О методах оценки эконометрических функций, имеющих порог

О методах оценки эконометрических функций,
имеющих порог насыщения и «S» - образных кривых
И.К. Баландин
About the methods off the estimate econometrics functions with the limit of
the growth and the «S» - variety curvatures
I. K. Balandin
В данной статье рассмотрены вопросы оценки эконометрических моделей, описывающих процессы в экономике и технике, имеющие пределы изменения (например, насыщение рынка товарами определенного вида, изменение характеристик технических систем). Обсуждаемая методика имеет определенное значение для разработки прогнозов в
сфере экономики и научно-технического прогресса.
In this article was examined questions of estimate econometrics models, which describes
the processes in the economics and technique with the limit of growth (for example, supplements
off the markets with goods of definition view, changing of the characteristics of technical
systems). The discussing method has definite significance for making the forecasts in the sphere
of economics and science – technical progress.
Ключевые слова: метод наименьших квадратов, предел насыщения, «S» - образные кривые, экстраполяция, характеристики технических систем, аппроксимация. прогнозирование, текстильная промышленность.
Keyword: the method of the least square, limit of the growth, «S» - variety curvatures,
extrapolation, characteristic of technical systems, approximating, forecasting, textile industry.
Для описания процессов насыщения рынка определенного вида товарами определеного вида, диффузии инноваций, жизненного цикла товаров и услуг достаточно широко
могут быть использованы математические зависимости (функции), имеющих предел изменения и так называемые «S» - образные кривые, например, известная логистическая
функция.
Их характерными особенностями являются:
а) наличие предела (порога) изменения или асимптоты;
б) наличия точек перегиба (характеристических параметров), свидетельствующих об изменении скорости процессов, динамику которых эти кривые отражают;
в) оценка параметров подобных функций ( y = f ( t ) ) не всегда возможна с помощью классического метода наименьших квадратов (МНК) [7].
Среди подобных функций рассматривают:
а) монотонно изменяющиеся кривые, имеющие предел изменения (верхний или нижний):
различные гиперболы, функции Торнквиста;
б) собственно «S» - образные кривые: модифицированная экспонента, логистические кривые, функция Гомперца – Макегама, функция Джонсона, экологическая кривая и т. п [6].
Особый интерес представляют эконометрическая оценка параметров именно тех
функций, к которым нельзя непосредственно применить МНК. Для оценки подобных зависимостей приходится прибегать к предварительному преобразованию временных рядов:
логарифмированию, взятию обратных величин, преобразованию в темпы изменения и т.п
[5].
Рассмотрим методические предпосылки оценки данных функций на примере функции Джонсона. Она описывает процесс изменения во времени характеристик технических
систем, например, машин и механизмов, их агрегированных технико – экономических параметров в рамках единого способа производства продукции, что весьма полезно в смысле
построения эконометрических функций для прогнозирования последствий научно – технического прогресса в конкретной отрасли науки и техники.
Выбор в исследовании пал на функцию Джонсона не случайно. Во многих случаях
она лучше аппроксимирует эмпирические данные динамики характеристик технологических и экономических процессов с насыщением, чем, к примеру, модифицированная экспонента, логистическая кривая или кривая Гомперца – Макегама.
Монотонные кривые насыщения, а к ним относятся упомянутые функции, определяются монотонно возрастающими или монотонно убывающими кривыми роста [6].
Наличие у кривой насышения «S» - образной формы можно объяснить следующим
образом: на первом отрезке до достижения точки перегиба проявляется действие монотонного возрастания, на втором, после достижения экстремальной точки – действие монотонного убывания функции роста. Значительный вклад в изучение динамики развития
экономических и технических систем с помощью кривых насыщения был внесен американским ученым Прайсом [8]. В зависимости от общего вида используемой функции различают три типа S – образных кривых насыщения: левосторонние, правосторонние симметричные. К примеру, логистическая кривая относится к симметричным, а функция
Джонсона - к левосторонним кривым насыщения.
lgyt = a – b /(c+t)
a
a-2
t
tw =bc/2
График функции Джонсона
Как видно из представленного рисунка, функция Джонсона имеет определенную
характеристическую точку – точку перегиба с координатами: yt = (a -2) и t = bc/2, Ордината предела насыщения – а.
Функция Джонсона, имеет следующий вид:
^
yt = 10 a - b/(c+t)
(1)
Как видно из представленной формулы, функция явно не поддается процедуре линеаризации только посредством логарифмирования. Действительно, возникает некий тупик:
^
lg yt = a – b/(c + t),
(2)
связанный с невозможностью определить параметры a, b и c c помощью МНК, так как
логарифм yt нелинейно связан с указанными параметрами. Попробуем уйти от подобной
зависимости, перенеся параметр (а) в левую часть выражения (2):
^
lg yt – a = - b/(c + t)
(3)
Далее, осуществим операцию обращения левой и правой части уравнения (3), возведя эти части в минус первую степень степень:
^
1/(lg yt – a) = - (c + t)/b
(4)
Выражение (4) можно преобразовать следующим образом:
^
1/ (lg yt – a) = - (c/b) – (1/b) t
Теперь можно сделать замену переменных следующим образом:
^
Y = 1/(lg yt – a); A0 = - (c/b); A1 = - (1/b)
^
Y = A0 + A1t,
(5)
(6)
(7)
к которой уже возможно применить МНК и по определенным параметрам А0, А1можно
определить b и c:
b = - 1/ A1; с = - А0 b
(8)
Таким образом, можно определить только два параметра функции Джонсона, собственно асимптоту (а) приходится рассчитывать априори, исходя из соображений собственно технологического характера.
Данный метод в определенном смысле ущербен, так как не всегда представляется
возможным предварительно обосновать характеристику (а), тем более что, в аналитических целях именно она должна быть получена в результате эконометрических исследований.
Для оценки функций, имеющих нелинейный характер зависимости между yt и параметрами (коэффициентами регрессии). З. Павловский использовал так называемый разностный метод преобразования исходной статистической информации [2]. Для модифицированной экспоненты:
^
yt = a + bct ,
(9)
согласно методу Павловского, были предусмотрены следующие превращения:
Δyt = yt+1- yt = a + b ec (t+t) – a – b ect = b ect (ec -1)
Формулу ( 9 ) записывают по другому :
b ect = yt – a
(10)
(11)
и полученное выражение подставляют в ( 10 )
Δyt = ( yt – a )( ec – 1),
(12)
( ec -1) = β
(13)
обозначив:
Таким образом, получают:
Δyt = ( yt – a ) = yt β – a β
(14)
Произведя соответствующие замены переменных Yt = Δyt, - aβ = α , можно построить уравнение регрессии:
^
Yt = α + β yt,
(15)
а к выражению (15) легко применить МНК и далее получить значения а, b и с, при этом:
a = α / β, c = ln (1 + β ).
(16)
Подобную схему (возможно впервые) предлагаем использовать для оценки параметров функции Джонсона. Однако, эту схему необходимо дополнить некоторыми процедурами: логарифмированием временного ряда yt, расчетом разности этих логарифмов по
всей длине временного ряда, делением этих величин на величины базовых приростов временного ряда t, операцией обращения.
В соответствии с указанным произведем эти процедуры:
(lgyt – lgy1) / (t – 1) = ( (a – b/(c + t) – (a – b/(c +1))/ (t -1) = b / ( c2 + c + t c + t)
(17)
Точки после знака равенства означают, что было проведено ряд алгебраических
преобразований, пока не было получено выражение ( 17 ), для которого введем операцию
обращения:
((t – 1) / (lgyt – lgy1))-1 = ((c2 + c + c t + t)/ b)-1.
В итоге получаем следующее выражение:
((t – 1) / (lgyt – lgy1) = c( c + 1) / b + (c + 1)t / b
(18)
Введем следующие обозначения: Zt = (t – 1)/(lgyt – lgy1), А0 = с(с + 1) / b, A1 = (c +
1) / b и получим следующее уравнение:
^
Zt = A0 + A t.
(19)
Для нахождения параметров данного уравнения применим МНК, который дает
возможность определить b и c, исходя из следующих соображений:
c = At / A1, b = c (c + 1) A0
Для нахождения параметра а можно использовать следующую формулу:
n
n
a = Σ lgyt / n + b (Σ ( 1 / (c + t)) / n,
t=2
t=2
где:
(20)
(21)
n – количество наблюдений во временном ряде.
Попытаемся претворить высказанные ранее теоретические рекомендации в конкретные расчеты. Для этого используем следующую статистическую информацию, характеризующую изменение производительности оборудования в ткацком производстве в
бывшем СССР за ряд лет (в тыс. уточин в час на один ткацкий станок).
Таблица 1
Динамика производительности ткацкого оборудования за период 1952 – 1972 гг.
в хлопчатобумажной промышленности СССР ( в тыс. уточин в час )*
Годы
ПроизводиГоды
ПроизводиГоды
Производительность
тельность
тельность
оборудоваоборудоваоборудования
ния
ния
А
1
2
3
4
5
1952
9,96
1959
11,09
1966
11,57
1953
10,15
1960
11.29
1967
11.69
1954
10,33
1961
11.37
1968
11,75
1955
10,59
1962
11,45
1969
11,81
1956
10,71
1963
11.4
1970
11.8
1957
10,97
1963
11,47
1971
11.89
1958
10,99
1964
11.53
1972
11.92
*/ В ткацком производстве принято измерять производительность оборудования не в
метрах, а в зависимости от средней ширины и плотности тканей по количеству уточных
нитей в единице длины.
К сожалению, отследить динамику эффективности использования оборудования в
текстильной промышленности Р.Ф. в современных условиях почти невозможно из-за отсутствия подобной информации в открытой печати. Однако, аналитическая ценность в
приведенной информации все – таки имеется. На ее основе можно определить характерные точки развития агрегированной технологии данного производства.
Для сравнения результатов аппроксимации приведенного временного ряда, помимо
функции Джонсона, используем для аналитического выравнивания временного ряда также
модифицированную экспоненту, функцию Гомперца – Макегама, логистическую функцию:
^
yt = a + b ect
t
^
yt = a bc
(22)
^
yt = a / ( 1 + b e –ct)
(23)
В качестве критериев успешности аппроксимации исследуемого временного ряда
были использованы 2 характеристики: остаточное среднее квадратическое отклонение и
средняя относительная ошибка (в %)
n
^
σост = ( Σ ( yt – yt)2 / (n – p – 1 ))1/2 ,
(24)
t =1
^
где:
yt - расчетное (теоретическое) значение временного ряда;
p – количество параметров в аппроксимирующей функции.
n
^
ξ = ( Σ ((yt – yt)2)1/2 / yt *100) / n
t=1
(25)
Для принятия решения о выборе наилучшей функции необходимо, чтобы величины
σост и ξ должны быть минимальными. Результаты расчетов по аналитическому выравниванию представлены в табл. 2.
Таблица 2
Сравнительные характеристики аппроксимации временного ряда по
различным функциям
Показатели
Аппроксимирующие функции
(1)
( 9 )*
( 22)**
(23)***
А
1
2
3
4
σост
0,0624
0,926
0,1069
0,124
ξ
0,371
1,218
0,67
0,956
*/ Параметры модифицированной экспоненты были оценены по формулам (9) – (16).
**/ Параметры функции Гомперца – Макегама определялись методом «трех сумм» [ 4 ].
***/ Для расчета параметров логистической функции был применен метод Фишера [3 ],[4]
Данные приведенной таблицы свидетельствуют о том, что наилучшей функцией
для аппроксимации временного ряда является именно функция Джонсона, так как значения σост, и ξ у этой функции минимальны. Для верификации полученной модели был использован дисперсионный анализ, результаты которого опущены из соображений экономии, но проверка полученного уравнения тренда по критериям: Фишера и Стъюдента
показала его высокую значимость [7].
В окончательном виде функция Джонсона может быть представлена:
^
yt = 10 1,126 – 1,629/(11,858 + t)
(26)
Предел насыщения роста производительности оборудования в хлопкоткацком
производстве в пределах анализируемого периода составил 13,366 тыс уточин в час. Другой аналитической характеристикой является точка перегиба с координатами:
yt = 101,126 – 2 = 11,366 тыс уточин в час, t = 1,629*11,858/2 = 9,7= 10 год (1961г.)
Выражение (26) помимо сносных аппроксимирующих возможностей обладает еще
и прогностическими. К примеру, прогноз производительности ткацкого оборудования в
хлопчатобумажной промышленности СССР на 1975 и1980 гг составил: 12,039 и 12,194
тыс уточин. Фактически в этот период производительность оборудования составила:
12,136 и 12,803 тыс уточин [ 4 ]. Таким образом порог насыщения даже за восьмилетний
период (с 1972 по 1980 гг) достигнут не был. В этом проявилась наша застарелая проблема, связанная с низкими темпами диффузии достижений НТП в производство. Эта проблема сохранилась и по сей день. В данном случае это означало, что парк ткацкого оборудования в хлопчатобумажной промышленности состоял в то время да, вероятно, и в настоящее время состоит в основном из сравнительно низко производительных челночных
станков. Производительность челночного ткацкого оборудования в среднем составляет не
более 500 метроуточин в минуту (т.е. 20 -30 тыс. уточин в час) [1].
За последние десятилетия были разработаны и внедрены различные виды ткацкого
оборудования (конкретно ткацких станков) у которого вместо классического челнока для
прокладывания уточных нитей используют пневматические, пневморапирные, гидравлические, рапирные, микрочелночные прокладчики. Во всем мире происходит интенсивная
замена челночных ткацких станков бесчелночными. Это позволит повысить производительность оборудования в 1,5 – 2 раза [1].
Однако, эти технические новшества в смысле повышения эффективности ткацкого
производства уже не являются последним словом в текстильной науке и технике. Даль-
нейший прогресс в этой области связан с внедрением способов многозевного ткачества (8
– 10 прокладчиков на 1 метр ткани), что дает возможность повысить производительность
многозевных машин примерно в 3 – 4 раза в сравнении с бесчелночным оборудованием.
Кроме того, уже созданы технологии, позволяющие получать вязанотканое переплетение (некий гибрид ткани и вязанного полотна).
Оборудование, на котором получают этот продукт дает возможность получать 2430
-2590 метроуточин в минуту [1]. Кстати, в настоящее время в мире установлено 2800000
челночных и 160000 бесчелночных ткацких станков.
Проведенный экскурс в развитие технологии современного текстильного производства позволяет выявить реперные точки или некие пределы насыщения, ограничивающие изменение технологических характеристик оборудования в пределах конкретного
способа производства. Для описания этих изменений вполне могут быть использованы
математические функции типа функции Джонсона. Совокупность подобных функций,
описывающих динамику изменений параметров технических систем за длительный пер од
смены технологических парадигм, позволяет построить некую «огибающую кривую», которую целесообразно использовать для прогнозирования НТП.
Список использованных литературных источников
1. Баженов В. И. Материаловедение. Принципиальные схемы получения текстильных материалов. tricotaz ha. net >drugie…chemyi…tekstilnyih…
2. Ланге О., Банасинский А. Теория статистики. М: Статистика. 1971 399 с.
3. Льюис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. М: Финансы статистика. 1986. 134 с
4. Легкая промышленность в десятой пятилетке. ЦНИИТЭИ легпром МЛП СССР 470 с.
5. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М: Статистика. 1975 184 с.
6. Хауштейн Г. Методы прогнозирования в социалистической экономике. М: Прогресс
1971. 398 с.
7. Эконометрика: учеб./ под ред. И.И. Елисеевой. – М: Проспект, 2011 – 288 с.
8. Price Little Science, Big Science, New York, Columbia Univ. Press, 1965.