¾ÖÈÔÐÎÂÀß ÎÁÐÀÁÎÒÊÀ ÑÈÃÍÀËο ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2013 ãîä.
реклама
ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
¾ÖÈÔÐÎÂÀß ÎÁÐÀÁÎÒÊÀ ÑÈÃÍÀËο
Ðîñòîâ-íà-Äîíó
2013 ãîä.
 öèôðîâîé îáðàáîòêå ñèãíàëîâ âñå ìàòåìàòè÷åñêèå ñðåäñòâà õîðîøè.
Ôèõèðî.
1 Ñèãíàëû
1.1
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ
Ëþáóþ ôóíêöèþ âåùåñòâåííîãî ïåðåìåííîãî áóäåì íàçûâàòü ñèãíàëîì.
 çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêèå çíà÷åíèÿ ïðèíèìàåò ýòà ôóíêöèÿ, áóäåì ðàññìàòðèâàòü âåùåñòâåííûå è êîìïëåêñíûå ñèãíàëû. Ìíîæåñòâî (ïîëå) âåùåñòâåííûõ ÷èñåë áóäåì îáîçíà÷àòü, êàê îáû÷íî, ÷åðåç R, à ìíîæåñòâî (ïîëå)
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ÷åðåç C. Êðîìå òîãî, áóäóò èññëåäîâàòüñÿ ñèãíàëû,
ïðèíèìàþùèå ñâîè çíà÷åíèÿ â ïðîèçâîëüíîì êîíå÷íîì ïîëå F.
Åñëè ìîùíîñòü îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñèãíàëà áîëüøå ÷åì ñ÷¼òíàÿ, òî
ñèãíàë íàçûâàåòñÿ àíàëîãîâûì (èëè ¾íåïðåðûâíûì¿). Êîíå÷íî, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ¾íåïðåðûâíóþ¿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ, òî åñòü ñîäåðæàùóþ âñå
ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè. Êîíå÷íî, âî ìíîæåñòâå àíàëîãîâûõ (¾íåïðåðûâíûõ¿) ñèãíàëîâ èìåþòñÿ ðàçðûâíûå ôóíêöèè. Óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî àíàëîãîâûé (¾íåïðåðûâíûé¿) ñèãíàë îïðåäåë¼í íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé. Èíîãäà àíàëîãîâûé (¾íåïðåðûâíûé¿) ñèãíàë áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ íà íåêîòîðîé ÷àñòè âåùåñòâåííîé ïðÿìîé. Òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
íà îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ïðÿìîé îí ðàâåí íóëþ èëè, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ,
íà îñòàâøóþñÿ ÷àñòü ïðîäîëæåí ïåðèîäè÷åñêè. Äëÿ àíàëèçà àíàëîãîâûõ
(¾íåïðåðûâíûõ¿) ñèãíàëîâ ïðèìåíÿþòñÿ ðàçëè÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå ñðåäñòâà, â òîì ÷èñëå è òåîðèÿ îáîáù¼ííûõ ôóíêöèé. Äëÿ ýòîãî íåêîòîðûå
îáîáù¼ííûå ôóíêöèè ïðèõîäèòñÿ ñ÷èòàòü àíàëîãîâûìè (¾íåïðåðûâíûìè¿)
ñèãíàëàìè.
Åñëè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ñèãíàëà ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî èëè ñ÷¼òíîãî
ìíîæåñòâà çíà÷åíèé àðãóìåíòà, òî òàêîé ñèãíàë íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì.
Óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîãî ñèãíàëà åñòü ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë Z èëè íåêîòîðîå åãî ïîäìíîæåñòâî. Òàêèì îáðàçîì,
ëþáàÿ áåñêîíå÷íàÿ (èëè êîíå÷íàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë íàçûâàåòñÿ
äèñêðåòíûì ñèãíàëîì.  ñëó÷àå êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (òî åñòü âåêòîðà) ñèãíàë íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì êîíå÷íîé äëèòåëüíîñòè. Èíîãäà òàêîé ñèãíàë áóäåì ïðîäîëæàòü íà âñ¼ Z, ïîëàãàÿ åãî ðàâíûì íóëþ âî âñåõ
îñòàâøèõñÿ òî÷êàõ. Êðîìå òîãî, äèñêðåòíûé ñèãíàë êîíå÷íîé äëèòåëüíîñòè â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ åñòåñòâåííî ïðîäîëæàòü ïåðèîäè÷åñêè. Äèñêðåòíûå ñèãíàëû áóäåì îáîçíà÷àòü ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè. Íàïðèìåð,
òðè ñèãíàëà ìîæíî îáîçíà÷èòü x, y , z . Äëÿ ñèãíàëà x åãî n-é ýëåìåíò áó-
äåì îáîçíà÷àòü x(n), n ∈ Z.  íåêîòîðûõ êíèãàõ ïî öèôðîâîé îáðàáîòêå
ñèãíàëîâ, ðàññ÷èòàííûõ íà èíæåíåðîâ, îáîçíà÷åíèå x(n) çàðåçåðâèðîâàíî
äëÿ àíàëîãîâûõ ñèãíàëîâ, à äëÿ äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ ïðèìåíÿåòñÿ îáîçíà÷åíèå x[n] ñ êâàäðàòíûìè ñêîáêàìè.  äàííîì ïîñîáèè áóäåò ïðèìåíÿòüñÿ îáùåìàòåìàòè÷åñêîå îáîçíà÷åíèå x(n) äëÿ ñèãíàëîâ ëþáîãî òèïà.
Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ íåñêîëüêî ñèãíàëîâ, òî èíîãäà áóäåì èõ íóìåðîâàòü
íèæíèìè èíäåêñàìè. Íàïðèìåð, x1 , x2 , . . . xn åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç n
ñèãíàëîâ. Äèñêðåòíûé ñèãíàë íàçûâàåòñÿ ôèíèòíûì, åñëè ó íåãî èìååòñÿ
ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ. Ñèãíàëû, ïîëó÷àþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå íåêîòîðûõ âàæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, áóäåì îáîçíà÷àòü çàãëàâíûìè
ëàòèíñêèìè áóêâàìè. Îáû÷íî äèñêðåòíûé ñèãíàë ñòðîèòñÿ èç íåïðåðûâíîãî ñ ïîìîùüþ ¾âçÿòèÿ îòñ÷¼òîâ¿, òî åñòü íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé àíàëîãîâîãî
(¾íåïðåðûâíîãî¿) ñèãíàëà ïðè îïðåäåë¼ííûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà. ×àùå
âñåãî ýòî òî÷êè
tn = n∆t,
ãäå 0 < ∆t < ∞ (ïîñòîÿííûé) øàã äèñêðåòèçàöèè è n ∈ Z. Ýòó ïðîöåäóðó áóäåì íàçûâàòü äèñêðåòèçàöèåé. Òàêèì îáðàçîì, â ðåçóëüòàòå äèñêðåòèçàöèè àíàëîãîâîãî ñèãíàëà xa (t) ïîëó÷àåì äèñêðåòíûé ñèãíàë xd òàêîé,
÷òî
xd (n) = xa (n∆t).
Âåëè÷èíà
1
,
∆t
îáðàòíàÿ øàãó äèñêðåòèçàöèè, íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé äèñêðåòèçàöèè. Èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ ïåðåìåííûé øàã äèñêðåòèçàöèè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî
ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà íóæíî èññëåäîâàòü áîëåå äåòàëüíî
ñâîéñòâà ñèãíàëà. Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, óñëîæíÿåòñÿ àíàëèç ïîëó÷åííûõ äàííûõ.  äàííîì ïîñîáèè ïåðåìåííûé øàã äèñêðåòèçàöèè ðàññìàòðèâàòüñÿ
íå áóäåò.
Åñëè îáëàñòü çíà÷åíèé äèñêðåòíîãî ñèãíàëà êîíå÷íà èëè ñ÷¼òíà, òî ñèãíàë íàçûâàåòñÿ öèôðîâûì. Îí ïîëó÷àåòñÿ èç äèñêðåòíîãî ñèãíàëà êâàíòîâàíèåì ïî óðîâíþ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñèãíàë ìîæåò ïðèíèìàòü íå âñå çíà÷åíèÿ, à òîëüêî çàäàííûå. Ïîýòîìó çíà÷åíèÿ îêðóãëÿþòñÿ òåì èëè èíûì
ñïîñîáîì äî ðàçðåø¼ííîãî çíà÷åíèÿ. Êîíå÷íî, ïðè ýòîì òåðÿåòñÿ ÷àñòü
èíôîðìàöèè. Îñîáåííî ýòî çàìåòíî ïðè ïîñòîÿííîì øàãå êâàíòîâàíèÿ è
íåâûñîêîì óðîâíå ñèãíàëà. Òîãäà îêðóãëåíèå çàìåòíî ñêàçûâàåòñÿ íà äîñòîâåðíîñòè ïîëó÷åííîãî öèôðîâîãî ñèãíàëà. ×òîáû ýòîò ýôôåêò óìåíüøèòü ââîäèòñÿ ïåðåìåííûé øàã êâàíòîâàíèÿ, êîòîðûé òåì ìåíüøå, ÷åì
ìåíüøå óðîâåíü ñèãíàëà.  äàííîì ïîñîáèè öèôðîâûå ñèãíàëû ðàññìàòðèâàòüñÿ íå áóäóò ââèäó ñëîæíîñòè èõ àíàëèçà, à îñíîâíûì îáúåêòîì èçó÷åíèÿ áóäóò äèñêðåòíûå ñèãíàëû.
ω=
3
Îáîçíà÷èì ÷åðåç τ îïåðàòîð ñäâèãà äèñêðåòíîãî ñèãíàëà (ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) íà îäèí øàã âïðàâî. Èíûìè ñëîâàìè,
(τ x)(n) = x(n − 1)
äëÿ ëþáîãî n. Òîãäà k ÿ ñòåïåíü îïåðàòîðà ñäâèãà äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó
(τ k x)(n) = x(n − k)
äëÿ ëþáîãî öåëîãî k .
Äëÿ ñèãíàëîâ äèñêðåòíûõ x è y ÷åðåç x + y áóäåì îáîçíà÷àòü èõ ñóììó,
òî åñòü òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êàæäûé ýëåìåíò êîòîðîé ðàâåí ñóììå
ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ èñõîäíûõ ñèãíàëîâ:
(x + y)(n) = x(n) + y(n), n ∈ Z.
Ñëîæåíèå ñèãíàëîâ ïðîèñõîäèò â ñðåäå, ãäå âûïîëíÿåòñÿ ôèçè÷åñêèé ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè.
×åðåç αx áóäåì îáîçíà÷àòü äèñêðåòíûé ñèãíàë, ¾óñèëåííûé¿ â α ðàç.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè αx ïîëó÷àþòñÿ óìíîæåíèåì íà α ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x.Ñóììà àíàëîãîâûõ
ñèãíàëîâ è ïðîèçâåäåíèå íà ÷èñëî (¾óñèëåíèå¿) îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê
è äëÿ äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ.
Ïðèìåðû àíàëîãîâûõ (íåïðåðûâíûõ) ñèãíàëîâ.
1. Åäèíè÷íûé èìïóëüñ. Ýòî ¾äåëüòà¿-ôóíêöèÿ Ï.Äèðàêà δ(x). Îíà ÿâëÿåòñÿ îáîáù¼ííîé ôóíêöèåé, òî åñòü ëèíåéíûì îãðàíè÷åííûì ôóíêöèîíàëîì, îïðåäåë¼ííîì íà ïðîñòðàíñòâå ïðîáíûõ ôóíêöèé ðàâåíñòâîì δ(φ) =
φ(0) äëÿ ëþáîé ïðîáíîé ôóíêöèè φ(x). Êîíå÷íî δ(x) íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ñèãíàëîì, òàê êàê íå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé. Îäíàêî ïðè àíàëèçå
íåïðåðûâíûõ ñèãíàëîâ å¼ ðîëü íåîöåíèìà.
2. Åäèíè÷íàÿ ñòóïåíüêà (åäèíè÷íûé ñêà÷îê, ôóíêöèÿ âêëþ÷åíèÿ). Ýòî
ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà
{
1, åñëè x > 0,
u(x) =
0, åñëè x < 0.
ż ãðàôèê èìååò âèä
16
ppp
ppp
-
0
x
Ïðÿìîóãîëüíûé èìïóëüñ ñ àìïëèòóäîé A è äëèòåëüíîñòüþ T = T1 − T0 :
s(t) = A(u(t − T0 ) − u(t − T1 )).
4
6
Ar
r
0
-
T0
T1
x
3. Âåùåñòâåííûé ãàðìîíè÷åñêèé ñèãíàë
(1)
f (t) = A sin(ωt + φ).
Çäåñü âåùåñòâåííûå ÷èñëà A àìïëèòóäà, ω êðóãîâàÿ ÷àñòîòà, φ íà÷àëüíàÿ ôàçà. ×àñòîòà ñèãíàëà f ñâÿçàíà ñ êðóãîâîé ÷àñòîòîé ω ñîîòíîøåíèåì ω = 2πf . Ãðàôèê ãàðìîíè÷åñêîãî ñèãíàëà èìååò âèä
6
A
−φ
ωr
s
r
π−φ
sω
x
-
−A s
Ïî ðÿäó ïðè÷èí äëÿ îïèñàíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî ñèãíàëà èñïîëüçóåòñÿ íå
ñèíóñ, à êîñèíóñ
f (t) = A cos(ωt + φ).
(2)
ãäå âåùåñòâåííûå ÷èñëà A àìïëèòóäà, ω êðóãîâàÿ ÷àñòîòà, φ íà÷àëüíàÿ ôàçà. Îáû÷íî àìïëèòóäà è ÷àñòîòà ïîëîæèòåëüíû, îäíàêî ïðè ïåðåõîäå ê êîìïëåêñíîìó ãàðìîíè÷åñêîìó ñèãíàëó â òåîðèè âîçíèêàþò è îòðèöàòåëüíûå ÷àñòîòû.
4. Êîìïëåêñíûé ãàðìîíè÷åñêèé ñèãíàë
f (t) = Aeiωt .
Çäåñü A ∈ C êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà, ω ∈ R êðóãîâàÿ ÷àñòîòà. Åñëè
A = |A|eiφ , ãäå φ = arg A íà÷àëüíàÿ ôàçà, òî
f (t) = |A|ei(ωt+φ) .
Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ ýòîãî ñèãíàëà ðàñïîëàãàþòñÿ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà |A| ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò
5
0
Aeiωt
r
6
ωt0 + φ
φ
rA
r
-
(|A|; 0)
Ïðåäñòàâëåíèå ñèãíàëîâ ñ ïîìîùüþ êîìïëåêñíûõ ãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâ
óäîáíî äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ. Íàïðèìåð, âåùåñòâåííûé ãàðìîíè÷åñêèé ñèãíàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â òàêîé ôîðìå. Äëÿ ýòîãî âñïîìíèì
ôîðìóëó Ë. Ýéëåðà
eix = cos x + i sin x,
(3)
êîòîðóþ ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü, ìåíÿÿ x íà −x, ê âèäó
e−ix = cos x − i sin x.
(4)
À òåïåðü, åñëè ñëîæèòü ýòè äâà ðàâåíñòâà èëè èç ïåðâîãî âû÷åñòü âòîðîå
ðàâåíñòâî, ïîëó÷èì äâà ïîëåçíûõ ðàâåíñòâà
eix + e−ix = 2 cos x,
eix − e−ix = 2i sin x.
Ïîýòîìó
(5)
A iφ iωt A −iφ −iωt
e e + e e
(6)
2
2
πi
è (åñëè ó÷åñòü ðàâåíñòâà 1/i = −i = e− 2 )
π
π
A
A
A sin(ωt + φ) = ei(φ− 2 ) eiωt + e−i(φ+ 2 ) e−iωt
(7)
2
2
Òàêèì îáðàçîì, ñèãíàë (2) â (6) ðàçëîæåí â ñóììó äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ
êîìïëåêñíûõ ñèãíàëîâ ñ êðóãîâûìè ÷àñòîòàìè ω , −ω è êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè A2 eiφ , A2 e−iφ . Ñèãíàë (1) â (7) ðàçëîæåí â ñóììó äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîìïëåêñíûõ ñèãíàëîâ ñ êðóãîâûìè ÷àñòîòàìè ω , −ω è êîìïëåêñíûìè
π
π
àìïëèòóäàìè A2 ei(φ− 2 ) , A2 e−i(φ+ 2 ) . Ýòè ñîîòíîøåíèÿ ïðèâîäÿò ê ïîÿâëåíèþ
îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò, ëèø¼ííûõ ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà. Îäíàêî, ïðè îáðàáîòêå ðåàëüíûõ ñèãíàëîâ ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ ïîÿâëåíèåì îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðîÿâëÿþòñÿ â êàêîé-íèáóäü ôîðìå è
áûâàþò íåîæèäàííûìè, åñëè íå çíàòü îá ýòîì.
A cos(ωt + φ) =
Ïðèìåðû äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ.
1. Åäèíè÷íûé èìïóëüñ δ . Ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ ýëåìåíòàìè
{
δ(n) =
1, åñëè n = 0,
0, åñëè n ̸= 0.
Ãðàôèê åäèíè÷íîãî èìïóëüñà èìååò âèä
6
16
r
r
r
r
−3
−2
r
−1
0
r
r
r
1
2
3
r
-
n
2. Ñäâèíóòûé íà k ∈ Z åäèíè÷íûé èìïóëüñ ek . Ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñ ýëåìåíòàìè
{
1, åñëè n = k,
ek (n) =
0, åñëè n ̸= k.
Íàïðèìåð, ãðàôèê äèñêðåòíîãî ñèãíàëà e2 èìååò âèä
16
r
r
r
−3
−2
r
r
−1
0
r
r
r
1
2
r
3
-
n
Î÷åâèäíî, ÷òî ek = τ k δ. Ëþáîé äèñêðåòíûé ñèãíàë x ñ ýëåìåíòàìè x(n)
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà
x=
∞
∑
x(k)ek =
k=−∞
∞
∑
x(k)τ k δ.
k=−∞
3. Åäèíè÷íàÿ ñòóïåíüêà u. Ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ ýëåìåíòàìè
{
1, åñëè n ≥ 0,
0, åñëè n < 0.
u(n) =
ż ãðàôèê èìååò âèä
r
r
−3
r
−2
16
r
r
r
r
0
1
2
3
r
r
-
−1
n
Äëÿ åäèíè÷íîé ñòóïåíüêè èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
u=
∞
∑
ek =
k=0
∞
∑
τ k δ.
k=0
Åäèíè÷íûé èìïóëüñ òîæå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç åäèíè÷íóþ ñòóïåíüêó
ñ ïîìîùüþ ñäâèãà:
δ = u − τ u.
Ýíåðãèÿ àíàëîãîâîãî ñèãíàëà x ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà
∫
∞
E=
−∞
|x(t)|2 dt.
7
Ýíåðãèÿ äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
E=
∞
∑
|x(n)|2 .
k=−∞
Ïåðèîäè÷åñêèå íåíóëåâûå ñèãíàëû èìåþò áåñêîíå÷íóþ ýíåðãèþ. Óòðèðóÿ, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ïðèðîäå ¾â ÷èñòîì âèäå¿ òàêèå ñèãíàëû íå ñóùåñòâóþò. Îäíàêî áîëüøèíñòâî êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ ëîêàëüíî õîðîøî
îïèñûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè. Ïîýòîìó äëÿ óïðîùåíèÿ àíàëèçà óäîáíî ñ÷èòàòü âîçíèêàþùèå ïðè òàêèõ ïðîöåññàõ ñèãíàëû ïåðèîäè÷åñêèìè. Ïî îïðåäåëåíèþ äèñêðåòíûé ñèãíàë x íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì,
åñëè ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå öåëîå ÷èñëî N òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ öåëûõ n
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî x(n + N ) = x(n). ×èñëî N íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì
ñèãíàëà. Êîíå÷íî, åñëè N ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì, òî è ÷èñëà −N , ±2N , ±3N ,
. . . ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäàìè. Òàê êàê ïåðèîä ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, òî ó ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà âñåãäà èìååòñÿ íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä.
Ñðåäè ïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ âàæíóþ ðîëü èãðàþò ãàðìîíè÷åñêèå ñèãíàëû âèäà A cos(ωn + φ), A sin(ωn + φ), Aeiωn ñ êðóãîâîé ÷àñòîòîé ω ∈ R.
Ïðè A ̸= 0 è ω ̸= 0 îíè áóäóò ïåðèîäè÷åñêèìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
äðîáü 2π/ω ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíûì ÷èñëîì. Ïðè ýòîì, åñëè äëÿ âçàèìíî
ïðîñòûõ öåëûõ ÷èñåë p è q (ýòî çíà÷èò, ÷òî äðîáü p/q íåñîêðàòèìà) âåðíî ðàâåíñòâî p/q = 2π/ω , òî íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä ñèãíàëà
ðàâåí p.  òåðìèíàõ ÷àñòîòû ñèãíàëà ýòî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ãàðìîíè÷åñêèé äèñêðåòíûé ñèãíàë ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ÷àñòîòà ðàöèîíàëüíà. Ïðè ýòîì, åñëè ÷àñòîòà ðàâíà f = q/p äëÿ âçàèìíî ïðîñòûõ öåëûõ ÷èñåë p è q , òî íàèìåíüøèé
ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä ðàâåí p.
1.2
Ïðîñòðàíñòâà ñèãíàëîâ
Äëÿ àíàëèçà êàê íåïðåðûâíûõ òàê è äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ óäîáíî ââåñòè
ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà ñèãíàëîâ ñ îáû÷íûìè ïîòî÷å÷íûìè îïåðàöèÿìè
ñëîæåíèÿ ñèãíàëîâ è èõ óìíîæåíèÿ íà ýëåìåíòû (ñêàëÿðû) ïîäõîäÿùåãî
ïîëÿ. À èìåííî, äëÿ àíàëîãîâûõ ñèãíàëîâ x(t) è y(t) èõ ñóììó îïðåäåëèì
ïî ôîðìóëå (x + y)(t) = x(t) + y(t), óìíîæåíèå íà α ∈ F ïî ôîðìóëå
(αx)(t) = αx(t). Íàèáîëåå åñòåñòâåííû ïðè àíàëèçå àíàëîãîâûõ ñèãíàëîâ
áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà Lp (a, b), 1 ≤ p ≤ ∞, −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Ïðè
1 ≤ p < ∞ Lp (a, b) ñîñòîèò èç âñåõ èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé u
(òî÷íåå êëàññîâ ôóíêöèé (çàãëÿíèòå â ó÷åáíèêè ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó ([7]) è ïî òåîðèè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî è íàñëàäèòåñü
8
êðàñèâåéøèìè èç òåîðèé!)), äëÿ êîòîðûõ êîíå÷íà íîðìà
(∫
)1/p
|u(t)| dt
< ∞.
b
∥u∥p =
p
a
×àñòî èñïîëüçóþòñÿ ïðîñòðàíñòâî L1 (a, b) âñåõ (àáñîëþòíî) èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé ñ íîðìîé
∫
b
∥u∥1 =
|u(t)| dt < ∞
a
è ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî L2 (a, b) âñåõ àíàëîãîâûõ ñèãíàëîâ ñ êîíå÷íîé
ýíåðãèåé
∫
E=
∥u∥22
b
|u(t)|2 dt < ∞.
=
a
Áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî L∞ (a, b) ñîñòîèò èç âñåõ èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó
ôóíêöèé u, äëÿ êîòîðûõ
∥u∥∞ = sup |u(t)| < ∞,
a≤t≤b
ãäå ñóïðåìóì áåð¼òñÿ îñîáûì ñïîñîáîì (óìîëÿþ âàñ, çàãëÿíèòå â ó÷åáíèê
ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó [7])).
Àíàëîãè÷íûå ïðîñòðàíñòâà èñïîëüçóþòñÿ äëÿ àíàëèçà äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ. Áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ℓp = ℓp (Z) ïðè 1 ≤ p < ∞ ñîñòîÿò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x, äëÿ êîòîðûõ êîíå÷íà íîðìà
(
∥x∥p =
∑
)1/p
|x(k)|p
< ∞.
k∈Z
Áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ℓ1 ñ íîðìîé
∥x∥1 =
∑
|x(k)|
k∈Z
âàæíî ïðè ðàññìîòðåíèè óñòîé÷èâûõ öèôðîâûõ ôèëüòðîâ, à ãèëüáåðòîâî
ïðîñòðàíñòâî ℓ2 ñîñòîèò èç âñåõ äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ ñ êîíå÷íîé ýíåðãèåé
E=
∥x∥22
=
∑
|x(k)|2 < ∞.
k∈Z
Áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ℓ∞ = ℓ∞ (Z) ñîñòîÿò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x,
äëÿ êîòîðûõ
∥x∥∞ = sup |x(k)| < ∞
k∈Z
è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîñòîÿò èç âñåõ îãðàíè÷åííûõ äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ.
9
1.3
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
Ïðè èññëåäîâàíèè àíàëîãîâîãî ñèãíàëà x(t) íà ïðåäìåò åãî ¾÷àñòîòíîãî
ñîäåðæàíèÿ¿ èëè ¾ñïåêòðà¿ îáû÷íî ñíà÷àëà âû÷èñëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå
Ôóðüå
∫
∞
X(ξ) =
x(t)e−iξt dt.
−∞
(8)
Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà è ñâîéñòâà ôóíêöèè X(ξ) èçó÷àþòñÿ â
êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ïîýòîìó ýòèìè âîïðîñàìè çäåñü íå áóäåì èíòåðåñîâàòüñÿ. Âñþäó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñâîéñòâà ôóíêöèé òàêîâû,
÷òî ìîæíî äåëàòü íåîáõîäèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Íàïðèìåð, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî àíàëîãîâûé ñèãíàë ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó ôóíêöèé L2 (R).
 ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè êëàññ ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé ìîæíî ñóçèòü.
Ôóíêöèÿ X(ξ) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèåé èëè ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ñèãíàëà. ż íîñèòåëü íàçûâàåòñÿ ñïåêòðîì ñèãíàëà. Åñëè íîñèòåëü
ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè êîìïàêòåí, òî ñèãíàë íàçûâàåòñÿ ñèãíàëîì ñ îãðàíè÷åííûì ñïåêòðîì.
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
1
x(t) =
2π
∫
∞
−∞
X(ξ)eiξt dξ.
(9)
Çàìåòèì, ÷òî îáðàòèìîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî âñÿ
èíôîðìàöèÿ î ñèãíàëå ñîäåðæèòñÿ ïîëíîñòüþ êàê â ñàìîì àíàëîãîâîì ñèãíàëå x, òàê è â åãî ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè X . Îäíàêî, ãëÿäÿ íà ñèãíàë x,
òðóäíî âûÿâëÿòü åãî ÷àñòîòíûå ñâîéñòâà, à, ãëÿäÿ íà ñïåêòðàëüíóþ ôóíêöèþ, òðóäíî óâèäåòü âðåìåííûå õàðàêòåðèñòèêè. Êðîìå òîãî, ÷àñòîòíûå
õàðàêòåðèñòèêè, ïðèñóòñòâóþùèå â ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè, ïåðåìåøàíû
âî âðåìåíè.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ íóæíî çíàòü î ÷àñòîòíûõ ñâîéñòâàõ ñèãíàëà â äàííûõ ìîìåíò âðåìåíè (òî÷íåå, â îêðåñòíîñòè ýòîãî ìîìåíòà), êàê
â ïàðòèòóðå ìóçûêàíòà çàïèñàíî êàêóþ íîòó (÷àñòîòíàÿ èíôîðìàöèÿ) êîãäà è ñêîëüêî èãðàòü (âðåìåííàÿ èíôîðìàöèÿ). Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåòñÿ
îêîííîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå. Ñíà÷àëà ñèãíàë x(t) óìíîæàåòñÿ íà ôèêñèðîâàííóþ ôóíêöèþ îêíà g(t). Îíà ïðèâÿçàíà ê èññëåäóåìîìó èíòåðâàëó
è ñðåçàåò çíà÷åíèÿ ñèãíàëà âíå ýòîãî èíòåðâàëà.
10
6
g(t)x(t)
g(t)
x(t)
t
Çàòåì âû÷èñëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå. Ýòè âû÷èñëåíèÿ ïîâòîðÿþòñÿ ñî ñäâèíóòîé ôóíêöèåé îêíà g(t − n∆t), n ∈ Z. Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëÿåòñÿ ñåìåéñòâî ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé
∫
Xn (ξ) =
x(t)g(t − n∆t)e−iξt dt.
Íà ïåðâûé âçãëÿä êàæåòñÿ, ÷òî ëó÷øàÿ ôóíêöèÿ îêíà ðàâíà åäèíèöå íà
èññëåäóåìîì èíòåðâàëå è ðàâíà íóëþ âíå åãî. Íî ýòà ôóíêöèÿ èìååò ðàçðûâû, ÷òî ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ëîæíûõ êîëåáàíèé â ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè.
Ýòî è åñòü òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò Ãèááñà. ×òîáû åãî èçáåæàòü, âûáèðàþò ôóíêöèþ îêíà äîñòàòî÷íî ãëàäêóþ. Ýòî íåñêîëüêî èñêàæàåò ñèãíàë, íî
ýòî ìåíüøåå çëî. Åñòü ñïåöèàëüíûå ìåòîäû ðàñ÷¼òà îêîí (ñì. [1], [2], [4] è
èìåþùèåñÿ òàì ññûëêè).
1.4
Ðÿä Ôóðüå
Ïóñòü x åñòü äèñêðåòíûé ñèãíàë. Òîãäà åìó ìîæíî ñîïîñòàâèòü ñóììó
ðÿäà Ôóðüå
∑
x(k)e−iωk .
X(ω) =
k∈Z
Îíà íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèåé äèñêðåòíîãî ñèãíàëà. Ðÿäû Ôóðüå
äîñòàòî÷íî ïîëíî èçó÷àþòñÿ â êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ïîýòîìó
òî÷íûå òåîðåìû çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ
ôóíêöèÿ äèñêðåòíîãî ñèãíàëà 2π -ïåðèîäè÷íà. Äèñêðåòíûé ñèãíàë âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà
1
x(k) =
2π
1.5
∫
π
−π
X(ω)eiωk dω, k ∈ Z.
Äèñêðåòèçàöèÿ ñèãíàëà
Îäíèì èç îñíîâíûõ äåéñòâèé â öèôðîâîé îáðàáîòêå ñèãíàëîâ ÿâëÿåòñÿ
äèñêðåòèçàöèÿ àíàëîãîâîãî ñèãíàëà xa . Ïîä ýòèì ïîíèìàåòñÿ ïîñòðîåíèå
11
äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x ñ ïîìîùüþ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé (âçÿòèÿ îòñ÷¼òîâ)
àíàëîãîâîãî ñèãíàëà â íåêîòîðûõ òî÷êàõ. Îáû÷íî ýòè çíà÷åíèÿ âû÷èñëÿþòñÿ íà ñåòêå tn = nT ñ ïîñòîÿííûì øàãîì äèñêðåòèçàöèè T = ∆t. Òàêèì
îáðàçîì,
x(n) = xa (nT ), n ∈ Z.
(10)
Ïóñòü àíàëîãîâûé ñèãíàë xa (t), t ∈ R, òàêîé, ÷òî ñóùåñòâóåò åãî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ (ñèíîíèì: ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü)
ñèãíàëà)
∫
∞
Xa (Ω) =
xa (t)e−iΩt dt
−∞
è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
∫
1
xa (t) =
2π
∞
−∞
(11)
Xa (Ω)eiΩt dΩ.
Íàïðèìåð, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî àíàëîãîâûé ñèãíàë ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó ôóíêöèé L2 (R). Çàìåòèì ïîïóòíî, ÷òî îáðàòèìîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ôóðüå ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî âñÿ èíôîðìàöèÿ î ñèãíàëå ñîäåðæèòñÿ ïîëíîñòüþ êàê â ñàìîì àíàëîãîâîì ñèãíàëå xa , òàê è â åãî ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè
Xa .
Ðÿä Ôóðüå
∑
X(ω) =
x(n)e−inω
(12)
n∈Z
äà¼ò ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó X äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x, ïðè÷¼ì
1
x(n) =
2π
∫
π
(13)
X(ω)einω dω.
−π
Ðàâåíñòâà (10) è (11) äàþò, ÷òî
1
x(n) = xa (nT ) =
2π
∫
∞
−∞
Xa (Ω)eiΩnT dΩ.
Ðàçîáü¼ì îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ íà íå ïåðåñåêàþùèåñÿ èíòåðâàëû
[
R = ∪k∈Z
(2k − 1)π (2k + 1)π
;
T
T
)
.
Òîãäà, ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ, ïîëó÷èì
1 ∑
x(n) =
2π
k∈Z
∫
(2k+1)π
T
(2k−1)π
T
Xa (Ω)eiΩnT dΩ
 êàæäîì èíòåãðàëå ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé òàê, ÷òîáû íîâàÿ îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ ñîâïàëà ñ èíòåðâàëîì [−π; π]. Äëÿ ýòîãî ââåä¼ì ïåðåìåííóþ ïî ôîðìóëå
ω = T Ω − 2kπ, k ∈ Z.
(14)
12
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî òðåáóåìàÿ çàìåíà ïåðåìåííîé. Òîãäà, ñ ó÷¼òîì
Ω=
ïîëó÷èì
ω + 2kπ
,
T
dΩ =
dω
,
T
k ∈ Z,
(
)
∫
ω + 2kπ iωn i2πkn
1 ∑ π
Xa
x(n) =
e e
dω.
2πT
T
−π
(15)
(16)
k∈Z
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî ei2πkn = 1, òàê êàê kn öåëîå ÷èñëî. Áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ Xa íàñòîëüêî õîðîøà, ÷òî â ôîðìóëå (16) ìîæíî ïîìåíÿòü ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ. Òîãäà
1
x(n) =
2πT
∫
π
∑
−π k∈Z
(
Xa
ω + 2kπ
T
)
eiωn dω.
(17)
Ñðàâíèâàÿ (13) è (17) ñ ó÷¼òîì åäèíñòâåííîñòè ñóììû ðÿäà Ôóðüå, ïîëó÷àåì, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ àíàëîãîâîãî ñèãíàëà è ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà äèñêðåòèçàöèè ñâÿçàíû ðàâåíñòâîì
(
)
ω + 2kπ
1∑
Xa
X(ω) =
.
T
T
(18)
k∈Z
Ïðîâåä¼ì àíàëèç ïîëó÷åííîé ôîðìóëû. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì àíàëîãîâûé ñèãíàë, ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ Xa êîòîðîãî èìååò ñëåäóþùèé ãðàôèê:
r
−Ω0
6
1 rZ
Z
r
Xa (Ω)
Z
Z
Z
Zr
0
Ω0
-
Ω
Ñ ó÷¼òîì ôîðìóë (14), (18) ïîëó÷èì, ÷òî ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà äèñêðåòèçàöèè èìååò ãðàôèê
16
r
X(ω)
Ta
!
!aa
!
a
!
aa
!
aa
a
!
!
!!
aa
!
aap
!
a
!
!
a
p
p
p
p
p
!
a
!
ap p p p p p p p p p!!
!
a
ppppppppp
ppppppppp
ppppppppp
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
pp r pp
pp r pp
pp r ppr
pp r pp
r
r
r
0
−3π
−2π
−π
π T Ω0 2π
3π
ω
 îêðåñòíîñòè òî÷êè ñ àáñöèññîé, ðàâíîé π , íà ãðàôèêå ïðîèñõîäèò íàëîæåíèå ÷àñòîò. ×òîáû èñêàæåíèå ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè íå ïðîèñõîäèëî, íóæíî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ
T Ω0 ≤ π.
(19)
Ýòî óñëîâèå ïðèíÿòî íàçûâàòü óñëîâèåì Íàéêâèñòà. Åñëè ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, òî ãðàôèê ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè äèñêðåòèçàöèè èìååò âèä
13
Q
Q
Q
r
Q
Q
Q
Q
Q
r
−3π
−2π
r
−π
16
r
T
Q
Q
r
X(ω)
Q
Q
Qr
Q
Q
Q
Q
Q
r
r
T Ω0 π
0
2π
r
3π
-
ω
è ïî îñíîâíîìó ïåðèîäó ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè äèñêðåòèçàöèè áåç òðóäà âîññòàíàâëèâàåòñÿ ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ àíàëîãîâîãî ñèãíàëà
Xa (Ω) = T X(T Ω),
|Ω| ≤ Ω0 .
(20)
Íî òîãäà ìîæíî âîññòàíîâèòü è ñàì àíàëîãîâûé ñèãíàë. Ýòî è åñòü çíàìåíèòàÿ òåîðåìà Êîòåëüíèêîâà, èçâåñòíàÿ íà çàïàäå (¾äèêèé¿ âåäü) êàê
òåîðåìà Øåííîíà-Íàéêâèñòà. Âûâåäåì èíòåðïîëÿöèîííóþ ôîðìóëó, ïîçâîëÿþùóþ ïî çíà÷åíèÿì äèñêðåòíîãî ñèãíàëà, ïîëó÷àòü ëþáîå çíà÷åíèå
àíàëîãîâîãî ñèãíàëà. Ñ ó÷¼òîì ôîðìóë (11), (20) è ω = T Ω ïðè |Ω| ≤ Ω0
ïîëó÷èì
1
xa (t) =
2π
∫
Ω0
(21)
T X(T Ω)eiΩt dΩ
−Ω0
Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé ω = T Ω â èíòåãðàëå â ôîðìóëå (21), òîãäà
1
xa (t) =
2π
∫
T Ω0
(22)
X(ω)eiωt/T dω
−T Ω0
 ïîñëåäíåì èíòåãðàëå X(ω) ìîæíî çàìåíèòü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (12).
Òîãäà
1
xa (t) =
2π
∫
T Ω0
∑
x(n)e−inω eiωt/T dω
(23)
−T Ω0 n∈Z
Ñ÷èòàåì, ÷òî ñèãíàë õîðîø íàñòîëüêî, ÷òî ìîæíî ïîìåíÿòü ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ è ñóììèðîâàíèÿ. Òîãäà
1 ∑
xa (t) =
x(n)
2π
n∈Z
∫
T Ω0
eiω( T −n) dω.
−T Ω0
Åñëè
t
T
t
T
− n = 0, òî eiω( T −n) = 1
eiω( T −n) dω = 2T Ω0 .
(25)
t
t
− n ̸= 0, òî
T Ω0
t
t
e
eiT Ω0 ( T −n) − e−iT Ω0 ( T −n)
iω( Tt −n)
e
.
dω = t
=
i( T − n) i( Tt − n)
−T Ω0
∫
(24)
−T Ω0
Ïîñëåäíèé èíòåãðàë íåòðóäíî âû÷èñëèòü. Åñëè
è
∫
T Ω0
t
T Ω0
iω( Tt −n)
−T Ω0
14
(26)
Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå íåòðóäíî óïðîñòèòü. Äëÿ ýòîãî íóæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ âòîðûì èç ðàâåíñòâ (5). Òîãäà ðàâåíñòâî (26) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü
ê âèäó
∫
T Ω0
iω( Tt −n)
e
dω =
−T Ω0
Ñëåäîâàòåëüíî
t
T
))
(
(
t
2
sin T Ω0
−n
.
T
−n
T∑
sin (Ω0 (t − nT ))
xa (t) =
x(n)
.
π
t − nT
(27)
(28)
n∈Z
Òàêèì îáðàçîì, èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà (28) ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ àíàëîãîâîãî ñèãíàëà ¾àáñîëþòíî òî÷íî¿ ïî åãî äèñêðåòèçàöèè. Äëÿ
ýòîãî íóæíî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Íàéêâèñòà T Ω0 ≤ π , êîòîðîå òðåáóåò,
÷òîáû ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ àíàëîãîâîãî ñèãíàëà èìåëà êîìïàêòíûé íîñèòåëü, ñîäåðæàùèéñÿ â èíòåðâàëå [−Ω0 ; Ω0 ]. Î òàêîì àíàëîãîâîì ñèãíàëå
ãîâîðÿò êàê î ñèãíàëå ñ îãðàíè÷åííûì ñïåêòðîì, ïîíèìàÿ ïîä ïîñëåäíèì
íîñèòåëü ôóíêöèè Xa . Ïåðèîä äèñêðåòèçàöèè T ñâÿçàí ñ ÷àñòîòîé äèñêðåòèçàöèè F ðàâåíñòâîì T = F1 . Âåðõíÿÿ ãðàíèöà ñïåêòðà Ω0 (êðóãîâàÿ ÷àñòîòà) ñâÿçàíà ñ íàèáîëüøåé ÷àñòîòîé ñèãíàëà f ñîîòíîøåíèåì Ω0 = 2πf .
Òîãäà óñëîâèå Íàéêâèñòà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
1
2πf ≤ π èëè F ≥ 2f.
F
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå Íàéêâèñòà ïðèâîäèò ê ïðàâèëó: ÷àñòîòà äèñêðåòèçàöèè äîëæíà áûòü íå ìåíåå ÷åì â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì íàèâûñøàÿ ÷àñòîòà
ñèãíàëà. Îäíàêî òî, ÷òî ñèãíàë èìååò êîìïàêòíûé ñïåêòð ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñèãíàë îïèñûâàåòñÿ öåëîé ôóíêöèåé (â òîì ÷èñëå àíàëèòè÷åñêîé
íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé). Ýòî äîñòàòî÷íî óçêèé êëàññ ñèãíàëîâ è
íà ïðàêòèêå ñèãíàëû íå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Íàéêâèñòà òî÷íî. Âñåãäà
åñòü â ñèãíàëå êîìïîíåíòû, ñïåêòð êîòîðûõ äîñòàòî÷íî øèðîê. Íàïðèìåð,
ðàçëè÷íûå ïîìåõè è øóìû. Òåì íå ìåíåå, íà ïðàêòèêå ýòà òåîðåìà èìååò
áîëüøîå çíà÷åíèå, òàê êàê ïîìåõàìè è øóìàìè â ðÿäå ñëó÷àåâ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü â âèäó èõ ìàëîñòè. Íàïðèìåð, çâóêîâûå ñèãíàëû, äîñòóïíûå ê âîñïðèÿòèþ ÷åëîâå÷åñêèì ñëóõîì, èìåþò îãðàíè÷åííûé ñïåêòð. Ýòîò ñïåêòð
íàõîäèòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî ìåæäó 20 Ãö è 20000 Ãö. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðè
äèñêðåòèçàöèè ñ ÷àñòîòîé íå ìåíåå 40000 Ãö, ìîæíî ïî ïîëó÷åííîìó äèñêðåòíîìó ñèãíàëó âîññòàíîâèòü èñõîäíûé àíàëîãîâûé ñèãíàë áîëåå èëè ìåíåå òî÷íî. Íàïðèìåð, ÷àñòîòà äèñêðåòèçàöèè çâóêîâîãî ñèãíàëà, ïðèíÿòàÿ
â íàñòîÿùåå âðåìÿ äëÿ çàïèñè íà êîìïàêò-äèñê, ðàâíà 44100 Ãö.
 çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî äëÿ äèñêðåòèçàöèè (¾îöèôðîâêè¿) àíàëîãîâûõ ñèãíàëîâ èìåþòñÿ ñïåöèàëüíûå óñòðîéñòâà, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ àíàëîãîâî-öèôðîâûìè ïðåîáðàçîâàòåëÿìè (ÀÖÏ). Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå,
15
èíòåðïîëèðóþùåå äèñêðåòíûé ñèãíàë äî àíàëîãîâîãî, îñóùåñòâëÿåòñÿ öèôðî-àíàëîãîâûì ïðåîáðàçîâàòåëåì (ÖÀÏ). Çâóêîâûå ïëàòû (êàðòû) êîìïüþòåðîâ ñîäåðæàò êàê ÀÖÏ, òàê è ÖÀÏ. Â CD-ïëååðå èìååòñÿ òîëüêî
ÖÀÏ, åñëè, êîíå÷íî, íå ïðåäóñìîòðåíà çàïèñü çâóêîâîãî ñèãíàëà. Ñëåäóåò
ñêàçàòü, ÷òî ëþáîé ðåàëüíûé ÖÀÏ íå èñïîëüçóåò èíòåðïîëÿöèîííóþ ôîðìóëó (28) â ïîëíîì îáú¼ìå äàæå â ëó÷øåì ñëó÷àå õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî â
íåé íóæíî íàõîäèòü ñóììó áåñêîíå÷íîãî ðÿäà. Èíòåðïîëÿöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî óïðîù¼ííîé ñõåìå è îò òîãî, íàñêîëüêî îíà áëèçêà ê (28) çàâèñèò
êà÷åñòâî ÖÀÏ.
1.6
Íàëîæåíèå ñïåêòðîâ (àëèàñèíã èëè ýëàéñèíã)
Åñëè óñëîâèå Íàéêâèñòà íå âûïîëíÿåòñÿ, òî, êàê îòìå÷åíî ðàíåå, ïðîèñõîäèò íàëîæåíèå ñïåêòðîâ èëè àëèàñèíã. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.
Ñîñòàâëÿþùèå èñõîäíîãî ñèãíàëà ñ ÷àñòîòàìè, áîëüøèìè ïîëîâèíû ÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèè, â âîññòàíîâëåííîì ñèãíàëå â îòðàæ¼ííîì îòíîñèòåëüíî
ïîëîâèíû ÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèè âèäå íàêëàäûâàþòñÿ íà ÷àñòîòû, íàõîäÿùèåñÿ â íèæíåé ÷àñòè ñïåêòðà.
Ðàññìîòðèì ïðèìåð, ÷àñòî ïðèâîäèìûé â ëèòåðàòóðå. Ïðè àíàëîãîâîé
çàïèñè ìóçûêè, ñïåêòð êîòîðîé îãðàíè÷åí ÷àñòîòîé 20000 Ãö, áûëà çàïèñàíà è ïîìåõà îò ìåäèöèíñêîãî ïðèáîðà ñ óëüòðàçâóêîâîé ÷àñòîòîé 39000
Ãö. Òàê êàê áûòîâàÿ àïïàðàòóðà (ãðîìêîãîâîðèòåëè) íå âîñïðîèçâîäèò ñèãíàëû ñ óëüòðàçâóêîâîé ÷àñòîòîé, òî çâó÷àíèå çàïèñè áûëî âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíî. Áûëî ðåøåíî îöèôðîâàòü çàïèñü ñ ÷àñòîòîé äèñêðåòèçàöèè
44100 Ãö. Ïðè ýòîì ïî òåîðåìå Êîòåëüíèêîâà çâóêîâîé ñèãíàë ñ ÷àñòîòàìè íèæå 22050 Ãö äîëæåí âîñïðîèçâîäèòüñÿ ïðàâèëüíî. Íî ïîìåõà èìååò
÷àñòîòó, áîëüøóþ ïîëîâèíû ÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèè. Ïîýòîìó ïðîèçîéä¼ò
íàëîæåíèå ñïåêòðîâ. È ïîìåõà áóäåò ñëûøíà íà ÷àñòîòå 22050 - (39000
- 22050)= 44100-39000=5100 Ãö. Òàêèì îáðàçîì, ïîìåõà ïåðåìåñòèëàñü èç
óëüòðàçâóêîâîé îáëàñòè â çâóêîâóþ (ñëûøèìóþ) îáëàñòü.
Ýòîò ïðîñòîé ïðèìåð ïîêàçûâàåò âñþ íåæåëàòåëüíîñòü àëèàñèíãà. Åñëè
íå ïðèíèìàòü ìåð, òî îí ìîæåò ïðîÿâèòüñÿ ïðè îöèôðîâêå ëþáûõ ñèãíàëîâ, â òîì ÷èñëå è èçîáðàæåíèé. Ìåðû, ïðèìåíÿåìûå îáû÷íî ïðè áîðüáå ñ
àëèàñèíãîì, ñëåäóþùèå.
1. Åñëè èìååòñÿ âîçìîæíîñòü, òî èñïîëüçîâàòü áîëåå âûñîêóþ ÷àñòîòó
äèñêðåòèçàöèè, íàñòîëüêî âûñîêóþ, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå Íàéêâèñòà.
2. Îãðàíè÷èòü (ñðåçàòü) ñïåêòð ñèãíàëà ïåðåä îöèôðîâêîé íàñòîëüêî,
÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå Íàéêâèñòà.
Äëÿ îãðàíè÷åíèÿ ñïåêòðà ñóùåñòâóþò ñïåöèàëüíûå ôèëüòðû.  íàøåì
ñëó÷àå íóæåí ôèëüòð íèçêèõ ÷àñòîò. Îí ïðîïóñêàåò ñîñòàâëÿþùèå ñèã16
íàëà ñ ÷àñòîòàìè, íèæå çàäàííîé ïî÷òè áåç èçìåíåíèé, è íå ïðîïóñêàåò
ñ áîëåå âûñîêèìè ÷àñòîòàìè. Ýòà çàäàííàÿ ÷àñòîòà íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé
ñðåçà ôèëüòðà. Òàê êàê ôèëüòðàöèÿ äîëæíà áûòü ïðîâåäåíà ïåðåä îöèôðîâêîé, òî ôèëüòð íèçêèõ ÷àñòîò äîëæåí áûòü àíàëîãîâûì. Ïðàâäà ìîæíî
ïîñòóïèòü è èíà÷å. Ñíà÷àëà âûáðàòü ÷àñòîòó îöèôðîâêè íàñòîëüêî áîëüøóþ, ÷òî àëèàñèíãà íåò. Ïîñëå ýòîãî ïðèìåíèòü öèôðîâîé ôèëüòð íèçêèõ
÷àñòîò, à çàòåì óìåíüøèòü ÷àñòîòó äèñêðåòèçàöèè.
1.7
Ïðàêòè÷åñêîå çàäàíèå
Ðàññìîòðåòü àíàëîãîâûé ñèãíàë
x(t) = A1 cos(ω1 t + φ1 ) + A2 cos(ω2 t + φ2 ) + A3 cos(ω3 t + φ3 ).
Èñïîëüçóÿ äîñòóïíóþ êîìïüþòåðíóþ ñèñòåìó ÷èñëåííûõ âû÷èñëåíèé (íàïðèìåð, ñâîáîäíî ðàñïîñòðàíÿåìóþ Scilab),
1. ïðèáàâèòü ê ñèãíàëó ¾áåëûé øóì¿ (ìîæíî âî âðåìÿ äèñêðåòèçàöèè);
2. äèñêðåòèçèðîâàòü ñèãíàë;
3. ñ ïîìîùüþ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå îïðåäåëèòü ÷àñòîòû
ñîñòàâëÿþùèõ;
4. ìåíÿÿ ÷àñòîòó äèñêðåòèçàöèè äîáèòüñÿ âîçíèêíîâåíèÿ àëèàñèíãà.
1.8
Òåñò
1. Âîçíèêíåò ëè àëèàñèíã , åñëè ÷àñòîòó ñðåçà àíòè-àëèàñèíãîâîãî ôèëüòðà âçÿòü íèæå ïîëîâèíû ÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèè? Ïî÷åìó?
à) Òàê òî÷íî. ×àñòîòà ñðåçà äîëæíà áûòü ðàâíà ïîëîâèíå ÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèè.
á) Íèêàê íåò. Ñèãíàë óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Íàéêâèñòà.
â) Òàê òî÷íî. Ñèãíàë íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Íàéêâèñòà.
ã) Íèêàê íåò. Ñèãíàë ðàâåí íóëþ.
ä) Òàê òî÷íî. ×àñòîòà ñðåçà ñëèøêîì ìàëà.
2. Ïðè ÷àñòîòå äèñêðåòèçàöèè 44100 Ãö ÷àñòîòà àíòè-àëèàñèíãîâîãî ôèëüòðà óñòàíîâëåíà ðàâíîé 24000 Ãö. Âîçíèêíåò ëè àëèàñèíã? Íàñêîëüêî áóäåò
èñïîð÷åíà çàïèñü çâóêîâîãî ñèãíàëà? Ïî÷åìó?
à) Òàê òî÷íî. Ïîëíîñòüþ èñïîð÷åíà è íåðàçáîð÷èâà. Íå âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå Íàéêâèñòà.
á) Íèêàê íåò. Íå èñïîð÷åíà è ïîëíîñòüþ ðàçáîð÷èâà. Õîòÿ óñëîâèå Íàéêâèñòà è íå âûïîëíÿåòñÿ, íî â çâóêîâîì ñèãíàëå íåò ÷àñòîò âûøå ïîëîâèíû
÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèè.
â) Òàê òî÷íî. Àëèàñèíã âîçíèêàåò âñåãäà, êîãäà ÷àñòîòà ñðåçà ôèëüòðà
íå íèæå ïîëîâèíû ÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèè. Çàïèñü áóäåò èñïîð÷åíà.
17
ã) Íèêàê íåò. ×àñòîòà äèñêðåòèçàöèè äîñòàòî÷íî áîëüøàÿ.
ä) Òàê òî÷íî. Óñëîâèå Íàéêâèñòà íå âûïîëíÿåòñÿ. Êîíå÷íî, åñòü ñîñòàâëÿþùèå ñèãíàëà ñ ÷àñòîòàìè âûøå 22050 ãåðö. Íàïðèìåð, øóì. Îíè îòðàçÿòñÿ è íàëîæàòñÿ íà ÷àñòîòû îò 20 000 äî 22 000 ãåðö. Èõ ÷åëîâå÷åñêîå
óõî ïðàêòè÷åñêè íå ñëûøèò. Ïîýòîìó çàïèñü íå áóäåò èñïîð÷åíà.
3. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ðå÷ü áûëà ðàçáîð÷èâîé, äîñòàòî÷íî
âçÿòü ÷àñòîòó äèñêðåòèçàöèè 8000 Ãö. Áóäåò ëè ñîîáùåíèå ðàçáîð÷èâûì,
åñëè îöèôðîâàòü íà ýòîé ÷àñòîòå âàøó ëþáèìóþ ìåëîäèþ? Ïî÷åìó?
à) Òàê òî÷íî. Íî ìåëîäèÿ áóäåò êàê íà íèçêîñîðòíîì ìîáèëüíîì òåëåôîíå ó ïðåïîäà ïî öèôðîâîé îáðàáîòêå ñèãíàëîâ.
á) Íèêàê íåò. Ïî óñëîâèþ Íàéêâèñòà ìîæíî âîñïðîèçâåñòè òîëüêî ÷àñòîòû äî 4000 ãåðö. À ìîÿ ëþáèìàÿ ìóçûêà èìååò áîëåå âûñîêèå ÷àñòîòû,
ñòîëü ëþáèìûå ñîñåäÿìè.
â) Òàê òî÷íî. ×àñòîòû, áîëüøèå 8000 ãåðö îòðàçÿòñÿ îòíîñèòåëüíî 4000
ãåðö è óéäóò â îòðèöàòåëüíûå ÷àñòîòû. Ñîîáùåíèå áóäåò ïî÷òè ïîëíîñòüþ
èëè ïîëíîñòüþ ðàçáîð÷èâûì.
ã) Íèêàê íåò. ×àñòîòû, áîëüøèå 4000 ãåðö îòðàçÿòñÿ è íàëîæàòñÿ íà
íèçêèå ÷àñòîòû. Ñîîáùåíèå áóäåò ïî÷òè ïîëíîñòüþ èëè ïîëíîñòüþ íåðàçáîð÷èâûì.
ä) Íèêàê íåò. ×àñòîòû, áîëüøèå 8000 ãåðö îòðàçÿòñÿ è íàëîæàòñÿ íà
íèçêèå ÷àñòîòû. Ñîîáùåíèå áóäåò ïî÷òè ïîëíîñòüþ èëè ïîëíîñòüþ íåðàçáîð÷èâûì.
4. Ìîæíî ëè äëÿ áîðüáû ñ àëèàñèíãîì ñíà÷àëà îöèôðîâàòü ñèãíàë, à
çàòåì ïðîïóñòèòü ÷åðåç öèôðîâîé ôèëüòð íèçêèõ ÷àñòîò ñ ÷àñòîòîé ñðåçà,
ðàâíîé ïîëîâèíå ÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèè.
à) Òàê òî÷íî. Óñëîâèå Íàéêâèñòà âûïîëíÿåòñÿ.
á) Íèêàê íåò. Íóæíî âçÿòü ÷àñòîòó ñðåçà ÷óòü ìåíüøå ïîëîâèíû ÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèè.
â) Òàê òî÷íî. Âåäü öèôðîâîé ôèëüòð íè÷åì íå õóæå àíàëîãîâîãî.
ã) Íèêàê íåò. ×àñòîòû, áîëüøèå ïîëîâèíû ÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèè îòðàçÿòñÿ è íàëîæàòñÿ íà íèçêèå ÷àñòîòû. Ôèëüòð èõ ïðîïóñòèò è íå ïîìîæåò.
ä) Íèêàê íåò.  ýòîì ñëó÷àå íóæíî áðàòü öèôðîâîé ôèëüòð âûñîêèõ
÷àñòîò ñ ÷àñòîòîé ñðåçà, ðàâíîé ïîëîâèíå ÷àñòîòû äèñêðåòèçàöèè.
18
2 Ñèñòåìû
2.1
Ëèíåéíûå ñèñòåìû
 ñàìîì îáùåì âèäå ñèñòåìà ýòî îòîáðàæåíèå, ïåðåâîäÿùåå ñèãíàë
â ñèãíàë.  òîì ñëó÷àå, êîãäà ìû ðàññìàòðèâàåì ñèãíàëû, ïðèíàäëåæàùèå êàêîìó-íèáóäü ëèíåéíîìó ïðîñòðàíñòâó, ñèñòåìà òî æå ñàìîå, ÷òî
è îïåðàòîð, îïðåäåë¼ííûé íà ýòîì ïðîñòðàíñòâå. Áóäåì ñèñòåìó îáîçíà÷àòü S . Åñëè ïîñëå îáðàáîòêè ñèñòåìîé S âõîäíîãî ñèãíàëà x ïîëó÷àåòñÿ
ñèãíàë y , òî ýòîò ôàêò áóäåì çàïèñûâàòü â âèäå y = Sx. Ñèãíàë y ÷àñòî (èëè èíîãäà) áóäåì íàçûâàòü îòêëèêîì ñèñòåìû S íà âõîäíîé ñèãíàë
x. Âàæåí êëàññ ëèíåéíûõ ñèñòåì. Ýòî ñèñòåìû, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ
ôèçè÷åñêèé ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè. Èíûìè ñëîâàìè îòêëèê ëèíåéíîé ñèñòåìû íà âçâåøåííóþ ñóììó ñèãíàëîâ ðàâåí âçâåøåííîé ñ òåìè æå âåñàìè
ñóììå îòêëèêîâ íà èñõîäíûå ñèãíàëû. Òî÷íàÿ ôîðìóëèðîâêà ñëåäóþùàÿ.
Äëÿ ëþáûõ (ñèãíàëîâ) x1 è x2 èç ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñèãíàëîâ, ëþáûõ
÷èñåë α1 , α2
S(α1 x1 + α2 x2 ) = α1 Sx1 + α2 Sx2 .
Íà ñàìîì äåëå ïðè äàëüíåéøåì àíàëèçå äèñêðåòíûõ ñèñòåì íåîáõîäèìî
áîëåå ñèëüíîå óñëîâèå. Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñèãíàëîâ x1 , x2 , . . . è
∑∞
ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñêàëÿðîâ α1 , α2 , . . . òàêèõ, ÷òî ðÿä
j=1 αj xj
ñõîäèòñÿ â êàêîì ëèáî ñìûñëå, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
S
(∞
∑
)
αj xj
=
∞
∑
αj S(xj ).
j=1
j=1
Çäåñü, êîíå÷íî, ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñõîäèòñÿ â òîì æå ñìûñëå. Ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ñèñòåìà îïèñûâàåòñÿ
ëèíåéíûì îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì, äåéñòâóþùåì â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèãíàëîâ è ñõîäèìîñòü ïîíèìàåòñÿ êàê ñõîäèìîñòü ïî íîðìå.
2.2
Èíâàðèàíòíûå ê ñäâèãó ñèñòåìû
Ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíîé ê ñäâèãó, åñëè îíà êîììóòèðóåò ñ
îïåðàòîðîì ñäâèãà, òî åñòü
Sτ = τ S.
Ýòî îçíà÷àåò âîò ÷òî. Ïóñòü èçâåñòíû âõîäíîé ñèãíàë è îòêëèê ñèñòåìû
íà ýòîò ñèãíàë. Åñëè íóæíî ïîñòðîèòü íîâûé âõîäíîé ñèãíàë ñäâèãîì ïåðâîíà÷àëüíîãî âõîäíîãî ñèãíàëà, òî îòêëèê íà íåãî èíâàðèàíòíîé ê ñäâèãó
ñèñòåìû ëåãêî íàéòè, ñäâèíóâ íà ñòîëüêî æå ïåðâîíà÷àëüíûé îòêëèê. Åñëè èíâàðèàíòíàÿ ê ñäâèãó ñèñòåìà êîììóòèðóåò ñî ñäâèãîì, òî ïîâòîðÿÿ
19
ýòî íåñêîëüêî ðàç, âèäèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî k ∈ Z ñèñòåìà êîììóòèðóåò ñ
îïåðàòîðîì ñäâèãà íà k , îïðåäåë¼ííûé ïî ôîðìóëå
τ k x(n) = x(n − k) äëÿ ∀n ∈ Z.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èíâàðèàíòíîé ê ñäâèãó ñèñòåìû ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
Sτ k = τ k S.
Ïðèìåðû ñèñòåì.
1. ¾Øóìîïîäàâèòåëü¿. Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà C ,
åñëè ÷ëåí âõîäíîãî ñèãíàëà óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ |x(n)| ≥ C , òî
ñîîòâåòñòâóþùèé ÷ëåí îòêëèêà ðàâåí y(n) = x(n); åñëè æå |x(n)| < C , òî
y(n) = 0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé ê ñäâèãó,
íî íåëèíåéíîé.
2. ¾Äåöèìàöèÿ¿.  îòêëèêå îñòà¼òñÿ áåç èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû òîëüêî
êàæäûé äåñÿòûé ÷ëåí âõîäíîãî ñèãíàëà: y(k) = x(10k) äëÿ ëþáîãî k ∈ Z.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé, íî íå èíâàðèàíòíîé ê
ñäâèãó.
3. ¾Óñðåäíåíèå¿ r + s + 1-ãî ïîðÿäêà. Âñå ÷ëåíû îòêëèêà y íà âõîäíîé
ñèãíàë x âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
y(k) =
x(k − r) + · · · + x(k − 1) + x(k) + x(k + 1) + · · · + x(k + s)
s+r+1
äëÿ ëþáîãî k ∈ Z. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé è
èíâàðèàíòíîé ê ñäâèãó. Åñëè r = s, òî ¾óñðåäíåíèå¿ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì. Åñëè r = 0, òî ¾óñðåäíåíèå¿
y(k) =
x(k) + x(k + 1) + · · · + x(k + s)
,
s+1
k ∈ Z,
íàçûâàåòñÿ ëåâûì s + 1-ãî ïîðÿäêà. Eñëè s = 0, òî ¾óñðåäíåíèå¿
y(k) =
x(k − r) + · · · + x(k − 1) + x(k)
,
r+1
k ∈ Z,
íàçûâàåòñÿ ïðàâûì r + 1-ãî ïîðÿäêà. Ýòà ñèñòåìà ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â
ïðèëîæåíèÿõ è íàçûâàåòñÿ ôèëüòðîì ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî.
4. Êîíå÷íàÿ ðàçíîñòü ïåðâîãî ïîðÿäêà.
y(k) =
x(k) − x(k − 1)
2
äëÿ ëþáîãî k ∈ Z. Íà òåõíè÷åñêîì ñëåíãå ýòà ïðîöåäóðà íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì.
20
5. Ðåêóðñèâíûé ôèëüòð.
y(k) =
N
∑
M
∑
al y(k − l) +
bs x(k − s), ïðè
s=−R
l=1
N
∑
|al | =
̸ 0,
l=1
äëÿ ëþáîãî k ∈ Z. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé è
èíâàðèàíòíîé ê ñäâèãó. Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò ôèëüòðû ñ R = 0. Åñëè
ýòî íå òàê, òî ïðèõîäèòñÿ âû÷èñëÿòü y(n) ëèøü êîãäà â ñèñòåìó ïîñòóïèò
x(n + R). Ýòî íå∑âñåãäà óäîáíî, òàê êàê ïðèâîäèò ê çàäåðæêå îòêëèêà íà
R òàêòîâ. Åñëè N
l=1 |al | = 0, ôèëüòð íàçûâàåòñÿ íåðåêóðñèâíûì.
6. Íåðåêóðñèâíûé ôèëüòð.
y(k) =
M
∑
bs x(k − s)
s=−R
äëÿ ëþáîãî k ∈ Z. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé è èíâàðèàíòíîé ê ñäâèãó. Î÷åâèäíî, ÷òî ôèëüòð ¾óñðåäíåíèå¿ ÿâëÿåòñÿ íåðåêóðñèâíûì ôèëüòðîì.
2.3
Öèôðîâîé ôèëüòð
Ëèíåéíàÿ èíâàðèàíòíàÿ ê ñäâèãó ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ öèôðîâûì ôèëüòðîì. Òàê êàê äëÿ ëþáîãî äèñêðåòíîãî ñèãíàëà ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå
x=
∞
∑
x(k)τ k δ
k=−∞
òî ñ ó÷¼òîì ëèíåéíîñòè ñèñòåìû ïîëó÷èì
Sx =
∞
∑
x(k)Sτ k δ.
k=−∞
Òàê êàê ñèñòåìà S èíâàðèàíòíà ê ñäâèãó, òî
Sx =
∞
∑
x(k)τ k Sδ.
k=−∞
Îáîçíà÷èì ÷åðåç h îòêëèê ñèñòåìû S íà åäèíè÷íûé èìïóëüñ δ è íàçîâ¼ì
èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé ñèñòåìû S . Ñëåäîâàòåëüíî, h = Sδ , íî òîãäà
Sx =
∞
∑
k=−∞
21
x(k)τ k h.
(29)
Ïåðåéä¼ì â (29) ê ÷ëåíàì ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Òàê êàê (τ k h)(n) = h(n −
k), òî äëÿ n-ãî ÷ëåíà îòêëèêà y = Sx èìååò ìåñòî ôîðìóëà
y(n) =
∞
∑
x(k)h(n − k).
(30)
k=−∞
Êîíå÷íî, ýòó ôîðìóëó ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
y(n) =
∞
∑
h(n − k)x(k).
(31)
k=−∞
Òàêîå ¾óìíîæåíèå¿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàçûâàåòñÿ èõ ñâ¼ðòêîé. Òî åñòü
ïîëó÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü y íàçûâàåòñÿ ñâ¼ðòêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x è h. Ñâ¼ðòêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x è h áóäåì îáîçíà÷àòü
y = h ∗ x.
(32)
Çäåñü ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî çíàê ∗ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñâåðòêè áûë ââåäåí
çàäîëãî äî ïîÿâëåíèÿ êëàâèàòóðû êîìïüþòåðà, íà êîòîðîé åñòü ýòîò, óæå
çíàìåíèòûé, çíàê. Èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó h ñèñòåìû ìàòåìàòèêè íàçûâàþò ÿäðîì ñâ¼ðòêè. Ôîðìóëû (30), (31), (32) äåìîíñòðèðóþò íîëåçíîñòü
çíàíèÿ èíìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû.  ñëåäóþùèõ ïðèìåðàõ âû÷èñëèì èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó äëÿ íåêîòîðûõ ñèñòåì.
Ïðèìåðû.
1. ¾Óñðåäíåíèå¿ r + s + 1-ãî ïîðÿäêà:
y(k) =
x(k − r) + · · · + x(k − 1) + x(k) + x(k + 1) + · · · + x(k + s)
,
s+r+1
k ∈ Z.
Èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ëåãêî íàõîäèòñÿ ïî îïðåäåëåíèþ, åñëè ïîëîæèòü x = δ
{ 1
, åñëè − s ≤ j ≤ r;
h(j) = s+r+1
0,
ïðè îñòàëüíûõ j.
2. Êîíå÷íàÿ ðàçíîñòü ïåðâîãî ïîðÿäêà:
y(k) =
x(k) − x(k − 1)
,
2
k ∈ Z.
Ïî îïðåäåëåíèþ, ïîëàãàÿ x = δ , ïîëó÷àåì, ÷òî èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà
ñîñòîèò èç ÷ëåíîâ
1
2 , åñëè j = 0;
h(j) =
− 12 , åñëè j = 1;
0, ïðè îñòàëüíûõ j.
22
3. Íåðåêóðñèâíûé ôèëüòð:
y(k) =
M
∑
bs x(k − s),
k ∈ Z.
s=−R
Ñíîâà ïîëàãàÿ x = δ , ïîëó÷àåì, ÷òî èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ôèëüòðà
ñîñòîèò èç ÷ëåíîâ h(k) = bk ïðè −R ≤ k ≤ M è ïðè h(k) = 0 îñòàëüíûõ k .
4. Ðåêóðñèâíûé ôèëüòð:
y(k) =
N
∑
M
∑
al y(k − l) +
bs x(k − s),
k ∈ Z.
s=−R
l=1
Äëÿ ýòîãî ôèëüòðà íàéòè èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó ¾â ÿâíîì âèäå¿
ñëîæíåå, ÷åì äëÿ ïðåäûäóùèõ ïðèìåðîâ. Äëÿ ýòîãî íóæåí ìåòîä, èçëîæåííûé íà ñòðàíèöå 31. Òàì æå ìîæíî íàó÷èòüñÿ íàõîäèòü èìïóëüñíóþ
õàðàêòåðèñòèêó ðåêóðñèâíîãî ôèëüòðà.
Åñëè èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñèñòåìû (ôèëüòðà) îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà å¼ ÷ëåíîâ, òî îíà (îí) íàçûâàåòñÿ ÊÈÕñèñòåìîé (ôèëüòðîì).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñèñòåìà (ôèëüòð) íàçûâàåòñÿ
ÁÈÕ-ñèñòåìîé (ôèëüòðîì). ÊÈÕ ýòî àááðåâèàòóðà îò ¾êîíå÷íàÿ èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà¿, ÁÈÕ îò ¾áåñêîíå÷íàÿ èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà¿.  ïåðâûõ òð¼õ âûøåïðèâåä¼ííûõ ïðèìåðàõ äàíû ÊÈÕ-ôèëüòðû,
â ïîñëåäíåì ÁÈÕ-ôèëüòð.
Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ñâ¼ðòêè.
1. Ñâ¼ðòêà êîììóòàòèâíà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ñóùåñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè h ∗ x è x ∗ h, òî îíè ðàâíû h ∗ x = x ∗ h. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè
z = x ∗ h, òî
z(n) =
∞
∑
x(n − k)h(k).
k=−∞
è ïîñëå çàìåíû èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ l = n − k , k = n − l ïîëó÷èì
z(n) =
∞
∑
x(l)h(n − l) = y(n)
l=−∞
äëÿ ëþáîãî n. Òî åñòü z = y .
2. Åñëè ñóùåñòâóåò ñâ¼ðòêà h ∗ x, òî (αh) ∗ x = h ∗ (αx) = α(h ∗ x). Ýòî
ñâîéñòâî íåòðóäíî äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
3. Ñâ¼ðòêà àññîöèàòèâíà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ñóùåñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè h ∗ x, g ∗ (h ∗ x), g ∗ h, (g ∗ h) ∗ x, òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
g ∗ (h ∗ x) = (g ∗ h) ∗ x. Ïðîâåðüòå.
4. Ñâ¼ðòêà äèñòðèáóòèâíà îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ ñèãíàëîâ. Ýòî çíà÷èò,
÷òî åñëè ñóùåñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè h ∗ x, h ∗ y , h ∗ (x + y), òî âåðíî
23
ðàâåíñòâî h ∗ (x + y) = h ∗ x + h ∗ y . Ýòî ñâîéñòâî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ.
Ïðîâåðüòå.
5. Äëÿ åäèíè÷íîãî èìïóëüñà δ âåðíî ðàâåíñòâî x ∗ δ = x. Ïðîâåðüòå.
6. ek ∗ x = τ k x. Ïðîâåðüòå.
7. Ñâ¼ðòêà x ∗ h ∈ ℓ1 äëÿ ëþáîãî ñèãíàëà x ∈ ℓ1 òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà h ∈ ℓ1 . Ïðè ýòîì ∥x ∗ h∥ℓ1 ≤ ∥x∥ℓ1 ∥h∥ℓ1 .
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ñíà÷àëà x, h ∈ ℓ1 . Òîãäà
∥x ∗ h∥ℓ1 =
∑
∑ ∑
|(x ∗ h)(k)| =
x(m)h(k − m) ≤
k∈Z m∈Z
k∈Z
≤
∑ ∑
∑ ∑
x(m) h(k − m) =
x(m) h(k − m) =
k∈Z m∈Z
m∈Z k∈Z
∑
∑
∑
∑
h(l) = ∥x∥ℓ ∥h∥ℓ
=
x(m)
h(k − m) =
x(m)
1
1
m∈Z
m∈Z
k∈Z
l∈Z
Ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ ìîæíî ìåíÿòü, òàê êàê âòîðîé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.
Ïóñòü òåïåðü äëÿ ëþáîãî x ∈ ℓ1 ñâ¼ðòêà x ∗ h ∈ ℓ1 . Âîçüì¼ì x = δ ∈ ℓ1 .
Òîãäà x ∗ h = δ ∗ h = h ∈ ℓ1 .
8. Äëÿ ëþáîãî ñèãíàëà x ∈ ℓ∞ ñâ¼ðòêà x ∗ h ∈ ℓ∞ òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà h ∈ ℓ1 . Ïðè ýòîì ∥x ∗ h∥ℓ∞ ≤ ∥x∥ℓ∞ ∥h∥ℓ1 .
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ x ∈ ℓ∞ , h ∈ ℓ1
∥x ∗ h∥ℓ∞
∑
= sup |(x ∗ h)(k)| = sup
x(m)h(k − m) ≤
k∈Z
k∈Z
m∈Z
∑
∑
h(k − m) =
≤ sup
x(m) h(k − m) ≤ sup |x(m)| sup
k∈Z
m∈Z
m∈Z
k∈Z
m∈Z
∑
h(m) ≤ ∥x∥ℓ ∥h∥ℓ
≤ ∥x∥ℓ∞
∞
1
m∈Z
Ïóñòü òåïåðü äëÿ ëþáîãî ñèãíàëà x ∈ ℓ∞ ñâ¼ðòêà x ∗ h ∈ ℓ∞ . Âîçüì¼ì
{
x(k) =
h(−k)
|h(−k)| ,
0,
åñëè h(−k) ̸= 0,
åñëè h(−k) = 0.
Çäåñü ÷åðòà ñâåðõó îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
x ∈ ℓ∞ . Òîãäà x ∗ h ∈ ℓ∞ . Ñ äðóãîé ñòîðîíû
(x ∗ h)(0) =
Ïîýòîìó
∑
∑
h(k)x(0 − k) =
k∈Z
k∈Z |h(k)|
∑
k∈Z
∑ |h(k)|2 ∑
h(k)
=
=
|h(k)|.
h(k)
|h(k)|
|h(k)|
k∈Z
< ∞.
24
k∈Z
9. Ïóñòü ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì x, y , u ïîñòðîåíû ðÿäû Ëîðàíà
X(z) =
∑
x(m)z m ,
∑
Y (z) =
m∈Z
y(n)z n ,
U (z) =
n∈Z
∑
u(j)z j .
j∈Z
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü u åñòü ñâ¼ðòêà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x è y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà U (z) = X(z)Y (z).
Äåéñòâèòåëüíî,
U (z) =
∑
x(m)z m
m∈Z
è
U (z) =
∑
∑
y(n)z n
n∈Z
x(m)
m∈Z
∑
y(n)z n+m
n∈Z
Ïðèâåä¼ì ïîäîáíûå ïî ñòåïåíÿì z . Äëÿ ýòîãî ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé
ñóììèðîâàíèÿ j = n + m. Òîãäà
U (z) =
∑∑
x(j − n)y(n)z j .
j∈Z n∈Z
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âîçìîæíî ëèøü ïðè
u(j) =
∑
x(j − n)y(n) ∀j ∈ Z.
n∈Z
 ÷àñòíîñòè, êîãäà ñèãíàëû ôèíèòíû è ðàâíû íóëþ ïðè îòðèöàòåëüíûõ
àðãóìåíòàõ, òî ðÿäû Ëîðàíà åñòü ïðîñòî ìíîãî÷ëåíû. Òîãäà ÷ëåíû ñâ¼ðòêè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé åñòü êîýôôèöèåíòû ïðîèçâåäåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ. Òåïåðü Âû çíàåòå, ÷òî ïåðåìíîæàÿ äâà ìíîãî÷ëåíà, ìû íàõîäèì ñâåðòêó.
2.4
Óñòîé÷èâûå ôèëüòðû
Öèôðîâîé ôèëüòð íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì, åñëè îãðàíè÷åííûé äèñêðåòíûé ñèãíàë îí ïåðåâîäèò â îãðàíè÷åííûé. Ñâîéñòâî 8 â ïðåäûäóùåì ïóíêòå ïîêàçûâàåò, ÷òî öèôðîâîé ôèëüòð óñòîé÷èâ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
åãî èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó ℓ1 . Òàê êàê ôèíèòíûå èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðèíàäëåæàò ℓ1 , òî âñå ÊÈÕ-ñèñòåìû
óñòîé÷èâû. Äëÿ ÁÈÕ-ñèñòåì ýòî íå âñåãäà âåðíî. Íàïðèìåð, åñëè ôèëüòð
çàäàí ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì y(n) = y(n − 1) + x(n). Òîãäà, åñëè íà âõîä
ïîäàòü ñèãíàë, òîæäåñòâåííî ðàâíûé åäèíèöå, òî íà âûõîäå áóäåì èìåòü
âñ¼ âîçðàñòàþùèå çíà÷åíèÿ îòêëèêà.
25
2.5
Ìàòðèöà öèôðîâîãî ôèëüòðà
Çàïèøåì äåéñòâèå öèôðîâîãî ôèëüòðà íà äèñêðåòíûé ñèãíàë â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Îòêëèê y = Sx íà âõîäíîé ñèãíàë x âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìó∑
∑
ëå y(n) =
x(k)h(n
−
k)
.
Â
÷àñòíîñòè
y(0)
=
k
k x(k)a(−k), y(1) =
∑
k x(k)a(1 − k) è òàê äàëåå. Òîãäà, çàïèñûâàÿ ñèãíàëû áåñêîíå÷íûìè
âåêòîð-ñòîëáöàìè x = (. . . x(−2), x(−1), x(0), x(1), x(2), . . . )τ äëÿ öèôðîâîãî ôèëüòðà ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
..
.
y(−2)
y(−1)
y(0)
y(1)
y(2)
..
.
... ...
..
.
=
...
...
...
...
...
h(0)
h(1)
h(2)
h(3)
h(4)
...
...
...
...
...
h(−1)
h(0)
h(1)
h(2)
h(3)
...
h(−2)
h(−1)
h(0)
h(1)
h(2)
...
h(−3)
h(−2)
h(−1)
h(0)
h(1)
...
h(−4)
h(−3)
h(−2)
h(−1)
h(0)
...
...
..
.
...
x(−2)
...
x(−1)
...
x(0)
...
x(1)
. . . x(2)
..
...
.
Ìû ïîëó÷èëè ìàòðèöó ôèëüòðà, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû hij = h(i − j).
Òàêàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ òåïëèöåâîé.
2.6
Ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìûå ñèñòåìû
Ñèñòåìà S íàçûâàåòñÿ ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìîé, åñëè äëÿ äëÿ ëþáîãî
N è ëþáûõ ñèãíàëîâ x è y òàêèõ, ÷òî x(n) = y(n) äëÿ ëþáîãî n < N ,
âûïîëíÿåòñÿ
Sx(k) = Sy(k) ïðè âñåõ k < N.
Ëèíåéíàÿ èíâàðèàíòíàÿ ê ñäâèãó ñèñòåìà ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìà òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà h óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:
h(k) = 0 ïðè k < 0.
Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò èç òð¼õ íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ øàãîâ. Íà
ïåðâîì øàãå äîêàæåì, ÷òî èíâàðèàíòíàÿ ê ñäâèãó ñèñòåìà ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáûõ ñèãíàëîâ x è y òàêèõ, ÷òî
x(n) = y(n) äëÿ ëþáîãî n < 0, âûïîëíÿåòñÿ
Sx(k) = Sy(k) ïðè k < 0.
Ïîñëåäíåå óñëîâèå äëÿ ññûëîê íàçîâ¼ì óñëîâèåì (À).
Íåîáõîäèìîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ î÷åâèäíà, òàê êàê èç òîãî, ÷òî äàííîå
óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ N ñëåäóåò, ÷òî îíî âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ N = 0.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîñòè âîçüì¼ì ëþáîå N è ëþáûå ñèãíàëû
x è y òàêèå, ÷òî x(n) = y(n) ïðè ëþáîì n < N . Ââåä¼ì íîâûå ñèãíàëû x1 ,
26
y1 ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ ëþáîãî n ïî îïðåäåëåíèþ x1 (n) = x(n + N ),
y1 (n) = y(n + N ). Î÷åâèäíî, ÷òî íîâûå ñèãíàëû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ:
x1 (n) = y1 (n) äëÿ ëþáîãî n < 0. Íî òîãäà
Sx1 (k) = Sy1 (k) ïðè k < 0.
Òàê êàê ñèñòåìà èíâàðèàíòíà ê ñäâèãó, òî
Sx1 (k) = Sx(k + N ),
Sy1 (k) = Sy(k + N ) ïðè âñåõ k.
Ïîýòîìó
Sx(n) = Sy(n) ïðè n < N,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Íà âòîðîì øàãå äîêàæåì, ÷òî âòîðîé ñèãíàë ìîæíî çàìåíèòü íóëåâûì.
Òî÷íåå, ëèíåéíàÿ ñèñòåìà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (À) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ñèãíàëà x òàêîãî, ÷òî x(n) = 0 äëÿ ëþáîãî n < 0,
âûïîëíÿåòñÿ
Sx(k) = 0 ïðè k < 0.
Ýòî óñëîâèå äëÿ ññûëîê íàçîâ¼ì óñëîâèåì (Á).
Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (Á) î÷åâèäíà, òàê êàê â óñëîâèè (À) ìîæíî âçÿòü
ñèãíàë y òîæäåñòâåííî ðàâíûì íóëþ.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîñòè âîçüì¼ì ëþáûå ñèãíàëû x è y òàêèå,
÷òî x(n) = y(n) äëÿ ëþáîãî n < 0. Ïóñòü ñèãíàë z = x − y . Òîãäà z(n) = 0
ïðè n < 0. Ïîýòîìó
Sz(k) = 0 ïðè k < 0
èëè
S(x − y)(k) = 0 ïðè k < 0.
Òàê êàê ñèñòåìà S ëèíåéíà, òî
Sx(k) − Sy(k) = 0 ïðè k < 0,
à ýòî çíà÷èò, ÷òî
Sx(k) = Sy(k) = 0 ïðè k < 0,
÷òî òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Íà òðåòüåì øàãå îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå (Á) âûïîëíÿåòñÿ òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà h ëèíåéíîé èíâàðèàíòíîé
ê ñäâèãó ñèñòåìû S óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:
h(k) = 0 ïðè k < 0.
Åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (Á), òî â êà÷åñòâå ñèãíàëà x ìîæíî âçÿòü
â ÷àñòíîñòè åäèíè÷íûé èìïóëüñ δ . Íî òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ èìïóëüñíîé
27
õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû è èç óñëîâèÿ (Á) ñëåäóåò, ÷òî h(k) = Sδ(k) ïðè
k < 0.
Íàîáîðîò. Ïóñòü èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà h ëèíåéíîé èíâàðèàíòíîé
ê ñäâèãó ñèñòåìû S óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: h(k) = 0 ïðè k < 0. Îòêëèê
ëèíåéíîé èíâàðèàíòíîé ê ñäâèãó ñèñòåìû ìîæíî âû÷èñëèòü êàê ñâ¼ðòêó
èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè è âõîäíîãî ñèãíàëà:
∞
∑
Sx(k) =
h(j)x(k − j),
∀k ∈ Z.
j=−∞
Òàê êàê èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàâíà íóëþ ïðè îòðèöàòåëüíûõ àðãóìåíòàõ, òî ñîîòâåòñòâóþùèå ñëàãàåìûå ìîæíî íå ó÷èòûâàòü â ñóììå
Sx(k) =
∞
∑
h(j)x(k − j),
∀k ∈ Z.
j=0
Åñëè k < 0, òî è k − j < 0 ïðè j ≥ 0. À òàê êàê âõîäíîé ñèãíàë ïðè
îòðèöàòåëüíûõ àðãóìåíòàõ ðàâåí íóëþ x(k − j) = 0, òî âñå ñëàãàåìûå â
ñóììå ðàâíû íóëþ è, ñëåäîâàòåëüíî, Sx(k) = 0 ïðè k < 0.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìóþ ñèñòåìó ìîæíî â ìàòðè÷íîé ôîðìå ïðåäñòàâèòü â âèäå:
2.7
..
.
0
0
y(0)
y(1)
y(2)
..
.
=
...
...
...
...
...
...
...
...
h(0)
h(1)
h(2)
h(3)
h(4)
...
...
...
...
...
...
0
0
0
0 ...
h(0) 0
0
0 ...
h(1) h(0) 0
0 ...
h(2) h(1) h(0) 0 . . .
h(3) h(2) h(1) h(0) . . .
...
...
...
... ...
..
.
0
0
x(0)
x(1)
x(2)
..
.
×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñèñòåìû
Èññëåäóåì îòêëèê ñèñòåìû S íà âõîäíîé ñèãíàë
x(n) = Aeiωn ,
n ∈ Z.
Çäåñü A ∈ C, ω ∈ R è i2 = −1.
Òàê êàê ñèñòåìà ëèíåéíàÿ è èíâàðèàíòíàÿ ê ñäâèãó, òî å¼ îòêëèê ìîæíî
âû÷èñëÿòü êàê ñâ¼ðòêó
∞
∑
Sx(k) = (h ∗ x)(k) =
m=−∞
28
h(m)x(k − m).
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âõîäíîãî ñèãíàëà
Sx(k) =
∞
∑
iω(k−m)
h(m)Ae
∞
∑
iωk
= Ae
m=−∞
h(m)e−iωm .
m=−∞
Îáîçíà÷èì
∞
∑
H(ω) =
h(m)e−iωm .
m=−∞
Ôóíêöèÿ H(ω) (åñëè ñóùåñòâóåò) íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé
ñèñòåìû S . Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñèñòåìû (ôèëüòðà)
ðàâíà ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè ýòîé ñèñòåìû. Â
òîì âàæíîì ñëó÷àå, êîãäà h ∈ ℓ1 , ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà H(ω) ÿâëÿåòñÿ
íåïðåðûâíîé, 2π ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé.
Òîãäà
Sx(k) = A H(ω)eiωk ,
k ∈ Z.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëèíåéíàÿ è èíâàðèàíòíàÿ ê ñäâèãó ñèñòåìà ãàðìîíè÷åñêèé ñèãíàë ïåðåâîäèò â ãàðìîíè÷åñêèé ñèãíàë òîé æå ÷àñòîòû. Ìåíÿåòñÿ àìïëèòóäà è ôàçà ñèãíàëà. Ìîäóëü |H(ω)| íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäíî÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (À×Õ) ñèñòåìû, arg H(ω) íàçûâàåòñÿ ôàçîâî÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (Ô×Õ) ñèñòåìû.
Ïóñòü òåïåðü ñèãíàë íà âõîäå ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííûì ãàðìîíè÷åñêèì.
 ýòîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà òîæå
ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííîé. Õîòÿ íà âõîä ñèñòåìû ìîæíî ïîäàâàòü è êîìïëåêñíûå ñèãíàëû. Çàäàäèì ðàññìàòðèâàåìûé ñèãíàë ôîðìóëîé
k ∈ Z.
x(k) = A cos(ωk + φ),
Çäåñü A, ω, φ ∈ R. Ñèãíàë x ìîæíî ïî ôîðìóëå (5) ïðåäñòàâèòü â âèäå
x(k) =
)
A ( i(ωk+φ)
e
+ e−i(ωk+φ) ,
2
k ∈ Z,
èëè
Aeiφ iωk Ae−iφ i(−ω)k
e +
e
, k ∈ Z.
x(k) =
2
2
Íà âûõîäå ñèñòåìû â ñèëó å¼ ëèíåéíîñòè ïîëó÷èì îòêëèê
Sx(k) =
A iφ
A
e H(ω)eiωk + e−iφ H(−ω)e−iωk ,
2
2
k ∈ Z.
Òî, ÷òî èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííîé, ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðàâåíñòâó
H(ω) =
∑
k∈Z
h(k)e−ikω
=
∑
h(k)
k∈Z
e−ikω
=
∑
k∈Z
29
h(k)eikω = H(−ω).
Îáîçíà÷èì À×Õ è Ô×Õ ñèñòåìû ñîîòâåòñòâåííî |H(ω)| è ψ(ω) = arg H(ω)
òàê, ÷òî H(ω) = |H(ω)| eiψ(ω) . Ðàâåíñòâî H(ω) = H(−ω) îçíà÷àåò, ÷òî
|H(ω)| = |H(−ω)| è arg H(ω) = − arg H(−ω) ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî,
êðàòíîãî 2π . Òîãäà H(−ω) = |H(ω)| e−iψ(ω) è
Sx(k) =
A iφ+iψ(ω)
A
e
|H(ω)|eiωk + e−iφ−iψ(ω) |H(ω)|e−iωk ,
2
2
k ∈ Z,
èëè
A|H(ω)| i(φ+ψ(ω)+ωk)
(e
+ e−i(φ+ψ(ω)+ωk) ),
2
Ôîðìóëà (5) ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó
k ∈ Z.
Sx(k) =
Sx(k) = A|H(ω)| cos(φ + ψ(ω) + ωk),
k ∈ Z.
Òàêèì îáðàçîì, ëèíåéíàÿ èíâàðèàíòíàÿ ê ñäâèãó ñèñòåìà äèñêðåòíûé ãàðìîíè÷åñêèé ñèãíàë ïåðåâîäèò â ãàðìîíè÷åñêèé òîé æå ÷àñòîòû. Ìåíÿåòñÿ
àìïëèòóäà è ôàçà ñèãíàëà.
Ïðèìåð. Íàéòè èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó èäåàëüíîãî ôèëüòðà íèçêèõ ÷àñòîò, ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîòîðîãî íà îñíîâíîì ïåðèîäå [−π; π]
ðàâíà
{
1, åñëè |ω| ≤ Ω0 ;
H(ω) =
0,
åñëè Ω0 ≤ |ω| ≤ π .
Ïîñòðîèòü ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè íå ñîñòàâëÿåò òðóäà:
pp
pp
pp
pp
pp
r
r
−π
16
r
pp
pp
pp
pp
pp
r
r
pp
pp
pp
pp
pp
r
Ω0
0
r
π
pp
pp
pp
pp
pp
r
-
ω
Íàéä¼ì èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó ñèñòåìû. Òàê êàê
1
h(k) =
2π
∫
π
H(ω)eiωk dω,
−π
òî, ó÷èòûâàÿ âèä ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè H(ω), ïîëó÷èì
1
h(k) =
2π
Òîãäà
∫
Ω0
eiωk dω.
−Ω0
Ω
1 eiωk 0
sin(Ω0 k)
h(k) =
,
=
2π ik −Ω0
πk
åñëè k ̸= 0. Ïðè k = 0 ëåãêî âèäíî, ÷òî h(0) = Ω0 /π . Òàêèì îáðàçîì,
èäåàëüíûé ôèëüòð íèçêèõ ÷àñòîò ÿâëÿåòñÿ ÁÈÕ - ñèñòåìîé, ïðè÷¼ì îíà íå
ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìîé.
30
2.8
Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ è öèôðîâûå ôèëüòðû
Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ öèôðîâîé ôèëüòð ìîæíî çàäàâàòü ñ ïîìîùüþ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè âèäà
y(n) =
M
∑
aj y(n − j) +
j=1
N
∑
bk x(n − k), aM ̸= 0.
(33)
k=0
Åñëè M = 0, òî ôèëüòð íàçûâàåòñÿ íåðåêóðñèâíûì, è, íàîáîðîò, åñëè
M > 0, òî ôèëüòð íàçûâàåòñÿ ðåêóðñèâíûì. Òî, ÷òî êîýôôèöèåíòû aj
ïîñòîÿííûå, îçíà÷àåò èõ íåçàâèñèìîñòü îò n. Óðàâíåíèå (33) ïîçâîëÿåò
âû÷èñëÿòü ïîñëåäîâàòåëüíî çíà÷åíèÿ îòêëèêà ñèñòåìû íà âõîäíîé ñèãíàë.
Òàêîå êà÷åñòâî ñèñòåìû óäîáíî äëÿ ðàáîòû â ðåàëüíîì âðåìåíè. Ìîæíî,
êîíå÷íî, ðàññìàòðèâàòü è íåñêîëüêî áîëåå îáùóþ ñèñòåìó, çàäàííóþ ñ ïîìîùüþ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ
y(n) =
M
∑
j=1
aj y(n − j) +
N
∑
bk x(n − k), aM ̸= 0.
(34)
k=−R
 ýòîì ñëó÷àå âû÷èñëåíèå çíà÷åíèÿ y(n) îòñòà¼ò îò ïîñòóïàþùåãî â ñèñòåìó î÷åðåäíîãî çíà÷åíèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà íà R òàêòîâ. Òàêàÿ çàäåðæêà
áûâàåò íåïðèåìëåìîé, îñîáåííî â òîì ñëó÷àå, êîãäà íå òåðïèòñÿ ïîñêîðåå ïîëó÷èòü îòêëèê ñèñòåìû. Âûõîä îäèí, èñïîëüçóéòå òîëüêî öèôðîâîé
ôèëüòð (33). À åñëè âå÷åðîì âñå ðàâíî äåëàòü íå÷åãî è öåëàÿ íî÷ü âïåðåäè, òî ñàìîå âðåìÿ çàïóñòèòü ðåêóðñèâíûé ôèëüòð (34) íà îáðàáîòêó
ïîñòóïèâøèõ çà äåíü ñèãíàëîâ.
Ïðèìåð. Íàéòè îòêëèê ñèñòåìû, çàäàííîé ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì
y(n) = 2x(n) − 3y(n − 1).
(35)
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì y(−1) = 0 è âõîäíûì ñèãíàëîì x(n) = n3 + 1.
Ìîæíî íàõîäèòü çíà÷åíèÿ îòêëèêà ñèñòåìû, ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿÿ
ïî ôîðìóëå (35):
y(0)
y(1)
y(2)
y(3)
=
=
=
=
2x(0) − 3y(−1) = 2 · 1 − 3 · 0 = 2,
2x(1) − 3y(0) = 2 · 2 − 3 · 2 = −2,
2x(2) − 3y(1) = 2 · 9 − 3 · (−2) = 24,
2x(3) − 3y(2) = 2 · 28 − 3 · 24 = −16,
è òàê äàëåå.
Òàê õîðîøî ïîñòóïàòü, áóäó÷è êîìïüþòåðîì. Îäíàêî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî íàéòè îáùåå ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ â áîëåå óäîáíîé äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà ôîðìå. Ìåòîäû ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé
31
î÷åíü ïîõîæè íà ìåòîäû ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (è ýòà
ïîõîæåñòü íå ñëó÷àéíà). Ïîýòîìó àíàëèç è ìåòîäû ðåøåíèÿ ðàçíîñòíûõ
óðàâíåíèé ðàññìàòðèâàåòñÿ (÷àùå íå ðàññìàòðèâàåòñÿ) â êóðñå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Òåì íå ìåíåå äàëåå áóäåò äàí Ïîýòîìó èçëîæèì ëèøü
ðåöåïò ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ. Îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ðàâíî ñóììå îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ
y(n) =
M
∑
aj y(n − j)
(36)
j=1
è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (34). ×òîáû íàéòè îáùåå
ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (36) íóæíî íàéòè íåíóëåâûå êîðíè óðàâíåíèÿ
n
z =
M
∑
aj z n−j ,
(37)
j=1
÷òî ðàâíîñèëüíî (íóæíî óðàâíåíèå (37) ïîäåëèòü íà z n−M ) íàõîæäåíèþ
âñåõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
z
M
−
M
∑
aj z M −j = 0.
(38)
j=1
Êàæäîìó êîðíþ z = α óðàâíåíèÿ (38) â îáùåì ðåøåíèè îäíîðîäíîãî
óðàâíåíèÿ (36) îòâå÷àåò ñëàãàåìîå âèäà
α
n
k−1
∑
Cj nj
j=0
ñ íåîïðåäåë¼ííûìè êîýôôèöèåíòàìè Cj , 0 ≤ j ≤ k − 1, ãäå k ýòî êðàòíîñòü êîðíÿ α â õàðàêòåðèñòè÷åñêîì óðàâíåíèè (37). Íåîïðåäåë¼ííûå êîýôôèöèåíòû îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Òàêèì îáðàçîì, åñëè α1 , . . . , αl âñå, â îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíûå, íåíóëåâûå êîðíè
óðààâíåíèÿ (37) ñ êðàòíîñòÿìè k1 , . . . , kl , òî îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî
ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (36) èìååò âèä
y(n) =
l
∑
αsn
s=1
k∑
s −1
Cj,s nj .
(39)
j=0
×àñòíîå ðåøåíèå îáû÷íî èùåòñÿ â òîì æå âèäå, â êàêîì çàäàí âõîäíîé
ñèãíàë è íàõîäèòñÿ ïîäñòàíîâêîé â ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (34).
Âåðí¼ìñÿ ê ïðèìåðó (35). Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå èìååò âèä:
y(n) + 3y(n − 1) = 0.
32
Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå z n +3z n−1 = 0 èìååò îäèí ïðîñòîé íåíóëåâîé êîðåíü z = −3. Òîãäà îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ èìååò
âèä
y0 (n) = C1 (−3)n .
×àñòíîå ðåøåíèå áóäåì èñêàòü â òîì æå âèäå, â êàêîì çàäàí âõîäíîé ñèãíàë:
y1 (n) = An3 + Bn2 + Cn + D.
Ïîäñòàâëÿÿ ÷àñòíîå ðåøåíèå â óðàâíåíèå (35), ïîëó÷èì
An3 + Bn2 + Cn + D = 2(n3 + 1) − 3A(n − 1)3 − 3B(n − 1)2 − 3C(n − 1) − 3D.
Ïîñëå ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì n è ïðèðàâíèâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðè
îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé
A
B
C
D
=
=
=
=
2 − 3A,
9A − 3B,
−9A + 6B − 3C,
2 + 3A − 3B + 3C − 3D,
ðåøàÿ êîòîðóþ íàõîäèì, ÷òî
1
A= ;
2
9
B= ;
8
C=
9
;
16
D=
29
.
64
Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (35)
èìååò âèä
1
9
9
29
y(n) = C1 (−3)n + n3 + n2 + n + .
2
8
16
64
Èñïîëüçóåì òåïåðü íà÷àëüíîå óñëîâèå. Îíî äà¼ò
y(−1) = C1 (−3)−1 −
1 9
9
29
+ −
+
= 0.
2 8 16 64
Îòñþäà
99
.
64
Îêîí÷àòåëüíî, îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (35)
èìååò âèä
99
1
9
9
29
y(n) = (−3)n + n3 + n2 + n + .
64
2
8
16
64
Ïðèìåð. Íàéòè èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó h ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìîãî ðåêóðñèâíîãî ôèëüòðà
C1 =
y(n) =
3y(n − 1) y(n − 3)
x(n − 1)
−
+ x(n) −
.
2
2
2
33
(40)
Ïî îïðåäåëåíèþ îòêëèê ñèñòåìû ðàâåí èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêå, åñëè yf âõîä ñèñòåìû ïîäàòü åäèíè÷íûé èìïóëüñ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè x = δ ,
òî y = h. Âû÷èñëèì íåñêîëüêî çíà÷åíèé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè h. Òàê
êàê ñèñòåìà ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìà, òî ïðè n < 0 âñå h(n) = 0. Äàëåå
h(0) =
3
2 h(−1)−
h(1) =
3
2 h(0)−
h(2) =
3
2 h(1)−
h(3) =
3
2 h(2)−
h(4) =
3
2 h(3)−
1
h(−3) + δ(0) −
2
1
h(−2) + δ(1) −
2
3
1
h(−1) = ,
2
2
1
7
h(0) = ,
2
4
1
17
h(1) = .
2
8
1
δ(−1) = 1,
2
1
δ(0) = 1,
2
Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðè n > 1 ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (40) ñòàíîâèòñÿ îäíîðîäíûì, òàê êàê x(n) = x(n − 1) = 0. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå
óðàâíåíèå îäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ èç (40) èìååò âèä
3
1
z n − z n−1 + z n−3 = 0 ⇔ 2z n − 3z n−1 + z n−3 = 0,
2
2
ðàâíîñèëüíîå äëÿ íåíóëåâûõ çíà÷åíèé z óðàâíåíèþ
2z 3 − 3z 2 + 1 = 0.
Êîðíè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ëåãêî íàéòè, íàïðèìåð, ïîäáîðîì. Èõ äâà,
ïåðâûé êîðåíü α1 = − 21 ïðîñòîé è âòîðîé êîðåíü α2 = 1 êðàòíîñòè 2.
Òîãäà îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (ïðè n > 1) èìååò âèä
( 1 )n
h(n) = C1 + C2 n + C3 −
.
2
(41)
Êîýôôèöèåíòû C1 , C2 è C3 íàéäåì, èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ. Òàê êàê
h(0) = 1, h(1) = 1 è h(2) = 3/2. òî. ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî n = 0, 1, 2
â (41), ïîëó÷èì
C1 + C 3
= 1,
1
C1 + C2 − 2 C3 = 1,
C1 + 2C2 + 14 C3 = 23 .
Ðåøèâ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷èì C1 = 7/9, C2 = 1/3, C3 = 2/9. Òàêèì
îáðàçîì, èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàâíà
7 n 2 ( 1 )n
.
h(n) = + + −
9 3 9
2
34
Îñòàëñÿ íå äî êîíöà ïðîÿñíåííûì âîïðîñ î âûáîðå íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé
äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîôôèöèåíòîâ Cj . Çäåñü âàæíî òî, ÷òî ïîñëåäíåå ïî ñïèñêó íà÷àëüíîå çíà÷åíèå âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùèå ñ èñïîëüçîâàíèåì
îäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ. Ìîæíî áûëî áðàòü â íàøåì ñëó÷àå
íàïðèìåð íàáîðû h(1), h(2), h(3) èëè h(2), h(3), h(4) è ò.ä.
2.9
Z -ïðåîáðàçîâàíèå
Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x ìîæíî ïîñòðîèòü ñëåäóþùèé ðÿä Ëîðàíà
∑
x(k)z −k ,
X(z) =
z ∈ C.
k∈Z
Ôóíêöèÿ X(z) íàçûâàåòñÿ z -ïðåîáðàçîâàíèåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ñèãíàëà) x. Èç êóðñà àíàëèçà ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî èçâåñòíî, ÷òî
ôóíêöèÿ X(z) àíàëèòè÷íà â êîëüöå r < |z| < R. Ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé
ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ z -ïðåîáðàçîâàíèå å¼ ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè
H(z) =
∑
h(k)z −k .
k∈Z
Èìååòñÿ ïðîñòàÿ ñâÿçü ìåæäó ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé ñèñòåìû è å¼
ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé. Åñëè ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ H(z) ñóùåñòâóåò íà
åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íóëå, òî ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñèñòåìû èìååò âèä H(eiω ). Ïîýòîìó ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèåþ ñèñòåìû ìîæíî
ñ÷èòàòü íåêîòîðûì îáîáùåíèåì ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè.
Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà z -ïðåîáðàçîâàíèÿ.
1. z -ïðåîáðàçîâàíèå ëèíåéíî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x, y , u óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ u = αx + βy , òî U (z) = αX(z) + βY (z).
2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü y ïîëó÷åíà èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x ñäâèãîì
íà k , òî åñòü y = τ k x, òî Y (z) = z −k X(z).
Äåéñòâèòåëüíî,
Y (z) =
∑
y(j)z −j =
j∈Z
∑
x(j − k)z −j .
j∈Z
Ïîñëå çàìåíû l = j − k ïîëó÷èì
Y (z) =
∑
x(l)z −l−k = z −k
l∈Z
∑
x(l)z −l = z −k X(z).
l∈Z
3. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü u ðàâíà ñâ¼ðòêå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x è
y , òî U (z) = X(z)Y (z). Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñâ¼ðòêà z -ïðåîáðàçîâàíèåì
ïåðåâîäèòñÿ â ïðîèçâåäåíèå.
Ýòî ñâîéñòâî ñôîðìóëèðîâàíî äðóãèìè ñëîâàìè è äîêàçàíî â 9 ñâîéñòâå
ñâ¼ðòêè.
35
4. z -ïðåîáðàçîâàíèå îáðàòèìî. Èñõîäíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæíî âîññòàíîâèòü ïî ôîðìóëå
1
x(j) =
2πi
I
X(z)z k−1 dz,
|z|=ρ
ãäå r < ρ < R.
z -ïðåîáðàçîâàíèå óäîáíî ïðèìåíÿòü äëÿ àíàëèçà öèôðîâûõ ôèëüòðîâ,
çàäàííûõ ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì (33). Åñëè åãî ïðèìåíèòü ê ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïåðâîãî è âòîðîãî ñâîéñòâà, òî ïîëó÷èì
Y (z) =
(
M
∑
−j
aj z Y (z) +
j=1
Y (z) 1 −
M
∑
)
aj z
−j
bk z −k X(z).
k=0
= X(z)
j=1
Ôóíêöèþ
N
∑
N
∑
bk z −k .
k=0
∑N
−k
Y (z)
k=0 bk z
=
.
∑
−j
X(z) 1 − M
a
z
j=1 j
íàçûâàþò ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé (ñèíîíèìû: ôóíêöèÿ ïåðåäà÷è, ñèñòåìíàÿ ôóíêöèÿ äèñêðåòíîãî ôèëüòðà).
Îáîçíà÷èì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ÷åðåç
∑N
H(z) =
1−
−k
k=0 bk z
.
∑M
−j
a
z
j
j=1
Ðàñ÷¼ò õàðàêòåðèñòèê ôèëüòðà èëè ïîñòðîåíèå ôèëüòðà ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè óäîáíî âåñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèè H(z) (ñì.[4]). Îòìåòèì, ÷òî
Y (z) = H(z)X(z).
2.10
Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè
1. Íà âõîä ñèñòåìû ïîäà¼òñÿ ñèãíàë x(n) = 2 cos(n) + 3 sin(2n + 1) −
4 sin(3n + 2), íà âûõîäå ñèñòåìû ïîëó÷àåì ñèãíàë y(n) = 4 cos(n + 1) +
2 sin(3n + 2). Ìîæåò ëè áûòü ñèñòåìà ëèíåéíîé?
2. Íà âõîä ëèíåéíîé ñèñòåìû ïîäàåòñÿ ñèãíàë x(n) = 2 cos(n)+4 sin(3n+
2). Êàêîé ñèãíàë ñëåäóåò îæèäàòü íà âûõîäå?
3. à) Íàéòè èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó èäåàëüíîãî ôèëüòðà âûñîêèõ
÷àñòîò, ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîòîðîãî íà îñíîâíîì ïåðèîäå [−π; π]
ðàâíà
{
0, åñëè |ω| ≤ Ω0 ;
H(ω) =
1,
åñëè Ω0 ≤ |ω| ≤ π .
36
á) Íàéòè èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó èäåàëüíîãî ïîëîñîâîãî ôèëüòðà ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîòîðîãî íà îñíîâíîì ïåðèîäå [−π; π] ðàâíà
H(ω) =
{
1,
0,
åñëè Ω1 ≤ ω ≤ Ω2 ;
ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ.
â) Íàéòè èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó èäåàëüíîãî ðåæåêòîðíîãî ôèëüòðà.
÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîòîðîãî íà îñíîâíîì ïåðèîäå [−π; π] ðàâíà
H(ω) =
{
0,
1,
åñëè Ω1 ≤ ω ≤ Ω2 ;
ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ.
4. Íàéòè èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó ôèëüòðîâ, çàäàííûõ ñëåäóþùèìè
ðàçíîñòíûìè óðàâíåíèÿìè
à) y(k) = 3y(k − 1) + x(k) + x(k − 1), k ∈ Z;
á) y(k) = − 16 y(k − 1) − 16 y(k − 2) + x(k), k ∈ Z;
â) y(k) = 2y(k − 1) − y(k − 2) + 12 x(k), k ∈ Z;
ã) y(k) = y(k − 2) + x(k) − x(k − 1), k ∈ Z;
ä) y(k) = −y(k − 2) + x(k − 1), k ∈ Z.
5. Íàéòè ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå, çàäàþùåå öèôðîâîé ôèëüòð ñ èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé
{
1 ïðè −1 < k < M ,
à) h(k) =
0 ïðè k < 0 è k > M − 1;
{
á) h(k) =
{
â) h(k) =
1
ïðè k > −1,
0
ïðè k < 0;
(0, 5)k
ïðè k > −1,
0
ïðè k < 0;
6. Íàéòè ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ñèñòåìû, èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà
êîòîðîé ðàâíà
à) åäèíè÷íîé ñòóïåíüêå u;
á) åäèíè÷íîìó èìïóëüñó δ ;
â) h(k) = 0 ïðè k < 0 è h(k) = ak ïðè îñòàëüíûõ k .
7. Íàéòè èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó ñèñòåìû ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé
1 − 2z + 3z 2 − 4z 3
.
H(z) =
z4
8. Íàéòè ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå, çàäàþùåå ñèñòåìó, åñëè ïåðåäàòî÷íàÿ
ôóíêöèÿ èìååò âèä
4 − 3z + 5z 3
.
H(z) =
z3 − 2
37
2.11
Òåñò
1. Ñèñòåìà äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó: y(n) = x(−n), ∀n ∈ Z. Ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ
à) ëèíåéíîé è èíâàðèàíòíîé ê ñäâèãó;
á) íåëèíåéíîé è íå èíâàðèàíòíîé ê ñäâèãó;
â) ëèíåéíîé, íî íå èíâàðèàíòíîé ê ñäâèãó;
ã) èíâàðèàíòíîé ê ñäâèãó, íî íåëèíåéíîé;
ä) âîîáùå íå ñèñòåìîé.
2. Êàêèå èç òð¼õ ñèñòåì ñ èìïóëüñíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè
h1 (n) = 2−n ,
h2 (n) = n2 ,
h3 (n) = n−1 ,
n ∈ Z,
óñòîé÷èâû?
à) ïåðâàÿ;
á) âñå óñòîé÷èâû;
â) ïåðâàÿ è âòîðàÿ;
ã) âòîðàÿ;
ä) âòîðàÿ è òðåòüÿ.
3. Ðåêóðñèâíûé ôèëüòð, çàäàííûé ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì
y(n) = y(n − 1) − y(n − 2) + 2x(n) n ∈ Z,
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè y(−1) = 0, y(0) = 2 ÿâëÿåòñÿ
à) óñòîé÷èâûì è ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìûì;
á) íåóñòîé÷èâûì, íî ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìûì;
â) íåóñòîé÷èâûì è íå ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìûì;
ã) óñòîé÷èâûì, íî íå ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìûì;
ä) íå ôèëüòðîì.
38
3
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ
3.1
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ
Ïóñòü N íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç C̃N ìíîæåñòâî âñåõ
ïåðèîäè÷åñêèõ êîìïëåêñíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ ïåðèîäîì, ðàâíûì N .
Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è óìíîæåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì êîìïëåêñíûì ïðîñòðàíñòâîì. Òî÷íî òàêæå
ââîäèòñÿ âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî R̃N âñåõ ïåðèîäè÷åñêèõ âåùåñòâåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ ïåðèîäîì, ðàâíûì N . Ìíîæåñòâî R̃N
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîäìíîæåñòâî (íî íå êàê ïîäïðîñòðàíñòâî) ìíîæåñòâà C̃N . Â C̃N âûáåðåì N ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ẽk , k = 0, 1, . . . , N − 1,
ñëåäóþùåãî âèäà:
ẽk (n) = e N kn = ω −kn , n ∈ Z,
2πi
ãäå îáîçíà÷åíî ω = ωN = e− N . Òî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ẽk ïðèíàäëåæàò C̃N , ñëåäóåò èç èõ ïåðèîäè÷íîñòè ñ ïåðèîäîì N :
2πi
2πi
2πi
2πi
ẽk (n + N ) = e N k(n+N ) = e N kn e2πik = e N kn = ẽk (n), ∀n ∈ Z.
Çäåñü èñïîëüçîâàëîñü òî, ÷òî äëÿ ëþáîãî öåëîãî k èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
e2πik = 1. Äîêàæåì, ÷òî ýòîò íàáîð èç N ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îáðàçóåò
áàçèñ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå C̃N . Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî
ëþáóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x̃ ∈ C̃N ìîæíî ðàçëîæèòü åäèíñòâåííûì îáðàçîì â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ẽ0 , ẽ1 , . . . , ẽN −1 . Òàêèì
îáðàçîì, äîêàæåì, ÷òî èç ðàâåíñòâà
x̃ =
N
−1
∑
(42)
Xk ẽk
k=0
ìîæíî âûðàçèòü, ïðè÷¼ì åäèíñòâåííûì îáðàçîì, êîýôôèöèåíòû X0 , X1 ,
. . . , XN −1 . Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ñóììó
N −1
1 ∑
X(m) =
x̃(n)ω −nm .
N n=0
(43)
Ðàâåíñòâî (42) ìîæíî çàïèñàòü äëÿ n-ãî ýëåìåíòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
x̃(n) =
N
−1
∑
Xk ẽk (n) =
k=0
N
−1
∑
Xk ω kn .
(44)
k=0
Ïîäñòàâèì (44) â (43), òîãäà
N −1 N −1
1 ∑∑
Xk ω kn ω −nm
X(m) =
N n=0
k=0
39
(45)
èëè
N −1 N −1
1 ∑∑
X(m) =
Xk ω n(k−m) .
N n=0
(46)
k=0
Ïîñëå ïåðåìåíû ïîðÿäêà ñóììèðîâàíèÿ ïîëó÷èì
N −1
N
−1
∑
1 ∑
X(m) =
Xk
ω n(k−m) .
N
n=0
(47)
k=0
Ïîïûòàåìñÿ âíóòðåííþþ ñóììó â (47) âû÷èñëèòü, äåðæà â ãîëîâå ôîðìóëó
äëÿ ñóììû ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè
N
−1
∑
1 − qN
SN =
,
q =
1
−
q
n=0
n
åñëè q ̸= 1 è SN = N , åñëè q = 1. Òîãäà, ïîëàãàÿ, ÷òî q = W k−m , è çíàÿ,
÷òî W N l = 1 ëèøü äëÿ ëþáîãî öåëîãî l, ïîëó÷èì
N
−1
∑
{
ω (k−m)n =
n=0
Òîãäà, âîçâðàùàÿñü ê (47),
X(m) =
1
N
N
−1
∑
åñëè k − m = N l, l ∈ Z;
N,
0,
{
Xk ·
k=0
åñëè k − m íå êðàòíî N .
N,
åñëè k − m = N l, l ∈ Z;
0,
åñëè k − m íå êðàòíî N .
(48)
(49)
Ýòî çíà÷èò, ÷òî â ïîñëåäíåé ñóììå ëèøü îäíî áûòü ìîæåò íåíóëåâîå ñëàãàåìîå, ñîîòâåòñòâóþùåå k = m + N l äëÿ íåêîòîðîãî l. Íî òîãäà
X(m) =
1
Xm+N l N = Xm+N l ,
N
(50)
ãäå l ïîäáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû 0 ≤ m + N l ≤ N − 1. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ
êàæäîãî x̃ êîýôôèöèåíòû X0 , X1 , . . . , XN −1 îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì
îáðàçîì è ñîâïàäàþò ñ ýëåìåíòàìè îäíîãî ïåðèîäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X .
Ïîäûòîæèì äîêàçàííîå. Ôîðìóëà (43) ïîçâîëÿåò ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x̃
âû÷èñëèòü âñå ýëåìåíòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X̃ , à ôîðìóëà (44) ñ ó÷¼òîì
ðàâåíñòâ (50) ïðèâîäèò ê ôîðìóëå
x̃(n) =
N
−1
∑
X̃(k)ω kn ,
(51)
k=0
ïîçâîëÿþùåé ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X̃ âû÷èñëÿòü âñå ýëåìåíòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x̃.
40
3.2
Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ
Âñþäó íèæå X̃ è Ỹ åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ñîîòâåòñòâåííî ñèãíàëîâ
x̃ è ỹ . Àíàëîãè÷íîå ïðàâèëî áóäåì ïðèìåíÿòü è äëÿ äðóãèõ áóêâ.
1. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îáðàòèìûì îïåðàòîðîì,
äåéñòâóþùèì èç C̃N â C̃N . Äîêàçàòåëüñòâî íåñëîæíî. Äîêàæèòå ýòî ñâîéñòâî ñàìîñòîÿòåëüíî. Çàìåòèì ëèøü, ÷òî ýòîò ëèíåéíûé îïåðàòîð ìîæíî
2πi
çàäàòü â ìàòðè÷íîì âèäå. Ïóñòü ω = e− N è ìàòðèöà
W˜N =
.....................................
... 0 1
1
1
...
1
0 ...
2
N −1
... 0 1
ω
ω
... ω
0 ...
2
4
2(N −1)
... 0 1
ω
ω
... ω
0 ...
.....................................
2
. . . 0 1 ω (N −1) ω 2(N −1) . . . ω (N −1) 0 . . .
... 0 1
1
1
...
1
0 ...
2
N −1
... 0 1
ω
ω
... ω
0 ...
2
4
2(N −1)
... 0 1
ω
ω
... ω
0 ...
.....................................
2
. . . 0 1 ω (N −1) ω 2(N −1) . . . ω (N −1) 0 . . .
... 0 1
1
1
...
1
0 ...
2
N −1
... 0 1
ω
ω
... ω
0 ...
2
4
2(N −1)
... 0 1
ω
ω
... ω
0 ...
.....................................
2
. . . 0 1 ω (N −1) ω 2(N −1) . . . ω (N −1) 0 . . .
.....................................
Îñíîâíîé
ïåðèîä
Òîãäà, åñëè îáîçíà÷èòü ïåðèîäè÷åñêèå ñèãíàëû
Ṽ =
òî
..
.
VN −1
V0
V1
V2
..
.
VN −1
V0
..
.
..
.
vN −1
v0
v1
Îñíîâíîé
v2
ṽ
=
ïåðèîä,
.
..
v
N −1
V
N −1
..
.
,
−1
Ṽ = W˜N ṽ è ṽ = W˜N Ṽ ,
−1
ãäå ìàòðèöà W˜N ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû W˜N çàìåíîé ω íà ω −1 .
41
2. Åñëè X̃ = W˜N x̃, Ỹ = W˜N ỹ è ỹ(n) = x̃(n + n0 ) äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî n0 ∈ Z è ëþáîãî n ∈ Z, òî Ỹ (m) = X̃(m)ω n0 m äëÿ ëþáîãî
m ∈ Z.
Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ïî îïðåäåëåíèþ
Ỹ (m) =
N
−1
∑
ỹ(n)ω nm ,
n=0
òî
Ỹ (m) =
N
−1
∑
x̃(n + n0 )ω nm .
n=0
Ïîñëå çàìåíû èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ n := n + n0
N +n
0 −1
∑
Ỹ (m) =
x̃(n)ω (n−n0 )m .
n=n0
Òàê êàê äëÿ ëþáîé N -ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ũ ñïðàâåäëèâî
ëåãêî ïðîâåðÿåìîå ðàâåíñòâî
N +n
0 −1
∑
ũ(k) =
N
−1
∑
k=n0
òî
Ỹ (m) =
N
−1
∑
x̃(n)ω
ũ(k),
k=0
(n−n0 )m
=ω
−n0 m
n=0
N
−1
∑
x̃(n)ω nm = ω −n0 m X̃(m),
n=0
3. Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî m0 ∈ Z è ëþáîãî n ∈ Z èìååò
ìåñòî ðàâåíñòâî ỹ(n) = x̃(n)ω m0 n , òî Ỹ (m) = X̃(m+m0 ) äëÿ ëþáîãî m ∈ Z.
Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê
Ỹ (m) =
N
−1
∑
ỹ(n)ω nm ,
n=0
òî
Ỹ (m) =
N
−1
∑
x̃(n)ω
m0 n nm
ω
n=0
=
N
−1
∑
x̃(n)ω n(m0 +m) = X̃(m + m0 ).
n=0
4. Ïåðèîäè÷åñêèé ñèãíàë x̃ ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííûì òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà X̃(m) = X̃(−m) äëÿ ëþáîãî m ∈ Z.
Äåéñòâèòåëüíî, ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî êîìïëåêñíî-ñîïðÿæ¼ííîå îò ñóììû
(ïðîèçâåäåíèÿ) ðàâíî ñóììå (ïðîèçâåäåíèþ) êîìïëåêñíî-ñîïðÿæ¼ííûõ, ïîëó÷èì
X̃(−m) =
N
−1
∑
x̃(n)ω −nm
n=0
=
N
−1
∑
n=0
42
x̃(n) ω −nm .
Ó÷ò¼ì, ÷òî äëÿ âåùåñòâåííîãî ñèãíàëà x̃ = x̃, à äëÿ ω = e− N âåðíî ðàâåíñòâî ω −nm = ω nm . Òîãäà
2πi
X̃(−m) =
N
−1
∑
x̃(n)ω nm = X̃(m).
n=0
Íàîáîðîò, òàê êàê äëÿ ëþáîãî ñèãíàëà x̃
X̃(−m) =
N
−1
∑
x̃(n)ω
nm
,
X̃(m) =
N
−1
∑
n=0
x̃(n)ω nm ,
n=0
òî ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
N
−1
∑
x̃(n)ω
nm
=
n=0
N
−1
∑
x̃(n)ω nm ,
n=0
êîòîðîå ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó x̃(n) = x̃(n).
5. Åñëè ñèãíàë ỹ ðàâåí äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà x̃,
ñèãíàë z̃ ðàâåí ìíèìîé ÷àñòè ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà x̃, òî
X̃(m) + X̃(−m)
X̃(m) − X̃(−m)
, Z̃(m) =
, , m ∈ Z.
(52)
2
2i
Äåéñòâèòåëüíî, ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâî 1 î ëèíåéíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ïîëó÷èì
Ỹ (m) =
X̃(m) = Ỹ (m) + iZ̃(m) äëÿ ëþáîãî m ∈ Z.
(53)
Òîãäà
X̃(−m) = Ỹ (−m) − iZ̃(−m), m ∈ Z.
Íî ïî ïðåäûäóùåìó ñâîéñòâó èìååì
X̃(−m) = Ỹ (m) − iZ̃(m), m ∈ Z.
(54)
Ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ (53) è (54), ïîëó÷èì (52).
3.3
Ñâ¼ðòêà ïåðèîäè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
Äëÿ ëþáûõ ïåðèîäè÷åñêèõ (íåíóëåâûõ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íåëüçÿ ââåñòè îáû÷íóþ ñâ¼ðòêó ââèäó òîãî, ÷òî ðÿä (31) ðàñõîäèòñÿ. Âàæíûì ñâîéñòâîì ñâ¼ðòêè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî å¼ ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà (ïîòî÷å÷íîìó) ïðîèçâåäåíèþ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé ñâîðà÷èâàåìûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Íàéä¼ì àíàëîã ñâ¼ðòêè â ñëó÷àå ïåðèîäè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ ó÷¼òîì ýòîãî ñâîéñòâà. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì òðè ïåðèîäè÷åñêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x̃, ỹ, z̃ ∈ C̃N , ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå êîòîðûõ, êàê îáû÷íî, îáîçíà÷èì X̃ , Ỹ , Z̃ ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü ïîñëåäíÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíà ïîòî÷å÷íîìó ïðîèçâåäåíèþ äâóõ ïðåäûäóùèõ. Ýòî îçíà÷àåò,
43
÷òî
m ∈ Z.
Z̃(m) = X̃(m)Ỹ (m),
Ïîïûòàåìñÿ âûâåñòè ôîðìóëó, ïî êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü z̃ íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x̃, ỹ .
N
−1
∑
z̃(k) =
Z̃(m)ω −km ,
m=0
z̃(k) =
N
−1
∑
X̃(m)Ỹ (m)ω −km ,
m=0
z̃(k) =
N
−1
∑
(N −1
∑
m=0
j=0
x̃(j)ω jm
) (N −1
∑
)
ỹ(l)ω lm ω −km ,
l=0
Ìåíÿÿ ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ, ïîñëå óïðîùåíèÿ ïîëó÷èì
z̃(k) =
N
−1
∑
x̃(j)
j=0
N
−1
∑
ỹ(l)
l=0
N
−1
∑
ω m(j+l−k) .
m=0
Âíóòðåííþþ ñóììó ëåãêî íàéòè êàê ñóììó ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñ
ó÷¼òîì ðàâåíñòâà ω N = 1
σ(j, l, k) =
N
−1
∑
m=0
Òàê êàê
{
ω m(j+l−k) =
1−ω N (j+l−k)
,
1−ω (j+l−k)
åñëè j + l − k íå êðàòíî N
N
åñëè j + l − k êðàòíî N .
1 − ω N (j+l−k)
= 0 äëÿ ëþáîãî j + l − k,
1 − ω (j+l−k)
òî â ñóììå ñ èíäåêñîì ñóììèðîâàíèÿ l òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå îòëè÷íî îò
íóëÿ. À èìåííî òî ñëàãàåìîå, ïðè êîòîðîì j + l − k êðàòíî N . Òàê êàê
âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïåðèîäè÷íû ñ ïåðèîäîì N , òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
j + l − k = 0. Ýòî çíà÷èò, â ýòîé ñóììå îñòàíåòñÿ òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå
ïðè l = k − j :
z̃(k) =
N
−1
∑
x̃(j)ỹ(k − j).
j=0
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñèãíàë z̃ åñòü öèêëè÷åñêàÿ ñâ¼ðòêà ïåðèîäè÷åñêèõ
ñèãíàëîâ x̃ è ỹ . Öèêëè÷åñêàÿ ñâ¼ðòêà áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ z̃ = x̃ ~ ỹ .
44
3.4
Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ
÷èñåë
N
Ðàññìîòðèì áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà C̃ , ñîñòîÿùèé èç N N -ïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ ñëåäóþùåãî âèäà,
k -ýëåìåíò
z}|{
1 , 0, . . . , 0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0, . . . )
{z
} |
{z
}
ek = (. . . , 0, . . . , 0,
|
Îñíîâíîé ïåðèîä
äëÿ k = 0, 1, . . . , N −1. Ëþáîé N -ïåðèîäè÷åñêèé ñèãíàë ṽ ìîæíî ðàçëîæèòü
ïî ýòîìó áàçèñó
ṽ =
N
−1
∑
v(j)ej .
j=0
Ïóñòü v = (v(0), v(1), . . . , v(N − 1)) ∈ CN êîîðäèíàòíûé âåêòîð, ñîñòîÿùèé èç êîîðäèíàò ñèãíàëà ṽ â äàííîì áàçèñå.
Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïîðÿäêà N äëÿ v ∈ CN îïðåäåëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå
V (k) =
N
−1
∑
v(l)e− N kl , k = 0, 1, . . . , N − 1.
2πi
l=0
Îáðàòíîå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äëÿ âåêòîðà V ∈ CN íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
v(l) = N
−1
N
−1
∑
2πi
V (l)e N kl , l = 0, 1, . . . , N − 1.
k=0
Ïóñòü, êàê è ðàíüøå, ω = e− N . Òîãäà ïðÿìîå è îáðàòíîå äèñêðåòíîå
ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
2πi
V (k) =
N
−1
∑
v(l)ω kl , k = 0, 1, . . . , N − 1;
(55)
l=0
v(l) = N
−1
N
−1
∑
V (l)ω −kl , l = 0, 1, . . . , N − 1.
k=0
Ïóñòü ìàòðèöà äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå
WN =
1
1
1
...
1
2
N −1
1 ω
ω
... ω
2
4
1 ω
e
. . . ω 2(N −1)
........................
2
1 ω N −1 ω 2(N −1) . . . ω (N −1)
45
.
(56)
Òîãäà
V = WN v è v = WN−1 V,
(57)
ãäå ìàòðèöà îáðàòíîãî äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå èìååò âèä
WN−1
1
=
N
1
1
1
...
1
−1
−2
1−N
1 ω
ω
... ω
−2
−4
1 ω
e
. . . ω 2(1−N )
.........................
2
1 ω 1−N ω 2(1−N ) . . . ω −(N −1)
.
Òàêèì îáðàçîì, äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì
îïåðàòîðîì, äåéñòâóþùèì â CN ïî ïðàâèëó (57). Åãî ìîæíî òðàêòîâàòü
è íåñêîëüêî èíà÷å. À èìåííî, êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðèîäè÷åñêèõ
ñèãíàëîâ, ññóæåííûõ íà îäèí ïåðèîä. Äëÿ òîãî, ÷òîáû äàòü òî÷íûå ôîðìóëèðîâêè, ââåä¼ì îïðåäåëåíèÿ. ×åðåç Φ îáîçíà÷èì äåéñòâóþùèé èç C˜N â
CN îïåðàòîð ñóæåíèÿ ñèãíàëà íà îñíîâíîé ïåðèîä:
Φ(ṽ) = (v(0), v(1), . . . , v(N − 1)).
Òîãäà Φ−1 åñòü îïåðàòîð ïåðèîäè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ âåêòîðà v . Åñëè ÷åðåç F̃ îáîçíà÷èòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðèîäè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, à ÷åðåç F îáîçíà÷èòü äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, òî ñëåäóþùàÿ äèàãðàììà êîììóòàòèâíà
F̃
C̃N −−→
x
−1
Φ
C̃N
yΦ
F
CN −−→ CN
Ýòî çíà÷èò, ÷òî F = ΦF̃ Φ−1 . Òàêèì îáðàçîì, äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå
Ôóðüå ñòðîèòñÿ ïî èçîìîðôèçìó Φ èç ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïåðèîäè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî îñíîâíûå ñâîéñòâà íàñëåäóþòñÿ. Îäíàêî åñòü îäèí íþàíñ. Àðãóìåíòû ïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ ìîæíî
áåçáîÿçíåííî ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü. Ïðè ýòîì àðãóìåíò ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ èç îäíîãî ïåðèîäà â äðóãîé. Äëÿ âåêòîðîâ ýòîãî äåëàòü íåëüçÿ, òàê
êàê çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà îãðàíè÷åíû. Íî ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ ïî ìîäóëþ N ðàâíîñèëüíû ñëîæåíèþ è âû÷èòàíèþ àðãóìåíòîâ äëÿ
ïåðèîäè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Ïîýòîìó ââåä¼ì ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ: äëÿ öåëûõ ÷èñåë 0 ≤ k < N , 0 ≤ l < N îáîçíà÷èì öèêëè÷åñêóþ
ðàçíîñòü
{
k−l
åñëè k ≥ l,
k⊖l =
N
k−l+N
46
åñëè k < l,
è öèêëè÷åñêóþ ñóììó
k⊕l =
N
{
k+l
åñëè k + l < N ,
k+l−N
åñëè k + l > N − 1.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà áåç äîêàçàòåëüñòâ, òàê êàê îíè î÷åâèäíû.
1. Åñëè V = WN v , U = WN u è u(n) = v(n ⊕ n0 ) äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèN
ðîâàííîãî n0 ∈ Z è ëþáîãî n = 0, 1, . . . , N − 1, òî U (m) = V (m)ω n0 m äëÿ
ëþáîãî m = 0, 1, . . . , N − 1.
3. Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî m0 ∈ Z è ëþáîãî n = 0, 1, . . . , N −
1 èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî u(n) = v(n)ω m0 n , òî U (m) = V (m⊕m0 ) äëÿ ëþáîãî
N
m = 0, 1, . . . , N − 1.
4. Âåêòîð v ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà V (m) =
V (N − m) äëÿ ëþáîãî m = 1, . . . , N − 1 è V (0) ∈ R.
5. Åñëè âåêòîð u ðàâåí äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè âåêòîðà x, âåêòîð v ðàâåí
ìíèìîé ÷àñòè âåêòîðà x, òî
X(m) + X(N − m)
X(m) − X(N − m)
, V (m) =
(58)
2
2i
äëÿ m = 1, . . . , N − 1 è U (0) ðàâíî äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè X(0), V (0) ðàâíî
ìíèìîé ÷àñòè X(0).
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè ïðè ìàëåíüêèõ N . Åñëè N = 2, òî äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìè
U (m) =
V (0) = v(0) + v(1),
V (1) = v(0) − v(1),
òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ω = −1. Åñëè N = 3, òî
V (0) = v(0) + v(1) +√v(2),
√
3
1
1
V (1) = v(0) − ( 2 + i √2 )v(1) − ( 2 − i √23 )v(2),
V (2) = v(0) − ( 12 − i 23 )v(1) − ( 21 + i 23 )v(2),
òàê êàê ω =
1
2
+
√
i 23 .
Äëÿ N = 4 ω = −i è, ñëåäîâàòåëüíî,
V (0) = v(0) + v(1) + v(2) + v(3),
V (1) = v(0) − iv(1) − v(2) + iv(3),
V (2) = v(0) − v(1) + v(2) − v(3),
V (3) = v(0) + iv(1) − v(2) − iv(3).
Çàìåòèì ïîïóòíî, ÷òî äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âòîðîãî ïîðÿäêà òðåáóåò äâà ñëîæåíèÿ è íå òðåáóåò óìíîæåíèé äëÿ ñâîåãî âû÷èñëåíèÿ.
Äëÿ ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà òðåáóåòñÿ äâåíàäöàòü ñëîæåíèé è íå òðåáóåòñÿ
óìíîæåíèé, òàê êàê óìíîæåíèå íà ìíèìóþ åäèíèöó ïðîñòî ñ òî÷íîñòüþ äî
çíàêà ìåíÿåò ìåñòàìè äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòü ÷èñëà. Ìîæíî ëè
óìåíüøèòü ÷èñëî ñëîæåíèé?
47
3.5
Öèêëè÷åñêàÿ ñâ¼ðòêà
Äëÿ öåëûõ ÷èñåë 0 ≤ k < N , 0 ≤ l < N ðàññìîòðèì öèêëè÷åñêóþ
ðàçíîñòü
{
k−l
åñëè k ≥ l;
k⊖l =
k−l+N
N
åñëè k < l.
ż ãåîìåòðè÷åñêè ìîæíî òðàêòîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè îáû÷íàÿ
ðàçíîñòü k − l äâóõ öåëûõ ÷èñåë ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñäâèãà òî÷êè k
âëåâî íà l åäèíèö íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé, òî öèêëè÷åñêàÿ ðàçíîñòü k ⊖ l äâóõ
N
÷èñåë 0 ≤ k < N , 0 ≤ l < N ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñäâèãà òî÷êè k â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè íà l åäèíèö íà ÷èñëîâîé îêðóæíîñòè. Íàïðèìåð,
äëÿ N = 12 ðàçíîñòü 9 ⊖ 7 ïîëó÷àåòñÿ ñäâèãîì òî÷êè 9 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå
12
íà ñåìü åäèíèö. Ïîñëå âíèìàòåëüíîãî, íàïðÿæ¼ííîãî è òùàòåëüíîãî àíàëèçà ïîëó÷àåì òî÷êó äâà. Ðàçíîñòü 2 ⊖ 4 ïîëó÷àåòñÿ ñäâèãîì òî÷êè äâà íà
12
÷åòûðå åäèíèöû ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ýòî èçîáðàæåíî íà âòîðîì ðèñóíêå.
Ïîëó÷àåì òî÷êó 10.
3
4 r
5 r
r
7
6
3
2re
5
4 r
r1
r
2ru
1
5 r
r1
4
2
6r
r0
6r
?
3
r0
3
7 r
2
8
H
YH
r 1
r 11
ru
r
r 11
7 r
10
8
r
9
r
re
4
10
9
Òàêèì îáðàçîì 9 ⊖ 7 = 2, 2 ⊖ 4 = 10.
12
12
Ñ ó÷¼òîì èçëîæåííîãî âûøå äëÿ âåêòîðîâ x, y, z ∈ CN öèêëè÷åñêàÿ
ñâ¼ðòêà z = x ~ y îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
z(k) =
N
−1
∑
x(l) y(k ⊖ l).
N
l=0
Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå öèêëè÷åñêóþ ñâ¼ðòêó ïåðåâîäèò â ïîêîîðäèíàòíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ Z(k) = X(k)Y (k), k = 0, 1, . . . , N − 1.
3.6
Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íàä êîíå÷íûì ïîëåì
Ïóñòü F = F[q] êîíå÷íîå ïîëå ïîðÿäêà q = pm è F∗ åãî ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà. Òîãäà ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà â ýòîì ïîëå ëþáîé íåíóëåâîé
ýëåìåíò èìååò ïîðÿäîê, êîòîðûé äåëèò q − 1. Ïðèìèòèâíûì íàçûâàåòñÿ
48
òàêîé ýëåìåíò ïîëÿ, ïîðÿäîê êîòîðîãî ðàâåí q − 1.  ëþáîì êîíå÷íîì ïîëå
åñòü õîòÿ áû îäèí ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò. Áóäåì åãî îáîçíà÷àòü π . Åñëè q−1
ïðîñòîå ÷èñëî, òî âñå ýëåìåíòû, îòëè÷íûå îò íóëÿ è åäèíèöû, ÿâëÿþòñÿ
ïðèìèòèâíûìè. Åñëè æå q − 1 = sr ñîñòàâíîå ÷èñëî, òî ýëåìåíò π s èìååò
ïîðÿäîê r. Òàêèì îáðàçîì, åñëè N | (q − 1), òî â ïîëå èìååòñÿ ýëåìåíò ïîðÿäêà N . Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç ω = ωN . Òîãäà äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå
Ôóðüå ïîðÿäêà N íàä ïîëåì F îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
V (k) =
N
−1
∑
v(l)ω −kl , k = 0, 1, . . . , N − 1.
l=0
Îáîçíà÷èì òåì æå ñèìâîëîì N ñóììó N åäèíèö ïîëÿ:
N=
N
∑
1 ∈ F.
j=1
Òàê êàê ÷èñëî N äåëèò q − 1 = pm − 1, òî ñàìî ÷èñëî N íå äåëèòñÿ íà
ïðîñòîå ÷èñëî p. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà N åäèíèö íå ðàâíà íóëþ â ïîëå
õàðàêòåðèñòèêè p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ýëåìåíò ïîëÿ N îáðàòèì. Ïîâòîðÿÿ
òàêèå æå âûêëàäêè, êàêèå áûëè ïðîâåäåíû íàä ïîëåì C, ïîëó÷èì, ÷òî è
çäåñü îáðàòíîå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
v(l) = N
−1
N
−1
∑
V (l)ω kl , l = 0, 1, . . . , N − 1.
k=0
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âåêòîðîâ
V=
è ìàòðèöû
V (0)
V (1)
V (2)
..
.
V (N − 1)
WN =
, v =
v(0)
v(1)
v(2)
..
.
v(N − 1)
∈ FN
1
1
1
...
1
−1
−2
1−N
1 ω
ω
... ω
−2
−4
1 ω
ω
. . . ω 2(1−N )
.........................
2
1 ω 1−N ω 2(1−N ) . . . ω −(N −1)
.
äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå îïðåäåëåíî ïî ôîðìóëå
V = WN v
49
è îáðàòèìî. Îáðàòíîå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âû÷èñëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå
v = WN−1 V,
ãäå
1
WN =
N
1
1
1
...
1
2
N −1
1 ω
ω
... ω
2
4
1 ω
ω
. . . ω 2(N −1)
........................
2
1 ω N −1 ω 2(N −1) . . . ω (N −1)
.
Ïóñòü òåïåðü íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
â ñëó÷àå, êîãäà åãî ïîðÿäîê íå äåëèò ïîðÿäîê ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû
ïîëÿ, ðàâíûé q − 1.  ýòîì ñëó÷àå íàä äàííûì ïîëåì ïîñòðîèòü äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íåëüçÿ èç-çà îòñóòñòâèÿ ýëåìåíòà ω ïîðÿäêà N .
×òîáû ïðîñëåäèòü àíàëîãèþ ñ ïîëÿìè R è C çàìåòèì, ÷òî íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ìîæíî ïîñòðîèòü äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå òîëüêî
âòîðîãî ïîðÿäêà. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â ïîëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë èìååòñÿ
ýëåìåíò −1 âòîðîãî ïîðÿäêà è íåò íè îäíîãî ýëåìåíòà áîëüøåãî êîíå÷íîãî
ïîðÿäêà. Ïîýòîìó ïðèõîäèòñÿ èñêàòü ýëåìåíò áîëüøåãî ïîðÿäêà â ðàñøèðåíèè ïîëÿ. Íî òîãäà ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ôóðüå íàõîäèòñÿ òîæå â ðàñøèðåíèè ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì íóæíî óìåòü
ñòðîèòü ðàñøèðåíèå (æåëàòåëüíî íàèìåíüøåå) ïîëÿ, ñîäåðæàùåå õîòÿ áû
îäèí ýëåìåíò äàííîãî ïîðÿäêà N . Ïóñòü ÷èñëà N è q âçàèìíî ïðîñòûå.
Òàê êàê ÷èñëî q åñòü ñòåïåíü ïðîñòîãî ÷èñëà p, òî çíà÷èò ñðåäè äåëèòåëåé
÷èñëà N íåò ÷èñëà p. Ðàçäåëèì êàæäîå èç ÷èñåë q , q 2 , q 3 , . . . , q N +1 íà N ñ
îñòàòêîì:
q = N t1 + r1 ,
q 2 = N t2 + r2 ,
q 3 = N t3 + r3 ,
..................
q N +1 = N tN +1 + rN +1 .
Îñòàòêè ri îò äåëåíèÿ íà ÷èñëî N ìîãóò ïðèíèìàòü N çíà÷åíèé 0, 1, 2,
. . . , N − 1. Ñðåäè 1 + N ÷èñåë r1 , r2 , . . . , rN +1 íàéä¼òñÿ õîòÿ áû îäíà ïàðà
ðàâíûõ ìåæäó ñîáîé. Âûáåðåì ïàðó, ïåðâîå ÷èñëî èç êîòîðîé âñòðå÷àåòñÿ
â âûøåïðèâåä¼ííûõ ðàâåíñòâàõ ðàíüøå äðóãèõ. Ïóñòü â ïàðó ïîïàäàþò
îñòàòêè èç i-ãî è j -ãî ðàâåíñòâà, i ̸= j . Òîãäà ri = rj . Òàê êàê ri = q i − N ti ,
rj = q j − N tj , òî q i − N ti = q j − N tj è, ñëåäîâàòåëüíî, q i − q j = N ti − N tj .
Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè i > j , òîãäà q j (q i−j − 1) = N (ti − tj ). Ýòî çíà÷èò,
÷òî ÷èñëî q j (q i−j − 1) äåëèòñÿ íà N . Òàê êàê ÷èñëà q è N âçàèìíî ïðîñòûå,
òî è ÷èñëà q i è N òîæå âçàèìíî ïðîñòûå. Ïîýòîìó q i−j − 1 äåëèòñÿ íà N .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â ïîëå F[q i−j ] èìååòñÿ ýëåìåíò N -ãî ïîðÿäêà. Â ýòîì
50
ïîëå ìîæíî ïîñòðîèòü äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïîðÿäêà N .
Åñëè æå ÷èñëà N è q íå âçàèìíî ïðîñòûå, òî äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå
Ôóðüå ïîðÿäêà N â ðàñøèðåíèè ïîëÿ F[q] ïîñòðîèòü íåëüçÿ. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê q = pm , òî ÷èñëî N äåëèòñÿ íà ïðîñòîå ÷èñëî p. Åñëè áû â ïîëå
F[q k ] ìîæíî áûëî áû ïîñòðîèòü äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïîðÿäêà
N , òî ÷èñëî q k − 1 äåëèëîñü áû íà N . Òîãäà è ÷èñëî pkm − 1 äåëèòñÿ íà N ,
à, ñëåäîâàòåëüíî, è íà p, ÷òî íåâîçìîæíî.
Ïðèìåð. Ïîñòðîèòü äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå òðåòüåãî ïîðÿäêà
íàä ïîëåì õàðàêòåðèñòèêè 2.
 F[2] íåò ýëåìåíòà òðåòüåãî ïîðÿäêà. Çàòî îí åñòü â ïîëå F[4]. Ïðè
ðåàëèçàöèè ïîñëåäíåãî ïîëÿ êàê êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ ñ êîýôôèöèåíòàìè èç
ïîëÿ F[2] ïî ìîäóëþ íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà x2 + x + 1 åãî ýëåìåíòàìè
áóäóò [0], [1], [x], [x + 1]. Ïîðÿäîê äâóõ ïîñëåäíèõ ýëåìåíòîâ ðàâåí òð¼ì.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ìîæíî âçÿòü ëþáîé èç
íèõ. Ïóñòü, íàïðèìåð, ω = [x]. Òîãäà c ó÷¼òîì ðàâåíñòâ ω 2 = [x+1], ω 4 = ω
è îáîçíà÷åíèÿ µ = ω äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïðèíèìàåò âèä
V0 = v0 + v1 + v2 ,
V1 = v0 + v1 ω + v2 µ,
V2 = v0 + v1 µ + v2 ω.
Òàê êàê ω −1 = µ, µ2 = ω è (1 + 1 + 1)−1 = 1 â ïîëå F[4], îáðàòíîå
äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïðèíèìàåò âèä
V0 = v0 + v1 + v2 ,
V1 = v0 + v1 µ + v2 ω,
V2 = v0 + v1 ω + v2 µ.
3.7
Ïðèìåíåíèå äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äëÿ ïðèáëèæ¼ííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå
Äîñòàòî÷íî ÷àñòî äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå èñïîëüçóåòñÿ êàêîé-íèáóäü áûñòðûé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ðàññìîòðèì êàêèå ýôôåêòû ìîãóò âîçíèêíóòü â
ýòîé ñèòóàöèè.
Èòàê, òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
∫
∞
F (ξ) =
f (t)e−itξ dt.
−∞
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îñíîâíîé âêëàä â èíòåãðàë ïî R âíîñèò èíòåãðàë ïî
èíòåðâàëó (0; M ). Ýòî çíà÷èò, ÷òî èíòåãðàëîì ïî âíåøíîñòè èíòåðâàëà
51
(0; M ) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäà èìååòñÿ ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî
∫ M
F (ξ) ≈
f (t)e−itξ dt.
0
Äëÿ ïðèáëèæ¼ííîãî âû÷èñëåíèÿ ýòîãî èíòåãðàëà âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé
ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ðàçîáüåì èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ (0; M ) ñ øàãîì ∆t
íà N ÷àñòåé, M = N ∆t. Òîãäà ïî ôîðìóëå ïðÿìîóãîëüíèêîâ
F (ξ) ≈ ∆t
N
−1
∑
f (tk )e−itk ξ .
k=0
Âûáåðåì â êà÷åñòâå tk ëåâûå êîíöû èíòåðâàëîâ, íà êîòîðûå ðàçáèò (0; M ).
Òàêèì îáðàçîì, tk = k∆t, k = 0, 1, . . . , N − 1, òîãäà
F (ξ) ≈ ∆t
N
−1
∑
f (k∆t)e−ik∆tξ .
k=0
Âû÷èñëèì èíòåãðàë íå âî âñåõ òî÷êàõ ξ , à òîëüêî â óçëàõ ξl = l∆ξ , l =
0, 1, . . . , N − 1. Òîãäà
F (ξl ) ≈ ∆t
N
−1
∑
fk e−ik∆t l∆ξ ,
k=0
ãäå îáîçíà÷åíî fk = f (∆tk). Ïóñòü ∆t è ∆ξ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
∆t∆ξ =
Òîãäà
Fl ≈ ∆t
N
−1
∑
2π
.
N
(59)
fk e−i N kl ,
2π
k=0
ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå Fl = F (ξl ) = F (∆ξl).
Òàêèì îáðàçîì, ïðè óêàçàííûõ âûøå äîïóùåíèÿõ èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ìîæíî âû÷èñëÿòü ïðèáëèæ¼ííî ñ ïîìîùüþ äèñêðåòíîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ïðàâäà ïðè ýòîì ñëåäóåò ñîáëþäàòü ðàâåíñòâî (59).
Ýòî ñîîòíîøåíèå ìåæäó øàãîì ∆t è øàãîì ∆ξ íå ïîçâîëÿåò ïðîèçâîëüíî
èõ ìåíÿòü (óìåíüøàòü èëè óâåëè÷èâàòü) ïðè ôèêñèðîâàííîì N .
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü èíòåãðàëîì ïî âíåøíîñòè èíòåðâàëà (N1 ; N2 ). Òîãäà
∫
F (ξ) ≈
N2
f (t)e−itξ dt.
N1
52
Ñäåëàåì çàìåíó íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé t = s + N1 , òîãäà
∫
F (ξ) ≈
N2 −N1
f (s + N1 )e−i(s+N1 )ξ ds
0
è
−iN1 ξ
∫
N2 −N1
F (ξ) ≈ e
f (s + N1 )e−isξ ds.
0
Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ìîæíî ïðèáëèæ¼ííî âû÷èñëÿòü ñ ïîìîùüþ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, êàê âûøå. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî îòñ÷¼òû
ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè áåðóòñÿ íà èíòåðâàëå (N1 ; N2 ). Åñëè ïîñëå âû÷èñëåíèÿ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ðåçóëüòàò íå óìíîæèòü íà
e−iN1 ξ , òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ïî ìîäóëþ ÷èñëå N1 íàáëþäàåòñÿ ñëåäóþùèé èíòåðåñíûé ýôôåêò. Ïðè òàêîì N1 ôóíêöèÿ e−i(N1 )ξ áûñòðî îñöèëèðóåò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè íåáîëüøîì èçìåíåíèè ïåðåìåííîé ξ , çíà÷åíèå
ôóíêöèè áûñòðî ìåíÿåòñÿ, ïåðåìåùàÿñü ïî åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Åñëè æå âû÷èñëÿòü çíà÷åíèÿ áûñòðî îñöèëèðóþùåé
ôóíêöèè â òî÷êàõ ñåòêè, òî, êàê ïðàâèëî, ïîëó÷àþòñÿ ÷èñëà, íàïîìèíàþùèå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Ïóñòü òåïåðü òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íà
èíòåðâàëå (L1 ; L2 ). Âûøå âû÷èñëåíèÿ âåëèñü íà èíòåðâàëå (0; L), ãäå L =
N ∆ξ . Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ ξ = η + L1 . Òîãäà, åñëè ïåðåìåííàÿ ξ
ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ íà èíòåðâàëå (L1 ; L2 ), òî ïåðåìåííàÿ η íà èíòåðâàëå
(0; L), L = L2 − L1 . Ïîýòîìó
∫
F (η + L1 ) =
è
f (t)e−it(η+L1 ) dt
−∞
∫
F (η + L1 ) =
∞
∞
f (t)e−itL1 e−itη dt.
−∞
Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïåðåä âû÷èñëåíèåì èíòåãðàëà íóæíî ïîäûíòåãðàëüíóþ
ôóíêöèþ f (t) óìíîæèòü íà e−itL1 .
×àñòî âñòðå÷àåòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ðàññìîòðèì äèñêðåòíûé ñèãíàë, ðàâíûé ñóììå äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ
2 cos(Ω1 n + φ1 ) + 5 cos(Ω2 n + φ2 n). Îí ïîëó÷åí êàê äèñêðåòèçàöèÿ àíàëîãîâîãî ñèãíàëà 2 cos(ω1 t + φ1 ) + 5 cos(ω2 n + φ2 t), ãäå Ω = ω∆t. Äîïóñòèì, ÷òî ÷àñòîòû ãàðìîíèê ñèãíàëà íåèçâåñòíû. Òðåáóåòñÿ ïî äèñêðåòèçàöèè âû÷èñëèòü, ïóñòü ïðèáëèæ¼ííî, íî áûñòðî, ýòè ÷àñòîòû. Íåïðåðûâíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íå ñóùåñòâóåò äëÿ íåíóëåâûõ ïåðèîäè÷åñêèõ
ñèãíàëîâ. Ìîæíî ðàññìîòðåòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå â ñìûñëå îáîáù¼ííûõ ôóíêöèé. Ðåçóëüòàòîì áóäåò ñóììà äâóõ îáîáù¼ííûõ äåëüòà-ôóíêöèé:
2δ(ξ − ω1 ) + 5δ(ξ − ω2 ). Åñëè âçÿòü N îòñ÷¼òîâ äèñêðåòèçàöèè ñèãíàëà è
53
âû÷èñëèòü îò íèõ äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïîðÿäêà N , òî ïî âûøåèçëîæåííîìó ïîëó÷èì ïðèáëèæåíèå ê òî÷íîìó çíà÷åíèþ. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé, ñõîäÿùóþñÿ ê äåëüòà-ôóíêöèè, íàçûâàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ äåëüòà-îáðàçíûõ ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äà¼ò äèñêðåòèçàöèþ äåëüòà-îáðàçíîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ,
êàê ïðàâèëî, èìååò âèä
6
r
-
ω1
ξ
è ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåíèåì ê δ(ξ − ω1 ). Ïî àáñöèññå âåðøèíû ïèêà íà
ãðàôèêå ìîæíî ïðèáëèçèòåëüíî íàéòè âåëè÷èíó ω1 . Êàæäîé ãàðìîíèêå îòâå÷àåò òàêîé ïèê. Îäíàêî ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè ýòîì
ïîÿâëÿþòñÿ ëîæíûå ïèêè. Ýòî ñâÿçàíî ñ ôîðìóëîé (6), ñëåäñòâèåì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ïîÿâëåíèå îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò. À òàê êàê ïðè äèñêðåòíîì
ïðåîáðàçîâàíèè Ôóðüå çíà÷åíèÿ ïîÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêè, òî ïèêè èç îòðèöàòåëüíîé ÷àñòè ïî ïåðèîäè÷íîñòè ïåðåìåùàþòñÿ íà îñíîâíîé ïåðèîä.
Íàïðèìåð, åñëè âçÿòü àíàëîãîâûé ñèãíàë
x(t) = sin(1.1t) + 3 sin(1.4t)
è äèñêðåòèçèðîâàòü åãî ñ øàãîì ∆t = 1 ïðè t = 1, 2, . . . , 512, âû÷èñëèòü
äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è ïîñòðîèòü ïî òî÷êàì ãðàôèê ìîäóëÿ
ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé, òî ïîëó÷èì ñëåäóþùèé ðèñóíîê:
54
700
600
500
400
300
200
100
0
100
200
300
400
500
x
Èç (59) ïîëó÷èì
∆ξ =
2π
≈ 0, 0123
512
. Íà ãðàôèêå âèäíî, ÷òî ïåðâûé ïèê ðàñïîëîæåí ïðè àðãóìåíòå, ðàâíîì
ïðèáëèçèòåëüíî k ≈ 90. Òîãäà êðóãîâàÿ ÷àñòîòà ω ≈ k∆ξ ≈ 1, 1. Äëÿ
âòîðîãî ïèêà k ≈ 115 è ω ≈ 1, 4. Òàêèì îáðàçîì, ñ äîñòàòî÷íî âûñîêîé
òî÷íîñòüþ îïðåäåëåíà ÷àñòîòà ñèãíàëà. Ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûå ïèêè
íà ðèñóíêå ñïðàâà ÿâëÿþòñÿ ëîæíûìè.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îíè ìîãóò
ìåøàòü îñíîâíûì ïèêàì. Òàê åñëè ðàññìîòðåòü ñèãíàë
x(t) = sin(1.1t) + 3 sin(3.1t)
äëÿ t = 1, 2, . . . , 512, òî ïîëó÷èì ñëåäóþùèé ãðàôèê, ãäå ïèêè íàêëàäûâàþòñÿ äðóã íà äðóãà.
55
600
500
400
300
200
100
0
100
200
300
400
500
x
3.8
Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè
1. Ïîñòðîèòü äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå à)÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà;
á) ïÿòîãî ïîðÿäêà íàä ïîëåì íàèìåíüøåãî ïîðÿäêà.
2. Âû÷èñëèòü öèêëè÷åñêèå ñâ¼ðòêè ïî îïðåäåëåíèþ è ñ èñïîëüçîâàíèåì
äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:
à) (2; 3; −1; 4) ∗ (−1; 2; 0; 3);
á) (2; 2; −1; −3) ∗ (2; −3; 1; 1);
â) (2; −1; 3; 1) ∗ (−2; 1; 3; 0);
ã) (−2; 4; 1; −1) ∗ (2; 1; −2; 3).
3. Èñïîëüçóÿ äîñòóïíûå ñðåäñòâà âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè, äëÿ àíàëîãîâûõ ñèãíàëîâ
à) x(t) = sin(0.7t) + 2 cos(1.2t),
á) x(t) = cos(1.3t) + 3 sin(0.6t),
â) x(t) = cos(t) + 3 sin(1.2t),
ã) x(t) = sin(1.4t) + 3 cos(0.8t)
ïðè N = 512, ∆t = 1 ñ ïîìîùüþ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå
îïðåäåëèòü ÷àñòîòû ñëàãàåìûõ. Âûÿñíèòü ïðè êàêîì óðîâíå øóìà åù¼
ìîæíî âûäåëèòü ïðèáëèæ¼ííîå çíà÷åíèå ÷àñòîò. Øóì ñìîäåëèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ãåíåðàòîðà ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë.
56
3.9
Òåñò
1. Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå:
∑
à) V (k) = j∈Z v(j)ω jk ,
∑n
á) V (k) = j=1 v(j)ω jk ,
∑n−1
â) V (k) = j=0 v(k − j)ω jk ,
∑n−1
ã) V (k) = j=0 v(j)ω jk ,
∑n
ä) V (k) = j=1 v(k − j)ω jk .
2. Öèêëè÷åñêàÿ ñâ¼ðòêà x è y , ðàâíàÿ u, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåé
ôîðìóëå:
∑
à) u(k) = j∈Z x(j)y(k − j),
∑
á) u(k) = j∈Z x(j)y(k + j),
∑n−1
â) u(k) = j=0 x(j)y(k − j),
∑n−1
ã) u(k) = j=0 x(j)y(k + j),
∑n−1
ä) u(k) = j=0 x(j)y(k ⊖ j).
N
3. Äëÿ ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà x åãî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå X èìååò
ñëåäóþùèå ÷ëåíû:
à) X(−1) = 1, X(0) = 1 + i, X(1) = −1, X(2) = 1 − i,
á) X(−1) = 1 + 2i, X(0) = 2, X(1) = 1 − 2i, X(2) = 1 + i,
â) X(−1) = i, X(0) = 1, X(1) = 1 + i, X(2) = 2,
ã) X(−1) = −i, X(0) = −1 + i, X(1) = i, X(2) = 2i,
ä) X(−1) = i, X(0) = −i, X(1) = i, X(2) = −i.
57
4
Áûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
4.1
Îáùèé àëãîðèòì
Áûñòðûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå áóäåì íàçûâàòü ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ
äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, òðåáóþùèé ñóùåñòâåííî ìåíüøåãî ÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé (îùóòèìîãî äëÿ ïîëüçîâàòåëÿ), ÷åì òðàäèöèîííûé ñïîñîá.
Òðàäèöèîííûé ñïîñîá èñïîëüçóåò ôîðìóëó
V (k) =
N
−1
∑
v(l)ω kl , k = 0, 1, . . . , N − 1,
l=0
ãäå ω = ωN èìååò ïîðÿäîê N . Äëÿ óñêîðåíèÿ âû÷èñëåíèé ñòåïåíè ω kl ìîæíî âû÷èñëèòü çàðàíåå è çàòàáóëèðîâàòü (çàòàáëè÷èòü, çàìàññèâèòü). Ïîýòîìó ïðè ïîäñ÷¼òå íåîáõîäèìîãî ÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé âîçâåäåíèÿ
â ñòåïåíü íå áóäåì ó÷èòûâàòü. Äëÿ íàõîæäåíèÿ êàæäîãî V (k) òðåáóåòñÿ
N óìíîæåíèé è N − 1 ñëîæåíèé è òàê N ðàç. Ïîýòîìó îáùåå ÷èñëî óìíîæåíèé ðàâíî M (N ) = N 2 , îáùåå ÷èñëî ñëîæåíèé ðàâíî A(N ) = N (N − 1).
Îäíàêî, ãëÿäÿ íà ìàòðèöó äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, èìåþùóþ
èíòåðåñíóþ âíóòðåííþþ ñòðóêòóðó, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ýòî ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ óñêîðåíèÿ âû÷èñëåíèé. Óäèâèòåëüíûå ñïîñîáû òàêîãî
óñêîðåíèÿ áûëè íàéäåíû Êóëè (Cooley J.W.) è Òüþêè (Tukey J.W.) â 1965
ãîäó, è Ãóäîì (Good J.J.) è Òîìàñîì (Thomas L.H.) â 19601968 ãîäàõ. (Ïîÿâèëèñü ñîîáùåíèÿ, ÷òî â ðóêîïèñÿõ Ãàóññà 1802 ãîäà íàéäåíû ýëåìåíòû
èëè èäåè ýòîãî àëãîðèòìà.)
Îñíîâíàÿ èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè ïîðÿäîê àëãîðèòìà ðàâåí N è
N = N1 N2 ñîñòàâíîå ÷èñëî, òî âåêòîðû ïîðÿäêà N ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
ìàòðèö ðàçìåðà N1 × N2 . Êîíå÷íî, èìååòñÿ íåñêîëüêî ñïîñîáîâ òàêîé çàïèñè. Íàïðèìåð, ìîæíî çàïèñàòü ïî ïîðÿäêó ïî ñòðîêàì èëè ñòîëáöàì. Ïóñòü
ýëåìåíò v(l) (èëè V (k)) ïîìåù¼í â l1 (k1 ) ñòðîêó è l2 (k2 ) ñòîëáåö ìàòðèöû.
Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ýòè èíäåêñû áûëè ñâÿçàíû ëèíåéíûìè ñîîòíîøåíèÿìè
l ≡ L1 l1 + L2 l2
mod N
äëÿ ôèêñèðîâàííûõ öåëûõ ÷èñåë L1 , L2 è
k ≡ K1 k1 + K2 k2
mod N
äëÿ ôèêñèðîâàííûõ öåëûõ ÷èñåë K1 , K2 .
Òàê êàê âñå ýëåìåíòû âåêòîðà äîëæíû áûòü ïåðåíåñåíû â ìàòðèöó, òî
êàæäàÿ èç ýòèõ ôîðìóë äîëæíà çàäàâàòü áèåêòèâíîå (âçàèìíî îäíîçíà÷íîå) îòîáðàæåíèå èç äåêàðòîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ {0, 1, . . . , N1 −
1} × {0, 1, . . . , N2 − 1} âî ìíîæåñòâî {0, 1, . . . , N − 1}.
58
Òàêèì îáðàçîì ýëåìåíò âåêòîðà V (k) = V (K1 k1 + K2 k2 ) ðàçìåù¼í â
ìàòðèöó V â k1 ñòðîêó è â k2 ñòîëáåö. Ýëåìåíò, ñòîÿùèé â k1 ñòðîêå è
â k2 ñòîëáöå ìàòðèöû V , îáîçíà÷èì ÷åðåç Vk1 ,k2 . Çíà÷èò, Vk1 ,k2 = V (k).
Àíàëîãè÷íî, vl1 ,l2 = V (l).
Òîãäà
Vk1 ,k2 =
N
−1
∑
v(l)ω
−kl
=
l=0
N
1 −1 N
2 −1
∑
∑
vl1 ,l2 ω (K1 k1 +K2 k2 )(L1 l1 +L2 l2 ) .
l1 =0 l2 =0
Çäåñü âî âòîðîì ðàâåíñòâå èñïîëüçîâàëàñü áèåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ çàìåíû ïåðåìåííûõ è òî, ÷òî ïîðÿäîê ýëåìåíòà ω ðàâíà N . Ïîñëå ðàñêðûòèÿ
ñêîáîê â ïîêàçàòåëå ñ ó÷¼òîì ñâîéñòâ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè ïîëó÷èì
Vk1 ,k2 =
N
1 −1
∑
ω
K1 L1 k1 l1
ω
K2 L1 k2 l1
l1 =0
N
2 −1
∑
vl1 ,l2 ω K2 L2 k2 l2 ω K1 L2 k1 l2 .
l2 =0
 ýòîé ôîðìóëå ÷åòûðå ÷èñëà K1 , K2 , L1 , L2 ïîêà äîñòàòî÷íî ïðîèçâîëüíû. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû îíè óäîâëåòâîðÿëè äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì.
Ïîäáåð¼ì ýòè óñëîâèÿ òàê, ÷òîáû ïåðâàÿ (âòîðàÿ) ñóììà ñòàëà ïîõîæà íà
äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïîðÿäêà N1 (ïîðÿäêà N2 ). Êðîìå òîãî,
äëÿ óïðîùåíèÿ ôîðìóëû æåëàòåëüíî óáðàòü ïîñëåäíèé ìíîæèòåëü. Äëÿ
âûïîëíåíèÿ ýòèõ óñëîâèé ïîòðåáóåì, ÷òîáû
ord (ω K1 L1 ) = N1 , ord (ω K2 L2 ) = N2 , ω K1 L2 = 1.
Ýòè óñëîâèÿ áóäóò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè
K1 L1 ≡ N2 mod N,
K2 L2 ≡ N1 mod N,
K1 L2 ≡ 0 mod N.
Îáîçíà÷èì ωN1 = ω K1 L1 = ω N2 , ωN2 = ω K2 L2 = ω N1 , òîãäà
Vk1 ,k2 =
N
1 −1
∑
k1 l1
ωN
1
2 −1
( K L )k2 l1 N∑
k2 l2
2 1
ω
ωN
vl1 ,l2 .
2
l1 =0
(60)
l2 =0
Âûÿñíèì íåîáõîäèìîå ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïî ôîðìóëå (60). Äëÿ ýòîãî ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü Ac (N ), Mc (N ) ñîîòâåòñòâåííî ÷èñëî êîìïëåêñíûõ
ñëîæåíèé è óìíîæåíèé ïðè âû÷èñëåíèè ïî äàííîìó àëãîðèòìó äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîðÿäêà N . Òîãäà, ãëÿäÿ íà âíóòðåííþþ ñóììó,
âèäèì, ÷òî çäåñü äëÿ êàæäîãî l1 âû÷èñëÿåòñÿ äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå
Ôóðüå ïîðÿäêà N2 . ×èñëî ñëîæåíèé è óìíîæåíèé äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíî Ac (N2 ) è Mc (N2 ). Òàê êàê l1 ïðîáåãàåò N1 çíà÷åíèé è
59
äëÿ êàæäîãî íóæíî âû÷èñëÿòü äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïîðÿäêà
N2 , òî ïîëó÷àåì äëÿ âíóòðåííåé ñóììû îáùåå ÷èñëî ñëîæåíèé è óìíîæåíèé ñîîòâåòñòâåííî ðàâíî N1 Ac (N2 ) è N1 Mc (N2 ).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ
N = N1 N2 ÷èñåë, çàâèñÿùèé îò èíäåêñîâ l1 è k2 . Êàæäîå èç ýòèõ ÷èñåë
(
) k2 l 1
óìíîæàåòñÿ íà ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîæèòåëü ω K2 L1
. Ýòî äà¼ò åù¼ N
óìíîæåíèé. Òåïåðü ñìîòðèì íà âíåøíþþ ñóììó. Çäåñü âû÷èñëÿåòñÿ äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïîðÿäêà N1 äëÿ êàæäîãî k2 . Ïîýòîìó âíåøíÿÿ ñóììà äàñò ñîîòâåòñòâåííî N2 Ac (N1 ) è N2 Mc (N1 ) ñëîæåíèé è óìíîæåíèé.  èòîãå îáùåå ÷èñëî ñëîæåíèé ðàâíî
Ac (N ) = N2 Ac (N1 ) + N1 Ac (N2 ),
à îáùåå ÷èñëî óìíîæåíèé ðàâíî
Mc (N ) = N2 Mc (N1 ) + N1 Mc (N2 ) + N.
Òåïåðü, äàæå âû÷èñëÿÿ äèñêðåòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîðÿäêîâ N1
è N2 ïî îáû÷íîìó àëãîðèòìó, òðåáóþùåìó ñîîòâåòñòâåííî îêîëî (N1 )2 è
(N2 )2 îïåðàöèé, ïîëó÷èì
Ac (N ) = N2 (N1 )2 + N1 (N2 )2 = N1 N2 (N1 + N2 ) = N (N1 + N2 ),
Mc (N ) = N2 (N1 )2 + N1 (N2 )2 + N = N (N1 + N2 + 1).
Íàïðèìåð, ïóñòü N1 = 10 è N2 = 100. Òîãäà N = 1000. Åñëè âû÷èñëÿòü
äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî îáû÷íîìó àëãîðèòìó, òî ïîëó÷èì,
÷òî òðåáóåòñÿ îêîëî ìèëëèîíà è ñëîæåíèé è óìíîæåíèé. Ïî âûøåïðèâåä¼ííîìó àëãîðèòìó Ac (N ) = 110 000 è Mc (N ) = 111 000, ÷òî â äåâÿòü ðàç
ìåíüøå. Äàëüíåéøåãî óìåíüøåíèÿ ÷èñëà îïåðàöèé ìîæíî äîñòè÷ü, âû÷èñëÿÿ äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïîðÿäêîâ N1 è N2 ïî ýòîìó æå àëãîðèòìó, åñëè ÷èñëà N1 è N2 ðàçëàãàþòñÿ íà ìíîæèòåëè. Ïóñòü íàïðèìåð
N = 2k , k ∈ N è N1 = 2, N2 = 2k−1 . Òîãäà
Ac (2k ) = 2k−1 Ac (2) + 2Ac (2k−1 ),
Mc (2k ) = 2k−1 Mc (2) + 2Mc (2k−1 ) + 2k .
Åñëè îáîçíà÷èòü a(k) = Ac (2k ) è m(k) = Mc (2k ), òî ñ ó÷¼òîì ðàâåíñòâ
Ac (2) = 2, Mc (2) = 0 ïîëó÷èì
a(k) = 2k + 2a(k − 1), m(k) = 2m(k − 1) + 2k .
(61)
Ïîëó÷èëè ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå
Ôóðüå âòîðîãî ïîðÿäêà ñîäåðæèò äâà ñëîæåíèÿ è íå ñîäåðæèò óìíîæåíèé.
Ïîýòîìó a(1) = 2, m(1) = 0. Òîãäà ïî ôîðìóëàì (61) ëåãêî âû÷èñëèòü, ÷òî
a(2) = 6, m(2) = 4. Äàëåå äëÿ k = 3, 4, . . . ïî ýòèì æå ôîðìóëàì íàõîäèì
60
çíà÷åíèÿ a(k), m(k), ïðè÷¼ì åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Òàêèì îáðàçîì, ïðè
äàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ èìåþò åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå. Ðåøåíèÿ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé èìåþò âèä a(k) = 2k (k + C),
m(k) = 2k (k + C), ÷òî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ïîäñòàíîâêîé â óðàâíåíèÿ. Äëÿ
ïåðâîãî ðåøåíèÿ íà÷àëüíîå óñëîâèå äà¼ò ðàâåíñòâî a(1) = 2(1 + C) = 2, èç
êîòîðîãî ïîëó÷àåì, ÷òî C = 0. Äëÿ âòîðîãî óðàâíåíèÿ m(k) = 2k (k + C).
Ñ ó÷¼òîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ m(1) = 2(1 + C) = 0 ïîëó÷àåì, ÷òî C = −1.
Òîãäà
a(k) = 2k k, m(k) = 2k (k − 1).
Ïîýòîìó
Ac (N ) = N log2 N,
4.2
Mc (N ) = N log2 N − N.
(62)
Âàðèàíò Êóëè è Òüþêè
Ïóñòü ÷èñëà ðàâíû L1 = 1, L2 = N1 , K1 = N2 , K2 = 1. Òîãäà ýòè ÷èñëà
óäîâëåòâîðÿþò íåîáõîäèìûì óñëîâèÿì:
K1 L1 = N2 ,
K2 L2 = N1 ,
K1 L2 = N2 N1 ≡ 0
mod N.
Òîãäà ñâÿçü èíäåêñîâ âåêòîðà è ìàòðèöû ïðèîáðåòàåò âèä:
l ≡ l1 + N1 l2
è
k ≡ N2 k1 + k2
mod N
mod N.
Ïî ýòîìó ñîîòâåòñòâèþ èíäåêñîâ ýëåìåíòû âåêòîðîâ çàïîëíÿþò ìàòðèöû
ïî ñòîëáöàì äëÿ l:
v(0)
v(N1 )
v(2N1 )
...
v(N − N1 )
v(1)
v(N1 + 1) v(2N1 + 1) . . . v(N − N1 + 1)
v(2)
v(N1 + 2) v(2N1 + 2) . . . v(N − N1 + 2)
.............................................
v(N1 − 1) v(2N1 − 1) v(3N1 − 1) . . .
v(N − 1)
,
è ïî ñòðîêàì äëÿ k :
V (0)
V (1)
V (2)
. . . V (N2 − 1)
V (N2 )
V (N2 + 1)
V (N2 + 2)
. . . V (2N2 − 1)
V (2N2 )
V (2N2 + 1)
V (2N2 + 2)
. . . V (3N2 − 1)
...................................................
V (N − N2 ) V (N − N2 + 1) V (N − N2 + 2) . . . V (N − 1)
.
Òîãäà ôîðìóëà (60) â ýòîì ñëó÷àå ïðèîáðåòàåò âèä
Vk1 ,k2 =
N
1 −1
∑
k1 l1 k2 l1
ωN
ω
1
l1 =0
N
2 −1
∑
l2 =0
61
k2 l2
ωN
vl1 ,l2 .
2
(63)
4.3
Âàðèàíò Ãóäà è Òîìàñà
Ýòîò âàðèàíò âîçìîæåí ëèøü êîãäà ìíîæèòåëè N1 , N2 ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè.  ýòîì ñëó÷àå èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ðàâåí åäèíèöå (N1 , N2 ) = 1. Äëÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ èìååòñÿ åãî ëèíåéíîå
ïðåäñòàâëåíèå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñóùåñòâóþò öåëûå ÷èñëà n1 è n2 , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
n1 N1 + n2 N2 = 1.
Ïîëîæèì òåïåðü L1 = n2 N2 , L2 = n1 N1 , K1 = N2 , K2 = N1 . Íóæíî
ïðîâåðèòü, ÷òî ýòè ÷èñëà óäîâëåòâîðÿþò íåîáõîäèìûì óñëîâèÿì:
K1 L1 = N2 n2 N2 ≡ N2 mod N,
K2 L2 = N1 n1 N1 ≡ N1 mod N,
K1 L2 = N2 n1 N1 = n1 N ≡ 0 mod N.
Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê n2 N2 = 1 − n1 N1 , òî äëÿ ïåðâîãî óñëîâèÿ
N2 n2 N2 = N2 (1 − n1 N1 ) = N2 − n1 N1 N2 = N2 − n1 N ≡ N2
mod N.
Àíàëîãè÷íî, äëÿ âòîðîãî óñëîâèÿ
N1 n1 N1 = N1 (1 − n2 N2 ) = N1 − n2 N2 N1 = N1 − n2 N ≡ N1
mod N.
Òðåòüå óñëîâèå, î÷åâèäíî, òîæå âûïîëíÿåòñÿ.
Ñâÿçü èíäåêñîâ âåêòîðà è ìàòðèöû, êóäà çàïèñûâàþòñÿ ýëåìåíòû âåêòîðà, ïðèîáðåòàåò âèä:
l ≡ n2 N2 l1 + n1 N1 l2
mod N
(64)
è
k ≡ N2 k1 + N1 k2
mod N.
(65)
Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ýòè îòîáðàæåíèÿ îáðàòèìû. Äëÿ ýòîãî íàéä¼ì îñòàòîê îò äåëåíèÿ l íà N1 , êîòîðûé ðàâåí îñòàòêó îò äåëåíèÿ ÷èñëà
n2 N2 l1 + n1 N1 l2 = (1 − n1 N1 )l1 + n1 N1 l2 = l1 + N1 (n1 l2 − n1 l1 ).
íà N1 . Âèäíî, ÷òî ýòîò îñòàòîê ðàâåí l1 . Òàêèì îáðàçîì,
l1 ≡ l
mod N1 .
è, ñëåäîâàòåëüíî, èíäåêñ l1 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî çíà÷åíèþ èíäåêñà
l. Àíàëîãè÷íî,
l2 ≡ l
mod N2 .
62
Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûðàçèòü k1 è k2 , ïðåäâàðèòåëüíî íóæíî óìíîæèòü ñðàâíåíèå (65) íà n2 è n1 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà
k1 ≡ n 2 k
k2 ≡ n1 k
mod N1 ,
mod N2 .
Ñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàæåíèÿ (64) è (65) îáðàòèìû. Êðîìå òîãî, L1 K2 =
n2 N2 N1 = n2 N êðàòíî N . Çíà÷èò, ω L1 K2 = 1. Òîãäà ôîðìóëà (60) óïðîùàåòñÿ è ïðèîáðåòàåò âèä äâóìåðíîãî äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå
N
1 −1
∑
Vk1 ,k2 =
k1 l1
ωN
1
l1 =0
4.4
N
2 −1
∑
k2 l2
ωN
vl1 ,l2 .
2
(66)
l2 =0
Âàðèàíò Êóëè è Òüþêè ïî îñíîâàíèþ 2
Ýòîò àëãîðèòì ïðèìåíÿåòñÿ, êîãäà N = 2m äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî m. Òîãäà, åñëè ïîëîæèòü N1 = 2, N2 = 2m−1 , òî àëãîðèòì íàçûâàåòñÿ
ÁÏÔ Êóëè è Òüþêè ïî îñíîâàíèþ äâà ñ ïðîðåæèâàíèåì ïî âðåìåíè. Òàê
êàê ω n/2 = −1, òî ðàâåíñòâî (63) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
∑
Vk =
2 jk
(ω ) v2j + ω
k
(67)
∑
N/2−1
N/2−1
Vk+n/2 =
(ω 2 )jk v2j+1 ,
j=0
j=0
∑
∑
N/2−1
N/2−1
(ω ) v2j − ω
2 jk
k
(ω 2 )jk v2j+1
(68)
j=0
j=0
äëÿ k = 0, 1, . . . , N/2−1. Âõîäíîé âåêòîð ðàçáèâàåòñÿ íà ÷¼òíûå è íå÷¼òíûå
êîìïîíåíòû, âûõîäíîé íà ïåðâûå è âòîðûå n/2 ýëåìåíòîâ.
Åñëè N1 = 2m−1 ,N2 = 2, òî ïîëó÷èì ÁÏÔ Êóëè è Òüþêè ïî îñíîâàíèþ
äâà ñ ïðîðåæèâàíèåì ïî ÷àñòîòå.
∑
N/2−1
V2k =
(ω 2 )jk (vj + vj+N/2 ),
(69)
j=0
∑
N/2−1
Vk+N/2 =
ω j (ω 2 )jk (vj − vj+N/2 )
(70)
j=0
äëÿ k = 0, 1, . . . , N/2 − 1.
4.5
Âàðèàíò Êóëè è Òüþêè ïî îñíîâàíèþ 4
Ðàññìîòðèì òîëüêî âàðèàíò ñ ïðîðåæèâàíèåì ïî âðåìåíè. Îí ïîëó÷àåòñÿ, åñëè â îáùåé ñõåìå àëãîðèòìà äëÿ N = 4k ïîëîæèòü N1 = 4 è
63
N2 = 4k−1 = N/4. Òîãäà ðàâåíñòâà
ωN1 = ω
N2
(
− 2πi
N
= e
) N4
= e− 2 = −i,
πi
ω N2 = ω 4
ïðè k = 0, . . . , N/4 − 1 = 4m−1 − 1 ïðèâîäÿò ê ôîðìóëàì
∑
N/4−1
Vk =
∑
N/4−1
4 jk
(ω ) v4j + ω
k
j=0
(ω 4 )jk v4j+1 +
j=0
∑
N/4−1
+ ω
2k
∑
N/4−1
4 jk
(ω ) v4j+2 + ω
3k
j=0
∑
j=0
∑
N/4−1
Vk+N/4 =
N/4−1
(ω ) v4j − iω
4 jk
k
j=0
(ω 4 )jk v4j+1 −
j=0
∑
∑
N/4−1
N/4−1
− ω
2k
4 jk
(ω ) v4j+2 + iω
3k
∑
N/4−1
∑
N/4−1
(ω 4 )jk v4j − ω k
j=0
(ω 4 )jk v4j+1 +
j=0
∑
N/4−1
+ ω
2k
(ω ) v4j+2 − ω
3k
∑
N/4−1
4 jk
(ω ) v4j + iω
j=0
k
(ω 4 )jk v4j+1 −
j=0
∑
N/4−1
− ω
2k
(ω 4 )jk v4j+3 ,
j=0
N/4−1
Vk+3N/4 =
∑
N/4−1
4 jk
j=0
∑
(ω 4 )jk v4j+3 ,
j=0
j=0
Vk+N/2 =
(ω 4 )jk v4j+3 ,
∑
N/4−1
(ω ) v4j+2 − iω
4 jk
j=0
3k
(ω 4 )jk v4j+3 .
(71)
j=0
Íàéä¼ì íåîáõîäèìîå â ýòîì àëãîðèòìå êîëè÷åñòâî ñëîæåíèé è óìíîæåíèé.
Çàìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî óìíîæåíèÿ íà −1 è ±i ìîæíî ðåàëèçîâàòü êàê
âû÷èòàíèÿ è ïåðåìåíà ìåñòàìè äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòè ñ ïîñëåäóþùèì ñëîæåíèåì èëè âû÷èòàíèåì. Ïîýòîìó òàêèå óìíîæåíèÿ íå áóäåì
ó÷èòûâàòü. Âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü òàêæå íå ó÷èòûâàþòñÿ ïðè ïîäñ÷¼òå ÷èñëà óìíîæåíèé. Ïóñòü ñîîòâåòñòâåííî a(k) = Ac (4k ) è m(k) = Mc (4k ) ÷èñëî ñëîæåíèé è óìíîæåíèé â àëãîðèòìå, ïîðÿäêà 4k . Âî âñåõ ôîðìóëàõ
â (71) ó÷àñòâóþò ÷åòûðå ñóììû, ÿâëÿþùèåñÿ ôîðìóëàìè äëÿ âû÷èñëåíèÿ
64
äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîðÿäêà 4k−1 . Äëÿ èõ âû âû÷èñëåíèÿ
òðåáóåòñÿ a(k−1) = Ac (4k−1 ñëîæåíèé è m(k−1) = Mc (4k−1 ) óìíîæåíèé. Ê
ýòîìó äîáàâëÿåòñÿ 12 ðàç ïî 4k−1 ñëîæåíèé è òðè ðàçà ïî 4k−1 óìíîæåíèé.
 èòîãå,
Ac (4k ) = 4Ac (4k−1 ) + 12 · 4k−1 ,
èëè
a(k) = 4a(k − 1) + 3 · 4k ,
Mc (4k ) = 4Mc (4k−1 ) + 3 · 4k−1
m(k) = 4m(k − 1) + 3 · 4k−1 .
Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ, ïîëó÷åííûå âûøå, íåòðóäíî ðåøèòü. Óáåäèòåñü ñ
ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè, ÷òî
a(k) = 4k (3k + C),
m(k) = 4k−1 (3k + C)
ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ýòèõ óðàâíåíèé äëÿ ëþáîãî C . Çàìåòèì, ÷òî äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà (k = 1) ñîäåðæèò äâåíàäöàòü ñëîæåíèé è òðè óìíîæåíèÿ. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïîñòîÿííàÿ
C â îáåèõ ôîðìóëàõ ðàâíà íóëþ. Òàêèì îáðàçîì,
a(k) = 3k · 4k ,
m(k) = 3k · 4k−1 .
Ýòî ìîæíî çàïèñàòü ñ ó÷¼òîì ðàâåíñòâ k = log4 N , N = 4k â âèäå
3
Ac (N ) = 3N log4 N = N log2 N,
2
3
3
Mc (4k ) = N log4 N = N log2 N.
4
8
(72)
Ïðèâåä¼ííûå âûøå ôîðìóëû (71) ñ ïîìîùüþ ìàòðèö ìîæíî çàïèñàòü â
íåñêîëüêî áîëåå îáîçðèìîé ôîðìå ïðè k = 0, . . . , N/4 − 1 = 4m−1 − 1:
∑N/4−1 4 jk
j=0 (ω ) v4j
Vk
1 1 1 1
∑
ω k N/4−1 (ω 4 )jk v4j+1
Vk+N/4 1 −i −1
i
j=0
. (73)
Vk+N/2 = 1 −1 1 −1 ω 2k ∑N/4−1 (ω 4 )jk v
4j+2
j=0
∑N/4−1
Vk+3N/4
1
i −1 −i
ω 3k j=0 (ω 4 )jk v4j+3
Òîãäà âèäíî, ÷òî ïîñëå ôàêòîðèçàöèè ìàòðèöû, ñòîÿùåé â öåíòðå ðàâåíñòâà (73), â âèäå
1 0 1 0
1 0 1 0
1 1 1 1
1 −i −1
i 0 1 0 −i 1 0 −1 0
1 −1 1 −1 = 1 0 −1 0 0 1 0 1
0 1 0 −1
0 1 0 i
1
i −1 −i
ïîëó÷èì âñåãî âîñåìü ñëîæåíèé âìåñòî äâåíàäöàòè. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó,
÷òî ÷èñëî ñëîæåíèé óìåíüøàåòñÿ è ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì
Ac (N ) = 2N log4 N = N log2 N.
65
(74)
Ñðàâíèâàÿ ÷èñëî íåîáõîäèìûõ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé ïðè âû÷èñëåíèè
äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïî îñíîâàíèþ 2 (ñì. (62)) è ïî îñíîâàíèþ 4 (ñì. (72), (74)), âèäèì, ÷òî ïðè áîëüøèõ N ïîñëåäíèé àëãîðèòì
áûñòðåå.
4.6
Àëãîðèòì Ðåéäåðà
Êîãäà ïîðÿäîê äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå N ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì ÷èñëîì, òîãäà èìåþòñÿ ñïîñîáû óìåíüøåíèÿ ÷èñëà òðåáóåìûõ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé. Ïóñòü òåïåðü ïîðÿäîê äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ôóðüå N = p ïðîñòîå ÷èñëî. Íàì ïîíàäîáèòñÿ äëÿ âñïîìîãàòåëüíûõ öåëåé ïîëå êëàññîâ âû÷åòîâ Zp ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëà p. Èçâåñòíî, ÷òî
ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ýòîãî ïîëÿ Zp∗ = Zp {0} ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé.
Ïóñòü π ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ. Òîãäà âñå åãî ñòåïåíè äàþò âñå
ýëåìåíòû ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû:
Zp∗ = {π, π 2 , . . . , π p−1 },
ãäå π p−1 = 1. Íàïðèìåð, â ïîëå Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} ìîæíî âçÿòü π = 2, òàê
êàê π 2 = 4, π 3 = 3, π 4 = 1.
Ñâÿæåì ïåðåìåííûå k è l çàâèñèìîñòüþ k = π l . Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïåðåìåííàÿ l ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 1, 2, . . . , p − 1, òî è ïåðåìåííàÿ k áóäåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ èç òîãî æå ìíîæåñòâà, ïðè÷¼ì áåç ïîâòîðåíèé.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî äàííàÿ çàâèñèìîñòü îïðåäåëÿåò áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå
èç ìíîæåñòâà {1, 2, . . . , p − 1} â ñåáÿ. Ýòî ïîçâîëèò íèæå ñäåëàòü çàìåíó
ïåðåìåííîé. Êðîìå òîãî, ñâÿæåì òàêîé æå çàâèñèìîñòüþ ïåðåìåííûå i è j :
i = πj .
Äëÿ k = 1, 2, . . . , p − 1 çàïèøåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèñêðåòíîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå â âèäå
V (k) = v(0) +
p−1
∑
ωpik v(i),
i=1
ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííûõ ïîëó÷èì
l
V (π ) = v(0) +
p−1
∑
j l
l = 1, 2, . . . , p − 1.
j+l
l = 1, 2, . . . , p − 1.
ωpπ π v(π j ),
j=1
Îáû÷íîå ñâîéñòâî ñòåïåíåé äà¼ò
l
V (π ) = v(0) +
p−1
∑
ωpπ v(π j ),
j=1
66
Ñäåëàåì åù¼ çàìåíû q = p − j − 1 è r = l − 1. Òîãäà
V (π
r+1
) = v(0) +
p−2
∑
ωpπ
r+1+p−q−1
v(π p−q−1 ),
r = 0, 1, . . . , p − 2.
q=0
Ïîñëå ââåäåíèÿ îáîçíà÷åíèé U (r) = V (π r+1 ), u(q) = v(π p−q−1 ) è Ω(s) =
p+s
ωpπ ïîëó÷èì
U (r) = v(0) +
p−2
∑
Ω(r − q)u(q) r = 0, 1, . . . , p − 2.
q=0
Ïîëó÷èëè öèêëè÷åñêóþ ñâ¼ðòêó ïîðÿäêà p − 1. Òàê êàê ïîñëåäíåå ÷èñëî
ñîñòàâíîå, òî ìîæíî ïðèìåíèòü îäèí èç áûñòðûõ àëãîðèòìîâ äëÿ å¼ âû∑p−1
÷èñëåíèÿ. Îñòàâøååñÿ ïåðâîå ðàâåíñòâî V (0) = v(0) + i=1 v(i) ñîäåðæèò
−1 + p ñëîæåíèé.
4.7
Âû÷èñëåíèå öèêëè÷åñêîé ñâ¼ðòêè ñ ïîìîùüþ ÄÏÔ
Äëÿ äâóõ âåêòîðîâ x, y ∈ CN èõ öèêëè÷åñêàÿ ñâ¼ðòêà x, z = x ∗ y ∈ CN
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
z(n) =
N
−1
∑
j=0
x(j)y(n ⊖ j),
N
n = 0, 1, . . . , N − 1.
(75)
Çäåñü n ⊖ j îáîçíà÷àåò âû÷èòàíèå ïî ìîäóëþ N . Äëÿ ñëåäóþùèõ ÷èñåë
N
n = 0, 1, . . . , N − 1, j = 0, 1, . . . , N − 1 ýòî âû÷èòàíèå ìîæíî âûïîëíÿòü ïî
ôîðìóëå
{
n − j,
åñëè n ≥ j ;
n⊖j =
N
N + n − j, åñëè n < j .
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñâ¼ðòêè ïî ôîðìóëå (75) òðåáóåòñÿ N 2
óìíîæåíèé è N (N −1) ñëîæåíèé. Ïîïóëÿðíûì ñïîñîáîì âû÷èñëåíèÿ ñâ¼ðòêè ÿâëÿåòñÿ ñïîñîá, èñïîëüçóþùèé áûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è ñîñòîÿùèé â ñëåäóþùåì. Äëÿ êàæäîãî èç âåêòîðîâ x, y íàõîäèì åãî äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå X, Y. Ýòî òðåáóåò ïîðÿäêà 2N log N ñëîæåíèé
è óìíîæåíèé. Òîãäà ïî îñíîâíîìó ñâîéñòâó äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ôóðüå j -é ýëåìåíò ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñâ¼ðòêè ðàâåí Z(j) = X(j)Y(j),
j = 0, 1, . . . , N − 1. Ýòî òðåáóåò åù¼ N óìíîæåíèé. Ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî
äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íàõîäèì z. Ýòî åù¼ òðåáóåò ïîðÿäêà
N log N ñëîæåíèé è óìíîæåíèé.  èòîãå ïîëó÷àåì 3N log N + N óìíîæåíèé è 3N log N ñëîæåíèé. Äëÿ áîëüøèõ N ýòî ñóùåñòâåííî ìåíüøå,
÷åì N 2 . Çäåñü ó÷èòûâàëèñü êîìïëåêñíûå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè. Åñëè
67
òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü âåùåñòâåííóþ öèêëè÷åñêóþ ñâ¼ðòêó, òî ïðèìåíåíèå
ýòîãî ìåòîäà íå âïîëíå àäåêâàòíî. Îêàçûâàåòñÿ ïðè íåêîòîðîé ìîäèôèêàöèè ìîæíî âû÷èñëÿòü ñðàçó äâå âåùåñòâåííûå öèêëè÷åñêèå ñâ¼ðòêè. Ïóñòü
íóæíî âû÷èñëèòü z1 = x1 ∗ y1 , z2 = x2 ∗ y2 äëÿ âåùåñòâåííûõ âåêòîðîâ
x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 ∈ RN . Ïîñòðîèì äâà êîìïëåêñíûõ âåêòîðà ïî ôîðìóëå
u1 = x1 + iy1 , u2 = x2 + iy2 è âû÷èñëèì èõ äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå U1 è U2 . Òàê êàê äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì
ïðåîáðàçîâàíèåì, òî
U1 = X1 + iY1 ,
U2 = X2 + iY2 .
(76)
Íàéä¼ì êîìïëåêñíîå ñîïðÿæ¼ííîå äëÿ ñëåäóþùèõ ýëåìåíòîâ âåêòîðîâ Ui :
Uj (N − k) = Xj (N − k) + iYj (N − k) = Xj (N − k) − iYj (N − k).
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 4 äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ïîëó÷èì
Uj (N − k) = Xj (k) − iYj (k),
j = 1, 2.
(77)
Òîãäà ñêëàäûâàÿ ðàâåíñòâà (76) è (77), ïîëó÷èì
Xj (k) =
Uj (k) + Uj (N − k)
,
2
(78)
è âû÷èòàÿ, ïîëó÷èì
Uj (k) − Uj (N − k)
.
(79)
2i
Òàêèì îáðàçîì, óäàëîñü âûäåëèòü èç âåêòîðà êîìïëåêñíîãî Uj äâà êîìïëåêñíûõ âåêòîðà Xj , Yj , j = 1, 2. Òåïåðü ìîæíî âû÷èñëèòü
Yj (k) =
Zj (k) = Xj (k)Yj (k), k = 0, 1, . . . , N − 1, j = 1, 2.
(80)
Òåïåðü èç íàéäåííûõ êîìïëåêñíûõ âåêòîðîâ ïîñòðîèì íîâûé êîìïëåêñíûé
âåêòîð
W = Z1 + iZ2 .
Îáðàòíîå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äà¼ò êîìïëåêñíûé âåêòîð w =
z1 + iz2 . Åãî äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü åñòü âåùåñòâåííûé âåêòîð z1 , ìíèìàÿ
÷àñòü âåùåñòâåííûé âåêòîð z2 .
4.8
Çàäàíèÿ
1. Ïîñòðîèòü àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå
øåñòîãî ïîðÿäêà, èñïîëüçóÿ àëãîðèòì à) Êóëè è Òüþêè; á) Ãóäà è Òîìàñà.
2. Âû÷èñëèòü äâå âåùåñòâåííûå öèêëè÷åñêèå ñâ¼ðòêè ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà, èñïîëüçóÿ òðè ðàçà êîìïëåêñíîå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå:
68
à) (2; 3; −1; 4) ∗ (1; 0; −3; 2), (1; −1; 3; 2) ∗ (−1; 2; 0; 3);
á) (1; −1; 3; −2) ∗ (2; 2; −1; −3), (2; −3; 1; 1) ∗ (1; 0; 2; −2);
â) (−1; 2; 0; −2) ∗ (2; −1; 3; 1), (−1; 2; −3; 1) ∗ (−2; 1; 3; 0);
ã) (−2; 4; 1; −1) ∗ (−2; 1; 1; 3), (2; 1; −2; 3) ∗ (2; −3; 1; 0).
4.9
Òåñò
1. Àëãîðèòì Êóëè è Òüþêè ñóùåñòâóåò òîëüêî äëÿ
1)N = 15,
2)N = 16,
3)N = 17,
4)N = 18.
à) 2;
á) 2, 4;
â) 2, 3, 4;
ã) 1, 2, 4;
ä) 1, 2, 3.
2. Äëÿ àëãîðèòìà Ãóäà è Òîìàñà ïîðÿäêà N = 15 èíäåêñ ýëåìåíòà âåêòîðà v(j) ñ íîìåðàìè j1 , j2 ñòðîêè è ñòîëáöà åãî ðàñïîëîæåíèÿ â ìàòðèöå
ñâÿçàíû ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:
à) j ≡ −4j1 + 6j2 ( mod 15);
á) j ≡ −5j1 + 6j2 ( mod 15);
â)j ≡ 7j1 − 6j2 ( mod 15);
ã) j ≡ −3j1 + 7j2 ( mod 15);
ä) j ≡ 11j1 + 7j2 ( mod 15).
3. Àëãîðèòì Ðåéäåðà äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïðèâîäèò ê ôîðìóëå:
à)
V (π
r+1
) = v(0) +
p−1
∑
ωpπ
r+1+p−q−1
v(π p−q−1 ),
r = 1, . . . , p − 1.
ωpπ
r+1+p−q−1
v(π p−q−1 ),
r = 0, 1, . . . , p − 2.
q=1
á)
V (π
r+1
) = v(0) +
p−2
∑
q=0
â)
r
V (π ) = v(0) +
p−1
∑
ωpπ
r+1+p−q
ωpπ
r+1+p−q−1
v(π p−q ),
r = 1, . . . , p − 1.
q=1
ã)
r
V (π ) = v(0) +
p−2
∑
v(π p−q ),
r = 0, 1, . . . , p − 2.
q=0
ä)
V (π
r+1
) = v(0) +
p−1
∑
ωpπ
r+p−q−1
q=1
69
v(π p−q ),
r = 1, . . . , p − 1.
5 Îáîáù¼ííûé ñïåêòðàëüíûé àíàëèç
5.1
Ââåäåíèå
Îäíèì èç îñíîâíûõ ìåòîäîâ îáðàáîòêè ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèå ñèãíàëà â
ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ¾ïðîñòåéøèõ¿ ñèãíàëîâ, èõ îáðàáîòêà è çàòåì ñèíòåç èç ïîëó÷åííûõ äàííûõ âûõîäíîãî ñèãíàëà. Êîíå÷íî, ïðè òàêîì ïîäõîäå ìíîãîå çàâèñèò îò âûáîðà ¾ïðîñòåéøèõ¿ ñèãíàëîâ. ×àñòî â êà÷åñòâå
ïîñëåäíèõ âûáèðàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ u â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèãíàëîâ. Òîãäà àíàëèç ñîñòîèò â ðàçëîæåíèè ñèãíàëà x ïî ýòîìó
áàçèñó:
∑
x=
αj uj ,
αj = (x, uj ).
j
Ïîñëå îáðàáîòêè êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ αj îñóùåñòâëÿåòñÿ îáðàòíàÿ
ïðîöåäóðà ñèíòåç ñèãíàëà. Íàèáîëåå èçâåñòíûé è ÷àñòî èñïîëüçóåìûé
îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå L2 (0; 1) ñîñòîèò
èç ôóíêöèé e2πinx , n ∈ Z. Ýòîò áàçèñ óäîáåí ïðè èññëåäîâàíèè ïåðèîäè÷åñêèõ àíàëîãîâûõ ñèãíàëîâ è ïîçâîëÿåò ðàñêëàäûâàòü èõ â ðÿä Ôóðüå. Äëÿ
íåïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ íóæíî èñïîëüçîâàòü äðóãèå áàçèñû. Íèæå áóäóò
ïîñòðîåíû áàçèñû Õààðà è Óîëøà, øèðîêî èñïîëüçóåìûå äëÿ ïîñòðîåíèÿ
öèôðîâûõ ôèëüòðîâ. Îòìåòèì ïîïóòíî, ÷òî â ïîñëåäíèå äâàäöàòü ëåò (ñì.
[9]) áûëè ïîñòðîåíû è íàøëè î÷åíü øèðîêîå ïðèìåíåíèå áàçèñû âñïëåñêîâ
(Wavelets), ïðîñòåéøèì âàðèàíòîì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ áàçèñ Õààðà. Íî ýòî
ïðåäìåò äðóãîãî ïîñîáèÿ.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ áàçèñà Óîëøà íåîáõîäèì êîä Ãðåÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ÷èñåë,
ê ðàññìîòðåíèþ êîòîðîãî ìû è ïåðåõîäèì.
5.2
Êîä Ãðåÿ
Ëþáîå íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â äâîè÷íîé ñèñòåìå
ñ÷èñëåíèÿ, èñïîëüçóÿ òîëüêî äâå öèôðû 0 è 1. Äëÿ ýòîãî íóæíî ýòî ÷èñëî
ðàçëîæèòü ïî ñòåïåíÿì äâîéêè:
a = an 2n + an−1 2n−1 + · · · + a2 22 + a1 2 + a0 .
Òîãäà â ïîçèöèîííîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ ÷èñëî a ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
a = an an−1 . . . a1 a0 (2) , ai ∈ {0, 1}, i ∈ 0, n,
ãäå ÷åðòà îçíà÷àåò, ÷òî çäåñü ñòîèò íå ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë, à (êîíå÷íàÿ)
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öèôð äâîè÷íûõ ðàçðÿäîâ. Äâîéêà â êîíöå â ñêîáêàõ
óêàçûâàåò, ÷òî èñïîëüçóåòñÿ äâîè÷íàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ.
Êîä Ãðåÿ
a = gn gn−1 . . . g1 g0 (gray)
70
×èñëî
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Äâîè÷íûé êîä
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
Êîä Ãðåÿ
0000
0001
0011
0010
0110
0111
0101
0100
1100
×èñëî
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Äâîè÷íûé êîä
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
Êîä Ãðåÿ
1101
1111
1110
1010
1011
1001
1000
11000
11001
Òàáëèöà 1: Êîä Ãðåÿ äëÿ ïåðâûõ âîñåìíàäöàòè öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë
òîæå ÿâëÿåòñÿ ïîçèöèîííûì è áèíàðíûì. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî gj ∈
{0, 1} äëÿ âñåõ j ∈ 0, n.
Ïî îïðåäåëåíèþ öèôðû êîäà Ãðåÿ ðàâíû
gn = an , gi = ai+1 ⊕ ai , i ∈ 0, n − 1.
Çäåñü ⊕ îçíà÷àåò ñëîæåíèå ïî ìîäóëþ äâà. Òàêèì îáðàçîì,
gn
gn−1
gn−2
...
g1
g0
=
=
=
...
=
=
an ,
an ⊕ an−1 ,
an−1 ⊕ an−2 ,
...
a2 ⊕ a1 ,
a1 ⊕ a0 .
Ïî öèôðàì ïðåäñòàâëåíèÿ ÷èñëà â êîäå Ãðåÿ ìîæíî âîññòàíîâèòü åãî
ïðåäñòàâëåíèå â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïåðâîå óðàâíåíèå
a n = gn .
Ñêëàäûâàÿ ïåðâîå è âòîðîå óðàâíåíèå ïî ìîäóëþ äâà, ïîëó÷èì
an−1 = gn−1 ⊕ gn .
Äàëåå, ñêëàäûâàÿ (ïî ìîäóëþ äâà) ïåðâîå, âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
an−2 = gn−2 ⊕ gn−1 ⊕ gn .
È òàê äàëåå. Ðåçþìèðóÿ, âèäèì, ÷òî
ai = gi ⊕ gi+1 ⊕ · · · ⊕ gn , i ∈ 0, n.
Òàê êàê ïðåäñòàâëåíèå ëþáîãî öåëîãî íåîòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ åäèíñòâåííî, òî òî, ÷òî öèôðû äâîè÷íîãî êîäà
71
âûðàæàþòñÿ ÷åðåç öèôðû êîäà Ãðåÿ è íàîáîðîò, îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîå öåëîå
íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî åäèíñòâåííûì îáðàçîì ìîæíî ïðåäñòàâèòü â êîäå
Ãðåÿ.
Êîä Ãðåÿ çàìå÷àòåëåí òåì, ÷òî äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ (ðàçëè÷àþùèåñÿ
íà åäèíèöó) íàòóðàëüíûõ ÷èñëà â ýòîì êîäå îòëè÷àþòñÿ ëèøü â îäíîì ðàçðÿäå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìåíüøåå èç ýòèõ ÷èñåë ÷¼òíî, òî åãî äâîè÷íîå
ïðåäñòàâëåíèå îêàí÷èâàåòñÿ íà íîëü, à äâîè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ñëåäóþùåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà îòëè÷àåòñÿ ëèøü ïîñëåäíèì ðàçðÿäîì. Ïîýòîìó ñ
ó÷¼òîì ôîðìóë âû÷èñëåíèÿ öèôð êîäà Ãðåÿ ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðåäñòàâëåíèÿ ýòèõ ÷èñåë â êîäå Ãðåÿ ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî â ïîñëåäíåé öèôðå. Åñëè
æå ìåíüøåå èç ÷èñåë íå÷¼òíî, òî åãî äâîè÷íîå ðàçëîæåíèå îêàí÷èâàåòñÿ
íà åäèíèöó. Íî òîãäà ýòî íå÷¼òíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ íà k (k ≥ 1) ïîäðÿä
ñòîÿùèõ åäèíèö
. . . 0 11
. . . 1} .
| {z
k
ðàç
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñëåäóþùåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èìååò äâîè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå
. . . 1 00
. . . 0}
| {z
k
ðàç
Ñíîâà ñ ó÷¼òîì ôîðìóë âû÷èñëåíèÿ öèôð êîäà Ãðåÿ íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî
ïðåäñòàâëåíèÿ ýòèõ ÷èñåë â êîäå Ãðåÿ ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî â öèôðå, ñòîÿùåé íà k + 1 ïîçèöèè, åñëè ñ÷èòàòü ñïðàâà íàëåâî.
5.3
Ñèñòåìà ôóíêöèé Óîëøà
Ââåäåì ñíà÷àëà ñèñòåìó ôóíêöèé Ðàäåìàõåðà ïî ôîðìóëå
rj (x) = sign(sin(2j πx)), x ∈ [0, 1], j = 0, 1, 2, . . . ,
ãäå x sign x = |x| äëÿ ëþáîãî x ∈ R. Íèæå ïðèâåäåíû ãðàôèêè ÷åòûð¼õ
ïåðâûõ ôóíêöèé Ðàäåìàõåðà.
y
y
6
1r
r
0
6
1r
r0
p
q
p
r
1
-
r
x
0
−1 r
−1 r
72
r1
p
q
p
r
1
-
x
y
6
1r
r2
r
y
6
1r
p
q
p
0
r
-
r
x
1
r3
p
q
p
0
−1 r
r
-
x
1
−1 r
Ñèñòåìà ôóíêöèé Ðàäåìàõåðà íå ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì, òàê êàê ãðàôèêè âñåõ
ôóíêöèé, êðîìå íóëåâîé, ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (0.5; 0). Ïîýòîìó ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýòîé ñèñòåìû ôóíêöèé
áóäåò èìåòü ãðàôèê, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(0.5; a), ãäå a êîýôôèöèåíò ïðè r0 â ëèíåéíîé êîìáèíàöèè. Íî òîãäà
ôóíêöèþ ñ ãðàôèêîì,
y
6
1r
r
p
q
p
0
r
-
x
1
−1 r
íå îáëàäàþùóþ óêàçàííûì ñâîéñòâîì, íåëüçÿ ðàçëîæèòü â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñèñòåìû ôóíêöèé Ðàäåìàõåðà. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà ñèñòåìà íå ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì. Îäíàêî îíà ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñèñòåìó ôóíêöèé Óîëøà:
∏
(rj (x))ij (G) .
wali (x) =
j=0
Ïðèâåä¼ì ãðàôèêè ïåðâûõ âîñüìè ôóíêöèé ñèñòåìû Óîëøà.
y
y
6
1r
r
0
6
1r
wal0
p
q
p
r
1
-
r
x
0
−1 r
−1 r
73
wal1
p
q
p
r
1
-
x
y
6
1r
wal2
r
p
q
p
0
r
-
q
p
r
-
x
1
−1 r
y
6
1r
wal4
p
r
y
6
q
p
0
r
-
wal5
p
r
x
1
q
p
0
−1 r
r
-
x
1
−1 r
y
y
6
1r
r
p
0
−1 r
0
wal3
r
x
1
1r
y
6
1r
6
1r
wal6
p
q
p
r
1
-
r
x
0
−1 r
wal7
p
q
p
r
1
-
x
−1 r
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà ôóíêöèé Óîëøà ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé â L2 (0; 1). Áîëåå òîãî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îíà îáðàçóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â ýòîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.
5.4
Ñèñòåìà ôóíêöèé Õààðà
Ïåðâûå äâå ôóíêöèè ñèñòåìû Õààðà ñîâïàäàþò ñ ïåðâûìè äâóìÿ ôóíêöèÿìè ñèñòåìû Óîëøà. Ñëåäóþùèå ôóíêöèè ñèñòåìû Õààðà îïðåäåëÿþòñÿ
ðàâåíñòâàìè
m
åñëè (j − 1)2−m ≤ t ≤ (j − 12 )2−m ;
2 2 ,
m
Hk (t) = Haark (t) = −2 2 , åñëè (j − 21 )2−m ≤ t ≤ j2−m ;
0
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ,
ãäå k = 2m + j , m > 0, 1 ≤ j ≤ 2m .
Íèæå ïðèâåäåíû ãðàôèêè ïåðâûõ âîñüìè ôóíêöèé ñèñòåìû Õààðà.
74
(81)
y
6
1r
H0
r
y
6
1r
p
q
p
0
r
-
r
x
1
H1
p
−1 r
r
-
x
−1 r
y
y
√ 6
2p
1r
1r
r
H2
p
q
p
0
r
-
r
x
1
H3
p
q
p
0
−1 r
√
− 2p
r
-
x
1
−1 r
√
− 2p
6y
6y
2r
2r
1r
1r
r
p
1
√ 6
2p
0
q
0
H4
p
q
p
r
1
r
-
x
0
−1 r
−1 r
−2 r
−2 r
75
H5
p
q
p
r
1
-
x
6y
6y
2r
2r
1r
r
0
1r
H6
p
q
p
r
1
-
r
x
0
−1 r
−1 r
−2 r
−2 r
H7
p
q
p
r
1
-
x
Ñèñòåìà ôóíêöèé Õààðà ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé ïî òåì æå ñîîáðàæåíèÿì, ÷òî è ñèñòåìà Óîëøà, è, áîëåå òîãî, îáðàçóåò îðòîíîðìèðîâàííûé
áàçèñ â L2 (0; 1).
5.5
Äèñêðåòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Óîëøà è Õààðà
Ðàññìîòðèì CN èëè RN äëÿ N = 2k . Ââåä¼ì â ýòèõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû Óîëøà è Õààðà. Âåêòîðû ýòèõ áàçèñîâ ìîæíî ëåãêî ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ äèñêðåòèçàöèè ñ øàãîì δ = 2−k ïåðâûõ N ôóíêöèé ñîîòâåòñòâóþùèõ îðòîíîðìèðîâàííûõ áàçèñîâ â L2 (0; 1).
Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, ïîëó÷àþòñÿ íå íîðìèðîâàííûå âåêòîðû. Íî ýòî, êîíå÷íî, ëåãêî èñïðàâèòü, íîðìèðóÿ èõ. Ðàññìîòðèì N = 8.  ýòîì ñëó÷àå (ñì.
ñòð. 73) áàçèñ Óîëøà èìååò âèä:
1
1
w0 = √ (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1), w1 = √ (1; 1; 1; 1; −1; −1; −1; −1),
8
8
1
1
w2 = √ (1; 1; −1; −1; −1; −1; 1; 1), w3 = √ (1; 1; −1; −1; 1; 1; −1; −1),
8
8
1
1
w4 = √ (1; −1; −1; 1; 1; −1; −1; 1), w5 = √ (1; −1; −1; 1; −1; 1; 1; −1),
8
8
1
1
w6 = √ (1; −1; 1; −1; −1; 1; −1; 1), w7 = √ (1; −1; 1; −1; 1; −1; 1; −1),
8
8
Õàðàêòåðíîé è î÷åíü âàæíîé îñîáåííîñòüþ áàçèñà Óîëøà ñîñòîèò â òîì,
÷òî ýëåìåíòû âåêòîðîâ ðàâíû 1 èëè −1. Ñëåäñòâèåì ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà
ÿâëÿåòñÿ íåáîëüøîå ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ
76
ïðåîáðàçîâàíèÿ Óîëøà. Ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ Óîëøà ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò ñòàíäàðòíîãî áàçèñà ê äàííîìó áàçèñó:
1
WOLSH8 = √
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
−1
1
1
−1
1
−1
1
−1
−1
1
−1
1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
.
Òàê êàê ìàòðèöà WOLSHN îðòîãîíàëüíà, òî îáðàòíàÿ ìàòðèöà ñîâïàäàåò
ñ òðàíñïîíèðîâàííîé. Èç ñèììåòðè÷íîñòè ìàòðèöû WOLSHN ñëåäóåò, ÷òî
WOLSH−1
N = WOLSHN .
Àíàëîãè÷íî ñòðîèòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ Õààðà äèñêðåòèçàöèåé
ñèñòåìû ôóíêöèé Õààðà (ñì. ñòð. 75):
1
1
h0 = √ (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1), h1 = √ (1; 1; 1; 1; −1; −1; −1; −1),
8
8
1
1
h2 = (1; 1; −1; −1; 0; 0; 0; 0), h3 = (0; 0; 0; 0; 1; 1; −1; −1),
2
2
1
1
h4 = √ (1; −1; 0; 0; 0; 0; 0; 0), h5 = √ (0; 0; 1; −1; 0; 0; 0; 0),
2
2
1
1
h6 = √ (0; 0; 0; 0; 1; −1; 0; 0), h7 = √ (0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; −1).
2
2
Ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ Õààðà ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò ñòàíäàðòíîãî áàçèñà ê ïîñëåäíåìó áàçèñó:
1
HAAR8 = √
8
1
1
1
1
1
1
1
1
√
0 2 0 0 0
1 √2
1 √2
0 −2 0 0 0
1 −√2
0 0 2 0 0
1 − 2 √0 0 −2 0 0
−1
0 √2 0 0 2 0
−1
0 √2 0 0 −2 0
−1
0 −√2 0 0 0 2
−1
0 − 2 0 0 0 −2
.
Ìàòðèöà HAARN îðòîãîíàëüíà, ïîýòîìó îáðàòíàÿ ê íåé ðàâíà òðàíñïîíè77
ðîâàííîé:
HAAR−1
8
5.6
1
=√
8
1
1
1
1
1
1
1
1
−1
−1
√1 √1 √1 √1 −1 −1
2
2 − 2
2 √0 √0 √0 √0
0
0
0
0
2
2 − 2 − 2
.
2 −2
0
0
0
0
0
0
0
0
2 −2
0
0
0
0
0
0
0
0
2 −2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
−2
Çàäàíèÿ
1. Íàéòè êîä Ãðåÿ ÷èñåë à) 24; á) 27; â) 28; ã) 25.
2. Çàïèñàòü ÷èñëî â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ, åñëè êîä Ãðåÿ ðàâåí
à) 100110; á) 110001; â) 111100; ã) 111000.
3. Ðàçëîæèòü ñëåäóþùèå ôóíêöèè, èñïîëüçóÿ ïåðâûå âîñåìü ôóíêöèé
áàçèñà Óîëøà: à) cos 2πt; á) x2 ; â) sin πt; ã) x.
3. Ðàçëîæèòü ñëåäóþùèå ôóíêöèè, èñïîëüçóÿ ïåðâûå âîñåìü ôóíêöèé
áàçèñà Õààðà: à) cos 2πt; á) x2 ; â) sin πt; ã) x.
5.7
Òåñò
1. Êîä Ãðåÿ ÷èñëà 21 ðàâåí
à) 11001; á) 10111; â) 11111; ã) 1000; ä) 11100.
2. ×èñëî ñ êîäîì Ãðåÿ 11001 ðàâíî
à) 22; á) 13; â) 23; ã) 17; ä) 18.
3. Ôóíêöèÿ
åñëè t ∈ (0; 43 )
0,
f (t) =
2,
−2,
åñëè t ∈ ( 43 ; 87 )
åñëè t ∈ ( 78 ; 1)
ïðèíàäëåæèò
à) áàçèñó Óîëøà; á) áàçèñó Õààðà; â) ñèñòåìå Ðàäåìàõåðà; ã) âñåì ñèñòåìàì; ä) íèêàêîé.
78
Ëèòåpàòópà
[1]
Ãîëä Á., Ðýéäåð ×.
Öèôðîâàÿ îáðàáîòêà ñèãíàëîâ. Ì. Ñîâ. ðàäèî, 1973.
[2]
Ðàáèíåð Ë., Ãîóëä Á.
Òåîðèÿ è ïðèìåíåíèå öèôðîâîé îáðàáîòêè ñèãíà-
ëîâ. Ì. Ìèð, 1978.
[3]
Ìàðïë-ìë. Ñ.Ë.
Öèôðîâîé ñïåêòðàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ. Ì.
Ìèð, 1990.
Öèôðîâàÿ îáðàáîòêà ñèãíàëîâ. Ìîñêâà · ÑàíêòÏåòåðáóðã · Íèæíèé Íîâãîðîä · Âîðîíåæ · Ðîñòîâ-íà-Äîíó · Åêàòåðèíáóðã · Ñàìàðà · Êèåâ · Õàðüêîâ · Ìèíñê. Èçäàòåëüñêèé äîì ¾Ïèòåð¿,
2003.
[4]
Ñåðãèåíêî
[5]
Àêèìîâ Ï.Ñ., Ñåíèí À.È., Ñîëåíîâ Â.È.
[6]
Êîëìîãîðîâ À.Í., Ôîìèí Ñ.Â.
[7]
[8]
À.Á.
Ñèãíàëû è èõ îáðàáîòêà â
èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåìàõ. Ì. Ðàäèî è ñâÿçü, 1994.
Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì. Íàóêà, 1976.
Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ì. Íàóêà, ò.3, 1970.
Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì.
Îïïåíãåéì À.Â., Øàôåð Ð.Â.
Öèôðîâàÿ îáðàáîòêà ñèãíàëîâ. Ì. Ñâÿçü,
1979.
[9]
Äîáåøè È.
Äåñÿòü ëåêöèé ïî âåéâëåòàì. Ìîñêâàâ · Èæåâñê. ÐÕÄ, 2001.
79
Ñîäåðæàíèå
1
Ñèãíàëû
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Ëèíåéíûå ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . .
Èíâàðèàíòíûå ê ñäâèãó ñèñòåìû . . . . . . .
Öèôðîâîé ôèëüòð . . . . . . . . . . . . . . .
Óñòîé÷èâûå ôèëüòðû . . . . . . . . . . . . .
Ìàòðèöà öèôðîâîãî ôèëüòðà . . . . . . . . .
Ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìûå ñèñòåìû . . . . . . .
×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñèñòåìû . . . . .
Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ è öèôðîâûå ôèëüòðû
Z -ïðåîáðàçîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . .
Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè . . . . . . . . . .
Òåñò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ . . . . . . .
Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ . .
Ñâ¼ðòêà ïåðèîäè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé . . . . . . . . .
Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ
÷èñåë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Öèêëè÷åñêàÿ ñâ¼ðòêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íàä êîíå÷íûì ïîëåì . . .
Ïðèìåíåíèå äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äëÿ ïðèáëèæ¼ííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå .
Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Òåñò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Áûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
4.1
4.2
2
8
10
11
11
16
17
17
19
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ
3.1
3.2
3.3
3.4
4
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . .
Ïðîñòðàíñòâà ñèãíàëîâ . . . . . . . . . . . . .
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå . . . . . . . . . . . . . .
Ðÿä Ôóðüå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äèñêðåòèçàöèÿ ñèãíàëà . . . . . . . . . . . . .
Íàëîæåíèå ñïåêòðîâ (àëèàñèíã èëè ýëàéñèíã)
Ïðàêòè÷åñêîå çàäàíèå . . . . . . . . . . . . . .
Òåñò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñèñòåìû
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
3
2
Îáùèé àëãîðèòì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Âàðèàíò Êóëè è Òüþêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
19
19
21
25
26
26
28
31
35
36
38
39
39
41
43
45
48
48
51
56
57
58
58
61
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5
Âàðèàíò Ãóäà è Òîìàñà . . . . . . . . . . . .
Âàðèàíò Êóëè è Òüþêè ïî îñíîâàíèþ 2 . . .
Âàðèàíò Êóëè è Òüþêè ïî îñíîâàíèþ 4 . . .
Àëãîðèòì Ðåéäåðà . . . . . . . . . . . . . . .
Âû÷èñëåíèå öèêëè÷åñêîé ñâ¼ðòêè ñ ïîìîùüþ
Çàäàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Òåñò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
ÄÏÔ
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Îáîáù¼ííûé ñïåêòðàëüíûé àíàëèç
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Êîä Ãðåÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñèñòåìà ôóíêöèé Óîëøà . . . . . . . . . . .
Ñèñòåìà ôóíêöèé Õààðà . . . . . . . . . . . .
Äèñêðåòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Óîëøà è Õààðà
Çàäàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Òåñò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
62
63
63
66
67
68
69
70
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
70
70
72
74
76
78
78
