ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ДЕЗАРГА К ШКОЛЬНОМУ КУРСУ

Теория и методика обучения и воспитания
89
Список литературы:
1. Вентцель К.Н. Свободное воспитание: сб. избр. трудов. – М., 1993. –
170 с.
2. Рубцова А.В. Продуктивная лингводидактическая технология как
средство развития личности изучающего ИЯ (продуктивный подход в профессиональном иноязычном образовании) [Текст] / А.В. Рубцова // Молодой
ученый. – 2011. – № 12, Т. 2. – С. 132-134.
3. Алексеева И.С. Профессиональный тренинг переводчика: учебное
пособие по устному и письменному переводу для переводчиков и преподавателей. – СПб., 2001. – 288 с.
4. Шадрин В.И. Этика перевода // Мир перевода. – 2002. – No 2 (8). –
452 с.
5. Hatliday М.А.К.General Linguistics and its Application to Language
Teaching // In: McIntosh A,, Halliday М.A.K. Patternsof Language. Papers in
General, Descriptive and Applied Linguistics. – London, 1966.
6. Башмаков М.И. Теория и практика продуктивногообучения [Текст] /
М.И. Башмаков. – М., 2000.
7. Цвиллинг М.Я. Требования к личности устного переводчика и проблемы профессиональной подготовки // Перевод и лингвистика текста. – М.:
ВЦП, 1994. – С. 128-135.
8. Рубцова А.В. Продуктивная лингводидактическая технология как
средство реализации продуктивного подхода в профессиональном иноязычном образовании // Письма в Эмиссия.Оффлайн (The Emissia.Offline Letters):
электронный научный журнал. – Август 2011, ART 1633. – CПб., 2011. –
Режим доступа: http://www.emissia.org/offline/2011/1633.htm. – Гос. рег.
0421100031. – ISSN 1997-8588. – 0.5 п.л. (дата обращения: 29.08.2011).
9. Дружинин В.Н. Интеллект и продуктивность деятельности: модель «интеллектуального диапазона» [Текст] // Психологический журнал. – 1998. – N 2.
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ДЕЗАРГА
К ШКОЛЬНОМУ КУРСУ ГЕОМЕТРИИ
© Малинникова Н.А., Коробкова В.И.
Брянский государственный университет им. И.Г. Петровского,
г. Брянск
В данной статье мы рассмотрим методику работы с теоремой Дезарга и ее модификациями на евклидовой плоскости.
Ключевые слова: проективная геометрия, теорема Дезарга, евклидова плоскость, задачи на построение, задачи на доказательство.


Доцент кафедры Алгебры и геометрии, кандидат педагогических наук, доцент.
Студент.
90
ПСИХОЛОГИЯ И ПЕДАГОГИКА: МЕТОДИКА И ПРОБЛЕМЫ
Проективную геометрию можно рассматривать как обобщение евклидовой геометрии. Изучение проективной геометрии дает широкие возможности для установления связей высшей геометрии со школьным курсом,
способствует подготовке будущего учителя к углубленному преподаванию
предмета. Интерес вызывают задачи школьного курса геометрии, которые
могут быть решены с помощью аппарата проективной геометрии, в частности теоремы Дезарга.
Теорема Дезарга (прямая и обратная) является одной из центральных
теорем проективной геометрии, описывающей отношение «принадлежности» между точками и прямыми. Она позволяет легко решать задачи на построение, задачи на доказательство принадлежности трех точек одной прямой, принадлежности трех прямых одному пучку. После ее доказательства
на лекции целесообразно заметить, что теорема Дезарга вполне доступна
для учащихся, если все определения и понятия ввести конструктивно с использованием фигур, хорошо известных школьникам и предложить студентам выполнить следующие задания.
Задание 1. Переформулируйте теорему Дезарга так, чтобы она была
справедлива и в школьном курсе геометрии (заполните таблицу).
Проективная геометрия
Если прямые, соединяющие соответственные
вершины трехвершинников ABC и A1B1C1, пересекаются в одной точке S, и прямые, содержащие соответствующие стороны треугольников, пересекаются в трех точках A0, B0, C0, то
эти три точки лежат на одной прямой.
Школьный курс геометрии (ШКГ)
(евклидова плоскость)
Если прямые, соединяющие соответственные
вершины треугольников ABC и A1B1C1, пересекаются в одной точке S, и прямые, содержащие соответствующие стороны треугольников, пересекаются в трех точках A0, B0, C0, то
эти три точки лежат на одной прямой.
Задание 2. Заполните пропуски в доказательстве теоремы Дезарга: а) векторным методом; б) используя теорему Менелая.
В помощь студентам предлагается карточка-консультант следующего вида.
Теорема Дезарга
Теорема Менелая
Если точки X, Y, Z лежащие на сторонах ВС,
СА, АВ (соответственно продолженных)
треугольника АВС лежат на одной прямой,
BX CY AZ
то


 1.
Если прямые, соединяющие соответственные
CX AY BZ
вершины треугольников ABC и A1B1C1, пересекаются в одной точке S, и прямые, содержащие
соответствующие стороны треугольников, пересекаются в трех точках A0, B0, C0, то эти три
точки лежат на одной прямой.
Теория и методика обучения и воспитания
91
Доказательство
Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек
{A0 ; С ; A},{B0 ; B; C },{C0 ; A; B}
1) Рассмотрим SAC. По теореме Менелая имеем:
AA0 CC ' SA'


 1 (1);
CA0 SC AA'
2) Рассмотрим SCB. По теореме Менелая имеем:
CB0
SC '


 1 (2).
SB'
3) Рассмотрим SBA. По имеем:
   1 (3).
4) Перемножив (1), (2) и (3) и упростив, получаем:
   1.
5) Сделаем вывод о взаимном расположении точек A0, B0, C0: …………
На евклидовой плоскости не всякие две прямые пересекаются, а принадлежность прямых пучку может означать параллельность этих прямых.
Поэтому теорему Дезарга на евклидовой плоскости в виде одного предложения сформулировать не удается.
Задание 3. По данным чертежам сформулируйте теоремы, справедливые на евклидовой плоскости (заполните таблицу).
Чертеж
Модификации теоремы Дезарга
на евклидовой плоскости
Теорема 1. Если прямые, соединяющие соответственные
вершины треугольников ABC и A1B1C1, параллельны, а
прямые, проходящие через соответственные стороны
AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1, пересекаются в трех
точках, то точки их пересечения A0, B0, C 0 лежат на
одной прямой
92
ПСИХОЛОГИЯ И ПЕДАГОГИКА: МЕТОДИКА И ПРОБЛЕМЫ
Теорема 2. Если прямые, соединяющие соответственные
вершины треугольников ABC и A1B1C1, пересекаются
в одной точке S, и две прямые, содержащие соответствующие стороны треугольников, пересекаются, а третья
пара соответственных сторон параллельна, то прямая,
соединяющая точки пересечения первых двух пар сторон,
параллельна сторонам треугольников
Теорема 3. Если прямые, соединяющие соответственные
вершины треугольников ABC и A1B1C1, пересекаются
в одной точке S, и две пары соответственных сторон
этих треугольников параллельны, то и третья пара
сторон лежит на параллельных прямых
Теорема 4. Если прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ABC и A 1B 1C 1, параллельны, а также параллельны две пары соответственных их сторон, то и третья пара сторон лежит на параллельных прямых
Задание 4. Сформулируйте теоремы, обратные теоремам 1-4.
Выделяют следующие группы задач:
‒ задачи на построение;
‒ задачи на доказательство.
Ориентируясь на школьный курс геометрии студентам в рамках практического занятия можно предложить для решения следующие задачи выделенных групп:
‒ задачи на построение [1]:
a) С помощью одной линейки через данную точку А провести прямую параллельную прямым p и q;
b) Стороны угла пересечены двумя параллельными прямыми и на
одной стороне дана точка А. Найдите точку пересечения прямой, проходящей через точку А параллельно проведенным прямым, со второй стороной угла;
c) Даны две прямые а, b, пересекающиеся в недоступной точке L
(т.е. лежащей вне пределов чертежа); построить прямую, соединяющую точку L с данной (доступной) точкой М;
Теория и методика обучения и воспитания
93
‒ задачи на доказательство [1]:
a) На евклидовой плоскости трапеция вписана в четырѐхугольник
так, что ее параллельные стороны параллельны одной из его
диагоналей. Докажите, что непараллельные стороны трапеции
пересекаются на другой диагонали.
b) Доказать, что центр симметрии параллелограмма ABCD совпадает с центром симметрии параллелограмма A1B1C1D1, если на
евклидовой плоскости вершины параллелограмма ABCD лежат
на сторонах параллелограмма A1B1C1D1, так что A(A1B1),
B(B1C1), C(C1D1), D(D1A1).
c) Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию AB, p (AD) = M, p  (AC) = P, q  (BD)= N, q  (BC)= Q.
Доказать, что точка (MN)  (PQ) лежит на (AB).
d) Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной
точке.
В качестве домашнего задания полезно предложить: постройте сечение
треугольной призмы (пирамиды) плоскостью, не параллельной основанию.
Таким образом, студенты делают вывод, что теорема Дезарга актуальна
и в стереометрии.
В процессе обучения решению задач с применением теоремы Дезарга
студентов целесообразно знакомить с единым подходом к решению задач
каждой группы. Так единый подход к решению задач на построение с помощью конфигурации Дезарга включает: выделение признаков ситуации
применения конфигурации; формулирование идеи решения задачи; выделение математических основ решения конструктивных задач данной группы [2].
Данный подход актуален и в решении задач на доказательство с использованием теоремы Дезарга. В методической литературе [3] выделены этапы
решения геометрических задач на доказательство: анализ условия задачи
(преподавателем организуется диалог, выводящий на краткую запись условия задачи и чертеж); поиск путей доказательства («увидеть» конфигурацию Дезарга на чертеже, «обозначить» роли элементам, данным в условии
задачи, сформулировать идею доказательства так, чтобы выполнялись требования либо прямой, либо обратной теорем Дезарга); оформление доказательства; подведение итогов (студенты совместно с преподавателем определяют основные и ценные моменты, а также ту информацию, которая поможет при дальнейшем решении других заданий на доказательство).
Подобный подход в обучении студентов решению задач в курсе проективной геометрии не только повышает их интерес и активизирует познавательную деятельность, но и мотивирует их будущую профессию.
Список литературы:
1. Горшкова Л.С. Проективная геометрия: учебное пособие / Л.С. Горшкова, В.И. Паньженский, Е.В. Марина. – М.: ЛКИ, 2007. – 168 с.
94
ПСИХОЛОГИЯ И ПЕДАГОГИКА: МЕТОДИКА И ПРОБЛЕМЫ
2. Малинникова Н.А. Методика обучения решению задач на построение
в курсе проективной геометрии // Международный проект развития методических систем высшего профессионального образования «Проблемы методики обучения в высшей школе»: сборник статей / Под ред. И.Е. Маловой,
В.В. Пакштайте, О.С. Чашечниковой. – Брянск: Изд-во «курсов», 2011. –
С. 99-108.
3. Малова И.Е., Горохова С.К., Малинникова Н.А., Яцковская Г.А. Теория и методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для
студентов вузов. – М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2009. – 445 с.