Вопрос. Рост взрослых мужчин Предположим, мужчины имеют средний рост 176 см со стандартным отклонением 7 см. Какова вероятность, что случайно выбранный мужчина имеет рост более 190 см? Рост от 180 до 190 см? © Иванов О.В., 2006 2 Вопрос. Батарейки Батарейки служат в среднем 19 часов со стандартным отклонением 1,2 часа. В каком интервале находится срок службы 90% батареек? © Иванов О.В., 2006 3 Вопрос. Возраст директоров Во время проведенного исследования выяснилось, что средний возраст директоров заводов составляет 56 лет со стандартным отклонением 4 года. При произвольном выборе завода определите вероятность того, что возраст директора превысит 59 лет. © Иванов О.В., 2006 4 Нормальное распределение Во всех этих случаях распределение переменной является нормальным или близким к нему. © Иванов О.В., 2006 5 График нормального распределения График плотности нормального распределения имеет форму колокола. Этот график называют нормальной кривой или кривой Гаусса. © Иванов О.В., 2006 7 Плотность нормального распределения Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, если ее плотность задается выражением: © Иванов О.В., 2006 8 Параметры нормального распределения Нормальное распределение определяется двумя параметрами: µ σ © Иванов О.В., 2006 Математическое ожидание Стандартное отклонение 9 График нормального распределения График плотности зависит от значения параметров нормального распределения. Показаны два разных распределения, оба имеющие нормальный закон. © Иванов О.В., 2006 10 Функция распределения нормального закона Функция распределения для нормального закона имеет вид: © Иванов О.В., 2006 11 Стандартное нормальное распределение Случайная величина распределение, если: имеет среднее значение стандартное отклонение © Иванов О.В., 2006 стандартное нормальное µ=0 σ=1 13 Плотность распределения Плотность распределения для стандартного распределения записывается в следующем виде: © Иванов О.В., 2006 нормального 14 Свойства плотности Свойство 1. Плотность является четной функцией: График симметричен относительно вертикальной оси. Свойство 2. Плотность стремится к нулю, если переменная x стремится к плюс или минус бесконечности. © Иванов О.В., 2006 15 Функция распределения Функция распределения для стандартного распределения записывается в следующем виде: © Иванов О.В., 2006 нормального 16 Свойства функции распределения Свойство 1. Для отрицательных аргументов: Свойство 2. При стремлении x к плюс бесконечности Ф(х) возрастает и стремится к единице. Свойство 3. При стремлении х к минус бесконечности Ф(х) убывает и стремится к нулю. © Иванов О.В., 2006 17 Таблица нормального закона z =1,58 0,9429 © Иванов О.В., 2006 19 Z-значения и площадь под графиком Для нормального закона с параметрами 0, 1 таблица позволяет найти значение функции распределения (площадь): © Иванов О.В., 2006 20 Таблица нормального закона позволяет: (1) По заданному z-значению находить площадь под графиком, то есть соответствующее ему значение функции распределения. (2) По известной площади под графиком, то есть для известного значения функции распределения находить соответствующее ему z-значение. © Иванов О.В., 2006 21 Нахождение площади Для отрицательных z-значений при нахождении пользуемся свойством симметрии графика. © Иванов О.В., 2006 площади 22 Нахождение площади Для интервала z-значений: © Иванов О.В., 2006 23 Операция стандартизации Операция стандартизации означает преобразование произвольного нормального распределения с параметрами µ, σ в стандартное с параметрами 0 и 1: © Иванов О.В., 2006 25 Операция стандартизации Операция стандартизации означает преобразование произвольного нормального распределения с параметрами µ, σ в стандартное с параметрами 0 и 1: x © Иванов О.В., 2006 z 26 Операция стандартизации Стандартизация означает, что мы смещаем распределение и изменяем его форму так, чтобы оно стало стандартным. При этом площадь под кривой до значения x равна площади под стандартной кривой до значения z. © Иванов О.В., 2006 27 Пример с автомобилем При разработке новой модели автомобиля инженерыконструкторы учитывают, что рост человека в сидячем состоянии в среднем составляет 90 см со стандартным отклонением 3,5 см. Исходя из этого, они предполагают, что рост человека в сидячем состоянии не превысит 97 см. Проверим, насколько разумны эти предположения. Какое количество потенциальных покупателей останутся «за бортом»? © Иванов О.В., 2006 28 Решение Максимально возможный рост составляет 97 см. Найдем вероятность того, что произвольный человек окажется ниже этого роста. Приводим распределение к стандартному: © Иванов О.В., 2006 29 Решение Находим по таблице площадь для z = 2,00: © Иванов О.В., 2006 30 Решение 97 отклоняется от 90 также, как 2 отклоняется от 0: © Иванов О.В., 2006 31 Ответ Инженерам-конструкторам следует решить, считают ли они возможным разрабатывать автомобиль, в котором из соображений роста поместятся 97,72% водителей. © Иванов О.В., 2006 32 Обратная задача Может случиться, что инженеры, после советов с продавцами, выберут границу роста в 5%. Тогда требуется решить обратную задачу: для какого роста 95% мужчин окажутся в его пределах? Решение. Находим в основном поле таблицы число 0,9500. Такого значения, к сожалению, нет. Зато есть 0,9495 и 0,9505. Соответствующие им z-значения равны 1,64 и 1,65 соответственно. Берем среднее и получим, что z-значение, соответствующее 95% вероятности есть 1,645. © Иванов О.В., 2006 33 Решение Решаем уравнение: Находим, что: x ≈ 95,8 Это означает, что 5% мужчин имеют в сидячем состоянии рост выше 95,8. © Иванов О.В., 2006 34 Правило «трех сигм» µ - 3σ µ - 2σ µ - σ © Иванов О.В., 2006 µ µ + σ µ + 2σ µ + 3σ 36 Следствия 1. Площадь под кривой нормального распределения на интервале от µ - σ до µ + σ составляет 68,27% всей площади. На этом интервале сосредоточено 68,27% всех значений случайной величины. 2. Площадь под кривой нормального распределения на интервале от µ - 2σ до µ + 2σ составляет 95,45% всей площади. На этом интервале сосредоточено 95,45% всех значений случайной величины. 3. Площадь под кривой нормального распределения на интервале от µ - 3σ до µ + 3σ составляет 99,73% всей площади. На этом интервале сосредоточено 99,73% всех значений случайной величины. © Иванов О.В., 2006 37 Следствия Площадь Интервал 90% площади µ ± 1,64 σ 95% площади µ ± 1,96 σ 99% площади µ ± 2,50 σ © Иванов О.В., 2006 38 Пример Батарейки работают в среднем 19 часов со стандартным отклонением 1,2 часа. Можно утверждать, что 95,45% батареек служат от 16,6 до 21,4 часа. © Иванов О.В., 2006 39 Использование EXCEL © Иванов О.В., 2006 40 Использование EXCEL © Иванов О.В., 2006 41 График функции распределения © Иванов О.В., 2006 42 График плотности распределения © Иванов О.В., 2006 43 Решение задач на нормальный закон Рост взрослых мужчин Срок службы батареек Возраст генеральных директоров © Иванов О.В., 2006 45 Рост взрослых мужчин Предположим, мужчины имеют средний рост 176 см со стандартным отклонением 6 см. Какова вероятность, что случайно выбранный мужчина имеет рост более 190 см? Рост от 180 до 190 см? © Иванов О.В., 2006 46 Рост взрослых мужчин Решение. © Иванов О.В., 2006 47 Рост взрослых мужчин Решение. © Иванов О.В., 2006 48 Рост взрослых мужчин Решение. © Иванов О.В., 2006 49 Батарейки Батарейки служат в среднем 19 часов со стандартным отклонением 1,2 часа. В каком интервале находится срок службы 90% батареек? © Иванов О.В., 2006 50 Батарейки Если бы распределение было стандартным, распределения находится в интервале: то 90% -1,645 < z < 1,645 17,0 © Иванов О.В., 2006 21,0 51 Возраст директоров Во время проведенного исследования выяснилось, что средний возраст директоров заводов составляет 56 лет со стандартным отклонением 4 года. При произвольном выборе завода определите вероятность того, что возраст директора превысит 59 лет. © Иванов О.В., 2006 52 Возраст директоров Решение. © Иванов О.В., 2006 53