II. Ýëàñòè÷íîñòü ôóíêöèè 563 Óïðàæíåíèÿ 1. Ñóììàðíàÿ âåëè÷èíà îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé f(õ) = à + bõ + ñõ2, à > 0, b > 0, ñ > 0. Íàéäèòå ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ f (x) è f ′(x) , ó÷àñòêè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ñðåäíåé âåëè÷èíû è ïîëîæåíèå åå ìèíèìóìà; ïðåäñòàâüòå ðåçóëüòàòû ãðàôè÷åñêè. 2. Ôóíêöèÿ f(õ) çàäàíà ãðàôè÷åñêè (ðèñ. 5). Ïîñòðîéòå êà÷åñòâåííî ãðàôèêè ôóíêöèé f (x) è f ′(x) . ×åì èíòåðåñíû òî÷êè à, b, ñ, d? 3. Ñóììàðíàÿ âåëè÷èíà îïèñûâàåòñÿ ñòåïåííîé ôóíêöèåé f(x) = àõb. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè âñåõ õ ñðåäíèå çàòðàòû ïðîïîðöèîíàëüíû ïðåäåëüíûì. Ñîâåòóåì Âàì ïîñëå ïðî÷òåíèÿ Ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðèëîæåíèÿ II âûïîëíèòü ñëåäóþùèå óïðàæíåíèÿ, â êîòîðûõ f(õ) ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé ïðè õ > 0. 4. Äîêàæèòå òîæäåñòâà: Εx [f ] = f ′(x) / f (x); Ðèñ. 5. Ê óïðàæíåíèþ 2. [] Εx f = Εx [f ] − 1. 5. Äîêàæèòå, ÷òî f (x) âîçðàñòàåò ïðè ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå ïðè Ε (f ) = 1. óáûâàåò ïðè Εx (f ) < 1 è ïðèíèìàåò x II. Ýëàñòè÷íîñòü ôóíêöèè Ïóñòü âåëè÷èíà y çàâèñèò îò âåëè÷èíû õ, è ýòà çàâèñèìîñòü îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé ó = f(õ). Ãëàâíûé âîïðîñ àíàëèçà çàâèñèìîñòåé ýòî âûÿñíåíèå òîãî, êàê èçìåíèòñÿ çàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ ó âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà õ. Îñíîâíîå ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðåäåë îòíîøåíèÿ àáñîëþòíûõ ïðèðàùåíèé ïåðåìåííûõ dy ∆y . = lim dx ∆x→0 ∆x (1) Íî î÷åíü ÷àñòî îòíîñèòåëüíûå èçìåíåíèÿ èíòåðåñóþò ýêîíîìè- 564 Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå ñòà ãîðàçäî áîëüøå, ÷åì àáñîëþòíûå. Åñëè, íàïðèìåð, ìàëåíüêèé àðáóç ïîäîðîæàë íà 15 êîï., òî ïðè ýòîì áîëüøîé àðáóç ïîäîðîæàë, ñêàæåì, íà 50 êîï. èëè äàæå íà ðóáëü.  òî æå âðåìÿ, åñëè àðáóçû ïîäîðîæàëè â 1.5 ðàçà, òî â 1.5 ðàçà äîðîæå ñòàë è ìàëåíüêèé, è áîëüøîé àðáóç, è êèëîãðàìì, è âàãîí àðáóçîâ. Àíàëèç îòíîñèòåëüíûõ èçìåíåíèé ïîçâîëÿåò ñóäèòü î ìíîãèõ ýêîíîìè÷åñêèõ ÿâëåíèÿõ ñ áîëüøåé ñòåïåíüþ îáùíîñòè, ÷åì àíàëèç àáñîëþòíûõ èçìåíåíèé. Ïîýòîìó íàðÿäó ñ ïðîèçâîäíûìè ïðè àíàëèçå ðàçëè÷íûõ çàâèñèìîñòåé â ýêîíîìèêå øèðîêî ïîëüçóþòñÿ îñîáûìè ïîêàçàòåëÿìè ýëàñòè÷íîñòÿìè. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ îòíîñèòåëüíûõ ïðèðàùåíèé: ∆x ; δx = x δy = ∆y f (x + ∆x) − f (x) = . y f (x) Ýëàñòè÷íîñòüþ ïåðåìåííîé ó ïî ïåðåìåííîé õ íàçûâàåòñÿ ïðåäåë Εx [f ] = δy . δx → 0 δ x lim (2) Ðàçóìååòñÿ, îòíîñèòåëüíûå îòêëîíåíèÿ èìåþò ñìûñë ëèøü äëÿ âåëè÷èí, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ýòî îòíîñèòñÿ è ê ýëàñòè÷íîñòÿì. Ïîýòîìó äàëüøå ìû âñþäó áóäåì ïîëàãàòü õ > 0, ó > 0. Ïðè ýòîì ñëó÷àè õ = 0 èëè ó = 0 ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî êàê ïðåäåëüíûå. Òàê êàê óñëîâèå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà δx → 0 ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ ∆x → 0 , ðàâåíñòâî (2) ìîæåò áûòü ðàñêðûòî ñëåäóþùèì îáðàçîì: Εx [f ] = lim ∆x → 0 ∆y / y ∆ y x ⋅ , = lim ∆ x / x ∆x → 0 ∆ x y à ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé (1) ïîëó÷àåì Εx [f ] = dy x ⋅ . dx y (3) Ïîñêîëüêó õ è ó ïîëîæèòåëüíû, çíàê ýëàñòè÷íîñòè âñåãäà ñîâïàäàåò ñî çíàêîì ïðîèçâîäíîé: Εx [y] > 0 äëÿ âîçðàñòàþùèé ôóíêöèé, Εx [y] < 0 äëÿ óáûâàþùèõ. Ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà ýëàñòè÷íîñòü ìîæåò ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ: Εx [y] > 0 íà ó÷àñòêàõ âîçðàñòàíèÿ, Εx [y] < 0 íà ó÷àñòêàõ óáûâàíèÿ ôóíêöèè. ×òîáû ñäåëàòü ïîíÿòèå ýëàñòè÷íîñòè áîëåå äîõîä÷èâûì, íåêîòîðûå àâòîðû îïðåäåëÿþò åãî òàê: ýëàñòè÷íîñòü ïîêàçûâàåò, íà ñêîëüêî II. Ýëàñòè÷íîñòü ôóíêöèè 565 ïðîöåíòîâ óâåëè÷èòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè, åñëè àðãóìåíò óâåëè÷èòñÿ íà 1 %. Ýòî îïðåäåëåíèå íå ñîâñåì òî÷íî: îòíîñèòåëüíîå ïðèðàùåíèå 0.01 â îáû÷íûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî c÷èòàòü ìàëîé âåëè÷èíîé, íî âñå-òàêè íå áåñêîíå÷íî ìàëîé, êàê ýòî ïðåäïîëàãàåòñÿ îïðåäåëåíèåì (2). Òàê, äëÿ ôóíêöèè ó = Àõ2 ýëàñòè÷íîñòü, êàê ïîêàçûâàåò ðàâåíñòâî (3), ðàâíà 2, à óâåëè÷åíèå õ íà 1 % âëå÷åò çà ñîáîé óâåëè÷åíèå ó íà 2.01 % (ïðîâåðüòå!). Èç ðàâåíñòâà (3) ñëåäóþò îñíîâíûå ñâîéñòâà ýëàñòè÷íîñòè: à) ýëàñòè÷íîñòü áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà, çíà÷åíèå êîòîðîé íå çàâèñèò îò òîãî, â êàêèõ åäèíèöàõ èçìåðåíû àðãóìåíò è ôóíêöèÿ. Åñëè è = Àõ, v = By, òî Εu [x] = dv u B dy Ax ⋅ = ⋅ ⋅ = Εx [y]; du v A dx By á) ýëàñòè÷íîñòè âçàèìíî îáðàòíûõ ôóíêöèé âçàèìíî îáðàòíûå âåëè÷èíû: Εy [ x] = dx y ⋅ = dy x 1 Εx [y] . Ýòî ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ (2); â) ýëàñòè÷íîñòü ïåðåìåííîé ó ïî ïåðåìåííîé õ ðàâíà ïðîèçâîäíîé ëîãàðèôìà ó ïî ëîãàðèôìó õ. Òàê êàê d ln x 1 = , dx x d ln y 1 dy = ⋅ , dx y dx ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî dln y dln y / dx x dy = = ⋅ = Εx [y ], d ln x d ln x / dx y dx èëè Εx [y] = d log y . d log x (4)  ïîñëåäíåì âûðàæåíèè èñïîëüçîâàíû ëîãàðèôìû ïî ïðîèçâîëüíîìó îñíîâàíèþ: ïåðåõîä îò îäíîãî îñíîâàíèÿ ëîãàðèôìîâ ê äðóãîìó ðàâíîñèëåí óìíîæåíèþ íà êîíñòàíòó è ÷èñëèòåëÿ, è çíàìåíàòåëÿ äðîáè (4), à ýòî íå èçìåíèò åå çíà÷åíèÿ. Ðàâåíñòâî (4) ïîêàçûâàåò, ÷òî èçó÷åíèå ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ ýëàñòè÷íîñòè ëåãêî ñâåñòè ê èçó÷åíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ïðîèçâîäíûõ: äîñòàòî÷íî ïåðåéòè îò âåëè÷èí x è y ê èõ ëîãàðèôìàì. 566 Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå Äîïóñòèì, íàñ èíòåðåñóåò ýëàñòè÷íîñòü ïðîèçâåäåíèÿ uv äâóõ ïåðåìåííûõ, çàâèñÿùèõ îò îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà õ: Εx [uv] = d ln uv d ln u d ln v = + = Εx [u] + Εx [v]. d ln x d ln x d ln x Òàê êàê Εx [x] = 1, èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå âàæíîãî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ: Εx [xy] = Εx [y] + 1. (5) Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå õó óáûâàåò ñ ðîñòîì õ, åñëè Εx [y] < −1, è âîçðàñòàåò, åñëè Εx [y ] > −1 (ðèñ. 1). Êàê ìîæíî îöåíèòü ýëàñòè÷íîñòü ôóíêöèè ó = f(õ) ïî åå ãðàôèêó? Ðàññìîòðèì âíà÷àëå âîçðàñòàþùóþ ôóíêöèþ (ýëàñòè÷íîñòü ïðè ýòîì ïîëîæèòåëüíà). Âûáåðåì íà ãðàôèêå òî÷êó Ì è ïðîâåäåì ÷åðåç ýòó òî÷êó Ðèñ. 1. Èçìåíåíèå ïðîèçâåäåíèÿ õó ïðè êàñàòåëüíóþ; îáîçíà÷èì À è  ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ýëàñòè÷íîñòè. òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ êàñàòåëüíîé ñ îñÿìè àáñöèññ è îðäèíàò, à Ñ è D ïðîåêöèè òî÷êè Ì íà êîîðäèíàòíûå îñè. Äîïóñòèì, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïåðåñåêàåò îñü îðäèíàò â îòðèöàòåëüíîé îáëàñòè, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 2,à. Ðèñ. 2. Ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ýëàñòè÷íîñòè: âàðèàíòû ïîëîæåíèÿ êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè. II. Ýëàñòè÷íîñòü ôóíêöèè Èç ñâîéñòâ ïðîèçâîäíîé ñëåäóåò, ÷òî 567 MC dy . = AC dx Íî MC = y, MD = OC = x, à èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ BMD è MAC ñëåäóåò MB MD x dy , = = ⋅ MA AC y dx èëè Εx [y] = MB . MA (6) Âñå ïðèâåäåííûå âûêëàäêè è ðåçóëüòàò (6) ïîëíîñòüþ ïðèìåíèìû è ê ïîëîæåíèþ êàñàòåëüíîé íà ðèñ. 2,á. Ðàçíèöà ñîñòîèò ëèøü â òîì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå |ÌÂ| > |ÌÀ|, òàê ÷òî îí îòíîñèòñÿ ê çíà÷åíèÿì Εx [y] > 1; âî âòîðîì ñëó÷àå |ÌÂ| < |ÌÀ|, òàê ÷òî çäåñü 0 < Εx [y] < 1. Ïðè Εx [y] = 1 êàñàòåëüíàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Ãðàôèê äëÿ ôóíêöèè ñ îòðèöàòåëüíîé ýëàñòè÷íîñòüþ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2,â. Âñå îáîçíà÷åíèÿ îñòàâëåíû ïðåæíèìè. Ðàññóæäàÿ ïî àíàëîãèè, ÷èòàòåëü áåç òðóäà óñòàíîâèò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå Εx [y] = − MB . MA (7) Ìû ìîãëè áû ïðèìåíèòü ðàâåíñòâî (6) è ê ýòîìó ñëó÷àþ, åñëè áû óñëîâèëèñü ñ÷èòàòü îòíîøåíèå îòðåçêîâ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè îíè íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó (îò òî÷êè M), è îòðèöàòåëüíûì åñëè â ïðîòèâîïîëîæíûå. Ðàññìîòðèì òåïåðü ýëàñòè÷íîñòü äâóõ âèäîâ ôóíêöèé, øèðîêî èñïîëüçóåìûõ â ðàçëè÷íûõ ýêîíîìè÷åñêèõ ìîäåëÿõ. Ðàññìîòðèì ñòåïåííóþ ôóíêöèþ (ðèñ. 3) âèäà ó = ÀõB. (8) Ðèñ. 3. Ñòåïåííûå ôóíêöèè. 568 Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå dy = ABx B −1, Åå ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà dx à ýëàñòè÷íîñòü x Εx [y] = ABx B −1 ⋅ B = B Ax (9) ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ õ. Èíûìè ñëîâàìè, ýëàñòè÷íîñòü ñòåïåííîé ôóíêöèè ïîñòîÿííà è ñîâïàäàåò ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè. Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ (ðèñ. 4) ó = à + bõ (10) èìååò ïîñòîÿííóþ ïðîèçâîäíóþ, íî åå ýëàñòè÷íîñòü ïðè a ≠ 0 èçìåíÿåòñÿ ñ èçìåíåíèåì õ. Ïîíÿòèå ýëàñòè÷íîñòè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ: y = f(x1, x2, ..., xN). Ïîä ÷àñòíîé ýëàñòè÷íîñòüþ ôóíêöèè ïî îäíîìó èç àðãóìåíòîâ xk ïîíèìàåòñÿ ýëàñòè÷íîñòü ïåðåìåííîé ó, ðàññìàòðèâàåìîé â çàâèñèìîñòè òîëüêî îò xk, ïðè ïîñòîÿííûõ çíà÷åíèÿõ îñòàëüíûõ àðãóìåíòîâ. Îíà ñâÿçàíà ñ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïî ýòîìó àðãóìåíòó ñîîòíîøåíèåì Εxk [y] = ∂y xk . ⋅ ∂xk y Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ìîãóò áûòü äîêàçàíû ÷èòàòåëåì êàê ñàìîñòîÿòåëüíûå óïðàæíåíèÿ. 1. Äëÿ ëèíåéíîé ôóíêöèè (10): à) åñëè à > 0, b > 0, òî ñ èçìåíåíèåì õ îò 0 äî + ∞ ýëàñòè÷íîñòü âîçðàñòàåò îò 0 äî +1 (ðèñ. 4,à); á) åñëè à < 0, b > 0, òî ñ èçìåíåíèåì x oò a/b äî + ∞ ýëàñòè÷íîñòü óáûâàåò îò + ∞ äî +1 (ðèñ. 4,á); â) åñëè à > 0, b < 0, òî ñ èçìåíåíèåì õ îò 0 äî a/b ýëàñòè÷íîñòü óáûâàåò îò 0 äî ∞ ; â ñåðåäèíå ýòîãî îòðåçêà Εx [y ] = −1 (ðèñ. 4,â); 2. Ýëàñòè÷íîñòü ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè ó = ÀÂx èçìåíÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî õ. Ðèñ. 4. Âàðèàíòû ëèíåéíîé ôóíêöèè. III. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà è ôóíêöèè 569 3. Âñå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé ñ ïîñòîÿííîé ýëàñòè÷íîñòüþ èìåþò âèä (8) (âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàâåíñòâîì (4)). 4. Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ñ ïîñòîÿííûìè ÷àñòíûìè ýëàñòè÷íîñòÿìè ýòî ñòåïåííûå ôóíêöèè âèäà B y = Ax1B1 x2B2 ,..., xNN . III. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà è ôóíêöèè Ïðè èññëåäîâàíèè ýêîíîìè÷åñêèõ ÿâëåíèé ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè âåñüìà çíà÷èòåëüíûì îêàçûâàåòñÿ òàêîå ñâîéñòâî ìíîãèõ ìíîæåñòâ è ôóíêöèé, êàê âûïóêëîñòü. Õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ ìíîãèõ ýêîíîìè÷åñêèõ îáúåêòîâ ñâÿçàí ñ òåì. ÷òî îïðåäåëåííûå çàâèñèìîñòè, îïèñûâàþùèå ýòè îáúåêòû, ÿâëÿþòñÿ âûïóêëûìè. Ñ âûïóêëîñòüþ ôóíêöèé è ìíîæåñòâ ÷àñòî ñâÿçàíî ñóùåñòâîâàíèå èëè åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷: íà ýòîì æå ñâîéñòâå îñíîâàíû ìíîãèå âû÷èñëèòåëüíûå àëãîðèòìû. Ñïðàâåäëèâîñòü ìíîãèõ óòâåðæäåíèé, îòíîñÿùèõñÿ ê âûïóêëûì ìíîæåñòâàì è ôóíêöèÿì, ñîâåðøåííî ÿñíà, îíè ïî÷òè î÷åâèäíû.  òî æå âðåìÿ èõ äîêàçàòåëüñòâî çà÷àñòóþ î÷åíü ñëîæíî. Ïîýòîìó çäåñü áóäóò èçëîæåíû íåêîòîðûå îñíîâíûå ôàêòû, ñâÿçàííûå ñ âûïóêëîñòüþ, áåç äîêàçàòåëüñòâ, â ðàñ÷åòå íà èõ èíòóèòèâíóþ óáåäèòåëüíîñòü. 1. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà íà ïëîñêîñòè Ëþáàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôèãóðà íà ïëîñêîñòè ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ìíîæåñòâî òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ ýòîé ôèãóðå. Îäíè ìíîæåñòâà (íàïðèìåð, êðóã, ïðÿìîóãîëüíèê, ïîëîñà ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè) ñîäåðæàò è âíóòðåííèå, è ãðàíè÷íûå òî÷êè; äðóãèå (íàïðèìåð, îòðåçîê, îêðóæíîñòü) ñîñòîÿò òîëüêî èç ãðàíè÷íûõ òî÷åê. Ìíîæåñòâî òî÷åê íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îíî îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ëþáûå äâå òî÷êè ýòîãî ìíîæåñòâà, öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â ýòîì ìíîæåñòâå (ðèñ. 1). Ïðèìåðàìè âûïóêëûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ: òðåóãîëüíèê, îòðåçîê, ïîëóïëîñêîñòü (÷àñòü ïëîñêîñòè, ëåæàùàÿ ïî îäíó ñòîðîíó îò êàêîé-ëèáî ïðÿìîé), âñÿ ïëîñêîñòü. Äðóãèå ïðèìåðû âûïóêëûõ ìíîæåñòâ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2,à. Íà ðèñ. 2,á ïðèâåäåíû ïðèìåðû íåâûïóêëûõ ìíîæåñòâ. Ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîé-åäèíñòâåííîé òî÷êè, è ïóñòîå ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîé òî÷êè, ïî ïðèíÿòîìó ñîãëàøåíèþ, òàêæå ñ÷èòàþòñÿ âûïóêëûìè. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, â ýòèõ ìíîæåñòâàõ íåâîçìîæíî ïðîâåñòè îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé êàêèå-òî òî÷êè ýòèõ ìíîæåñòâ è íå ïðèíàäëåæàùèé ýòèì ìíîæåñòâàì öåëèêîì, â íèõ