Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет Кафедра теоретической и экспериментальной физики «УТВЕРЖДАЮ» Декан ЕНМФ __________И.П. Чернов ________________2001 г. ДИФРАКЦИЯ Методические указания по курсу «Общей физики» для решения задач по теме: «Дифракция» для студентов-заочников всех специальностей. Томск 2001 УДК 53.072:681.3 Дифракция. Методические указания по решению задач по курсу «Общей физики» для студентов-заочников всех специальностей. Томск, изд. ТПУ 2001. – 11 с. Составитель: к.ф.-м.н., Л.В. Жданова Рецензент: ст. преп. А.Ф. Горбачев Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим семинаром кафедры теоретической и экспериментальной физики. Зав. кафедрой «___»___________2001г. Ю.Л. Пивоваров КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Под дифракцией света понимают любое отклонение распространения световых волн от прямолинейного, не обусловленное законами геометрической оптики. Дифракцию света в большинстве случаев можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса-Френеля, который можно сформулировать так: каждая точка фронта волны является источником вторичных когерентных волн, которые, распространяясь во всех направлениях, интерферируют. Дифракционная картина на экране и является результатом этой интерференции. В курсе общей физики рассматриваются две группы явлений дифракции: дифракция сферических волн (от круглого отверстия, от круглого диска) и дифракция плоских волн (от узкой щели, дифракционная решетка). Решить дифракционную задачу - значит найти относительное распределение освещености на экране в зависимости от размеров и формы препятствий, вызывающих дифракцию. Простейшие задачи решаются на основе метода зон Френеля. Суть метода в следующем. Открытая часть фронта волна разбивается на участки (зоны Френеля) таким образом, что вторичные волны от двух соседних зон приходят в точку наблюдения в противофазе. В результате, если число открытых зон Френеля, построенных для некоторой точки экрана, нечетное, то в этой точке будет наблюдаться светлое пятно, если четное - то пятно будет темное. Радиусы зон Френеля для сферической поверхности световой волны, испускаемой точечным источником 5, вычисляются по формуле: ab k k (1) ab где а - радиус волновой поверхности, b - расстояние от вершины волновой поверхности до точки Р, для которой построены зоны Френеля (см. рис. 1), k - номер зоны (k = 1,2,3,...). Радиусы зон Френеля для плоской волны. k bk В случае дифракции в параллельных лучах от одной щели положение минимумов освещенности на экране определяется условием. a sin k , k 1,2,3,..... где - угол дифракции, а - ширина щели, - длина волны, k - порядок минимума. Условие максимума освещенности. a sin 2k 1 , k 1,2,3,... 2 где - угол дифракции. При нормальном падении лучей на дифракционную решетку положение главных максимумов освещенности определяется выражением. d sin k , k 0,1,2,3,..... где d - постоянная решетки, k - номер главного максимума, ( - угол между нормалью к поверхности решетки и направлением дифрагированных волн. Разрешающая сила дифракционной решетки. R kN где - наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий ( и ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, N - число штрихов решетки; k - порядковый номер дифракционного максимума. Угловая дисперсия дифракционной решетки. k D угл. d cos где - угловое расстояние между спектральными линиями, - разность длин волн для этих линий. Линейная дисперсия дифракционной решетки. D лин. l где l - линейное расстояние на экран между спектральными линиями, разностью длин волн . Для малых углов дифракции. D лин. fD угл. где f - главное фокусное расстояние линзы, собирающей на экране дифрагирующие волны. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1 Точечный источник света S ( = 550 мкм) освещает экран, расположенный на расстоянии l= 11м от S. Между источником света S и экраном на расстоянии а == 5м от экрана помещена диафрагма с круглым отверстием, радиус которого r == 2,1 мм. Является ли освещенность в центре получающейся на экране дифракционной картины большей или меньшей, чем та, которая будет иметь место, если диафрагму убрать. Решение В отсутствии диафрагмы, когда волновой фронт полностью открыт, амплитуда колебаний в центре экрана А = A1/2, где А1 - амплитуда колебания, дошедшего до центра экрана от первой зоны Френеля (см, рис. 1). Поставим диафрагму с отверстием. Если диафрагма открывает k зон Френеля, то амлитуда в центре экрана равна A А1 А k ; знак плюс 2 2 соответствует нечетному числу открытых зон Френеля, знак минус четному. Радиусы зон Френеля, которые уложились на открытой части волнового фронта удовлетворяют условию (1). (При малом радиусе отверстия длину а можно считать равной расстоянию от источника S до преграды, а длину b - расстоянию от преграды до точки Р ). Если радиус отверстия удовлетворяет условию : ab r k ab где k - четное число, то освещенность в центре экрана уменьшается при наличии диафрагмы; если k - нечетное число, освещенность увеличивается. Расчет дает: r2 l 2,1 10 3 11 k 3 9 al a 550 10 511 5 Следовательно, освещенность центра экрана увеличивается при наличии диафрагмы. Задача 2 2 На диафрагму с круглым отверстием радиусом г •=• 2 мм падает нормально параллельный пучок лучей монохроматического света (А == 0,5 мкм). Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии l = 1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии темное или светлое пятно получится в центре дифракционнной картины, если в месте наблюдении поместить экран? Решение Освещенность точки Р (см. рис. 2) определяется числом зон Френеля, укладывающихся в отверстии. (В этом случае зоны Френеля имеют вид плоских колец, т. к. фронт волны - плоский). Расстояния от двух соседних зон до точки Р различаются на 2 , следовательно, по теореме Пифагора получаем: 2 2 2 r b b k 2 где k - число зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Т.к. b , членом, содержащим 2 , можно пренебречь. Учтя это, получим: 2 r2 2 10 3 k 8 b 1 0,5 10 6 Т. к. число зон Френеля - четное, в центре экрана будет темное пятно. Задача 3 На щель шириной а = 0,2 мм падает нормально параллельный пучок монохроматического света. Расположенная за щелью линза (см. рис. 3) проектирует на экран дифракционную картину в виде чередующихся светлых и темных полос. Расстояние экрана от линзы l = 2 м. Ширина центральной светлой полосы на экране а= 1,2 см. Определить длину волны падающего света. Решение Центральная светлая полоса заключена между двумя минимумами интенсивности первого порядка. При дифракции от одной щели положение минимумов интенсивности света определяется выражением. a sin k где - углы, под которыми наблюдаются минимумы интенсивности; k - порядок минимума; у нас k = 1; - длина световой волны. b Из условия видно, что угол - весьма мал. Поэтому sin tg l 2 Подставим найденное значение sin в условие минимума, получим: ab k 2l Отсюда: ab 0,2 10 3 1,2 10 2 0,6мкм 2lk 2 21 Задача 4 При освещении дифракционной решетки белым светом спектры второго и третьего порядков отчасти перекрывают друг друга. На какую длину волны Ад, в спектре второго порядка накладывается фиолетовая граница ( = 0,4 мкм.) спектра третьего порядка? Решение Дифракционная решетка разлагает свет в спектр. На рисунке 4 изображены схематически спектры разных порядков, даваемые решеткой при пропускании через нее белого света. Буквами к и ф обозначены красный и фиолетовый концы спектров. По условию задачи спектры второго и третьего порядков частично перекрывают друг друга; при этом углы отклонения одинаковы для длины. волны = 0,4 мкм спектра третьего порядка и некоторой длины волны x в спектре второго порядка. Из условия максимума интенсивности: d sin k запишем: 2 x d 3 sin d sin Отсюда: Искомая длина волны: 3 2 x d d x 3 0,4 0,6мкм 2 Задача 5 Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на решетку с постоянной d = 2,2 мкм, если угол между направлениями на максимумы первого и второго порядков = 15° Решение: Условия максимума 1-го и 2-го порядка: d sin 1 где 2 1 d sin 2 2 d sin1 2d sin 1 sin1 2 sin 1 Проведем тригонометрические преобразования: sin 1 cos sin cos 1 2 sin 1 sin 1 sin2 1 sin 1 2 cos 2 2 sin 1 2 2 cos d d 2 2 2 sin 1 2 2 2 cos d d 2 4 4 cos cos 2 1 2 1 d 1 cos 2 2 5 4 cos 1 2 d sin2 d sin 5 4 cos 2,2 0,26 0,52мкм 5 4 0,97 Задача 6 Найти угловую дисперсию решетки с постоянной d = 5 мкм, если = 0,500 мкм, порядок спектра k = 3. Решение Угловая дисперсия D угл. k k , где d cos d 1 sin2 - угол дифракции. Из условия главного максимума sin = D угл. k Получим: d k k d 1 d 3 D угл. 5 10 6 3 5 10 7 1 6 5 10 2 2 0,63 10 6 рад. м. Задача 7 Свет падает нормально на прозрачную дифракционную решетку шириной l = 6,5 см, имеющую 200 штрихов на миллиметр. Исследуемый спектр содержит спектральную линию с А = 6708Л, которая состоит из двух компонентов, отличающихся по длинам волн на = 0,15А, lA = 10-7 мм. Найти: а) в каком порядке спектра эти компоненты будут разрешены; б) наименьшую разность длин волн min , которую может разрешить эта решетка в области ~ 6700A Решение а) По определению разрешающая способность дифракционной решетки: R kN 1 1 . Число штрихов решетки N , где d N d постоянная решетки. Тогда: Отсюда получаем k k d l 6708 10 7 мм1 200мм k 4 0,15 10 7 мм 65 мм ; Разность длин волн, которую может разрешить решетка, kN минимальна при заданных и N и максимальном k . Максимальный порядок спектра, который дает решетка, находится из условия отклонения линии спектра на угол . Из условия максимума дифракции получаем: 2 d k max б) k max d min min 2 2 dN l 6,7 10 3 2 6,5 10 8 0,07 A ЛИТЕРАТУРА