Домашнее задание №1

Домашнее задание №1
Срок сдачи 8 (9) октября 2013 г.
Задача 1.1. В мешке лежит поровну костей с 4, 6, 8 и 10 гранями, грани каждой кости пронумерованы последовательными числами, начиная с единицы. Из мешка извлекают наугад одну
из костей, подбрасывают её и смотрят на результат.
(а) Найдите вероятность того, что выпадет число 5.
(б) Найдите условную вероятность того, что извлечённая кость имела 6 граней при условии,
что выпало 5 очков.
Задача 1.2. В мешке лежали один шар белого и один шар чёрного цвета. Из него извлекли
один шар и положили в ящик. Также в ящик положили ещё один белый шар. Наконец, из ящика
извлекли один шар, он оказался белым. Какова вероятность того, что оставшийся в ящике шар
тоже белый?
Задача 1.3. На факультете математики Э-ского университета юноши составляют 80%, причём
длинные волосы носят 20% юношей и 50% девушек.
(а) Однажды Том, студент этого факультета, увидел вдалеке коллегу с длинными волосами.
Какова вероятность того, что это девушка?
(б) На том же факультете 10% юношей и 5% девушек зовут Роберт(а), причём среди юношей,
равно как и среди девушек, наличие длинных волос и имени Робби независимы. Какова
вероятность того, что увиденного Томом коллегу зовут Робби?
Задача 1.4. Приведите пример n случайных событий, таких что любые n − 1 из них независимы, а все они вместе — зависимы.
Задача 1.5. Докажите двойственный вариант формулы включений-исключений:
P(A1 ∩ · · · ∩ An ) =
n X
k−1
(−1)
X
P(Ai1 ∪ · · · ∪ Aik ) .
1≤i1 <···<ik ≤n
k=1
Задача 1.6. При прохождении каждого порога вероятность сломать байдарку равна p1 ,
вероятность потерять весло равна p2 , а вероятность пройти порог без происшествий равна
p3 = 1 − p1 − p2 . На реке 10 порогов, в поход взяли два запасных весла. Какова вероятность
того, что байдарка после прохождения всех порогов будет цела и управляема?
Задача 1.7. За круглый стол в случайном порядке садятся n мужчин и n + k (k ≥ 0) женщин.
Какова вероятность того, что никакие два мужчины не сидят рядом?
Задача 1.8. На экзамене n студентов тянут по одному из n билетов, пронумерованных от 1
до n (вытянутые билеты обратно не возвращаются, так что разным студентам достаются разные
билеты). Какова вероятность того, что ни у одного из студентов номер билета не совпадёт с
номером студента в алфавитном списке сдающих?
Задача 1.9.* Поезд составлен из n1 вагонов 1-го класса и n2 вагонов 2-го класса, сцепленных
в случайном порядке. Обозначим nij (i, j = 1, 2) число вагонов i-го класса, за которыми идёт
вагон j-го класса. Найти вероятность P{n11 = α11 , n12 = α12 , n21 = α21 , n22 = α22 }.
Задача 1.10. В мешке лежит R шаров красного и B шаров чёрного цвета. Проделаем n раз
следующую процедуру: вытащим наугад шар из мешка, после чего положим в мешок два шара
того же цвета (тем самым число шаров в мешке увеличилось на 1). Какова вероятность того,
что среди извлечённых шаров оказалось r красных и b чёрных (r + b = n)?
1
Задача 1.11. На остановке останавливается два маршрута трамваев — №14 и №39. Момент
прихода пассажира на остановку определяет точку (t14 , t39 ) ∈ [0, 20 мин] × [0, 15 мин], координаты которой — время до прихода трамвая соответствующего маршрута. Считая, что точка
(t14 , t39 ) равномерно распределена в указанном прямоугольнике, найдите:
(а) вероятность того, что пассажир, которому подходит любой из маршрутов, уедет не позже,
чем через 10 минут;
(б) вероятность того, что такой пассажир уедет на трамвае №14;
(в) условную вероятность того, что такой пассажир уехал на трамвае №14, при условии, что
он уехал не позже чем через 5 минут после прихода на остановку;
(г) условную вероятность того, что такой пассажир уехал не позже чем через 5 минут после
прихода на остановку, при условии, что он уехал на трамвае №14.
Задача 1.12. На паркет, составленный из правильных шестиугольников со стороной a, бросают
монету радиуса r. Какова вероятность того, что монета целиком попадёт внутрь одного из
шестиугольников?
Задача 1.13. Докажите, что коэффициент корреляции случайных величин ξ и η равен ±1
тогда и только тогда, когда η = aξ + b почти наверное для некоторых a, b ∈ R.
Задача 1.14. Случайный вектор (t14 , t39 ), компоненты которого равны времени до прихода
трамвая соответствующего маршрута, равномерно распределён в прямоугольнике [0, 20 мин] ×
[0, 15 мин] (см. задачу 1.11). Случайная величина τ равна времени ожидания трамвая пассажиром, которому подходит любой из маршрутов. Найти для случайной величины τ :
(а) функцию распределения;
(б) плотность распределения;
(в) математическое ожидание.
Задача 1.15. В метании молота участвуют n совершенно одинаковых спортсменов. Результат ξk , который показывает k-й спортсмен, распределён по некоторому закону с непрерывной
функцией распределения F (одной и той же для всех спортсменов) и независим от результатов
других спортсменов. Событие Ak = {ξk > ξi при всех i = 1, . . . , k − 1} состоит в том, что k-й
спортсмен выступил лучше, чем все выступившие до него. Докажите, что события Aj независимы и найдите вероятность каждого из них.
Задача 1.16. Случайная величина ξ распределена по стандартному нормальному закону: ξ ∼
N (0, 1). Найдите все её моменты E(ξ k ), k ∈ N.
Задача 1.17. Вектор ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) распределён по многомерному гауссовскому закону.
(а) Докажите, что компоненты вектора ξ независимы в совокупности тогда и только тогда,
когда они некоррелированы.
(б) Пусть вектор η равен Aξ, где A : Rn → Rm — некоторый линейный оператор. Докажите,
что вектор η распределён по гауссовскому закону и выразите его вектор математических
ожиданий и матрицу ковариаций через таковые для исходного вектора ξ.
Задача 1.18. Время τ жизни радиоактивного атомного ядра распределено по экспоненциальному закону с плотностью p(x) = λ1 e−λx (x ≥ 0).
(а) Как связаны параметр λ, математическое ожидание времени жизни Eτ и время полураспада T1/2 (время, по истечении которого ядро распадётся с вероятностью 1/2)?
(б) Докажите, что условное распределение величины (τ − t0 ) при условии τ ≥ t0 — экспоненциальное с тем же параметром. («Ядра распадаются от несчастного случая, а не от
старости.»)
(в) Ядро радия-225 распадается с T1/2 = 15 сут, испуская электрон и превращаясь в ядро
актиния-225. Ядро актиния-225 распадается с T1/2 = 10 сут, испуская альфа-частицу. В
2
момент времени t = 0 имелось ядро радия-225. Каково распределение времени до вылета
альфа-частицы? Каково его математическое ожидание?
Задача 1.19. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы и равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти математическое ожидание и дисперсию для величин
ξ1 + . . . + ξn
,
ξ¯ =
n
ξ(n) = max(ξ1 , . . . , ξn ).
Задача 1.20. В точке (0, 1) плоскости находится стрелок, который выстреливает в случайном направлении (угол выстрела равномерно распределён на интервале [0, 2π]). Найдите распределение абсциссы ξ точки, в которой пуля пересечёт ось абсцисс, при условии, что такое
пересечение имеет место. Имеет ли величина ξ математическое ожидание? дисперсию?
Задача 1.21. Величина ξ распределена по закону Коши с параметрами x0 и γ, т.е. плотность
aξ + b
γ
. Докажите, что величина η =
расеё распределения равна fx0 ,γ (x) =
2
2
π((x − x0 ) + γ )
cξ + d
a(x0 + iγ) + b
пределена по закону Коши с параметрами x00 , γ 0 , причём x00 + iγ 0 =
.
c(x0 + iγ) + d
Задача 1.22. Независимые случайные величины ξ и η одинаково распределены, и каждая
из
p
2
них имеет плотность p(x). Найти совместную плотность q(u, v) величин α = ξ−η и β = ξ + η 2 .
Задача 1.23. Случайные величины ξ и η независимы и равномерно распределены на отрезке
[0, 1]. Найдите плотность распределения следующих величин: ξ + η, ξη, ξ/η.
Задача 1.24. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn — результаты испытаний в схеме Бернулли (они
независимы и принимают значения 1 и 0 с вероятностями p и q соответственно). Найти математическое ожидание и дисперсию:
(а) числа η0 нулей в наборе значений случайных величин (ξ1 , . . . , ξn );
(б) числа η00 пар последовательных нулей в этом наборе, то есть таких i ∈ {1, . . . , n − 1}, что
(ξi , ξi+1 ) = (0, 0);
(в)* числа η101 последовательностей вида 101 в этом наборе, то есть таких i ∈ {1, . . . , n − 2},
что (ξi , ξi+1 , ξi+2 ) = (1, 0, 1).
Задача 1.25. Случайные точки A1 = (ξ1 , η1 ), A2 = (ξ2 , η2 ), A3 = (ξ3 , η3 ) независимы и нормально распределены на плоскости с нулевым математическим ожиданием и единичной матрицей
ковариаций. Найти плотность распределения длины медианы A1 M1 треугольника A1 A2 A3 .
Задача 1.26. Случайные величины ξ1 , . . . , ξk (результаты измерений) одинаково распределены. Математическое ожидание и дисперсия каждой их них равны соответственно a и σ 2 . Случайные величины ν1 , . . . , νn (выбираемые номера) равномерно распределены на множестве
{1, . . . , k}, причём величины ξ1 , . . . , ξk , ν1 , . . . , νn независимы в совокупности. Найдите математическое ожидание и дисперсию следующих величин: Sk = ξ1 + · · · + ξk , Tn = ξν1 + · · · + ξνn .
Задача 1.27.* Говорят, что случайная величина ξ имеет безгранично делимое распределение,
если для любого n её функция распределения совпадает с функцией распределения случайной
(n)
(n)
(n)
(n)
величины η1 + . . . + ηn , где η1 , . . . , ηn — некоторые независимые одинаково распределённые
случайные величины.
Докажите, что если случайная величина ξ имеет безгранично делимое распределение, сосредоточенное на конечном отрезке (т. е. P{|ξ| > C} = 0 при некотором C), то ξ имеет вырожденное
распределение (т. е. существует a, для которого ξ = a почти наверное).
3