Лекция 35

Лекция 35
Тема:
Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм.
Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.
Сложение колебаний.
Рассмотрим вращение вектора длиной А вокруг неподвижной оси Х (рис. 1).
Координата конца вектора изменяется по закону:
x=A0 cos(ωt+φ). Следовательно конец вектора будет
совершать гармонические колебания с амплитудой
А и циклической частотой ω. То есть гармонические
колебания можно удобно представить графически с
помощью вращающегося вектора. Этот метод
называется метод векторных диаграмм.
Используем этот метод для сложения двух
колебаний, происходящих с одинаковой частотой в одинаковом направлении:
x1=A1 cos(ωt+φ1), x2=A 2cos(ωt+φ2).
Амплитуда результирующего вектора
находится по теореме косинусов
. Его
координата естественно х=х1+х2.
.
Если складываемы колебания имеют
разные частоты, то результирующее
колебание не является гармоническим.
Частный случай, когда частоты
складываемых колебаний мало отличаются
по величине, называется биениями. График
этого процесса представлен на рисунке 3.
Как видно амплитуда результирующего
колебания является функцией времени :
.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Пусть материальная точка совершает колебания, как вдоль оси X, так и вдоль оси
Y: x=A1 cos(ω1t+φ1), y=A 2cos(ω2t+φ2). В случае если отношение частот можно выразить
целыми числами, то траектории движения замкнуты и называются фигурами Лиссажу
(рис. 4). Отношение частот равно отношению числа касаний со сторонами
прямоугольника, в который она вписывается. Если частоты равны, то фигуры Лиссажу
имеют форму эллипса
, а при равенстве
-
амплитуд – окружности. Если разность
координат. При
, то оси эллипса совпадают с осями
уравнение колебаний имеет вид прямой.
Затухающие колебания.
Затухающими колебаниями называются свободные колебания, энергия
которых уменьшается с течением времени. Второй закон Ньютона для затухающих
колебаний имеет вид: ma=-кx+Fтр , где кх – квазиупругая (восстанавливающая) сила, Fтр
– которую для малых колебаний системы при отсутствии сухого трения, прямо
пропорциональна скорости тела : Fтр=-rx' (r-коэффициент трения). Уравнение колебаний в
дифференциальном виде: mx"+rx'+kx=0 или
- собственная частота колебаний системы –это та частота,
с которой совершались бы колебания в отсутствии силы трения. Решением
дифференциального уравнения будет являться функция:
.
- частота
колебаний. При β>ω0
колебания станут
апериодическими. График
затухающих колебаний
приведен на рисунке 5.
Амплитуда колебаний
уменьшается по закону:
.
Период затухающих
колебаний T=2π/ω.
Логарифмическим декрементом затухания называется величина равная отношению
амплитуд колебаний в моменты времени, отличающиеся на период:
=βT.
Время, за которое амплитуда уменьшается в е раз, называется временем релаксации –τ.
. За это время система успевает совершить Ne колебаний.
Ne=
Следовательно логарифмический декремент затухания обратно пропорционален Ne
=1/ Ne. Для характеристики колебательной системы употребляют величину Q=π/ =π Ne ,
которая называется добротностью колебательной системы.
Вынужденные колебания.
Колебания, происходящие под действием внешней, периодической силы
F=F0sinωt называются вынужденными колебаниями, а саму силу называют
вынуждающей силой.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:
. Амплитуда вынужденных колебаний:
.
Исследуем, при каком значении частоты ω амплитуда колебаний будет максимальной.
Для этого исследуем знаменатель выражения. z=
z'=
.
Отсюда
. Это частота
называется резонансной частотой, а
само явление, при котором
наблюдается резкое возрастание
амплитуды вынужденных колебаний
при определенном значении частоты
вынуждающей силы, называют
резонансом. При отсутствии
.
затухания, резонансная частота равна собственной частоте колебаний: ωрез=ω0. Амплитуда
при резонансе:
(рисунок 6).
Автоколебания.
Если система сама управляет воздействием внешних сил, таким образом, чтобы
восполнялась потеря энергии, расходуемая на преодоления сил трения, то такая система
называется автоколебательной системой, а колебательное движение называют
автоколебаниями. В автоколебательной системе должны присутствовать (рис.7):
1. Источник энергии,
от которого
происходит
поступление энергии.
2. Колебательная
система – параметры
которой определяют
частоту колебаний.
3. Клапан,
регулирующий
процесс поступления
энергии в систему.
4. Устройство обратной связи, посредством которой система управляет клапаном
таким образом, чтобы поступлении энергии компенсировало потери энергии.
Примером механической автоколебательной системы могут
служить часы, например настенные (рисунок 8). Гиря –
источник энергии, анкер – клапан, маятник – колебательная
система, взаимодействие анкера с храповиком – осуществляет
обратную связь.