ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЯ Ускоренный метод расчета показателей качества обслуживания IP-сетей с самоподобным трафиком С.Ш. Кутбитдинов (ГУП «UNICON.UZ»), А.С. Кутбитдинов (СИРМТ), В.В. Лохмотко (СПбГУТ) В статье предлагается основанный на применении модифицированного экспоненциального распределения аналитический метод расчета средней задержки, вероятности потери (по времени) пакета и параметра Херста для звена IP-сети с самоподобным трафиком. Маколада модификацияланган экспоненциал таксимоти куллашга асосланган узига ухшаш трафикли IP-тармогининг бугини учун уртача кечикиш, пакет ва Херст параметрларнинг йуколиши (вакт буйича)эхтимоллигини хисоблашнинг тахлилий усули таклиф этилади. In article is considered the simple method of QoS-calculation (average delay and probability of the packet loss) for a link of IP-network with the exponential self-similar traffic. Этапы планирования и проектирования NGN требуют проведения большого объема многовариантных расчетов типа «эффективностьстоимость» для различных вариантов построения структуры и тарификации услуг с учетом неравномерности распределения трафика, переполнения очередей, перегрузок, блокировок и других аномалий. Это предъявляет к моделям качества обслуживания (QoS) противоречивые требования по вычислительной сложности и адекватности моделируемым сетевым процессам, часто оказывающимся самоподобными. В данной работе рассматриваются три параметра QoS звена IP-сети: 1) средняя задержка пакета объемом V (бит) (IP Packet Time Delay, IPTD), обозначаемая далее, как Т; 2) вероятность потери пакета (IP Packet Lost Rate, IPLR), обозначаемая Р и ассоциируемая с «хвостами» функций распределения случайных величин; 3) вероятность on застать звено в состоянии готовности или с вероятностью off = 1 on в состоянии тестирования. Подобные характеристики для идеального случая (off = 0) будут иметь подстрочный индекс «0», а нормативные «z». Согласно Рекомендации ITU-Т Y.1541 параметры QoS для сетей с коммутацией пакетов дифференцируются по классам и очерчивают диапазон значений от 0,1с до 1с для временных норм и 1‰ для параметров вероятностной природы. Результаты экспериментальных исследований статистических свойств характеристик речевого и видео трафика, проведенных различными независимыми авторами, показывают, что пуассоновская модель не согласуется с результатами эксперимента, а объединенный процесс оказывается сильно коррелированным и подлежит описанию распределениями с длинно протяженными зависимостями, описываемыми функциями со степенным законом убывания и дробным показателем степени [1] t , t , 01 , (1) где: параметр формы распределения, например, степенного или Парето [2]. По мнению сторонников «фрактального» подхода на сегодняшний день не существует общих аналитических результатов анализа влияния самоподобности и долговременной зависимости трафика на QoS. Известны лишь отдельные результаты для частных случаев [3]. Упрощение расчетов QoS-параметров может быть достигнуто переходом от простой экспоненциальной дополнительной функции распределения (д.ф.р.) exp(t ) к модифицированной д.ф.р. вида exp[t /(1 )] , получаемой возведением простой экспоненты в степень 1/(1 ) , > 0 и характеризующейся замедленным темпом угасания «хвоста», совпадающего в ряде случаев со степенным (1). Адекватная подмена функции (1) модифицированной экспонентой положена в основу избранного квазиэкспоненциального подхода. Объяснение физической сущности преобразования и присутствия свойства самоподобности (или масштабной инвариантности) проводится на примере сервера, моделируемого двухпотоковой СМО типа M 2 / M 2 / 1 / с «перерывами», наступающими в конце каждого периода занятости и используемыми для передачи испытательного трафика (тестов). Вновь поступающие запросы ожидают окончания перерыва [4]. Полагаются известными: средняя загрузка сервера запросамиответами, = л / м; off вероятность появления перерыва, off = 1 ; Toff средняя продолжительность перерыва; м интенсивность обслуживания сервера и мoff доля пропускной способности, приходящаяся на обработку испытательного трафика, м = С/V (C битовая скорость). Модельные допущения: законы распределения всех случайных величин – экспоненциальные, емкость накопителя – не ограничена, система однолинейна, пакеты способны группироваться в пачки, запросыответы имеют неявный относительный приоритет перед тестами. Исходя из общей модели СМО M / G / 1/ с перерывами в обслуживании, приведенной в [4], выводится формула средней задержки M 2 / M 2 /1/ , пакета для аналогичной экспоненциальной СМО представляющая собой сумму средней задержки Тo пакета и средней продолжительности перерыва Т To Toff 1 T . (1 ) off (2) Поскольку отличие модели (2) от идеальной M / М / 1 / состоит только в дополнительной задержке Toff, представляется целесообразным при проведении дальнейших преобразований перейти к нелинейной шкале времени с помощью коэффициента Toff То . (3) Коэффициент в дальнейшем будем именовать коэффициентом масштаба квазиэкспоненциального распределения и интерпретировать как степень ухудшения QoS в зависимости от интенсивности воздействия перерывов. При отсутствии перерывов = 0. Выражения (2) и (3) устанавливают линейную зависимость между задержками пакета в системах с прерыванием и без прерываний Т (1 )To . (4) Для доказательства идентичности степенного и квазиэкспоненциального распределений составляется уравнение вида t e t /(1 ) , (5) после логарифмирования которого получается основное тождество, связывающее параметры и через логарифмическую шкалу времени ln t t . 1 (6) Формула (6) парадигма, позволяющая находить различные балансные соотношения между параметрами системы. Если по результатам статистического анализа найден параметр , то t 1 , ln t (7) а при известной и с учетом того, что Н = 1 /2 [3], статистический параметр Херста Н можно представить аналитической функцией H à 1 t 2(1 ) ln t , (8) аргументами которой являются линейное время t, логарифмическое время ln(t) и коэффициент масштаба . При малых значениях t трансцендентная функция На(,t) имеет плохоорганизованную структуру и, как вероятностная мера, существует не всегда. В практике структурно-сетевых расчетов случайную величину t принято трактовать как отношение норматива tz по времени доставки пакета к среднему времени Т доставки пакета, поэтому значения t < 3 не используются по причине непригодных QoS-показателей. Известно [3], что для самоподобных процессов Н > 0,5, однако момент их зарождения не определен. Исходя из (8) при условии Н = 0,5, составлена таблица, в которой фактор времени представлен в двух измерениях линейном, равномерном или ньютоновском времени (1-й столбец) и в логарифмическом масштабе (2-й столбец). Моменту возникновения аномалии соответствует значение коэффициента масштаба * t / ln t 1 , t > 1, (9) при котором система с классическим пуассоновским входящим потоком под воздействием внешних факторов трансформируется в неэкспоненциальную и при дальнейшем увеличении t сохраняет свойство самоподобности (3-й столбец). Таблица 1 Взаимосвязь показателей времени и масштаба Равномерное время, t Логарифмическое время, ln(t) 3 5 7 10 25 30 1.10 1.61 1.95 2.30 3.22 3.40 Точка бифуркации, * 1.73 2.11 2.60 3.34 6.77 7.82 Таблица 1 имеет простую практическую интерпретацию. Если средняя продолжительность перерыва превышает среднее время доставки в 1,73 раза, а норматив tz превышает среднее время доставки в три раза, значит, система обслуживания находится на грани зарождения самоподобного процесса. Будучи самодостаточным методом расчета ВВХ, квазиэкспоненциальный подход позволяет оценить ошибку , допускаемую другими методами, пренебрегшими фактором самоподобности. Ошибка будет иметь место только в том случае, если параметр превышает значение порога * и, например, для трехкратного превышения средней продолжительности перерыва над средним временем доставки ( = 3) составляет 400%. Эталоном в данном случае служит распределение (1). Как следует из (4), ошибка в этом случае составит ≈ 4 раза, если за эталон принято распределение (1). Численные результаты сравнения хвостов распределений (5) представлены на рисунке в виде эквипотенциальных кривых, наделенных тем свойством, что все точки, принадлежащие одной и той же кривой, характеризуются одинаковыми потерями. Рис. 1. Линии равного уровня функции потерь для различных значений параметра t. Рис. 1 демонстрирует устойчивую нелинейную взаимосвязь параметров и , что подтверждает идентичность распределений в широком диапазоне. Подстановкой (4) в экспоненциальную форму exp(t ) находится выражение вероятности потерь пакета для СМО M 2 / M 2 / 1 / с перерывами tz P(T t ) exp , ( 1 ) То (10) а при = 0, соответственно, без «перерывов» P(T0 t ) exp(t z / То) (11) При наличии исходных данных только для идеального случая удобно пользоваться коэффициентом h [h = P(T t ) : P(T0 t ) ], позволяющим находить потери в системе с перерывами, не моделируя ее вероятностных свойств, а ограничиваясь только учетом внешнего воздействия t z h exp , (1 )T0 (12) Прибегать к сложным математическим вычислениям при использовании моделей квазиэкспоненциального подхода не требуется, если не считать расчета значений элементарной функции exp(t ) . Предлагаемые модели могут применяться для решения ресурсных задач, связанных с расчетом битовой скорости С канала, обеспечивающего доставку трафика с заданными нормами на потери Pz и задержку tz при фиксированной загрузке , C (1 ) V ln Pz , (1 )t z (13) либо с расчетом интенсивности обслуживания м под заданный объем трафика л в единицах измерения пакет/с (1 ) ln Pz . tz (14) Численный пример. Заданы: скорость доступа к серверу 256 кбит/c; объем пакета V = 1 кбит; загрузка сервера 50%; норма времени на доставку пакета tz <= 0,1с. Рассчитываются вероятность потерь и фактическая задержка пакета, при условии, что свободное время процессора занимает прогонка тестов средней продолжительности Toff = 40 мс. Характеристики системы для идеального случая (без перерывов) помечаются *, а номера примененных формул приводятся в скобках. Результаты расчета в пошаговой записи: 1.Среднее время передачи пакета 1кбит : 256 кбит/c ≈ 4 мс. 2*. Задержка пакета 4 мс : 0,5 = 8 мс (формула 2 при Toff = 0). 3.Коэффициент масштаба 40 мс : 8 мс = 5 (формула 3). 4.Задержка пакета 6 х 8 мс ≈ 0,05с (формула 4). 5*. Потери ехр ( 0,1 : 0,008) ≈ 3х10-6 (формула 11). 6.Коэффициент пересчета ехр (5х0,1 : 6 : 0,008) ≈ 42900 (формула 12). 7.Потери 3х10-6 х 42900 = 0, 118 (формула 10). Дополнительный расчет по формулам (8) и (7) показал, что квазиэкспоненциальный подход позволил промоделировать стохастику сетевых процессов, соответствующую распределению Парето с параметром = 0,84 или иному тяжелохвостному распределению с параметром Херста Н = 0,58. Вывод по результатам расчетов. По временным нормативам QoS планируемая система с запасом «укладывается» в высший нулевой класс обслуживания. Однако норматив по потерям не выполнен на два порядка и следует ограничить прогон длительных по времени тестов либо подвергнуть их фрагментации. Литература 1. Городецкий А.Я., Заборовский В.С. Информатика. Фрактальные процессы в компьютерных сетях.: Учеб. Пособие СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2000. 102 с. 2. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. М.: Статистика, 1980. 95 с. 3. Шелухин О.И., Тенякшев А.М., Осин А.В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях. М.: Радиотехника, 2003. –480 с. 4. Бертсекас Д., Галлагер Р, Сети передачи данных: Пер. с англ. – М.: Мир. 1989. –544с. Советуем прочитать Современные телекоммуникации Мардер Н.С. В новой книге заведующего кафедрой инфокоммуникаций Института повышения квалификации Московского технического университета связи и информатики всесторонне рассматриваются состояние и перспективы развития современных телекоммуникаций. В первой части монографии проанализированы основные аспекты развития мировых телекоммуникаций: экономические, технические, регуляторные и другие. Во второй части речь идет о российских телекоммуникациях как составном элементе глобальной системы и о путях их развития с учетом мировых тенденций. В монографии отражены личные предложения автора, связанные с дальнейшим совершенствованием функционирования телекоммуникаций страны и методов нормативного правового регулирования инфокоммуникаций, а также либерализации рынка услуг электросвязи и информатики.