ВычМатСаввx

Разместить на личном сайте Савватеева В.В. под именем «Для2курсаФЭТ2013»
Автор текста: В.В. Савватеев (09.09.2013)
Просьба прочесть эту информацию студентам групп Э-21/Э, Э-21/Р, Э-21/РТ,
А-21/А, А-21/НТ.
Мы начинаем изучать дисциплину «МАТЕМАТИКА. Вычислительная математика». Она изучается в 1 и 2 модуле
второго курса и заканчивается сдачей экзамена. По ней предусмотрены черезнедельные лекции и еженедельные
практические занятия. На лекциях даются постановки задач, важных для практики (расчет токов в электрических
цепях, колебания мембраны, распространение тепла и др.) и излагаются методы их приближённого решения. На
практических занятиях делается расчёт учебных задач в пакете МАТЛАБ.
На личной странице доцента Савватеева В.В. (ведущего лекции и практику по этой дисциплине) имеются
сведения о параметрах дисциплины, а также ссылка на «План учебной дисциплины» (ПУД), на который опирается её
преподавание в 2013/14 учебном году. В этом году преподавание «Вычислительной математики» занимает не 4 модуля
(как это предполагалось вначале), а только 2. В связи с этим количество часов лекций, практических занятий и
самостоятельной работы студентов составляет не 32+64+120 = 216 , а в два раза меньше: 16+32+60. Соответственно
этому, в тематическом плане дисциплины количество часов, отведённых для каждой темы, надо уменьшить вдвое.
КАЖДАЯ из тем, указанных в этом плане, должна быть усвоена студентом с оценкой не ниже 3 баллов (из 10).
Желательно заранее познакомиться с образцами заданий, тестов и экзаменационных билетов, указанных в ПУД, и
просмотреть учебники по теории и практике (работе с МАТЛАБ), рекомендованные в нём.
По итогам первого дня занятий (которое было запланировано на 5 сентября) необходимо выполнить два
домашних задания: теоретическое и практическое. Практическое задание посвящено освоению простейших навыков
работы в пакете МАТЛАБ версии 7: арифметические действия, логические условия, элементарные функции, простые
графики на плоскости. Персональные варианты 1-го практического задания уже выданы в каждой из пяти групп потока,
и о них ещё раз будет говориться на занятии 11 сентября. Формулировка же теоретического задания, разъяснения по
нему, порядок выполнения и таблица персональных вариантов следуют ниже. Если этих разъяснений окажется
недостаточно, все желающие могут прийти на необязательную консультацию к 9.00 часам 11 сентября в дисплейный
класс ДК252.
Теория, задание 1. Дан определённый интеграл от функции f(x) на отрезке [a, b]. Вычислить его абсолютно
точно с помощью формулы Ньютона-Лейбница (в ответе должно быть удержано не менее шести точных значащих
цифр). < Функция f(x) подобрана так, что от неё легко берётся неопределённый интеграл>. Отрезок [a, b] затем
разбивается на три указанных преподавателем части (равные или неравные). На каждой из них площадь под кривой
надо выразить приближённо по простейшей формуле Симпсона I = (d-c)/6*[f(c) + 4f(0,5*(c+d)) + f(d)], где [c, d] – тот
отрезок, на котором применяется формула Симпсона. После сложения трёх приближённых значений площади получаем
приближённое значение исходного интеграла (во всех промежуточных действиях надо обеспечивать 6 верных значащих
цифр). Сравнить приближённое и точное значение интеграла и найти значение допущенной ошибки как по абсолютной
величине, так и по знаку (см. ниже теоретические пояснения). Указать в процентах модуль допущенной ошибки. Далее,
взять расчётную формулу для оценки сверху модуля ошибки, допускаемой по вине неточности метода интегрирования
по Симпсону. Сложить все ошибки, допущенные на каждом из кусков, на которые был разбит исходный отрезок [a, b].
Убедиться, что полученное число («оценка сверху модуля ошибки») меньше, чем модуль самой ошибки (которую нам
удалось найти только потому, что интеграл от f(x) берущийся; это бывает далеко не всегда).
Теоретические пояснения. Все величины, которые приходится измерять и использовать в реальной жизни,
известны нам не точно, а приближённо. Например, допустим, что Ваша месячная зарплата составляет ровно 2000
долларов. Разве это не абсолютно точное число? Если, однако, разобраться в сути дела, то можно выразить целый ряд
сомнений в точности этого числа. 1) Кто сказал, что работа, проделанная Вами за месяц, в точности «стоит» 2000
долларов? 2) Нас интересует не зарплата «грязными деньгами», а зарплата «чистыми», то есть то, что Вы получите на
руки. Уверены ли Вы, что все налоги, которые из неё будут вычтены, посчитаны а)правильно и б)справедливо? 3)Как
учесть влияние инфляции, если Вы делаете покупки не сразу, а через 1-2 месяца: а)делаете их в России? и б)делаете их
в Англии? И так далее в том же духе. Поэтому можно сказать, что 2000$ - измеренное значение Вашей зарплаты, равное
(истинная зарплата) + (допущенная при измерении ошибка).
Так мы и будем делать в этом задании. Мы будем считать, что при «измерении» величины интеграла I* с
помощью троекратного применения формулы Симпсона нами получено I (точное значение) +  (допущенная нами
ошибка). ИТАК, I* = I +  . При этом ошибка может быть и положительной, и отрицательной (кассир, например,
выдавая Вам зарплату, может ошибиться «в свою пользу» и «в Вашу пользу»; второе, как говорят злые языки, бывает
гораздо реже). Может она и равняться нулю (но только в порядке большого исключения).
Теперь будет указано выражение, оценивающее сверху ошибку, допускаемую формулой Симпсона. (Она
справедлива для функций, у которых есть любое количество производных (такова, например, функция sin(x) ) ). В это
выражение, как показали исследования, входит ЧЕТВЁРТАЯ производная от f(x). А именно:
|  | <= max |f ‘’’’(x)| (d-c)5/2880 (максимум производной берётся по всем точкам отрезка [c, d]).
Отсюда сразу видно, что если f’’’’ = 0, то и ошибка равна нулю. Например, для линейной, квадратичной или
кубической функции f(x) формула Симпсона даёт абсолютно точный ответ. А выше было сказано, что такое бывает
только в порядке большого исключения. Так оно и есть. На свете есть так много функций, что линейные, квадратичные
и кубические среди них встречаются исключительно редко!
Образец решения задачи.
Пусть f(x) = sin(x), a=0, b=π. Пусть требуется разбить [a, b] на три равные части. Точками деления являются π/3
и 2π/3. Неопределённый интеграл от sin(x) равен -cos(x) (так как производная от косинуса равна минус синусу). По
формуле Ньютона-Лейбница заданный определённый интеграл абсолютно точно выражается формулой F(b) – F(a), то
есть -cos(π) + cos(0) = 2. Нам повезло, и получилось целое число. Но если бы правый конец отрезка находился в точке
b= π/6, в ответ входил бы корень из трёх. Вот тут-то и пришлось бы взять его приближённо, с шестью верными цифрами после запятой. (В этом задании ошибка метода Симпсона значительно превышает 0,000001).
Суть формулы Симпсона заключается в том, что на отрезке [c,d] график функции f(x) заменяется графиком
параболы, проходящей через точки (c, f(c)), (d, f(d)) и (m, f(m)), где m – середина отрезка [c, d]. А график параболы
легко интегрируется. Чем меньше длина отрезка [c, d], тем плотнее график параболы прилегает к графику f(x), и тем
меньше ошибка, допускаемая методом Симпсона. График функции sin(x) симметричен относительно вертикали х=π/2.
Для оценки по Симпсону исходного интеграла (равного, как мы видели, просто двум) разумно не применять этот метод
три раза для отрезков [0, π/3 ], [π/3, 2π/3] и [2π/3, π], а применить его только к двум отрезкам [0, π/3 ] и [π/3, π/2] , а
потом удвоить ответ. На первом их этих двух отрезков метод Симпсона даёт значение площади, равное
π/18*
[0 + 4*sin(π/6) + sin(π/3)]. На втором (вдвое более коротком) отрезке получаем π/72*[2 + корень из трёх + 8 cos (π/12)).
Вычисляя две этих площади (на всякий случай) не с 6-ю, а с 9-ю знаками после запятой, складывая их и
удваивая ответ, получим оценку значения исходного интеграла: 2,000458762. А на самом деле он равен 2 (ошибка в
сторону завышения ответа). Отличие в процентах ошибки от истинного значения (=2) составляет 0,023%.
Теперь применим два раза указанную выше оценку ошибки метода Симпсона и сложим ответы. В результате
получим, что 4-я производная синуса тоже равна синусу, а максимум синуса на первом отрезке равен 0,866 (почему?).
В ответе получается, что ошибка по модулю не может быть больше (но может быть и значительно меньше!),
чем
0,000784707. А на самом деле она равна 0,000458762 (чуть ли не вдвое меньше).
Персональные варианты будут выдана на практическом занятии в среду.
Например: f(x) = x*exp(-2*x); отрезок [-2, 2]; точки деления x=-1 и х=1.
ПРИМЕЧАНИЕ. Пока что расчёты можно сделать в Excel или даже на калькуляторе. Но позже все вычисления
(и тот же ответ!) должны быть получены в пакете МАТЛАБ.