Планиметрическая задача Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. 1 Биссектриса тупого угла А трапеции ABCD пересекает сторону ВС трапеции в точке Т, а продолжение стороны CD в точке К так, что ABTD — параллелограмм и КС : CD = 2 : 3. а) Докажите, что АТ BD. б) Найдите периметр трапеции ABCD, если её боковая сторона АВ равна 15, а угол В трапеции равен 45°. 2 Биссектриса острого угла А трапеции ABCD пересекает сторону трапеции в точке Т, а продолжение основания трапеции ВС в точке К так, что ABKD — параллелограмм и TD : ТС = 4. а) Докажите, что АК DB. б) Найдите периметр трапеции ABCD, если её сторона АВ = 8 и ∠B= 120°. 3 В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и СЕ являются биссектрисами неравных углов при вершинах В и С соответственно. а) Докажите, что точка Е есть центр вписанной или вневписанной окружности треугольника ОСВ, где О — точка пересечения прямых CD и АВ. б) Найдите площадь пятиугольника ABCDE, если ∠А = 37°, ∠D = 143°, а площадь треугольника ВСЕ равна 13. 4 Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно, а продолжение стороны АС эта прямая пересекает в точке Р. а) Докажите, что б) Найдите, в каком отношении точка М делит сторону АВ, если ВС : BN = 7 : 5 и АС : СР = 8 : 3. 5 Радиусы двух окружностей с центрами О1 и О2, касающихся внешним образом в точке А, равны 6 и 3 соответственно. Их общая секущая, проведённая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, вторую — в точке С. а) Докажите, что б) Найдите длину касательной, проведённой из точки В ко второй окружности, если дополнительно известно, что АВ = 4. 6 Радиусы двух окружностей с центрами О1 и О2, касающихся внутренним образом в точке А, равны 5 и 4 соответственно. Их общая секущая, проведённая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, вторую — в точке С. а) Докажите, что б) Найдите длину касательной, проведённой из точки В ко второй окружности, если дополнительно известно, что АВ = 1. 7 В равнобедренную трапецию вписана окружность. а) Докажите, что диаметр окружности есть среднее пропорциональное между параллельными сторонами. б) Найдите радиус этой окружности, если площадь трапеции равна 52, а параллельные стороны относятся как 3 : 5. ID_9769 1/3 neznaika.pro 8 К окружности с центром О проведены три касательные ,две из которых АС и BD-параллельны А и В -точки касания. Третья касательная пересекает их в точках C и D соответственно, а также касается окружности в точке F. а) Докажите ,что произведение отрезков касательных ,отсекаемых третьей касательной на двух параллельных касательных ,равно квадрату радиуса т.е. AC ∗ BD = AO2 б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BD=12, ∠BDF=120° 9 В выпуклом четырёхугольнике ABCD на сторонах AD и CD взяты точки М и N, такие, что каждая из прямых СМ и AN делит ABCD на две фигуры равных площадей. а) Докажите, что АС параллельно MN. б) Найдите отношение площадей четырёхугольников ABCD и АВСО, где О — точка пересечения BD и MN. 10 Две окружности с центрами О и О1 радиусы которых 2 и 6, касаются внешним образом, АС — их общая внешняя касательная. а) Докажите, что угол СО1О равен 60°, где О1С — радиус, проведённый в точку касания. б) Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними дугами окружностей. ID_9769 2/3 neznaika.pro Ответы 1 2 22 + 2√13 3 26 4 5 2√6 6 7 8 576√3 9 2:1 10 Обо всех неточностях пишите на почту (с указанием темы и формулировки задания): dasha@neznaika.pro Источник: http://neznaika.pro/test/math/p/504 ID_9769 3/3 neznaika.pro