влияние коэффициента теплового расширения на термоупругие

УДК 536.24
Морозкин Н.Д., Ткачёв В.И., Чудинов. В.В.
Башкирский государственный университет
Email: tvivlad@mail.ru
ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОВОГО РАСШИРЕНИЯ
НА ТЕРМОУПРУГИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В КЕРАМИЧЕСКОЙ ПРОБКЕ
В данной работе рассматривается, проблема разрушения керамической пробки при сто8
порной разливке стали. Разрушение связано с резким нагревом пробки, при заполнении про8
мышленного ковша жидкой сталью, и неравномерностью нагрева отдельных частей пробки. Раз8
работан алгоритм расчёта термоупругих напряжений в трёхмерной области методом конечных
элементов. При заданных исходных данных предложен способ поиска интервала изменения ко8
эффициента термического расширения, при котором не происходит разрушения изделия. Такой
подход позволил модифицировать технологию изготовления керамических пробок при раз8
личных условиях эксплуатации.
Ключевые слова: тепловое поле, термоупругие напряжения, метод конечных элементов, ма8
тематическое моделирование.
1. Постановка задачи
Исследуемая задача является осесимметрич
ной. Пусть область Ω ∈ R 2 – половина осевого се
чения c границей Γ ∈ ∂Ω , Γ ∈ Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 (рис 1).
Распределение температуры T( r, z, t ) в области
Ω описывается уравнением теплопроводности
∂ 2 T 1 ∂T ∂ 2 T
∂T
),
= kï ( 2 +
+
(1)
∂t
∂r
r ∂r ∂z 2
( r, z ) ∈ Ω , t ∈ [ 0, T ] , ρ – плотность мате
ρc
где точка
риала, c – теплоёмкость, k ï – коэффициент теп
лопроводности материала пробки.
Начальные и граничные условия имеют вид
T( r, z, t ) |t=0 = T0
∂T( r, z, t )
∂T( r, z, t )
|Γ1 = α ì ( Tì − T ),
|Γ2 = α â ( Tâ − T ),
∂n
∂n
∂T( r, z, t )
|Γ3 = 0 ,
∂n
(2)
здесь α ì ,α â – коэффициенты теплообмена с ме
таллом и с воздухом соответственно, Tì – тем
пература расплавленного металла, Tâ – темпе
ратура воздуха, n – вектор внешней нормали к
границе области Ω .
Напряженное состояние, возникающее в
области Ω , описывается уравнениями
 ∂σ rr ∂σ rz σ rr − σ θθ
+
+
=0
 ∂r
∂z
r
 ∂σ
,
 rz + ∂σ zz + σ rz = 0
 ∂r
∂z
r
где nr,nz – направляющие косинусы внешней
нормали к границе Г.
Задача. Требуется найти интервал измене
ния коэффициента температурного расшире
ния, в котором нагреваемое изделие не разру
шится от возникающих термонапряжений.
2. Решение задачи с применением
метода конечных элементов
В процессе разлива стали возникает два
вида нагрузок, связанных с изменением темпе
ратуры – это термический удар, вызывающий
сжимающие напряжения и неравномерный на
грев пробки.
В результате экспериментальных исследо
ваний [1], [2] показано, что мгновенное превы
шение напряжениями критических значений не
приводит к разрушению материала. Разруше
ние материала возможно при более длительной
нагрузке, т. е. при накоплении повреждений в
структуре материала [3], что возможно в резуль
тате возникающего неравномерного нагрева.
Поэтому, в работе принято допущение, что
к разрушению пробки приводят именно терми
ческие напряжения.
(3)
здесь σij – компоненты тензора напряжений,
i, j = r, z, θ . Граничные условия для уравнения
термоупругости (3) в рассматриваемом случае
примут вид
σ rr n r + σ rz n z = 0
σ n + σ n = 0 ,
zz z
 rz r
Рисунок 1. Осесимметричная модель керамической
пробки, Ω – расчётная область
ВЕСТНИК ОГУ №9 (170)/сентябрь`2014
103
Естественные науки
Учитывая, что коэффициент теплообмена
между расплавленным металлом и керамикой, а
также воздухом и керамикой в научной литера
туре не приводится, оценим их значения, с помо
щью теории пограничного слоя. Для случая рас
плавленного металла интенсивность теплообме
на определяется числом Нуссельта по формуле
Nu ì = c ⋅ Grìγ Prìη ,
где Grì – число Грасгофа, Prì – число Прандтля.
Параметр η определяется выражением
η = 0,3 + ( 0,02 / Prì1/ 3 ) . Значения постоянных c и γ
зависят от величины критерия Grì . При
Grì = 10 2 − 109 (ламинарный режим) значение
с=0,52 и γ=0,25. Если же Grì > 109 (турбулентный
режим теплообмена), то с=0,105 и γ=1/3. Само
число Грасгофа определяется выражением
Grì =
β ì ( Tì − T )gL3
,
ν ì2
здесь βì – коэффициент объёмного расшире
ния расплавленного металла, g – ускорение сво
бодного падения, L – характерный размер за
дачи, ν ì – коэффициент кинематической вяз
кости расплавленного металла. Число Prì оп
ределяется экспериментально. Используя чис
ло Нуссельта, коэффициент теплообмена с ме
таллом можно вычислить по формуле
α ì = k ì ⋅ Nu ì / L ,
где k ì – теплопроводность металла [4].
Оценим коэффициент теплообмена с воз
духом, для части пробки контактирующей с воз
духом по границе Г2. Число Нуссельта для теп
лообмена с воздухом определяется по формуле
Nu â = B( Grâ ⋅ Prâ ) n .
Число Грасгофа для теплообмена с возду
хом можно получить по формуле
Gr =
∂T&
n
где k â – теплопроводность воздуха [5].
Обозначим для удобства α = α ì + α â – коэф
фициент теплообмена и температуру среды
Tñð = Tì + Tâ – для границ Γ1 ∪ Γ2 .
Задачу (1) – (2) будем решать методом ко
нечных элементов. Для этого от задачи тепло
ВЕСТНИК ОГУ №9 (170)/сентябрь`2014
 ∂T 
 dΩ ) =

i ,s
∑ δq ( ∫ ρcT& ∂q& dΩ + k ∫ rT  ∂q
i
ï
i =1
i
Ω
=−
∑ δq ( ∫ αT
i
,s
Ω
n
i =1
ñð
Γ
∂T
∂T
dΓ − αT
dΓ ) ,
∂q i
∂
qi
Γ
∫
(4)
через запятую обозначены производные по пе
ременным r и z, s=1,2.
Искомое температурное поле T=T(q1, q2, ...,
qn, r, z, t) рассматривается как функция, завися
щая от n обобщенных координат q i , которые
являются неизвестными функциями времени.
Аналогично работе [7] дискретизацию рас
чётной области Ω проводим с помощью треу
гольных элементов, для чего строим неструкту
рированную сетку из m непересекающихся эле
ментов с n узлами. На полученной расчётной
сетке будем искать приближенное решение ва
риационной задачи теплопроводности (4) в виде
следующей линейной комбинации
n
~
T( r, z, t ) =
∑ q ( t )N ( r, z ) ,
i
(5)
i
i =1
где q i ( t ) – неизвестные коэффициенты, N i ( r, z ) –
базисные функции вида N i ( r, z ) = ( a + br + cz ) / 2 A ,
где A – площадь элемента.
Подставляя решение (5) в уравнение (4)
получим

n
n
i =1
j=1
∑∑  ∫ ρcN N q& dΩ + k ∫ rN

i
( Tâ − T )gl 3
.
Tâ ν 2â
В случае 103 < Grâ ⋅ Prâ < 109 , тогда В=0,76,
n=1/4, если же Grâ ⋅ Prâ > 109 , то B=0,15, n=1/3.
Коэффициент теплообмена с воздухом анало
гично вычисляется по формуле
α â = k â ⋅ Nu â / L ,
104
проводности перейдем к вариационной задаче,
воспользовавшись принципом стационарности
дополнительной энергии. В работе [6] показано,
что вариационную задачу, сформулированную
с помощью обобщённых координат, можно запи
сать в виде уравнений Лагранжа в дополнитель
ной форме
j
i
Ω
ï
i ,s
N j,sq i dΩ −
Ω

− ( αN i N jq i )dΓ  = −

Γ

∫
n
∑ ∫ αT dΓ .
(6)
ñð
j=1 Γ
В матричной форме для одного элемента с
узлами i, j, k, (6) запишется в виде
∫
∫
ρc [ N e ]T [ N e ]dΩ e [q& ] + ( k ï r[Be ]T [Be ]dΩe −
Ωe
Ωe
∫
∫
− α [ N e ]T [ N e ]dΓ e )[q ] = −α TñðdΓ e
Γe
Γe
,
 N i2
NiN j NiNk 


[ N ] [ N ]dΩ = N i N j N 2j N jN k  dΩ e
2

Ωe
Ωe  N N
 k i NkN j Nk 
∫
e T
e
e
∫
(7)
Морозкин Н.Д. и др.
Влияние коэффициента теплового расширения...
Матрица производных для одного треу
гольного элемента Ωe имеет вид
 ∂N i ∂N j ∂N k

e
∂r
∂r
[B ] =  ∂r
 ∂N i ∂N j ∂N k
 ∂z
∂z ∂z
∫ ( λεδε + 2Gε δε )dΩ −



.

ij
 N i2 N i N j

[ N ] [ N ]dΓ = N i N j N 2j
e
e
Γ
Γ 0
0

∫
e
e
∫
Ω
Просуммируем (7) по всем элементам, тог
да получим систему из n линейных дифферен
циальных уравнений
C[q& ] + B[q ] = P ,
где
C=
m
∑ ρc ∫ [ N ] [ N ]dΩ
e =1
B=
m
e T
∑ ( k ∫ [B ] [B ]dΩ
e T
ï
e =1
e
e
Ωe
P=−
e
e
Ωe
∫
ñð
Γe
e
C
C
+ B )q j = P + q j−1 ,
τ
τ
, i, j=1, 2
(9)
где
E
µE
ε = ε rr + ε zz – деформация, λ =
, G = 2(1 + µ ) –
(1 − µ ) 2
постоянные Ламе для плоского напряженного со
стояния. Уравнение (9) описывает изменение
полной термомеханической энергии тела, где ле
вая часть этого уравнения выражает изменение
энергии термоупругого деформирования тела, а
правая изменение работы граничных нагрузок.
Запишем выражение (9) в матричной фор
ме. Для этого постоянные Ламе λ и G запишем в
виде матрицы констант упругости
µ
1 − µ µ
 µ 1− µ µ
E
 µ
D=
µ 1− µ
(1 + µ )(1 − 2µ ) 
 0
0
0







0
0
0
1 − 2µ
2
{U}= [u v ]
T
.
Заменив производную по времени, конеч
ной разностью получаем следующую систему
уравнений
(
Γ
Обозначим через u=u1, v=u2. Перемещения
запишем в виде вектора
Γe
m
e =1
,
− α [ N e ]T [ N e ]dΓ e ) ,
∑ α ∫ T dΓ
∫
− ( 3λ + 2G )α T ( T − T0 )δe dΩ = σ ijδu i n jdΓ
0

0 dΓ e
.
0

∫
ij
Ω
Интегралы, учитывающие конвективный
теплообмен, например, между узлами i и j,
принадлежащих границе Г области Ω , имеет
вид
e T
Вариационная задача равносильная урав
нениям (3) имеет вид
(8)
где τ – шаг по времени.
Таким образом, исходная задача сводит
ся к системе линейных алгебраических урав
нений (8). Для линейного уравнения тепло
проводности матрицы C и B всегда являются
симметричными, с преобладающими элемен
тами на главной диагонали, поэтому для ре
шения системы уравнений (8) используем ме
тод итераций.
Задачу термоупругости (3) также заме
ним эквивалентной вариационной задачей,
основанной на принципе виртуальных (воз
можных) перемещений. Запишем вариацион
ное уравнение для случая, когда на тело дей
ствуют поверхностные силы f и термические
нагрузки, возникающие при неравномерном
тепловом поле.
Соотношения Коши, выражающие дефор
мации через перемещения примут вид
 ∂u
[ ε r ε z ε θ ε rz ]T = 
 ∂r
∂v
∂z
∂u ∂v 
+
∂z ∂r 
u
r
T
.
Решение задачи (9) будем искать на неструк
турированной расчётной сетке с треугольными
ячейками, использованной для решения задачи
теплопроводности. Перемещения u, v аппрокси
мируем кусочнолинейными функциями вида
u=
n
∑ N ( r, z )u ,
i
i
v=
i =1
n
∑ N ( r, z )v
i
i =1
i
,
где ui и vi – неизвестные коэффициенты. Тогда
матрица производных для одного элемента Ω e
с узлами i j k запишется в виде
 ∂N i

 ∂r
0

[B] = 
 Ni
 r
 ∂N i

 ∂r
0
∂N i
∂z
0
∂N i
∂z
∂N j
∂r
0
Nj
0
∂N j
∂z
0
r
∂N j
∂N j
∂r
∂z
∂N k
∂r
0
Nk
r
∂N k
∂r



∂N k 
∂z 

0 

∂N k 

∂z 
0
ВЕСТНИК ОГУ №9 (170)/сентябрь`2014
105
Естественные науки
Таким образом, уравнение (9) для одного
элемента можно записать в матричной форме
∫ [B ] [D][B ]{U}dΩ
e T
e
e
=
Ωe
∫
∫
= [Be ]T [D]{ε T }dΩ e + {N e }T{P}dΓ e ,
Ωe
(10)
Γe
где ε T = α T ∆T{1 1 1 0}T – вектор температурных
деформаций. Суммируя выражение (10) по всем
элементам расчётной сетки получим систему
линейных алгебраических уравнений
K{U} = F ,
(11)
где {U} – вектор неизвестных коэффициентов
для функции перемещений, K – матрица жест
кости, F – вектор узловых нагрузок. Матрицы
жесткости и вектора узловых нагрузок опреде
ляются выражениями
K=
m
∑ ∫ [B ] [D][B ]dΩ
e =1
F=
m
e T
Ωe
∑ ( ∫ [B ] [D]{ε
e =1
e T
Ωe
e
T
e
,
∫
}dΩ e + {N e }T{P}dΓ e ) .
Γe
Симметричность матрицы K и преоблада
ние главной диагонали позволяет применить
для решения системы линейных алгебраичес
ких уравнений (11) метод итераций.
Таким образом, на каждом временном слое
вычисляются температурные поля, затем вы
числяются перемещения точек тела связанных
с нагревом и поле напряжений.
Описанный алгоритм реализован в среде
программирования Delphi.
3. Результаты вычислительного
эксперимента
Керамическая пробка имеет следующие
теплофизические характеристики: µ =0,25,
E=2,76⋅1011 Па, ρ=3600 кг/м3, с=920 Дж/кг⋅К,
λ=25 Вт/м⋅К, αТ=8⋅106 1/К. Предел прочности
на растяжение и сжатие равны соответствен
но σр=2,21⋅108 Па, σс=2,484⋅109 Па. Расчёты про
ведены при температуре металла Тmet=1400 оС
и начальной температуре пробки Т=22 оС,
в течение времени T = 30 c , для значений коэф
фициентов теплового расширения из диапа
зона 1⋅107≤αТ≤3⋅106.
Согласно, работе [8] величина сжимающих
напряжений при термоударе не превышает зна
чения σñ = Eα T ( Tmet − T0 ) /(1 − 2ν ) , для рассмотренно
го в этой работе материала это значение при
наибольшем коэффициенте αТ=3⋅106 1/К рав
106
но σс=2,28⋅109 МПа, т. е. не превышает предела
прочности на сжатие, равного σcï =2,484⋅109
МПа. Не превышается предел прочности на
сжатие и при последующем нагреве, что под
тверждается численными расчётами (рис. 2).
Динамика изменения растягивающих напря
жений при различных значениях коэффициента
теплового расширения представлена на рис. 3.
ВЕСТНИК ОГУ №9 (170)/сентябрь`2014
Рисунок 2. Динамика сжимающих напряжений
1) 2⋅106 1/К, 2) 2,5⋅106 1/К, 3) 3⋅106 1/К,
4) предел прочности на сжатие
Рисунок 3. Динамика растягивающих напряжений
1) 2Ч106 1/К, 2) 2,5Ч106 1/К, 3) 3Ч106 1/К,
4) предел прочности на растяжение
Рисунок 4. Результат параметрического анализа
максимальных растягивающих напряжений
от коэффициента термического расширения
1 – максимальные растягивающие напряжения,
2 – предел прочности на растяжение
Морозкин Н.Д. и др.
Влияние коэффициента теплового расширения...
Из рис. 3 видно, что при αТ≤3⋅106 1/К рас
тягивающие термонапряжения превосходят
предел прочности на растяжение, что приведёт
к разрушению пробки.
В результате параметрического анализа,
проведённого на отрезке 1⋅107≤αТ≤3⋅106 (рис
4.), было определено, что для приведенных ус
ловий эксплуатации, значение коэффициента
теплового расширения не должно превышать
значения 2,8⋅106 1/К.
Полученные результаты были использова
ны в качестве рекомендаций при изготовлении
керамических пробок. Были внесены изменения
в технологию изготовления, что привело к уве
личению срока службы пробки.
25.04.2014
Список литературы:
1. Каннель, Г.И. Ударноволновые явления в конденсированных средах / Г.И. Каннель [и др.]. – М.: ЯнусК, 1996 – 408 с.
2. Курран, Д.Р. Динамическое разрушение / Д.Р. Курран // Динамика удара. – М.: Мир. 1985 – C. 257–293.
3. Белов, Н.Н. Расчёт железобетонных конструкций на взрывные и ударные нагрузки / Н.Н. Белов [и др.]. –
Томск: Нортхэмптон. 2004. – 465 с.
4. Исаченко, В.П. Теплопередача / В.П. Исаченко, В.А. Осипова, А.С. Сукомел – М.: Энергия, 1975, 488 с.
5. Кислицын, А.А. Основы теплофизики / А.А. Кислицын. – Тюмень, 2002. – 152 с.
6. Био, М. Вариационные принципы в теории теплообмена / М. Био. – М: Энергия, 1975.
7. Ткачёв, В.И. Расчёт динамики термоупругих напряжений в керамическом клапане методом конечных элементов / В.И.
Ткачёв, Н.Д. Морозкин, В.В. Чудинов // Вестник Башкирского университета. – 2014. – Т. 19.–№1.– С. 8–13.
8. Коваленко, А.Д. Основы термоупругости / А.Д. Коваленко. – Киев: Наукова думка, 1975. – 301 с.
9. Новацкий, В. Динамические задачи термоупругости / В. Новацкий. – М.: Мир, 1970.
10. Боли, Б. Теория температурных напряжений / Б. Боли, Дж. Уэйнер. – М.: Мир, 1964.
11. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. – М.: Мир, 1979.
Сведения об авторах:
Морозкин Николай Данилович, ректор Башкирского государственного университета,
доктор физикоматематических наук, профессор
Ткачёв Владислав Игоревич, ассистент кафедры прикладной и высшей математики,
Бирский филиал Башкирского государственного университета, еmail: tvivlad@mail.ru
Чудинов Валерий Валентинович, доцент кафедры прикладной и высшей математики,
Бирский филиал Башкирского государственного университета, кандидат физикоматематических
наук, доцент, еmail: chudinovvv@rambler.ru
450074, Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32
ВЕСТНИК ОГУ №9 (170)/сентябрь`2014
107