ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò Ñ.Ë. Ãàâðèëþê, Í.È. Ìàêàðåíêî, Ñ.Â. Ñóõèíèí ÂÎËÍÛ Â ÑÏËÎØÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ Ó÷åáíîå ïîñîáèå Äîïóùåíî ÓÌÎ ïî êëàññè÷åñêîìó óíèâåðñèòåòñêîìó îáðàçîâàíèþ â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé Íîâîñèáèðñê 2011 ÓÄÊ 517 Ãàâðèëþê Ñ.Ë., Ìàêàðåíêî Í.È., Ñóõèíèí Ñ.Â. Âîëíû â ñïëîøíûõ ñðåäàõ // Íîâîñèá. ãîñ. óí-ò. Íîâîñèáèðñê, 2011. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîîòâåòñòâóåò ïðîãðàììå êóðñà ëåêöèé è ñåìèíàðîâ "Âîëíû â ñïëîøíûõ ñðåäàõ", ÷èòàåìîãî ñòóäåíòàì 4-ãî êóðñà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÍÃÓ. Ýëåìåíòû äàííîãî êóðñà ÷èòàþòñÿ òàêæå ñòóäåíòàì ãåîëîãî-ãåîôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÍÃÓ è ñòóäåíòàì Óíèâåðñèòåòà Aix Marseille (Ôðàíöèÿ). Îñíîâíîé öåëüþ êóðñà ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé âîëíîâûõ ïðîöåññîâ è îâëàäåíèå ìåòîäàìè èõ èññëåäîâàíèÿ. Ïîñîáèå ñîäåðæèò òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë ïî âñåì ðàçäåëàì êóðñà, èëëþñòðèðóåìûé ïðèìåðàìè è ðåøåíèÿìè òèïîâûõ çàäà÷. Êàæäàÿ èç ãëàâ ñîïðîâîæäàåòñÿ ñïèñêîì çàäà÷ è óïðàæíåíèé ðàçëè÷íîé ñòåïåíè òðóäíîñòè äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé è ñåìåñòðîâûõ çàäàíèé. Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ óíèâåðñèòåòîâ, àñïèðàíòîâ è íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ â îáëàñòè ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä è ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè. Èçäàíèå îñóùåñòâëåíî ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå íàöèîíàëüíîãî ïðîåêòà "Îáðàçîâàíèå"è ãðàíòà N 2.1.1.4918 "Ìàòåìàòè÷åñêèå ïðîáëåìû äèíàìèêè ñèëüíî íåîäíîðîäíûõ ñðåä" Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè. c Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, 2011 ° c Ñ.Ë. Ãàâðèëþê, Í.È. Ìàêàðåíêî, Ñ.Â. Ñóõèíèí, 2011 ° Îãëàâëåíèå Ïðåäèñëîâèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Îñíîâíàÿ ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Ãèïåðáîëè÷åñêèå âîëíû 1.1. Ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Ðàñïðîñòðàíåíèå ñëàáûõ ðàçðûâîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Äâèæåíèÿ ñ ñèëüíûìè ðàçðûâàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Êèíåìàòè÷åñêèå âîëíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. Ìíîãîìåðíûå âîëíîâûå ôðîíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6. Ñèììåòðèçàöèÿ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. Äèñïåðãèðóþùèå âîëíû 2.1. Äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2. Ìíîãîìåðíûå âîëíîâûå ïàêåòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 2.3. Äèññèïàöèÿ è íåóñòîé÷èâîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4. Ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5. Ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6. Àñèìïòîòèêà â îêðåñòíîñòè ôðîíòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.7. Íåëèíåéíàÿ äèñïåðñèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3. Âîëíû â æèäêîñòÿõ 3.1. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2. Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 3.3. Óðàâíåíèÿ äëèííûõ âîëí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3 3.4. Íåëèíåéíûå äèñïåðñèîííûå óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.5. Ñòàöèîíàðíûå âîëíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.6. Âîëíû â äâóõñëîéíîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.7. Âíóòðåííèå âîëíû â ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . 90 Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4 Ïðåäèñëîâèå Âîëíîâûå ÿâëåíèÿ âñòðå÷àþòñÿ ïîâñåìåñòíî â ïðèðîäå è ïîýòîìó óæå äàâíî èçó÷àþòñÿ âî ìíîãèõ åñòåñòâåííîíàó÷íûõ äèñöèïëèíàõ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ âîëí âûäåëèëàñü â áîëüøîå ñàìîñòîÿòåëüíîå íàó÷íîå íàïðàâëåíèå â ñåðåäèíå 70-õ ãîäîâ äâàäöàòîãî ñòîëåòèÿ. Ýòî ïðîèçîøëî áëàãîäàðÿ åå ìíîãî÷èñëåííûì ïðèìåíåíèÿì â åñòåñòâîçíàíèè è òåõíèêå, ñòèìóëèðîâàâøèì áóðíîå ðàçâèòèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ. Êóðñ "Âîëíû â ñïëîøíûõ ñðåäàõ"ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ öèêëà äèñöèïëèí ïî ìåõàíèêå ñïëîøíûõ ñðåä è ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ, âõîäÿùèõ â ïðîãðàììó îáó÷åíèÿ ñòóäåíòîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.  ÍÃÓ äàííûé ëåêöèîííûé êóðñ áûë âïåðâûå ïðî÷èòàí àêàäåìèêîì Ë.Â. Îâñÿííèêîâûì, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò öåëûé ðÿä îñíîâîïîëàãàþùèõ ðåçóëüòàòîâ â âîëíîâîé ãèäðîäèíàìèêå. Ñôîðìóëèðîâàííûå èì ïðèíöèïû îòáîðà ìàòåðèàëà èñïîëüçîâàëèñü àâòîðàìè ïîñîáèÿ ïðè ÷òåíèè íåñêîëüêèõ âàðèàíòîâ êóðñà ëåêöèé ñòóäåíòàì ðàçíûõ ñïåöèàëüíîñòåé ìàòåìàòèêàì, ìåõàíèêàì è ãåîôèçèêàì. Äàííîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîäåðæèò óïðàæíåíèÿ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé è çàäà÷è äëÿ èíäèâèäóàëüíûõ ñåìåñòðîâûõ çàäàíèé, òðåáóþùèå îò ñòóäåíòîâ ðàçâèòèÿ íàâûêîâ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû. Ýòè çàäà÷è ïðîøëè òùàòåëüíûé îòáîð è ìíîãîëåòíþþ àïðîáàöèþ â õîäå ïðåïîäàâàíèÿ íà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîì è ãåîëîãî-ãåîôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòàõ ÍÃÓ, à òàêæå Óíèâåðñèòåòà Aix Marseille (Ôðàíöèÿ). Äëÿ îáëåã÷åíèÿ ðàáîòû â ïîñîáèå âêëþ÷åí íåîáõîäèìûé òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë, ïðèâåäåíû èëëþñòðèðóþùèå ïðèìåðû è îáðàçöû ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ òèïè÷íûõ çàäà÷. Áîëüøèíñòâî çàäà÷ ñíàáæåíû îòâåòàìè ê ðåøåíèþ, à íàèáîëåå òðóäíûå èç íèõ óêàçàíèÿìè. Äâà ïåðâûõ ðàçäåëà çíàêîìÿò ÷èòàòåëÿ ñ îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìè è àëãîðèòìàìè ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè âîëí. Ïðåäñòàâëåííûå çäåñü çàäà÷è ñâÿçàíû ñ âûÿâëåíèåì ñâîéñòâ ãèïåðáîëè÷íîñòè è äèñïåðñèè âîëíîâûõ ñèñòåì. Ýòè óïðàæíåíèÿ ðàçâèâàþò íàâûêè îòûñêàíèÿ õàðàêòåðèñòèê, èíâàðèàíòîâ 5 Ðèìàíà è çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñèñòåì êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà. Çäåñü æå ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîñòðîåíèå è àíàëèç ðåøåíèé ñî ñëàáûìè è ñèëüíûìè ðàçðûâàìè, îïèñûâàþùèõ ãèïåðáîëè÷åñêèå âîëíû. Çàäà÷è âòîðîé ÷àñòè ïîäðàçóìåâàþò âûâîä è èññëåäîâàíèå äèñïåðñèîííûõ ñîîòíîøåíèé, íàõîæäåíèå ôàçîâûõ è ãðóïïîâûõ ñêîðîñòåé äëÿ âîëí, îïèñûâàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè è èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, ïîñòðîåíèå àñèìïòîòèê ðåøåíèé ñèñòåì ñ äèñïåðñèåé. ×àñòü çàäà÷ ïîñâÿùåíà ïîñòðîåíèþ è èññëåäîâàíèþ ðåøåíèé òèïà áåãóùèõ âîëí äëÿ ìîäåëåé, ñâîäÿùèõñÿ ê íåëèíåéíûì ýâîëþöèîííûì óðàâíåíèÿì. Áîëüøèíñòâî çàäà÷ ïåðâîé è âòîðîé ÷àñòåé ôîðìóëèðóåòñÿ â ðàìêàõ è òåðìèíàõ ìîäåëåé âîëíîâûõ ïðîöåññîâ, âîçíèêàþùèõ â ãàçîâîé äèíàìèêå è ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå, òåîðèè óïðóãîñòè è ïëàñòè÷íîñòè, ëèíåéíîé è íåëèíåéíîé àêóñòèêå, õèìè÷åñêîé êèíåòèêå. Òåì ñàìûì ïðåñëåäóåòñÿ öåëü ïîïóòíîãî îçíàêîìëåíèÿ ñ êîíêðåòíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè, âñòðå÷àþùèìèñÿ â òåîðèè âîëí. Âñå çàäà÷è òðåòüåé ÷àñòè îòíîñÿòñÿ ê òåîðèè ïîâåðõíîñòíûõ è âíóòðåííèõ âîëí â íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Ýôôåêòèâíîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ çäåñü ïîñëåäîâàòåëüíî èëëþñòðèðóåòñÿ íà ïðèìåðå îäíîé îáùåé ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ìîäåëè, ïîðîæäàþùåé èåðàðõèþ ïðèáëèæåííûõ ïîäìîäåëåé. ×àñòü çàäà÷ äàííîãî ðàçäåëà çàèìñòâîâàíà èç êëàññè÷åñêîé ëèíåéíîé òåîðèè ïîâåðõíîñòíûõ âîëí è òåîðèè äëèííûõ âîëí íà ìåëêîé âîäå. Äðóãàÿ ÷àñòü ñôîðìóëèðîâàíà äëÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïîâåðõíîñòíûõ âîëí ñ äèñïåðñèåé è óðàâíåíèé âíóòðåííèõ âîëí â íåîäíîðîäíîé (ñòðàòèôèöèðîâàííîé ïî ïëîòíîñòè) æèäêîñòè. Êðîìå òîãî, íåêîòîðûå çàäà÷è èëëþñòðèðóþò âëèÿíèå ýôôåêòîâ âÿçêîñòè è çàâèõðåííîñòè. Êàæäûé èç òðåõ ðàçäåëîâ ñîïðîâîæäàåòñÿ ñïèñêîì äîïîëíèòåëüíîé ëèòåðàòóðû, â êîòîðîì óêàçàíû èñòî÷íèêè äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ ïðåäìåòà.  òî æå âðåìÿ àâòîðû ñòðåìèëèñü ê çàìêíóòîìó èçëîæåíèþ ìàòåðèàëà, áàçèðóþùåìóñÿ íà ëåêöèîííîì êóðñå è âïîëíå äîñòàòî÷íîìó äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷. Áîëüøóþ ïîìîùü ïðè ïîäãîòîâêå ïîñîáèÿ ê èçäàíèþ îêà6 çàëè êîëëåãè ïî êàôåäðå ãèäðîäèíàìèêè ÍÃÓ, êîòîðûì àâòîðû âûðàæàþò ñâîþ èñêðåííþþ ïðèçíàòåëüíîñòü. Ìû îñîáî áëàãîäàðíû áåçâðåìåííî óøåäøåìó ÷ëåíó-êîððåñïîíäåíòó ÐÀÍ Â.Ì. Òåøóêîâó çà ìíîãî÷èñëåííûå îáñóæäåíèÿ, ñîâåòû è çàìå÷àíèÿ. Îñíîâíàÿ ëèòåðàòóðà 1. Áðåõîâñêèõ Ë.Ì., Ãîí÷àðîâ Â.Â. Ââåäåíèå â ìåõàíèêó ñïëîøíûõ ñðåä â ïðèëîæåíèè ê òåîðèè âîëí. Ì.: Íàóêà, 1982. 336 ñ. 2. Ëàéòõèëë Äæ. Âîëíû â æèäêîñòÿõ. Ì.: Ìèð, 1981. 598 ñ. 3. Îâñÿííèêîâ Ë.Â. Âîëíîâûå äâèæåíèÿ ñïëîøíûõ ñðåä. Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà. Íîâîñèáèðñê, ÍÃÓ, 1985. 4. Óèçåì Äæ. Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå âîëíû. Ì.: Ìèð. 1977. 624 ñ. 7 1. Ãèïåðáîëè÷åñêèå âîëíû 1.1. Ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèñòåìû Ðàññìàòðèâàþòñÿ êâàçèëèíåéíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ut + A(u, x, t)ux + b(u, x, t) = 0 (1) ñ ìàòðèöåé A ïîðÿäêà n×n è âåêòîðîì b, çàâèñÿùèìè îò x, t è u = (u1 , ..., un ). Íàïðàâëåíèå dx/dt = c íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ óðàâíåíèé (1), â êîòîðîé êàæäàÿ èç èñêîìûõ ôóíêöèé ui äèôôåðåíöèðóåòñÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè. Âåëè÷èíà c, çàäàþùàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîå íàïðàâëåíèå, ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû A: det (A − cI) = 0. (2) Äëÿ êàæäîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ c è ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó ëåâîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà l ìàòðèöû A, lA = cl, ñëåäñòâèåì óðàâíåíèé (1) ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå íà õàðàêòåðèñòèêå l · (dt u + b) = 0, (3) ãäå dt = ∂t + c∂x îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ âäîëü õàðàêòåðèñòèêè. Ñèñòåìà (1) íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé, åñëè ñóùåñòâóþò n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåùåñòâåííûõ ëåâûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû A. Ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå n ñîîòíîøåíèé íà õàðàêòåðèñòèêàõ. Ñèñòåìà ãèïåðáîëè÷íà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2) âåùåñòâåííû è íîðìàëüíàÿ æîðäàíîâà ôîðìà ìàòðèöû A äèàãîíàëüíà. Äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ ýòîãî ÿâëÿþòñÿ: (à) ìàòðèöà A ñèììåòðè÷íà; (á) âñå êîðíè óðàâíåíèÿ (2) âåùåñòâåííû è ðàçëè÷íû.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå, êîãäà ìàòðèöà A íå èìååò êðàòíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà (1) íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìîé. 8 Ïðèìåð. Ïðîöåññ õèìè÷åñêîé ñîðáöèè, èñïîëüçóåìûé äëÿ ðàçäåëåíèÿ âåùåñòâ â æèäêîé èëè ãàçîîáðàçíîé ñìåñè ìåòîäîì õðîìàòîãðàôèè, îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé ∂t (u + f (u)) + v ∂x u = 0. (4) Çäåñü u = (u1 , ..., un ) êîíöåíòðàöèè ðàçäåëÿåìûõ âåùåñòâ â ñìåñè, ïðîïóñêàåìîé ÷åðåç ñîðáöèîííóþ êîëîíêó, f (u) = (f1 (u), ..., fn (u)) êîíöåíòðàöèè ýòèõ æå âåùåñòâ, ïîãëîùåííûõ ñîðáåíòîì, v = const > 0 ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñìåñè. Ïóñòü âåêòîð-ôóíêöèÿ f (u), íàçûâàåìàÿ èçîòåðìîé ñîðáöèè, òàêîâà, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû ßêîáè f 0 (u) = ∂(f1 , ..., fn )/∂(u1 , ..., un ) âåùåñòâåííû, ïîëîæèòåëüíû è ðàçëè÷íû: 0 < λ1 < ... < λn . Òîãäà èñõîäíûå óðàâíåíèÿ (4) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó (1) ñ ìàòðèöåé A(u) = v (I + f 0 (u))−1 è âåêòîðîì b = 0. Ïîñêîëüêó µ ¶ 0 A − cI = (v − c)I − c f (u) (I + f 0 (u))−1 , ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A ñâÿçàíû ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû f 0 (u) ðàâåíñòâàìè cj = v/(1 + λj ) (j = 1, 2, ..., n). Ñëåäîâàòåëüíî, â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè ñèñòåìà (4) ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ãèïåðáîëè÷åñêîé, ïðè÷åì âñå åå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñêîðîñòè ïîëîæèòåëüíû è íå ïðåâîñõîäÿò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ñìåñè. Ðàçëè÷èå ýòèõ ñêîðîñòåé ci 6= cj (i 6= j) ëåæèò â îñíîâå ìåòîäà õðîìàòîãðàôèè. Ñîîòíîøåíèå (3) ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ dt r(u) = −µ l·b, åñëè ñóùåñòâóþò ñêàëÿðíûå ôóíêöèè r(u) è µ(u, x, t), äëÿ êîòîðûõ ∂r = µ li (i = 1, ..., n). ∂ui Âåëè÷èíà r(u) íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòîì Ðèìàíà. Ìîòèâèðîâêà ýòîãî íàçâàíèÿ ñòàíîâèòñÿ ÿñíîé â ñëó÷àå l · b = 0, êîãäà èíâàðèàíò Ðèìàíà r ïîñòîÿíåí âäîëü õàðàêòåðèñòèêè. Èíâàðèàíòû Ðèìàíà âñåãäà ñóùåñòâóþò äëÿ ñèñòåìû (1), ñîñòîÿùåé èç îäíîãî èëè äâóõ óðàâíåíèé. Ïðè n > 3 èíâàðèàíòû ìîãóò íå ñóùåñòâîâàòü. Çàäà÷à. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè è èíâàðèàíòû Ðèìàíà äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé äëèííûõ âîëí â ñëîå æèäêîñòè íàä ðîâíûì äíîì ht + (uh)x = 0, ut + uux + ghx = 0, (5) ãäå h(x, t) ãëóáèíà ñëîÿ, u(x, t) ãîðèçîíòàëüíàÿ ñêîðîñòü æèäêîñòè, g óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè. 9 Ðåøåíèå. Ñîñòàâëÿÿ ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ èñõîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, ïîëó÷àåì: A − cI = u−c h g u−c . √ Îòñþäà íàõîäèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñêîðîñòè c± = u ± gh. Ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé â îáëàñòè h > 0. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè dx/dt = c+ ëåâûé ñîáñòâåííûé âåêòîð, îïðåäåëÿåìûé ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ, èìååò âèä √ √ l = ( g, h). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îòûñêàíèÿ èíâàðèàíòà Ðèìàíà r(h, u) ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé √ ∂r ∂r √ = µ g, = µ h, ∂h ∂u ãäå µ(h, u) íåèçâåñòíûé èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü. Èñêëþ÷àÿ ýòîò ìíîæèòåëü, ïîëó÷àåì ëèíåéíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ôóíêöèè r s ∂r h ∂r − = 0. ∂u g ∂h p Ñîñòàâëÿÿ äëÿ íåãî óðàâíåíèå õàðàêòåðèñòèê du = − g/h dh, íàõîäèì ïåðâûé èíòåãðàë √ r = u + 2 gh. Ïîñêîëüêó â îïðåäåëåíèè èíâàðèàíòà Ðèìàíà èìååòñÿ ôóíêöèîíàëüíûé ïðîèçâîë, íàéäåííûé ïåðâûé èíòåãðàë ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå èñêîìîãî èíâàðèàíòà. Õàðàêòåðèñòèêà dx/dt = c− ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Îòâåò: dx dt =u+ √ √ gh : u + 2 gh = const; dx dt =u− √ √ gh : u − 2 gh = const. 1.2. Ðàñïðîñòðàíåíèå ñëàáûõ ðàçðûâîâ Çàäà÷à Êîøè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (1) ñòàâèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïðè t = t0 çàäàíû çíà÷åíèÿ ui (x, t0 ) = ui0 (x), òðåáóåòñÿ íàéòè ðåøåíèå ïðè t > t0 . Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè. Ïóñòü ñèñòåìà (1) ãèïåðáîëè÷íà, à êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû A è âåêòîðà b íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû. Ïóñòü êóñî÷íîãëàäêîå íåïðåðûâíîå ðåøåíèå u(x, t) îïðåäåëåíî â õàðàêòåðèñòè÷åñêîì òðåóãîëüíèêå X1 M Xn . Òîãäà åñëè åñëè ū íåïðåðûâíîå êóñî÷íî-ãëàäêîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1), îïðåäåëåííîå â X1 M Xn , è åñëè ū = u íà îòðåçêå X1 Xn , òî ū = u âî âñåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîì òðåóãîëüíèêå X1 M Xn . Èç ýòîé òåîðåìû âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå âîëíîâûõ ôðîíòîâ, ðàçäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ è äâèæåíèÿ. Ïóñòü îáëàñòü D ðàçäåëåíà ãëàäêîé êðèâîé Γ : x = χ(t) íà äâå ïîäîáëàñòè D− è D+ . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðåøåíèå 10 ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé íåïðåðûâíî â çàìêíóòîé îáëàñòè D è ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûì â çàìûêàíèÿõ D− è D+ . Ïðè ýòîì äîïóñêàåòñÿ, ÷òî íà ëèíèè Γ ïðîèçâîäíàÿ ðåøåíèÿ ∂x u = v ìîæåò èìåòü ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà ñî ñêà÷êîì [v] = v+ − v− .  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ðåøåíèÿ u ñêà÷îê åãî êàñàòåëüíîé ïðîèçâîäíîé dt u = ∂t u + χ0 (t)∂x u íà ëèíèè Γ ðàâåí íóëþ, îòêóäà ñëåäóþò âûðàæåíèÿ äëÿ ñêà÷êîâ ïðîèçâîäíûõ [∂x u] = [v], [∂t u] = −χ0 [v]. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ñèñòåìû (1) èìååì (A−χ0 I)[v]. Òàêèì îáðàçîì, ðàçðûâ ïðîèçâîäíîé ðåøåíèÿ âîçìîæåí òîëüêî íà õàðàêòåðèñòèêå, ïðè÷åì ñàì ñêà÷îê ÿâëÿåòñÿ ïðàâûì ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû A.  ñëó÷àå ïðîñòîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A àìïëèòóäà ñëàáîãî ðàçðûâà õàðàêòåðèçóåòñÿ ñêàëÿðíûì ìíîæèòåëåì σ , ñ êîòîðûì [v] = σ r, ãäå r = (r1 , ..., rn ) çàäàííûé ïðàâûé ñîáñòâåííûé âåêòîð. Âåëè÷èíà σ óäîâëåòâîðÿåò îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âäîëü õàðàêòåðèñòèêè (l · r) dt σ + P σ + Q σ 2 = 0, ãäå P è Q èçâåñòíûå ôóíêöèè.  ÷àñòíîñòè, Q = (6) n P i,j,k=1 li (∂aij /∂uk ) rk rj . Ñî- îòíîøåíèå (6), ïî ñâîåìó âèäó ÿâëÿþùååñÿ óðàâíåíèåì Ðèêêàòè, íàçûâàåòñÿ òðàíñïîðòíûì óðàâíåíèåì äëÿ àìïëèòóäû ñëàáîãî ðàçðûâà. Çàäà÷à. Äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé îäíîìåðíîãî èçýíòðîïè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ïîëèòðîïíîãî ãàçà ( rt + (u + c) rx = 0, r =u+ lt + (u − c) lx = 0, çàäàíû íà÷àëüíûå äàííûå ( 0, x > a, u(x, 0) = c0 (x − a)/(l0 + a − x), ãäå a = const, c0 = const, 2 c, γ−1 x < a, l =u− 2 c γ−1 c(x, 0) = c0 , l0 = const (c0 > 0, l0 > 0). Òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü ñêà÷îê ïðîèçâîäíîé [ux ] íà õàðàêòåðèñòèêå x = c0 t + a â ìîìåíò âðåìåíè t. Ðåøåíèå. Èç òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ñëåäóåò u(x, t) ≡ 0, c(x, t) ≡ c0 ïðè x > c0 t + a. Äàëåå, äëÿ èíâàðèàíòà Ðèìàíà l âäîëü õàðàêòåðèñòèêè dx/dt = u + c 11 èìååì [lt ] + (u − c)[lx ] = 0, [lt ] + (u + c)[lx ] = 0. Ïåðâîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, âòîðîå îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü êàñàòåëüíîé ïðîèçâîäíîé èíâàðèàíòà l íà ëèíèè ñëàáîãî ðàçðûâà. Îòñþäà âäîëü ðàññìàòðèâàåìîé õàðàêòåðèñòèêè ïîëó÷àåì [lt ] = 0, [lx ] = 0 è, êàê ñëåäñòâèå, [ux ] = [rx ]/2. Äèôôåðåíöèðóÿ ïî x ïåðâîå óðàâíåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû è áåðÿ ñêà÷îê, ñ ó÷åòîì óñòàíîâëåííîãî ñâîéñòâà lx (x−0, t) = lx (x+0, t) = 0 ïðè x = c0 t+a ïîëó÷àåì òðàíñïîðòíîå óðàâíåíèå dt [rx ] − γ+1 [rx ]2 = 0 4 ñ âûòåêàþùèì èç íà÷àëüíûõ äàííûõ óñëîâèåì [rx ] = −c0 /l0 ïðè t = 0. Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ äàåò äëÿ èñêîìîãî ñêà÷êà [ux ] ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Îòâåò: [ux ] = − c0 2l0 + γ+1 2 c0 t . 1.3. Äâèæåíèÿ ñ ñèëüíûìè ðàçðûâàìè Ðåøåíèÿ, îïèñûâàþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå óäàðíûõ âîëí, ñòðîÿòñÿ íà îñíîâå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ∂t ϕ(x, t, u) + ∂x ψ(x, t, u) = f (x, t, u) (7) ñ n-ìåðíûìè âåêòîðàìè ïëîòíîñòåé èñêîìûõ âåëè÷èí ϕ = (ϕ1 , ..., ϕn ), èõ ïîòîêîâ ψ = (ψ1 , ..., ψn ) è èñòî÷íèêîâ f = (f1 , ..., fn ). Íå âñÿêàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (1) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â äèâåðãåíòíîé ôîðìå (7). Äëÿ ìîäåëåé ñïëîøíûõ ñðåä óêàçàííîå ñâîéñòâî àâòîìàòè÷åñêè âûòåêàåò èç ôîðìóëèðîâêè îñíîâíûõ óðàâíåíèé â âèäå ñèñòåìû èíòåãðàëüíûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ d dt Zx2 ¯x=x2 Zx2 ¯ ϕ(x, t, u) dx + ψ(x, t, u)¯¯ = f (x, t, u) dx. x=x1 x1 (8) x1 Óðàâíåíèÿ (1), äîïóñêàþùèå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñèñòåìû íåçàâèñèìûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ ÿêîáèàíîì |∂(ϕ1 , ..., ϕn )/∂(u1 , ..., un )| 6= 12 0 íàçûâàþòñÿ êîíñåðâàòèâíûìè.  ðÿäå ñëó÷àåâ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èìåþò äèâåðãåíòíûå ôîðìû â áîëüøåì êîëè÷åñòâå, ÷åì ÷èñëî óðàâíåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû.  òàêîé ñèòóàöèè âûáîð ñèñòåìû çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèé ñ ñèëüíûìè ðàçðûâàìè îïðåäåëÿåòñÿ ñ ó÷åòîì äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé (óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ, ñóùåñòâîâàíèå ðàçðûâíîãî ðåøåíèÿ êàê ïðåäåëà ãëàäêèõ ðåøåíèé, ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ è ò.ï.) Çàäà÷à. Íàéòè âñå ñêàëÿðíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ∂t ϕ(u, v) + ∂x ψ(u, v) = 0 ñ ïîëèíîìèàëüíûìè ïî v ïëîòíîñòÿìè ϕ ñòåïåíè, íå âûøå âòîðîé, äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé íåëèíåéíûõ óïðóãèõ âîëí ut = v x , ρ0 vt = σx , σ = σ(u), ρ0 = const. Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìååì ϕu ut + ϕv vt + ψu ux + ψv vx = 0. Èñêëþ÷àÿ ïðîèçâîäíûå ut è vt â ñèëó óðàâíåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû è çàòåì ñîáèðàÿ è ïðèðàâíèâàÿ íóëþ âåëè÷èíû îòäåëüíî ïðè ux è vx , ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ϕ, ψ ρ0 ψu + σ 0 (u) ϕv = 0, ψv + ϕu = 0. Èñêëþ÷àÿ îòñþäà ïåðåêðåñòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ôóíêöèþ ψ , ïîëó÷àåì ëèíåéíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ ïëîòíîñòè ϕ ρ0 ϕuu = σ 0 (u) ϕvv .  çàäà÷å òðåáóåòñÿ íàéòè âñå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ, èìåþùèå âèä ϕ = α(u) v 2 + β(u) v + γ(u). Äëÿ êîýôôèöèåíòîâ óêàçàííîãî ïîëèíîìà èìååì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ: α00 = 0, β 00 = 0, ρ0 γ 00 = 2σ 0 α. Èõ èíòåãðèðîâàíèå äàåò ïÿòèìåðíîå ïðîñòðàíñòâî êâàäðàòè÷íûõ ïî v ðåøåíèé ϕ = C1 ϕ1 + ... + C5 ϕ5 ñ ïðîèçâîëüíûìè âåùåñòâåííûìè ïîñòîÿííûìè Cj è óêàçàííûìè íèæå áàçèñíûìè ïëîòíîñòÿìè ϕj . Îòâåò: ϕ1 = u, 1 ϕ2 = ρ0 v, ϕ3 = uv, ϕ4 = ρ0 v 2 + 2 Zu σ(ξ) dξ, 0 1 ϕ5 = ρ0 uv 2 + 2 Zu (2ξ − u) σ(ξ) dξ. 0 Ïóñòü ðåøåíèå u èìååò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà íà ëèíèè x = X(t) è ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïî îáå ñòîðîíû îò íåå. Âûáåðåì íåïîäâèæíûå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ x1 è x2 â èíòåãðàëüíîì çàêîíå ñîõðàíåíèÿ (8) òàê, ÷òîáû â äàííûé 13 ìîìåíò âðåìåíè áûëî x1 < X(t) < x2 . Ðàçáèâàÿ ïðîìåæóòîê èíòåãðèðîâàíèÿ òî÷êîé x = X(t) íà äâå ÷àñòè è äèôôåðåíöèðóÿ ïî âðåìåíè âîçíèêàþùèå èíòåãðàëû, â ïðåäåëå ïðè x1 → x2 ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ íà ñèëüíîì ðàçðûâå óñëîâèÿ ÐýíêèíàÃþãîíèî D[ϕ] = [ψ], (9) ãäå D = Ẋ(t) ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèëüíîãî ðàçðûâà. Çàôèêñèðóåì ñîñòîÿíèå ñ îäíîé èç ñòîðîí ðàçðûâà, çàäàâàåìîå òî÷êîé u = u0 â ïðîñòðàíñòâå u ∈ Rn . Òîãäà â êà÷åñòâå ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåñòà äîïóñòèìûõ ñîñòîÿíèé ïî äðóãóþ ñòîðîíó âîëíû áóäåò âûñòóïàòü êðèâàÿ â Rn , çàäàâàåìàÿ óðàâíåíèÿìè (9). Ýòà êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ óäàðíîé àäèàáàòîé, îíà ìîæåò ñîñòîÿòü èç íåñêîëüêèõ ãëàäêèõ âåòâåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç öåíòð àäèàáàòû u0 . Ïðèìåð. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ íåëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè (7) ñ âåêòîðàìè ϕ = (u, v), ψ = −(v, σ(u)/ρ0 ), f = 0. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ íàïðÿæåíèé σ(u) îáëàäàåò ñâîéñòâàìè σ 0 (u) > 0, σ(0) = 0, σ 0 (0) = λ + 2µ (çäåñü λ > 0 è µ > 0 êîýôôèöèåíòû Ëàìå). Âûïèñûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ (9) íà ñèëüíîì ðàçðûâå, ñîïðÿãàþùåì ñîñòîÿíèÿ (u0 , v0 ) è (u, v), èñêëþ÷èì èç íèõ ñêîðîñòü âîëíû D.  ðåçóëüòàòå âîçíèêàåò óðàâíåíèå óäàðíîé àäèàáàòû © ª ρ0 (v − v0 )2 = σ(u) − σ(u0 ) (u − u0 ). (10) Äàííàÿ êðèâàÿ â ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõ (u, v) (äåôîðìàöèÿ è ñêîðîñòü ìàòåðèàëà) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ñîñòîÿíèé, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðîõîæäåíèÿ óäàðíîé âîëíû ïî ñîñòîÿíèþ (u0 , v0 ). Óäàðíàÿ àäèàáàòà (10) ñîñòîèò èç äâóõ âåòâåé, îïèñûâàþùèõ ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí âëåâî (v < v0 ) èëè âïðàâî (v > v0 ). Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ñêîðîñòè âîëíû ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå s 1 σ(u) − σ(u0 ) D=± . ρ0 u − u0 Ðàññìîòðèì óïðóãèé ïîëóáåñêîíå÷íûé ñòåðæåíü x > 0, êîòîðûé íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè ïîä íàãðóçêîé σ0 = σ(u0 ), âîçíèêøåé â ðåçóëüòàòå îäíîðîäíîé íà÷àëüíîé äåôîðìàöèè u0 = const. Ïðè âíåçàïíîì ñíÿòèè íàãðóçêè íà êîíöå ñòåðæíÿ x = 0 îí âåðíåòñÿ â íåäåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå u = 0, σ = 0 â ðåçóëüòàòå ïðîõîæäåíèÿ óäàðíîé âîëíû ðàçq 0) ãðóçêè, áåãóùåé âïðàâî ñî ñêîðîñòüþ D = σ(u . Ïðè ìàëûõ íà÷àëüíûõ äåôîðìàöèÿõ u0 ρ0 u0 14 ñêîðîñòü óäàðíîé âîëíû ïðèáëèæåííî ðàâíà ñêîðîñòè c0 = q λ+2µ ρ0 ëèíåéíîé ïðîäîëüíîé óïðóãîé âîëíû. 1.4. Êèíåìàòè÷åñêèå âîëíû Êèíåìàòè÷åñêèìè âîëíàìè íàçûâàþò êëàññ îäíîìåðíûõ äâèæåíèé ñïëîøíîé ñðåäû, äëÿ êîòîðûõ çàäàíà çàâèñèìîñòü q = Q(ρ) ìàññîâîãî ðàñõîäà îò ïëîòíîñòè. Çíàíèå òàêîé çàâèñèìîñòè ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü çàìêíóòóþ ìîäåëü äâèæåíèÿ, èñïîëüçóÿ òîëüêî ëèøü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû (11) ρt + qx = 0. Äëÿ êîíêðåòíûõ ñðåä ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü ìåæäó ðàñõîäîì è ïëîòíîñòüþ îáû÷íî íàõîäèòñÿ îïûòíûì ïóòåì èëè â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ äðóãèõ óðàâíåíèé áîëåå îáùåé ìîäåëè.  ïðèáëèæåíèè êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí îïèñàíèå äâèæåíèÿ ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ ðåøåíèé êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà ρt + c(ρ)ρx = 0, ãäå c(ρ) = Q0 (ρ) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü. Ïðèìåð. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí â ïîòîêå àâòîìîáèëüíîãî òðàíñïîðòà.  ñëó÷àå îäíîñòîðîííåãî äâèæåíèÿ ôóíêöèÿ Q, îïðåäåëåííàÿ íà ïðîìåæóòêå 0 6 ρ 6 ρ∗ , õàðàêòåðèçóåòñÿ ñâîéñòâàìè (a) Q(ρ) > 0 (0 < ρ < ρ∗ ), (b) Q00 (ρ) < 0, (c) Q(0) = Q(ρ∗ ) = 0. (12)  ýòîé ìîäåëè ñïëîøíîé ñðåäû ñêîðîñòü "÷àñòèö"(îòäåëüíûõ àâòîìîáèëåé) ðàâíà âåëè÷èíå u = Q(ρ)/ρ. Çíà÷åíèå ρ∗ > 0 äàåò ïðåäåëüíóþ ïëîòíîñòü àâòîìîáèëåé íà äîðîãå, êîãäà îíè ñòîÿò âïëîòíóþ áàìïåð ê áàìïåðó, òàê ÷òî ñîãëàñíî âòîðîìó èç ðàâåíñòâ (12c) äâèæåíèå îêàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî ïåðâîìó èç ðàâåíñòâ (12c) ñóùåñòâóåò ïðåäåë u0 = lim Q(ρ)/ρ > 0, ðàâíûé ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîé ñêîðîñòè ρ→0 äâèæåíèÿ ïî ñâîáîäíîìó øîññå. Èç óñëîâèÿ (12b) âûòåêàåò, ÷òî c0 (ρ) < 0, òàê ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî óáûâàþùåé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ρ. Âîçìóùåíèÿ ñ ðåçêèìè ôðîíòàìè ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïî ïîòîêó äâèæóùåãîñÿ òðàíñïîðòà ïðè åãî âíåçàïíîì òîðìîæåíèè â êàêîì-ëèáî ìåñòå. 15 Ñîîòíîøåíèå íà ñèëüíîì ðàçðûâå äëÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ (11) èìååò âèä D[ρ] = [q], èëè â ðàçâåðíóòîé ôîðìå D= Q(ρ2 ) − Q(ρ1 ) . ρ2 − ρ1 (13) Çàäà÷à î ðàñïàäå ðàçðûâà (çàäà÷à Ðèìàíà) äëÿ óðàâíåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí ñòàâèòñÿ êàê çàäà÷à Êîøè ñ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè ( ρ(x, 0) = ρ1 , x < 0, ρ2 , x > 0, ãäå ρi = const, ρ1 6= ρ2 . Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò â êëàññå àâòîìîäåëüíûõ äâèæåíèé ρ = ρ(x/t) ñ ñèëüíûìè è ñëàáûìè ðàçðûâàìè. Ïðè ρ1 < ρ2 îíî êóñî÷íî-ïîñòîÿííî è èìååò ñèëüíûé ðàçðûâ íà ïðÿìîé x = Dt, ãäå âåëè÷èíà D äàåòñÿ ðàâåíñòâîì (13). Ñîãëàñíî ýòîé ôîðìóëå D= 1 ρ2 − ρ1 Zρ2 c(ρ) dρ, ρ1 îòêóäà â ñëó÷àå ìîíîòîííî óáûâàþùåé ôóíêöèè c(ρ) ñëåäóþò íåðàâåíñòâà c1 > D > c2 , ãäå ci = Q0 (ρi ). Ñèëüíûå ðàçðûâû, óäîâëåòâîðÿþùèå óêàçàííîìó óñëîâèþ, óñòîé÷èâû. Åñëè æå íà÷àëüíûå äàííûå òàêîâû, ÷òî ρ1 > ρ2 , òî äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ óäàðíîé âîëíû âûïîëíåíû ïðîòèâîïîëîæíûå íåðàâåíñòâà c1 < D < c2 óêàçàííûå ñèëüíûå ðàçðûâû íåóñòîé÷èâû ïî îòíîøåíèþ ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì íà÷àëüíûõ äàííûõ.  ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò óñòîé÷èâîå íåïðåðûâíîå ðåøåíèå, èìåþùåå âèä öåíòðèðîâàííîé âîëíû ñ ðàñïðåäåëåíèåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñêîðîñòè c1 , c(x, t) = x/t, c, x < c1 t, c1 t < x < c2 t x > c2 t. 2 Òàêèì îáðàçîì, âûáîð óñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è î ðàñïàäå ðàçðûâà äëÿ óðàâíåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì ðàçíîñòè ∆ρ = ρ1 − ρ2 . 16 Çàäà÷à. Ïîòîê àâòîìîáèëåé äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u0 > 0 è ïëîòíîñòüþ ρ0 ïî óëèöå, íà êîòîðîé â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íà ñâåòîôîðå, ñòîÿùåì â òî÷êå x = 0, çàãîðàåòñÿ êðàñíûé ñâåò.  ïðèáëèæåíèè êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí îïèñàòü äâèæåíèå òðàíñïîðòà ïðè t > 0 â îêðåñòíîñòè ñâåòîôîðà. Ðåøåíèå.  ïðîöåññå äâèæåíèÿ ïðè t > 0 ñëåâà îò ñâåòîôîðà äîëæíû áûòü ñîïðÿæåíû äâà ñîñòîÿíèÿ íàáåãàþùåãî ïîòîêà òðàíñïîðòà ñî ñêîðîñòüþ u0 âäàëè îò ñâåòîôîðà è êîëîííû íåïîäâèæíûõ àâòîìîáèëåé ñ ïëîòíîñòüþ ρ∗ â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò ñâåòîôîðà. Ýòó ñèòóàöèþ ìîäåëèðóåò ïîñòàíîâêà çàäà÷è ñ ðàçðûâíûìè â òî÷êå x = 0, t = 0 íà÷àëüíî-êðàåâûìè óñëîâèÿìè ρ(x, 0) = ρ0 (x < 0), ρ(0, t) = ρ∗ . Ïîñêîëüêó ρ0 < ρ∗ , â äâèæåíèè âîçíèêàåò óäàðíàÿ âîëíà (âîëíà âíåçàïíîé îñòàíîâêè àâòîìîáèëåé), êîòîðàÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íàçàä ïî ïîòîêó òðàíñïîðòà. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (13) è ââèäó ñâîéñòâà (12c) åå ñêîðîñòü ðàâíà âåëè÷èíå D0 = −Q(ρ0 )/(ρ∗ − ρ0 ) < 0. Äàëåå, íà ó÷àñòêå äîðîãè ñïðàâà îò ñâåòîôîðà ïðè t > 0 àâòîìîáèëè äîëæíû îòñóòñòâîâàòü. Óêàçàííîå ñîñòîÿíèå íåîáõîäèìî ñîãëàñîâàòü ñ óõîäÿùèì ïîòîêîì òðàíñïîðòà, óñïåâøèì ïðîéòè ìèìî ñâåòîôîðà äî êðàñíîãî ñâåòà. Ýòîìó ñîîòâåòñòâóåò çàäà÷à c ðàçðûâíûìè äàííûìè ρ(x, 0) = ρ0 (x > 0), ρ(0, t) = 0. Çäåñü âîçíèêàåò óäàðíàÿ âîëíà, áåãóùàÿ âïðàâî ñî ñêîðîñòüþ D = (Q(ρ0 ) − Q(0))/ρ0 . Ïîñêîëüêó Q(0) = 0, ôðîíò ýòîé âîëíû îòìå÷àåò ïîëîæåíèå õâîñòà êîëîííû àâòîìîáèëåé, óõîäÿùåé îò ïåðåêðåñòêà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u0 = Q(ρ0 )/ρ0 . Îòâåò: u = u0 , ρ = ρ0 (x < D0 t); u = 0, ρ = ρ∗ (D0 t < x < 0); u = 0, ρ = 0 (0 < x < u0 t); u = u0 , ρ = ρ0 (x > u0 t). 1.5. Ìíîãîìåðíûå âîëíîâûå ôðîíòû Ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ n-ìåðíîãî âåêòîðà u = (u1 , ..., un ) ∂t u + 3 X Ai ∂xi u + Bu = 0 (14) i=1 ñ çàäàííûìè ìàòðèöàìè Ai (x, t) è B(x, t) ïîðÿäêà n × n, çàâèñÿùèìè îò t è x = (x1 , x2 , x3 ). Ïóñòü ξ1 x1 + ξ2 x2 + ξ3 x3 + τ t = const 17 ãèïåðïëîñêîñòü â R4 ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì ν = (ξ1 , ξ2 , ξ3 , τ ). Íàïðàâëåíèå ν íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì, åñëè äëÿ íåãî âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå det (τ I + 3 X ξi Ai ) = 0. (15) i=1 Ñèñòåìà (14) íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé â òî÷êå (x, t), åñëè óðàâíåíèå (15) ïðè ëþáûõ ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) èìååò n âåùåñòâåííûõ êîðíåé τk = Hk (ξ; x, t) (k = 1, ..., n), à õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ìàòðèöà A(ν) = τ I + 3 P i=1 ξi Ai îáëàäàåò íàáîðîì n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ l ∈ Rn òàêèõ, ÷òî l · A(ν) = 0. Ãëàäêàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü â R4 , äëÿ êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ãèïåðïëîñêîñòü â êàæäîé òî÷êå èìååò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå íàïðàâëåíèå, íàçûâàåòñÿ õàðàê- òåðèñòèêîé ñèñòåìû (14). Ïóñòü õàðàêòåðèñòèêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîðíþ τ = H(ξ; x, t), çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì ϕ(x1 , x2 , x3 , t) = 0. Òîãäà åå íîðìàëü ν = (ϕx1 , ϕx2 , ϕx3 , ϕt ) èìååò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå íàïðàâëåíèå, è ïîýòîìó ôóíêöèÿ ϕ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà óðàâíåíèþ Ãàìèëüòîíàßêîáè (16) ϕt = H(∇x ϕ; x, t). Õàðàêòåðèñòèêè ýòîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ áèõàðàêòåðèñòèêàìè ñèñòåìû (14).  òåîðèè âîëí èõ íàçûâàþò ëó÷àìè. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ áèõàðàêòåðèñòèê èìåþò âèä ∂H dxi =− , dt ∂pi dpi ∂H = dt ∂xi (i = 1, 2, 3) ãäå pi = ∂ϕ/∂xi . Äëÿ ëèíåéíîé ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû (14) ñ ïîñòîÿííûìè ìàòðèöàìè Ai ôóíêöèÿ H íå çàâèñèò îò x è t, è ïîýòîìó èìååì dpi /dt = 0, òàê ÷òî ïðàâûå ÷àñòè Hpi (p1 , p2 , p3 ) äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ xi ïîñòîÿííû âäîëü ëó÷åé. Ñëåäîâàòåëüíî, ñàìè ëó÷è â ýòîì ñëó÷àå ïðÿìîëèíåéíû, (0) xi = xi − Hp(0) t. i 18 Çàäà÷à. Ôðîíò äâóìåðíîé çâóêîâîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ ïî ïîêîÿùåìóñÿ ãàçó ñî ñêîðîñòüþ çâóêà c0 , ïðè t = 0 èìååò ôîðìó ïàðàáîëû y = x2 . Íàéòè âðåìÿ T , çà êîòîðîå çâóê äîñòèãíåò íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â òî÷êå A(3, 0). Ðåøåíèå. Óðàâíåíèÿ àêóñòèêè â ïîêîÿùåìñÿ ãàçå èìåþò âèä ρ0 ut + px = 0, ρ0 vt + py = 0, pt + ρ0 c20 (ux + vy ) = 0, ãäå u, v êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè, p âîçìóùåíèå äàâëåíèÿ. Çàïèñûâàÿ ýòó ñèñòåìó â ìàòðè÷íîì âèäå (14) è ñîñòàâëÿÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèé îïðåäåëèòåëü ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì ν = (ξ, η, τ ), ïîëó÷àåì ¯ ¯ ¯ τ 0 ξ/ρ0 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¢ ¡ ¯ ¯ x y det (τ I + ξ A + η A ) = ¯ 0 τ η/ρ0 ¯ = τ τ 2 − c20 (ξ 2 + η 2 ) = 0. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ρ0 c2 ξ ρ 0 c2 η τ 0 0 p Îòñþäà äëÿ çâóêîâûõ õàðàêòåðèñòèê èìååì H(p, q) = ±c0 p2 + q 2 , ãäå p = ϕx , q = ϕy (ϕ(x, y, t) = 0 ïîëîæåíèå ôðîíòà â ìîìåíò âðåìåíè t). Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ H íå çàâèñèò îò x, y , áèõàðàêòåðèñòèêè ïðÿìîëèíåéíû. Èíòåãðèðîâàíèå äàåò óðàâíåíèÿ çâóêîâûõ ëó÷åé â âèäå p0 c0 t x = x0 ± p 2 , p0 + q02 q0 c 0 t y = y0 ± p 2 . p0 + q02 Ñëåäîâàòåëüíî, áèõàðàêòåðèñòèêè â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè íàïðàâëåíû ïî íîðìàëè ê ôðîíòó, ïðè÷åì âîçìóùåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âäîëü ëó÷åé ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ c0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàáëþäàòåëÿ ðàíüøå âñåãî äîñòèãíåò âîçìóùåíèå, èäóùåå èç òî÷êè B(x, x2 ) â íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè ôðîíòà, áëèæàéøåé ê A. Ìèíèìóì ðàññòîÿíèÿ |AB| äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå B ñ àáñöèññîé, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ ýêñòðåìóìà 2x3 + x − 3 = √ 0. Òàêàÿ òî÷êà åäèíñòâåííà B(1, 1), ñîîòâåòñòâóþùåå ðàññòîÿíèå ðàâíî 5. Îòâåò: T = √ 5/c0 .  ðÿäå ñëó÷àåâ óðàâíåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè óäîáíî èñêàòü â âèäå t = ψ(x).  ñèëó óðàâíåíèÿ (16) ñ ϕ = ψ(x) − t ôóíêöèÿ ψ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ H(∇x ψ) = −1. Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ýéêîíàëà. Ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ áèõàðàêòåðèñòèê â äàííîì ñëó÷àå óïðîùàåòñÿ äî ñëåäóþùåé: dxi ∂H = , dt ∂qi dqi ∂H =− , dt ∂xi 19 (i = 1, 2, 3) ãäå qi = ∂ψ/∂xi . 1.6. Ñèììåòðèçàöèÿ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ Ðàññìîòðèì ñèñòåìó êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé A(u) ∂t u + 3 X B i (u) ∂xi u = 0 (17) i=1 ñ èñêîìîé âåêòîð-ôóíêöèåé u = (u1 , ..., un ), çàâèñÿùåé îò ïåðåìåííûõ t è x = (x1 , x2 , x3 ). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êâàäðàòíûå ìàòðèöû A(u) è B i (u) ïîðÿäêà n×n ñèììåòðè÷íû, ïðè÷åì ìàòðèöà A = (aij )ni,j=1 ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà: n P aij pi pj > 0 äëÿ ëþáîãî âåêòîðà p = (p1 , ..., pn ), p 6= 0. Ñèñòåìà (17) ñ i,j=1 óêàçàííûìè ìàòðèöàìè íîñèò íàçâàíèå ñèììåòðè÷åñêîé t ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïî Ôðèäðèõñó. ßñíî, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (1) ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè t, x è ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé A ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé t ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìîé ïî Ôðèäðèõñó. Ñâîéñòâî t ãèïåðáîëè÷íîñòè âìåñòå ñî ñâîéñòâîì êîíñåðâàòèâíîñòè èãðàåò âàæíóþ ðîëü ïðè àíàëèçå êà÷åñòâåííûõ ñâîéñòâ òàêèõ ñèñòåì è èõ ÷èñëåííîì ðåøåíèè. Ïîýòîìó ïîëåçíî óìåòü ïðèâîäèòü çàäàííóþ ãèïåðáîëè÷åñêóþ ñèñòåìó êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ê ñèììåòðè÷åñêîìó âèäó (17). Òàêîå ïðèâåäåíèå âîçìîæíî â ñëåäóþùåì ñëó÷àå. Òåîðåìà (Ãîäóíîâ, Ôðèäðèõñ, Ëàêñ). Ïóñòü ñèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ∂t u + 3 X ∂xi ψ i (u) = 0 (18) i=1 äîïóñêàåò äîïîëíèòåëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ∂t e(u) + 3 X ∂xi f i (u) = 0, (19) i=1 ãäå ôóíêöèÿ e(u) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ïî ïåðåìåííûì u = (u1 , ..., un ), ò.å. ìàòðèöà Ãåññå e00 (u) = (∂ui ∂uj e(u))ni,j=1 ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé. Òîãäà ñèñòåìà (18) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (17). 20 Äîêàçàòåëüñòâî. Îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå óðàâíåíèé (18) è (19) âëå÷åò âûïîëíåíèå óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè ¡ ¢0 ∇u f i (u) = ∇u e(u) ψ i (u) (i = 1, ..., n) (20) äëÿ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé f i è âåêòîð-ôóíêöèé ψ i . Ââåäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà e∗ (v) ôóíêöèè e(u), ïîëàãàÿ e∗ (v) = v · u − e(u), ãäå âåêòîð u îïðåäåëÿåòñÿ íåÿâíî óðàâíåíèåì v = ∇u e(u). Îáðàùåíèå óêàçàííîé çàâèñèìîñòè v îò u âîçìîæíî, ïîñêîëüêó ÿêîáèàí |∂(v1 , ..., vn )/∂(u1 , ..., un )| = det e00 (u) îòëè÷åí îò íóëÿ â ñëó÷àå âûïóêëîé ôóíêöèè e(u). Ïðè ýòîì, î÷åâèäíî, èìååì u = ∇v e∗ (v). Áîëåå òîãî, ôóíêöèÿ e∗ (v) òàêæå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ôóíêöèåé îò v. Ââåäåì äîïîëíèòåëüíî ôóíêöèè f i∗ (v) = v · ψ i (u) − f i (u) (i = 1, ..., n). Òîãäà â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (20) ïîëó÷àåì ψ i (u) = ∇v f i (v). Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà óðàâíåíèé (18) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå ∗ ∂t ∇v e (v) + 3 X ∂xi ∇v f i∗ (v) = 0, i=1 ò.å. â âèäå (17) ñ ìàòðèöàìè Ãåññå A(v) = (∂vk ∂vj e∗ (v))nk,j=1 è B i (v) = (∂vk ∂vj f i∗ (v))nk,j=1 • Äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû ñîäåðæèò êîíñòðóêòèâíûé ìåòîä ñèììåòðèçàöèè ñèñòåì çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ. Ïðèìåð. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè t è x ht + (uh)x = 0, µ ¶ 1 2 2 (hu)t + hu + gh = 0, 2 x (21) ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé äèâåðãåíòíóþ ôîðìó çàïèñè óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû (5) â âèäå ñèñòåìû çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ìàññû è èìïóëüñà.  êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ (19) âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ∂t e(h, u) + ∂x f (h, u) = 0 ñ ôóíêöèÿìè e= 1 2 1 u h + gh2 , 2 2 f= 21 1 3 u h + guh2 . 2 Çàïèøåì ñíà÷àëà óðàâíåíèÿ (21) â èñõîäíîé ôîðìå (18) ñ âåêòîðîì ïëîòíîñòåé ñîõðàíÿþùèõñÿ âåëè÷èí u = (u1 , u2 ), ãäå u1 = h, u2 = uh.  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ äëÿ ôóíêöèé e, f è êîìïîíåíò âåêòîðà ψ = (ψ1 , ψ2 ) èìååì âûðàæåíèÿ e(u) = u22 1 + gu21 , 2u1 2 f (u) = u32 + gu21 u2 , 2u21 Îòñþäà íàõîäèì v1 = eu1 = gu1 − ψ1 (u) = u2 , u22 , 2u1 ψ2 (u) = u22 1 2 + gu . u1 2 1 u2 . u1 v2 = eu2 = Îáðàùàÿ çàâèñèìîñòü v = ∇u e(u), ïîëó÷àåì µ ¶ µ ¶ 1 2 1 1 2 1 v1 + v2 u2 = v2 v1 + v2 . u1 = g 2 g 2 Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèè e∗ = v · u − e è f ∗ = v · ψ − f èìåþò âèä 1 e (v) = 2g ∗ µ 1 v1 + v22 2 ¶2 ¶2 µ 1 1 2 f (v) = v2 v1 + v2 . 2g 2 ∗ , Âû÷èñëÿÿ ìàòðèöû Ãåññå äëÿ óêàçàííûõ ôóíêöèé, ïîëó÷àåì ñèììåòðè÷åñêóþ ôîðìó A(v)vt + B(v)vx = 0 ñèñòåìû (21) ñ ìàòðèöàìè 1 v2 v2 v1 + 32 v22 , . A= B= 3 2 3 2 5 2 v2 v1 + 2 v2 v1 + 2 v2 3v1 + 2 v2 Âîçìîæíû è äðóãèå ôîðìû çàïèñè ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèñòåì óðàâíåíèé â ñèììåòðè÷åñêîì âèäå. Íàïðèìåð, äëÿ ñèñòåì ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè òàêóþ ôîðìó äàåò ïðåîáðàçîâàíèå èñõîäíûõ óðàâíåíèé ê óðàâíåíèÿì â èíâàðèàíòàõ Ðèìàíà (ïðè óñëîâèè, ÷òî òàêîâûå ñóùåñòâóþò). Òàê, äëÿ óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû (5) óêàçàííàÿ ôîðìà èìååò âèä rt + (u + √ p gh) rx = 0, lt + (u − p gh) lx = 0, √ ãäå r = u + 2 gh è l = u − 2 gh. Îäíàêî ýòîò ïîäõîä ÿâëÿåòñÿ ìåíåå îáùèì, ïîñêîëüêó îí îãðàíè÷åí óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâàíèÿ èíâàðèàíòîâ Ðèìàíà. 22 Ëèòåðàòóðà 1. Âèíîãðàäîâà Ì.Á., Ðóäåíêî Î.Â., Ñóõîðóêîâ À.Ï. Òåîðèÿ âîëí. Ì.: Íàóêà. 1990. 432 ñ. 2. Ãîäóíîâ Ñ.Ê., Ðîìåíñêèé Å.È. Ýëåìåíòû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Íîâîñèáèðñê.: Íàó÷íàÿ êíèãà. 1998. 268 c. 3. Êóëèêîâñêèé À.Ã., Ñâåøíèêîâà Å.È. Íåëèíåéíûå âîëíû â óïðóãèõ ñðåäàõ. Ì.: 1998. 416 c. 4. Ëàíäà Ï.Ñ. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ è âîëíû. Ì.: Íàóêà, 1997. 496 ñ. 5. Íåëèíåéíûå âîëíû. Ðåä. Ñ. Ëåéáîâè÷, À. Ñèáàññ. Ì.: Ìèð, 1977. 320 ñ. 6. Îâñÿííèêîâ Ë.Â. Ëåêöèè ïî îñíîâàì ãàçîâîé äèíàìèêè. Ìîñêâà, Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2003. 336 ñ. 7. Ðîæäåñòâåíñêèé Á.Ë., ßíåíêî Í.Í. Ñèñòåìû êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé è èõ ïðèëîæåíèÿ ê ãàçîâîé äèíàìèêå Ì.: Íàóêà. 1968. 592 c. 23 Çàäà÷è 1. Íàéòè ïîëå ñêîðîñòåé u(x, t) â îäíîìåðíîì äâèæåíèè ñïëîøíîé ñðåäû, âñå ÷àñòèöû êîòîðîé ïåðåìåùàþòñÿ ïî èíåðöèè, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ñðåäà çàïîëíÿëà ïîëóïðîñòðàíñòâî x > 0 è ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé èìåëî ñëåäóþùèé âèä: (a) u(x, 0) = x2 ; (b) u(x, 0) = √ x. Îòâåò: (a) u(x, t) = 2 2x√ ; 2xt+1+ 4xt+1 (b) u(x, t) = √ 4x+t2 −t . 2 2. Ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèå õàðàêòåðèñòèê äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ut + uux + u = 0, Îòâåò: u(x, 0) = ax + b (a, b = const). x = x0 + (ax0 + b) (1 − e−t ) . 3. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ut + c(u)ux = 0, u(x, 0) = c−1 (ax + b) (a, b = const) ñ ãëàäêîé ìîíîòîííîé ôóíêöèåé c(u). Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ a è b íàñòóïàåò ãðàäèåíòíàÿ êàòàñòðîôà? Îòâåò: u(x, t) = c−1 ¡ ax+b ¢ 1+at 4. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè è èíâàðèàíòû Ðèìàíà äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ( ut + 2 cos v ux + sin u vx = 0, vt + cos v ux + (sin u + cos v) vx = 0. Îòâåò: dx = cos v : u − v = const; dt dx 1 + sin v u = sin u + 2 cos v : tg = const. dt cos v 2 5. Ïîêàçàòü, ÷òî ÿêîáèàí |∂(r1 , ..., rn )/∂(u1 , ..., un )| ïðåîáðàçîâàíèÿ r = r(u), ïðèâîäÿùåãî ãèïåðáîëè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ut + A(u)ux = 0 ê ñèñòåìå â èíâàðèàíòàõ Ðèìàíà rt + C(r)rx = 0 24 (22) ñ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé C(r) = diag(c1 , ..., cn ), îòëè÷åí îò íóëÿ. 6. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèâåäåííàÿ ê èíâàðèàíòàì Ðèìàíà ñòðîãî ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (22) (ò.å. ci 6= cj ïðè i 6= j ). Äîêàçàòü, ÷òî â íåâûðîæäåííîé ïðîñòîé âîëíå r = r(α(x, t)), r0 (α) 6= 0, âñå èíâàðèàíòû ri çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî òîæäåñòâåííî ïîñòîÿííû, à ëèíèè óðîâíÿ ïðîñòîé âîëíû α(x, t) = const ñåìåéñòâî ïðÿìîëèíåéíûõ õàðàêòåðèñòèê, ñîîòâåòñòâóþùèõ íå òîæäåñòâåííî ïîñòîÿííîìó èíâàðèàíòó Ðèìàíà. 7. Äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ( ut + c(u, v)ux = 0, vt + c(u, v)vx = 0 ñ êðàòíîé õàðàêòåðèñòèêîé dx/dt = c(u, v) äîêàçàòü, ÷òî íåðàâåíñòâà ux > vx > 0 ñîõðàíÿþòñÿ âäîëü ýòîé õàðàêòåðèñòèêè, åñëè îíè áûëè âûïîëíåíû â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0. 8. Îäíîìåðíîå äâèæåíèå áàðîòðîïíîé ñïëîøíîé ñðåäû îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé ρt + uρx + ρux = 0 ut + uux + c2 (ρ) ρ ρx = 0 ñ ãëàäêîé ôóíêöèåé c(ρ), c0 (ρ) > 0, c(0) = 0. Äëÿ êàêèõ ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé c = c(ρ) âñå õàðàêòåðèñòèêè äàííîé ñèñòåìû â ëþáîì äâèæåíèè ñðåäû ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè? Îòâåò: c = A ρ (A = const > 0). 9. Ðàññìàòðèâàþòñÿ óðàâíåíèÿ îäíîìåðíûõ äâèæåíèé ñìåñè äâóõ áàðîòðîïíûõ ñðåä ρt + uρx + ρux = 0, ut + uux + 1 px = 0, ρ y1t + uy1x = 0, ãäå u ñêîðîñòü ñìåñè; ρ = α1 ρ1 + α2 ρ2 ïëîòíîñòü ñìåñè (çäåñü ρi ïëîòíîñòè ñðåä, αi èõ îáúåìíûå êîíöåíòðàöèè: 0 6 αi 6 1, α1 + 25 α2 = 1); p = p1 (ρ1 ) = p2 (ρ2 ) äàâëåíèå (dp1 /dρ1 > 0, dp2 /dρ2 > 0 ïðè ρ1 > 0, ρ2 > 0); ôóíêöèÿ y1 ìàññîâàÿ êîíöåíòðàöèÿ ïåðâîé èç ñðåä (yi = αi ρi /ρ). Ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé è åå õàðàêòåðèñòèêè èìåþò âèä dx/dt = u, dx/dt = u ± c, ãäå ñêîðîñòü çâóêà â ñìåñè c (ñêîðîñòü Âóäà Óîëëèñà) äàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè α1 1 α2 = + , 2 ρc2 ρ1 c1 ρ2 c22 c2i = dpi dρi (i = 1, 2) 10.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïîêàçàòü, ÷òî ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ 0 < ρ1 < ρ2 , 0 < c1 < c2 è ïåðåìåííîé êîíöåíòðàöèè α1 ñêîðîñòü çâóêà â ñìåñè c = c(α1 ) èìååò åäèíñòâåííûé ìèíèìóì cmin â ïðîìåæóòêå 0 6 αi 6 1. Íàéòè ýòîò ìèíèìóì. ×åìó ðàâíÿåòñÿ cmin äëÿ âîçäóøíîâîäÿíîé ñìåñè ñ ïàðàìåòðàìè ρ1 = 1 êã/ì3 , ρ2 = 1000 êã/ì3 , c1 = 340 ì/ñåê, c2 = 1500 ì/ñåê? Îòâåò: c2min = 4ρ1 ρ2 (ρ2 − ρ1 ) c21 c22 , (ρ1 + ρ2 ) (ρ22 c22 − ρ21 c21 ) 21.5 ì/ñåê. 11. Ïîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà (1) ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè t, x ïðèâîäèòñÿ óìíîæåíèåì ñëåâà íà ïîäõîäÿùóþ ìàòðèöó ê âèäó But + Cux + Db = 0, ãäå B, C, D ñèììåòðè÷åñêèå ìàòðèöû, çàâèñÿùèå îò u, x, t, ïðè÷åì ìàòðèöà B ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà (ñèñòåìà òàêîãî âèäà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé tãèïåðáîëè÷åñêîé ïî Ôðèäðèõñó). 12. Ïóñòü u = (u1 , ..., un ) ∈ Rn è çàäàíî ãëàäêîå îòîáðàæåíèå e : Rn → R òàêîå, ÷òî ìàòðèöà Ãåññå e00 (u) = k∂ui ∂uj e(u)kni,i=1 ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, ò.å. e(u) âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà e∗ ôóíêöèè e, e∗ (v) = v · u − e(u), 26 ãäå v = ∇u e(u) è u = u(v) ïðîîáðàç ýëåìåíòà v ïðè äåéñòâèè ëîêàëüíî îáðàòèìîãî îòîáðàæåíèÿ v = ∇u e(u). Ïîêàçàòü, ÷òî e∗ (v) âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ îò v. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà èíâîëþ- òèâíî, ò.å. åãî ïîâòîðíîå ïðèìåíåíèå äàåò èñõîäíóþ ôóíêöèþ e. ¡ ¢00 Óêàçàíèå: ïîêàçàòü, ÷òî u = ∇v e∗ (v) è e∗ (v) = (e00 (u))−1 . 13. Ðàññìàòðèâàþòñÿ óðàâíåíèÿ îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà ñ íóëåâûì äàâëåíèåì ρt + (ρu)x = 0, ut + uux = 0. (ýòî ïðèáëèæåíèå âîçíèêàåò â àñòðîôèçèêå). Ïîêàçàòü, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà íå ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé. Íàéòè âñå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ∂t P (ρ, u) + ∂x Q(ρ, u) = 0, äîïóñêàåìûå ýòîé ñèñòåìîé. Ñóùåñòâóþò ëè ñðåäè íèõ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ñ âûïóêëîé ôóíêöèåé P ? Îòâåò: P (ρ, u) = a(u)ρ + b(u), a, b ïðîèçâîëüíûå ãëàäêèå ôóíêöèè; P íåâû- ïóêëà. 14. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ãàçîâîé äèíàìèêè ρt + (ρu)x = 0, (ρu)t + (p + ρu2 )x = 0, (ρs)t + (ρus)x = 0, p = p(ρ, s), ãäå ρ ïëîòíîñòü, u ñêîðîñòü, p äàâëåíèå è s ýíòðîïèÿ. Òåðìîäèíàìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ñðåäû ïðè ýòîì õàðàêòåðèçóåòñÿ âíóòðåííåé ýíåðãèåé ãàçà ε(ρ, s) è òåìïåðàòóðîé T (ρ, s), êîòîðûå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé òîæäåñòâîì µ ¶ 1 T ds = dε + p d . ρ Ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè äîïóñêàåò äîïîëíèòåëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ et + fx = 0 ñ ôóíêöèÿìè ¡ 1 ¢ e = ρ ε + u2 , 2 ¡ 1 ¢ f = ρu ε + u2 + pu. 2 27 15.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è âû÷èñëèòü ìàòðèöó Ãåññå e00 (u) ôóíêöèè e = ρ (ε + u2 /2) ïî ïåðåìåííûì u = (u1 , u2 , u3 ), ãäå u1 = ρ, u2 = ρu, u3 = ρs. Îòâåò: 1 e (u) = ρ 00 u2 + K −u ρερs − sεss −u 1 0 ρερs − sεss 0 εss , ãäå K = ρ2 ερρ − 2ρsερs + s2 εss + 2ρ ερ 16. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåé çàäà÷è, äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ e = ¡ ¢ ρ ε + u2 /2 ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ôóíêöèåé ïî ïåðåìåííûì u = (ρ, ρu, ρs) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ E(τ, s) = ε(1/τ, s) âûïóêëà ïî ïåðåìåííûì (τ, s). 17. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ãîäóíîâà Ôðèäðèõñà Ëàêñà çàïèñàòü ñèñòåìó çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ãàçîâîé äèíàìèêè ρt + (ρu)x = 0, (ρu)t + (p + ρu2 )x = 0, (ρs)t + (ρus)x = 0, p = p(ρ, s) â âèäå ñèììåòðè÷åñêîé t ãèïåðáîëè÷åñêîé ïî Ôðèäðèõñó ñèñòåìû óðàâíåíèé A(v)vt + B(v)vx = 0 (A = AT > 0, B = B T ), èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîãî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñ ôóíêöèåé e = ρ(ε + 12 u2 ) (çäåñü ε âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ). Îòâåò: ¡ ¢−1 A = (e∗ (v))00 = e(u))00 , ãäå e∗ (v) = p, v = (ε + ¡ ¢00 B = ue∗ (v) , p ρ − T s − 12 u2 , u, T ). 18. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ∂t P + ∂x Q = 0 ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (22), çàïèñàííîé â èíâàðèàíòàõ Ðèìàíà r = (r1 , ...., rn ), ôóíêöèÿ P (r1 , ...., rn ) óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ∂ 2P 1 = ∂ri ∂rj ci − cj µ ∂cj ∂P ∂ci ∂P − ∂ri ∂rj ∂rj ∂ri 28 ¶ (i, j = 1, ..., n; i 6= j) 19. Íàéòè âñå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ∂t P (r, l) + ∂x Q(r, l) = 0 äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé â èíâàðèàíòàõ Ðèìàíà rt + l rx = 0, lt + r l x = 0 (èçýíòðîïè÷åñêèé ãàç ×àïëûãèíà ñ ïîêàçàòåëåì ïîëèòðîïû γ = −1). Îòâåò: P (r, l) = f (r)−g(l) , r− l f è g ïðîèçâîëüíûå ãëàäêèå ôóíêöèè. 20. Âûÿñíèòü, ñóùåñòâóþò ëè çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ∂t P (r, l, s) + ∂x Q(r, l, s) = 0 äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé rt + l rx = 0, Îòâåò: lt + s lx = 0, st + r sx = 0. íå ñóùåñòâóþò. 21. Íàéòè ñêà÷êè ïðîèçâîäíîé ρx íà ëèíèÿõ ñëàáîãî ðàçðûâà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ( ρt + uρx + ρux = 0 ut + uux + ρρx = 0 ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè ρ(x, 0) = ρ0 , Îòâåò: x = ±ρ0 t : ( u(x, 0) = 0, x 6 0, kx, x > 0, k, ρ0 = const > 0. k [ρx ] = ± 2(1+kt) . 22. Ïîêàçàòü, ÷òî ðàçðûâû âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ðåøåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû, íåïðåðûâíîãî âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà, ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ òîëüêî âäîëü õàðàêòåðèñòèê. 23. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñëàáûõ êèíåìàòè÷åñêèõ óäàðíûõ âîëí â ñïëîøíîé ñðåäå ñ ïëîòíîñòüþ ρ ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå 1 (c1 + c2 ) + O([ ρ ]2 ), 2 ãäå ci ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñêîðîñòè íà ëèíèè D= ðàçðûâà. Ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí ñ êâàäðàòè÷íîé ïî ρ ôóíêöèåé q = Q(ρ) ñïðàâåäëèâî òî÷íîå ðàâåíñòâî D = (c1 + c2 )/2. 29 24. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñêîðîñòè D êèíåìàòè÷åñêîé óäàðíîé âîëíû, îáðàçóþùåéñÿ â ðåçóëüòàòå ñëèÿíèÿ äâóõ óäàðíûõ âîëí, èìåâøèõ ñêîðîñòè D1 < D2 , âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî D1 < D < D2 , åñëè âçàèìîäåéñòâèå âîëí îïèñûâàåòñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ∂t ρ + ∂x Q(ρ) = 0 ñ âûïóêëîé ôóíêöèåé Q (Q 00 (ρ) > 0). 25. Êèíåìàòè÷åñêàÿ óäàðíàÿ âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ D1 , â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 äîãîíÿåò â òî÷êå x = 0 óäàðíóþ âîëíó, áåãóùóþ ñî ñêîðîñòüþ D0 ïî ïîñòîÿííîìó ôîíó ρ0 > 0. Èçâåñòíî, ÷òî ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ êàæäîé èç ýòèõ óäàðíûõ âîëí ïëîòíîñòü ρ âîçðàñòàëà âäâîå, à âåñü ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ∂t ρ + c0 ∂x (ρ3 /ρ20 ) = 0, ãäå c0 = const > 0. Íàéòè ïëîòíîñòü ñðåäû ρ(x, t) ïðè t > 0. ×åìó ðàâíû ñêîðîñòè âñåõ óäàðíûõ âîëí, ó÷àñòâóþùèõ â äâèæåíèè? Îòâåò: ρ(x, t) = ρ0 (x > Dt), ρ(x, t) = 4ρ0 (x < Dt), D = 3D0 , D1 = 4D0 , D0 = 7c0 . 26. Óäàðíàÿ âîëíà, îïèñûâàåìàÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ∂t u + ∂x (u2 /2) = 0, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ D = 2u0 > 0 ïî ñîñòîÿíèþ u = u0 è â ìîìåíò âðåìåíè t = 1 äîãîíÿåò çàäíèé ôðîíò öåíòðèðîâàííîé âîëíû u = x/t (u0 t < x < 2u0 t), áåãóùåé âïðàâî ïî ñîñòîÿíèþ u = 2u0 . Íàéòè òðàåêòîðèþ óäàðíîé âîëíû â ïëîñêîñòè (x, t) äî è ïîñëå íà÷àëà åå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ öåíòðèðîâàííîé âîëíîé. Äîãîíèò ëè óäàðíàÿ âîëíà ïåðåäíèé ôðîíò öåíòðèðîâàííîé âîëíû? Îòâåò: x = u0 (2t − 1) (t 6 1); ¡5 ¢ u0 2 t − 2 (t > 4); äîãîíèò. √ x = u0 (3t − 2 t) (1 6 t 6 4); x = 27. Ðàññìàòðèâàþòñÿ êèíåìàòè÷åñêèå âîëíû â ïîòîêå òðàíñïîðòà ñ êâàäðàòè÷íîé çàâèñèìîñòüþ ïîòîêà q = Q(ρ) îò ïëîòíîñòè àâòîìîáèëåé 30 ρ ∈ [0, ρ∗ ]: ρ Q(ρ) = 4qm ρ∗ µ ρ 1− ρ∗ ¶ , qm = const > 0. Ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé (12) äëÿ äàííîé ôóíêöèè Q(ρ). ×åìó ðàâíî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå um = max u(ρ) ñêîðîñòè àâòî06ρ6ρ∗ ìîáèëåé u(ρ) = Q(ρ)/ρ? Íàéòè çàâèñèìîñòü ïîòîêà q = q(u) îò ñêîðîñòè u ∈ [0, um ] è îïðåäåëèòü, ïðè êàêîì çíà÷åíèè u äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ âåëè÷èíà ïîòîêà qm = max q(u). ×åìó ðàâíû ýêñòðåìàëüíûå çíà÷å06u6um íèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñêîðîñòè c(ρ) = Q0 (ρ) íà ïðîìåæóòêå ρ ∈ [0, ρ∗ ]? Íàéòè äëÿ íåå âûðàæåíèå â âèäå ôóíêöèè c = c(q) äëÿ çíà÷åíèé ïîòîêà q = Q(ρ), ïðèíèìàåìûõ íà ïðîìåæóòêå ρ ∈ [0, ρ∗ /2]. Îòâåò: µ ¶ 4qm u um = , q(u) = ρ∗ u 1 − , qm = q(u)¯¯ ; u=um /2 ρ∗ um max c(ρ) = c(ρ)¯¯ = um , min c(ρ) = c(ρ)¯¯ = −um , ρ=0 ρ=ρ∗ 06ρ6ρ∗ 06ρ6ρ∗ r q c(q) = um 1 − . qm 28. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (12) âñå íåïðåðûâíûå âîçìóùåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ òîëüêî íàçàä ïî ïîòîêó òðàíñïîðòà: ïðè 0 < ρ 6 ρ∗ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî u(ρ) > c(ρ), ãäå u(ρ) = Q(ρ)/ρ ñêîðîñòü àâòîìîáèëåé, c(ρ) = Q0 (ρ) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü. 29. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ êèíåìàòè÷åñêîé óäàðíîé ¡ ¢ âîëíû D(ρ) = Q(ρ) − Q(ρ0 ) /(ρ − ρ0 ), ðàññìàòðèâàåìîé êàê ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ρ ïðè ôèêñèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ρ0 ïî äðóãóþ ñòîðîíó ôðîíòà, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå 1 D 0(ρ) = (ρ − ρ0 )2 Zρ (% − ρ0 ) Q 00(%) d%. ρ0 Âûâåñòè îòñþäà, ÷òî D(ρ) ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé â ñëó÷àå Q00 (ρ) > 0 è ìîíîòîííî óáûâàþùåé â ñëó÷àå Q00 (ρ) < 0. 30. Ïîòîê àâòîìîáèëåé äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u0 > 0 ïî óëèöå ñ îäíîñòîðîííèì äâèæåíèåì, íà êîòîðîé â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íà÷èíàåò ðàáîòàòü 31 ñâåòîôîð äëÿ ïåøåõîäîâ â ïåðèîäè÷åñêîì ðåæèìå "êðàñíûé-çåëåíûé". Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ðàñõîäîì ρ Q(ρ) = 4qm ρ∗ µ ¶ ρ 1− , ρ∗ = const > 0, qm = const > 0, (u0 < 4qm /ρ∗ ) ρ∗ îïèñàòü äâèæåíèå òðàíñïîðòà â îêðåñòíîñòè ñâåòîôîðà ïðè t > 0. Ïðè êàêîé ïðîäîëæèòåëüíîñòè âðåìåííûõ èíòåðâàëîâ êðàñíîãî è çåëåíîãî ñâåòà Tê è Tç â äâèæåíèè òðàíñïîðòà âîçíèêàåò ïðîáêà? Îòâåò: ïðîáêà îáðàçóåòñÿ ïðè q0 Tê > , Tç qm − q0 ãäå q0 = ρ0 u0 . 31.  ðåçóëüòàòå äîðîæíîãî ïðîèñøåñòâèÿ íà àâòîñòðàäå ïîòîê àâòîìîáèëåé q0 , äâèãàâøèõñÿ ñ ïëîòíîñòüþ ρ0 , âðåìåííî (â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà T ) ñíèçèëñÿ íà ìåñòå ñîáûòèÿ äî çíà÷åíèÿ q1 < q0 . Ïîñòðîèòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ôóíêöèåé Q(ρ), óêàçàííîé â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ïðè óñëîâèÿõ 0 < q0 = Q(ρ0 ) < qm è 0 < ρ0 < ρ∗ /2. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå l îò ìåñòà ïðîèñøåñòâèÿ, íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò çàäåðæêà òðàíñïîðòà. 32. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðîñòàÿ âîëíà äëÿ óðàâíåíèé îäíîìåðíûõ èçýíòðîïè÷åñêèõ òå÷åíèé ïîëèòðîïíîãî ãàçà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ ïî ñîñòîÿíèþ ïîêîÿ ñ ïëîòíîñòüþ ρ0 è ñêîðîñòüþ çâóêà c0 , ÿâëÿåòñÿ êèíåìàòè÷åñêîé âîëíîé. Íàéòè âèä çàâèñèìîñòè q = Q(ρ) ðàñõîäà q = ρu îò ïëîòíîñòè ρ. µ Îòâåò: Q(ρ) = ± 2c0 γ−1 ρ 1− ¶ ³ ´ γ−1 2 ρ ρ0 . 33. Ïðîöåññ ôèëüòðàöèè æèäêîñòè â ïîðèñòîé ñðåäå îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ÁàêëåÿËåâåðåòòà ¡ ¢ ∂t s + qm ∂x 3s2 − 2s3 = 0, ãäå 0 6 s(x, t) 6 1 íàñûùåííîñòü ïîð æèäêîñòüþ, qm = const ìàêñèìàëüíûé ðàñõîä (qm > 0). Ïîñòðîèòü àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è î ðàñïàäå ðàçðûâà ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè s(x, 0) = 0 ïðè x > 0 è 32 s(x, 0) = 1 ïðè x < 0. Êàêîâà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà ôèëüòðóþùåéñÿ æèäêîñòè? Îòâåò: µ ¶ 9qm t s(x, t) = 1 (x < 0), s(x, t) = 0 x > , 8 p µ ¶ 2 − (x/t)2 9qm 1 9qm t s(x, t) = + 0<x< . 2 6qm 8 34. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû u(x, t) = U (x − Dt) äëÿ óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà ut + uux = νuxx (ν = const > 0), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì u → u1 (x → +∞) è u → u2 (x → −∞), ãäå u1 , u2 = const (u1 6= u2 ). Íàéòè àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ ïðè ν → 0. Îòâåò: 1 u −u © u2 −u 1 ª , D = (u1 +u2 ); u(x, t) = u1 + 2 1 2 1 + exp (x − Dt) 2ν ( lim u(x, t) = ν→0 u1 x > Dt, u2 x < Dt. 35. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ u = −2ν vx /v ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà, åñëè ôóíêöèÿ v óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè vt = ν vxx (ïðåîáðàçîâàíèå Êîóëà Õîïôà). Êàêîå ðåøåíèå v∗ (x, t) óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè äàåò ïðè óêàçàííîì ïðåîáðàçîâàíèè àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà u∗ (x, t) = x/t? Îòâåò: 1 2 v∗ (x, t) = √ e−x /(4νt) . t 36. Ïðîâåðèòü, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà, ðàññìàòðèâàåìîå â çàäà÷å 34, ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Êîóëà Õîïôà ñóììû v = v1 + v2 äâóõ ðåøåíèé òèïà áåãóùèõ âîëí äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, èìåþùèõ âèä n u ³ uj ´o j vj (x, t) = exp − x− t 2ν 2 33 (j = 1, 2) (23) 37. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ðåøåíèå u(x, t) óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà, ÿâëÿþùååñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Êîóëà Õîïôà ñóììû v(x, t) = v1 (x, t) + v2 (x, t) + v3 (x, t) òðåõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè âèäà (23) ñ ïàðàìåòðàìè u3 > u2 > u1 . Íàéòè àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ u â ïðåäåëå ïðè ν → 0. u1 (x > D1 t) lim u(x, t) = ïðè t < 0, u2 (D2 t < x < D1 t) ν→0 u (x < D t) 3 3 ( u1 (x > D3 t) lim u(x, t) = ïðè t > 0, ν→0 u3 (x < D3 t) Îòâåò: ãäå D1 = 1 (u1 + u2 ), 2 D2 = 1 (u2 + u3 ), 2 D3 = 1 (u1 + u3 ). 2 38. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíâàðèàíòà Ðèìàíà ñèñòåìû óðàâíåíèé ut + A(u)ux = 0, u = (u1 , u2 , u3 ), ïîñòîÿííîãî âäîëü õàðàêòåðèñòèêè dx/dt = c, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà l · rot l = 0, ãäå l(u) ëåâûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A ïîðÿäêà 3 × 3 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì c. 39. Îïðåäåëèòü, äëÿ êàêèõ õàðàêòåðèñòèê ñóùåñòâóþò èíâàðèàíòû Ðèìàíà óðàâíåíèé îäíîìåðíûõ äâèæåíèé ïîëèòðîïíîãî ãàçà ρt + uρx + ρux = 0 ut + uux + 1 ρ px = 0 p + up + γpu = 0. t x x Îòâåò: dx dt = u(x, t) : p ρ−γ = const (ïîñòîÿíñòâî ýíòðîïèè íà êîíòàêòíîé õàðàêòåðèñòèêå) 40. Âûÿñíèòü, ïðè êàêîé çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè çâóêà c = c(ρ, p) îò ïëîòíîñòè ρ è äàâëåíèÿ p ñóùåñòâóþò èíâàðèàíòû Ðèìàíà r± , ñîõðàíÿþùèåñÿ 34 íà çâóêîâûõ õàðàêòåðèñòèêàõ dx/dt = u ± c ñèñòåìû óðàâíåíèé îäíîìåðíîé ãàçîâîé äèíàìèêè ρt + uρx + ρux = 0 ut + uux + ρ1 px = 0 p + up + ρc2 u = 0. t Îòâåò: c(ρ, p) = a(p) , ρ r± = u ± x R dp , a(p) x a(p) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. 41. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ∂t u + ∂x ψ(u) = 0. (24) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé âåòâè óäàðíîé àäèàáàòû êàñàòåëüíûé âåêòîð ê ýòîé âåòâè â öåíòðå àäèàáàòû u = u0 ÿâëÿåòñÿ ïðàâûì ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû A(u0 ) = ψ 0 (u0 ). 42. Èùåòñÿ àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå u = u(ξ), ξ = x/t, ñòðîãî ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ∂t u + A(u) ∂x u = 0. Ïîêàçàòü, ÷òî íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîãî ðåøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà r(u) · ∇u c(u) 6= 0 õîòÿ áû äëÿ îäíîãî èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé c(u) ìàòðèöû A(u) (çäåñü r ïðàâûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A, îòâå÷àþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ c). Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ïîëå c(u) óäîâëåòâîðÿåò äàííîìó óñëîâèþ (óñëîâèå èñòèííîé íåëèíåéíîñòè ïî Ëàêñó), òî ðåøåíèå u(ξ) ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé r(u) du = . dξ r(u) · ∇u c(u) 43. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ïîëå c(u) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî âûðîæäåííûì ïî Ëàê- ñó, åñëè r(u) · ∇u c(u) ≡ 0 äëÿ ïðàâîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà r, ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ c. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè c(u) ïðîñòîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû A(u) = ψ 0 (u) ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ (24), òî òîãäà âåòâü óäàðíîé àäèàáàòû D (u − u0 ) = 35 ψ(u) − ψ(u0 ), êàñàþùàÿñÿ â òî÷êå u = u 0 âåêòîðà r(u0 ), ñîâïàäàåò ñ èíòåãðàëüíîé êðèâîé u = u(s) ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé du = r(u), u|s=0 = u0 . ds Ïðè ýòîì äëÿ ñêîðîñòè óäàðíîé âîëíû âûïîëíåíî ðàâåíñòâî D = c(u). 44. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè ρt + uρx + ρux = 0, ut + uux + 1 px = 0, ρ st + usx = 0, p çâóêîâûå õàðàêòåðèñòèêè dx/dt = u ± c (çäåñü c = p = p(ρ, s) pρ (ρ, s) ñêîðîñòü çâóêà) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ èñòèííîé íåëèíåéíîñòè ïî Ëàêñó, åñëè óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ p = g(τ, s), τ = 1/ρ, òàêîâî, ÷òî gτ τ (τ, s) > 0. Ïîêàçàòü, ÷òî êîíòàêòíûå õàðàêòåðèñòèêè dx/dt = u ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî âûðîæäåííûìè ïî Ëàêñó. 45. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ìàññû, èìïóëüñà è ýíåðãèè îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ïîëèòðîïíîãî ãàçà ρt + (ρu)x = 0 (ρu)t + (ρu2 + p)x = 0 ¡ 1 p + 1 ρu2 ¢ + ¡ 1 ρu3 + γ−1 2 2 t γ γ−1 pu ¢ x = 0.  ïðîñòðàíñòâå òî÷åê (ρ, u, p) íàéòè ïðîåêöèè óäàðíîé àäèàáàòû, îòâå÷àþùåé çàäàííîìó ñîñòîÿíèþ (ρ0 , u0 , p0 ) ïî îäíó èç ñòîðîí ñèëüíîãî ðàçðûâà, íà êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè: (a) ρ = ρ0 ; (b) u = u0 . 46. Çàïèñàòü â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå óðàâíåíèÿ âåòâè óäàðíûõ âîëí äëÿ óäàðíîé àäèàáàòû ïîëèòðîïíîãî ãàçà â ïðîñòðàíñòâå (ρ, u, p) ñ öåíòðîì (ρ0 , u0 , p0 ), èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ÷èñëî Ìàõà M = |u0 − D|/c0 , p ãäå D ñêîðîñòü óäàðíîé âîëíû, c0 = γp0 /ρ0 . Îòâåò: © ρ = ρ0 1 + 2(M 2 −1) (γ−1)M 2 +2 ª , u = u0 ± 36 2|M 2 −1| (γ+1)M c0 , © p = p0 1 + 2γ (M 2 γ+1 ª − 1) . 47. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû óðàâíåíèé ëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè ∂ui ∂vi = , ∂t ∂x ρ0 ∂vi ∂ ∂Φ = ∂t ∂x ∂ui (i = 1, 2, 3) ñ ïîòåíöèàëîì Φ(u1 , u2 , u3 ) = 1 1 µ (u21 + u22 ) + (λ + 2µ) u23 , 2 2 ãäå 0 < ρ0 = const ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà â íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè, ui ïåðåìåùåíèÿ, vi ñêîðîñòè, λ, µ êîýôôèöèåíòû Ëàìå (λ > 0, µ > 0). ßâëÿåòñÿ ëè ýòà ñèñòåìà ãèïåðáîëè÷åñêîé? q q = cj (j = 1, ..., 6), ãäå c1,2 = ρµ0 , c3,4 = − ρµ0 (ïîïåðå÷íûå âîëíû); q c5,6 = ± λ+2µ (ïðîäîëüíûå âîëíû); ñèñòåìà ãèïåðáîëè÷íà. ρ0 dx dt Îòâåò: 48. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñêîðîñòè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé êâàçèïîïåðå÷íûõ âîëí ∂t ui = ∂x vi , ρ0 ∂t vi = ∂x Φui (i = 1, 2) â èçîòðîïíîé íåëèíåéíîé ñðåäå ñ óïðóãèì ïîòåíöèàëîì Φ(u1 , u2 ) = Îòâåò: c1,2 1 1 µ (u21 + u22 ) + κ2 (u21 + u22 )2 2 4 q 2 2 2 µ+κ (u1 +u2 ) =± , ρ0 q c3,4 = ± (κ = const) µ+3κ2 (u21 +u22 ) . ρ0 49. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè è èíâàðèàíòû Ðèìàíà ñèñòåìû óðàâíåíèé ïðîäîëüíûõ íåëèíåéíûõ óïðóãèõ âîëí â ñòåðæíå u t = vx , ρ0 vt = σx , ãäå σ = σ(u) íàïðÿæåíèå (σ 0 (u) > 0). Îòâåò: dx dt q =± σ 0 (u) ρ0 : r± (u, v) = v ∓ Ru q σ0 (ξ) 0 ρ0 dξ. 50. Ïîêàçàòü, ÷òî óäàðíàÿ àäèàáàòà (10) äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé íåëèíåéíûõ óïðóãèõ âîëí â ñòåðæíå èìååò â ñâîåì öåíòðå (u0 , v0 ) âòîðîé ïîðÿäîê êàñàíèÿ ñ ëèíèÿìè óðîâíÿ èíâàðèàíòîâ Ðèìàíà r± (u, v) = r± (u0 , v0 ). 37 51. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè è èíâàðèàíòû Ðèìàíà äëÿ óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ èäåàëüíîãî æåñòêîïëàñòè÷åñêîãî òåëà ïðè ïëîñêîé äåôîðìàöèè ¶ ∂θ ∂θ cos 2θ + sin 2θ = 0, ∂x ∂y µ ¶ ∂σ ∂θ ∂θ − 2k sin 2θ − cos 2θ = 0, ∂y ∂x ∂y ãäå σ(x, y) = (σ11 + σ22 )/2 ñðåäíåå íàïðÿæåíèå, k = const ïðåäåë ∂σ − 2k ∂x µ òåêó÷åñòè ïðè ñäâèãå (ìàêñèìàëüíîå êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå), θ(x, y) óãîë íàêëîíà ëèíèè ìàêñèìàëüíîãî êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ â òî÷êå (x, y). dy dx Îòâåò: dy dx = tg θ : σ − 2kθ = const; = −ctg θ : σ + 2kθ = const. 52. Ðàññìàòðèâàþòñÿ óðàâíåíèÿ ïëîñêîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ æåñòêîïëàñòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà ïðè óñëîâèè òåêó÷åñòè Ìèçåñà, èìåþùèå âèä ´ ∂ω √ ∂ω ∂ϕ + 3 sin ω sin 2ϕ − 2 sin ω = 0, ∂x ∂y ∂y ´ ∂ω √ ∂ω ³√ ∂ϕ 3 sin ω sin 2ϕ − 3 sin ω cos 2ϕ + cos ω + 2 sin ω = 0, ∂x ∂y ∂x ãäå ôóíêöèÿ ω(x, y) ñâÿçàíà ñ ãëàâíûìè íàïðÿæåíèÿìè σ1 è σ2 ôîðìó³√ 3 sin ω cos 2ϕ − cos ω ëàìè ³ ³ π´ π´ σ1 = 2k cos ω − , σ2 = 2k cos ω + 6 6 (çäåñü k = const ïðåäåë òåêó÷åñòè), à ϕ(x, y) óãîë ìåæäó ïåðâûì ãëàâíûì íàïðàâëåíèåì òåíçîðà íàïðÿæåíèé è îñüþ Ox. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè è èíâàðèàíòû Ðèìàíà äàííîé ñèñòåìû â îáëàñòè åå ãèïåðáîëè÷íîñòè. dy dx Îòâåò: ¡π 6 √ = √ 3√ sin ω sin 2ϕ± 3−4 cos2 ω 3 sin ω cos 2ϕ−cos ω <ω< 5π 7π , 6 6 <ω< 11π 6 ¢ : ϕ∓ Rω π/6 √ 3−4 cos2 s 2 sin s ds = const, . 53. Âûâåñòè óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíàßêîáè äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé ñèñòåìû äâóìåðíûõ óðàâíåíèé ëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè ρ0 ∂v1 ∂σ11 ∂σ12 = + , ∂t ∂x ∂y 38 ρ0 ∂v2 ∂σ21 ∂σ22 = + , ∂t ∂x ∂y ∂σ11 ∂v1 ∂v2 ∂σ22 ∂v1 ∂v2 = (λ + 2µ) +λ , =λ + (λ + 2µ) , ∂t ∂x ∂y ∂t ∂x ∂y µ ¶ ∂σ12 ∂v1 ∂v2 =µ + , (σ12 = σ21 ), ∂t ∂x ∂y ãäå v = (v1 , v2 ) âåêòîð ñêîðîñòè, σij êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé. Îòâåò: ϕt = 0, ϕt = ± q µ ρ0 q p ϕ2x + ϕ2y , ϕt = ± λ+2µ ρ0 p ϕ2x + ϕ2y . 54. Ðàññìàòðèâàþòñÿ óðàâíåíèÿ õèìè÷åñêîé ñîðáöèè (4) äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñè ñ èçîòåðìîé Ëåíãìþðà f (u) = ¢ 1¡ Γ1 u1 , Γ2 u2 , p p(u1 , u2 ) = 1 + Γ1 u1 + Γ2 u2 , ãäå Γk êîýôôèöèåíòû Ãåíðè (0 < Γ1 < Γ2 ). Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè u1 > 0, u2 > 0 ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: (a) λ ∈ R ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû f 0 (u) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà λ êîðåíü óðàâíåíèÿ Γ21 u1 Γ22 u2 + = p; Γ1 − pλ Γ2 − pλ (25) (b) ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λj ìàòðèöû f 0 (u) âåùåñòâåííû è ðàçëè÷íû: 0 < λ1 < Γ1 /p < λ2 < Γ2 /p (ãèïåðáîëè÷íîñòü óðàâíåíèé ëåíãìþðîâñêîé ñîðáöèè). 55. Ïðîâåðèòü, ÷òî óðàâíåíèÿ õèìè÷åñêîé ñîðáöèè (4) ïðåîáðàçóþòñÿ çàìåíîé íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ τ = vt − x, ξ = x ê âèäó ∂τ f (u) + ∂ξ u = 0. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ ìàòðèöû f 0 (u), çàäàâàåìîãî óðàâíåíèåì (25), ôóíêöèÿ r = p λ ÿâëÿåòñÿ äëÿ õàðàêòåðèñòèêè dτ /dξ = λ èíâàðèàíòîì Ðèìàíà: (∂ξ + λ∂τ ) r = 0. 39 56. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé â èíâàðèàíòàõ Ðèìàíà ∂ξ r1 + r12 r2 ∂τ r1 = 0, ∂ξ r2 + r1 r22 ∂τ r2 = 0. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèè 1 u1 = Γ2 − Γ1 µ ¶µ ¶ Γ1 Γ1 −1 −1 , r1 r2 1 u2 = Γ1 − Γ2 µ ¶µ ¶ Γ2 Γ2 −1 −1 r1 r2 ñ ïîñòîÿííûìè Γ1 6= Γ2 óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé ëåíãìþðîâñêîé ñîðáöèè äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñè µ ∂ξ u1 + ∂τ Γ1 u1 1 + Γ1 u1 + Γ2 u2 ¶ = 0, µ ∂ξ u2 + ∂τ Γ2 u2 1 + Γ 1 u1 + Γ 2 u2 ¶ = 0. 57. Ïîêàçàòü, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíûì ñëåäñòâèåì ãàçîäèíàìè÷åñêèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ìàññû è èìïóëüñà ρt + div(ρu) = 0, (ρu)t + div(ρu ⊗ u + pI) = 0 ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ρtt − c20 4ρ 3 X ∂ 2 Tij = , ∂x ∂x i j i,j=1 ãäå c0 ñêîðîñòü çâóêà â ïîêîÿùåìñÿ ãàçå, Tij = ρui uj + (p − c20 ρ) δij (i, j = 1, 2, 3) êîìïîíåíòû òåíçîðà àêóñòè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé, u = (u1 , u2 , u3 ) âåêòîð ñêîðîñòè, p äàâëåíèå, δij ñèìâîëû Êðîíåêêåðà. 58. Ïîêàçàòü, ÷òî ïîòåíöèàë ϕ ïîëÿ ñêîðîñòåé u = ∇ϕ áåçâèõðåâîãî èçýíòðîïè÷åñêîãî òå÷åíèÿ ãàçà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ µ ¶ 1 2 dt ϕt + |∇ϕ| = c2 4 ϕ, 2 ãäå c ñêîðîñòü çâóêà. 40 (dt = ∂t + ∇ϕ · ∇) 59. Ïîêàçàòü, ÷òî ñëàáîíåëèíåéíûå àêóñòè÷åñêèå âîëíû â ïîëèòðîïíîì ãàçå îïèñûâàþòñÿ ïðèáëèæåííûì (ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí òðåòüåãî ïîðÿäêà ìàëîñòè) óðàâíåíèåì µ ¶ ∂ γ−1 2 2 ϕt + |∇ϕ| = 0, ϕtt − 4 ϕ + ∂t 2c20 ãäå γ ïîêàçàòåëü ïîëèòðîïû, c0 ñêîðîñòü çâóêà â ïîêîÿùåìñÿ ãàçå. c20 60. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé àêóñòèêè â ïîòîêå ãàçà, èìåþùåãî ïëîòíîñòü ρ0 = const è äâèæóùåãîñÿ ñ çàäàííîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u0 , ρ0 dt u + ∇ p = 0, dt p + ρ0 c20 div u = 0 (dt = ∂t + u0 · ∇) âûïîëíåí èíòåãðàëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè 1 d 2 dt ¶ ¶ ZZZ µ ZZ µ p2 1 p2 2 2 ρ0 |u| + dΩ + ρ0 |u| + u0 · n dS+ ρ0 c20 2 ρ0 c20 Ω S ZZ + p u · n dS = 0, S 3 ãäå Ω ⊂ R ïðîèçâîëüíàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé S è åäèíè÷íîé âíåøíåé íîðìàëüþ n ê íåé. 61. Äëÿ óðàâíåíèé àêóñòèêè â ãàçå, äâèæóùåìñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u0 = (u0 , 0, 0), íàéòè çâóêîâûå õàðàêòåðèñòèêè è ñîîòâåòñòâóþùèå èì áèõàðàêòåðèñòèêè, åñëè ïðè t = 0 êàæäàÿ èç ýòèõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé ñôåðà |x| = R. Îòâåò: (x + u0 t)2 + y 2 + z 2 = (R ± c0 t)2 õàðàêòåðèñòèêè; ¡ x = 1± c0 t R ¢ x0 − u0 t, ¡ y = 1± c0 t R ¢ y0 , ¡ z = 1± c0 t R ¢ z0 áèõàðàêòåðè- ñòèêè. 62. Ïóñòü çàâèñèìîñòü ôóíêöèè p(x, t) îò ïåðåìåííûõ x = (x, y, z) è t çàäàíà íåÿâíî ñîîòíîøåíèåì p = f (x · k(p) + c0 t |k(p)|), 41 ãäå f, k ∈ C 2 . Ïîêàçàòü, ÷òî p ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ptt = c20 4p (ôóíêöèîíàëüíî èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå Ñìèðíîâà Ñîáîëåâà). 63. Íàéòè îáùèé âèä ðåøåíèÿ òèïà ñôåðè÷åñêîé âîëíû p = p(|x|, t) äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ. Îòâåò: p = 1 |x| ¡ ¢ f (|x| − c0 t) + g(|x| + c0 t) , f, g ïðîèçâîëüíûå ãëàäêèå ôóíêöèè. 64. Èçëó÷åíèå çâóêà øàðîì ðàäèóñà r0 , ïóëüñèðóþùèì ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé ω , îïèñûâàåòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ur (x, t) = U cos ωt (U = const 6= 0) ïðè |x| = r0 äëÿ ðàäèàëüíîé êîìïîíåíòû ur ñêîðîñòè ãàçà u. Ðàçûñêèâàÿ ðåøåíèå óðàâíåíèé àêóñòèêè â âèäå ñôåðè÷åñêîé âîëíû, óõîäÿùåé îò èñòî÷íèêà çâóêà (ò.å. çàâèñÿùåé îò |x| − c0 t), íàéòè ïîëå äàâëåíèÿ p â îáëàñòè |x| > r0 . Îòâåò: p(x, t) = Re n a |x| iω(t−|x|/c0 ) o e , a= iρ0 c0 r0 mU 1+im eim ¡ m= ωr0 c0 ¢ . 65. Íàéòè ïîòîê àêóñòè÷åñêîé ýíåðãèè I ÷åðåç ñôåðó SR : |x| = R, Z I= p u · n dS, SR äëÿ èñòî÷íèêà çâóêà ÷àñòîòû ω â ïîêîÿùåìñÿ ãàçå, ñîçäàþùåãî ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ p(x, t) = a|x|−1 cos ω(t − |x|/c0 ). Îòâåò: I = 4πa2 ρ0 c0 ¡ 2 cos [ω(t − R/c0 )] + c0 2ωR ¢ sin[2ω(t − R/c0 )] . 66. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, îïèñûâàþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â ñðåäå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ε è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ µ, èìåþò âèä bt + rot e = 0, µ ε et − rot b = 0, div e = 0, div b = 0. Ïîêàçàòü, ÷òî âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ e è âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè b óäîâëåòâîðÿþò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ. ×åìó ðàâíà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí? 42 67. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ñïðàâåäëèâ èíòåãðàë ýíåðãèè 1 d 2 dt ¶ ZZZ µ 2 µε |e| + | b| 2 ZZ dΩ + Ω s · n dΓ = 0, Γ ãäå s = e × b âåêòîð ÓìîâàÏîéíòèíãà (âåêòîð ïîòîêà ýíåðãèè), Ω ⊂ R3 ïðîèçâîëüíàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ = ∂Ω, n îðò âíåøíåé íîðìàëè. 68. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû óðàâíåíèé ìàãíèòíîé ãàçîâîé äèíàìèêè ρt + uρx + ρux = 0, ρ (ut + uux ) + px = j b, pt + upx + γpux = σ −1 (γ − 1)j 2 , bt + ex = 0, µ ε et + bx + µ j = 0. Çäåñü j = σ(e − ub) òîê â ãàçå, σ = const åãî ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîâîäèìîñòü. Îòâåò: c1 = u; c2,3 = u ± q γp ; ρ c4,5 = ± √1µε . 69. Íàéòè õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèé îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà ñ áåñêîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòüþ ρt + uρx + ρux = 0, bt + ubx + bux = 0, ρ (ut + uux ) + px + µ1 bbx = 0, Îòâåò: q c1,2 = u; c3,4 = u ± γp ρ pt + upx + γpux = 0. b2 . µρ + 70. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå òèïà ïðîñòîé öåíòðèðîâàííîé âîëíû ñ ïëîòíîñòüþ ρ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ïðîñòîé âîëíû äëÿ óðàâíåíèé áåñêîíå÷íî ïðîâîäÿùåãî ãàçà ñ ïîêàçàòåëåì ïîëèòðîïû γ = 2. Îòâåò: b = Aρ, √ u = 2k ρ, ³ p= k2 32 − A2 2µ ´ ρ2 , ρ= ¡ x ¢2 kt (A, k = const). 71. Ïîêàçàòü, ÷òî íà õàðàêòåðèñòèêàõ x = x(t) óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ßêîáè (16) âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ dϕ = 0, dt 43 dϕt = Ht . dt 72. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî êîðíÿ τ = H(ξ; x, t) õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ det (τ I + 3 P i=1 ξi Ai ) = 0 ñèñòåìû (14) ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó Ýéëåðà H= 3 X ξi ∂ξi H. i=1 73. Íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ßêîáè ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè òèïà ïëîñêîé âîëíû ϕt = H(∇x ϕ), ϕ(x, 0) = k · x (k ∈ R3 ïîñòîÿííûé âåêòîð) ïðè óñëîâèè, ÷òî ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîîäíîðîäíîé ôóíêöèåé ïåðâîé ñòåïåíè: H(λp) = λH(p) (λ > 0). Îòâåò: ϕ(x, t) = k · x + H(k) t. 74. Èçâåñòíî, ÷òî âîëíîâîé ôîíò Γ(t) ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ut + x vy = 0, v t + y ux = 0 è ïðè t = 0 çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì Γ0 : ϕ0 (x, y) = 0. Îïðåäåëèòü òðàåêòîðèþ ëó÷à â ïëîñêîñòè (x, y), èñõîäÿùåãî èç òî÷êè (x0 , y0 ) ∈ Γ0 . Íàéòè ïîëîæåíèå ôðîíòà â ìîìåíò âðåìåíè t > 0, åñëè ïðè t = 0 îí èìåë ôîðìó ãèïåðáîëû xy = 1 è âîçìóùåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â îáëàñòü xy < 1. Îòâåò: (x/x0 )x0 p0 = (y/y0 )y0 q0 , p0 = ∂x ϕ0 (x0 , y0 ), q0 = ∂y ϕ0 (x0 , y0 ); 44 xy = e−t . 2. Äèñïåðãèðóþùèå âîëíû 2.1. Äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå Ðàññìàòðèâàþòñÿ âîëíîâûå ïðîöåññû, îïèñûâàåìûå ëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè n X m X bsp ∂ts ∂xp u(x, t) = 0. (26) s=0 p=0 Çäåñü t âðåìÿ, x ∈ R ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ, à êîýôôèöèåíòû bsp è ðåøåíèå u ìîãóò áûòü êîìïëåêñíûìè. Âîëíà, îïèñûâàåìàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûì ðåøåíèåì u(x, t) = a ei(kx−ωt) , (27) íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûì âîëíîâûì ïàêåòîì. Çäåñü a àìïëèòóäà âîëíû, k âîëíîâîå ÷èñëî, ω ÷àñòîòà, θ = kx − ωt ôàçà âîëíû.  ñëó÷àå âåùåñòâåííûõ ïàðàìåòðîâ (Im k = 0 è Im ω = 0) âîëíîâîå ÷èñëî óêàçûâàåò êîëè÷åñòâî âîëí, óêëàäûâàþùèõñÿ íà îòðåçêå îñè x äëèíû 2π , à ÷àñòîòà êîëè÷åñòâî ãðåáíåé èëè âïàäèí, ïðîõîäÿùèõ ìèìî íåïîäâèæíîãî íàáëþäàòåëÿ çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè 2π . Ñ óêàçàííûìè ïàðàìåòðàìè îïðåäåëåíû äëèíà âîëíû L = 2π/k è åå âðåìåííîé ïåðèîä T = 2π/ω . Êàæäîå ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå ôàçû θ ïåðåíîñèòñÿ ñî ñêîðîñòüþ cp = ω/k , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôà- çîâîé ñêîðîñòüþ. Ó÷èòûâàÿ ýòî, âîëíîâîé ïàêåò ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå áåãóùåé âîëíû u(x, t) = a exp ik(x − cp t), ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîòîðîé ðàâíà ôàçîâîé ñêîðîñòè. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè u â (27) äàåò ∂t u = −iω u è ∂x u = ik u. Ïîýòîìó äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (26) â âèäå âîëíîâûõ ïàêåòîâ ñ àìïëèòóäîé a 6= 0 íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ D(ω, k) = 0, 45 (28) ãäå ôóíêöèÿ D èìååò âèä D(ω, k) = m n X X bsp (−iω) s (ik) p . s=0 p=0 Ðàâåíñòâî (28), ñâÿçûâàþùåå ÷àñòîòó è âîëíîâîå ÷èñëî, íàçûâàåòñÿ äèñïåð- ñèîííûì ñîîòíîøåíèåì. Ïîñêîëüêó D(ω, k) ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ñòåïåíè n îòíîñèòåëüíî ω , óðàâíåíèå (28) ïðè çàäàííîì k èìååò â îáùåì ñëó÷àå n êîìïëåêñíûõ êîðíåé ωj = ωj (k) (j = 1, ..., n). Ñåìåéñòâî âîëíîâûõ ïàêåòîâ u(x, t) = a exp i(kx − ω(k) t) ñ ïðîèçâîëüíûì âîëíîâûì ÷èñëîì k è ÷àñòîòîé ω(k), ïîðîæäåííîé îäíèì ôèêñèðîâàííûì èç êîðíåé äèñïåðñèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ, íàçûâàåòñÿ âîëíîâîé ìîäîé. Êîëè÷åñòâî âîëíîâûõ ìîä äëÿ óðàâíåíèÿ (26) ñîâïàäàåò ñ ïîðÿäêîì ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî ïåðåìåííîé t. Çàâèñèìîñòü ôàçîâîé ñêîðîñòè cp (k) = ω(k)/k îò âîëíîâîãî ÷èñëà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïðîôèëü âîëíû, ñîñòîÿùåé èç íåñêîëüêèõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ çàäàííîé ìîäû ñ ðàçíûìè k , äåôîðìèðóåòñÿ â ðåçóëüòàòå ðàñïëûâàíèÿ ýòèõ ïàêåòîâ, áåãóùèõ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè. Óêàçàííîå ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé âîëí. Ñîîòâåòñòâåííî, âîëíû íàçûâàþòñÿ äèñïåðãèðóþùèìè, åñëè ω 00 (k) 6= 0. Ïðèìåð. Óðàâíåíèå Êëåéíà Ãîðäîíà Ôîêà utt − c20 uxx + α2 u = 0 (29) ñ âåùåñòâåííûìè ïîñòîÿííûìè c0 6= 0 è α äàåò äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå (28), â êîòîðîì D(ω, k) = −ω 2 + c20 k 2 + α2 . Ýòî ñîîòíîøåíèå ïîðîæäàåò äâå âîëíîâûå ìîäû ñ ÷àñòîòàìè p ω± (k) = ± c20 k 2 + α2 , âåùåñòâåííûìè ïðè k ∈ R. Äëÿ k > 0 ìîäà ñ ÷àñòîòîé ω+ (k) îïèñûâàåò âîëíû, áåãóùèå âïðàâî âäîëü îñè Ox, à ìîäà ñ ÷àñòîòîé ω− (k) âîëíû, ðàñ00 ïðîñòðàíÿþùèåñÿ âëåâî. Ïðè çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà α 6= 0 èìååì ω± (k) 6= 0 âîëíû ÿâëÿþòñÿ äèñïåðãèðóþùèìè.  ñëó÷àå α = 0 óðàâíåíèå (29) ïðåâðàùàåòñÿ â îäíîìåðíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå utt = c20 uxx . Åãî îáùåå ðåøåíèå ñîãëàñíî ôîðìóëå Äàëàìáåðà ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ áåãóùèõ âîëí u(x, t) = f (x − c0 t) + g(x + c0 t), à äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå ïðèâîäèò ê âîëíîâûì ìîäàì ñ ÷àñòîòàìè ω± (k) = ±c0 k è ôàçîâûìè ñêîðîñòÿìè cp = ±c0 .  ýòîì ñëó÷àå äèñïåðñèÿ îòñóòñòâóåò. Îòìåòèì, ÷òî (29) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà, êîòîðîå ïðèâîäèòñÿ â íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ξ = x − c0 t, η = x + c0 t ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó uξη = (α2 /4c20 ) u. Ýòà ôîðìà çàïèñè óðàâíåíèÿ (29) íàçûâàåòñÿ òåëåãðàôíûì 46 óðàâíåíèåì, ïîñêîëüêó äàííîå óðàâíåíèå îïèñûâàåò êîëåáàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âäîëü ïðîâîäíèêà áîëüøîé ïðîòÿæåííîñòè (ëèíèè ñâÿçè). Íàëè÷èå äèñïåðñèè ïðèâîäèò ê èñêàæåíèþ ñèãíàëà, ñîñòîÿùåãî èç ãàðìîíèê ñ íåñêîëüêèìè ÷àñòîòàìè. Ìåíåå âñåãî ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè áîëüøèõ k (òî åñòü â îáëàñòè âûñîêèõ ÷àñòîò ω ), òàê êàê ïðè k → ∞ p ôàçîâûå ñêîðîñòè c± (k) = ± c20 + α2 k −2 àñèìïòîòè÷åñêè ïîñòîÿííû: c± p (k) → ±c0 . 2.2. Ìíîãîìåðíûå âîëíîâûå ïàêåòû Äëÿ ñèñòåì l äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà (26) ñ èñêîìûì âåêòîðîì u = (u1 , ..., ul ) ýëåìåíòàðíûå âîëíîâûå ïàêåòû îïèñûâàþòñÿ ðåøåíèÿìè u(x, t) = a exp i(kx − ωt), ãäå a = (a1 , ..., al ) àìïëèòóäíûé âåêòîð. Ïðèìåð. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà dt u + A ∂x u = 0 (30) äëÿ n-ìåðíîãî âåêòîðà u = (v, u1 , u2 , ..., un−1 ), n > 2, ñ îïåðàòîðîì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ dt = ∂t + v∂x . Âûäåëåííàÿ êîìïîíåíòà v èñêîìîé âåêòîð-ôóíêöèè u çäåñü èìååò ñìûñë ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ ÷àñòèö ñïëîøíîé ñðåäû âäîëü òðàåêòîðèé dx/dt = v(x, t). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ cj (j = 1, ..., n) ïîñòîÿííîé ìàòðèöû A ïîðÿäêà n × n âåùåñòâåííû è ðàçëè÷íû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëèíåàðèçàöèÿ óðàâíåíèé (30) íà ñîñòîÿíèè ïîêîÿ u = 0 äàåò ãèïåðáîëè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ∂t u + A ∂x u = 0. Îòûñêàíèå åå ðåøåíèé â âèäå ýëåìåíòàðíîãî âîëíîâîãî ïàêåòà u(x, t) = a exp i(kx − ωt) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ (A − cI)a = 0 äëÿ àìïëèòóäíîãî âåêòîðà a, ãäå c = ω/k ôàçîâàÿ ñêîðîñòü. Ðåøåíèÿ ñ íåíóëåâîé àìïëèòóäîé âîçìîæíû òîëüêî ïðè óñëîâèè det (A − cI) = 0, êîòîðîå è ÿâëÿåòñÿ äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì.  ñèëó ãèïåðáîëè÷íîñòè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ÷àñòîòû ωj (k) = cj k (j = 1, ..., n) âåùåñòâåííû äëÿ âñåõ âîëíîâûõ ìîä. Çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (30) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ t̃ = t, x̃ = x − u0 t, ṽ = v − u0 , ũi = ui (i = 1, ..., n − 1), îçíà÷àþùåãî ïåðåõîä â ñèñòåìó îòñ÷åòà, äâèæóùóþñÿ ñî ñêîðîñòüþ u0 = const. Ëèíåàðèçàöèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû (30) íà ïîñòîÿííîì ðåøåíèè u = (u0 , 0, ..., 0) äàåò ñèñòåìó 47 óðàâíåíèé ìàëûõ âîçìóùåíèé ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ îòíîñèòåëüíî äâèæóùåãîñÿ íàáëþäàòåëÿ ∂t u + à ∂x u = 0 ñ ìàòðèöåé à = A + u0 I . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîëó÷åííîå ðàíåå äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå ïîçâîëÿåò íàéòè ïðåîáðàçîâàííóþ ôàçîâóþ ñêîðîñòü ïî ôîðìóëå c̃ = ω̃(k)/k , ãäå ÷àñòîòà âîëíû ω̃ â äâèæóùåéñÿ ñèñòåìå îòñ÷åòà ñâÿçàíà ñ ÷àñòîòîé ω â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå ñîîòíîøåíèåì ω̃ = ω − u0 k. Óêàçàííîå èçìåíåíèå ÷àñòîòû âîëíû ïðè ïåðåõîäå â äâèæóùóþñÿ ñèñòåìó îòñ÷åòà â òåîðèè âîëí íàçûâàåòñÿ ýôôåêòîì Äîïïëåðà, à ïîïðàâêà ê ÷àñòîòå, ðàâíàÿ âåëè÷èíå u0 k ñäâèãîì Äîïïëåðà.  ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå âîëíîâûå ìîäû ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (30), ëèíåàðèçîâàííîé íà ïîñòîÿííîì ðåøåíèè, îáëàäàþò ñâîéñòâîì ω 00 (k) ≡ 0, òàê ÷òî âñå ôàçîâûå ñêîðîñòè îêàçûâàþòñÿ íå çàâèñÿùèìè îò âîëíîâîãî ÷èñëà. Äàííîå ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíûì èìåííî äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ âîëí.  ïðîñòðàíñòâåííîì ñëó÷àå x ∈ R3 ýëåìåíòàðíûì âîëíîâûì ïàêåòîì íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà u(x, t) = a ei(k·x−ωt) , ãäå k = (k1 , k2 , k3 ) âîëíîâîé âåêòîð. Ïîâåðõíîñòüþ ïîñòîÿííîé ôàçû ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòü k1 x1 + k2 x2 + k3 x3 − ωt = const, êîòîðàÿ ïåðåìåùàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå R3 â íàïðàâëåíèè âåêòîðà k ñ íîðìàëüíîé ôàçîâîé ñêîðîñòüþ cp = ω/|k|. Çàäà÷à. Íàéòè íîðìàëüíûå ôàçîâûå ñêîðîñòè äëÿ òðåõìåðíûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ w(x, t) = a cos(k · x − ωt), a ∈ R3 , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå óðàâíåíèé ëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè (óðàâíåíèÿ Ëàìå) ρ0 wtt = (λ + µ) ∇ div w + µ4 w Çäåñü w = (w1 , w2 , w3 ) âåêòîð ïåðåìåùåíèé, 4 = ∂x21 +∂x22 +∂x23 , div w = w1x1 +w2x2 +w3x3 , ∇ = (∂x1 , ∂x2 , ∂x3 ); ρ0 = const ïëîòíîñòü ñðåäû, λ > 0, µ > 0 ïîñòîÿííûå Ëàìå. 48 Ðåøåíèå. Íàéäåì ñíà÷àëà ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ îñíîâíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ íà âåêòîð-ôóíêöèþ w(x, t), èìåþùóþ âèä êîñèíóñîèäàëüíîãî âîëíîâîãî ïàêåòà: 4w = −|k|2 a cos (k · x − ωt), ∇ div w = −k (a · k) cos (k · x − ωt). Îòñþäà è èç óðàâíåíèé Ëàìå ñëåäóåò, ÷òî àìïëèòóäíûé âåêòîð a, âîëíîâîé âåêòîð k è ÷àñòîòà ω äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâó (ρ0 ω 2 − µ|k|2 ) a = (λ + µ) k (a · k). (31) Äëÿ çàäàííîãî âåêòîðà k 6= 0 ïðåäñòàâèì àìïëèòóäíûé âåêòîð â âèäå a = |k|−2 (a · k) k + b, ãäå âåêòîð b îðòîãîíàëåí âîëíîâîìó âåêòîðó: b · k = 0. Ïðîåêöèè âåêòîðíîãî ðàâåíñòâà (31) íà íàïðàâëåíèå k è íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ýòîìó íàïðàâëåíèþ, äàþò ñèñòåìó óðàâíåíèé ¡ ¢ ρ0 ω 2 − (λ + 2µ) |k|2 a · k = 0, (ρ0 ω 2 − µ|k|2 ) b = 0. Åñëè a · k 6= 0, òî ñ íåîáõîäèìîñòüþ ïîëó÷àåì ω 2 = (λ + 2µ) |k|2 /ρ0 , è, êàê ñëåäñòâèå, b = 0.  ýòîì ñëó÷àå íàïðàâëåíèå âåêòîðà ïåðåìåùåíèé w ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì k, ò.å. âîëíîâîé ïàêåò ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëüíîé âîëíîé, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ ñ íîðìàëüíîé p ôàçîâîé ñêîðîñòüþ cp = ± (λ + 2µ)/ρ0 . Åñëè æå a·k = 0, íî ïðè ýòîì a 6= 0, òî òîãäà è b 6= 0, ïîýòîìó ïîëó÷àåì ω 2 = µ |k|2 /ρ0 . Ýòîò ñëó÷àé äàåò ïîïåðå÷íóþ âîëíó, â êîòîðîé âåêòîð ïåðåìåùåíèé w îðòîãîíàëåí íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, à íîðìàëüíàÿ p ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ðàâíà âåëè÷èíå cp = ± µ/ρ0 . Îòâåò: c2p = (λ + 2µ)/ρ0 (a · k 6= 0); c2p = µ/ρ0 (a · k = 0) 2.3. Äèññèïàöèÿ è íåóñòîé÷èâîñòü  ñëó÷àå, êîãäà ÷àñòîòà, çàäàâàåìàÿ äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì (28), îêàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé ω = ωre + iωim , âîëíîâîé ïàêåò èìååò âèä u(x, t) = a(t) ei(kx−ωre t) ñ çàâèñÿùèì îò âðåìåíè àìïëèòóäíûì ìíîæèòåëåì a(t) = a exp (ωim t). Åñëè ìíèìàÿ ÷àñòü ÷àñòîòû ω îòðèöàòåëüíà, ωim < 0, àìïëèòóäà âîëíû ýêñïîíåíöèàëüíî çàòóõàåò ïðè t → +∞ èìååò ìåñòî äèññèïàöèÿ. Ïðèìåð. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåàðèçîâàííîå óðàâíåíèå Áþðãåðñà ut + c0 ux = ν uxx 49 ñ ïîñòîÿííûìè c0 è ν > 0. Åäèíñòâåííàÿ âîëíîâàÿ ìîäà äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ çàäàåòñÿ ÷àñòîòîé ω(k) = c0 k − iνk 2 . Ïîñêîëüêó Im ω = −νk 2 < 0 ïðè k 6= 0, èìååò ìåñòî çàòóõàíèå âîëíû. Ýòî çàòóõàíèå îáóñëîâëåíî íàëè÷èåì â óðàâíåíèè âòîðîé ïðîèçâîäíîé uxx ñ êîýôôèöèåíòîì ν , èìåþùèì ñìûñë âÿçêîñòè ñïëîøíîé ñðåäû. Äëèííûå âîëíû (ïðåäåë k → 0) íàèìåíåå ïîäâåðæåíû äèññèïàöèè, à áîëüøàÿ âÿçêîñòü, íàîáîðîò, óñèëèâàåò çàòóõàíèå. Îòìåòèì, ÷òî ïðè c0 = 0 èñõîäíîå óðàâíåíèå ñîâïàäàåò ïî ôîðìå ñ óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè, äëÿ êîòîðîãî òàêæå õàðàêòåðíî ÿâëåíèå çàòóõàíèÿ âîëí.  ñëó÷àå ωim > 0 àìïëèòóäà íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò c ðîñòîì âðåìåíè íàáëþäàåòñÿ íåóñòîé÷èâîñòü âîëíîâîãî ïðîöåññà. Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ (26), âîçíèêàþùèå â ðåçóëüòàòå ëèíåàðèçàöèè áîëåå îáùèõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé, èçíà÷àëüíî ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìàëûõ âîçìóùåíèé â ñïëîøíîé ñðåäå. Òàêèì îáðàçîì, âîëíîâîé ïàêåò ñ ωim > 0 ìîæåò ìîäåëèðîâàòü òîëüêî íà÷àëüíóþ ñòàäèþ ðàçðóøåíèÿ íåóñòîé÷èâîãî âîëíîâîãî ïðîöåññà, ïîñêîëüêó ñ ðîñòîì âîçìóùåíèé èñõîäíîå ëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå òåðÿåò ñìûñë. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ ýëåìåíòàðíûé âîëíîâîé ïàêåò, èìåþùèé âåùåñòâåííóþ ÷àñòîòó (ωim = 0) è ïîñòîÿííóþ àìïëèòóäó a, îïèñûâàåò ðåãóëÿðíîå ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí, êîãäà âëèÿíèå äèññèïàöèè èëè íåóñòîé÷èâîñòè ïðåíåáðåæèìî ìàëî. 2.4. Ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü Câîéñòâî äèñïåðñèè ÿðêî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè âçàèìîäåéñòâèè âîëíîâûõ ïàêåòîâ u(x, t) = a cos(kx − ωt) ôèêñèðîâàííîé ìîäû ñ âåùåñòâåííîé ÷àñòîòîé ω = ω(k), èìåþùèõ îäèíàêîâóþ àìïëèòóäó, íî ðàçíûå âîëíîâûå ÷èñëà k . Äëÿ ñóììû äâóõ òàêèõ ïàêåòîâ èìååì a cos(kx − ωt) + a cos(k1 x − ω1 t) = ¶ µ ¶ µ ω1 − ω k1 + k ω1 + ω k1 − k x− t cos x− t , = 2a cos 2 2 2 2 ãäå ω1 = ω(k1 ). Âîëíîâîå äâèæåíèå, îïèñûâàåìîå äàííîé ñóììîé, èìååò âèä ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãðóïï âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ñî ñêîðîñòüþ (ω1 −ω)/(k1 −k).  ïðåäåëå ïðè k1 → k ñêîðîñòü îãèáàþùåé ñîâïàäàåò 50 ñ ïðîèçâîäíîé dω . dk êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ. Ìàêñèìàëüíàÿ àìïëèòóäà ãðåáíåé cg (k) = íåñóùåé âîëíû âíóòðè êàæäîé èç ãðóïï ïðèáëèæåííî ðàâíà óäâîåííîé àìïëèòóäå èñõîäíûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ, à ñêîðîñòü èõ ïåðåìåùåíèÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè cp (k). Äëÿ äèñïåðãèðóþùèõ âîëí ãðóïïîâàÿ è ôàçîâàÿ ñêîðîñòè íå ñîâïàäàþò. Çàäà÷à. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíîå óðàâíåíèå Áóññèíåñêà, îïèñûâàþùåå äëèííûå âîëíû ìàëîé àìïëèòóäû íà ìåëêîé âîäå utt − c20 uxx = 1 2 h uxxtt . 3 0 Çäåñü h0 ãëóáèíà æèäêîñòè â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ, g óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè, c0 = √ gh0 . Òðåáóåòñÿ íàéòè ôàçîâóþ ñêîðîñòü cp , ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü g è âûÿñíèòü, ÷åìó ðàâíÿþòñÿ ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ |cp | è |cg |. Ðåøåíèå. Ðàçûñêèâàÿ ðåøåíèå â âèäå ýëåìåíòàðíîãî âîëíîâîãî ïàêåòà u(x, t) = a exp(i(kx− ωt)), ïîëó÷àåì äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå µ ¶ 1 2 2 2 ω 1 + h0 k = c20 k 2 , 3 êîòîðîå çàäàåò äâå ìîäû, ñîîòâåòñòâóþùèå âîëíàì, ðàñïðîñòðàíÿþùèìñÿ âëåâî è âïðàâî. Îòñþäà äëÿ êàæäîé èç ìîä íàõîäèòñÿ ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ¶−1/2 µ 1 2 2 cp (k) = ±c0 1 + h0 k 3 è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü µ cg (k) = ±c0 1 1 + h20 k 2 3 ¶−3/2 . Ýòè ñêîðîñòè íå ñîâïàäàþò äðóã ñ äðóãîì ïðè âñåõ k 6= 0, ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûå âîëíû ÿâëÿþòñÿ äèñïåðãèðóþùèìè. Êðîìå òîãî, äëÿ îáåèõ ñêîðîñòåé ñïðàâåäëèâà îöåíêà |cp (k)| 6 c0 , |cg (k)| 6 c0 , ïðè÷åì ðàâåíñòâà äîñòèãàþòñÿ â äëèííîâîëíîâîì ïðåäåëå k = 0. Òàêèì îáðàçîì, ôàçîâàÿ è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòè äëÿ äàííîé âîëíîâîé ìîäåëè íå √ ïðåâîñõîäÿò ïî ìîäóëþ êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòè gh0 .  ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé cg (k) = ∇ω(k). Äëÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ äèñïåðãèðóþùèõ âîëí ìîãóò îòëè÷àòüñÿ íå 51 òîëüêî àáñîëþòíûå âåëè÷èíû, íî è íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòè. Ïðèìåð. Ïóñòü ÷àñòîòà ω ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé íóëåâîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî âîëíîâîãî âåêòîðà k, òî åñòü ω(λk, λl, λm) = ω(k, l, m) ïðè âñåõ λ > 0. Äèôôåðåíöèðîâàíèå óêàçàííîãî òîæäåñòâà ïî ïàðàìåòðó λ â òî÷êå λ = 1 äàåò ñîîòíîøåíèå k ∂ω ∂ω ∂ω +l +m = 0, ∂k ∂l ∂m (32) êîòîðîå îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîðà cg (k) è k ïåðïåíäèêóëÿðíû â êàæäîé òî÷êå k ∈ R3 . Îäíîðîäíîñòü ÷àñòîòû ÿâëÿåòñÿ è íåîáõîäèìûì óñëîâèåì îðòîãîíàëüíîñòè ãðóïïîâîé ñêîðîñòè âîëíîâîìó âåêòîðó. Äåéñòâèòåëüíî, ñîîòíîøåíèå (32) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè ω(k, l, m). Óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê äëÿ íåãî èìåþò âèä dk/k = dl/l = dm/m, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî îáùåå ðåøåíèå ω = ω(k/l, k/m) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé íóëåâîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ k, l, m. 2.5. Ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû Âîëíîâîé ïðîöåññ â äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îáû÷íî ïðèîáðåòàåò ðåãóëÿðíûé õàðàêòåð, äàæå åñëè ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí âûçâàíî íà÷àëüíûì âîçìóùåíèåì îáùåãî âèäà. Äëÿ çàäàííîé âîëíîâîé ìîäû ω = ω(k) ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñóïåðïîçèöèþ ýëåìåíòàðíûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ Z+∞ a(k) ei(kx−ω(k)t) dk. u(x, t) = (33) −∞ Âõîäÿùèé ñþäà àìïëèòóäíûé ìíîæèòåëü a(k) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíîé ôóíêöèåé u(x, 0) â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå 1 a(k) = 2π Z+∞ u(x, 0) e−ikx dx. −∞ Ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ (33) ïðè áîëüøèõ t óäîáíî ðàñìàòðèâàòü äëÿ ôèêñèðîâàííîãî îòíîøåíèÿ x/t = U , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèþ íàáëþäàòåëÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ U . Ââåäåì ôàçîâóþ ôóíêöèþ ψ(k) = kx/t − ω(k), ñ 52 êîòîðîé äëÿ v(t) = u(U t, t) èìååì Z+∞ a(k) eitψ(k) dk. v(t) = −∞ Äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè a(z) è ψ(z) ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z = k + il â ïîëîñå |Im z| < l0 ñ íåêîòîðûì l0 > 0. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðîìåæóòêè èíòåãðèðîâàíèÿ, íà êîòîðûõ ψ 0 (k) 6= 0, äàþò ïðè t → +∞ ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëûé âêëàä â ðåøåíèå.  îêðåñòíîñòè òî÷êè k0 , äëÿ êîòîðîé ψ 0 (k0 ) = 0, íî ψ 00 (k0 ) 6= 0, ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå ψ(z) = ψ(k0 ) + ¡ ¢ 1 (z − k0 )2 ψ 00 (k0 ) + O |z − k0 |3 , 2 è ïîýòîìó êàðòèíà ëèíèé óðîâíÿ Im ψ(z) = C âáëèçè òàêîé ñòàöèîíàðíîé òî÷êè àíàëîãè÷íà ñòðóêòóðå ëèíèé óðîâíÿ ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòè (k − k0 ) l = 6C/ψ 00 (k0 ). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè (33) ôàçà ñòàöèîíàðíà â òî÷êå k0 , îïðåäåëÿåìîé ñîîòíîøåíèåì ω 0 (k0 ) = U = x/t, ò.å. â òî÷êå, äâèæóùåéñÿ ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ cg (k0 ). Äåôîðìàöèÿ âåùåñòâåííîãî êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ â êîìïëåêñíóþ îáëàñòü è ïîñëåäóþùåå âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ïðèâîäÿò ê àñèìïòîòèêå s u(x, t) = ³1´ 2π i( k0 x−ω(k0 )t− π4 sign ω 00 (k0 )) +O a(k0 ) e . |ω 00 (k0 )|t t Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè t → +∞ íà÷àëüíîå âîçìóùåíèå ðàñïàäàåòñÿ íà ãðóïïû √ âîëíîâûõ ïàêåòîâ, àìïëèòóäà êîòîðûõ óáûâàåò êàê 1/ t. Äëÿ äèñïåðãèðóþùèõ ñðåä ïëîòíîñòü ïåðåíîñèìîé ýíåðãèè îáû÷íî îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó àìïëèòóäû ðåøåíèÿ |u(x, t)|2 . Ñîãëàñíî óêàçàííîé âûøå àñèìïòîòèêå ðåøåíèÿ ÷àñòü ýíåðãèè, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó òî÷êàìè xj = ω 0 (kj ) t (j = 1, 2), â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ñîõðàíÿåòñÿ: Zx2 Zk2 |u(x, t)|2 dx = 2π x1 |a(k)|2 dk. k1 53 Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýíåðãèÿ ïåðåíîñèòñÿ ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ, ïðè÷åì äèñïåðñèÿ âîëí ïðèâîäèò ê åå ðàññåÿíèþ â ïðîñòðàíñòâå. 2.6. Àñèìïòîòèêà â îêðåñòíîñòè ôðîíòà Îïèñàííîå ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ ïðè t → +∞ èìååò ìåñòî ïðè óñëîâèè ω 00 (k0 ) 6= 0. Óêàçàííîå óñëîâèå íàðóøàåòñÿ â òî÷êàõ ýêñòðåìóìà ãðóïïîâîé ñêîðîñòè, ãäå ω 00 (k0 ) = c0g (k0 ) = 0.  îêðåñòíîñòè òàêèõ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ðåøåíèå èìååò äðóãóþ àñèìïòîòèêó. Ïðè åå ïîñòðîåíèè ôàçîâàÿ ôóíêöèÿ ψ ââîäèòñÿ èíà÷å ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ψ(k) = kω 0 (k0 ) − ω(k), òàê ÷òî ôàçà ¡ ¢ âîëíû θ = kx − ωt ñâÿçàíà ñ ψ ðàâåíñòâîì θ = k x − cg (k0 )t + ψ(k) (ïðè ýòîì îòíîøåíèå x/t îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì).  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ôóíêöèè ψ(z) ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå ψ(z) = ψ(k0 ) + ¡ ¢ 1 (z − k0 )3 ψ 000 (k0 ) + O |z − k0 |4 , 6 ñîãëàñíî êîòîðîìó ðåøåíèå âèäà (33) â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = cg (k0 )t, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ c0g (k0 ) = 0, c00g (k0 ) 6= 0, èìååò àñèìïòîòèêó ³ 2´ x − cg (k0 ) t i( k0 x−ω(k0 )t) q Ai + O t− 3 . e 3 (1/2)|c00g (k0 )| t (1/2) |c00g (k0 )| t u(x, t) = q 3 2π a(k0 ) Àìïëèòóäíûé ìíîæèòåëü â ýòîé ôîðìóëå ñîäåðæèò ôóíêöèþ Ýéðè 1 Ai(x) = π Z+∞ 0 µ 1 cos kx + k 3 3 ¶ dk, êîòîðàÿ èìååò ñëåäóþùåå ïîâåäåíèå ïðè |x| → ∞ : ´ ³ 2 32 exp − 3 x 1 ³ ´ Ai(x) ∼ √ 1 3 2 π 2 π |x| 4 2 cos 3 |x| 2 − 4 (x → +∞), (x → −∞). Ãðàôèê ôóíêöèè Ýéðè äàåò îãèáàþùóþ êðèâóþ äëÿ âîëíîâûõ ïàêåòîâ, êîòîðàÿ ïåðåìåùàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ cg (k0 ). Ïðè ýòîì ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè íóëÿìè îãèáàþùåé â îáëàñòè åå îñöèëëÿöèé íåîãðàíè÷åííî óâåëè÷èâàåòñÿ ñ 54 ðîñòîì t. Òàêèì îáðàçîì, ôðîíò ïåðâîíà÷àëüíî ëîêàëèçîâàííîãî âîçìóùåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé ýêñòðåìàëüíîìó çíà÷åíèþ ãðóïïîâîé ñêîðîñòè. Ïðè ýòîì âáëèçè ôðîíòà âîëíîâûå ïàêåòû çàòóõàþò ìåäëåííåå (êàê t−1/3 ), ÷åì âíóòðè îáëàñòè äâèæåíèÿ. Ñîãëàñíî ïðèâåäåííîé àñèìïòîòèêå ôóíêöèè Ýéðè ïðè x → +∞ âîëíîâîå äâèæåíèå ýêñïîíåíöèàëüíî áûñòðî èñ÷åçàåò â íåâîçìóùåííîé îáëàñòè íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ôðîíòîì. 2.7. Íåëèíåéíàÿ äèñïåðñèÿ Ïðè îïèñàíèè íåëèíåéíûõ âîëí ñ äèñïåðñèåé â êà÷åñòâå ìîäåëüíîãî óðàâíåíèÿ ÷àñòî âîçíèêàåò óðàâíåíèå Êîðòåâåãàäå Ôðèçà (34) ut + uux + uxxx = 0. Ðîëü íåëèíåéíîñòè âûÿâëÿåòñÿ ïðè îòûñêàíèè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (34) â âèäå áåãóùåé âîëíû u(x, t) = v(x − ct), ãäå ôóíêöèÿ v óäîâëåòâîðÿåò îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ −cv 0 + vv 0 + v 000 = 0. Äâóêðàòíûì èíòåãðèðîâàíèåì îíî ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà v 02 = 1 (v − v1 )(v − v2 )(v3 − v), 3 (35) ãäå êîðíè êóáè÷åñêîãî ïîëèíîìà â ïðàâîé ÷àñòè ñâÿçàíû ñ êîíñòàíòàìè èíòåãðèðîâàíèÿ è ïàðàìåòðîì c ôîðìóëàìè Âèåòà.  ÷àñòíîñòè, v1 + v2 + v3 = 3c. Ðåøåíèÿ â âèäå ïåðèîäè÷åñêîé âîëíû ïîëó÷àþòñÿ äëÿ ïðîñòûõ âåùåñòâåííûõ êîðíåé v1 < v2 < v3 è äàþòñÿ êâàäðàòóðîé v3 √ Z p ± 3 v ds (s − v1 )(s − v2 )(v3 − s) = x − ct. Óêàçàííûé èíòåãðàë â îáùåì ñëó÷àå íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè, îäíàêî ïîäñòàíîâêîé s = v2 + (v3 − v2 ) cos2 ψ, v = v2 + (v3 − v2 ) cos2 ϕ 55 äàííàÿ çàâèñèìîñòü ñâîäèòñÿ ê ñîîòíîøåíèþ Zϕ p 0 dψ 1 − κ 2 sin2 ψ = ξ, (36) ãäå îáîçíà÷åíî κ2 = v3 − v2 , v3 − v1 p ξ = ± (v3 − v1 )/12 (x − ct). Ôóíêöèÿ ϕ = am(ξ; κ), îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì (36), íîñèò íàçâàíèå àìïëèòóäû ßêîáè, à åå ñóïåðïîçèöèÿ cn(ξ; κ) = cos am(ξ; κ) íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì êîñèíóñîì. Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé âîëíîâîé ïðîôèëü èìååò ôîðìó 2 u(x, t) = v2 + (v3 − v2 ) cn ¡p ¢ (v3 − v1 )/12 (x − ct) . Òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ êíîèäàëüíîé âîëíîé ïî ïðè÷èíå ïðèñóòñòâèÿ ôóíêöèè cn â åå îïðåäåëåíèè. Ôóíêöèÿ cn(ξ; κ) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ïî ξ c ïåðèîäîì, ðàâíûì âåëè÷èíå 2K(κ), ãäå π Z2 dψ p K(κ) = 1 − κ 2 sin2 ψ 0 ïîëíûé ýëëèïòè÷åñêèé èíòåãðàë. Ïðèìåð. Ê óðàâíåíèþ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà, çàïèñàííîìó â ôîðìå (34), ñâîäèòñÿ óðàâíåíèå µ η t + c0 3 1+ η 2h0 ¶ ηx + 1 c0 h20 ηxxx = 0 6 äëÿ ôóíêöèè η(x, t), äàþùåé âîçâûøåíèå ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè â íåëèíåéíîé äëèííîé âîëíå íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè êîíå÷íîé ãëóáèíû h0 . Ëèòåðàòóðà 1. Áõàòíàãàð Ï. Íåëèíåéíûå âîëíû â îäíîìåðíûõ äèñïåðñíûõ ñèñòåìàõ. Ì.: Ìèð, 1979. 136 ñ. 2. Ãàáîâ Ñ.À. Ââåäåíèå â òåîðèþ íåëèíåéíûõ âîëí. Ì.: Èçäàòåëüñòâî Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà. 1988. 176 ñ. 56 3. Æåðìåí Ï. Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä. Ì.: Ìèð, 1965. 480 ñ. 4. Íüþýëë À. Ñîëèòîíû â ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Íîâîêóçíåöê: ÈÎ ÍÔÌÈ. 1998. 322 ñ. 5. Ñíåääîí È. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ì.: Èçä-âî èíîñòðàííîé ëèòåðàòóðû, 1955. 667 ñ. 6. Ñîëèòîíû. Ðåä. Ð. Áóëëàô, Ô. Êîäðè. Ì.: Ìèð, 1983. 408 ñ. 7. Òîäà Ì. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ðåøåòîê. Ì.: Ìèð, 1984. 264 ñ. 8. Ôåäîðþê Ì.Â. Àñèìïòîòèêà. Èíòåãðàëû è ðÿäû. Ì.: Íàóêà. 1987. 544 ñ. 57 Çàäà÷è 1. Íàéòè ôàçîâóþ ñêîðîñòü cp (k) = ω(k)/k è ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü cg (k) = dω/dk äëÿ äèñïåðñèîííûõ ñîîòíîøåíèé ω = ω(k), ïîðîæäàåìûõ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè: (a) ut + c0 ux + c0 h20 uxxx = 0; (b) ut + c0 ux − h20 uxxt = 0 (çäåñü c0 > 0, h0 > 0 ïîñòîÿííûå). Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè âñåõ k > 0 âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà ω (a) (k) 6 ω (b) (k), (b) c(a) p (k) 6 cp (k), (b) c(a) g (k) 6 cg (k), â êîòîðûõ ðàâåíñòâà äîñòèãàþòñÿ òîëüêî ïðè k = 0. ×åìó ðàâíû ïðåäåëû (a) (a) (b) (b) îòíîøåíèé cg (k)/cp (k) è cg (k)/cp (k) â äëèííîâîëíîâîì (k → 0) è êîðîòêîâîëíîâîì (k → ∞) ïðèáëèæåíèÿõ? Ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé ω(k), cp (k), cg (k) ïðè −∞ < k < +∞ äëÿ óðàâíåíèé (a) è (b). Îòâåò: (b) (a) lim k→0 cg (k) (a) cp (k) = lim k→0 cg (k) (b) cp (k) (a) = 1, lim k→∞ cg (k) (a) cp (k) (b) = 3, lim k→∞ cg (k) (b) cp (k) = −1. 2. Èçâåñòíî, ÷òî ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü âîëí, îïèñûâàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè x, t è êîìïëåêñíûìè ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, âåùåñòâåííà è ñîâïàäàåò ñ óäâîåííîé ôàçîâîé ñêîðîñòüþ. Âîññòàíîâèòü âèä óðàâíåíèÿ, åñëè îíî èìååò (a) ïåðâûé ïîðÿäîê ïî t; (b) âòîðîé ïîðÿäîê ïî t. Îòâåò: (a) iut + γuxx = 0; (b) utt − i(γ1 + γ2 ) uxxt − γ1 γ2 uxxxx = 0 (γ, γ1 , γ2 ∈ R − const). 3. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ utt − c20 uxx + u = 0 ïðè ëþáûõ x1 , x2 ∈ R ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå áàëàíñà ýíåðãèè d dt Zx2 ¯x2 ¯ e(x, t) dx + f (x, t)¯¯ = 0 x1 x1 ñ ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè e = (u2t + c20 u2x + u2 )/2 è ïîòîêîì ýíåðãèè f = −c20 ux ut . 58 4. Ñêîðîñòü ïåðåíîñà ýíåðãèè âîëíîâûì ïàêåòîì u = a sin(kx − ωt) îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå U = F/E óñðåäíåííîãî çà âðåìåííîé ïåðèîä T = 2π/ω ïîòîêà ýíåðãèè ê ñðåäíåé ïî ïðîñòðàíñòâåííîìó ïåðèîäó L = 2π/k ïëîòíîñòè ýíåðãèè, F = 1 T tZ 1 +T f (x, t) dt, E= t1 1 L xZ1 +L e(x, t) dx. x1  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïîêàçàòü, ÷òî U ñîâïàäàåò ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ cg (k). 5. Ïîêàçàòü, ÷òî ëîêàëüíàÿ ÷àñòîòà ω , ëîêàëüíîå âîëíîâîå ÷èñëî k è ôàçà θ ãðóïïû âîëí, çàäàâàåìûå êàê ôóíêöèè îò x è t íåÿâíûì îáðàçîì ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé ω = W (k), x = W 0 (k) t, θ = kx − ωt, óäîâëåòâîðÿþò ïðè óñëîâèè W 00 (k) 6= 0 äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì kt + W 0 (k)kx = 0, θx = k, θt = −ω. 6. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ìîäû ω = ω(k) ñ äâóìåðíûì âîëíîâûì âåêòîðîì k = (k, l) âåêòîð ãðóïïîâîé ñêîðîñòè cg = (∂ω/∂k, ∂ω/∂l) ïðè âñåõ k 6= 0 îáðàçóåò ñ âîëíîâûì âåêòîðîì ïîñòîÿííûé óãîë α (0 6 α 6 π). Îïðåäåëèòü âèä çàâèñèìîñòè ω(k), äëÿ êîòîðîé ýòî âîçìîæíî. Îòâåò: ω(k) = f (|k| e± ϕ tg α ), ãäå ϕ = arctg(k/l), à ôóíêöèÿ f ∈ C 1 òàêîâà, ÷òî f 0 (ξ) > 0 (ξ ∈ R) ïðè 0 6 α < π/2, è f 0 (ξ) 6 0 (ξ ∈ R) ïðè π/2 < α 6 π ; ω(k) = f (k/l) ïðè α = π/2. 7. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ äèñïåðñèîííîé êðèâîé ω = ω(k), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ ω(0) = 0 è âûïóêëîé ïðè k > 0, ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü cg (k) = ω 0 (k) è ôàçîâàÿ ñêîðîñòü cp (k) = ω(k)/k èìåþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: (a) cg (k) > cp (k), åñëè ω 00 (k) > 0 ïðè âñåõ k > 0 (äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ âûïóêëà âíèç). 59 (b) cg (k) < cp (k), åñëè ω 00 (k) < 0 ïðè âñåõ k > 0 (äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ âûïóêëà ââåðõ). Ïîêàçàòü, ÷òî ýòè óòâåðæäåíèÿ ïåðåñòàþò áûòü âåðíûìè äëÿ ó÷àñòêîâ âûïóêëîñòè èëè âîãíóòîñòè äèñïåðñèîííîé êðèâîé ïðè íàëè÷èè òî÷åê ïåðåãèáà. 8. Ïîêàçàòü, ÷òî ðåçîíàíñ ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòåé cp (k0 ) = cg (k0 ) â òî÷êå k0 6= 0 ðàâíîñèëåí âûïîëíåíèþ ëþáîãî èç äâóõ ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ: (a) äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ ω = ω(k) êàñàåòñÿ â òî÷êå k = k0 ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò â ïëîñêîñòè (k, ω); (á) çíà÷åíèå âîëíîâîãî ÷èñëà k = k0 ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé äëÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè: c0p (k0 ) = 0. 9. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ èçîòðîïíûõ âîëí ω = ω(|k|) ñ ω(0) = 0 â ñëó÷àå ω 0 (k) > 0, ω 00 (k) < 0 âñåãäà ñóùåñòâóåò íàáîð âåêòîðîâ k1 , k2 , k3 , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì òðåõâîëíîâîãî ðåçîíàíñà k3 = k1 + k2 , ω(|k3 |) = ω(|k1 |) + ω(|k2 |), à â ñëó÷àå ω 0 (k) > 0, ω 00 (k) > 0 ýòèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðèòü íåâîçìîæíî. 10. Îïðåäåëèòü, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ âåùåñòâåííûõ ïàðàìåòðîâ a è b óñòîé÷èâû âñå âîëíîâûå ìîäû ñèñòåìû ( utt − a2 uxx + vxx = 0, vtt − b2 vxx + uxx = 0. Îòâåò: a2 b2 > 1. 11. Îïðåäåëèòü, çà êàêîå âðåìÿ T óìåíüøèòñÿ âäâîå àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà |u(x, t)| âîëíîâîãî ïàêåòà u = a exp i(kx − ωt) äëÿ óðàâíåíèÿ n X ut − νuxx + bs ∂x2s+1 u = 0, s=0 60 ãäå ν > 0 const, Îòâåò: bs = const (s = 1, ..., n). T = ln 2/(νk 2 ). 12. Íà÷àëüíûé âîëíîâîé ïðîôèëü u0 èìååò âèä ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òðåóãîëüíûõ èìïóëüñîâ, ñîñðåäîòî÷åííûõ íà ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëàõ Im = (xm − 2, xm + 2) (m = 1, ..., n): ( u0 (x) = 2 − |x − xm |, 0, x ∈ Im , x 6∈ Im (m = 1, ..., n). Íàéòè àìïëèòóäíûé ìíîæèòåëü a(k) äëÿ óêàçàííîé ôóíêöèè u0 . Îòâåò: n 2 sin2 k X ikxm a(k) = e . πk 2 m=1 13. Íàéòè àìïëèòóäíûé ìíîæèòåëü a(k), åñëè íà÷àëüíûå äàííûå u0 èìåþò âèä ìîäóëèðîâàííîãî âîëíîâîãî ïàêåòà: (a) u0 (x) = e−|x| cos k0 x; (b) u0 (x) = e−x 2 /2 cos k0 x (k0 = const). 1 1 + k 2 + k02 1 Îòâåò: (a) a(k) = ; (b) a(k) = √ e− 2 2 2 π[1 + (k + k0 ) ][1 + (k − k0 ) ] 2π ¡ k2 +k02 ¢ ch(kk0 ). 14. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ íà÷àëüíîé ôóíêöèè u0 (x), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ Z+∞ A = el0 |x| |u0 (x)| dx < ∞ def (l0 > 0) −∞ àìïëèòóäíàÿ ôóíêöèÿ a(k) äîïóñêàåò àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå â ïîëîñó |Im z| < l0 êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z = k + il, ãäå äëÿ íåå ñïðàâåäëèâû îöåíêè | a(z)| 6 A , 2π | a0 (z)| 6 A . 2πe (l0 − |Im z|) 15. Ïóñòü àìïëèòóäíàÿ ôóíêöèÿ a è ôàçîâàÿ ôóíêöèÿ ψ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì a(k) ∈ C 1 , ψ(k) ∈ C 2 , ψ 0 (k) 6= 0 (−∞ < k1 6 k 6 k2 < +∞). 61 Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè t → +∞ ñïðàâåäëèâà àñèìïòîòèêà Zk2 a(k) e k1 Óêàçàíèå: itψ(k) ¯k=k µ ¶ a(k) eitψ(k) ¯¯ 2 1 dk = + o . itψ 0 (k) ¯k=k1 t âîñïîëüçîâàòüñÿ ëåììîé Ðèìàíà Ëåáåãà. 16. Âîëíîâîå äâèæåíèå îïèñûâàåòñÿ ðåøåíèåì u(x, t) âèäà (33) ñ ìîäîé ω = ω(k) ∈ C 2 è íà÷àëüíûìè äàííûìè u(x, 0) = A0 (x) eik0 x , b0 ñ êîìïàêòíûì íîñèòåãäå ôóíêöèÿ A0 èìååò ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå A ëåì: Zr b0 (k) = 0 (|k| > r > 0), A b0 (k)| dk < ∞ |A M= −r (íà÷àëüíîå âîçìóùåíèå ñ óçêîïîëîñíûì ñïåêòðîì). Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ìàëûõ âðåìåíàõ t > 0 ðåøåíèå u èìååò âèä ìîäóëèðîâàííîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû: ¡ ¢ u(x, t) = A0 x − ω 0 (k0 )t ei(k0 x−ω(k0 )t) + ũ(x, t), ãäå ôóíêöèÿ ũ äîïóñêàåò ðàâíîìåðíóþ ïî x îöåíêó |ũ(x, t)| 6 1 M r2 t max |ω 00 (k)|. 2 |k−k0 |6r 17. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñòàöèîíàðíîé ôàçû íàéòè àñèìïòîòèêó èíòåãðàëà Z+∞ 1 3 ei (tk− 3 k ) e−k v(t) = −∞ ïðè t → +∞. Îòâåò: µ √ ¶ µ ¶ √ 2 π 2t t π 1 − v(t) = √ cos +O . 4 3 4 t e t 62 2 /t dk 18. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè Ýéðè â âèäå êîíòóðíîãî èíòåãðàëà â ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ζ = k + il 1 Ai(x) = 2π Z 1 3 ei(xζ+ 3 ζ ) dζ C √ ñ êîíòóðîì C = {k + il : l = (1/ 3)|k|}, ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ Ai(z) ÿâëÿåòñÿ öåëîé àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z = x + iy è óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ Ai00 (z) = zAi(z). √ √ 19. Èùåòñÿ àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå u(x, t) = (1/ 3 3t) v(x/ 3 3t) ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãàäå Ôðèçà ut + uxxx = 0. Êàêîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ôóíêöèÿ v(ξ)? Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ v = Ai(ξ) äàåò îäíî èç òàêèõ ðåøåíèé. Îòâåò: v 00 = ξv + C (C = const). 20. Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à Êîøè äëÿ ëèíåàðèçîâàííîãî óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà ut + c0 ux + uxxx = 0, u(x, 0) = u0 (x) c íà÷àëüíîé ôóíêöèåé u0 , óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ Z+∞ M = u0 (x) dx 6= 0. def −∞ Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñòàöèîíàðíîé ôàçû íàéòè àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ ïðè t → +∞ â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = c0 t (c0 > 0). Îòâåò: M u(x, t) = √ Ai 3 3t µ x − c0 t √ 3 3t ¶ ³ 2´ + O t− 3 . 21. Íàéòè ðåøåíèå òèïà óåäèíåííîé âîëíû u = u(x − ct) (u, u0 , u00 → 0 ïðè |x| → ∞) äëÿ óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà ut + uux + uxxx = 0. 63 22. Ïðîâåðèòü ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì, ÷òî ôóíêöèÿ u(x, t) = 72a2 3 + 4 ch 2a(x − 4a2 t) + ch 4a(x − 16a2 t) [3 ch a(x − 28a2 t) + ch 3a(x − 12a2 t)]2 (a = const) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà (äâóõñîëèòîííîå ðåøåíèå). 23. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ðåøåíèé u(x, t) óðàâíåíèÿ ÊäÔ, çàòóõàþùèõ âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè ïðè |x| → ∞, ñïðàâåäëèâû çàêîíû ñîõðàíåíèÿ d dt Z+∞ u2 (x, t) dx = 0, −∞ d dt Z+∞µ u2x (x, t) −∞ ¶ 1 3 − u (x, t) dx = 0. 3 24. Ãîâîðÿò, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè x è t, èìåþùåå ïåðâûé ïîðÿäîê ïî t, äîïóñêàåò ãàìèëüòîíîâó ôîðìóëèðîâêó, åñëè åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ³ ´ (n) ut = Dx δu H u, ux , ..., ux...x . Çäåñü Dx îïåðàòîð ïîëíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî x, à δu îïåðàòîð Ýéëåðà (îïåðàòîð âàðèàöèîííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ), Dx = ∂x + ux ∂u + uxx ∂ux + uxxx ∂uxx + ..., δu = ∂u − Dx ∂ux + Dx2 ∂uxx − ..., ãäå x, u, ux , uxx , ... ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå. Íàéòè ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà H(u, ux ) äëÿ óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà. Îòâåò: H(u, ux ) = 1 2 1 3 u − u. 2 x 6 25. Ðàçûñêèâàÿ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ÊäÔ â âèäå u = u(kx − ωt) ñ 2π -ïåðèîäè÷åñêîé ïî x ôóíêöèåé u, íàéòè âûðàæåíèå cp = cp (a, k) äëÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè cp = ω/k ïðè ìàëûõ àìïëèòóäàõ a ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí ïîðÿäêà O(a3 ). 26. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèè v(x, t) è u(x, t) = −v 2 (x, t) − vx (x, t) ñâÿçàíû òîæäåñòâîì ut + 6uux + uxxx = −(2v + ∂x ) (vt − 6v 2 vx + vxxx ) 64 (ïðåîáðàçîâàíèå Ìèóðû). 27. Äëÿ ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà vt − (6v + 6v 2 ) vx + vxxx = 0 (37) íàéòè îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû v = v(x − t), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì v, v 0 , v 00 → 0 ïðè x → −∞. Îòâåò: v=− 1 1 + e−(x−t) (âîëíà òèïà ôðîíòà) 28. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (37) òèïà óåäèíåííîé âîëíû v = v(x−ct), áåãóùåé ñî ñêîðîñòüþ 0 < c < 1 è óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì çàòóõàíèÿ v, v 0 , v 00 → 0 ïðè x → ±∞. Îòâåò: v=− 1+ √ c . √ 1 − c ch c (x − ct) 29. Âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ âîëíîâûõ ïàêåòîâ u(x, t) = a exp (ik · x − ωt), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà ñ ïîñòîÿííûì ïîòåíöèàëîì V = const: ~2 i~ ut + 4u − V u = 0, 2m ãäå 4 = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 îïåðàòîð Ëàïëàñà, ~ ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà (âîëíû äå Áðîéëÿ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, îïèñûâàþùèå ïîâåäåíèå ÷àñòèöû ìàññû m â ïîëå ñ ïîòåíöèàëîì V ). Ïîêàçàòü, ÷òî ñêîðîñòü ÷àñòèöû U = p/m, îïðåäåëÿåìàÿ êàê îòíîøåíèå åå èìïóëüñà p = ~ k (k âîëíîâîé âåêòîð) ê ìàññå m, ñîâïàäàåò ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ cg (k). √ √ 30. Íàéòè îáùèé âèä àâòîìîäåëüíîãî ðåøåíèÿ u(x, t) = v(x/ t)/ t äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà i ut + uxx = 0. µ Îòâåò: 1 2 u(x, t) = √ eix /4t C1 + C2 t √ x/ Z t ¶ −iξ 2 /4 e 0 65 dξ (C1 , C2 ∈ C). 31. Ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîñòðîèòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè i ut + uxx = 0, Îòâåò: u(x, t) = 1 √ 2 t ix2 e 4t u(x, 0) = n ³ ´ ³ ´o 2t+x √ √ f 2t−x + f , 2 t 2 t sin x . x Rz 2 f (z) = e−is ds. 0 32. Äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà i ut + uxx + |u|2 u = 0 ïîñòðîèòü ðåøåíèå òèïà ñîëèòîíà îãèáàþùåé u(x, t) = A(x−ct) exp i(kx− ωt) ñ âåùåñòâåííîé àìïëèòóäîé A, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ A(ξ) → 0 ïðè |ξ| → ∞. 33. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ çàòóõàþùèõ ïðè |x| → ∞ ðåøåíèé íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñïðàâåäëèâû çàêîíû ñîõðàíåíèÿ d dt Z+∞ |u(x, t)|2 dx = 0, −∞ d dt Z+∞µ 1 |ux (x, t)| − |u(x, t)| 4 2 ¶ 2 −∞ dx = 0. 34. Ïóñòü êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ u(x, t) ∈ C 4 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà i ut + γ uxx = 0, u(x, 0) = u0 (x) (γ = const) ñ íà÷àëüíîé ôóíêöèåé u0 , ïðèíèìàþùåé òîëüêî âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ: Im u0 (x) ≡ 0. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ v(x, t) = Re u(x, t) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ èçãèáíûõ âîëí â óïðóãîì ñòåðæíå vtt + γ 2 vxxxx = 0, v(x, 0) = u0 (x), vt (x, 0) = 0. 35. Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ âîëí èçãèáà â ñòåðæíå utt + γ 2 uxxxx = 0 (−∞ < x < +∞) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè u(x, 0) = u0 (x), ut (x, 0) = 0, ãäå u0 (x) ∈ C ∞ ÷åòíàÿ ïî x àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñòàöèîíàðíîé ôàçû íàéòè àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ ïðè t → +∞. 66 Îòâåò: u(x, t) = q π γt ³ a x 2γt ´ ³ cos x2 4γt − π 4 ´ +O( 1t ), ãäå a(k) = 1 π +∞ R 0 u0 (x) cos kx dx. 36. Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ïîñòðîèòü â ÿâíîì âèäå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ èçãèáíûõ êîëåáàíèé áàëêè, óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì äàííûì 2 u(x, 0) = a e−x Îòâåò: a u(x, t) = √ 4 1+γt2 e − /4 , x2 4(1+γt2 ) ut (x, 0) = 0 n cos γtx2 4(1+γt2 ) − 1 2 (a = const) o arctg γt . 37. Âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé íàãðóæåííîé áàëêè íà óïðóãîé îïîðå utt + γ 2 uxxxx + P uxx + ku = 0, ãäå P ïðîäîëüíàÿ íàãðóçêà, k æåñòêîñòü îïîðû. Íàéòè ÷àñòîòó îòñå÷êè ωmin = min ω(k). k 38. Âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå, íàéòè íîðìàëüíóþ ôàçîâóþ è ãðóïïîâóþ ñêîðîñòè äëÿ óðàâíåíèÿ èçãèáíûõ êîëåáàíèé ïëàñòèíû utt + γ 2 42 u = 0, ¡ ãäå 4 = ∂x21 + ∂x22 äâóìåðíûé îïåðàòîð Ëàïëàñà, γ 2 = Eh2 / 12ρ0 (1 − ¢ ν 2 ) . Çäåñü h òîëùèíà ïëàñòèíû, E ìîäóëü Þíãà, ν êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà. Îòâåò: ω(k) = ± γ|k|2 , cp (k) = ±γ|k|, cg (k) = ±2γ k. 39. Äëÿ âåêòîðà ïåðåìåùåíèé w = (w1 , w2 , w3 ), ÿâëÿþùåãîñÿ ðåøåíèåì òðåõìåðíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ëàìå ρ0 wtt = (λ + µ) ∇ div w + µ4 w, ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå Ãåëüìãîëüöà w = ∇ϕ + rot v (div v = 0) ñ ôóíêöèÿìè ϕ è v, îïðåäåëåííûìè ïðè âñåõ x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 è 67 èìåþùèìè îãðàíè÷åííûå âòîðûå ïðîèçâîäíûå ïî x è t. Ïîêàçàòü, ÷òî ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë ϕ è âåêòîðíûé ïîòåíöèàë v óäîâëåòâîðÿþò âîëíîâûì óðàâíåíèÿì ϕtt = c21 4ϕ è vtt = c22 4v. ×åìó ðàâíû ñêîðîñòè c1 è c2 ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âîëí? Îòâåò: q c1 = λ+2µ , ρ0 c2 = q µ . ρ0 40. Ðàâåíñòâî (31), ñâÿçûâàþùåå àìïëèòóäíûé âåêòîð a, âîëíîâîé âåêòîð k è ÷àñòîòó ω âîëíîâîãî ïàêåòà äëÿ òðåõìåðíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ëàìå, èìååò âèä ëèíåéíîé îäíîðîäíîé îòíîñèòåëüíî a ñèñòåìû óðàâíåíèé A(ω, k) a = 0, ãäå A(ω, k) = (ρ0 ω 2 − µ|k|2 ) I − (λ + µ) k ⊗ k Íàéòè äèñïåðñèîííóþ ôóíêöèþ D(ω, k) = det A(ω, k) äëÿ óðàâíåíèé Ëàìå. Îòâåò: ¡ ¢2 £ ¤ D(ω, k) = ρ0 ω 2 − µ|k|2 ρ0 ω 2 − (λ + 2µ) |k|2 41. Èñïîëüçóÿ äâóìåðíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé Ëàìå ñ âåêòîðîì ïåðåìåùåíèé w = (w1 , w2 ), âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí Ðýëåÿ, îïèñûâàåìûõ âîëíîâûìè ïàêåòàìè w1 = A1 (x2 ) cos (kx1 − ωt), w2 = A2 (x2 ) sin (kx1 − ωt) ñ óñëîâèÿìè îòñóòñòâèÿ íàïðÿæåíèé ∂x2 w1 + ∂x1 w2 = 0, λ ∂x1 w1 + (λ + 2µ) ∂x2 w2 = 0. íà ãðàíèöå ïîëóïðîñòðàíñòâà x2 6 0 è óñëîâèåì çàòóõàíèÿ w → 0 ïðè x2 → −∞. 42. Ðàññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå ³ ξtt = ξ 3/2 +ξ 68 1/4 ³ ξ 5/4 ´ ´ xx xx , îïèñûâàþùåå ðàñïðîñòðàíåíèå îäíîìåðíûõ íåëèíåéíûõ âîëí â ñëàáî ñæèìàåìûõ ãðàíóëèðîâàííûõ ìàòåðèàëàõ. Çäåñü ξ = −wx > 0 äåôîðìàöèÿ, w ïåðåìåùåíèå. Ïðîâåðèòü, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå èìååò òî÷íîå ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû 25 4 ξc (x, t) = c cos4 16 µ ¶ x − ct . 5 Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ η(x, t), îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì η = ξc ïðè |x − ct| < (5/2)π , è η = 0 ïðè |x − ct| > (5/2)π , òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì (”êîìïàêòîí” óåäèíåííàÿ âîëíà ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì). 43. Ìàëûå êîëåáàíèÿ îäèíàêîâûõ ãðóçîâ ìàññû m, ñâÿçàííûõ ïðóæèíàìè æåñòêîñòè β 2 â áåñêîíå÷íóþ öåïî÷êó, îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé m ẍn = β 2 (xn+1 − 2xn + xn−1 ), n ∈ Z. Íàéòè ôàçîâóþ è ãðóïïîâóþ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà ïî öåïî÷êå â âèäå âîëíîâîãî ïàêåòà xn (t) = a exp {i(kn − ωt)}. Îòâåò: β sin(k/2) cp (k) = ± √ , m (k/2) β cg (k) = ± √ cos(k/2). m 44.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ äâèæåíèé ãðóçîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ çàòóõàíèÿ xn , ẋn → 0 (n → ±∞), ñóììàðíûé èìïóëüñ M è ïîëíàÿ ýíåðãèÿ E äàííîé ñèñòåìû ñîõðàíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì: def M (t) = +∞ X def 1 mẋn = const, E(t) = n=−∞ +∞ X © 2 n=−∞ ª mẋ2n +β 2 (xn+1 −xn )2 = const. 45. Íàïèñàòü óðàâíåíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé è âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ öåïî÷êè ÷åðåäóþùèõñÿ ãðóçîâ äâóõ ñîðòîâ ñ ìàññàìè m1 6= m2 , ñâÿçàííûõ îäèíàêîâûìè ïðóæèíàìè æåñòêîñòè β 2 . ( Îòâåò: ω 2 (k) = β 2 1 m1 + 1 m2 r³ ± 1 m1 69 − 1 m2 ´2 ) + 4 cos2 k m1 m2 . 46. Èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà H äåéñòâóåò íà ôóíêöèþ u ïî ôîðìóëå Hu(x) = v.p. 1 π Z+∞ −∞ u(y) dy 1 = lim A→+∞ π x−y ε→ 0+ Zx−ε x+A Z + x−A x+ε u(y) dy x−y d Êàê ñâÿçàíî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Hu(k) ôóíêöèè Hu(x) ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèè u(x)? Íàéòè ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà Hv(x) äëÿ ôóíêöèè v(x) = b/(x2 + b2 ) (b > 0). Îòâåò: d Hu(k) = −i sign k u b(k); Hv(x) = x/(x2 + b2 ). 47. Ðàçûñêèâàÿ ðåøåíèå â âèäå ýëåìåíòàðíîãî âîëíîâîãî ïàêåòà u(x, t) = a ei(kx−ωt) , âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ëèíåàðèçîâàííîãî óðàâíåíèÿ Áåíäæàìèíà Îíî ut + c0 ux + Huxx = 0 (çäåñü H ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà). Îòâåò: ω(k) = (c0 + |k|) k. 48. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Áåíäæàìèíà Îíî ut + uux + Huxx = 0 â âèäå áåãóùåé óåäèíåííîé âîëíû u = u(x − ct) ñ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé u(ξ), ÿâëÿþùåéñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ôóíêöèé v1 (ξ) = b/(ξ 2 + b2 ) è v2 (ξ) = ξ/(ξ 2 + b2 ) (èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò çàäà÷è 46 è ïåðåñòàíîâî÷íîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãèëüáåðòà ñ îïåðàòîðîì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ). Îòâåò: u(x, t) = c2 (x 4c . − ct)2 + 1 49. Âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ π ut + 4 Z+∞ π e− 2 |x−y| uy (y, t) dy = 0. −∞ 70 50. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå òèïà óåäèíåííîé âîëíû äëÿ óðàâíåíèÿ Óèçåìà π ut + uux + 4 Óêàçàíèå: Z+∞ π e− 2 |x−y| uy (y, t) dy = 0. −∞ ïðèìåíèòü ê óðàâíåíèþ îïåðàòîð ∂x2 − (π/2)2 I . 71 3. Âîëíû â æèäêîñòÿõ 3.1. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ Ðàññìàòðèâàþòñÿ äâèæåíèÿ èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé íåîäíîðîäíîé æèäêîñòè â ïîëå ñèëû òÿæåñòè g = (0, 0, −g). Èñêîìûìè âåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ âåêòîð ñêîðîñòè u = (u, v, w), ïëîòíîñòü ρ è äàâëåíèå p, çàâèñÿùèå îò x = (x, y, z) ∈ R3 è âðåìåíè t. Äëÿ ëþáîé íåïîäâèæíîé îáëàñòè Ω ñ êóñî÷íîãëàäêîé ãðàíèöåé S (n îðò âíåøíåé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S ) ñïðàâåäëèâû èíòåãðàëüíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ îáúåìà æèäêîñòè ZZ u · n dS = 0, S åå ìàññû d dt d dt ρ dΩ + ZZZ ZZZ µ ρ u · n dS = 0, S ZZ ρu dΩ + Ω d dt ZZ Ω èìïóëüñà è ýíåðãèè ZZZ ¡ ¢ ρu(u · n) + pn dS = S ZZZ ρg dΩ Ω ¶ ¶ ZZ µ 1 1 ρ|u|2 + ρgz dΩ + ρ|u|2 + p + ρgz (u · n) dS = 0. 2 2 Ω S  îáëàñòè íåïðåðûâíîãî äâèæåíèÿ, îïèñûâàåìîãî ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè u, ρ, p, óêàçàííàÿ ñîâîêóïíîñòü çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé div u = 0, ρt + u · ∇ρ = 0, ut + (u · ∇)u + 1 ∇p = g. ρ (38) Âåêòîð âèõðÿ ω = rot u ïðè ýòîì óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà ω t + (u · ∇)ω = (ω · ∇)u − 1 ∇p × ∇ρ. ρ2 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî çàâèõðåííîñòü â íåâÿçêîé íåîäíîðîäíîé æèäêîñòè ìåíÿåòñÿ ïîä äåéñòâèåì äâóõ ôàêòîðîâ: ïåðåíîñà íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðÿ 72 è îáðàçîâàíèÿ íîâûõ âèõðåé âñëåäñòâèå íåñîâïàäåíèÿ â òå÷åíèè ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè (èçîáàðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé p(x, t) = const è èçîõîðîè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé ρ(x, t) = const). Ïðèìåð. Ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (38) ñ òîæäåñòâåííî ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ ρ = ρ0 îïèñûâàþò òå÷åíèÿ îäíîðîäíîé æèäêîñòè â ýòîì ñëó÷àå óêàçàííàÿ ñèñòåìà ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèÿì Ýéëåðà èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 1 ∇p = g. ρ0 Ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèå äëÿ âèõðÿ ïðèíèìàåò ôîðìó div u = 0, ut + (u · ∇)u + (39) dω ∂u d = hωi, = ∂t + (u · ∇) (40) dt ∂x dt è áëàãîäàðÿ ñâîåé ñïåöèàëüíîé ñòðóêòóðå èíòåãðèðóåòñÿ ïóòåì ïåðåõîäà îò ýéëåðîâûõ ïåðåìåííûõ (x, t) ê ëàãðàíæåâûì (ξ, t). Çàâèñèìîñòü x = x(ξ, t) ìåæäó ïåðåìåííûìè Ýéëåðà è Ëàãðàíæà óñòàíàâëèâàåò çàäà÷à Êîøè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé òðàåêòîðèé æèäêèõ ÷àñòèö dx = u(x, t), x|t=0 = ξ. (41) dt  ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåííûõ äëÿ èñêîìîé ôóíêöèè ω̃(ξ, t) = ω(x(ξ, t), t) èìååì ∂t ω̃ = dω/dt. Ïîýòîìó äëÿ êàæäîé òðàåêòîðèè ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì ïîëîæåíèåì ÷àñòèöû ξ ñèñòåìà (40) ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ âåêòîðôóíêöèè ω̃(ξ, t). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äèôôåðåíöèðîâàíèå óðàâíåíèé (41) ïî ïàðàìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé ξ äàåò óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ dM ∂u = ◦ M, M|t=0 = I dt ∂x ñ ìàòðèöåé ßêîáè M = x0ξ (ξ, t) = ∂(x, y, z)/∂(ξ, η, ζ) è åäèíè÷íîé ìàòðèöåé I .  ñèëó ôîðìóëû Îñòðîãðàäñêîãî Ëèóâèëëÿ äëÿ îïðåäåëèòåëÿ |M | = det M èìååì |M |t = |M | tr u0x = |M | div u = 0, òàê ÷òî ìàòðèöà M íåâûðîæäåíà: |M (ξ, t)| = 1. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî M ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé ðåøåíèé äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (40). Òàêèì îáðàçîì, èçìåíåíèå âåêòîðà âèõðÿ âäîëü òðàåêòîðèé ÷àñòèö æèäêîñòè îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé Êîøè ω = M ω 0 , ãäå ω 0 íà÷àëüíîå ïîëå âèõðÿ.  êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ ýòî äàåò òåîðåìó Ëàãðàíæà, ñîãëàñíî êîòîðîé ω ≡ 0 â æèäêîì îáúåìå îäíîðîäíîé æèäêîñòè Ω(t) ïðè âñåõ t > 0, åñëè çàâèõðåííîñòü îòñóòñòâîâàëà â Ω(0). Äëÿ áåçâèõðåâîãî òå÷åíèÿ ïîëå âåêòîðà ñêîðîñòè u îáëàäàåò ïîòåíöèàëîì ϕ ãàðìîíè÷åñêîé ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì x, y, z ôóíêöèåé (∆ϕ = 0), ñ êîòîðîé u = ∇ϕ.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå èìïóëüñà â ñèñòåìå (39) ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó ÊîøèËàãðàíæà ϕt + 1 1 |∇ϕ|2 + p + gz = b(t), 2 ρ0 73 ãäå b ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè. Äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëåíèÿ íåóñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ âî âñåé îáëàñòè, çàíèìàåìîé æèäêîñòüþ ïðè t = 0, çàäàåòñÿ ïîëå ñêîðîñòåé u = u0 , à ïðè t > 0 íà ãðàíèöàõ îáëàñòè òå÷åíèÿ çàäàþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Òàê, íà íåïîäâèæíûõ ïîâåðõíîñòÿõ ñ âåêòîðîì íîðìàëè n ñòàâèòñÿ óñëîâèå íåïðîòåêàíèÿ u · n = 0, à íà ñâîáîäíûõ ãðàíèöàõ f (x, y, z, t) = 0 êèíåìàòè÷åñêîå óñëîâèå (ft + u · ∇f )|f =0 = 0 è äèíàìè÷åñêîå óñëîâèå p = p̃ ñ çàäàííîé ôóíêöèåé p̃. Íàïðèìåð, ïðè êîíòàêòå æèäêîñòè ñ àòìîñôåðîé äàâëåíèå íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè ïðèíèìàåòñÿ ïîñòîÿííûì, åñëè äâèæåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàåòñÿ: p = p0 ; â ýòîì ñëó÷àå êîíñòàíòà p0 áåç íàðóøåíèÿ îáùíîñòè ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ðàâíîé íóëþ. Êèíåìàòè÷åñêîå óñëîâèe íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ íåñìåøèâàþùèõñÿ æèäêîñòåé èìååò âèä (ft + uj · ∇f )|f =0 = 0 (j = 1, 2), ãäå uj ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè ñ äâóõ ñòîðîí êîíòàêòíîé ïîâåðõíîñòè, à äèíàìè÷åñêîå óñëîâèå ïðåäïîëàãàåò íåïðåðûâíîñòü äàâëåíèÿ: [p ] = p2 − p1 = 0. Ñòàöèîíàðíûå òå÷åíèÿ îïèñûâàþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (38), äëÿ êîòîðûõ ρt = 0 è ut = 0.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé ëèíèè òîêà L : dx u = dy v = dz w ñïðàâåäëèâ èíòåãðàë Áåðíóëëè 1 2 1 |u| + p + gz = b(L) 2 ρ (êîíñòàíòà Áåðíóëëè b(L) çàâèñèò îò ëèíèè òîêà). Ïðè îïèñàíèè ïëîñêèõ äâèæåíèé æèäêîñòè áóäåì èñïîëüçîâàòü äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò Oxy ñ îñüþ Oy , íàïðàâëåííîé âåðòèêàëüíî ââåðõ. Äëÿ âåêòîðà ñêîðîñòè ïëîñêîãî òå÷åíèÿ u = (u, v) ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ òîêà ψ , ïîëàãàÿ u = ψy , v = −ψy . Òîãäà óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè div u = 0 âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, à â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíûõ òå÷åíèé èíòåãðèðóåòñÿ è 74 óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè u · ∇ρ = 0, äàþùåå çàâèñèìîñòü ρ = ρ(ψ). Èíòåãðàë Áåðíóëëè â òàêîì ñëó÷àå çàïèñûâàåòñÿ â òåðìèíàõ ôóíêöèè òîêà â âèäå 1 1 |∇ψ|2 + p + gy = b(ψ). 2 ρ(ψ) 3.2. Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí Ðàññìàòðèâàåòñÿ áåçâèõðåâîå äâèæåíèå îäíîðîäíîé æèäêîñòè â ñëîå Ω(t) = {(x, y) ∈ R2 : 0 < z < h(x, y, t)}, îãðàíè÷åííîì ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ z = h(x, y, t) è ðîâíûì äíîì z = 0. Èñõîäíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëà ñêîðîñòåé ϕ è ôóíêöèè h èìåþò âèä ∆ϕ ≡ ϕxx + ϕyy + ϕzz = 0, x ∈ Ω(t), ϕz = 0, z = 0, ht + ϕx hx + ϕy hy − ϕz = 0, ¡ ¢ ϕt + 12 ϕ2x + ϕ2y + ϕ2z + gh = 0, ) z = h(x, y, t). Çàäà÷à îòûñêàíèÿ ðåøåíèÿ óêàçàííûõ óðàâíåíèé ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì ïðè t=0 h = h(0) (x, y), ϕ = ϕ(0) (x, y, z) ¡ (0) ¢ ∆ϕ = 0, x ∈ Ω(0) íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé Êîøè Ïóàññîíà. Ðàññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ èìåþò òî÷íîå ðåøåíèå h = h0 = const, ϕ = ϕ0 = u0 x − 12 u20 t − gh0 t, êîòîðîå îïèñûâàåò ðàâíîìåðíîå äâèæåíèå ñëîÿ æèäêîñòè ïîñòîÿííîé ãëóáèíû h0 ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u0 â íàïðàâëåíèè îñè Ox. Ìàëûå âîçìóùåíèÿ äàííîãî ñîñòîÿíèÿ ϕ = ϕ0 + Φ, h = h0 + ζ ïðèáëèæåííî îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé Φxx + Φyy + Φzz = 0, Φz = 0, (0 < z < h0 ), z = 0, ζt + u0 ζx − Φz = 0, Φt + u0 Φx + gζ = 0, 75 ) z = h0 . Ðàññìîòðèì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, èìåþùèå âèä âîëíîâûõ ïàêåòîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ íåïðîòåêàíèÿ íà äíå: ζ = a ei(kx+ly−ωt) , Φ = b ch mz ei(kx+ly−ωt) , m= p k 2 + l2 . Èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïðè z = h0 ñëåäóåò, ÷òî òàêèå ðåøåíèÿ ñ íåíóëåâûìè àìïëèòóäàìè a è b ñóùåñòâóþò, åñëè è òîëüêî åñëè ÷àñòîòà ω è âîëíîâîé âåêòîð k = (k, l) óäîâëåòâîðÿþò äèñïåðñèîííîìó ñîîòíîøåíèþ (ω − u0 k)2 = gm th mh0 . (42) Äëÿ ïëîñêèõ âîëí èìååì l = 0 è m = |k|, è â ýòîì ñëó÷àå ôàçîâàÿ è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòè äàþòñÿ ôîðìóëàìè p ω cp = = u0 ± gh0 k ãäå îáîçíà÷åíî r th kh0 , kh0 dp 1 f (ξ) = ξ th ξ = dξ 2 cg = Ãs p dω = u0 ± gh0 f (kh0 ), dk s th ξ 1 + 2 ξ ch ξ ξ th ξ ! . Çäåñü âûäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ÷àñòíûå ñëó÷àè: (a) Ñòàöèîíàðíûå âîëíû.  ýòîì ñëó÷àå ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû ðàâíà √ íóëþ: cp = 0, è äëÿ ÷èñëà Ôðóäà F = |u0 |/ gh0 ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèå F = p th kh0 /(kh0 ). Âåëè÷èíà √ gh0 íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòüþ, ïîýòîìó ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå âîëíû âîçìîæíû òîëüêî äëÿ äîêðèòè÷åñêîãî òå÷åíèÿ ñî ñêîðîñòüþ |u0 | < √ gh0 . (b) Âîëíû â ãëóáîêîé æèäêîñòè.  ïðåäåëå áåñêîíå÷íîé ãëóáèíû h0 → ∞ ôàçîâàÿ è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòè âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ïî ñîñòîÿíèþ ïîêîÿ (u0 = 0), äàþòñÿ ôîðìóëàìè cp = p g/k è cg = 1 2 p g/k . Òàêèì îáðàçîì, ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü âîëí íà ãëóáîêîé âîäå ñîñòàâëÿåò ïîëîâèíó ôàçîâîé ñêîðîñòè. (c) Äëèííûå âîëíû.  ýòîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå èìååì k → 0, è òîãäà cp = √ u0 ± gh0 = cg . Ñîâïàäåíèå ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòè äëÿ äëèííûõ âîëí óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ýòè âîëíû ÿâëÿþòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèìè. 76 Çàäà÷à. Íàéòè òðàåêòîðèè ÷àñòèö â áåãóùåé ïëîñêîé âîëíå ñ ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòåé Φ = gaω −1 eky sin(kx − ωt), ãäå ω è k ñâÿçàíû äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì ω 2 = gk ëèíåéíîé òåîðèè âîëí â ãëóáîêîé æèäêîñòè (ïàðàìåòð α = ak ïðåäïîëàãàåòñÿ ìàëûì). Ðåøåíèå. Óêàçàííûé ïîòåíöèàë Φ(x, y, t) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé ïî ïåðåìåííûì x, y â îáëàñòè y < 0, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàòóõàíèÿ ∇Φ → 0 ïðè y → −∞, à òàêæå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ζt = Φy , Φt + gζ = 0 ïðè y = 0, ãäå ôóíêöèÿ ζ , çàäàþùàÿ ïðîôèëü ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè y = ζ(x, t), èìååò âèä âåùåñòâåííîãî âîëíîâîãî ïàêåòà ζ(x, t) = a cos(kx − ωt). Òðàåêòîðèè ÷àñòèö ñ ïîëåì ñêîðîñòåé u = ∇Φ îïèñûâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè dx = gαω −1 eky cos(kx − ωt), dt dy = gαω −1 eky sin(kx − ωt) dt (43) è íà÷àëüíûìè äàííûìè (x(0), y(0)) = (ξ, η). Ìàëîñòü ïàðàìåòðà α = ak = 2πa/L îçíà÷àåò ìàëîñòü îòíîøåíèÿ àìïëèòóäû âîëíû a ê åå äëèíå L. Èñïîëüçóÿ ýòî ñâîéñòâî, áóäåì èñêàòü ðåøåíèå x = (x, y) â âèäå x(t) = x0 (t) + α x1 (t) + O(α2 ). Ïîäñòàâëÿÿ óêàçàííîå ðàçëîæåíèå â óðàâíåíèÿ (43) è ñîáèðàÿ ñëàãàåìûå ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ α, ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ x0 (t) è x1 (t): dx0 = 0, dt dx1 ω = eky0 cos(kx0 − ωt), dt k dy0 = 0, dt (x0 , y0 )|t=0 = (ξ, η), dy1 ω = eky0 sin(kx0 − ωt), dt k (x1 , y1 )|t=0 = (0, 0). Îòñþäà íàõîäèì (x0 (t), y0 (t)) = (ξ, η) è, êàê ñëåäñòâèå, x1 (t) = ¢ 1 kη ¡ e sin kξ − sin(kξ − ωt) k y1 (t) = ¢ 1 kη ¡ e cos(kξ − ωt) − cos kξ . k Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèè x0 (t) è x1 (t) ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ñ ïåðèîäîì T = 2π/ω , ñîâïàäàþùèì ñ âðåìåííûì ïåðèîäîì ïðîãðåññèâíîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû. Çà ïîëíûé ïåðèîä T ÷àñòèöà ñ êîîðäèíàòàìè x(t) = x0 (t) + α x1 (t), âçÿòûìè ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà O(α2 ), ïðîáåãàåò îêðóæíîñòü |x − xc | = r ðàäèóñà r = a ekη ñ öåíòðîì â òî÷êå xc = (ξ + aekη sin kξ, η − aekη cos kξ). Îòñþäà ÿñíî, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé ÷àñòèö â âîëíå ìàêñèìàëüíà íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè è ýêñïîíåíöèàëüíî çàòóõàåò ñ ðîñòîì ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ. Îòâåò: ¡ ¢ x(t) = ξ + a ekη sin kξ − sin(kξ − ωt) + O(a2 k 2 ), ¡ ¢ y(t) = η − a ekη cos kξ − cos(kξ − ωt) + O(a2 k 2 ). 3.3. Óðàâíåíèÿ äëèííûõ âîëí  òåîðèè íåëèíåéíûõ äëèííûõ âîëí ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî õàðàêòåðíàÿ äëèíà 77 âîëíû L ìíîãî áîëüøå ãëóáèíû æèäêîñòè h0 . Ñ ýòèìè ìàñøòàáàìè ââîäÿòñÿ áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå x0 , t0 , ϕ0 , h0 : 0 0 (x, y) = L (x , y ), 0 0 (z, h) = h0 (z , h ), L 0 t=√ t, gh0 ϕ=L p gh0 ϕ0 . Òîãäà ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ε = h0 /L èñõîäíûå óðàâíåíèÿ ïðèíèìàþò ôîðìó ε2 (ϕxx + ϕyy ) + ϕzz = 0 (0 < z < h), ht + ϕx hx + ϕy hy = ε−2 ϕz , ϕt + ϕz = 0 (z = 0), ¢ 1 ¡ 2 ϕx + ϕ2y + ε−2 ϕ2z + h = 0 (z = h) 2 (øòðèõè â îáîçíà÷åíèÿõ áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èí çäåñü îïóùåíû). Ìåòîä Ëàãðàíæà â òåîðèè äëèííûõ âîëí èñïîëüçóåò ïðåäñòàâëåíèå ïîòåíöèàëà ϕ ÷åðåç åãî çíà÷åíèÿ ϕ|z=0 = A(x, y, t) â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà ∞ X z 2n ϕ(x, y, z, t) = (−1) ε ∆n2 A(x, y, t), (2n)! n=0 n 2n ãäå 42 = ∂x2 + ∂y2 îïåðàòîð Ëàïëàñà ïî ãîðèçîíòàëüíûì ïåðåìåííûì x, y .  ñèëó óêàçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè z = h(x, y, t) äàþò â ïðèáëèæåíèè íèçøåãî ïîðÿäêà ïî ε äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ìåëêîé âîäû äëÿ ôóíêöèé h è u = ∇A ht + div(hu) = 0, (44) ut + (u · ∇)u + g∇h = 0, ãäå îïåðàöèè div è ∇ âûïîëíÿþòñÿ ïî ïåðåìåííûì x, y . Äàâëåíèå p âíóòðè ñëîÿ æèäêîñòè â ñèëó èíòåãðàëà ÊîøèËàãðàíæà èìååò ñ òî÷íîñòüþ O(ε2 ) ¡ ¢ âûðàæåíèå p(x, y, z, t) = ρ0 g h(x, y, t) − z , òî åñòü çàâèñèò îò ãëóáèíû ïî çàêîíó ãèäðîñòàòèêè.  òåîðèè ìåëêîé âîäû èìååò ìåñòî ãàçîäèíàìè÷åñêàÿ àíàëîãèÿ: åñëè ââåñòè â êà÷åñòâå íîâûõ îáîçíà÷åíèé "ïëîòíîñòü" 1 2 ρ = h è "äàâëåíèå" p̃ = gh2 , òî óðàâíåíèÿ (44) ïðèìóò ôîðìó ρt + div(ρu) = 0, ut + (u · ∇)u + 78 1 ∇p̃ = 0, ρ p̃ = 1 2 gρ , 2 (45) êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèÿìè èçýíòðîïè÷åñêîãî òå÷åíèÿ ïîëèòðîïíîãî ãàçà ñ ïîêàçàòåëåì ïîëèòðîïû γ = 2. Çàäà÷à.  ìîìåíò âðåìåíè t = 0 âíåçàïíî ðàçðóøàåòñÿ ïëîòèíà, ñäåðæèâàþùàÿ âîäîõðàíèëèùå ãëóáèíû h0 . Îïðåäåëèòü â ïðèáëèæåíèè ìåëêîé âîäû ôîðìó ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè y = h(x, t) ïðè t > 0, ñêîðîñòü u0 äâèæåíèÿ âîäÿíîãî ôðîíòà ïî ñóõîìó ðóñëó è ðàñõîä âîäû q0 â ñòâîðå ïëîòèíû. Ðåøåíèå. Ïî ñâîåé ïîñòàíîâêå ýòî çàäà÷à Êîøè äëÿ îäíîìåðíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû ht + (uh)x = 0, ñ ðàçðûâíûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè ( h(x, 0) = ut + uux + ghx = 0 h0 , x < 0, 0, x > 0, u(x, 0) = 0. Åå ãàçîäèíàìè÷åñêèì àíàëîãîì ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à îá èñòå÷åíèè ïåðâîíà÷àëüíî ïîêîèâøåãîñÿ ãàçà â âàêóóì. Íåïðåðûâíîå ïðè t > 0 ðåøåíèå èìååò âèä ïðîñòîé öåíòðèðîâàííîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âëåâî ïî ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñêî√ ðîñòüþ c0 = gh0 , ðàâíîé êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòè äëÿ äàííîãî âîäîåìà. Óðàâíåíèÿ ýòîé ïðîñòîé âîëíû èìåþò âèä u+2 p gh = 2c0 , u− p gh = x t (ïåðâîå èç óêàçàííûõ ñîîòíîøåíèé åñòü óñëîâèå òîæäåñòâåííîãî ïîñòîÿíñòâà èíâàðèàíòà Ðèìàíà, âòîðîå óðàâíåíèå öåíòðèðîâàííîãî ñåìåéñòâà ïðÿìîëèíåéíûõ õàðàêòåðèñòèê. Îòñþäà íàõîäèì ÿâíóþ çàâèñèìîñòü ôóíêöèé u è h îò ïåðåìåííûõ x, t â îáëàñòè ïðîñòîé âîëíû −c0 < x/t < 2c0 : u(x, t) = 2 (x + c0 t), 3t h(x, t) = 1 (x − 2c0 t)2 . 9gt2 Òàêèì îáðàçîì, ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò ôîðìó ïàðàáîëû ñ âåðøèíîé â òî÷êå x = √ 2c0 t, áåãóùåé âïðàâî ñî ñêîðîñòüþ u0 = 2c0 = 2 gh0 . Ãëóáèíà âîäû è åå ñêîðîñòü íåïîñðåäñòâåííî â ñòâîðå ïëîòèíû îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè âî âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ: h(0, t) = (4/9) h0 , u(0, t) = (1/3) c0 . Îòñþäà íàõîäèòñÿ ðàñõîä q0 = (4/27) h0 c0 êîëè÷åñòâî âîäû, åæåñåêóíäíî èñòåêàþùåé èç âîäîõðàíèëèùà. Îòâåò: h0 , h(x, t) = (x − 2c0 t)2 /(9gt2 ), 0, 79 x < −c0 t, −c0 t < x < 2c0 t, x > 2c0 t, u0 = 2c0 , q0 = (4/27) h0 c0 (c0 = p gh0 ). Ðàçðûâíûå ðåøåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû îïèñûâàþò ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí òèïà áîðà, â êîòîðûõ ãëóáèíà æèäêîñòè è åå ñêîðîñòü ìåíÿþòñÿ ñêà÷êîì. Äëÿ îïèñàíèÿ òàêèõ äâèæåíèé èñïîëüçóåòñÿ äèâåðãåíòíàÿ ôîðìà çàïèñè ñèñòåìû (44) â âèäå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ìàññû è ïîëíîãî ïî ãëóáèíå ãîðèçîíòàëüíîãî èìïóëüñà æèäêîñòè.  ñëó÷àå îäíîìåðíûõ äâèæåíèé ýòè çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìåþò âèä µ ¶ ¡ ¢ 1 2 2 ∂t uh + ∂x u h + gh = 0. 2 ∂t h + ∂x (uh) = 0, (46) Îíè äàþò ñîîòíîøåíèÿ íà ñèëüíîì ðàçðûâå D[h] = [uh], D[uh] = [u2 h + 1 2 gh ], 2 ãäå D ñêîðîñòü áîðà. 3.4. Íåëèíåéíûå äèñïåðñèîííûå óðàâíåíèÿ Ïðèáëèæåíèÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî ïàðàìåòðó ε ïîçâîëÿþò ó÷åñòü äèñïåðñèîííûå ñâîéñòâà íåëèíåéíûõ äëèííûõ âîëí íà âîäå. Ðàññìîòðèì äâóìåðíîå áåçâèõðåâîå äâèæåíèå â ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõ x è y , äëÿ êîòîðîãî ïîëå ñêîðîñòåé óäîáíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè òîêà: u = (ψy , −ψx ). Ôóíêöèÿ òîêà âìåñòå ñ ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòåé îáðàçóþò ïàðó ñîïðÿæåííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé, ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé óðàâíåíèÿìè Êîøè Ðèìàíà ϕx = ψy , ϕy = −ψx . Çàïèøåì èñõîäíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ æèäêîñòè, èñïîëüçóÿ áåçðàçìåðíóþ ôóíêöèþ òîêà ψ 0 = ψ/(h0 √ gh0 ) è îïóñêàÿ øòðèõè â îáîçíà÷åíèÿõ: ε2 ψxx + ψyy = 0 (0 < y < h), ht + (ψx + ψy hx )|y=h = 0, (ψyt − ε2 hx ψxt )|y=h + 1 ∂ 2 ∂x ψ = 0 (y = 0), © 2 2 ª ε ψx (x, h, t) + ψy2 (x, h, t) + hx = 0. Ïîñëåäíåå èç óêàçàííûõ óðàâíåíèé åñòü çàïèñàííûé â òåðìèíàõ ôóíêöèè òîêà ðåçóëüòàò äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî x èíòåãðàëà ÊîøèËàãðàíæà â òî÷êàõ 80 ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè (ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ïîñòîÿíñòâà äàâëåíèÿ p(x, h(x, t), t) = const). Äàëåå ââîäèòñÿ ñðåäíÿÿ ïî ãëóáèíå ãîðèçîíòàëüíàÿ ñêîðîñòü æèäêîñòè u(x, t) = 1 h(x, t) h(x,t) Z ϕx (x, y, t) dy, 0 ñ êîòîðîé äëÿ ôóíêöèè òîêà ψ âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå ψ|y=h = uh. Ïðèáëèæåííîå ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè ψ âíóòðè îáëàñòè Ω(t) ÷åðåç ôóíêöèè u è h, àíàëîãè÷íîå ðÿäó Ëàãðàíæà äëÿ ïîòåíöèàëà ϕ, èìååò âèä ψ = uy + 1 2 2 ε (h y − y 3 ) uxx + O(ε4 ). 6 Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðàçëîæåíèå â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðè y = h(x, t) è îñòàâëÿÿ âåëè÷èíû äî ïîðÿäêà ε2 âêëþ÷èòåëüíî, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé âòîðîãî ïðèáëèæåíèÿ òåîðèè äëèííûõ âîëí (óðàâíåíèÿ ÑóÃàðäíåðà) ht + (uh)x = 0, ut + uux + hx = ¢ 1 2¡ 3 ε h (uxt + uuxx − u2x ) x . 3h (47) Ïðè ε = 0 äàííàÿ ñèñòåìà, çàïèñàííàÿ â ðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèÿìè ìåëêîé âîäû. Ñëàãàåìûå ñ ïðîèçâîäíûìè òðåòüåãî ïîðÿäêà â ïðàâîé ÷àñòè äàþò äèñïåðñèîííóþ ïîïðàâêó ê íèì. Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå ìàëûõ âîçìóùåíèé ðàâíîìåðíîãî ïîòîêà h = h0 + ζ, u = u0 + v ëèíåàðèçîâàííûå óðàâíåíèÿ (47) èìåþò âèä ζt + u0 ζx + h0 vx = 0, vt + u0 vx + gζx = ¢ 1 2¡ h0 vt + u0 vx xx . 3 Îòñþäà äëÿ ýëåìåíòàðíûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ ζ(x, t) = a exp{i(kx − ωt)}, v(x, t) = b exp{i(kx − ωt)} ïîëó÷àåòñÿ äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå gh0 k 2 . (ω − u0 k) = 1 + 13 h20 k 2 2 Ñðàâíåíèå ñ òî÷íûì äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì (42) ïîêàçûâàåò, ÷òî ëèíåàðèçàöèÿ óðàâíåíèé (47) ðàâíîñèëüíà èñïîëüçîâàíèþ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè ξ th ξ â ïðåäåëå ξ = h0 k → 0 äëèííûõ âîëí èëè ìàëîé ãëóáèíû. 81 Äèñïåðñèîííûì ñëàãàåìûì â ñèñòåìå (47) ìîæíî ïðèäàòü äðóãóþ ôîðìó, èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîãî îïåðàòîð ïîëíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ dt = ∂t + u∂x ñ ââåäåííîé âûøå ñðåäíåé ñêîðîñòüþ u. Ñëåäñòâèåì ïåðâîãî èç óðàâíåíèé (47) ÿâëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå d2t h ≡ (∂t + u∂x )2 h = −h(uxt + uuxx − u2x ), ñ ó÷åòîì êîòîðîãî â ðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ ïîëó÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ ÃðèíàÍàãäè 1 2 2 (h dt h)x = 0. (48) 3h Äàííóþ ïðèáëèæåííóþ ìîäåëü, êàê è îáû÷íûå óðàâíåíèÿ ìåëêîé âîäû, òàêht + (uh)x = 0, ut + uux + ghx + æå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñèñòåìû óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè (45), íî ñ áîëåå ñëîæíûì óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ 1 2 1 2 2 gρ + ρ dt ρ. 2 3 Ìíîãîìåðíûé àíàëîã óðàâíåíèé Ãðèíà Íàãäè èìååò âèä 1 ¡ 2 2 ¢ ht + div (hu) = 0, dt u + g∇h + ∇ h dt h = 0, dt = ∂t + u · ∇, (49) 3h ãäå îïåðàòîðû div è ∇ áåðóòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíûì ïåðåìåííûì x = (x, y), p̃ = à âåêòîð u èìååò, êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, ñìûñë ñðåäíåé ïî ãëóáèíå ãîðèçîíòàëüíîé ñêîðîñòè æèäêîñòè: 1 u(x, t) = h(x, t) h(x,t) Z ∇x ϕ(x, z, t) dz. 0 Âåêòîðíàÿ ñòðóêòóðà ñèñòåìû óðàâíåíèé Ãðèíà Íàãäè (49) î÷åíü ïîõîæà íà ñòðóêòóðó îñíîâíûõ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè, ïîýòîìó äëÿ äàííîé ñèñòåìû ñïðàâåäëèâû àíàëîãè ñîîòâåòñòâóþùèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ è ïåðâûõ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîãî èìïóëüñà èìååò âèä ¡ ¢ (hu)t + div hu ⊗ u + p̃I = 0, p̃ = 1 2 1 2 gh + dt h. 2 3 (50) Ïðèìåð. Ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ çàïèñü óðàâíåíèÿ èìïóëüñà â âèäå (50) íå ñîâñåì óäîáíà, òàê êàê ïîòîê èìïóëüñà ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè îò ôóíêöèè h. Ïîýòîìó ââåäåì âìåñòî âåêòîðà ñêîðîñòè u íîâóþ èñêîìóþ âåêòîð-ôóíêöèþ 1 ¡ 2 ¢ v =u+ ∇ h dt h 3h 82 è ïåðåïèøåì óðàâíåíèå ëîêàëüíîãî èìïóëüñà (âòîðîå èç óðàâíåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû (49)) â ñëåäóþùåì âèäå: µ ¶ ¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢ 1 1 1 ¡ 2 2 ¢ dt v + 2 dt h ∇ h dt h − dt ∇ h dt h + g∇h + ∇ h dt h = 0. 3h 3h 3h ¡ ¢T Âîñïîëüçóåìñÿ çäåñü òîæäåñòâîì dt (∇f ) = ∇(dt f ) − u0x ∇f , ñïðàâåäëèâûì äëÿ ëþáîé ãëàäêîé ôóíêöèè f (x, t) ∈ C 2 . Òîãäà ïîñëå íåáîëüøèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì µ ¶T ¡ ¢ ∂u 1 dt v + v − u + g∇h − ∇ (dt h)2 = 0. ∂x 2 Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå â âèäå µ ¶ 1 2 1 2 vt + rot v × u + ∇ v · u − |u| + gh − (dt h) = 0, 2 2 (51) ãäå ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî îïåðàöèÿ rot è âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïðèìåíÿþòñÿ ê òðåõìåðíûì âåêòîðàì (v, 0) è (u, 0). Ñîîòíîøåíèå (51) ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ôîðìû Ãðîìåêè Ëýìáà äëÿ óðàâíåíèÿ èìïóëüñà â ñèñòåìå óðàâíåíèé Ýéëåðà (39) èëè â èñõîäíîé ñèñòåìå (38). Ñëåäñòâèåì (51) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà äëÿ âåêòîðà îáîáùåííîé çàâèõðåí- íîñòè Ω = rot v, èìåþùåå âèä ¡ ¢ Ωt + rot Ω × u = 0. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âûòåêàåò ñîõðàíåíèå îáîáùåííîé öèðêóëÿöèè I Γ= v · dx C(t) âäîëü ëþáîãî êîíòóðà C(t) â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè x = (x, y), êîòîðûé ñîñòîèò èç îäíèõ è òåõ æå ÷àñòèö, ïåðåìåùàþùèõñÿ ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ ñêîðîñòåé u. Äðóãèì ñëåäñòâèåì ñîîòíîøåíèÿ (51) ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå àíàëîãà èíòåãðàëà Êîøè Ëàãðàíæà ϕt + v · u − 1 2 1 |u| + gh − (dt h)2 = b(t) 2 2 â ñëó÷àå îáîáùåííûõ ïîòåíöèàëüíûõ òå÷åíèé, êîãäà v = ∇ϕ. Áîëåå ïðîñòûå ïî ñðàâíåíèþ ñ (47) è (48) íåëèíåéíûå äèñïåðñèîííûå óðàâíåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ äëÿ êëàññà äâèæåíèé, îïèñûâàåìîãî â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ ôóíêöèÿìè h = 1+ε2 ζ, u = ε2 v . Òàêîå ìîäåëèðîâàíèå îçíà÷àåò, ÷òî ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëàáîíåëèíåéíûå äèñïåðãèðóþùèå âîëíû ìàëîé àìïëèòóäû íà ìåëêîé âîäå.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (47) ïîðîæäàåò ïðèáëèæåííûå óðàâíåíèÿ ht + (uh)x = 0, ut + uux + ghx − 83 1 uxxt = 0, 3 (52) à ñèñòåìà ÃðèíàÍàãäè óðàâíåíèÿ ht + (uh)x = 0, ut + uux + ghx + 1 hxtt = 0, 3 (53) Îáå ñèñòåìû (52) è (53) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Áóññèíåñêà. Ïðèáëèæåííîå îïèñàíèå äëèííûõ âîëí, áåãóùèõ òîëüêî â îäíó ñòîðîíó âëåâî èëè âïðàâî ïîëó÷àåòñÿ â íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ τ = ε2 t, ξ = x−c0 t, ãäå c02 = gh0 . Óêàçàííîå ðàñòÿæåíèå ïåðåìåííîé t îçíà÷àåò, ÷òî äîëãîâðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ âîëíû íàáëþäàåòñÿ â ìåäëåííîì âðåìåííîì ìàñøòàáå.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (47) ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí ïîðÿäêà O(ε4 ) ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ Êîðòåâåãà äå Ôðèçà ζτ + 3 1 ζζξ + c0 h20 ζξξξ = 0. 2 6 3.5. Ñòàöèîíàðíûå âîëíû  ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ áåãóùåé âîëíîé, äâèæåíèå îïèñûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì ðåøåíèåì, â êîòîðîì èñêîìûå ôóíêöèè íå çàâèñÿò îò t. Çàäà÷à îïèñàíèÿ äâóìåðíûõ ñòàöèîíàðíûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Òðåáóåòñÿ íàéòè ôóíêöèþ òîêà ψ(x, y) è ôóíêöèþ h(x) > 0, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì ψxx + ψyy = 0 (0 < y < h(x)), ψ(x, 0) = 0, ψ(x, h(x)) = Q, (54) ψx2 + ψy2 + 2gh = 2b (y = h(x)), ãäå b êîíñòàíòà Áåðíóëëè, Q ðàñõîä, ïîñòîÿííûé â êàæäîì âåðòèêàëüíîì ñå÷åíèè ñëîÿ æèäêîñòè. Äëÿ ñèñòåìû (47) â ýòîì ñëó÷àå ïåðâîå óðàâíåíèå äàåò èíòåãðàë ðàñõîäà uh = Q = const. Èñêëþ÷àÿ ñ åãî ïîìîùüþ ñêîðîñòü u èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ, ïîñëå äâóêðàòíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ôóíêöèè h: 1 2 Q 3 µ dh dx ¶2 = −gh3 + bh2 − 2ch + Q2 84 (55) (óðàâíåíèå Áóññèíåñêà Ðýëåÿ). Çäåñü b è c êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ, êîòîðûå ñâÿçàíû ñ êîðíÿìè hi (i = 1, 2, 3) êóáè÷åñêîãî ïîëèíîìà â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëàìè Âèåòà Q2 h1 h2 h3 = . g 2b h1 + h2 + h3 = , g Íåòðèâèàëüíûå âîëíîâûå êàðòèíû ïîëó÷àþòñÿ òîãäà, êîãäà âñå êîðíè âåùåñòâåííû è ôóíêöèÿ h ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â ïðîìåæóòêå h1 6 h2 < h < h3 .  íåÿâíîì âèäå ôîðìà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ êâàäðàòóðîé x= Q 3g Zh3 p h ds (s − h1 )(s − h2 )(h3 − s) .  îáùåì ñëó÷àå ýòîò èíòåãðàë íå âûðàæàåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Òàê, äëÿ ïðîñòûõ êîðíåé h1 < h2 < h3 ïîäñòàíîâêà s = h2 + (h3 − h2 ) cos2 α, h = h2 + (h3 − h2 ) cos2 β è çàìåíà ïàðàìåòðîâ r= 3g(h3 − h1 ) , 2Q κ2 = h3 − h2 h3 − h1 ïðèâîäÿò óêàçàííóþ ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü ê ñòàíäàðòíîé ôîðìå, èñïîëüçóþùèé ýëëèïòè÷åñêèé èíòåãðàë: Zβ p rx = 0 dα 1− κ 2 sin2 α , Çàäàâàåìàÿ ýòèì ñîîòíîøåíèåì ñïåöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ β = am(rx; κ) íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé ßêîáè, à åå ñóïåðïîçèöèè ñ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè äàþò ýëëèïòè÷åñêèé ñèíóñ è êîñèíóñ ñîîòâåòñòâåííî: sn(ξ; κ) = sin am(ξ; κ) è cn(ξ; κ) = cos am(ξ; κ). Òàêèì îáðàçîì, ôîðìà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè â ñòàöèîíàðíîé âîëíå èìååò âèä h(x) = h2 + (h3 − h2 ) cn2 (rx; κ). 85 Ââèäó ïðèñóòñòâèÿ çäåñü ôóíêöèè ”cn” òàêóþ âîëíó íàçûâàþò êíîèäàëüíîé âîëíîé. Ýòà íåëèíåéíàÿ âîëíà èìååò àìïëèòóäó a = (h3 − h2 )/2 è ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñ ïåðèîäîì 2Q L= 3g Zh3 p h2 ds (s − h1 )(s − h2 )(h3 − s) .  ïðåäåëå âîëí ìàëîé àìïëèòóäû a → 0 ïîëó÷àåì çíà÷åíèå κ = 0, òàê ÷òî àìïëèòóäà ßêîáè ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé β = rx, è êíîèäàëüíàÿ âîëíà ïðèíèìàåò ôîðìó ýëåìåíòàðíîãî âîëíîâîãî ïàêåòà h(x) = h0 + a cos kx ñ âîëíîâûì ÷èñëîì k = 2r è ñðåäíåé ãëóáèíîé æèäêîñòè h0 = (h2 + h3 )/2. Åñëè ââåñòè ôàçîâóþ ñêîðîñòü âîëíû u0 ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà u20 + 2gh0 = 2b (ýòî âïîëíå îïðàâäàíî, ïîñêîëüêó ïàðàìåòð b èìååò ñìûñë êîíñòàíòû Áåð- √ íóëëè), òî òîãäà ñ ÷èñëîì Ôðóäà F = u0 / gh0 ïîëó÷àåòñÿ äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå 1 . 1 + 13 h20 k 2 Ñëåäîâàòåëüíî, â ëèíåéíîì ïðåäåëå ñòàöèîíàðíàÿ âîëíà îêàçûâàåòñÿ äîêðèF2 = òè÷åñêîé, ÷òî õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ âûâîäàìè ï. 3.2.  äðóãîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà êîðåíü h2 → h1 ñòàíîâèòñÿ äâóêðàòíûì, ïðè κ → 1 ýëëèïòè÷åñêèé êîñèíóñ òàêæå ïðåâðàùàåòñÿ â ýëåìåíòàðíóþ ôóíêöèþ: cn(ξ; κ) → 1/ ch ξ .  ýòîì ïðåäåëå ïåðèîä L êíîèäàëüíîé âîëíû íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, è îíà òðàíñôîðìèðóåòñÿ â óåäèíåííóþ âîëíó ñ àìïëèòóäîé a = h3 − h2 è ïðîôèëåì ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè h(x) = h0 + a . ch2 rx Âåëè÷èíà h0 = h2 äàåò àñèìïòîòèêó ãëóáèíû ñëîÿ æèäêîñòè ïðè |x| → ∞, √ ïîýòîìó çäåñü ÷èñëî Ôðóäà F = u0 / gh0 åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü ïî ñêîðîñòè æèäêîñòè u0 íà áåñêîíå÷íîñòè (ò.å. èç óñëîâèÿ u20 + 2gh2 = 2b). Îòñþäà ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà Áóññèíåñêà äëÿ óåäèíåííîé âîëíû F2 = 1 + 86 a , h0 ñîãëàñíî êîòîðîé ýòà íåëèíåéíàÿ âîëíà ÿâëÿåòñÿ ñâåðõêðèòè÷åñêîé. 3.6. Âîëíû â äâóõñëîéíîé æèäêîñòè Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïëîñêîå áåçâèõðåâîå äâèæåíèå èäåàëüíîé æèäêîñòè, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ñëîåâ Ωj (t) (j = 1, 2) ñ ïëîòíîñòÿìè ρ1 6= ρ2 , ðàçäåëåííûõ ïîâåðõíîñòüþ y = h(x, t). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñíèçó âñÿ æèäêîñòü îãðàíè÷åíà ðîâíûì äíîì y = 0, à ñâåðõó íåïðîíèöàåìîé êðûøêîé y = H . Ïîòåíöèàëû ñêîðîñòåé ϕj è ôóíêöèÿ h óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì. ϕjxx + ϕjyy = 0, x = (x, y) ∈ Ωj (t) (j = 1, 2), ϕ1y = 0 (y = 0), ϕ2y = 0 (y = H), ht + ϕjx hx − ϕjy = 0, (j = 1, 2) ¡ ¢ 1 2 1 2 y = h(x, t). ρ1 ϕ1t + 2 ϕ1x + 2 ϕ1y + gh = ¡ ¢ = ρ ϕ + 1 ϕ2 + 1 ϕ2 + gh , 2 2t 2 2x 2y 2 Íàïîìíèì, ÷òî â óêàçàííîé ñèñòåìå óðàâíåíèé êèíåìàòè÷åñêîå óñëîâèå äîïóñêàåò íàëè÷èå íåíóëåâîãî ñêà÷êà êàñàòåëüíîé ñêîðîñòè æèäêîñòè íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñëîåâ, à äèíàìè÷åñêîå óñëîâèå òðåáóåò íåïðåðûâíîñòè äàâëåíèÿ. Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ ðàññìàòðèâàåò ìàëûå âîçìóùåíèÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîãî ãîðèçîíòàëüíîãî òå÷åíèÿ ñ ïðÿìîëèíåéíîé ãðàíèöåé h(x, t) = h1 = const è ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè uj â ñëîÿõ (ò.å. ñ ïîòåíöèàëàìè ϕ0j (x, y, t) = uj x − (gh1 + 12 u2j )t ). Îòûñêàíèå ðåøåíèé ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé â âèäå âîëíîâûõ ïàêåòîâ h = h1 +aei(kx−ωt), ϕ1 = ϕ01 +A ch kyei(kx−ωt), ϕ2 = ϕ02 +B ch k(H−y)ei(kx−ωt) ñ ïîñòîÿííûìè àìïëèòóäàìè a, A, B ïðèâîäèò ê äèñïåðñèîííîìó ñîîòíîøåíèþ ρ1 (ω − u1 k)2 cth kh1 + ρ2 (ω − u2 k)2 cth k(H − h1 ) = (ρ1 − ρ2 )gk (56) êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî ÷àñòîòû ω . Ïðè íàëè÷èè ïàðû êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ êîðíåé ó ýòîãî óðàâíåíèÿ îñíîâíîå òå÷åíèå îêàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì. Òàê, ÷àñòîòà ω ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé äëÿ âñåõ âîëíîâûõ 87 ÷èñåë k â ñëó÷àå ρ1 < ρ2 , êîãäà áîëåå òÿæåëàÿ æèäêîñòü íàõîäèòñÿ â âåðõíåì ñëîå. Ýòîò òèï íåóñòîé÷èâîñòè ãðàíèöû ðàçäåëà ñëîåâ íàçûâàåòñÿ íåóñòîé- ÷èâîñòüþ Ðýëåÿ Òåéëîðà. Åñëè æå ρ1 > ρ2 , íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì âåùåñòâåííîñòè êîðíåé ñëóæèò íåðàâåíñòâî (u2 − u1 )2 6 ¢g µ¡ th k(H − h1 ) + λ th kh1 , λ k (57) ãäå îáîçíà÷åíî λ = ρ2 /ρ1 , µ = 1 − λ. Åñëè u2 6= u1 (îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñëîåâ îòëè÷íà îò íóëÿ), òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ |k| äàííîå íåðàâåíñòâî íàðóøàåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàëè÷èè ïðîñêàëüçûâàíèÿ ñëîåâ èìååò ìåñòî êîðîòêîâîëíîâàÿ íåóñòîé÷èâîñòü, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ íåóñòîé- ÷èâîñòüþ Êåëüâèíà Ãåëüìãîëüöà. Ïðèáëèæåíèå ìåëêîé âîäû äëÿ äâóõñëîéíîé æèäêîñòè ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðåäñòàâëåíèÿ ïîòåíöèàëîâ ϕj (x, y, t) â âèäå ðÿäîâ Ëàãðàíæà ∞ X y 2n 2n ∂x A(x, t), ϕ1 = (−1) ε (2n)! n=0 n 2n ϕ2 = ∞ X − y)2n 2n ∂x B(x, t), (2n)! n 2n (H (−1) ε n=0 ãäå A(x, t) = ϕ1 |y=0 , B(x, t) = ϕ2 |y=H . Óðàâíåíèÿ äâóõñëîéíîé ìåëêîé âîäû äëÿ ôóíêöèé h, u = Ax , v = Bx èìåþò âèä ht + (uh)x = 0, ht − (v(H − h))x = 0, ut + uux + µghx = λ(vt + vvx ). Íåëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå âîëíû â äâóõñëîéíîé æèäêîñòè ïîä êðûøêîé îïèñûâàþòñÿ â òî÷íîé ïîñòàíîâêå ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè äëÿ ôóíêöèé òîêà ψj (x, y) (j = 1, 2) è ôóíêöèè h(x) (0 < h(x) < H): ψ1xx + ψ1yy = 0 (0 < y < h(x)), ψ1 (x, 0) = 0, ψ2xx + ψ2yy = 0 (h(x) < y < H), ψ1 (x, h(x)) = ψ2 (x, h(x)) = Q1 , ψ2 (x, H) = Q1 + Q2 , (58) 2 2 2 2 ρ1 (ψ1x + ψ1y + 2gh − 2b1 ) = ρ2 (ψ2x + ψ2y + 2gh − 2b2 ) (y = h(x)), ãäå Qj îáúåìíûé ðàñõîä æèäêîñòè, bj ïîñòîÿííàÿ Áåðíóëëè â j -ì ñëîå.  îòñóòñòâèå âîëí òå÷åíèå c ïðÿìîëèíåéíîé ãðàíèöåé ðàçäåëà è ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè â ñëîÿõ äàåòñÿ ðåøåíèåì h(x) = h1 = const (0 < h1 < H), 88 ψ1 (x, y) = u1 y , ψ2 (x, y) = u2 y + u1 h1 . Äàííîå ðåøåíèå ïîëó÷àåòñÿ ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ðàñõîäîâ è êîíñòàíò Áåðíóëëè: Q1 = h1 u1 , Q2 = h2 u2 , b1 = u21 + 2gh1 , b2 = u22 + 2gh1 , (59) ãäå h2 = H − h1 ãëóáèíà íåâîçìóùåííîãî âåðõíåãî ñëîÿ æèäêîñòè. Óêàçàííûå çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ Qj , bj äîëæíû ôèãóðèðîâàòü â óðàâíåíèÿõ (58) è ïðè îòûñêàíèè ðåøåíèé òèïà óåäèíåííûõ âîëí ñ àñèìïòîòèêîé h(x) → h1 , ∇ψj → (0, uj ) (j = 1, 2) ïðè |x| → +∞. Âòîðîå ïðèáëèæåíèå òåîðèè ìåëêîé âîäû äàåò äëÿ ôóíêöèè h(x) íåëèíåéíîå îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå µ ¶ µ ¶2 1 dh ρ1 Q21 (H − h) + ρ2 Q22 h = P (h), (60) 3 dx µ ¶ P (h) = h(h − H) (ρ1 − ρ2 )gh2 − 2(ρ1 b1 − ρ2 b2 )h + c + ρ1 Q21 (H − h) + ρ2 Q22 h, ãäå c ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Äëÿ óåäèíåííûõ âîëí óñëîâèå h(x) → 0, h0 (x) → 0 ïðè |x| → +∞ ñ íåîáõîäèìîñòüþ äàåò c = ρ1 u21 h1 + ρ2 u22 h2 − g(ρ1 − ρ2 )h21 + 2(ρ1 b1 − ρ2 b2 )h1 . Óðàâíåíèå (60), ïîëó÷åííîå Ë.Â.Îâñÿííèêîâûì äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïèñàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âîëí â äâóõñëîéíîé æèäêîñòè, ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì óðàâíåíèÿ Áóññèíåñêà Ðýëåÿ (55) â òåîðèè ïîâåðõíîñòíûõ âîëí.  çàâèñèìîñòè îò êðàòíîñòè è ðàñïîëîæåíèÿ âåùåñòâåííûõ êîðíåé h ∈ (0, H) ïîëèíîìà ÷åòâåðòîé ñòåïåíè P (h), ïðèñóòñòâóþùåãî â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (60), ïîëó÷àþòñÿ óåäèíåííûå âîëíû â âèäå âîçâûøåíèÿ èëè âïàäèíû íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñëîåâ, à òàêæå âîëíû òèïà ïëàâíîãî áîðà. Ïðèìåð. Çàïèøåì óðàâíåíèå (60) â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, ïîëàãàÿ â íåì h(x) = h1 (1 + η(x̄)), x = h1 x̄ è ââîäÿ áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû îòíîøåíèå íåâîçìóùåííûõ ãëóáèí ñëîåâ r = h2 /h1 è äåíñèìåòðè÷åñêèå (ïëîòíîñòíûå) ÷èñëà Ôðóäà F12 ρ1 u201 = , g(ρ1 − ρ2 )h1 F22 89 ρ2 u202 = . g(ρ1 − ρ2 )h2 Òîãäà ñîãëàñíî (60) äëÿ ôóíêöèè η , äàþùåé îòêëîíåíèå ãðàíèöû ðàçäåëà ñëîåâ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå £ ¡ ¢ ¡ ¢¤ µ ¶2 3η 2 η 2 + F22 − rF12 − 1 + r η + r F12 + F22 − 1 dη = dx̄ r3 F12 (1 − η) + F22 (r + η) (61) Îáëàñòè äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé 0 < h(x) < H çäåñü ñîîòâåòñòâóåò èíòåðâàë −1 < η < r. Ïîñêîëüêó äëÿ òàêèõ η çíàìåíàòåëü äðîáè â ïðàâîé ÷àñòè (61) ïîëîæèòåëåí, ïîëîæèòåëüíûì äîëæåí áûòü è ÷èñëèòåëü. À ýòî âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïàðàìåòðû F1 è F2 óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó F12 + F22 > 1. (62) Äàííîå îãðàíè÷åíèå äëÿ ïàðû ïàðàìåòðîâ (F1 , F2 ) èìååò âïîëíå îïðåäåëåííûé ñìûñë ñ òî÷êè çðåíèÿ äèñïåðñèîííûõ ñâîéñòâ ðàññìàòðèâàåìûõ íåëèíåéíûõ âîëí. À èìåííî, çàìåòèì, ÷òî äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå (56) â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíûõ âîëí (ò.å. âîëíîâûõ ïàêåòîâ ñ çàäàííîé ÷àñòîòîé ω = 0 è èñêîìûì áåçðàçìåðíûì âîëíîâûì ÷èñëîì ξ = kh0 ) èìååò â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ ñëåäóþùèé âèä: F12 ξ cth ξ + F22 rξ cth rξ = 1. Ïîñêîëüêó ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ f (ξ) = ξ cth ξ ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïðè ξ > 0, âåùåñòâåííûå êîðíè ξ ∈ R âîçìîæíû òîëüêî ïðè F12 + F22 6 1. Òàêèì îáðàçîì, ëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå âîëíû â äâóõñëîéíîé æèäêîñòè, èìåþùèå âèä ñèíóñîèäàëüíûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ, ñóùåñòâóþò òîëüêî â äîêðèòè÷åñêîé îáëàñòè F12 + F22 6 1. À óðàâíåíèå (61) îïèñûâàåò íåëèíåéíûå âîëíû, ñóùåñòâóþùèå â ñâåðõêðèòè÷åñêîé îáëàñòè (62). 3.7. Âíóòðåííèå âîëíû â ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè Äëÿ ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ u = 0 â ñèñòåìå (38) îñòàåòñÿ óðàâíåíèå ∇p = ρg, îòêóäà ñëåäóåò p = p0 (z), ρ = ρ0 (z), ãäå ôóíêöèè p0 è ρ0 ñâÿçàíû çàêîíîì ãèäðîñòàòèêè dp0 /dz = −gρ0 (z). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîêîÿùàÿñÿ íåîäíîðîäíàÿ æèäêîñòü ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ðàññëàèâàåòñÿ ïëîñêîñòÿìè z = const íà ãîðèçîíòàëüíûå ñëîè (ñòðàòû), â êàæäîì èç êîòîðûõ ïëîòíîñòü ïîñòîÿííà. Òàêîå ðàññëîåíèå íàçûâàåòñÿ ñòðàòèôèêàöèåé, à ñàìà ðàññëîåííàÿ æèäêîñòü ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòüþ. Ñòðàòèôèêàöèÿ èìååò ìåñòî è â ãîðèçîíòàëüíîì ñäâèãîâîì òå÷åíèè, êîòîðîå îïèñûâàåòñÿ òî÷íûì ðåøåíèåì u = u0 (z), v = v0 (z), w = 0, ρ = ρ0 (z) p = p0 (z), ñ ïðîèçâîëüíûìè ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè u0 , v0 , ρ0 è äàâëåíèåì p0 , ñâÿçàííûì ñ ρ0 óðàâíåíèåì ãèäðîñòàòèêè. 90  îáùåì ñëó÷àå ñîãëàñíî âòîðîìó èç óðàâíåíèé ñèñòåìû (38) ïëîòíîñòü ρ ñîõðàíÿåò ñâîå çíà÷åíèå âäîëü òðàåêòîðèé ÷àñòèö æèäêîñòè èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé dx/dt = u(x, t). Ïîýòîìó êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ ïëîòíîñòè ρ(x, t) = const â ïðîöåññå äâèæåíèÿ âñå âðåìÿ ñîñòîèò èç îäíèõ è òåõ æå ÷àñòèö æèäêîñòè, ñîõðàíÿÿñü êàê ìàòåðèàëüíûé îáúåêò. Ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé âäîëü òàêèõ ïîâåðõíîñòåé â òîëùå æèäêîñòè íàçûâàþò âíóòðåííèìè âîëíàìè. Äëÿ îïèñàíèÿ âîëíîâîãî äâèæåíèÿ â ñëîå æèäêîñòè êîíå÷íîé ãëóáèíû 0 < z < h(x, y, t), îãðàíè÷åííîãî ðîâíûì äíîì z = 0 è ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ z = h(x, y, t), çàäàþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ: w = 0 (z = 0); ht + uhx + vhy = w, p = p0 = const (z = h). ×àñòî, ÷òîáû èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ ïîâåðõíîñòíûå âîëíû, â êà÷åñòâå âåðõíåé ãðàíèöû ñëîÿ ðàññìàòðèâàþò æåñòêóþ íåïðîíèöàåìóþ êðûøêó z = h0 , íà êîòîðîé âûïîëíåíî óñëîâèå íåïðîòåêàíèÿ w = 0. Ìàëûå âîçìóùåíèÿ u = u0 + u0 , ρ = ρ0 + ρ0 , p = p0 + p0 ñäâèãîâîãî òå÷åíèÿ ñ âåêòîðîì ñêîðîñòè u0 = (u0 (z), v0 (z), 0) îïèñûâàþòñÿ ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé u0x + vy0 + wz0 = 0, D0 ρ0 + ρ0z w0 = 0, 1 0 1 px + u0z w0 = 0, D0 v 0 + p0y + v0z w0 = 0, ρ0 ρ0 1 g D0 w0 + p0z + ρ0 = 0, ρ0 ρ0 ãäå îáîçíà÷åíî D0 = ∂t + u0 ∂x + v0 ∂y . Äàííàÿ ñèñòåìà ïîñëåäîâàòåëüíûì D0 u0 + èñêëþ÷åíèåì èñêîìûõ ôóíêöèé ñâîäèòñÿ ê îäíîìó óðàâíåíèþ äëÿ âåðòèêàëüíîé ñêîðîñòè æèäêîñòè w0 ¡ ¢ ∂ ρ0 N 2 + D02 ∆2 w0 + D02 ∂z µ ∂w0 ρ0 ∂z 91 ¶ − µ ¶ ∂w0 ∂w0 −D0 (ρ0 u0z )z + (ρ0 v0z )z = 0, ∂x ∂y (63) ãäå ∆2 = ∂x2 +∂y2 . Âõîäÿùàÿ ñþäà âåëè÷èíà N = N (z) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé N2 = − gρ0z , ρ0 îíà èìååò ðàçìåðíîñòü ÷àñòîòû è íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé ÁðåíòàÂÿéñÿëÿ (òàêæå ÷àñòîòîé ïëàâó÷åñòè). Äëÿ îïèñàíèÿ âíóòðåííèõ âîëí â æèäêîñòè ñî ñëàáîé ñòðàòèôèêàöèåé ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðèáëèæåíèå Áóññèíåñêà (íå ñëåäóåò ïóòàòü åãî ñ ìîäåëÿìè Áóññèíåñêà â òåîðèè ìåëêîé âîäû!), ñîãëàñíî êîòîðîìó êîýôôèöèåíòû ρ0 è N â óðàâíåíèè (63) ñ÷èòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè: ρ0 (z) ≈ ρ00 = const > 0, N (z) ≈ N0 = const 6= 0.  îòñóòñòâèå ñäâèãà ñêîðîñòè ýòî äàåò óðàâíåíèå ∆wtt + N02 ∆2 w = 0, ãäå ∆ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 . Ïðèìåð. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîöåññ ãåíåðàöèè âíóòðåííèõ âîëí â ñëàáîñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè, çàïîëíÿþùåé âñå ïðîñòðàíñòâî R3 . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òî÷å÷íûé èñòî÷íèê âîçìóùåíèé ñîñðåäîòî÷åí â íà÷àëå êîîðäèíàò x = 0 è êîëåáëåòñÿ ñ ìàëîé àìïëèòóäîé è çàäàííîé ÷àñòîòîé ω0 , âîçáóæäàÿ âîëíîâîå ïîëå â âèäå ýëåìåíòàðíûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ w = a exp{i(kx + ly + mz − ω0 t)}. Êîìïîíåíòû âîëíîâîãî âåêòîðà k = (k, l, m) ñâÿçàíû ñ ÷àñòîòîé ω0 äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì ω02 = N02 k 2 + l2 . k 2 + l 2 + m2 Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòîòà ãåíåðèðóåìûõ âîëí íå ìîæåò ïðåâîñõîäèòü ÷àñòîòû ÁðåíòàÂÿéñÿëÿ: ω0 6 N0 . Êðîìå òîãî, èçâåñòåí òàêæå è óãîë β0 , ïîä êîòîðûì âîëíîâîé âåêòîð íàêëîíåí ê ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè Oxy : β0 = arccos(ω0 /N0 ). Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ âîëíîâûõ ïàêåòîâ ïåðåíîñèòñÿ îò èñòî÷íèêà âîçìóùåíèé â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ãðóïïîâîé ñêîðîñòè cg = ∇ω(k), ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âûÿñíèòü âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå âåêòîðîâ cg è k. Äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äàåò çàâèñèìîñòü ω = ω(k), îäíîðîäíóþ íóëåâîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî k, ïîýòîìó â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà R3 âåêòîð ãðóïïîâîé ñêîðîñòè îðòîãîíàëåí âîëíîâîìó âåêòîðó: k · cg (k) = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå âîëíîâîå äâèæåíèå, âîçáóæäàåìîå òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì êîëåáàíèé, ñîñðåäîòî÷åíî â îêðåñòíîñòè êîíóñà, îñü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ îñüþ Oz , à óãîë ðàñòâîðà êîíóñà ðàâåí β0 . 92 Äëÿ ñëîÿ ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè, èìåþùåãî êîíå÷íóþ ãëóáèíó h0 è íåîãðàíè÷åííîãî â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè, âíóòðåííèå âîëíû îïèñûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûìè âîëíîâûìè ïàêåòàìè w(x, y, z, t) = W (z) ei(kx+ly−ωt) . Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ τ (z) = ku0 (z) + lv0 (z) − ω, m2 = k 2 + l 2 . Òîãäà äëÿ àìïëèòóäíîé ôóíêöèè W â ñèëó (63) ïîëó÷àåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå d dz µ ¶ ¡ ¢W d W ρ0 τ 2 = ρ0 m2 τ 2 − N 2 dz τ τ (0 < z < h0 ). Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ æèäêîñòè ïîä êðûøêîé èìåþò âèä W (0) = W (h0 ) = 0, à ïðè íàëè÷èè ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè îíè òàêîâû: W = 0 (z = 0), τ2 d W W = gm2 dz τ τ (z = h0 )  ýòèõ óðàâíåíèÿõ ïðè çàäàííîì âîëíîâîì âåêòîðå k = (k, l) íàðÿäó ñ ôóíêöèåé W èñêîìûì ÿâëÿåòñÿ è ïàðàìåòð ω , âõîäÿùèé â êîýôôèöèåíò τ è óñëîâèå íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè. Òå çíà÷åíèÿ ω , ïðè êîòîðûõ èìåþòñÿ íåíóëåâûå ðåøåíèÿ W , îáðàçóþò ñïåêòð. Åñëè ñïåêòð òàêîâ, ÷òî âñåãäà Re ω 6 0, òî èñõîäíîå îñíîâíîå òå÷åíèå ñ âåêòîðîì ñêîðîñòè u0 = (u0 , v0 , 0) óñòîé÷èâî.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî íåóñòîé÷èâîñòü ñäâèãîâîãî òå÷åíèÿ. Äëÿ âíóòðåííèõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè (u0 = v0 = 0) ïîä êðûøêîé, ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷à ïðèíèìàåò âèä µ (ρ0 Wz )z = ρ0 m2 N2 1− 2 ω ¶ W (0 < z < h0 ), W (0) = W (h0 ) = 0. (64) Åñëè âåðõíÿÿ ãðàíèöà ñëîÿ æèäêîñòè ñâîáîäíà, ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èìåþò âèä W (0) = 0, m2 W (h0 ) = g 2 W (h0 ). ω 0 93 Çàìåòèì, ÷òî ïðè êîìïëåêñíûõ ω 2 òàêæå êîìïëåêñíîé áóäåò è ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ W . Äîìíîæåíèå íà êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííóþ âåëè÷èíó W è èíòåãðèðîâàíèå ïî èíòåðâàëó (0, h0 ) äàåò ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå: Zh0 ω2 ¡ ¢ ρ0 |Wz |2 + m2 |W |2 dz = gρ0 (h0 )|W (h0 )|2 + 0 Zh0 ρ0 N 2 |W |2 dz. 0 Åñëè ñòðàòèôèêàöèÿ òàêîâà, ÷òî ïëîòíîñòü ρ0 (z) íå óáûâàåò ïðè óìåíüøåíèè z , ìû èìååì N 2 (z) > 0 âñþäó ïðè z ∈ (0, h0 ).  ýòîì ñëó÷àå âñåãäà ω 2 > 0, è ñïåêòð âåùåñòâåííûé. Áîëåå äåòàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ î ñâîéñòâàõ ñïåêòðà äàåòñÿ ñëåäóþùèìè óòâåðæäåíèÿìè. (a) ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ñåìåéñòâî âîëíîâûõ ìîä ωn2 (m) (n = 1, 2, ...), ïðè÷åì ω12 (m) > ω22 (m) > ... > ωn2 (m) > ...; ωn2 (m) → 0 (n → ∞) (b) ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ Wn (z) èìååò íà ïðîìåæóòêå [0, h0 ] ðîâíî n íóëåé â ñëó÷àå ñâîáîäíîé âåðõíåé ãðàíèöû, è ðîâíî n + 1 íóëü äëÿ âîëíîâîãî äâèæåíèÿ ïîä êðûøêîé; (ñ) ôàçîâàÿ ñêîðîñòü cn (m) = ωn (m)/m äëÿ êàæäîé èç âîëíîâûõ ìîä ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàþùåé ôóíêöèåé ïàðàìåòðà m (ìîäóëÿ âîëíîâîãî âåêòîðà). Çàäà÷à.  ïðèáëèæåíèè Áóññèíåñêà íàéòè ñïåêòð ôàçîâûõ ñêîðîñòåé è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è î äâóìåðíûõ ëèíåéíûõ âíóòðåííèõ âîëíàõ â ñëîå ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè ïîä êðûøêîé. ×åìó ðàâíû ãðóïïîâûå ñêîðîñòè äëÿ êàæäîé èç âîëíîâûõ ìîä? Ðåøåíèå. Ïîëîæèì â (64) äëÿ ïëîñêîãî äâèæåíèÿ m2 = k2 , ãäå k âîëíîâîå ÷èñëî, è ïðèìåì ρ0 (z) = const è N (z) = N0 = const ñîãëàñíî ïðèáëèæåíèþ Áóññèíåñêà. Äàëåå, â ñëó÷àå ω 6 N0 îáîçíà÷èì µ 2 λ = −m 2 N2 1 − 20 ω ¶ .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ Wzz + λ2 W = 0 (0 < z < h0 ), 94 W (0) = W (h0 ) = 0, ÷òî ñðàçó äàåò λ = λn = πn/h0 è ϕn (z) = sin λn z (n = 1, 2, ...). Âûðàæàÿ ω ÷åðåç λ, îòñþäà íàõîäèì âîëíîâûå ìîäû ωn2 (k) = N02 k 2 /(k 2 + λ2n ). Ñîîòâåòñòâåííî, ôàçîâûå (n) (n) ñêîðîñòè cp = ωn (k)/k è ãðóïïîâûå ñêîðîñòè cg = dωn (k)/dk èìåþò âèä c(n) p (k) = ± p (n) N0 , k 2 + λ2n cg(n) (k) = ± N0 λ2n . (k 2 + λ2n )3/2 (n) ßñíî, ÷òî |cg (k)| < |cp (k)| ïðè âñåõ k 6= 0, è ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî â äëèí(n) íîâîëíîâûì ïðåäåëå k = 0, êîòîðûé äîñòàâëÿåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå cp (n) = cg = N0 h0 /(πn) ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòè n-é ìîäû.  ñëó÷àå ω > N0 äîïîëíèòåëüíûõ ðåøåíèé äëÿ çàäà÷è ñ êðûøêîé íà âåðõíåé ãðàíèöå ñëîÿ íå âîçíèêàåò íàéäåííûå ðåøåíèÿ èñ÷åðïûâàþò âåñü ñïåêòð. Åñëè æå ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ W (z) èìååò íóëü W (h∗ ) = 0 â òî÷êå z = h∗ , ëåæàùåé â èíòåðâàëå (0, h0 ], è ïðè ýòîì âûïîëíåíî N 2 (z) < 0 äëÿ z ∈ (0, h∗ ), òî òîãäà äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ñïåêòðàëüíîãî çíà÷åíèÿ èìååì ω 2 < 0, è äâèæåíèå íåóñòîé÷èâî.  ÷àñòíîñòè, äâèæåíèå âñåãäà íåóñòîé÷èâî, åñëè ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ0 (z) ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèé íà ïðîìåæóòêå (0, h0 ). Ëèòåðàòóðà 1. Êî÷èí Í.Å., Êèáåëü È.À., Ðîçå Í.Â. Òåîðåòè÷åñêàÿ ãèäðîìåõàíèêà. ×. 1. - Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. 2. Ëàâðåíòüåâ Ì.À., Øàáàò Á.Â. Ïðîáëåìû ãèäðîäèíàìèêè è èõ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. Ì.: Íàóêà, 1973, 416 ñ. 3. Ëàìá Ã. Ãèäðîäèíàìèêà. Ì.-Ë.: ÃÈÒÒË, 1947. 928 ñ. 4. Ëÿïèäåâñêèé Â.Þ., Òåøóêîâ Â.Ì. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ðàñïðîñòðàíåíèÿ äëèííûõ âîëí â íåîäíîðîäíîé æèäêîñòè. Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî ÑÎ ÐÀÍ, 2000, 420 ñ. 5. Ìèëí-Òîìñîí Ë. Ì. Òåîðåòè÷åñêàÿ ãèäðîäèíàìèêà. Ì.: Ìèð, 1964, 656 ñ. 6. Íàëèìîâ Â.È., Ïóõíà÷åâ Â.Â. Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè ñî ñâîáîäíîé ãðàíèöåé. Íîâîñèáèðñê, ÍÃÓ, 1975, 174 ñ. 95 7. Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä â çàäà÷àõ. Òîì 1: Òåîðèÿ è çàäà÷è. Òîì 2: Îòâåòû è ðåøåíèÿ. Ïîä ðåä. Ì.Ý. Ýãëèò. Ì.: Ìîñêîâñêèé ëèöåé, 1996. 8. Îâñÿííèêîâ Ë.Â., Ìàêàðåíêî Í.È., Íàëèìîâ Â.È. è äð. Íåëèíåéíûå ïðîáëåìû òåîðèè ïîâåðõíîñòíûõ è âíóòðåííèõ âîëí. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1985. 320 ñ. 9. Ñîâðåìåííàÿ ãèäðîäèíàìèêà. Óñïåõè è ïðîáëåìû. Ðåä. Äæ. Áýò÷åëîð, Ã. Ìîôôàò. Ì.: Ìèð, 1984. 504 ñ. 10. Ñðåòåíñêèé Ë.Í. Òåîðèÿ âîëíîâûõ äâèæåíèé æèäêîñòè. Ì.: Íàóêà, 1977. 816 ñ. 11. Ñòîêåð Äæ. Äæ. Âîëíû íà âîäå. Ì.: ÈË, 1959. 12. Òåðíåð Äæ. Ýôôåêòû ïëàâó÷åñòè â æèäêîñòÿõ. Ì.: Ìèð, 1977. 432 ñ. 13. Debnath L. Nonlinear water waves. San Diego, London: Academic Press, 1994. 544 p. 14. Johnson R.S. A modern introduction to the mathematical theory of water waves. Cambridge Univ. Press, 1997. 15. Yih C.S. Stratied ows. N.-Y.: Academic Press, 1980. 418 p. 96 Çàäà÷è 1. Ïîïëàâîê ïîäíèìàåòñÿ è îïóñêàåòñÿ íà âîëíå ïÿòíàäöàòü ðàç â ìèíóòó. Íàéòè äëèíó âîëíû L è ñêîðîñòü åå ðàñïðîñòðàíåíèÿ c, ñ÷èòàÿ àìïëèòóäó âîëíû ìàëîé è ãëóáèíó æèäêîñòè áåñêîíå÷íî áîëüøîé. Îòâåò: L = 24.98 ì, c = 6.25 ì/ñ. 2. Öèêëîï Ïîëèôåì áðîñèë â êîðàáëü Îäèññåÿ áîëüøóþ êàìåííóþ ãëûáó, íî íå ïîïàë. Ïåðâàÿ ãðóïïà ñàìûõ áûñòðûõ è îïàñíûõ âîëí äîñòèãëà ñóäíà ÷åðåç 5 ñåêóíä è åäâà íå îïðîêèíóëà åãî. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò êîðàáëÿ, ñòîÿâøåãî â áóõòå íà ÿêîðå íà ãëóáèíå 5 ì, óïàëà ãëûáà? Îòâåò: 35 ì. 3. Ðàññìàòðèâàåòñÿ áåãóùàÿ ïëîñêàÿ âîëíà â æèäêîñòè êîíå÷íîé ãëóáèíû ñî ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ y = h0 + a cos(kx − ωt) (|a| < h0 ; ïàðàìåòðû ω è k ñâÿçàíû äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì ëèíåéíîé òåîðèè ω 2 = gk th kh0 ). Íàéòè òðàåêòîðèè ÷àñòèö x = x(t), ðàçûñêèâàÿ ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå x(t) = (x(t), y(t)) óðàâíåíèé dx g ak ch ky cos(kx − ωt), = dt ω ch kh0 dy g ak sh ky sin(kx − ωt), = dt ω ch kh0 (65) (x, y)|t=0 = (ξ, η) â âèäå x(t) = x0 (t) + α x1 (t) + O(α2 ) ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì α = ak . Ïî êàêîé êðèâîé â ïëîñêîñòè (x, y) äâèæåòñÿ òî÷êà x∗ (t) = x0 (t) + α x1 (t)? ßâëÿåòñÿ ëè åå äâèæåíèå ïåðèîäè÷åñêèì ïî t? Îòâåò: ch kη sh kh0 sh kη y(t) = η − a sh kh0 x(t) = ξ + a ¡ ¢ sin kξ − sin(kξ − ωt) + O(a2 k 2 ), ¡ ¢ cos kξ − cos(kξ − ωt) + O(a2 k 2 ); òî÷êà x∗ (t) âðàùàåòñÿ ñ ïåðèîäîì T = 2π/ω ïî ýëëèïñó. 4. Íàéòè òî÷íîå ðåøåíèå x(t) = (x(t), 0) óðàâíåíèé (65), îïèñûâàþùåå ãîðèçîíòàëüíîå äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïðèäîííîì ñëîå y = 0, èìåþùåé ïðè 97 t = 0 êîîðäèíàòû x(0) = (0, 0). Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè ýòîãî ðåøåíèÿ x(t) = x0 (t) + a x1 (t) + a2 x2 (t) + O(a3 ) ïî ñòåïåíÿì àìïëèòóäíîãî ïàðàìåòðà a. Îòâåò: ¢ ¡ Rz 1¡ ak ¢ ds ωt + f −1 (ωt) , ãäå f (z) = β= ; k sh kh0 0 β cos s − 1 1 2ωt − sin 2ωt sin ωt , x2 (t) = k . x0 (t) ≡ 0, x1 (t) = sh kh0 4 sh2 kh0 x(t) = 5.  ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ðàññìàòðèâàåòñÿ òðåõìåðíîå âîëíîâîå äâèæåíèå áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé æèäêîñòè ñ âåùåñòâåííûì ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòåé ϕ = Im (ϕ1 + ϕ2 ), ãäå ϕj êîìïëåêñíûå âîëíîâûå ïàêåòû ϕj (x, z, t) = b emz+i(kj ·x−ωt) , x = (x, y) ñ ðàçíûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè k1 = (k, l), k2 = (−k, l), íî îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé ω = √ gm (m = |k1 | = |k2 |) è àìïëèòóäîé b ∈ R. Ïîêàçàòü, ÷òî äàííûé ïîòåíöèàë ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íåïðîòåêàíèÿ ϕx = 0 íà âåðòèêàëüíîé ñòåíêå x = 0, è íàéòè ôîðìó ëèíèè êîíòàêòà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè z = ζ(x, y, t) ñ ýòîé ñòåíêîé â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè. Îòâåò: ζ(0, y, t) = 2bω cos(ly − ωt). g 6.  ðàìêàõ ëèíåéíîé òåîðèè âîëí îïðåäåëèòü ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé æèäêîñòè ñ ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòåé ϕ = eiωt Φ(x, y, z) â ïðÿìîóãîëüíîì áàññåéíå ãëóáèíû h0 , äëèíû a è øèðèíû b. ×åìó ðàâíà íàèìåíüøàÿ èç ýòèõ ÷àñòîò? Îòâåò: 2 = gλnm th λnm h0 , ωnm ¢ ¡ λ2nm = π 2 (n/a)2 + (m/b)2 (n, m = 0, 1, 2, ...; n + m 6= 0), 2 = min ωnm nm πg πh0 th . a a 7. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíàÿ çàäà÷à Êîøè Ïóàññîíà î äâóìåðíûõ âîëíàõ íà ïîâåðõíîñòè áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé æèäêîñòè (ìàëûå âîçìóùåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ): Φxx + Φyy = 0 98 (−∞ < y < 0), ∇Φ → 0 ζt = Φy , (y → −∞), Φt + gζ = 0 Φ(x, y, 0) = Φ0 (x, y), (y = 0), ζ(x, 0) = ζ0 (x). Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ζ , îïèñûâàþùàÿ ôîðìó ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè y = ζ(x, t), óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ Z+∞ g ζx (x0 , t) 0 ζ tt (x, t) + v.p. dx = 0 π x − x0 −∞ ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè ζ(x, 0) = η0 (x), Óêàçàíèå: ζt (x, 0) = Φ0y (x, 0). âîñïîëüçîâàòüñÿ èíòåãðàëüíîé ôîðìóëîé Êîøè äëÿ êîìïëåêñíîé ôóíê- öèè f (z, t) = Φxt − iΦyt , àíàëèòè÷åñêîé ïî z = x + iy â ïîëóïëîñêîñòè Im z < 0. 8.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïîñòðîèòü ðåøåíèå ζ(x, t) äëÿ íà÷àëüíûõ äàííûõ ζ(x, 0) = 0, ζt (x, 0) = x2 2a + a2 (a > 0 − const), èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè ζ â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå. Îòâåò: ζ = f+ (x, t) + f− (x, t), Z+∞ p dk f± (x, t) = e−ak sin(kx± gk t) √ . gk 0 9. ×àñòîòà ω â ãðóïïàõ âîëí, ïðèõîäÿùèõ èç îòäàëåííîé øòîðìîâîé îáëàñòè, ìåíÿëàñü ëèíåéíî ñî âðåìåíåì è çà ïåðèîä íàáëþäåíèÿ τ âîçðîñëà íà âåëè÷èíó ∆. Èñïîëüçóÿ äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ âîëí íà ãëóáîêîé âîäå, îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå r äî ìåñòà øòîðìà. Îòâåò: r= gτ . 2∆ 10. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòåé ëèíåéíûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ïî ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè ãëóáèíû h0 , 99 ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå 1 cg (k) = cp (k) 2 µ 2kh0 1+ sh 2kh0 ¶ . Èñïîëüçóÿ ýòî ðàâåíñòâî, ïîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå cg (k)/cp (k) ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàþùåé ôóíêöèåé âîëíîâîãî ÷èñëà k íà ïîëóîñè k ∈ (0, +∞). ×åìó ðàâíî ýòî îòíîøåíèå â ïðåäåëå äëèííûõ (k → 0) è êîðîòêèõ (k → +∞) âîëí? Îòâåò: cg (k) = 1; k→ 0 cp (k) lim cg (k) 1 = . k→ +∞ cp (k) 2 lim 11. Âûâåñòè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ïëîñêîé çàäà÷è î âîëíàõ íà âîäå ñ ó÷åòîì ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ äàâëåíèÿ íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè z = h(x, t) èìååò âèä p = −2σhxx (1+ h2x )−3/2 , ãäå σ > 0 êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. 12. Íàéòè ñîîòíîøåíèå ìåæäó ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ U è ôàçîâîé ñêîðîñòüþ c äëÿ êîðîòêèõ (â ïðåäåëå L = 2π/k → 0) êàïèëëÿðíî-ãðàâèòàöèîííûõ âîëí íà ãëóáîêîé âîäå. Îòâåò: U = (3/2) c 13. Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê âîëí äâèæåòñÿ íà ïîâåðõíîñòè ãëóáîêîé âîäû ïðÿìîëèíåéíî è ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Ïîêàçàòü, ÷òî âñå ãðóïïû âîëí, ñòàöèîíàðíûõ îòíîñèòåëüíî èñòî÷íèêà âîçìóùåíèé, ñîñðåäîòî÷åíû âíóòðè óãëà 2 arcsin (1/3) (óãîë Êåëüâèíà) íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè ñ âåðøèíîé â ýòîì èñòî÷íèêå. 14. Ïîñòðîèòü íåïðåðûâíûå ïðè t > 0 àâòîìîäåëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû ht + (uh)x = 0, ut + uux + ghx = 0, çàâèñÿùèå îò îòíîøåíèÿ x/t. Îòâåò: u(x, t) = 2x + C, 3t h(x, t) = ´2 1³x −C , g 3t 100 C = const. 15. Íàéòè âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû ñ ëèíåéíûì ïîëåì ñêîðîñòåé u(x, t) = a(t)x + b(t). 16. Äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû íàéòè âñå äèôôåðåíöèàëüíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ Pt + Qx = 0 ñ ïîëèíîìèàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè P (u, h) ñòåïåíè íå âûøå òðåòüåé. Îòâåò: µ ¶ 1 2 1 2 P (u, h) = C1 u + C2 h + C3 uh + C4 u h + gh , 2 2 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 2 1 2 1 3 2 2 Q(u, h) = C1 u + gh + C2 uh + C3 u h + gh + C4 u h + guh . 2 2 2 17. Âûâåñòè óðàâíåíèå óäàðíîé àäèàáàòû â ïëîñêîñòè (u, h) ñ öåíòðîì â òî÷êå (u0 , h0 ) äëÿ ñèëüíîãî ðàçðûâà, îïèñûâàåìîãî çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ ìàññû è ïîëíîãî èìïóëüñà (46) ñèñòåìû óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû. Îòâåò: (u − u0 )2 = g(h + h0 ) (h − h0 )2 . 2hh0 18.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ îòíîñèòåëüíûõ ñêîðîñòåé æèäêîñòè v = u − D è v0 = u0 − D ïî ðàçíûå ñòîðîíû ñèëüíîãî ðàçðûâà (D ñêîðîñòü ðàçðûâà) ÷åðåç ãëóáèíû h è h0 (h > h0 ). Âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ýòè ñêîðîñòè äîêðèòè÷åñêèìè èëè ñâåðõêðèòè÷åñêèìè. Îòâåò: r v=± s gh0 (h + h0 ) , v0 = ± 2h gh(h + h0 ) ; 2h0 |v| < p p gh, |v0 | > gh0 . 19. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ãèäðàâëè÷åñêèé ïðûæîê ñòàöèîíàðíûé ñèëüíûé ðàçðûâ äëÿ óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû ñî ñêîðîñòüþ D = 0, íà êîòîðîì âûïîëíåíû çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ìàññû è ïîëíîãî èìïóëüñà. Ïîêàçàòü, ÷òî ïîòîê ýíåðãèè Q = 1 2 u3 h + guh2 èìååò ñêà÷îê [Q] = gm [h]3 , 4hh0 ãäå m = uh = u0 h0 ïîòîê ìàññû, à äëÿ ãëóáèí æèäêîñòè h è h0 101 âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå ³p ´ 1 2 h = h0 1 + 8F − 1 , 2 √ ãäå F = u0 / gh0 ÷èñëî Ôðóäà. 20.  ðåçóëüòàòå ïðîõîæäåíèÿ ïðèëèâíîãî áîðà ââåðõ ïî òå÷åíèþ ðåêè óðîâåíü âîäû â íåé ïîâûñèëñÿ íà 10%, à ñêîðîñòü òå÷åíèÿ u0 óìåíüøèëàñü âäâîå. ×åìó ðàâíÿåòñÿ ñêîðîñòü áîðà? Îòâåò: D= 9 u0 . 2 21. Æèäêîñòü ïîêîèòñÿ â êàíàëå ñ ïîïåðå÷íîé âåðòèêàëüíîé ïåðåãîðîäêîé x = 0 è èìååò ãëóáèíû h0 > h1 ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåå.  ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ïåðåãîðîäêà óáèðàåòñÿ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî æèäêîñòü ïðèõîäèò â äâèæåíèå.  ïðèáëèæåíèè ìåëêîé âîäû íàéòè ôîðìó ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè z = h(x, t) ïðè t > 0, ðàçûñêèâàÿ àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå ñ öåíòðèðîâàííûìè âîëíàìè è ñèëüíûìè ðàçðûâàìè. 22. Ïðîâåðèòü, ÷òî íåëèíåéíîå êèíåìàòè÷åñêîå óñëîâèå äëÿ ïîòåíöèàëà ñêîðîñòåé ϕ íà ñâîáîäíîé ãðàíèöå z = h(x, y, t) â òðåõìåðíîé çàäà÷å Êîøè Ïóàññîíà ýêâèâàëåíòíî äèâåðãåíòíîìó óðàâíåíèþ Zh ∇(x, y) ϕ(x, y, z, t) dz = 0. ht + div(x, y) 0 23. Äëÿ ïëîñêîé çàäà÷è ÊîøèÏóàññîíà ïîêàçàòü, ÷òî íà ñâîáîäíîé ãðàíèöå y = h(x, t) êàñàòåëüíàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèö æèäêîñòè u(x, t) = (ϕx + hx ϕy )y=h è íîðìàëüíàÿ ñêîðîñòü v(x, t) = (ϕy − hx ϕx )y=h óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé ht = v, 1 ∂ u2 − 2hx uv + v 2 ut + + ghx = 0. 2 ∂x 1 + h2x 102 24. Ïîêàçàòü, ÷òî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè â äâóìåðíîé çàäà÷å ÊîøèÏóàññîíà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ∂ 1 ∂t 2 Zh ¡ ¢ 2 ϕ2x + ϕy 0 1 ∂ dy + gh2 = 2 ∂x Zh ϕx ϕt dy. 0 25. Ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (54), îïèñûâàþùèå ïëîñêèå íåëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå ïîâåðõíîñòíûå âîëíû, äîïóñêàþò ïåðâûé èíòåãðàë h(x) Z ³ ψx2 (x, y) ´ − ψy2 (x, y) dy + gh2 (x) − 2bh(x) = c (c = const). 0 26. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ íàéòè ñîáñòâåííûå ôóíêöèè äâóìåðíîé çàäà÷è î ñòàöèîíàðíûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëíàõ, ëèíåàðèçîâàííîé íà ñâåðõêðèòè÷åñêîì ïîòîêå ñ ïîñòîÿííîé ãëóáèíîé h0 è ñêîðîñòüþ u0 > √ gh0 : Φxx + Φyy = 0 (0 < y < h0 ), Φy = 0 (y = 0), u20 Φxx + gΦy = 0 Îòâåò: ±αn x/h0 Φ± cos (αn y/h0 ) n (x, y) = e ãäå αn = αn (F ) (πn < αn < π 2 (y = h0 ). (n = 0, 1, 2, . . .), + πn) êîðåíü óðàâíåíèÿ tg α = F 2 α √ ñ çàäàííûì ÷èñëîì Ôðóäà F = u0 / gh0 . 27. Ïåðåìåííûå Ëåâè×èâèòà τ (ϕ, ψ), θ(ϕ, ψ) ââîäÿòñÿ äëÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé u = (ϕx , ϕy ) ïëîñêîãî ñòàöèîíàðíîãî áåçâèõðåâîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû u = eτ (cos θ, sin θ), ïðè ýòîì â êà÷åñòâå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ èñïîëüçóþòñÿ ïîòåíöèàë ϕ è ôóíêöèÿ òîêà ψ . Ïîêàçàòü, ÷òî íåëèíåéíîå äèíàìè÷åñêîå óñëîâèå íà ñâîáîäíîé ãðàíèöå ϕ2x + ϕ2y + 2λy = const (y = h(x)) çàïèñûâàåòñÿ â ïåðåìåííûõ Ëåâè×èâèòà â âèäå θψ = λ e−3τ sin θ (ψ = ψ0 ). 103 Çäåñü λ = gh0 /u20 êâàäðàò îáðàòíîãî ÷èñëà Ôðóäà, à ψ0 çíà÷åíèå ôóíêöèè òîêà íà ñâîáîäíîé ãðàíèöå: ψ(x, h(x)) = ψ0 . 28. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïëîñêîå áåçâèõðåâîå òå÷åíèå òÿæåëîé æèäêîñòè âíóòðè óãëà z = r eiβ (r > 0, −5π/6 < β < −π/6) ñ êîìïëåêñíûì ïîòåíöèàëîì w = ϕ + iψ , èìåþùèì âèä w(z) = A z 3/2 . Îïðåäåëèòü çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé A, ïðè êîòîðîì íà ñòîðîíàõ óãëà âûïîëíåíû êèíåìàòè÷åñêîå è äèíàìè÷åñêîå óñëîâèÿ íà ñâîáîäíîé ãðàíèöå: Im w = 0, ¯ ¯2 ¯ dw ¯ ¯ ¯ + 2λ Im z = 0 ¯ dz ¯ µ π 5π β=− , β=− 6 6 ¶ (òå÷åíèå Ñòîêñà). Íàéòè âåëè÷èíó ìîäóëÿ ñêîðîñòè æèäêîñòè íà ñâîáîäíîé ãðàíèöå è óðàâíåíèå ëèíèè òîêà L â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ (r, β), ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó z = −i. Îòâåò: ¯ ¯ 2 √ iπ/4 ¯¯ dw ¯¯ √ A= λ e ; ¯ ¯ = λr (β = −π/6, β = −5π/6); 3 dz L : r3 = 2 . 1 + sin 3β 29. Äëÿ óåäèíåííîé âîëíû ñ ïðîôèëåì y = h(x), èìåþùèì òî÷êó çàîñòðåíèÿ â âåðøèíå âîëíû y = hmax , ñêîðîñòü æèäêîñòè u ðàâíà íóëþ â óêàçàííîé òî÷êå. Èñïîëüçóÿ èíòåãðàë Áåðíóëëè |u|2 + 2gh = u2∞ + 2gh∞ è èçâåñò- √ íîå èç ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ çíà÷åíèå ÷èñëà Ôðóäà F = u∞ / gh∞ = 1.290 äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî òå÷åíèÿ, íàéòè áåçðàçìåðíóþ àìïëèòóäó a = (hmax − h∞ )/h∞ çàîñòðåííîé óåäèíåííîé âîëíû. Îòâåò: a = 0.832. 30. Ïîêàçàòü, ÷òî ïîâåðõíîñòíàÿ óåäèíåííàÿ âîëíà çà âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ −∞ < t < +∞ ïåðåíîñèò â íàïðàâëåíèè ñâîåãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÷åðåç êàæäîå âåðòèêàëüíîå ñå÷åíèå ñëîÿ ìàññó æèäêîñòè Z+∞ m = ρ ζ(ξ) dξ, −∞ 104 ãäå ρ = const ïëîòíîñòü æèäêîñòè, y = h0 + ζ(x − u0 t) ôîðìà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè â áåãóùåé âîëíå (çäåñü h0 ãëóáèíà æèäêîñòè â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ, u0 ñêîðîñòü âîëíû). 31. Èìïóëüñ I áåãóùåé óåäèíåííîé âîëíû îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì Z+∞Zh(ξ) I= ρu(ξ, y) dy dξ, −∞ 0 ãäå u = ϕx (x − u0 t, y) ãîðèçîíòàëüíàÿ ñêîðîñòü æèäêîñòè, y = h(x − u0 t) = h0 + ζ(x − u0 t) ôîðìà ñâîáîäíîé ãðàíèöû. Ïîêàçàòü, ÷òî I = m u0 , ãäå m ìàññà æèäêîñòè, ïåðåíîñèìàÿ âîëíîé. 32. Ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé Ãðèíà Íàãäè ht + (uh)x = 0, 1 2 2 (h dt h)x = 0, 3h ut + uux + ghx + dt = ∂t + u∂x , èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ t̃ = t, x̃ = x − u0 t, ũ = u − u0 , h̃ = h. Îáëàäàþò ëè àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì ñèñòåìû óðàâíåíèé Áóññèíåñêà (52) è (53)? 33. Èñïîëüçóÿ âòîðîå ïðèáëèæåíèå òåîðèè ìåëêîé âîäû, íàéòè âûðàæåíèå äëÿ äàâëåíèÿ p âíóòðè ñëîÿ æèäêîñòè ÷åðåç ôóíêöèè h è u. 34. Óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè µ ∂t ¶ µ ¶ 1 h|u|2 + q + div (p̃ + q) u = 0, 2 q= 1 2 1 gh + h (dt h)2 2 6 äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé Ãðèíà Íàãäè (49). Çäåñü ôóíêöèÿ p̃ òà æå, ÷òî è â çàêîíå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà (50). 35. Ïóñòü ôóíêöèè h(x, t) è u(x, t) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé Ãðèíà Íàãäè (49). Îïðåäåëèì òðàåêòîðèè æèäêèõ ÷àñòèö êàê èíòåãðàëüíûå 105 êðèâûå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé dx/dt = u(x, t). Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà C(t) â ïëîñêîñòè x = (x, y), ñîñòîÿùåãî èç îäíèõ è òåõ æå ÷àñòèö, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå d dt Z µ ¶T ! Z à ∂u v · dx = dt v + v · dx, ∂x C(t) ãäå v =u+ C(t) 1 ¡ 2 ∇ h dt h), 3h dt = ∂t + u · ∇. 36.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïîêàçàòü, ÷òî ñêàëÿð Ω/h, ãäå âåëè÷èíà Ω (àíàëîã âèõðÿ äëÿ ñðåäû ñ äèñïåðñèåé) îïðåäåëåíà ôîðìóëîé Ω ez = rot v, ñîõðàíÿåòñÿ âäîëü òðàåêòîðèé ÷àñòèö. Çäåñü ez åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü îñè z , ñîâïàäàþùèé ñ íàïðàâëåíèåì ñèëû òÿæåñòè. 37.  ðàìêàõ ëèíåéíîé òåîðèè íàéòè ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí äëèíû L íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ æèäêîñòåé áåñêîíå÷íîé ãëóáèíû. Íèæíÿÿ æèäêîñòü èìååò ïëîòíîñòü ρ1 , âåðõíÿÿ æèäêîñòü ïëîòíîñòü ρ2 < ρ1 . s Îòâåò: c= gL (ρ1 − ρ2 ) ). 2π(ρ1 + ρ2 ) 38. Íàéòè ôàçîâûå ñêîðîñòè ëèíåéíûõ äëèííûõ âîëí (â ïðåäåëå ñ âîëíîâûì ÷èñëîì k → 0) â ïîêîÿùåéñÿ äâóõñëîéíîé æèäêîñòè êîíå÷íîé ãëóáèíû ñî ñâîáîäíîé âåðõíåé ãðàíèöåé. Ïëîòíîñòü æèäêîñòè ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ρ = ρ1 â íèæíåì ñëîå è ρ = ρ2 â âåðõíåì (ρ2 < ρ1 ), íåâîçìóùåííûå ãëóáèíû ñëîåâ ðàâíû h1 è h2 ñîîòâåòñòâåííî. 39. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå âîëíû (ò.å. âîëíîâûå ïàêåòû ñ çàäàííîé ÷àñòîòîé ω = 0 è èñêîìûì âîëíîâûì ÷èñëîì k ) íà êóñî÷íîïîñòîÿííîì òå÷åíèè äâóõñëîéíîé æèäêîñòè ïîä êðûøêîé, èìåþùåì ïëîòíîñòè ρj (ρ2 < ρ1 ), ñêîðîñòè u0j è ãëóáèíû h1 = h0 è h2 = H−h0 â íèæíåì (j = 1) è âåðõíåì (j = 2) ñëîÿõ. Ââåäåì áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû áåçðàçìåðíîå âîëíîâîå ÷èñëî κ = kh0 , îòíîøåíèå íåâîçìóùåííûõ ãëóáèí 106 ñëîåâ r = h2 /h1 è äåíñèìåòðè÷åñêèå (ïëîòíîñòíûå) ÷èñëà Ôðóäà F12 ρ1 u201 = , g(ρ1 − ρ2 )h1 F22 ρ2 u202 = . g(ρ1 − ρ2 )h2 Ïðîâåðèòü, ÷òî äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå (56) â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíûõ âîëí èìååò â óêàçàííûõ áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ ñëåäóþùèé âèä: F12 κ cth κ + F22 rκ cth rκ = 1. Äëÿ êàêèõ çíà÷åíèé F1 è F2 ýòî äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå èìååò âåùåñòâåííûå êîðíè κ? Îòâåò: êîðíè κ ∈ R ñóùåñòâóþò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F12 + F22 6 1. 40. Ñëåäóþùàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé îïèñûâàåò äâèæåíèå äâóõñëîéíîé ìåëêîé âîäû â ïðèáëèæåíèè Áóññèíåñêà, à òàêæå äâèæåíèå ìíîãîôàçíûõ ñðåä ñî ñæèìàåìûìè êîìïîíåíòàìè: ¡ ¢ at + (a2 − 1)b x = 0, ¡ ¢ bt + (b2 − 1)a x = 0. (66) Ïîêàçàòü, ÷òî ýòè óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷íû â îáëàñòè D = {−1 < a < 1, −1 < b < 1} è íàéòè èíâàðèàíòû Ðèìàíà. 41.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïîêàçàòü, ÷òî ïàðà ôóíêöèé S = −(1 − a2 )(1 − b2 ), F = 2abS ÿâëÿåòñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ S(a, b)t + F (a, b)x = 0 (ïàðà òàêèõ ôóíêöèé (S, F ) íàçûâàåòñÿ ýíòðîïèéíîé ïàðîé). Íàéòè ïîäîáëàñòü îáëàñòè ãèïåðáîëè÷íîñòè, ãäå ôóíêöèÿ S âûïóêëà. 42. Ïîêàçàòü, ÷òî ïàðà ôóíêöèé s = ab, f = s2 + S òàêæå ÿâëÿåòñÿ ýíòðîïèéíîé ïàðîé äëÿ ñèñòåìû (66), îäíàêî ìíîæåñòâî, ãäå s âûïóêëà, ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì. 43. Íàéòè âñå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (66). 44. Ïîêàçàòü, ÷òî çàìåíîé ïåðåìåííûõ u = 2ab, h = (1 − a2 )(1 − b2 ) 107 ñèñòåìà (66) ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèÿì ìåëêîé âîäû ht + (uh)x = 0, ut + uux + hx = 0. Èññëåäîâàòü ÿêîáèàí ïåðåõîäà. 45. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ut +A(u)ux = 0 äâóõñëîéíîé ìåëêîé âîäû ñî ñâîáîäíîé âåðõíåé ãðàíèöåé äëÿ âåêòîð-ôóíêöèè u = (h1 , h2 , u1 , u2 ), ãäå hj > 0 ãëóáèíû ñëîåâ, uj ñêîðîñòè æèäêîñòè â ñëîÿõ (j = 1, 2), à ìàòðèöà A èìååò âèä u 0 1 0 u2 A(u) = g gλ g g h1 0 0 h2 u1 0 0 u2 Çäåñü λ = ρ2 /ρ1 (ρ2 < ρ1 ) îòíîøåíèå ïëîòíîñòåé. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèé îïðåäåëèòåëü ∆(c) = det(A − cI) äàííîé ñèñòåìû. Ïðåîáðàçîâàòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ∆(c) = 0 ê ýêâèâàëåíòíîé ñèñòåìå √ √ óðàâíåíèé äëÿ ÷èñåë Ôðóäà F1 = (u1 − c)/ gh1 , F2 = (u2 − c)/ gh2 . Âûÿñíèòü, ñêîëüêî âåùåñòâåííûõ êîðíåé óðàâíåíèå ∆(c) = 0 èìååò â ñëó÷àå (a) u2 = u1 ; (b) u2 = u1 + √ gh1 + √ gh2 . Îòâåò: ∆(c) = [(u1 − c)2 − gh1 ][(u2 − c)2 − gh2 ] − g 2 λh1 h2 ; p √ (F12 − 1)(F22 − 1) = λ, F2 = h1 /h2 F1 + (u2 − u1 )/ gh2 ; (a) ÷åòûðå êîðíÿ (ñèñòåìà ãèïåðáîëè÷íà); (b) äâà êîðíÿ (ñèñòåìà íå ãèïåðáîëè÷íà). 46. Ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé äâóõñëîéíîé ìåëêîé âîäû ñî ñâîáîäíîé ãðàíèöåé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ut + (R ∇u E(u))x = 0 108 ñ âåêòîðîì u = (h1 , h2 , u1 , u2 ), ñèììåòðè÷åñêîé ìàòðèöåé 1 ρ1 0 0 0 0 0 R= 1 0 0 ρ1 0 ρ12 0 0 0 0 1 ρ2 è ôóíêöèåé ýíåðãèè E(u) = 1 1 1 1 ρ1 h1 u21 + ρ2 h2 u22 + ρ1 gh21 + ρ2 gh1 h2 + ρ2 gh22 2 2 2 2 47. Ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (58), îïèñûâàþùèå ïëîñêèå íåëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå âîëíû â äâóõñëîéíîé æèäêîñòè, äîïóñêàþò ïåðâûé èíòåãðàë h(x) Z ³ ρ1 ZH ³ ´ ´ 2 2 2 2 ψ2x (x, y) − ψ2y (x, y) dy+ ψ1x (x, y) − ψ1y (x, y) dy + ρ2 0 h(x) +g(ρ1 − ρ2 ) h2 (x) − 2(ρ1 b1 − ρ2 b2 )h(x) = c (c = const). 48. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýéëåðîâûìè êîîðäèíàòàìè x è ëàãðàíæåâûìè êîîðäèíàòàìè ξ ÷àñòèö æèäêîñòè çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè dx/dt = u(x, t), x|t=0 = ξ . Ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ íåîäíîðîäíîé æèäêîñòè (38) çàïèñûâàåòñÿ â ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàòàõ (ξ, t) â âèäå det M = 1, ¡ ¢ ρ0 M T xtt − g + ∇ξ p = 0, ãäå ρ0 = ρ0 (ξ) íà÷àëüíîå ïîëå ïëîòíîñòè, M = ∂x/∂ξ ìàòðèöà ßêîáè îòîáðàæåíèÿ ξ → x(ξ, t). 49. Ïîêàçàòü, ÷òî ïëîñêèå äâèæåíèÿ îäíîðîäíîé æèäêîñòè îïèñûâàþòñÿ â ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàòàõ ñèñòåìîé óðàâíåíèé xξ yη − xη yξ = 1, xη xξt − xξ xηt + yη yξt − yξ yηt = ω0 (ξ, η), ãäå ω0 (ξ, η) íà÷àëüíûé âèõðü. 109 (67) 50. Ïîêàçàòü, ÷òî â ñëó÷àå òîæäåñòâåííî ïîñòîÿííîé íà÷àëüíîé çàâèõðåííîñòè ω0 (ξ, η) ≡ const ïðåîáðàçîâàíèå x0 = x cos ω0 t ω0 t + y sin , 2 2 y 0 = −x sin ω0 t ω0 t + y cos 2 2 ïåðåâîäèò ñèñòåìó óðàâíåíèé (67) â ñèñòåìó òîãî æå âèäà äëÿ ôóíêöèé x0 (ξ, η, t), y 0 (ξ, η, t) ñ çàâèõðåííîñòüþ ω0 = 0. 51. Ðàññìàòðèâàåòñÿ òâåðäîòåëüíîå âðàùåíèå èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω0 âîêðóã îñè Oz , èìåþùåå òðàåêòîðèè ÷àñòèö x = ξ cos ω0 t − η sin ω0 t, y = ξ sin ω0 t + η cos ω0 t, z = ζ. Íàéòè âûðàæåíèå â ýéëåðîâûõ ïåðåìåííûõ äëÿ ôóíêöèè òîêà ψ òå÷åíèÿ â ïëîñêîñòè Oxy (u = ψy , v = −ψx ) è âåêòîðà çàâèõðåííîñòè ω = rot u, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëþ ñêîðîñòåé u = (u, v, 0) äàííîãî äâèæåíèÿ. 1 ψ(x, y) = − ω0 (x2 + y 2 ); 2 Îòâåò: ω = (0, 0, 2ω0 ). 52. Ðàññìàòðèâàåòñÿ äâóìåðíîå äâèæåíèå îäíîðîäíîé æèäêîñòè â ïëîñêîñòè (x, y) ñ òðàåêòîðèÿìè ÷àñòèö x=a+ 1 kb e sin k(a − ct), k y =b− 1 kb e cos k(a − ct), k ãäå k = const, c = const, à ïàðàìåòðû a è b (b 6 0) ïîñòîÿííû íà ôèêñèðîâàííîé òðàåêòîðèè, íî ìåíÿþòñÿ îò îäíîé òðàåêòîðèè ê äðóãîé (òðîõîèäàëüíûå âîëíû Ãåðñòíåðà). Ïîêàçàòü, ÷òî äàâëåíèå ïîñòîÿííî âäîëü êàæäîé òðàåêòîðèè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà c2 = g/k , è â ýòîì ñëó÷àå äàâëåíèå p è çàâèõðåííîñòü ω èìåþò âèä ¡ ¢ 1 p = p0 − ρ0 gb + ρ0 c2 e2kb − 1 , 2 2kce2kb ω= , 1 − e2kb ãäå ρ0 = const ïëîòíîñòü æèäêîñòè, p0 = const. 53. Ïîêàçàòü, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè µ ∂t 1 ρ|u|2 + ρgz 2 ¶ µ µ ¶¶ 1 + div u ρ|u|2 + p + ρgz =0 2 110 ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè (38). 54.  ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ñëîé ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè 0 < z < h0 èìååò ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ρ = ρ0 (z) ñ ãëàäêîé ìîíîòîííîé ôóíêöèåé ρ0 (ρ00 (z) < 0) è ïîñòîÿííîå äàâëåíèå p = p0 íà ñâîáîäíîé ãðàíèöå z = h0 . Ïîñòðîèòü ðåøåíèå óðàâíåíèé (38), îïèñûâàþùåå ðàñòåêàíèå ñëîÿ ïî äíó z = 0 ñ ëèíåéíûì ïîëåì ñêîðîñòåé u(x, t) = a(t)x, v(y, t) = 0, w(z, t) = −a(t)z (a(0) = a0 > 0) ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè. Íàéòè òðàåêòîðèè ÷àñòèö æèäêîñòè. Îòâåò: a(t) = ¡ a0 ; 1 + a0 t ¢ ρ = ρ0 (1 + a0 t)z , òðàåêòîðèè ÷àñòèö: x = x0 (1+a0 t), y = 0, z = z0 /(1+a0 t), g p = p0 − 1 + a0 t Zh0 2a20 ρ0 (s) ds − (1 + a0 t)4 (1+a0 t)z Zh0 sρ0 (s) ds (1+a0 t)z 55. Ðàññìàòðèâàåòñÿ àòìîñôåðà ñ äàâëåíèåì p è ïëîòíîñòüþ ρ, ñâÿçàííûìè óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà p = ρRT , ãäå R = const ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ, T àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà. Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå ãèäðîñòàòèêè dp/dz = −gρ(z), íàéòè çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ïîêîÿùåãîñÿ ãàçà îò âåðòèêàëüíîé ïåðåìåííîé z äëÿ ñëåäóþùèõ ðàñïðåäåëåíèé òåìïåðàòóðû: (a) T = T0 ; Îòâåò: (b) T = T0 (1 − z/h0 ) (T0 = const). (a) ρ(z) = ρ0 e−βz/h0 ; (b) ρ(z) = ρ0 (1 − z/h0 )β−1 (β = gρ0 h0 /p0 , p0 = ρ0 RT0 ). 56. Íàéòè ïëîòíîñòü ρ(z) è äàâëåíèå p(z) â ñëîå −h0 6 z < 0 ïîêîÿùåéñÿ ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè, åñëè èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè ρ0 è äàâëåíèÿ p0 íà ïîâåðõíîñòè ñëîÿ z = 0 è çàâèñèìîñòü îò z ÷àñòîòû ÁðåíòàÂÿéñÿëÿ: N (z) = Îòâåò: ρ(z) = ρ0 (1 − σz ), h0 p σg/(h0 − σz) (σ > 0 − const). p(z) = p0 − gρ0 z (1 − 111 σz ). 2h0 57. Íàéòè ñïåêòð ÷àñòîò ëèíåéíûõ âíóòðåííèõ âîëí è ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè äëÿ ñëîÿ 0 < z < h0 ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè ïîä êðûøêîé z = h0 ñ ýêñïîíåíöèàëüíîé ñòðàòèôèêàöèåé 2 ρ(z) = ρ0 e−N0 z/g Îòâåò: ωn2 (m) = (ρ0 = const > 0, N0 = const). N02 m2 m2 + π 2 n2 h20 + N04 4g 2 , 2 Wn (z) = eN0 z/(2g) sin πn z h0 (n = 1, 2, 3, ...) 58.  ïðèáëèæåíèè Áóññèíåñêà ñ ïîñòîÿííîé ÷àñòîòîé ÁðåíòàÂÿéñÿëÿ N0 íàéòè ñïåêòð ôàçîâûõ ñêîðîñòåé è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è î äâóìåðíûõ ëèíåéíûõ âíóòðåííèõ âîëíàõ â ñëîå ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè ñî ñâîáîäíîé âåðõíåé ãðàíèöåé. 59. Ëèíåéíûå äëèííûå âîëíû â ñäâèãîâîì òå÷åíèè ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè ïîä êðûøêîé îïèñûâàþòñÿ â ïðèáëèæåíèè Áóññèíåñêà ñïåêòðàëüíîé çàäà÷åé ¡ ¢ (u0 (z) − c)2 ϕz z + N02 ϕ = 0, ϕ(0) = ϕ(h0 ) = 0, ãäå c ôàçîâàÿ ñêîðîñòü, N0 = const ÷àñòîòà ÁðåíòàÂÿéñÿëÿ. Íàéòè ñïåêòð ôàçîâûõ ñêîðîñòåé è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè äëÿ òå÷åíèÿ ñ ëèíåéíûì ñäâèãîì ñêîðîñòè u0 (z) = az (a = const, a 6= 0), óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþ óñòîé÷èâîñòè a2 < 4N02 . n ³ sin λ ln 1− ah0 p Îòâåò: cn = , ϕ (z) = n 1 − e πn/λ 1 − az cn az cn ´o r , λ= N02 1 − , n = ±1, ±2, ... a2 4 60. Ïîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè Wi è Wj ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (64), ñîîòâåòñòâóþùèå ëþáûì äâóì âåùåñòâåííûì âîëíîâûì ìîäàì ωi (m) è ωj (m) ñ i 6= j , óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì îðòîãîíàëüíîñòè Zh0 Zh0 ρ0z Wi Wj dz = 0, 0 ¡ ¢ ρ0 Wiz Wjz + m2 Wi Wj dz = 0. 0 112 61. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ íåïðåðûâíî ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè áåç ñäâèãà ñêîðîñòè â îñíîâíîì òå÷åíèè ñïðàâåäëèâî äèñïåðñèîííîå íåðàâåíñòâî ω 2 < gm (çäåñü m = √ k 2 + l2 ìîäóëü âîëíîâîãî âåêòîðà). 113 Ó÷åáíîå èçäàíèå Ãàâðèëþê Ñåðãåé Ëåîíòüåâè÷ Ìàêàðåíêî Íèêîëàé Èâàíîâè÷ Ñóõèíèí Ñåðãåé Âèêòîðîâè÷ ÂÎËÍÛ Â ÑÏËÎØÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ Ó÷åáíîå ïîñîáèå Ðåäàêòîð Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü Ôîðìàò Ó÷.-èçä.ë Îôñåòíàÿ ïå÷àòü. Óñë. ïå÷. ë. Òèðàæ Çàêàç Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé öåíòð ÍÃÓ 630090, Íîâîñèáèðñê 90, óë. Ïèðîãîâà, 2