Модель распределений вероятностных смесей экстремальных

Å. Þ. Ùåòèíèí, Ê. Ì. Íàçàðåíêî
Ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòíûõ ñìåñåé
ýêñòðåìàëüíûõ âåëè÷èí
 ðàáîòå ïðåäëîæåíà íîâàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü âåðîÿòíîñòíîé ñìåñè ýêñòðåìàëüíûõ âåëè÷èí, ðàçðàáîòàíû è ñòðîãî îáîñíîâàíû ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû åå ìîäåëèðîâàíèÿ è âû÷èñëåíèÿ ðàçìåðîâ ðèñêîâîãî êàïèòàëà ïî VaR-òåõíîëîãèè. Íà ïðèìåðå
öåíîâûõ äàííûõ èíäåêñà Dow Jones 01.01.1950 — 10.08.2005 áûë ïðîâåäåí ñðàâíèòåëüíûé
àíàëèç ðàñ÷åòîâ îöåíîê VaR ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîðîãîâîãî ìåòîäà è ìîäåëè âåðîÿòíîñòíîé ñìåñè, ïîêàçàâøèé âûñîêóþ ýôôåêòèâíîñòü ñìåøàííîé ìîäåëè äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ðèñêîâîãî êàïèòàëà èíâåñòèöèîííîé êîìïàíèè.
îâðåìåííûå ôèíàíñîâûå ðûíêè õàðàêòåðèçóþòñÿ çíà÷èòåëüíûìè êîëåáàíèÿìè ñòîèìîñòíûõ ïîêàçàòåëåé èõ àêòèâîâ, ÷òî, êàê ïðàâèëî, íåãàòèâíî îòðàæàåòñÿ íà ýêîíîìè÷åñêîì ðàçâèòèè êàê îòäåëüíûõ êîìïàíèé, òàê è ðåãèîíîâ, ñòðàí â öåëîì. Âñå ýòî, êàê
ñëåäñòâèå, ïðèâîäèò ê âûñîêîé âîëàòèëüíîñòè öåííûõ áóìàã íà ôîíäîâûõ ðûíêàõ, âîçðàñòàíèþ ðèñêîâ çíà÷èòåëüíûõ óáûòêîâ îò èíâåñòèðîâàíèÿ â íèõ, à òàêæå âîçíèêíîâåíèÿ ñóùåñòâåííîãî óùåðáà îò íåêîððåêòíîãî ôîðìèðîâàíèÿ âèäîâ âëîæåíèÿ êàïèòàëà è öåííûõ áóìàã
äëÿ èíâåñòèðîâàíèÿ.  ñâÿçè ñ ýòèì, êàê îòìå÷àåòñÿ Áàçåëüñêèì êîìèòåòîì ïî ðåãóëèðîâàíèþ áàíêîâñêîé äåÿòåëüíîñòè, îäíîé èç àêòóàëüíûõ è çíà÷èìûõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ ðèñêàìè
ÿâëÿåòñÿ ôîðìèðîâàíèå ðèñêîâîãî êàïèòàëà èíâåñòèöèîííîé êîìïàíèè è êîððåêòíîå âû÷èñëåíèå åãî âåëè÷èíû [Basel Committee (2004)], [Ùåòèíèí (2005)].
Ñîâðåìåííûé óðîâåíü ðàçâèòèÿ ôèíàíñîâûõ ðûíêîâ ïðåäúÿâëÿåò âûñîêèå òðåáîâàíèÿ
ê ìàòåìàòè÷åñêèì ìåòîäàì êîëè÷åñòâåííîãî àíàëèçà è óïðàâëåíèÿ ðèñêàìè, âñå áîëüøåå ìåñòî ñðåäè êîòîðûõ çàíèìàþò ìåòîäû òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ âåëè÷èí [Galambos (1978)]. Ñ òî÷êè çðåíèÿ èõ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ äîñòàòî÷íûõ ðàçìåðîâ ðèñêîâîãî êàïèòàëà íàèáîëåå óäîáíûì ÿâëÿåòñÿ ïîðîãîâûé ìåòîä [Embrechts,
Kluppelberg et al. (1997)]. Ïðîâåäåííûå íàìè èññëåäîâàíèÿ ðèñêîâ èíâåñòèðîâàíèÿ íà ôîíäîâûõ è ñòðàõîâûõ ðûíêàõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîðîãîâîãî ïðèíöèïà ïîêàçàëè, ÷òî â óñëîâèÿõ
âûñîêîé âîëàòèëüíîñòè ôèíàíñîâûõ àêòèâîâ îñíîâíîé ïðîáëåìîé ÿâëÿåòñÿ îöåíèâàíèå ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ ïî âûáîðêå öåíîâûõ ïîêàçàòåëåé ôèíàíñîâûõ àêòèâîâ [Scshetinin,
Nazarenko (2003)]. Ñóùåñòâóþùèå â íàñòîÿùåå âðåìÿ ìîäèôèêàöèè ïîðîãîâîãî ìåòîäà íå ïîçâîëÿþò êîððåêòíî ðåøèòü ýòó ïðîáëåìó, ïîýòîìó öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà
íîâîãî òåîðåòèêî-âåðîÿòíîñòíîãî ïîäõîäà ê ìîäåëèðîâàíèþ ýêñòðåìàëüíûõ âåëè÷èí.
Ñ
1. Пороговый метод моделирования экстремальных величин
Êðàòêî èçëîæèì ñîäåðæàíèå ïîðîãîâîãî ìåòîäà [Balkema, de Haan (1974)]. Îáîçíà÷èì ÷åðåç F(x) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåùåñòâåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X è ïóñòü
Fu ( x ) = P ( X £ u + x | X > u ).
44
Рынки ценных бумаг
R
lim |Fu ( xa( u )) - G x , s ( x )| = 0,
(1)
u® x ¥
ãäå G x , s — îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî ñ ïàðàìåòðàìè x è s [Pickands (1975)]. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä.
G x , s ( x ) = 1 - ( 1 + xx s ) -1 x ,
(2)
åñëè âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé:
à) x > 0 è x > 0,
b) x < 0 è 0 < x < -s x.
è G x , s ( x ) = 1 - exp( x s ),
åñëè x = 0 è s > 0.
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå èìååò òÿæåëûé õâîñò, åñëè x > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåêîòîðîãî âûñîêîãî ïîðîãà u, Fu ( x ) ìîæåò áûòü àïïðîêñèìèðîâàíà îáîáùåííûì ðàñïðåäåëåíèåì Ïàðåòî (2) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ x è s. Íà ïðàêòèêå àïïðîêñèìàöèÿ õâîñòà ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî äàííûì, ïðåâûøàþùèì ïîðîã u, ïðè÷åì ïàðàìåòð u, êàê ïðàâèëî, íåèçâåñòåí. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñòðîãî
îáîñíîâàííîãî ïðèìåíåíèÿ ìîäåëè (2) õâîñòà ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ò. å. äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû Áàëêåìà — äå Õààí (1), íåîáõîäèìî êîððåêòíî îöåíèòü ïîðîãîâóþ
âåëè÷èíó öåíçóðèðîâàíèÿ, ôàêòè÷åñêè îïèñûâàåìóþ ïàðàìåòðîì u. Ñ îäíîé ñòîðîíû, âåëè÷èíà ïîðîãà u äîëæíà áûòü âûáðàíà äîñòàòî÷íî áîëüøîé, ÷òî îñòàâëÿåò ëèøü íåáîëüøîå
êîëè÷åñòâî ÷ëåíîâ âûáîðêè äëÿ îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ x è s, âåäåò ê âîçðàñòàíèþ èõ âàðèàöèé; ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñëèøêîì íèçêèé ïîðîã ÷ðåâàò íàðóøåíèåì óñëîâèÿ (1) è óâåëè÷åíèåì ñèñòåìàòè÷åñêîé îøèáêè èõ îöåíîê.
 ñâÿçè ñ èçëîæåííûì, ìåòîäû ôèêñèðîâàííîãî âûáîðà ïîðîãà íå ïîçâîëÿþò ðåøèòü çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ íåîáõîäèìîãî ðàçìåðà ðèñêîâîãî êàïèòàëà ôèíàíñîâîé êîìïàíèè, ñàíêöèîíèðóþùåãî îñóùåñòâëåíèå ýôôåêòèâíûõ èíâåñòèöèîííûõ ñòðàòåãèé.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå áóäåò ïðåäëîæåíà è èññëåäîâàíà íîâàÿ ìîäåëü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ äàííûõ, ïîçâîëÿþùàÿ áîëåå ãèáêîå åå îïèñàíèå.
2. Метод моделирования вероятностной смеси экстремальных величин
Îäíèì èç ýôôåêòèâíûõ íàïðàâëåíèé ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ðàçâèòèå
àäàïòèâíûõ ìåòîäîâ, íå òðåáóþùèõ ïðåäâàðèòåëüíîãî âûáîðà ïîðîãà. Â ðàáîòå Äþïþè
[Dupuis (2000)] ïðåäëîæåí óïðîùåííûé ìåõàíèçì ïðîâåðêè ìîäåëè äëÿ âûáîðà ïîðîãà.
 ýòîì ìåòîäå êàæäîé òî÷êå èñõîäíûõ äàííûõ ïðèñâàèâàåòñÿ íåêîòîðûé âåñ îò 0 äî 1, áîëåå
âûñîêèé âåñ îçíà÷àåò äîñòàòî÷íóþ òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè. Íåñìîòðÿ íà åå ïðåèìóùåñòâà, âñå åùå îñòàåòñÿ ïîòðåáíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïîðîãà äëÿ óðîâíÿ âåñîâ.
 ýòîì ïàðàãðàôå ðàçâèâàåòñÿ àäàïòèâíûé ïîäõîä ê ìîäåëèðîâàíèþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ óáûòêîâ, îïèðàþùèéñÿ íà òðè ñëåäóþùèõ ïîëîæåíèÿ: âî-ïåðâûõ, â îòëè÷èå îò ïîðîãîâîãî ìåòîäà, ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïðèíèìàåòñÿ âî âíèìàíèå âñÿ âûáîðêà; âî-âòîðûõ, â êà-
45
R Рынки ценных бумаг
Е. Ю. Щетинин, К. М. Назаренко
×åðåç x ¥ îáîçíà÷èì âåðõíþþ êðàéíþþ òî÷êó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå Áàëêåìà — äå Õààí X ïðèíàäëåæèò îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ âåëè÷èí, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ âåùåñòâåííàÿ
ôóíêöèÿ a(u), òàêàÿ ÷òî
÷åñòâå ìîäåëè ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ñìåñü
äâóõ ðàñïðåäåëåíèé, îäíèì èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå (2); â-òðåòüèõ, ïî ìåðå
ñòðåìëåíèÿ ê x ¥ , äîëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ðàñïðåäåëåíèå (2), ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü X 1 , X 2 ,…, X n — ñîâîêóïíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ íåçàâèñèìûõ èëè ñëàáîñòàöèîíàðíûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ, ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, â êîòîðîé äîëÿ çíà÷åíèé, èìåþùèõ ðàñïðåäåëåíèå (2), îïèñûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé p( x ; q ) (ñî çíà÷åíèÿìè â (0,1]), òàêîé ÷òî
lim p( x ; q) = 1.
(3)
x®¥
Òîãäà èõ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä:
l( x ) =
[1 - p( x ; q)] f ( x ; b ) + p( x ; q) g( x ; x, s )
Z( q, b, x,s )
,
(4)
ãäå g ( x ; x , s ) — ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ (2):
Модель распределений вероятностных смесей экстремальных величин
xx
1
g( x ; x,s ) = æç1 + ö÷
sè s ø
1
- -1
x
;
(5)
f ( x ; b ) — íåêîòîðàÿ äðóãàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ,
Z(q , b , x , s ) — íîðìàëèçóþùàÿ êîíñòàíòà.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðèâåäåíî â ðàáîòå Ùåòèíèíà, Íàçàðåíêî è Ïàðàìîíîâà [Ùåòèíèí, Íàçàðåíêî è äð. (2005)]. Ìîäåëü (4) ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé ñìåñüþ f è g, ãäå ñìåøèâàþùàÿ
ôóíêöèÿ p( x ; q ) çàâèñèò îò x. Ñîãëàñíî ñâîéñòâó (3) ïðàâûé õâîñò l(x) îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ áîëüøèõ x êîìïîíåíòîì (2), òîãäà êàê ëåâûé õâîñò îïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè f(x).
 êà÷åñòâå ìîäåëè (4) ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ:
p( x , q) =
x -mö
1 1
+ arctgæç
÷, q = ( m, t), m, t > 0,
2 p
è t ø
(6)
ñ ïàðàìåòðàìè ëîêàëèçàöèè m è ìàñøòàáà t.  êà÷åñòâå ëåâîãî êîìïîíåíòà ñìåñè âîçüìåì
ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà, ïëîòíîñòü êîòîðîãî èìååò âèä:
b
f ( x ; b, l ) = blb x b -1e -( lx ) , b, l > 0.
(7)
Íîðìàëèçóþùàÿ êîíñòàíòà â ýòîì ñëó÷àå:
b æ1
¥
x - m öö
1
1 ¥æ 1 1
æ x - m ö ö æ1 + xx ö
Z = ò blb x b -1e - ( lx ) ç - arctgæç
÷ ÷ dx + ò0 ç + arctgç
÷÷ç
÷
0
s è2 p
è t øø
è t øøè s ø
è2 p
1
- -1
x
dx.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ l(x) (4) èìååò øåñòü ïàðàìåòðîâ:b è l äëÿ êîìïîíåíòà ïëîòíîñòè Âåéáóëëà, m è t — ñìåøèâàþùåé ôóíêöèè p, x è s — äëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ (5).
Òÿæåëîõâîñòûå ðàñïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü ôîðìàëüíî îïèñàíû ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ ðåãóëÿðíî èçìåíÿþùèõñÿ ôóíêöèé.
46
Рынки ценных бумаг R
lim
t ®¥
h( tx )
= x r.
h( t )
Ìíîæåñòâî òàêèõ ôóíêöèé áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç RV r .
Åñëè r = 0, h íàçûâàåòñÿ ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ (íà áåñêîíå÷íîñòè). Áóäåì îáîçíà÷àòü
ìåäëåííî ìåíÿþùèåñÿ ôóíêöèè ÷åðåç L. Åñëè h Î RV r , òî h( x ) x r Î RV 0 . Äàëåå, ïîëàãàÿ
L( x ) = h( x ) x r , ïîëó÷àåì, ÷òî ôóíêöèÿ h Î RV r ïðåäñòàâèìà êàê h( x ) = L( x )x r .
Îïðåäåëåíèå 2. Ãîâîðÿò, ÷òî íåîòðèöàòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíî ìåíÿþùåéñÿ, åñëè åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ F Î RV - a äëÿ
íåêîòîðîãî a ³ 0, ãäå F = 1- F .
Îïðåäåëåíèå 3 (îáîáùåííàÿ îáðàòèìîñòü). Ïóñòü h — íåóáûâàþùàÿ íà Â. Îïðåäåëèì
îáîáùåííóþ îáðàòíóþ h ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïðèíèìàÿ infÆ = ¥.
h¬ ( u ) = inf{x Î Â : h( x ) ³ u},
(8)
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îáîñíîâûâàåò ñâîéñòâà (2) ââåäåííîé âûøå ìîäåëè (4).
Òåîðåìà 2. Ïóñòü p( x ) — ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ íà (0 ,1,] äëÿ êîòîðîé ñïðàâåäëèâî (3). Ïóñòü f è g — äâà òÿæåëîõâîñòûõ ðàñïðåäåëåíèÿ,
òàêèõ ÷òî P( X > x )~ cx -1 x äëÿ áîëüøèõ x. Îáîçíà÷èì èõ õâîñòîâûå èíäåêñû ÷åðåç x g è x f ñîîòâåòñòâåííî è ïðåäïîëîæèì, ÷òî x g < x f , òàê ÷òî lim g(t ) f (t ) = 0. Òîãäà ñìåñü (1- p( x ))f ( x ) + p( x )g( x )
t®¥
ïîñëå íîðìàëèçàöèè íà êîíñòàíòó Z ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ñ õâîñòîâûì èíäåêñîì x g .
Óòâåðæäåíèå îñòàåòñÿ âåðíûì äàæå â òîì ñëó÷àå, êîãäà f — ëåãêîõâîñòîå ðàñïðåäåëåíèå.
Äðóãèì âûáîðîì äëÿ ôóíêöèè p ìîæåò ñëóæèòü ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà:
ì1, x ³ q,
p( x , q) = í
î0, x < q.
(9)
 ýòîì ñëó÷àå ïàðàìåòð q ÿâëÿåòñÿ ïîðîãîì u, íàä êîòîðûì â ìîäåëè (4) ó÷àñòâóåò ëèøü
êîìïîíåíò (2).
3. Алгоритм генерирования вероятностных смесей
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âåëè÷èí ñ äèíàìè÷åñêè ñìåøàííûì ðàñïðåäåëåíèåì ìû ïðåäëàãàåì
èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé àëãîðèòì ãåíåðèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêè ñìåøàííîé âûáîðêè (4).
Øàã 1. Ãåíåðèðîâàòü U ðàâíîìåðíî íà [0 ,1.)
Øàã 2. Åñëè U < 1 2, òî ãåíåðèðîâàòü x èç f(x); âçÿòü x ñ âåðîÿòíîñòüþ 1- p( x ) è çàêîí÷èòü;
èëè ñ âåðîÿòíîñòüþ p(x) âåðíóòüñÿ ê øàãó 1.
Øàã 3. Åñëè U ³ 1 2, òî ãåíåðèðîâàòü x èç g(x); âçÿòü x ñ âåðîÿòíîñòüþ p(x) è çàêîí÷èòü; èëè
ñ âåðîÿòíîñòüþ 1- p( x ) âåðíóòüñÿ ê øàãó 1.
Ñëåäóåò ïîÿñíèòü, ÷òî íà øàãå 2 x âûáèðàåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1- p( x ), à ñ âåðîÿòíîñòüþ
p(x) àëãîðèòì ïåðåçàïóñêàåòñÿ, íà øàãå æå 3, íàïðîòèâ, x âûáèðàåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ p(x), à ñ
âåðîÿòíîñòüþ 1- p( x ) àëãîðèòì ïåðåçàïóñêàåòñÿ.
47
R Рынки ценных бумаг
Е. Ю. Щетинин, К. М. Назаренко
Îïðåäåëåíèå 1. Èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿh:(0 , ¥ ) ® (0 , ¥ ) ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíî ìåíÿþùåéñÿ
íà áåñêîíå÷íîñòè ñ èíäåêñîì rÎ Â, åñëè, äëÿ x > 0,
Модель распределений вероятностных смесей экстремальных величин
 ðàáîòå âûïîëíåíà êàëèáðîâêà ìîäåëè (4) ñ èñïîëüçîâàíèåì âûáîðîê, ïîëó÷åííûõ ïðè
ïîìîùè àëãîðèòìà 1. Íàìè èññëåäîâàëèñü 12 ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèé ïàðàìåòðîâ. Èñïîëüçîâàëèñü òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ x, òàê ÷òîáû l(x) è g(x) â ôîðìóëàõ (4) è (5) áûëè òÿæåëîõâîñòûìè. Äëÿ êàæäîé êîìáèíàöèè ïàðàìåòðîâ ãåíåðèðîâàëèñü âûáîðêè ðàçìåðîì
N = 10 000. Íà ðèñ. 1 ïîêàçàíû ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñëó÷àåâ 1 è 10 èç òàáë. 1.  ïåðâîì èç íèõ ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà óíèìîäàëüíî, â òî âðåìÿ êàê â ñëó÷àå 10 ðàñïðåäåëåíèå
Âåéáóëëà íå èìååò ìîäû.
Ðèñ. 1. Ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ: à) äëÿ ñëó÷àÿ 1; á) äëÿ ñëó÷àÿ 10
Ïëîòíîñòè ñìåøàííîé ìîäåëè l(x) — _________ , êîìïîíåíòîâ f(x) — __ __ __ __ , g(x) — __ . __ . __
48
Рынки ценных бумаг R
4. Вычисление размеров рискового капитала инвестиционной компании
Îäíîé èç îñíîâíûõ ïðîáëåì ôèíàíñîâîãî ðèñê-ìåíåäæìåíòà ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà äîñòàòî÷íîñòè ðèñêîâîãî êàïèòàëà, ò. å. êàïèòàëà íåîáõîäèìîãî äëÿ ïîêðûòèÿ óáûòêîâ, íåèçáåæíî ïðèñóòñòâóþùèõ â ôèíàíñîâîé äåÿòåëüíîñòè. Ïîýòîìó âîçíèêàåò çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ðèñêîâîãî êàïèòàëà, òåêóùåé ñòîèìîñòè âûäàííûõ êðåäèòîâ è ò. ä., ò. å. íåêîåãî êðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ, ïðåâûøåíèå êîòîðîãî ñòàíåò êàòàñòðîôè÷åñêèì äëÿ ïðåäïðèÿòèÿ [Ùåòèíèí, Íàçàðåíêî è äð. (2005)]. Îáû÷íî äëÿ îöåíèâàíèÿ ðàçìåðîâ ðèñêîâîãî êàïèòàëà
ïðèìåíÿåòñÿ êîíöåïöèÿ Value at Risk (VaR) [Basel Committee (2004)].
VaR( q) = inf ( x Î Â, FX ( x ) ³ q) = x q .
(10)
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (8) äëÿ ìîäåëè (4), ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêó âåëè÷èíû (10) êàê îáîáùåííóþ îáðàòíóþ âåëè÷èíó ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ l(x). Òàêèì îáðàçîì,
VaR-òåõíîëîãèÿ íà ïðàêòèêå ñîñòîèò â âû÷èñëåíèè äîïóñòèìîãî ïîðîãîâîãî óðîâíÿ óáûòêîâ
êîìïàíèè, à èìåííî óñëîâíîé êâàíòèëè x q .
Ïðåäëîæåííàÿ íàìè ìîäåëü ïîçâîëÿåò ðåøèòü ýòó çàäà÷ó ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñëåäóÿ
ââåäåííûì ðàíåå îáîçíà÷åíèÿì, îïðåäåëèì çíà÷åíèå ïîðîãà x e :
x e = { x : inf (P ( X > x , Z = 1 | A = 1) £ e)}
x
äëÿ íåêîòîðîãî äîñòàòî÷íî ìàëîãî çíà÷åíèÿ e. Òåì ñàìûì äëÿ X, èìåþùåãî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ l, ïîðîãîâîå çíà÷åíèå x e îïðåäåëÿåòñÿ êàê
e = P l ( X > x e Ç X ~ f ( x ))
è ìîæåò áûòü íàéäåíî èç óðàâíåíèÿ:
ò
¥
xe
¥
[1 - p( x )]f ( x ) dx
ò [(1- p( x ))f ( x ) + p( x )g( x )] dx
= e,
0
êîòîðîå â ñèëó òîãî, ÷òîf ( x )èìååò ëåãêèé õâîñò, à g( x )— òÿæåëûé, ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó:
1 - p( x , q) f ( x )
e
.
×
=
p( x , q) g( x ) 1 - e
(11)
 òàáë. 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû îöåíèâàíèÿ ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ x$ e äëÿ êàæäîãî èç äâåíàäöàòè ñëó÷àåâ ïðè e = 0 ,001.  òàáë. 2 òàêæå ïðèâåäåíû îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ (2),
èñïîëüçóþòñÿ ÷ëåíû âûáîðêè, ïðåâîñõîäÿùèå x$ e . Àíàëèç òàáë. 2 ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î òîì,
÷òî âûáîð x$ e â êà÷åñòâå ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ÿâëÿåòñÿ îïðàâäàííûì.
49
R Рынки ценных бумаг
Е. Ю. Щетинин, К. М. Назаренко
Ôîðìà ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðà b.  ñëó÷àå b < 1, f(x) íå èìååò ìîäû è f ¢ ( x ) < 0 äëÿ âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé x,
â ñëó÷àå b > 1ôóíêöèÿ f(x) óíèìîäàëüíà.  ñëó÷àå b = 1, f(x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.  ýêñïåðèìåíòàõ ìû èñïîëüçîâàëè çíà÷åíèÿ b = 2,0 è b = 0 , 5. Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà l âûáèðàëîñü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïëîòíîñòè
ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà ðàâíÿëàñü 1, ò. å. l = G(1+ 1 b ). Â âåñîâîé ôóíêöèè ìû èñïîëüçîâàëè
çíà÷åíèÿ m Î {0 , 5, 15
, } è t Î {0 , 5, 15
, }. Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà x âûáèðàëîñü x Î {0 , 25, 0 , 5, 1,} â ñëó÷àå x = 1ðàñïðåäåëåíèå èìååò íàèáîëåå òÿæåëûé õâîñò. Çíà÷åíèå ìàñøòàáèðóþùåãî ïàðàìåòðà îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî s Î {0 , 5, 15
, }. Êîìáèíàöèè âûáèðàåìûõ çíà÷åíèé
ïàðàìåòðîâ ïðèâåäåíû â òàáë. 1 (ñ 1 ïî 12).
Модель распределений вероятностных смесей экстремальных величин
Ðèñ. 2. Ãèñòîãðàììà ëîãàðèôìè÷åñêèõ ïðèðàùåíèé èíäåêñà DJ è åå àïïðîêñèìàöèÿ
 äàííîì ðàçäåëå ìû èñïîëüçóåì ñìåøàííóþ ìîäåëü äëÿ àïïðîêñèìàöèè ýìïèðè÷åñêîé
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ 4246 ëîãàðèôìè÷åñêèõ ïðèðàùåíèé ôîíäîâîãî èíäåêñà Dow Jones
çà ïåðèîä 01.01.1950 — 10.08.2005. Íà ðèñ. 2 ïîêàçàíà ãèñòîãðàììà ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè
è åå àïïðîêñèìàöèÿ ñìåøàííîé ìîäåëüþ. Ïîëó÷åííûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ìîäåëè ïðèâåäåíû â òàáë. 3, à çíà÷åíèÿ VaR — â òàáë. 4.
5. Выводы
 ðàáîòå ïðåäëîæåíà íîâàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü âåðîÿòíîñòíîé ñìåñè ýêñòðåìàëüíûõ âåëè÷èí. Íà íàø âçãëÿä, ìíîãî÷èñëåííûå èçâåñòíûå íà òåêóùèé ìîìåíò ìåòîäû äåòåðìèíèðîâàííîãî âûáîðà ïîðîãà ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè â ñèëó æåñòêîãî ðàçäåëåíèÿ
èññëåäóåìûõ äàííûõ íà ýêñòðåìàëüíûå è íåýêñòðåìàëüíûå ñ ïîñëåäóþùåé àïïðîêñèìàöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íàäïîðîãîâûõ âåëè÷èí îáîáùåííûì ðàñïðåäåëåíèåì Ïàðåòî.
 ðàçðàáîòàííîé íàìè ìîäåëè ïðåäëàãàåòñÿ îïèñûâàòü îáëàñòü ýêñòðåìàëüíûõ âåëè÷èí,
íå âûäåëÿÿ èõ ïðè ýòîì èç âñåé ñîâîêóïíîñòè äàííûõ. Èñõîäÿ èç ýòîãî ïîðîã ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ÷ëåíîâ âûáîðêè ê îäíîìó èç îïðåäåëåííûõ âûøå êëàññîâ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (Âåéáóëëà èëè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî).
Íà îñíîâå ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà ðàçðàáîòàíû è ñòðîãî îáîñíîâàíû ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ ñìåñè ýêñòðåìàëüíûõ âåëè÷èí è âû÷èñëåíèÿ ðàçìåðîâ ðèñêîâîãî
êàïèòàëà ïî VaR-òåõíîëîãèè. Íà ïðèìåðå öåíîâûõ äàííûõ èíäåêñà Dow Jones 01.01.1950 —
10.08.2005 áûë ïðîâåäåí ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðàñ÷åòîâ îöåíîê VaR ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîðîãîâîãî ìåòîäà è ìîäåëè âåðîÿòíîñòíîé ñìåñè. Åãî ðåçóëüòàòû ïîêàçàëè, ÷òî ñìåøàííàÿ
ìîäåëü ïîçâîëÿåò áîëåå òî÷íî îöåíèòü çíà÷åíèå ïîðîãà è ñîîòâåòñòâåííî âû÷èñëèòü ðàçìåð ðèñêîâîãî êàïèòàëà.
50
Рынки ценных бумаг R
Òàáëèöà 1
Êîìáèíàöèè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ è èõ îöåíîê
ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ ðàçìåðà âûáîðêè N = 10 000
Case
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Weibull component parameters
b
b$
l
l$
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
0,5
0,5
0,5
2,059
2,126
2,055
2,103
1,933
1,809
2,004
1,891
2,046
0,495
0,506
0,530
0,886
0,886
0,886
0,886
0,886
0,886
0,886
0,886
0,886
2,0
2,0
2,0
0,888
0,914
0,883
0,815
0,894
0,904
0,881
0,860
0,877
2,002
2,044
2,047
Weight function parameters
m
m$
t
t$
GPD component parameters
x
x$
s
s$
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
0,5
5,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
0,5
0,25
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
1,0
1,001
0,739
0,975
0,836
1,088
0,730
4,973
1,095
0,418
0,929
0,926
0,628
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
0,5
5,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,007
1,066
1,099
0,661
1,081
1,837
1,059
0,470
5,122
0,859
0,829
0,327
0,496
0,193
1,018
0,519
0,459
0,451
0,502
0,490
0,498
0,497
0,257
0,995
1,0
1,0
1,0
0,5
5,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
0,998
1,061
0,962
0,440
5,376
1,122
1,002
0,988
0,994
0,988
0,967
1,027
Òàáëèöà 2
Îöåíêè ïàðàìåòðîâ îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî,
ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì N ÷ëåíîâ âûáîðêè, ïðåâîñõîäÿùèõ ïîðîãîâîå
çíà÷åíèå x$ e , ïîëó÷åííîãî èç óðàâíåíèÿ (11) äëÿ çíà÷åíèÿ e = 0,001
Case
x
s
x$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,5
0,25
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
1,0
1,0
1,0
1,0
0,5
5,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
0,356
0,137
0,720
0,113
0,396
0,667
0,078
0,412
0,296
—
—
0,858
N = 1000
$s
N
1,402
1,601
2,257
1,982
5,133
0,644
3,338
1,205
2,410
—
—
1,443
165
60
122
58
483
107
62
161
82
1
0
33
N = 10 000
N
s$
x$ e
x$
2,72
3,97
6,05
3,00
2,70
4,16
4,06
3,00
3,86
57,10
65,18
26,70
0,506
0,216
1,007
0,373
0,431
0,447
0,329
0,465
0,460
0,376
—
0,922
0,950
0,994
0,934
0,876
5,115
1,123
2,082
1,068
1,117
2,011
—
1,026
x$ e
1252
841
1946
455
4057
1059
741
1157
937
18
0
557
3,40
3,20
3,44
3,70
3,52
3,94
4,09
3,66
3,70
41,91
95,88
14,08
Òàáëèöà 3
Îöåíêè ïàðàìåòðîâ ñìåøàííîé ìîäåëè,
ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå àïïðîêñèìàöèè äàííûõ èíäåêñà Dow Jones
Weibull component parameters
b$
l$
1,415
1,2
Weight function parameters
m$
t$
0,545
1,935
GPD component parameters
x$
s$
0,25
0,5
51
R Рынки ценных бумаг
Е. Ю. Щетинин, К. М. Назаренко
Ïðèëîæåíèå
Òàáëèöà 4
Çíà÷åíèÿ VaR äëÿ äàííûõ èíäåêñà Dow Jones, ïîëó÷åííûå ïðè ïîìîùè
ñìåøàííîé ìîäåëè
q
0,95
0,99
0,999
0,9999
0,99999
VaRq
2,14
4,169
9,1497
17,9757
33,6357
Òàáëèöà 5
Àíàëèç ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ óðîâíåé çíà÷èìîñòè
e
10 -2
10 -3
10 -4
10 -5
10 -6
x$ e
3,91
4,82
5,50
6,15
6,89
Òàáëèöà 6
Çíà÷åíèÿ êâàíòèëÿ, ïîëó÷åííîãî ñ ïîìîùüþ ïîðîãîâîé ìîäåëè
ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ïîðîãà
Модель распределений вероятностных смесей экстремальных величин
Ïîðÿäîê êâàíòèëÿ
Çíà÷åíèå ïîðîãà
3,91
4,82
5,50
6,15
0,95
1,5191(1,1565)
4,3542(0,8222)
2,9374(6,5416)
6,1463(0,0075)
0,99
2,8859(0,3931)
4,4704(0,5205)
3,7227(3,5226)
6,1463(0,0075)
0,999
5,3234(0,5527)
5,5427(0,9861)
5,8668(0,4732)
6,1487(0,0025)
0,9999
8,4777(2,7022)
14,2119(28,6882)
10,3917(9,1239)
23,9706(115,3777)
0,99999
12,5594(7,6629)
84,2984(446,7733)
19,9408(51,2386)
— ( —)
 ñêîáêàõ óêàçàíû ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå îòêëîíåíèÿ îöåíîê.
Список литературы
Ùåòèíèí Å. Þ. Î íîâûõ ïîäõîäàõ ê óïðàâëåíèþ êîìïàíèåé â ÷ðåçâû÷àéíûõ ñèòóàöèÿõ // Ôèíàíñû
è êðåäèò. 2005. ¹ 30(198). Ñ. 71–75.
Ùåòèíèí Å. Þ., Íàçàðåíêî Ê. Ì., Ïàðàìîíîâ À. Â. Î ìåòîäàõ àíàëèçà ýôôåêòèâíîñòè áèçíåñà êîìïàíèè â óñëîâèÿõ âûñîêîé èçìåí÷èâîñòè åå ôèíàíñîâûõ ïîêàçàòåëåé. Äèíàìèêà íåîäíîðîäíûõ ñèñòåì.
Ì.: ÊîìÊíèãà. 2005. ¹ 9(2). Ñ. 206–212.
Balkema A. A., de Haan L. Residual life time at great age // Annals of Probability. 1974. ¹ 2. Ð. 792–804.
Basel Committee on Banking Supervision, 2004.
Dupuis D. J. Exceedance over high thresholds: A guide to threshold selection, 2000.
Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosch T. Modelling Extremal Events // Applications of Mathematics: Stochastic Modelling and Applied Probability. Springer Verlag. 1997. ¹ 33.
Galambos J. The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics // John Wiley and Sons Inc. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, 1978.
Pickands J. Statistical inference using extreme order statistics // The Annals of Statistics. 1975. ¹ 3. P. 119–131.
Scshetinin E., Nazarenko K. Mathematical models and methods of estimation extreme values distribution
functions // Preprint JINR, 2003.
52
Рынки ценных бумаг R