Моделирование дуги обвода на основе конфигурации Дезарга

МАШИНОСТРОЕНИЕ
Е. В. КОНОПАЦКИЙ
И. Г. БАЛЮБА
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (183) 2022
УДК 514.182.7:004.925.8
DOI: 10.25206/1813-8225-2022-183-5-9
Донбасская национальная академия
строительства и архитектуры,
г. Макеевка
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДУГИ ОБВОДА
НА ОСНОВЕ
КОНФИГУРАЦИИ ДЕЗАРГА
Предложен новый геометрический алгоритм моделирования дуги обвода
в виде кривой одного отношения на основе конфигурации Дезарга, параметризация которого выполнена с помощью математического аппарата «Точечное исчисление». Проведенный анализ показал, что полученная дуга обвода
обладает интересными геометрическими свойствами, которые потенциально
могут быть использованы для моделирования одномерных и многомерных
обводов высокого порядка гладкости, что составляет перспективу дальнейших
исследований. Представлено подробное описание процесса параметризации
дуги обвода в точечном исчислении, исходя из предложенного геометрического алгоритма ее построения за исключением громоздких преобразований.
Приведенные приемы параметризации геометрических объектов в точечном
исчислении на основе простого отношения трех точек прямой, инвариантного относительно параллельного проецирования, могут быть использованы
другими исследователями для решения широкого круга задач инженерной
геометрии и компьютерной графики. Приведены примеры моделирования
пространственных и плоских, замкнутых и незамкнутых дуг обвода, которые
могут найти свое применение в качестве формообразующих элементов поверхностей технических форм.
Ключевые слова: конфигурация Дезарга, дуга обвода, геометрический алгоритм, точечное исчисление, порядок гладкости, касательная.
алгоритмы построения квадрики, заданной девятью
точками [5]. Её применяют в области автоматизации процессов синтеза компьютерных программ
для решения геометрических задач методами конструктивного моделирования [6] и для построения
более сложных конфигураций на её основе [7, 8].
Имеются примеры практического использования
конфигурации Дезарга в строительстве и архитектуре [9, 10]. Кроме того, теорема Дезарга нашла широкое применение в сфере образования [11–13].
Также конфигурацию Дезарга можно использовать
для моделирования пространственных кривых и,
в частности, дуг обвода.
Моделирование дуги обвода на основе теоремы
Дезарга. Дополним конфигурацию Дезарга (рис. 1)
системой подвижных линий, формирующих пол-
МАШИНОСТРОЕНИЕ
Введение. Теорема Дезарга является одной
из красивейших теорем проективной геометрии,
которая наглядно раскрывает принцип двойственности прямых и точек. В соответствии с [1] теорема
Дезарга гласит, что если в двух треугольниках прямые, соединяющие соответственные вершины, проходят через одну точку, то три точки пересечения
соответственных сторон этих треугольников лежат
на одной прямой, и наоборот. Теорема Дезарга используется для решения широкого круга задач проективной геометрии [2]. Она имеет несколько обобщений, примером которых служат работы [3, 4]. Её
графической интерпретацией является конфигурация Дезарга (рис. 1), которая нашла широкое применение в теории геометрических построений. Например, с её помощью были получены графические
5
Преобразуем полученные соотношения, испольAP преобразования
CQ BK
BK PN
PNпростого
QJ TR
TR
зуя правила
отношения
AP
t AP прямой
CQ точечного

 tисчисления
QJ
CQ.[15,
. BK PN  QJ  TR





трёхtточек
AC CB BD PQ QK TS  16]:
МАШИНОСТРОЕНИЕ
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (183) 2022
AC
6
CB
BD
AC
QK
PQ
CB
TS
BD
PQ
QK
TS
t
ACP CBQ
CBQ BDK
BDK PQN
PQNACP
QKJ
QKJ
TSR
TSR
t , ,  PQN  QKJ  TSR 
 CBQ
 BDK
ACP
t
t
tдополнение

0;10;1  параметра
где t t 1 1
t  1  t t  0;1 до
t 
tt—t 
. 1.
CB BD
PQ об2QK
TS
ИспользуяAC
О-теорему
(теорему
отношениях)
AP CQ BK PN t 2tQJ TR
t2
точечного
частным
ACP
CBQ BAT
BAT [15,
ABT

t CBQ
исчисления
ACP
 . 1t коCBQ
BAT
 ABT   2 .
11
.2 .  случаем
ACP
16],
ABT
  
2
t
AC CBQ
CB BDK
BD
PQ для
QK
TS  ,
t
t QKJ
ACP
 PQN
 TSR
торой является
теорема
Менелая,
треугольника
t
2
2 получим
2
ACB, рассечённого
прямой
PQT,
следую2
2
2t
2
A T T
Bt
t
ABt
At  Bt 2
T. TSR
AtA2tQKJ
ABT
A  CBQ
 t 2AP
TT
ABT
CQ
BK
PN
ACP
PQN
t 2 QJ
, T TR
щуюABT
зависимость:
.




.




0
;
1
t T
1 tB ttBDK
2t  B


1.  2t
tt
11
T B
t 2t
2tT
AP
Рис. 1. Графическая интерпретация
теоремы Дезарга
CQ
BK
AC
PN
CB
QJ
BD
TR
PQ
QK
TS
2
2
2
2
2 t  CQ
tQJ
t Dt
AP
PN
TR
0;1  BK
tC
C
t 2 Dt
C
t2tt1
.
 CBQ
 BAT
.
Dt
 1
ABT
.
2 . 
S

t
.
S S  ACP
t
1
2

t
CB CBQ
BD BDK
PQ
TS  TSR  ,
1 2PQN
tQK  QKJ
1  2t AC ACP
t
t2
2
. 2
ACP
 t21  ABTAt 
R определяем
R  CBQ
A  BAT
T точку
Отсюда
T:TT  R t2Bt .
T TABT
t
t
t R
R

T
t

St





t

R  Tt  St 


T
t

St

ACP
CBQ

BDK

PQN

QKJ
2


1  2t  TSR  t ,
T tB 1  tt t  T0;1

S
T T S S
22
3
2
3 At 2  Bt 2
Bt
3t A
2T t  Ct2t t  Dt
Bt
2C
At 3 TR
Bt.2t  Ct 2tt2  Dt 3
AtA
2CQ
t 
Dt
AP
BK
PN
ABT
t t2 
T3  . QJ
Dt

R112
.

.


t

0
;
1
tRRSt Ct1Tt B



.  .
t ABT
ACP
tCBQ  BAT
.

t
1
2
t
AC 1CB
PQ QK TS 1  2t t 2
 21t  2BD
Ct 2 PN
PN
Dt 2
t 2 2 CBD,
APS CQ
CQ
2 CQ
2
AP
PN
AP
Аналогичным
образом
2tтреугольника
2 ..A
1tA
ACP
CBQ
ABT
tBAT
Nиз
tt Bt
Bt
 T
AP
t. CQ
NA
AT
2PN
t22C
BK
 Bt2 At 2  2Ct t  B
t ttTR
 R
QJ

C
t
t




AP
CQ
BK
QJ
TR
1CQ
2ttBDK

.
ABT
 CB
T
AP
BK
PN
QJ
TR
ACP
CB
CBQ

QKJ

TSR
,N

R  PQN
TPN
tопределяем
AC
St

t 2. S:
PQ
рассечённого
прямой
QKS,
2 точку
t



PQ
CB
PQ
ttAC
AC





.

. t 1TS
B PQ
t  QK
 2.t
T SAC CB T BD
CQ
BK
QJ
AC
CB
BD
PQ
QK
TS
BD
PQ
2 2CQ2QK
2 QJ 2 2
3BK TS
CQ AC
QJ
T  RCB
2t Dt
2Bt.
C
BK
A
Tt 2
R
Dt
tt3A
t JCtt St
2
tt
B2tB.A
tt tDt
.  .t  J  Ct 2  2Bt t  Dt
T2

ABT
CtJT2tC
0S;1tBt

tCB

1BD
Rt 
QK
2Dt
CB
BD
QK
CB
t
TBD
S tQK
.
TCBQ
 B 1BDK
 2tAP
2t  PQN  1
t
CQ
ACP 3
QKJ
 ,  BK  PN 
1Ct 22
ttQKJ
3
ACP
BDK
2t PQN
 ,,TSR
ACP  CBQ
CBQ
BDK
PQN
QKJ
TSR
TSR
t


2
A
t

Bt

Dt
t
N T2 TR

S
p J2
T q J T
AP CQ J JBK
PN
QJ
tN  T CB
q J  TBD
J ,T, S . tT p J tAC
,
pCQ
SAP
TT
PQ
JC
J . ABT
 PN
Dt 1q 
t

 ACP
R
t N
 SCBQ
t  N  At 2t 2 .2(1):
1из
2tсоотношения
TS
Ct t  Bt 2 .
  BAT
 T
.R0
Рис. 2. Геометрическая схема моделирования
R
определим
AC CB Точку
BD
PQ
QK

t

;
1
1
 t  R  Tt  St 
2PQ
t
CB
tt 11JQ
tJQ
JR
100;1t;1JR
t

AC
t t t
JR
JQ
дуги обвода
T S
q J PN
 BDK  PQN  Q
CQ
  3CBQ
qBK
2
2q
p t2 2 22 BtACP
p Jp J AP
2
J T
CQ
QJ
3tN J AA
2 tJ t 2Bt
NR
A
t
SQ
на основе конфигурации Дезарга
t
t
2
C




NR
22 
NR
SQ
SQ
T

R
A
t

Bt
t

C
t
t

Dt
t
J
C
t
2
B
t
t
Dt 2. .







t
.
T
 ACP



ACP  CBQ  BDKABT
AC
PQN
 QKJ

TSR

,
t
t
CB
PQ
2

t

R

T
t

St


R

.

ABT
CB
BD
ACP
QK
t11BAT

1 
2.t   t 2 .
TTBAT
B CBQ
ACPCBQ
CBQ
 ABT
ABT
t 1
222t.
BAT
NBK
N
S QJ
 1 1
  M  1St
t  1 
2t 3 N

 t2 1 t 0;1
MM CQ
SS


3
2
2
t
J
C
t





2p
tJ 
 Bt
t T C
t  Dt 2Bt2t  Dt2 .
2qtPN
JCt 2SBD
Dt
TA
NCQ
J 2 T , 2
t  1  t t  0;1
CB
QK
AP
2

R

.
2
2
2
tPN
AtNTR
 Btt 2  2Ct t  Bt 2 .
AP
CQ
BK
QJ
1TT
A
Bt
A
At
t 
Bt
t 
j T
pS jtqqA
p j.AtqtqT
AP
BK
PN
T
t2p
1T
j ABT
qQJ
TR
pj ..ACBQ
q.
1
pABT
..ACP
ABT


2tpCQ
j 
CB
j 
j
j t  j 11
222j B
t2PQ

q
PQ
2t j  BAT  1  qABT
TAC

JR
j1TS
JQ
q
AC
CB
BD
QK
1
2
T

B
t

t




J

S

T
p

N

T
q

T
,
1
2
T

B
t

t
j
AC
CB
BD
PQ
TS
Jq
J  QK j




0
0
.


p
J .PN
J AP






0
0
.
1
ACP  CBQ  BAT



ABT







0
0
.
CQ
BK
QJ
CQ
2
2
2
T 22из
R SQ
Исходя
геометрической
схемы
2 t
2NR
2 Jq 2jCCt2)t 2текуtAj
t 
t (рис.
t2C
p
2
t1

R Dt
TJR
t St
N p
t Bt2B. t t  Dt2 . p j  q j
j  qj
C
t

Dt
0
0
C
t

Dt
t
JQ
CB
BD
QK
AC
CB
PQ
A

T
t
A
t
.
S

0
0
1
0
0
1
ACP
CBQ
 BDK
BDK
PQN
QKJ
TSRБезье
 , 2-го
щие Sточки
J описывают
дуги
кривой
SиCBQ
.2.1q
S 
ACP
 QKJ
 TSR
t2  PQN

pTJ N
ABT t ,
  2 T 
J 2
N
 2 1 и
 CBD
11симплексах
22Sttt3A
CQ
2Bt QJ
3
A
A порядка
T
t 2 вM
tBK
t T  2B
NR
ABC
соответственно.
SQ
1
tq
p
q
2
Bt
t

C
t
t

Dt
j
j
p
q
.
T
ABT 
 


t
J
C
t
2
B
t j, Dt .






J j S TNp J j .N . T q J tp
T
j
2 R M  S
соотношения
(1),
получим:
1
2
T  Используя
B
t TTtM

t
M

S

N
.

S

N
.
T

R
CB
BD
QK


t

0
;
1
1

t
2
2

2jtqR1 
j01;p
tN

1
tM
pRR
1
Sttq
q j
1p
t j St
p
p Ct qj Dt . p j  q j
j 
j
jt
qTttq
pTp
T

 tT
 St
Stj 

jS 
j 
j  q jJR
S q jj
RR
JQ
T

S
2
T

S
Ct 2  Dt 2




J

S

T
p

N

T
q

T
,
J  t2 3
p J 3 J0
 PN
. 2t
AP  CQ
J 
2 q0
t t.t  Bt 21. 
.
S 
33   2BAT
221 N
33A
ACP
tq
CBQ



tC
Bt
t Dt
ABT
tt2Rt2NR
Dt
tttSQ

ABT

Q
JC
R
pJjJA
2A

q
1 BAT
2 .p  q j
tt p
t1tj

Bt

ACP
CBQ
,

j
jC
Jt2ttC
Q
J R
t
AtCB
Q
JDt
1  2t

RBt
2 , .j
p


2
t

1
q

AC
PQ

R

.

R

.
q
0
0
1
j
j
p2tj R t ,t  T2j tR1, q j 
 ,
p j  S  Q JQ
2t  1, q j 1JR
N

t
1
2

t
1
2






0
0
.

t

R

T
t

St
S

Q
N

R
t 
S

Q
N

R
t
q

 QJ
CQ pBK
2   N
 1Bt22 T 2 S
T R
2p
A 
 TT M ttJtS
A2tt22 
p .Dt
qj.
J T CtA
StJAP
j
NR
q2BBt
SQ
A
j t tj 
 t  R  TtABT




CQ
PN
2 .
2
0CQ
2  T tN
BD
QK
ABT

AP
APCB
CQ
PN

tPN
2
22Ct A
T S
2
t t3Bt
. 2tt  Ct 2t  Dt 3

 t
q
12
B
 Bt
t.Bt
Bt
1B
t20TtT2M
1pS tt1p

N
At
tp2jN
C.2t2tjtA
t2t
p
M S2S t AC
N
11

tjtq
tttq
22.jC
N
q2j12 AM
R ..  N 2
.
.
S
2 3S  CB
j 
N
j
PQ
2M
M

N
1


2 j
2tDt
PQ
AC
CB
PQ
2
2
1
2
2
1

t

t

t

q
At 3  BtПереопределим
tAC
J Ct CB
tS

p
q
2 2
2t j1 
2t2t 1
1
2tCt 2
2tJq J
221точку
tT, 1 2jt  2tплоскости
jT
N QJ
T
ptDt
в 2N
симплексе
J 

R
.
CQ
BK






0
0
.
M

S

.
2
2
Ct3 QJ
Dt
CQ
BK
QJ
.  2
22 J  Ct
 2S
tSBK
 2 .
Dt
t 2222.B. t t  2Dt
p j .Dt
 q3 j
SNT:1 CQ
tQK
pt
q AP
C
B
Dt
JBt
p

3t
2 Qt 
2t
3
tC
Cjtt3t
2
B
Dt

q
J2jA
Bt
tJqJDt
pCB
q
p
10C
j
j1
j
t t3tRttjBt
t, qCQ
Ct t PN
A
tA

tj
1
22tttj BD
QK
p
2
t

1
,
q

0
1
JR
.
M

CB
BD
JQ
CB
BD
QK
j
j
. t  N  At 2
M
2 
. N  R t2
j
q2tQ
AP CQ PN MpJ T RS2t
22
2
1

t

J 2t  1 0
2
AC
CB
PQ




0
.
2
2
1
t

t


CNR
tt Tt Bt
. 


 t  TNSQ
 At St 
 2TR
NSt
pJ jR T , t p j  qq jj

J q
 N
T ,TJq
SSj TTTJJRSppJJQ
NRp
q
AC CB
PQ JJ  p
TT
BK .QJ
, JJqSt
,
2
j TS, N t R CQ
N
0S  Q
0tt 
2t 2t1
T11tM
T

.t 
3
3  q
 qj QK  t  J  Ct
p
p jBD
CQ BK QJ M MS SAN
22t 1Ct 22N
j CB
2tJR
2
23 j
32
t

Bt

Dt
JQ
J 
2JR
B


t 
C
2tt t
2Dt
t . 2t q1
JR
At2t Bt
JQ
JQ
R
qJ1CDt
tp tj .2).
Рис. 3. Визуализация пространственной дуги обвода,
j
CB BD где
QK ppJJ  R pиJ qqtJJM
2t NR
t.
NR
SQ
1112Sq(рис.
N
.
2J2tt NQ
полученной на основе конфигурации Дезарга
SQ
SQ
T p J t N  T q J  T ,
3 p NR
2
3
p jM
q j S A1t 2
.Jq JS  R
jBt t p
j C
2

q
p


t
t

Dt
jточку
j 2
jобвода
j
Определим
текущую
дуги
M как
p

t

1
,
q

 ,
q
2
2
1
2
2
1
t

t

t

t

j
j
j
.
M

qJ M
J  S  T p J  N AP
T

T
,
AP
CQ
PN
2
2
2
S
N
Q
N.2 . этого
R t

01
S
tпрямых
A
t 2 и
2C
CTJ.
ttt  Для
Bt
CQ
 PN


1A
t
M

N
02t2N
11t
результат
пересечения
SN
M  SS
N
2
JR
JQ
N
t
2
t
Bt
.




3
2
3
p Jq j t
AC A
CB
PQ
qJ 
t J Bt
t  Dt Jpj R
PQ
подвижный
переменной
0p j CB
1Q2 t 2Ct tтреугольник
JR0AC
JQ сформируем
.
M


1
,
q


,
NR
SQ
2
1


t
t

t
j
CQ
BK
QJ
p1BK
12Sttp
q J  ppj CQ

j
qqTJM,
p
M
определяемый
tQqq
1J qjдвижением
j 
.
Spq
t22 .
ный четырёхсторонник MNQJ в симплексеp J трёхCt 22 N2
2BBN
t tR 2Dtточки
jjj2QJ
M
j j 1
jj
j
NR
SQ площади
qqtjjt 2tDt
2
2tj  1.
t 2J  2Cttq
01
 .q
CB  BD
BD QK
QKpj t 
j 


0
CB
мерного пространства ABCD (рис. 2).
по прямой
SN
с
помощью
параметра
λ:
,   1 
M

S


N

  M  S00
 00 
..
  
t 2t q1 3 N p2 ppq t.2 qq p 3j  q j
p
Одним из способов построения дуг обвода
M  явS  Nгде
   1J M
.
Далее
определим
значение
параметра
j
j




S

T
p

N

T
q

T
,
j
j
.

S
N
j
j
j
j
A
t

Bt
t

C
t
t

Dt
1q JJ  T , 2
2 N  T

00 J 00 S 0 T p1021JJtM
1
2t  2t p1j q .j 1  p j  q j
2t 
ляется использование кривых одного отношения λ, при котором площадь
переменного
t 2  2t  1треугольника
p j 2выродится
JR
JQ
p j q j 1 TJM
 p j будет
qj
p
q
J

Q
J

R 3 t qj в прямую.
p
q
[14], примерами которых могут служить кривые
3
2
2
равна
нулю,
и
он
JR
j
0
0
j
 JQ
Bt
N.. ,
.
AtqqM
jNC
p jppJ
2
1S,j tqN
 t t jj Dt
q
J t
JM


S

M

S
J
NR
SQ
. о qплощадях)
Безье. Согласованное одним и тем же параметром
В соответствии
(теорема
qN
 QсppS-теоремой
 
 S0M

0
2 p . p
SQ
jqR p tj 
j 0
 qq2NR
0
1
jj 
j j  j2t p
j1
t

j  qj j
p j [15],
q j получим:
движение точек обеспечивает наличие касательных точечного исчисления
0 0
1
M  SSt 2tN
N1   11   t
M
pj
q
в начальной и конечной точках дуги обвода. Исходя
J

Q
M JJ S Q
N
Q
R ttJ.  R  t M
2t2tJJ21,qR
ppjjj p qp
22S2jttt
,,q

q
1Q
11
q
2tj 2 
2jt 
1N,,  R t ,  S p  q  N p 
из этого принимаем текущий параметр t в виде едиjj 

p
q
1
j 

Qjj 1  p jj . q jj N
N  RR tt q
j
j
j
pSjS
qQ
MS
N
ного отношения соответствующих направленных
q jj .
3
 q2tj 0 Ct 2t  0Dt
p j  q j  At3pj Bt


22tt 11 t02t  1 0 tt .  pt  q .
отрезков (рис. 2):
M  ttM
J R
j . J Q
M
SS 2020  2St 22t112
2tN
 1  N 2.. p jj pq j
M 00
N
 2t  1, q j 
J Q
22tt J22ttR11 t 2t22tt221 22tt 21t1  2t j 1 S  Q
N

 2t  1, q j 
 ,
AP CQ BK PN QJ TR p j 
qj 3
j 2
2
S
22A
RSt 3 tppBt
t





.
33 N
2j2 t  N
33 t t q
j Dt .
(1) Q
C

M
A
M
Att M
 Bt
Bt
t pC
Ctt tt  Dt
DtN . p  q . .
t
 tS
AC CB BD PQ QK TS
M
.p j  q j M  S t 2t  1  N
M 
p j  qq2 j
2
j
2
2
t 2t  1
t22tt 2  22ttj 211t j  2t  1j
2
2
1
2
2t
t

t

t

.
N 2
tM  S 2
ACP  CBQ  BDK  PQN  QKJ  TSR  ,
Q
J  R
R tt
2t  2t  1
2t JJ 2Q
t 1
3
2
2
3
J
,
t
At  Bt t  Ct t  Dt
ppjj  S  Q  22tt  11,, qq jj  N  R  t ,M
.

S 3 Q
N R t
At 3  Bt 2t  Ct 2t  Dt
2t 2  2t  1
t  1  t t  0;1
.
M
2t 2  2t M
1  S tt22tt  11  N
tt
.
ACP  CBQ  BAT  1  ABT  
t2
.
M  S 2t22  2t  1  N 2t22  2t  1.
2t  2t  1
2t  2t  1
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (183) 2022
AP CQ PN


 t  N  At 2  2Ct t  Bt 2 .
AC
CB
PQ



J

S

T
p

N

p j q j 1  pJ j  q j T q J  T ,
CQ BK QJ
2 qj
2
J

 JRt 0
C
  JQ
t  2Bt t . Dt .
0
CB
BD
QK
p

q
q

p 
j
j
J
0 J 0p
NR
SQи q 1определим,
Параметры
исходя из инваJ  jS  T jp J  N  T q J  T ,
риантных свойств
трёх точек
qj
M M
S  простого
N pj  1отношения
S
N
.
прямой относительно
проецироваJR
JQ p параллельного


q
p
q
j
j
j
q
j
p 
ния:
p j J q j SQ1  p jJ  qNR
j
qj
J Q
R
 0J
  t ,
0
.
p j M  S 
2
Nt 1, q j 1

pt j  q j
S

Q
N

R
0 0
1
q 1  ppj  q j уравнения
где J, S, N, R p
—j текущие
которых
t qj
t 2jt  1 точки,
qj
j
M  S выше;
M
N02t 1.  .
были получены
 2t 22St  1 
0 N 2t 2
.


p
q
p
q
qj
j
j точка,
j которая
j p j опреQ = (B – C)t + C — текущая
0 30 2
1 2
деляется из соотношения
At  Bt t  C(1).
t t  Dt 3
M  J Q 2
J. иRпреобразоваq j t ,
В результате,
после
подстановок
pj 
2t  2t2t1p,1j q j 
M

S

N
S

Q
N

R
t .
ний, получим:
pj  q j
pj  q j
t 2t  1
t
M  S J 2 Q
 N 2 J  R. t
p j  2t  2t21t  1, 2
qtj  2t  1  ,
S Q
N R t
At 3  Bt 2t  Ct 2t  Dt 3
.t
M
После замены
точек
S и N определим
искомое
t22
t t2 
 12t  1 N
. ABCD:
M  S дуги
точечное уравнение
обвода
в
симплексе
2
2
2t  2t  1
2t  2t  1
M
At 3  Bt 2t  Ct 2t  Dt 3
.
2t 2  2t  1
(2)
Рис. 4. Визуализация плоской дуги обвода, полученной
на основе конфигурации Дезарга
Или в координатной форме для трёхмерного
пространства:

x At 3  x Bt 2t  x C t 2t  x Dt 3
x M 
2t 2  2t  1

3
y At  y Bt 2t  y C t 2t  y Dt 3

.
y M 
2t 2  2t  1


z At 3  z Bt 2t  z C t 2t  z Dt 3
z M 
2t 2  2t  1

МАШИНОСТРОЕНИЕ
M полученной
 At 3  3Bt 2t 
3Ct 2tобвода.
 Dt 3  Как видно
Анализ
дуги
из уравнения (2), дуга обвода, полученная на основе
t 3 параме x B tt  x D t 3
конфигурации Дезарга, зависит толькоx Aот
 x M ABCD (и,
тра t и точек трёхмерного симплекса
2t 2 соот2t  1

3 рассма3
3
ветственно, ихAкоординат),
который
можно
y A t  y B tt  y D t 3
t  Btt  Dt

M систему
 y M 
.
тривать как
двух скрещивающихся
прямых
2t 2  2t 2 1
2t 2  2t  1
3
2
3
касательными
AC
являются
дуги 3
 и DB.
x At Эти
 x прямые
t
t

x
t
t

x
t
3
B
C
D

z Atобвода
 z Bttяв z Dt
обвода.
этого, полученная
дуга
 x M  Исходя из
2t 2  2t  1
z M 
2

 2t  1
ляется пространственной
кривой двоякой2t кривиз
x t 3  x Bt 2t  x C t 2t  x Dt 3
y At 3  y Bt 2t  y C t 2t  y Dt 3 
 Визуализация
xM  A

ны.
полученной
дуги
представлена
на
.
y M 
2t 2  2t  1

t 3t1t   Bt 2t  Ct 2t
2t 2A12
рис.
3.
3
3

y At плоской
 y Bt 2t замкнутой
y C t 2t  y дуги
Рис. 5. Визуализация
обвода,

2
3

Dt
 Числитель
z At 3 Mz Btточечного
t  z C t22tt2  z2
y M  на
.
уравнения
(2)
является

Dtt  1
2
полученной
основе
конфигурации
Дезарга
zM 
t

t

2
2
1

2

симметричным
похож
на то2
2
x
2t 11 3tt   иx очень

 2t выражением
A
Bt t  x C t t

z At 3  z Bt 2t  z C t 2t  z Dt 3
x

чечное уравнение
дуги
кривой
Безье
3-го
порядка
M

z

2
M

2t 3  за
2t исключением
1
2t 2  2t  1
двух
M  At 3  3Bt 2t  3Ct 2t  Dt

2
2
y 1  3tt   y равных
t t  y C t 3,
t которые до 1 не содержит точек перегиба. Но если необхо коэффициентов,
постоянных
. 3

xAt 3 yM xBt 2t A x C t 2t 2 x DBt 33
2
3
M  At 3  3плоскую
 с точкой
Bt 2t  3Ctдугу
t  Dt

x
t

x
t
t

x Dt
определяются
биномом
Ньютона.
t

t

2
2
1
A
B
x M 
димо смоделировать
обвода
2

x

t

t

2
2
1
M

2
2
2
дуга
и
другие
геомеПолученная


t
t
2
2
1
3
3t2t   zкак

z2 A 1обвода,
t
t
z
t
t
перегиба,
то
достаточно
выбрать
координаты
точек
C
y tобъекты,
y C t t2 y DBt 3 3

x A t 3  x B tt  x D t 3

3
B t 3t параметризованные
трические
на
основе
tzMy
в
уравнении
(2)
таким
образом,
чтобы
все
точки


y
t
y
t
t
y
t
Dt
y MAt3 ABt
.


x

D
2t  2tA  1 B
 M
проективной
M 
.
2t 2 
2t y1Mгеометрии,
t 2  2t  1
алгоритмов
демонстрирует

принадлежали одной плоскости, но не 2совпада2t 2 32t  1 2
2t 2  2t  1
2
3
3

3
3
высокую
точек. Напри- ли друг с другом,

zустойчивость
A zBtBtCz Cк
t tсовпадению
z t
yнаправлены
 y B tt  y D t 3
At а касательные
Btt  Dt

At
At
 D . zD At 3  z Btt  z Dt 3
M 
 yбыли
.
z Mв случае
M 
2
G  совпадения
2
мер,
точек
C≡B
получим
плов разные стороны.
2t 4 2t z1M 
2t  2t  1
2t 2  2t  1
2


t

t

2
2
1

скую дугу обвода, визуализация
которой приведена
Совпадение начальной и конечной

z Aточек
t 3  z BtA≡D
t  z Dt 3
2
33 
2
наM
рис.
M 
 A4:t 3  3Bt
t  23C2tt24t 2 4Dt
даёт замкнутую дугу обвода (рис.z5):
2



dM
t
t
t
3
2
1
2t  2t  1
A 1  3tt   Bt

 t  Ct t 
A
2
M
2
2dt




t
t
2
2
1
3
3
2t  2t  1 
x A t  x B tt  x D t
A 1  3tt   Bt 2t  Ct 2t

t 3C t2t5t 2 2t22t  2t  1
M

x A 1  3tt  x2Bt 42tx4xM

B

2t 2  2t  1
x M  3
23
2
3
32t  12
t

2




t
t
2
2
1
y
t

y
t
t

y
t


A
t
Bt
t
Dt

 
B
D

x A 1  3tt   x Bt 2t  x C t 2t
M
 y  A
.
y 21423tt4tt 31y5Btt22t4tyMCt12t

22tt24  24tt 3 1 3t 2
x M 

.
 y M  2tA2t  
2t 2  2t  1
C 3
D.

2t 2  2t  12
z At 2tz2 B
tt 2t z D1t32



2t 2  2t 
1
y 1  3tt   y Bt 2t  y C t 2t

zzM t2t
2

z A 1  3tt   z Bt 2t 
.
 y M  A
C
t

t

2
2
1

2t 2  2t  1
z M 
2

2
2
1
t

t

dM
dM

0 Ct 2t  D  B  0

z 1  3tt   z Bt 2t  z C t 2t
3C
Adt1отметить,
tt  ABt2tчто
zM  A
dt 
Следует
полученная
плоская
дуга

M

7
A  B  C  2Dt 2  2t  1
2t 2  2t  1

обвода
на интервале
изменения параметра t от 0
G
.
dx
dM
2
2
4
M t

x A1f A
3t,tB,Cx, D
f x A , x B , x C , x D 
B t t  x C t 
A BC D
 x M dt 4
G
.
32  2t2 1 dt
t
2
4
dM   2t  4t  3t 2 2t  1 2A 
2y 1  3t2t 3  y t t2  y t t 3

t 4t 2t 6Bt1 2 C 4.t  6t  2
 dt
yM d
 MA  2
A
B
dM  2t 4  4t 3  3t 2  2t  1
3
2
22t 2  2t t2113
2
4

A
dt



2
t

2
t

1
 2t 24t 3  2
5 2 2t
dt
2t 2  2t  12
  z 1  3tt   z t2 t  zB t2t
2
B
tt 2t3Dt
Bt 3t M
3Ct A
t t3Dt
M CAt 3  3DBtM
t  3A
CM
 3Bt 2t 3Ct 2t  Dt 3 
2t 2  2xt At13  x Btt  x Dt 3
2t 2  2t  1
x 
2
  x A 1xAMt33tt x Bxt2Btt 2t xxD2Axtt3C3t 1
t x Btt  x Dt 3 x At 3  x Btt  x Dt 3

3
2
2
3

x
x

x

M

22  3M
M  At  3Bt t  3Ct t  DtAt 3  Btt  Dt 3 M 
1y1Btt 2ty2 Dt 32t x 1M 
2t 2  2t  1
   y M 2t yAt22tt 
M 
.
2
2
3 23
3
3
33
3
3
3
3
3
ttAyt Byt2Btt Bt
t yy2ytначальt Dt
3 2At t 1 Btt ty=
t t 1t y Btt  y DtЕсли
t13Dt
дифференцировать
точечное уравнение
y0At3определяет
Значение
At  Btt2xпараметра
A
y. At 
y B tt  y D t 3
 x
t2ty x 
yBM
 y  tDACDt
A t
M   x2  M
. 2. 
y

. то получится интересная за3
M D  M  22  3M

M
2
2
дуги
обвода
(2)
дальше,
ную точку
t zконечную
At222ttt 1z12Bttt1
2t M дуги
 2а1t t=
tz Dt 2t  1
1 1 2—
2точку
2t обвода
12t 2 2t2tA,
t

t

2
2
1

M 
zдуга
2

дуги
обвода
D. При
t =
13zAt33ttобвода
zBztB2tt 2
t zzпроходит
2zAt3tCt3 21t z Btt  кономерность.
z D t 3 z A t 3  z B tt  z D t 3
3
  z0,5
A 
Dt

y
t
y
t
t
y
t
At 3  Btt  через
Dt 3

z

z

A
BG
z M D .
порядков производных начальное

Mтетраэдра
z
Для четных
M

центр
тяжести
ABCD:
2
2
2

M 

y

 M
2t 22tt 11
2t  2t  1M
2
t 1
2t 2  2значения

2t 2  2t  1
и конечное
параметра t обеспечивают

A 1 323t tt  22tBt21t  C2t 2t
3
 M  xz AAt 3  2zx2 BBttt tz2 xDtC3t t 2 
x
t
пары
точек
симплекса,
умноженные на n, по ана2
D
1
2t tAA
2t B
3t1t C BtDt.  CAt1t 3tt   Bt 2t  Ct 2t
Axz1
3tt   G
Bt
2 Ct t
M
2
M

логии
с
дифференцированием
2-го порядка. А для
M   M

t

t

2
2
1
M


t

t

2
2
1
2
2
2

x C1t t
2t 2xA 21t 31tt   2xt4Bt t 2t 
2t 2  2t  1 нечётных порядков производных формируется
  x M y At 3  y Bt 2t22  y C t 2t2  y Dt 32
ytMx2At1 знаменатель
2
tx At12tx
t3ttt1(2).
3tt1t4x t 3 t.x3tAx2C1t22
C
3tt   x2BdM
точек, из которой можно выделить тоx Bt 2tкомбинация
 x C t 2t
A 1  3tt   BtИсследуем
t 2 
x2 M 2
C212t2 x4BMt2 уравнения
2t точечного
xt M


M


A
2
2


y

t
t

y
t
t

y
t
1
3
2 Дискриминант

2–2t2t +
чечную
формулу
параллельного переноса, и тогда
t

t

2
2
1
квадратного
уравнения
2t
t

t

2
2
1
2
A
B
C
3
2
2
3
t

2
1
2t  2t 1
.2t  1 2
 y M z At   z Bt dt
t22  z C t t2  z2Dtt 
2
2 также2 сформировать пару точек симплекса для со+1= 02zравен
Это
значит,
что
уравнение
имеет

t

t

2
2
1


y

t
t

y
t
t

y
t
t
1
3
2–4.



y

t
t

y
t

y
t
1
3
M


y

t
t

y
t
t

y
t
t
1
3
A
B
C
2


4

x A 1  3t
t
t t y M 2tB  2t C212t
C
.y4tM23  5интервал
t Ax C 
tA2  2t. 2 из-B гласования
.
yxMBtкомплексные
со следующим сегментом обвода. Таким
2
только

z2
ttt  1 
z BtПоскольку
z C2tt t 1 2
x M 
2t t2 
2
 32корни.
At1 
2Bt  2t  1

t

t

2
2
1
2
z


образом,
вырисовывается
некий геометрический
M
мененияпараметра
t
лежит
в
пределах
от
0
до
1,
то
2
2
2





t
t
2
2
1
2
2
2
2
22 z 
1C2ztt C32ttt1t2 Dtz3Bt tнепрерывной.
zz C1t t 3tt   z t t  z C t t
2 z  1
 y tM
t 323tt z3Btzобвода
tt At 3
A A
B
y 1  3tвt его


моделирования обводов высоких порядB t  y C t tдуга
z Mпределах
ztM1 A 2t 4  24t 3 B 3t 2алгоритм
 2 M2t4  4t 3 является
2 4

.
 y M  A
t
5
2t 2t  1уравнение
t  1 точечное
2t (2)
2t 3 21ков
 2D
C3 
D. гладкости, разработка которого является пер2t 2 Продифференцируем
2t  1 A  B 2tC
2

2


t
tx 1  x At  x2Bttt2  2xt Dt 1 спективой дальнейших исследований.
2
2
G

.
2
2
t:

z A 1  3tпо
t  параметру
zABttBzC
t
t
C  D
2
4 A  B  C  D M A  B 2t C
 2Dt  1
z M 
Заключение. На основе конфигурации Дезар. 
G
.
2G
t 2  2t  1 4 G3  .dM 4 3
dM
3

4
3
2
 yBB
tt  0y Dt 3 га разработан новый геометрический алгоритм
At Bt
t Dt
 0 2t y1At4D
C

A


dM
t
t
t
2
4
3
M 
 y M 
.
A 2
2 2t  2
24t2 4dt
23t 231tt2222t2t4t141t2 3 dt
4 t  13
2моделирования дуги обвода в виде кривой одного
A BC D
dt


dM
t
t
3
2
1

dM
t
t
2



 2t  1
dM
t
t
2
4
3

.
3
 2  A dx
A  3 t отношения,

A  который обладает интересными гео2  z tt  z t
z
t
2
dM
2
4
2
4
3
2
A
B
D
2
M
dt




t
t
2
2
1
dt
z


 2t4ft1A, B5,tC
2t2tdt

t
2
, DM
2 f x A2
, xt B ,x2Ct, 
x Dметрическими
1
свойствами и в перспективе откры
 dt
2 2t  2t  1
B dt
2 3
4 
возможности моделирования одномерных
dM  2t 4  4t 3  3t 2 22tt4 1 4t 32t 25t222tt2t1 4t  5t  2t 2t 4  4t 3  5t 2 вает

t
2
B
2

A   2 2 3 B2  24
B
2
4
 41t2
62ttt2
21
4tt 32 2
t 62 t22t  12и многомерных обводов высокого порядка гладdt

tC
 41tBt
ttt
t
4At 3 3
2t 2  2t 2t1M
 4tA23 t12 d5t3222M
B кости.


C
D
.
3
3
22 2
2
2
2
4
3 42
2 3 4
2
2t411t322t52ttt241244ttt

 2t 4  4t23t 45t42t 32t52tt22 2
t 24t23 t4t31t12 CD. 2t 4Вместе
t42ttdt
2
3t4
 4t 3  3сt тем,
tt 2t21t5
22tt11
C

C 3

B  2
D. предложенный геометрический ал2 D. 3 2
22
2
2
2
2
2
2
22 
2
2

xt1Btt t2t6
34tt 2t212
2
tx C1t2tt2 4t2t2t12
t

6
t



t
2
2
1
горитм
не
является
единственно возможным. Пер21t x2t 1x A 1
2t  2t dM
1

C
D. 2t  2t  1
M
dM
3
22  2t  1 3 t
При значении
=
0t 2 получим
t
2
спективным
направлением
видится использование
4
3
2
4C  A
3  0 параметра
22


D

B

0



t

2
t

1
2
2
t

1
2t  4t  5t  4t  1 dt 2t dM
4t  3t dt
2dM
dM t 2t
dM
dM
C 
. 
dM
конфигурации Дезарга для конструирования других

t=
1y0B—
1C2 3ttDA
2

D

B

0
B tt 0 yC
2
2 0 , yаA

C

A

D
при
.
ПроC . A  0
DB0
2t  2t  1 dt  y2tM dt2t dt1 2t 2dx 2t  dt
геометрических объектов, обладающих наперёд заdt
1dt
dM 
M

 f значения
A, B, C , D  параметра
2 f x At, xдают
,
x
,
x
межуточные
линейную
данными свойствами.
2B
C
D
dxzM
z 1  3tt  dtz Bt tdM
M
dM dt 
dM
Ct t
dM
dx
D0 A dx
z,M
 C  A  0 функцию
BCисходных
f MA, B
x DM  f x A , x B , x C , x D 
 f D
,
A,Bот
точек
f ,xDA, x B , x 
, fxDAf,Bx,AC, ,xDB , xи
2, C
C , их
C
2t  2t  1dt
dt
dt
dtdt d 2 M  dt
dt
Библиографический список
4t 3  6dt
tпокоординатного
2
4t 3  6t  2расчёта (для
координат
в случае

A

B
33 3
3
2 3
2
3
2
2
2
2
3
3
dx
M
D
41t4
 t 6t6t 2 2BA 4t 1.6tГлаголев
d M M dt
 4t A2d6tB
tM
2C
2t,x
14t 4t 6t 6
2ttd2То
2 2tесть

M
2
 f  A, B, C , D x:
A B
 G f x A3, x B 2, x3C2A
D 2 . и т.д.).
  2 на интерваB  Н. А. Проективная геометрия. Москва: Выс33
3
dt
3 3 23 2
2
2
2
dt
4
dt 2dt 2t2 4t 2




2
t

2
t

1
2
t

2
t

1
dt
1
12
t кривая
26tt  2является

tпараметра
12
1t  6t2t от4t20t до




t

1
2
t

2
t

1
шая
школа,
1963. 244 с.
ле изменения
1

C 2
D.
3
3 3
3 3
2
3
А. А., Алексанян Г. А. Использование интер2 62
42
t13t 44t12
tt 12

 12
12tt 22 
 66tt


t 26Обратим
t6
t2tчто
2dM
2t2
2
t2tt2
M  4t 3  6t гладкой
 2  4t 3 4[17].
t 312
t6

44tt311
 122.t 2Масалова
 6t


t
4
3
внимание,
в
обоих
слуC

D. 4t активной

C

D
.

A2
B2 2

D.
3
3 C 


A
3
3
3
3
2
2
3
3модели «Применение теоремы Дезарга к решению
2
2
2
2
2
2
dt




2
t

2
t

1
2
t

2
t

1
 дифференцируемой
22tt  22tt  11 2tфункции
t 2
2t1
2t  2t чаях
1 2значения
t 2t dt
1
 2t  1 опре- 2t  2t  1
задач проективной геометрии» // Прикладные вопросы точt = 0, D и B
 4t 3  12t 2  6деляется
t
4t 3 двумя
12t 2  точками
6t 2t 4  4t 3(A 5иt 2 C 2при
ных наук: материалы III Междунар. науч.-практ. конф. Армаt

C

D
.
t = 21), которые
определяют
касательные
в на3
B
2
2
вир: Изд-во АГПУ, 2019. С. 317–320.
2t 2  2t  13при


2
t

2
t

1




t
t
2
2
1
чальной и конечной точках дуги обвода. Поскольку
3. Пименов Р. Р. Обобщения теоремы Дезарга: скрытые
касательная,
трёх
 4t и 1простое
2t 4  так
4t 3 же
5t 2как
2t 4 отношение
4t 3  3t 2
пространства // Вестник Сыктывкарского университета. Се

C
D
.
2
точек прямой, обладает
2t 2  2t  12 инвариантными
2t 2  2t свойствами
1
рия 1: Математика. Механика. Информатика. 2016. № 1 (21).
относительно параллельного проецирования, то все
С. 44–57.
дифференциальные
свойства
кривой в начальной
dM
dM
4. Пименов Р. Р. Обобщения теоремы Дезарга: геометрия

C

A

0

D

B

0
и конечной
в случае проецироdt точках сохраняются
dt
перпендикулярного // Вестник Сыктывкарского университевания полученной дуги обвода на любую плоскость.
та. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2016. № 1
Определим
вторую dxпроизводную
точечного
dM
M
(21). С. 28–43.
 f  A, B, C , D 
 f x A , x B , x C , x D 
уравнения
по параметру t:
dt дуги обвода (2)dt
3
2
2
3
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (183) 2022
A
d M  4t  6t  2
4t  6t  2

A
B
dt 2
2t 2  2t  13
2t 2  2t  13
2

МАШИНОСТРОЕНИЕ
zM 
8
3
3
 4t 3  12t 2  6t
2t  2t  1
2
3
C
4t 3  12t 2  6t
2t  2t  1
2
3
D.
При значении параметра t = 0 получим
d2 M
d2 M d2 M
d2 M
=

2
B

2
A
 20 , а 2при
2C
—
2D  20  2C  2D  0 .
B 2 t2A
10
dt 2
dt
dt
dt
По аналогии с определением первой производной
точечного уравнения (2) при начальном и конечном
значениях текущего параметра t значения дифференцируемой функции определяются двумя точками. Только эти точки умножены на некоторое число
n, в данном случае равное 2. Эти пары точек однозначно определяют прямые линии, которые можно
использовать для стыковки дуг обвода по 2-му порядку гладкости. Таким образом, используя полученные линейные зависимости, можно согласовать
координаты точек предыдущей и последующей дуги
обвода, добившись 2-го порядка гладкости.
5. Короткий В. А. Графические алгоритмы построения квадрики, заданной девятью точками // Геометрия и
графика. 2019. Т. 7, № 2. С. 3–12. DOI: 10.12737/article_5d
2c1502670779.58031440.
6. Волошинов Д. В. Применение методов конструктивной
геометрии для визуального синтеза и анализа компьютерных
программ // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2006.
№ 3 (45). С. 65–78.
7. Иващенко А. В., Знаменская Е. П. Построение сложных
конфигураций на основе конфигурации Дезарга // Перспективы науки. 2018. № 3 (102). С. 43–48.
8. Иващенко А. В., Знаменская Е. П. Варианты последовательностей построения конфигурации Дезарга //
Вестник МГСУ. 2016. № 9. С. 130–139. DOI: 10.22227/19970935.2016.9.130-139.
9. Иващенко А. В., Знаменская Е. П. Геометрические конфигурации, используемые в металлоконструкциях в строительстве // Перспективы науки. 2019. № 1 (112).
С. 43–49.
10. Иващенко А. В., Знаменская Е. П. Конфигурация Дезарга в архитектурном и дизайн-проектировании // Вестник
МГСУ. 2014. № 9. С. 154–160.
КОНОПАЦКИЙ Евгений Викторович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры специализированных информационных технологий и систем Донбасской национальной академии
строительства и архитектуры, г. Макеевка.
SPIN-код: 4566-6208
AuthorID (РИНЦ): 681553
AuthorID (SCOPUS): 57188826034
ORCID: 0000-0003-4798-7458
ResearcherID: D-3235-2019
Адрес для переписки: [email protected]
БАЛЮБА Иван Григорьевич, доктор технических
наук, профессор (Россия), профессор кафедры специализированных информационных технологий
и систем Донбасской национальной академии строительства и архитектуры, г. Макеевка.
AuthorID (SCOPUS): 57215326314
ORCID: 0000-0002-8248-1797
Адрес для переписки: [email protected]
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (183) 2022
11. Малинникова Н. А., Коробкова В. И. Приложение теоремы Дезарга к школьному курсу геометрии // Психология и
педагогика: методика и проблемы практического применения.
2015. № 46. С. 89–94.
12. Торопова О. И. Формирование исследовательской
компетенции обучающихся при решении задач по геометрии
с помощью теоремы Дезарга // Бакалавр. 2018. № 1-2 (37-38).
С. 18–21.
13. Бернацкий П. Н. Применение теоремы Дезарга для построений на плоскости в школьном курсе геометрии // Державинский форум. 2021. Т. 5. № 18. С. 94–104.
14. Балюба И. Г., Конопацкий Е. В. Конструирование дуг
обвода из кривых одного отношения // GraphiCon 2017: тр.
27-й Междунар. конф. по компьютерной графике и машинному зрению (Пермь, 24–28 сентября 2017 г.). Пермь: Издат.
центр ПГНИУ, 2017. С. 332–334.
15. Балюба И. Г., Конопацкий Е. В., Бумага А. И. Точечное
исчисление. Макеевка: Донбасская национальная академия
строительства и архитектуры, 2020. 244 с.
16. Балюба И. Г., Конопацкий Е. В. Точечное исчисление.
Историческая справка и основополагающие определения //
Физико-техническая информатика (CPT2020): материалы 8-ой
Междунар. конф. (Пущино, Московская обл., 09–13 ноября
2020 г.). Нижний Новгород: Научно-исследовательский центр
физико-технической информатики, 2020. С. 321–327. DOI:
10.30987/conferencearticle_5fd755c0adb1d9.27038265.
17. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика.
В 3 т. Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление /
под ред. В. А. Садовничего. 6-е изд., стер. Москва: Дрофа,
2004. 512 c.
Для цитирования
Конопацкий Е. В., Балюба И. Г. Моделирование дуги обвода на основе конфигурации Дезарга // Омский научный
вестник. 2022. № 3 (183). С. 5–9. DOI: 10.25206/1813-8225-2022183-5-9.
Статья поступила в редакцию 04.04.2022 г.
© Е. В. Конопацкий, И. Г. Балюба
МАШИНОСТРОЕНИЕ
9