m2 p2 m3 p3
cos cos(a , b )
2
m m2 m3 p p2 p3
2
1
2
65
2
2
1
2
2
.
Прямые
1
и
2
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
m1 p1 m2 p2 m3 p3 0 .
II. Упражнения.
1. Вывести аналитические условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых, заданных общими уравнениями.
2. Найти координаты точки пересечения прямых
1
x 1 2t
и 2 , где 1 : y 7 t ,
z 3 4t
x 6 3t
y 1 2t .
2:
z 2 t
3. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях
A1 x B1 y C1 z Д1 0
прямой
, чтобы она: а) совпадала с осью Ox;
A2 x B2 y C2 z Д 2 0
б) была параллельна оси Oy; в) лежала в плоскости OXY и проходила
через начало координат.
III. Основные типовые задачи.
1. Исследование взаимного расположения двух заданных прямых.
2. Нахождение координат точки пересечения двух прямых.
3. Вычисление угла между двумя прямыми.
IV. Примеры решения задач.
Задача 1. Определите взаимное расположение следующих пар прямых:
а)
1
2 x 3 y 0,
:
z 4 0;
и
x 1 2t ,
б) 1 : y 7 t ,
z 3 4t ;
и
x 9t ,
в) 1 : y 5t ,
z 3 t ;
и
2
x z 8 0,
:
2 y 3 z 7 0;
x 6 3t ,
y 1 2t ,
2:
z 2 t ;
2
2 x 3 y 3 z 9 0,
:
x 2 y z 3 0.
66
Решение.
а) Прямые
и
1
заданы общими уравнениями, поэтому найдем
2
сначала координаты направляющих векторов этих прямых m и p и
координаты какой-нибудь точки М1, принадлежащей прямой
принадлежащей прямой
1
n1 2;3;0 ,
:
2
1
и точки М2,
.
n2 0;0;1
i j k
m n1 , n2 2 3 0 3i 2 j ,
0 0 1
т.е.
m3; 2;0 .
Найдем координаты какой-нибудь точки М1 прямой
1
. Пусть,
например, y1 = 0, тогда x1 = 0 и z1 = 4. Т.е. точка имеет координаты М1(0;0;4).
i j k
1 0 1 2i 3 j 2k , т.е.
2 : n1 1;0;1 , n2 0;2;3 p n1 , n2
0 2 3
p 2; 3;2 .
Найдем какую-нибудь точку М2, принадлежащую прямой
2
. Пусть,
например, z = 1. Тогда x = 7, y = 2, т.е. М2(7;2;1).
Найдем определитель:
x2 x1
y2 y1
z2 z1
m1
m2
m3
p1
p2
p3
7
3
3
2 0 28 27 12 12 79 0 .
2 3 2
Отсюда следует, что прямые
б)
2
1
: m2;1;4 , М1(1;7;3)
2
:
1
и
2
скрещиваются.
p 3; 2;1 , М2(6;–1;–2)
Найдем определитель:
5 8 5
2
1
3 2
4 5 20 96 15 16 40 0 .
1
Следовательно, прямые лежат в одной плоскости. Векторы m и p – не
коллинеарны, значит прямые
в)
1
1
и
2
– пересекаются.
: m9;5;1 , М1(0;0;–3)
67
2
i
j k
p n1 , n2 2 3 3 9i 5 j k , т.е. p 9; 5; 1 .
1 2 1
:
Найдем какую-нибудь точку М2, принадлежащую прямой
2
. Пусть,
например, z = –2. Тогда x = 9, y = 5. Точка М2(9;5;–2) принадлежит прямой
2
.
Найдем определитель:
9
5
1
9
5
1 0.
9 5 1
Следовательно, прямые
и
1
2
p – коллинеарны, значит прямые
Вектор
M1M 2 9; 5; 1
1
лежат в одной плоскости. Векторы m и
и
2
либо параллельны, либо совпадают.
коллинеарен
p 9; 5; 1 , поэтому прямые
1
и
2
вектору
2
1
и
вектору
совпадают.
Задача 2. Написать уравнения прямой
параллельными прямыми
m9;5;1
, проходящей посередине между
x 2t 5,
и 2 , заданными уравнениями: 1 : y t 2, и
z t 7;
x 3 y z 2 0,
:
x y 3z 2 0.
Решение:
p
.
.
.
М1
1
А
2
М2
В качестве направляющего вектора
прямой
можно взять вектор
p 2; 1;1 , так как 1 2 . Прямая
проходит через середину отрезка с
концами на прямых 1 и 2 . В качестве
одного конца отрезка возьмем точку
М1(5;2;–2) 1 .
Для определения координат точки М2
2
положим, например, x0 = 1. Тогда,
3 y z 3 0,
получим z0 = 0, y0 = –1. Отсюда М2(1;–1;0).
y
3
z
1
0,
68
Вычислим координаты середины отрезка М1М2:
5 1
2 1 1
7
1 7
А(3; ; ).
3 ; yA
; zA
2
2
2
2
2 2
Уравнение прямой , проходящей через точку А с направляющим
xA
вектором p имеет вид:
1
7
z
x 3
2
2.
2
1
1
y
Задача
3.
Найти
угол
между
прямыми
3 x 4 y 2 z 0,
2 x y 2 z 1 0,
и
4 x y 6 z 2 0,
y 3 z 2 0.
Решение.
Найдем направляющие векторы этих прямых:
i
j
k
p1 n1 , n2 3 4 2 10i 2 j 11k ,
2 1 2
i j k
p2 n1 , n2 4 1 6 3i 12 j 4k .
0 1 3
Косинус угла между данными прямыми:
p1 p2
10 3 12 2 4 11
98
,
p1 p2
100 4 121 9 144 16 195
cos
( 1,
2
) arccos
98
.
195
Задача 4. Составить канонические уравнения прямой, лежащей в плоскости
XOZ, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой
x 2 y 1 z 5
.
3
2
1
Решение.
69
Пусть a a1; a2 ; a3 – направляющий вектор искомой прямой
. Прямая
лежит в плоскости XOY, поэтому проекция вектора a на ось Oy равна
нулю, т.е. a2 = 0. Из условия перпендикулярности прямой данной прямой
d
следует, что их направляющие векторы
a a1;0; a2
и
d 3; 2;1
перпендикулярны, т.е. 3a1 a2 0 .
Поскольку направляющий вектор a задается с точностью до
множителя, можно одну из координат выбрать произвольно. Например,
положим a3 = 3, получим a1 = –1, следовательно, a 1;0;3 .
Искомая прямая проходит через начало координат О(0;0;0), поэтому
ее канонические уравнения:
x y z
.
1 0 3
x 1 y 2 z
x 1 y 1 z 6
и
2
1
2
1
2
1
пересекаются. Найти точку их пересечения.
Решение.
Точка М1(1;–2;0) принадлежит первой прямой, а М2(–1;–11;–6) – второй.
Задача 5. Доказать, что прямые
Найдем
смешанное
произведение
векторов
направляющих векторов данных прямых
M M ,
1
2
1
,
2
1
M1M 2 2; 9; 6
и
2; 1; 2 и 2 1;2;1 .
2 9 6
2
1 2 2 3 9 4 6 5 0 .
1
2
1
Следовательно, эти векторы компланарны, и две прямые лежат в одной
плоскости. Поскольку векторы
1
и
2
неколлинеарны (их координаты
непропорциональны), то прямые не параллельны, т.е. не пересекаются.
Найдем точку пересечения прямых. Для этого приведем уравнение
одной из прямых к параметрическому виду и из уравнения второй прямой
найдем значение параметра t , отвечающего точке пересечения.
Параметрические уравнения первой прямой имеют вид:
x 1 2t , y 2 t , z 2t .
70
Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнения второй прямой,
получим:
2 2t 9 t 6 2t
, откуда t 1 .
1
2
1
Следовательно, точка пересечения имеет координаты:
x 1 2 1 3 , y 2 1 3 , z 2 1 2 .
Ответ: (3;–3;–2).
Задача 6. Доказать, что прямые x 2 4t , y 6t , z 1 8t
и
x 7 6t ,
y 2 9t , z 12t лежат в одной плоскости, и написать уравнение этой
плоскости.
Решение.
Точка М1(2;0;–1) принадлежит первой прямой, а точка М2(7;2;0)
второй. Найдем смешанное произведение векторов M 1M 2 и направляющих
векторов прямых d1 4; 6; 8 и d2 6;9;12 .
M M ,d ,d
1
2
1
5
2
4
6 8 5 0 2 0 1 0 0 .
6
9
2
1
12
Следовательно, векторы компланарны и две прямые лежат в одной
плоскости.
Векторы
и
d1
d2
–
коллинеарны
(их
координаты
пропорциональны). Следовательно, прямые параллельны.
d1
П
М1
Плоскость П проходит через точки М1, М2
d 2 ).
параллельно векторам d1 и d 2 ( d1
d2
Проверим, что векторы M 1M 2 и d1 –
неколлинеарны.
М2
M1M 2 5;2;1 , d1 4; 6; 8 . Поскольку координаты векторов M 1M 2 и
d1 – непропорциональны, эти векторы неколлинеарны. Воспользуемся
уравнением плоскости, заданной точкой М1 и направляющими векторами
M 1M 2 и d 1 :
x2
y
z 1
5
2
1 0,
4
6
8
71
( x 2) (10) y (44) ( z 1) (38) 0 .
Отсюда, 5 x 22 y 19 z 9 0 – уравнение искомой плоскости.
V. Задачи для самостоятельной работы.
2 x y z 1 0,
1. Доказать, что: а) прямая
пересекает ось Oy;
x
2
y
3
z
2
0
б)
прямая
x y z 1 0,
x 2 y 4z 0
пересекает
координатные
плоскости. Определить координаты точек пересечения.
x 1 2t ,
2. Установить взаимное расположение следующих пар прямых: а) y 7 t ,
z 3 4t
x 6 3t ,
и y 1 2t ,
z 2 t ;
x 9t ,
2 x 3 y 3 z 9 0,
б) y 5t ,
и
x 2 y z 3 0;
z 3 t
x z 8 0,
и
;
2 y 3 z 7 0;
2 x 3 y 0,
в)
z 4 0
x t,
x y z 0,
г) y 8 4t , и
2 x y 2 z 0.
z 3 3t
x y 3 z 1 0,
3. Доказать, что прямые
2 x y 9 z 2 0
и
2 x y 2 z 2 0,
2 x 2 y z 2 0
пересекаются. Написать уравнение плоскости, проходящей через эти
прямые.
4. Доказать, что следующие пары прямых параллельны: а) x 1 2t , y t ,
x 3 y z 2 0,
z 1 t и
x y 3z 2 0;
б)
x y z 0,
x 2 y 1 z
и
3
2 1
x y 5 z 8 0.
Составить уравнения плоскостей, проходящих через каждую пару прямых.
5. Доказать, что прямые взаимно перпендикулярны:
а)
x y 1 z
1
2
3
x 1 2t ,
y 2 3t ,
z 1 6t ;
и
3 x y 5 z 1,
2 x 3 y 8 z 3 0;
2 x y 4 z 2 0,
б)
4 x y 5 z 4 0
x y 3 z 1 0,
2 x y 2 z 5 0,
в)
и
2 x y 9 z 2 0
2 x 2 y z 2 0.
72
и
6. Найти угол между прямыми: а)
x 3z 7 0,
б)
y 0
x3 y 2
z
1
1
2
x 2 z 5 0,
y 0;
и
и
x2 y 3 z 5
;
1
1
2
3x 4 y 2 z 0,
в)
2 x y 2 z 0
и
4 x y 6 z 2 0,
y 3 z 2 0.
7. Вычислить углы, образованные противоположными ребрами тетраэдра с
вершинами: A(3;–1;0), B(0;–7;3), C(–2;1;–1), Д(3;2;6).
8. Через точку (2;–5;3) провести прямую:
1) параллельную оси Oz;
2) параллельную прямой
x 1 y 2 z 3
;
4
6
9
2 x y 3 z 1 0,
3) параллельную прямой
.
5
x
4
y
z
7
0
9. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(3;–2;0)
перпендикулярно
к
прямой
x 1 y z 2
2
1
3
и
расположенной
плоскости XOY.
10. Составить уравнения прямой, проходящей через точку
в
N(1;2;–1)
параллельно линии пересечения плоскостей 3x 2 y 2 z 1 0
и
x y z 0.
x y 2 z 1 0,
11. Доказать, что следующие прямые
2 x y z 2 0
и
x y z 0,
2 x 3z 0
скрещиваются.
x y z 4 0,
12. Доказать, что прямые
2 x 3 y z 5 0
и
x 3 y 3 z 1
4
1
2
пересекаются и найти их точку пересечения.
x 2 y z 1
,
2
3
4
они пересекаются?
13. Даны прямые
x 3
73
y 1 z 7
; при каком значении
4
2
Занятие № 10.
Тема: Поверхности вращения.
Цилиндрические поверхности
I.
Теоретические сведения.
1. Поверхности вращения.
Определение. Поверхностью
вращения
называется
поверхность,
образованная вращением плоской линии вокруг оси, лежащей в плоскости
этой линии.
z
Пусть xOz , тогда ее можно задать
уравнениями
x f ( z ),
y 0.
Уравнение
x
O
образованной
поверхности,
вращением
линии
вокруг оси Oz будет иметь вид:
y
x 2 y 2 f 2 ( z)
(1)
2. Цилиндрические поверхности.
Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия и вектор p , не
параллельный плоскости этой линии.
Определение. Цилиндрической поверхностью называется множество
точек пространства, лежащих на прямых параллельных данному вектору p и
пересекающих данную линию .
Линия называется направляющей цилиндрической поверхности,
прямые называются образующими.
Рассмотрим
частный
z
направляющая линия лежит в плоскости xOy:
p
F ( x, y) 0,
а
z
0
направляющий вектор образующих имеет
координаты p{ p1 , p2 , p3 } , p3 0 .
и
y
O
x
случай:
задается
уравнениями:
В этом случае уравнение цилиндрической
74
поверхности имеет вид
p
p
F x 1 z , y 2 z 0 .
p3
p3
(2)
II. Упражнения.
1. Получите уравнение поверхности вращения (1).
2. Получите уравнение цилиндрической поверхности (2).
III.
Основные типовые задачи.
1) Составление уравнения поверхности вращения по уравнениям
направляющей и оси вращения.
2) Составление уравнения цилиндрической поверхности по уравнениям
направляющей и направляющему вектору образующих.
Примеры решения задач.
Задача 1. В плоскости yOz дана окружность с центром в точке (0; 4; 0)
радиуса 1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением
данной окружности вокруг оси Oz.
Решение.
Уравнения окружности,
z
лежащей в плоскости yOz с
центром в точке (0; 4; 0)
радиуса 1, имеют вид
y
IV.
N
P
O
( y 4) 2 z 2 1,
(3)
x
0
.
M
y
При
вращении
этой
окружности вокруг оси Oz
получается
поверхность,
называемая тором. Пусть М –
x
x
произвольная точка на торе. Проведем через точку М плоскость ,
перпендикулярную оси вращения, т.е. оси Oz, в сечении получим
окружность. Обозначим центр этой окружности P, а точку пересечения
плоскости с окружностью, образующей поверхность вращения, – N.
Обозначим координаты точки M(x, y, z), тогда P(0, 0, z), а N(0, y0 , z). Так
как точки M и N лежат на окружности с центром в точке P, то
PM PN ,
PM 2 PN 2 .
75
Последнее равенство запишем в координатах
x 2 y 2 y0 .
2
(4)
Точка N лежит на окружности, при вращении которой образуется тор,
значит ее координаты должны удовлетворять уравнениям (3), запишем
первое уравнение системы (3)
( y0 4) 2 z 2 1,
y 0 8 y 0 16 z 2 1 ,
2
y 0 z 2 15 8 y 0 .
2
Возведем последнее равенство в квадрат.
y
2
0
2
z 2 15 64 y0
2
и подставим выражение для y 0 из равенства (4), получим
x
2
y 2 z 2 15 64x 2 y 2
2
2
(5)
Уравнение (5) – искомое.
Ответ: x 2 y 2 z 2 15 64x 2 y 2 .
2
2
Задача 2. Составить уравнение цилиндрической поверхности, если
x2 y2
1, а
направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение
5
4
образующие параллельны вектору {1; 2; –1}.
Решение.
Пусть точка M(x, y, z) – произвольная точка цилиндрической
поверхности. Проведем через точку М образующую l, она пересекает
направляющую в точке N ( x0 , y 0 , z 0 ) . Так как направляющая лежит в
плоскости xOy, то z 0 0 . Составим канонические уравнения прямой l
x x0 y y 0
z
.
1
2
1
Приравняем первую и вторую дроби к последней
x x0 z ,
y y 0 2 z ,
x0 x z ,
y 0 y 2 z.
76
(6)
Точка N лежит на направляющей, значит ее координаты удовлетворяют
ее уравнению:
2
2
x0
y
0 1.
5
4
Подставляя выражения для x 0 и y 0 из системы (6), получим
( x z) 2 ( y 2 z) 2
1.
5
4
(7)
(7) – искомое уравнение.
V.
( x z) 2 ( y 2 z) 2
1.
Ответ:
5
4
Задачи для самостоятельного решения.
1) Составить уравнение поверхности,
образованной
вращением
параболы z 2 10 y , х=0 вокруг оси Oz.
2) Составить уравнение поверхности, образованной вращением вокруг
оси Oy каждой из следующих кривых, расположенной в плоскости
xOy:
x2 y2
а) эллипса 2 2 1;
a
b
x2 y2
б) гиперболы 2 2 1 ;
a
b
в) параболы x 2 2 py .
3) Написать уравнение поверхности, образованной вращением
синусоиды z sin x вокруг оси Oz.
4) Напишите уравнение поверхности, образованной вращением прямой
x 2 y 4 z 0 , z 0 вокруг оси Ox.
5) Докажите, что поверхность, образованная вращением вокруг оси Oz
линии l, заданной уравнениями x f1 ( z ), y f 2 ( z ) , имеет уравнение
x 2 y 2 f1 ( z ) f 2 ( z ) .
2
2
6) Составить уравнение цилиндрической поверхности в каждом из
следующих случаев:
а) Направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение
x 2 2 xy 3 y 2 x 0 , а образующие параллельны вектору {1; 0; 1};
77
б) направляющая лежит в плоскости yOz и имеет уравнение
y 2 yz 5 0 , а образующие параллельны оси Ox;
в) направляющая лежит в плоскости xOz и является окружностью
( x 1) 2 z 2 4 , а образующие параллельны оси Oy.
7) Напишите уравнение цилиндрической поверхности, если:
x 1,
а) направляющая задана уравнениями 2
а образующая
2
2 y 3 z 1,
параллельна вектору p{1; 2; 3} ;
y 0,
б) направляющая задана уравнениями 2
а образующая
2
x
4
z
1
0
,
параллельна прямой x=y=z.
8) Напишите уравнение цилиндрической поверхности, направляющая
которой задана уравнениями
( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 25,
x y z 2 0,
а
образующая параллельна оси Ox.
9) Напишите уравнение цилиндрической поверхности, направляющая
которой
задана
уравнениями
x 2 z,
2
2
x y z ,
а
образующая
перпендикулярна плоскости направляющей.
10)
Цилиндр, образующие которого перпендикулярны плоскости
x y 2 z 5 0 , описан около сферы x 2 y 2 z 2 1. Составить
уравнение этого цилиндра.
11)
Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения,
если ось вращения совпадает с осью Oz, а радиус r=5.
12)
Составить уравнение круговой цилиндрической поверхности,
если известны уравнения ее оси x 7 3t , y 1 4t , z 3 2t и
координаты одной из ее точек M (2;1; 0) .
13)
Написать уравнение круговой цилиндрической поверхности, если
известны уравнения ее оси l и координаты одной из ее точек М:
а) l : x 5 2t , y 1 t , z 3 2t , М(2; 0; 1);
б) l:
x 1 y 2 z 2
, М(2; –1; 1).
3
2
1
78
Занятие № 11.
Тема: Конические поверхности.
Теоретические сведения.
I.
Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия и точка S, не
лежащая в плоскости этой линии.
Определение. Конической поверхностью называется множество точек
пространства, лежащих на прямых проходящих через данную точку S и
пересекающих данную линию .
Линия называется направляющей конической поверхности, точка S –
вершиной, прямые называются образующими.
Рассмотрим частный случай: вершина S совпадает с началом координат,
направляющая линия лежит в плоскости,
z
параллельной плоскости xOy: z=c, и задается
уравнением: F ( x, y) 0 .
O
y
В этом случае
поверхности имеет вид
уравнение
cx cy
F , 0 .
z z
x
конической
(1)
Если направляющая является эллипсом с
центром на оси Oz,
x2 y2
2 2 1,
b
a
z c,
то получаем поверхность, называемую конусом второго порядка, уравнение
этой поверхности имеет вид:
x2 y2 z2
0.
a2 b2 c2
Ось Oz в этом случае является осью конуса второго порядка.
(2)
Сечения конуса второго порядка:
Пусть плоскость не проходит через вершину конуса второго порядка,
тогда плоскость пересекает конус:
а) по эллипсу, если пересекает все образующие конуса;
79
б) по гиперболе, если параллельна двум образующим конуса;
в) по параболе, если параллельна одной образующей конуса.
II.
Упражнения.
2. Получите уравнение конической поверхности (1).
3. Получите уравнение конической поверхности второго порядка (2).
III. Основные типовые задачи.
Составление уравнения конической поверхности по координатам
вершины и уравнению направляющей.
IV. Примеры решения задач.
Задача 1. Написать уравнение конической поверхности, вершина которой
находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями
x 2 2 z 1 0,
y z 1 0.
Решение.
Пусть точка M(x, y, z) – произвольная точка конической поверхности.
Проведем через эту точку образующую l, она пересечет направляющую в
точке
N ( x0 , y 0 , z 0 ) . Запишем канонические уравнения прямой l, как
уравнения прямой, проходящей через точку N и вершину конуса О(0, 0, 0)
x0
y0
z 0
,
x0 0 y 0 0 z 0 0
x
y
z
.
x0 y 0 z 0
Или
z
x
,
x
0 z0
x z.
x0 z 0
x
y
z 0 , y0 z0 . Т.к. точка
z
z
N лежит на направляющей конической поверхности, то ее координаты
должны удовлетворять уравнениям направляющей:
Выразим из последней системы x 0 и y 0 : x0
x0 2 2 z0 1 0,
y0 z0 1 0.
80
(3)
Подставим найденные выражения во второе уравнение системы (3)
y
z0 z0 1 0 ,
z
y
z 0 1 1 ,
z
yz
z0
1 ,
z
z
.
zy
(4)
x
x
y
y
, y0 z 0
.
z0
z
zy
z
zy
(5)
z0
Тогда
x0
Подставляем (4) и (5) в первое уравнение системы (3)
2
x
z
1 0 ,
2
z
y
z
y
x 2 2 z ( z y) ( z y) 2 0 ,
x2 y2 z 2 0.
Полученное уравнение является искомым уравнением конической
поверхности.
V.
Задачи для самостоятельного решения.
1) Написать уравнение конической поверхности, если:
а) направляющая в плоскости xOy задана уравнением x 2 y 2 y 0 , а
вершина имеет координаты (1; 0; 1);
б) направляющая в плоскости xOy задана уравнением x 2 y 2 16 , а
вершина имеет координаты (0; 0; 1);
x2 y2
1, а
в) направляющая в плоскости xOy задана уравнением
25 9
вершина имеет координаты (0; 0; 1).
x2 y2
г) направляющая в плоскости xOy задана уравнением 2 2 1, а
a
b
вершина имеет координаты (0; 0; с).
81
2) Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке
S(1; 2; 4), образующие которой составляют с плоскостью
2 x 2 y z 0 угол =45.
3) Написать уравнение конической поверхности, направляющая которой
x 2 y 2 z 2 1,
задана уравнениями
а вершина находится в точке
x
y
z
0
,
(3;1;2) .
4) Найти уравнение конической поверхности с вершиной в начале
координат, которая проходит через линию пересечения:
x2 y2
z 2 1 и сферы x 2 y 2 z 2 5 ;
а) гиперболоида
4
3
x2 y2
z 2 1 и плоскости 2 x y 4 z 2 0 .
б) эллипсоида
2
4
5) Напишите уравнение круговой конической поверхности,
если
известны уравнения ее оси l: x 0, y 0, z t и координаты одной из
ее точек М(3; –4; 5).
6) Доказать, что уравнение z 2 xy определяет конус с вершиной в
начале координат.
82
Занятие № 12.
Тема: Эллипсоид.
I.
Теоретические сведения.
Определение. Эллипсоидом называется множество точек пространства,
координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют
следующему уравнению
x2 y2 z2
1.
(1)
a2 b2 c2
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Числа a,b,c>0 – полуоси эллипсоида.
Из уравнения эллипсоида можно получить ряд свойств:
1) Все точки эллипсоида расположены внутри прямоугольного
параллелепипеда, ограниченного плоскостями
x a ,
y b ,
z c .
2) Плоскости симметрии эллипсоида: xOy, yOz, xOz;
оси симметрии эллипсоида: Ox, Oy, Oz;
центр симметрии эллипсоида: начало координат.
3) Вершинами поверхности называются точки пересечения с осями
A2 ( a;0;0), B1 (0; b;0) ,
симметрии. Вершины эллипсоида: A1 (a;0;0),
B2 (0;b;0) , C1 (c;0;0) , C 2 (0;0;c) .
Исследование эллипсоида методом сечений.
Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями, параллельными
плоскостям симметрии.
1) Сечение плоскостью , параллельной плоскости xOy .
z h,
2
x
y2 z2
a 2 b 2 c 2 1.
(2)
x2 y2
h2
1 2 .
a2 b2
c
(3)
Или
83
а) Если h (c; c) , то линия пересечения эллипс, в частности, если
x2 y2
h 0 , то xOy , и в сечении мы получаем эллипс 2 2 1;
a
b
б) если h (;c) (c;) , то линия пересечения мнимый эллипс;
в) если h c , то линия пересечения пара мнимых пересекающихся
прямых с действительной точкой пересечения.
2) Сечение плоскостью , параллельной плоскости xOz .
y h,
2
x
y2 z2
a 2 b 2 c 2 1.
(4)
Или
x2 z2
h2
1 2 .
(5)
a2 c2
b
а) Если h (b; b) , то линия пересечения эллипс, в частности, если
x2 z2
h 0 , то xOz , и в сечении мы получаем эллипс 2 2 1 ;
a
c
б) если h (;b) (b;) , то линия пересечения мнимый эллипс;
в) если h b , то линия пересечения пара мнимых пересекающихся
прямых с действительной точкой пересечения.
3) Сечение плоскостью , параллельной плоскости yOz .
x h,
2
x
y2 z2
a 2 b 2 c 2 1.
(6)
Или
y2 z2
h2
1 2 .
(7)
b2 c2
a
а) Если h (a; a) , то линия
z
c
пересечения эллипс, в частности,
если h 0 , то y yOz , и в сечении
a O
b
y
y2 z2
мы получаем эллипс 2 2 1 ;
b
c
б) если h (;a) (a;) , то
x
линия пересечения мнимый эллипс;
Рис.1
84
в) если h a , то линия пересечения пара мнимых пересекающихся
прямых с действительной точкой пересечения.
На рис.1 показаны сечения эллипсоида координатными плоскостями.
II.
4.
5.
6.
7.
Упражнения.
Покажите, что координатные плоскости являются плоскостями
симметрии эллипсоида.
Покажите, что координатные оси являются осями симметрии
эллипсоида.
Покажите, что начало координат является центром симметрии
эллипсоида.
Найдите уравнение линии, образующейся при пересечении
x2 y2 z2
1 с плоскостью xOy.
эллипсоида
4
9
5
x2 y2 z2
1 и плоскость x 2 ?
8. Пересекаются ли эллипсоид
2
4
3
III. Основные типовые задачи.
9. Составление канонического уравнения эллипсоида.
10.Исследование сечений эллипсоида.
IV. Примеры решения задач.
Задача 1. Написать каноническое уравнение эллипсоида, который
проходит через точку M (2, 0, 1) и пересекает плоскость xOy по эллипсу
x2 y2
1.
8
1
Решение.
Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
Плоскость xOy пересекает эллипсоид по эллипсу
x2 y2 z2
1.
a2 b2 c2
x2 y2
1. По условию это
a2 b2
x2 y2
1 . Следовательно, a 2 8 , b 2 1 . Таким
уравнение имеет вид
8
1
образом, уравнение эллипсоида принимает вид
x2 y2 z2
1.
8
1 c2
85
(8)
По условию точка M (2, 0, 1) принадлежит эллипсоиду, следовательно
ее координаты удовлетворяют уравнению
координаты точки M в уравнение (8), получаем
эллипсоида.
Подставляя
2 2 0 2 12
2 1,
8
1 c
откуда
1 1 2
, c 2.
c2 2
Следовательно, искомое уравнение эллипсоида имеет вид
x2 y2 z2
1.
8
1
2
x2 y2 z2
1.
8
1
2
Задача 2. Установить, что плоскость z 3 0 пересекает эллипсоид
Ответ:
x2 y2 z 2
1 по эллипсу, найти его полуоси и вершины.
81 64 25
Решение.
Координаты общих точек эллипсоида и плоскости удовлетворяют
системе уравнений:
z 3 0,
2
x
y2 z2
81 64 25 1.
Выразив из первого уравнения z и подставив его во второе, получим
x 2 y 2 16
,
81 64 25
x2
y2
1.
81 16 64 16
25
25
Последнее уравнение определяет в плоскости z 3 0 , эллипс, вершина
которого лежит на оси Oz, большая полуось равна
9 4 36
, а малая
5
5
8 4 32
. Следовательно, вершины этого эллипса имеют
5
5
36
36
32
32
координаты A1 ( , 0, 3) , A2 ( , 0, 3) , B1 (0, , 3) , B2 (0, , 3) .
5
5
5
5
полуось –
86
V.
11.
Задачи для самостоятельного решения.
Написать каноническое уравнение эллипсоида, который:
а) проходит через точку N (1, 3, 3 ) и пересекает плоскость yOz по
y2 z2
1;
эллипсу
5 20
б) проходит через точку M (3, 1, 0) и пересекает плоскость xOz по
x2 z2
1;
эллипсу
16 4
1 1
в) проходит через точку M (1, , ) и пересекает плоскость yOz по
2 4
эллипсу y 2 4 z 2 1 ;
г) пересекает плоскость yOz по эллипсу
y2 z2
1 , а плоскость xOy
25 2
по окружности x 2 y 2 25 .
д) пересекает плоскость xOz по эллипсу
y2 z2
1 , а плоскость yOz
49 16
y2 z2
1.
по эллипсу
49 16
12.
Написать каноническое уравнение эллипсоида, проходящего
через точки (2, 2, 4), (0, 0, 6), (2, 4, 2).
13.
14.
x2 y2 z2
1.
Исследовать методом сечений эллипсоид
25 16 4
Установить, что плоскость x 2 0 пересекает эллипсоид
x2 y2 z2
1 по эллипсу, найти его полуоси и вершины.
16 12 4
x2 y2 z2
1 имеет одну общую
15.
Доказать, что эллипсоид
81 36 9
точку с плоскостью 4 x 3 y 12 z 54 0 , и найти ее координаты.
16.
Даны вершины эллипсоида A1 (8,0,0) и A(2,0,0) . Написать
уравнение этого эллипсоида, зная, что плоскость yOz пересекает его
по эллипсу
y2 z2
1.
9
4
87
Занятие № 13.
Тема: Гиперболоиды.
Теоретические сведения.
1. Однополостный гиперболоид.
Определение. Однополостным гиперболоидом называется множество
точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат
удовлетворяют следующему уравнению
I.
x2 y2 z2
1.
(1)
a2 b2 c2
Уравнение (1) называется каноническим уравнением однополостного
гиперболоида.
Из уравнения гиперболоида можно получить ряд свойств:
1) Однополостный гиперболоид фигура неограниченная.
2) Плоскости симметрии однополостного гиперболоида: xOy, yOz, xOz;
оси симметрии однополостного гиперболоида: Ox, Oy, Oz;
центр симметрии однополостного гиперболоида: начало координат.
3) Вершинами поверхности называются точки пересечения с осями
симметрии.
Вершины
однополостного
гиперболоида:
A1 (a;0;0),
A2 ( a;0;0), (точки пересечения с осью Ox) B1 (0; b;0) , B2 (0;b;0) (точки
пересечения с осью Oy), ось Oz однополостный гиперболоид не пересекает.
Исследование однополостного гиперболоида методом сечений.
1) Сечение плоскостью , параллельной плоскости xOy .
z h,
2
x
y2 z2
a 2 b 2 c 2 1.
(2)
Или
x2 y2
h2
1
.
(3)
a2 b2
c2
Из уравнении (3) следует, что при всех значениях h сечением
однополостного гиперболоида является эллипс.
2) Сечение плоскостью , параллельной плоскости xOz .
88
y h,
2
x
y2 z2
a 2 b 2 c 2 1.
(4)
Или
x2 z2
h2
1
.
(5)
a2 c2
b2
а) Если h (b; b) , то линия пересечения гипербола, действительная
ось которой параллельна оси Ох. В частности, если h 0 , то xOz , и
x2 z2
в сечении мы получаем гиперболу 2 2 1 ;
a
c
б) если h (;b) (b;) , то линия пересечения гипербола,
действительная ось которой параллельная оси Oz;
в) если h b , то линия пересечения пара действительных
пересекающихся прямых.
3) Сечение плоскостью , параллельной плоскости yOz .
x h,
2
x
y2 z2
a 2 b 2 c 2 1.
(6)
Или
y2 z2
h2
1 2 .
b2 c2
a
а) Если
(7)
h (a; a) ,
то
линия
пересечения
гипербола,
действительная
ось
которой
параллельна оси Оy. В частности, если
z
h 0 , то yOz , и в сечении мы
O
y
y2 z2
получаем гиперболу 2 2 1 ;
b
c
б) если h (;a) (a;) , то
линия
пересечения
действительная
ось
параллельная оси Oz;
x
Рис.2
89
гипербола,
которой
в) если h a , то линия пересечения пара действительных
пересекающихся прямых.
2. Двуполостный гиперболоид.
Определение. Двуполостным гиперболоидом называется множество
точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат
удовлетворяют следующему уравнению
x2 y2 z2
1.
(8)
a2 b2 c2
Уравнение (8) – каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
Из уравнения гиперболоида можно получить ряд свойств:
1) Внутри полосы, ограниченной плоскостями z c , точек
гиперболоида нет;
3) Плоскости симметрии двуполостного гиперболоида: xOy, yOz, xOz;
оси симметрии двуполостного гиперболоида: Ox, Oy, Oz;
центр симметрии двуполостного гиперболоида: начало координат.
3) Вершины двуполостного гиперболоида: C1 (0;0; c), C2 (0;0;c), (точки
пересечения с осью Oz), оси Ox и Oy двуполостный гиперболоид не
пересекает.
Исследование двуполостного гиперболоида методом сечений.
1) Сечение плоскостью , параллельной плоскости xOy .
z h,
2
x
y2 z2
a 2 b 2 c 2 1.
(9)
Или
x2 y2
h2
1 2 .
a2 b2
c
а) Если h (c; c) , то линия пересечения мнимый эллипс;
(10)
б) если h (;c) (c;) , то линия пересечения эллипс;
в) если h c , то линия пересечения пара мнимых пересекающихся
прямых с действительной точкой пересечения.
2) Сечение плоскостью , параллельной плоскости xOz .
y h,
2
x
y2 z2
a 2 b 2 c 2 1.
90
(11)
Или
x2 z2
h2
1 2 .
(12)
a2 c2
b
При любом значении h получаем гиперболу с действительной осью
параллельной оси Oz. В частности, если h 0 , то xOz , и в сечении
мы получаем гиперболу
x2 z2
1 ;
a2 c2
3) Сечение плоскостью , параллельной плоскости yOz .
x h,
2
x
y2 z2
a 2 b 2 c 2 1.
(13)
Или
y2 z2
h2
1 2 .
(14)
b2 c2
a
При любом значении h получаем
z
гиперболу с действительной осью
параллельной оси Oz. В частности,
если h 0 , то yOz , и в сечении мы
O
y
y2 z2
получаем гиперболу 2 2 1 .
b
c
x
Рис.3
II. Упражнения.
1. Покажите, что координатные плоскости являются плоскостями
симметрии однополостного (двуполостного) гиперболоида.
2. Покажите, что координатные оси являются осями симметрии
однополостного (двуполостного) гиперболоида.
3. Покажите, что начало координат является центром симметрии
однополостного (двуполостного) гиперболоида.
91
4. Найдите
уравнение
линии,
образующейся
при
пересечении
x2 y2 z2
1 с плоскостью xOy.
гиперболоида
4
9
5
5. Найдите уравнение линии, образующейся
при
пересечении
x2 y2 z2
1 с плоскостью xOz.
гиперболоида
4
9 16
III. Основные типовые задачи.
1. Составление канонического уравнения гиперболоида.
2. Исследование сечений гиперболоида.
IV. Примеры решения задач.
Задача 1. Написать каноническое
уравнение
однополостного
x2 y2
1, а
гиперболоида, если он пересекает плоскость xOy по эллипсу
16 9
y2 z2
1.
плоскость yOz по гиперболе
9
4
Решение.
Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид
x2 y2 z2
1 . Уравнение плоскости xOy: z=0. Следовательно, уравнение
a2 b2 c2
линии пересечения плоскости и гиперболоида ищем как решение системы
z 0,
2
x
y2 z2
a 2 b 2 c 2 1.
Получаем уравнение эллипса, лежащего в плоскости xOy
x2 y2
1.
a2 b2
По условию задачи этот эллипс задан уравнением
x2 y2
1 . Значит,
16 9
a 2 16, b 2 9 .
Проводя аналогичные рассуждения, можно получить уравнение
гиперболу, получающейся в сечении гиперболоида с плоскостью yOz
y2 z2
1.
b2 c2
92
y2 z2
1 . Следовательно, b 2 9, c 2 4 .
По условию, это гипербола
9
4
Таким образом, искомое уравнение гиперболоида имеет вид
x2 y2 z2
1.
16 9
4
x2 y2 z2
1.
Ответ:
16 9
4
Задача 2. Напишите уравнение плоскости, параллельной плоскости yOz
x2 y2 z2
1 по гиперболе,
и пересекающей однополостный гиперболоид
9
4
1
действительная полуось которой равна 1.
Решение.
Уравнение плоскости параллельной плоскости yOz имеет вид x=h.
Линия пересечения этой плоскости с гиперболоидом задается системой
x h,
2
x
y2 z2
9 4 1 1.
Откуда получаем уравнение
y2 z2
h2
1 ,
4
1
9
9y2
9z 2
1.
4(9 h 2 ) (9 h 2 )
Последнее уравнение – это каноническое уравнение гиперболы,
2 (9 h 2 )
действительная полуось которой равна
. По условию она равна 1.
3
2 (9 h 2 )
1,
3
9
9 h2 ,
4
27
h2 ,
4
h
93
3 3
.
2
Следовательно, искомая плоскость имеет уравнение x
3 3
.
2
3 3
.
2
V.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Написать каноническое уравнение однополостного гиперболоида,
если поверхность:
Ответ: x
а) проходит через точку ( 5 ,3,2) и пересекает плоскость xOz по
x2 z2
1;
гиперболе
5
4
б) пересекает плоскость xOy по окружности x 2 y 2 9 , а плоскость
x2 z2
1.
xOz по гиперболе
9 10
2. Написать уравнение двуполостного гиперболоида в канонической
системе
координат,
если
точки
M 1 (3, 1, 2) ,
M 2 (2, 11, 3)
и
M 1 (6, 2, 15 ) лежат на данной поверхности.
3. Найти множество точек, для каждой из которых модуль разности
расстояний от двух данных точек (0, 0, 3), (0, 0, –3) есть величина
постоянная, равная 4.
4. Определите вид линии пересечения однополостного гиперболоида
x2 y2 z2
1 и плоскости z 1 0 .
32 18 2
x2 y2 z2
1 имеет
3
4 25
одну общую точку с плоскостью 5x 2 z 5 0 , и найти ее
5. Доказать, что двуполостный гиперболоид
координаты.
6. Найти точки пересечения поверхности
x
y
z2
.
4 3
4
94
x2 y2 z2
1 и прямой
16 9
4
Занятие № 14.
Тема: Параболоиды.
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
Теоретические сведения.
1. Эллиптический параболоид.
Определение. Эллиптическим параболоидом называется множество
точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат
удовлетворяют следующему уравнению
I.
x2 y2
2z .
(1)
a2 b2
Уравнение (1) – каноническое уравнение эллиптического параболоида.
Из уравнения параболоида следует:
1) Все точки эллиптического параболоида лежат выше плоскости xOy;
2) Плоскости симметрии эллиптического параболоида: yOz, xOz;
ось симметрии эллиптического параболоида: Oz;
центра симметрии у эллиптического параболоида нет.
3) Вершина эллиптического параболоида: О(0; 0; 0) – начало
координат.
Исследование эллиптического параболоида методом сечений.
1) Сечение плоскостью , параллельной плоскости xOy .
z h,
2
x
y2
a 2 b 2 2 z.
(2)
Или
x2 y2
2h .
a2 b2
а) Если h 0 , то линия пересечения эллипс;
б) если h 0 , то линия пересечения мнимый эллипс;
(3)
в) если h 0 , то линия пересечения пара мнимых пересекающихся
прямых с действительной точкой пересечения.
2) Сечение плоскостью , параллельной плоскости xOz .
95
y h,
2
x
y2
a 2 b 2 2 z.
(4)
Или
При
любом
x2
h2
2
z
.
a2
b2
значении h получаем
(5)
параболу,
ось
которой
параллельна оси Oz, В частности, если h 0 , то xOz , и в сечении
x2
мы получаем параболу 2 2 z ;
a
3) Сечение плоскостью , параллельной плоскости yOz .
x h,
2
x
y2
a 2 b 2 2 z.
z
(6)
Или
y2
h2
2z 2 .
(7)
b2
a
При любом значении h получаем
O
y
параболу, ось которой параллельна оси
Oz, ветви направлены вверх. В
частности, если h 0 , то yOz , и в
сечении
x
Рис.4
мы
получаем
параболу
y2
2z .
b2
2. Гиперболический параболоид.
Определение. Гиперболическим параболоидом называется множество
точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат
удовлетворяют следующему уравнению
x2 y2
2z .
a2 b2
каноническое уравнение
Уравнение (8) –
параболоида.
Из уравнения параболоида следует:
96
(8)
гиперболического
1) Гиперболический параболоид поверхность неограниченная;
2) Плоскости симметрии гиперболического параболоида: yOz, xOz;
ось симметрии: Oz;
центра симметрии у гиперболического параболоида нет.
3) Вершина: О(0; 0; 0) – начало координат.
Исследование гиперболического параболоида методом сечений.
Сечение плоскостью , параллельной плоскости xOy .
1)
z h,
2
x
y2
a 2 b 2 2 z.
(9)
Или
x2 y2
2h .
(10)
a2 b2
а) Если h 0 , то линия пересечения гипербола с действительной осью
параллельной оси Ох;
б) если h 0 , то линия пересечения гипербола с действительной осью
параллельной оси Oy;
в) если h 0 , то линия пересечения пара действительных
пересекающихся прямых.
2)
Сечение плоскостью , параллельной плоскости xOz .
y h,
2
x
y2
a 2 b 2 2 z.
(11)
Или
x2
h2
2z 2 .
(12)
a2
b
При любом значении h получаем параболу, ось которой
параллельна оси Oz, В частности, если h 0 , то xOz , и в сечении
x2
мы получаем параболу 2 2 z ;
a
3) Сечение плоскостью , параллельной плоскости yOz .
x h,
2
x
y2
a 2 b 2 2 z.
97
(13)
Или
z
y2
h2
2 2z 2 .
(14)
b
a
При любом значении h
x
получаем параболу, ось которой
параллельна оси Oz, ветви
направлены вниз. В частности,
O
если h 0 , то yOz , и в
сечении мы получаем параболу
y
Рис.5
y2
2z .
b2
3. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
Определение. Прямая l называется прямолинейной образующей
поверхности второго порядка, если каждая точка этой прямой лежит на
поверхности.
Очевидно, что образующие конических и цилиндрических поверхностей
являются прямолинейными образующими. Кроме того, прямолинейные
образующие имеют однополостный гиперболоид и гиперболический
параболоид. У однополостного гиперболоида и гиперболического
параболоида существует два семейства прямолинейных образующих, таких
что:
1) через каждую точку поверхности проходят по одной
прямолинейной образующей из каждого семейства;
2) любые две прямолинейные образующие одного семейства являются
скрещивающимися.
Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида задаются
следующими системами уравнений:
x z y
k a c l 1 b ,
I.
l x z k 1 y ;
a c
b
x z y
k a c l 1 b ,
II.
l x z k 1 y ;
a c
b
где k и l – любые числа.
98
(15)
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида задаются
следующими системами уравнений:
x y
k a b lz ,
I.
l x y 2k ;
a b
x y
k a b lz ,
II.
l x y 2k .
a b
(16)
II. Упражнения.
1) Докажите, что линией пересечения эллиптического параболоида
x2 y2
2 z и плоскости z 2 является эллипс, найдите его полуоси
4
9
и вершину.
2) Покажите, что плоскость xOy не является плоскостью симметрии
гиперболического параболоида.
3) Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида с
вершиной в начале координат, ось которого совпадает с осью Oy.
4) Определите вид линии пересечения гиперболического параболоида
x2 y2
2 z и плоскости x 1 .
2
3
5) Сколько прямолинейных образующих проходит через каждую точку
гиперболического параболоида, конуса, цилиндра, однополостного
гиперболоида?
III. Основные типовые задачи.
1) Составление канонического уравнения параболоида.
2) Исследование параболоида методом сечений.
3) Составление уравнений прямолинейных образующих поверхностей
второго порядка.
IV. Примеры решения задач.
Задача 1. Найти фигуру, состоящую из всех точек, одинаково удаленных от
данной плоскости и данной точки А, не лежащей в этой плоскости.
Решение.
Обозначим расстояние между точкой А и плоскостью через р. Введем
в пространстве систему координат так, чтобы начало координат находилось
посередине между точкой А и плоскостью , плоскость xOy была
99
p
параллельна плоскости . Тогда точка А имеет координаты (0;0; ) , а
2
p
уравнение плоскости имеет вид z . Пусть точка M ( x; y; z )
2
произвольная точка, удовлетворяющая условию задачи. Тогда
p
MA2 x 2 y 2 ( z ) 2 ,
2
(M , ) z
p
.
2
По условию MA ( M , ) , следовательно, MA2 2 ( M , ) , т.е.
2
2
p
p
x y z z ,
2
2
2
2
p2
p2
2
x y z pz
z pz
,
4
4
2
2
2
x 2 y 2 2 pz ,
x2 y2
2z .
p
p
Таким образом, искомое множество точек
параболоид, заданный последним уравнением.
есть
эллиптический
Ответ: x 2 y 2 2 pz .
x2 y2
2z .
Задача 2. Исследовать методом сечений поверхность
4
9
Решение.
Исследуем сечения гиперболического параболоида координатными
плоскостями и плоскостями им параллельными.
1) Сечение плоскостью , параллельной плоскости xOy .
z h,
2
x
y2
4 9 2 z.
Или
x2 y2
2h .
4
9
100
а) Если h 0 , то линия пересечения гипербола с действительной осью
параллельной оси Ох;
б) если h 0 , то линия пересечения гипербола с действительной осью
параллельной оси Oy;
в) если h 0 , то линия пересечения пара действительных
пересекающихся прямых.
2) Сечение плоскостью , параллельной плоскости xOz .
y h,
2
x
y2
4 9 2 z.
Или
x2
h2
2z .
4
9
При любом значении h получаем параболу, ось которой
параллельна оси Oz, В частности, если h 0 , то xOz , и в сечении
мы получаем параболу x 2 8 z ;
3) Сечение плоскостью , параллельной плоскости yOz .
x h,
2
x
y2
4 9 2 z.
Или
y2
h2
2z .
9
4
При любом значении h получаем параболу, ось которой параллельна оси
Oz, ветви направлены вниз. В частности, если h 0 , то yOz , и в сечении
мы получаем параболу y 2 18 z .
Задача 3. Написать уравнения двух систем прямолинейных образующих
однополостного гиперболоида x 2 9 y 2 z 2 9 и определить те из них,
1
которые проходят через точку 3; ;1 .
3
Решение.
Приведем уравнение гиперболоида к каноническому виду:
101
x2 y2 z2
1.
9
1
9
Перенесем второе слагаемое в правую часть
x2 z2
y2
1
.
9
9
1
Применим формулу разности квадратов
x z x z
(1 y )(1 y ) .
3 3 3 3
Равенство имеет место в том случае, если множители в левой и правой
частях пропорциональны
x z
k 3 3 l 1 y ,
I.
l x z k 1 y ;
3 3
x z
k 3 3 l 1 y ,
II.
l x z k 1 y .
3 3
Мы получили уравнения двух систем прямолинейных образующих
однополостного гиперболоида. Теперь найдем те из них, которые проходят
1
через данную точку 3; ;1 . Подставим координаты точки в каждую из
3
систем:
3 1 1
k 3 3 l 1 3 ,
I.
l 3 1 k 1 1 ;
3 3
3
2
4
k
l,
3
3
2 l 4 k
3
3
Откуда получаем
l 2k .
Подставляя это соотношение в систему I, получаем
x z
k 3 3 2k 1 y ,
2k x z k 1 y ;
3 3
x z
3 3 21 y ,
2 x z 1 y;
3 3
x z 6 6 y,
2 x 2 z 3 3 y;
x 6 y z 6 0,
– общие уравнения прямолинейной образующей.
2
x
3
y
2
z
3
0
.
102
3 1 1
k 3 3 l 1 3 ,
I.
l 3 1 k 1 1 ;
3 3
3
2
2
k
l,
3
3
4 l 4 k.
3
3
Откуда получаем
l k.
Подставляем в II:
x z
k 3 3 k 1 y ,
k x z k 1 y ;
3 3
x z
3 3 1 y,
x z 1 y;
3 3
x z 3 3 y,
x z 3 3 y;
x 3 y z 3 0,
– общие уравнения прямолинейной образующей.
x
3
y
z
3
0
.
x 6 y z 6 0,
x 3 y z 3 0,
Ответ:
и
2 x 3 y 2 z 3 0. x 3 y z 3 0.
V.
Задачи для самостоятельного решения.
1) Найти уравнение параболоида с центром в начале координат, ось
которого совпадает с осью Oz и который проходит через точки
(1; –2; 1) и (–3; –3; 2).
2) Дана плоскость и перпендикулярная к ней прямая l. Найти
множество точек пространства, для каждой из которых квадрат
расстояния до прямой l в три раза больше расстояния до плоскости .
3) Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида с
вершиной в начале координат, ось которого совпадает с осью Oy, если
1
известно, что он проходит через точки A(1; 1; 6) и B(0; 1; ) .
5
x2 z2
2 y имеет одну
4) Доказать, что эллиптический параболоид
9
4
общую точку с плоскостью 2 x 2 y z 10 0 , и найти ее координаты.
5) Найдите прямолинейные образующие параболоида 4 x 2 y 2 16 z ,
проходящие через точку М(2; 0; 1).
103
6) Убедившись, что точка А(–2; 0; 1) лежит на гиперболическом
x2 y2
z , определить острый угол, образованный его
параболоиде
4
9
прямолинейными образующими, проходящими через точку А.
x2 y2 z2
1,
7) Найдите прямолинейные образующие гиперболоида
9
4 16
проходящие через точку (6; 2; 8).
8) Найдите прямолинейные образующие гиперболоида
x2 y2 z2
1,
25 9
4
проходящие через точку (5; 3; 2).
x2 y2
2 z найти прямолинейные
9) На гиперболическом параболоиде
8
2
образующие, параллельные плоскости 6 x 4 y 8 z 1 0 .
10)
Написать
уравнение
плоскости,
параллельной
плоскости
x2 z2
2 y по двум
x y z 5 0 и пересекающей параболоид
8
4
прямолинейным образующим. Найти уравнения этих образующих.
104