теория функции комплексного переменного

Министерство образования и науки Российской Федерации
Северный (Арктический) федеральный университет
имени М.В. Ломоносова
Н.Н. Конечная, Т.А. Сафонова, О.Н. Троицкая
ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Учебное пособие
Архангельск
Издательство «КИРА»
2015
УДК 517.53(075.8)
ББК22.161.5я73
К 64
.>
Рекомендовано к изданию
кафедрой математического анализа," алгебры и геометрии института математики,
информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального
университета имени М.В. Ломоносова 29 октября 2015 г.
Рецензенты:
К.А. Мирзоев, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры ма­
тематического анализа МГУ имени М.В. Ломоносова
Е.В. Шахова, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Института экологических проблем Севера УрО РАН
К 64
Конечная, Наталья Николаевна.
Теория функций комплексного переменного : учебное пособие / Н. Н.
Конечная, Т. А. Сафонова, О., Н. Троицкая ; М-во образования и науки
Рос. Федерации, Сев. (Аркт.) федер. ун-т им. М. В. Ломоносова. - Архан­
гельск : КИРА, 2015. - 111 с. : табл., рис. - ISBN 978-5-98450-395-2.
Агентство CIP Архангельской ОКБ
Содержание учебного пособия соответствует федеральному государ­
ственному стандарту высшего профессионального образования по направ­
лению подготовки 090900.62 «Информационная безопасность». В пособии
представлен основной теоретический материал по дисциплине «Теория
функций комплексного переменного». Все теоретические положения ил­
люстрируются подробно разобранными примерами. Для самостоятельной
работы студентов по каждой теме даны соответствующие задачи и упраж­
нения.
Предназначено для бакалавров, обучающихся по направлению
090900.62 «Информационная безопасность»; может быть использована
студентами смежных направлений, а также магистрантами и аспирантами,
интересующимися прикладными аспектами математики.
УДК 517.53(075.8)
ББК22.161.5я73
Издание учебно-методического пособия осуществлено при поддержке
гранта Президента РФ (проект № МК-3941.2015.1)
ISBN 978-5-98450-395-2
•
© Северный (Арктический) федеральный
университет имени М.В. Ломоносова, 2015
© Изд-во «КИРА», 2015
© Н.Н. Конечная, Т.А. Сафонова,
ОН. Троицкая,2015
Оглавление
Глава 1. Комплексные числа
1.1. Комплексные числа и операции над ними. Геометрическая
интерпретация
1.2. Формы записи комплексных чисел
1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного
числа
Задачи для самостоятельного решения
6
6
10
13
15
Глава 2. Функции комплексного переменного
2.1 Плоскость комплексного переменного
2.2. Последовательности комплексных чисел
2.3. Функции комплексного переменного: основные определения и факты
2.4 Основные элементарные функции комплексного переменного
Задачи для самостоятельного решения
19
19
21
23
25
30
Глава 3. Дифференцирование функций комплексного переменного
3.1. Определение производной
3.2. Производные основных элементарных функций
3.3. Связь между аналитическими и гармоническими функциями
3.5. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
Задачи для самостоятельного решения
33
33
36
38
40
43
Глава 4. Интегрирование функций комплексного переменного
4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
4.2. Теоремы Коши
4.3. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
4.4. Интегральная формула Коши
Задачи для самостоятельного решения
45
45
48
49
52
56
Глава 5. Ряды с комплексными членами
5.1. Числовые ряды. Признаки сходимости
5.2. Функциональные ряды
5.3. Степенные ряды
5.4. Ряд Тейлора
5.5 Свойство единственности аналитической функции
5.6 Ряд Лорана
Задачи для самостоятельного решения
58
58
62
65
68
71
73
76
-з-
Глава 6. Изолированные особые точки и теория вычетов
6.1. Изолированные особые точки аналитической функции.
Их классификация
6.2 Вычеты
6.3 Вычисление некоторых классов интегралов с помощью вычетов
6.4 Логарифмические вычеты. Принцип аргумента
Задачи для самостоятельного решения
78
83
86
91
93
Индивидуальные домашние задания
95
Приложение А
Приложение Б
Приложение В
Приложение Г
Приложение Д
Приложение Е
Рекомендуемая литература
,
78
97
98
100
102
104
107
111
ВВЕДЕНИЕ
В представленном учебном пособии изложены основные разделы
дисциплины «Теория функций комплексного переменного». Глава 1 посвящена
изучению комплексных чисел, их геометрическому представлению, таких
операций над комплексными числами, как сложение, вычитание, умножение
деление комплексных чисел, а также возведение в степень и извлечение корней
из комплексных чисел. Главы 2 - 4 раскрывают основные определения и
утверждения,
касающиеся
непрерывности,
дифференцируемое™
и
интегрируемости функций комплексного переменного. Рассмотрены также
основные элементарные функции и их свойства. Главы 5 и 6 посвящены
изучению функциональных и степенных рядов и теории вычетов.
Приведено
большое
количество
примеров
решения
задач,
иллюстрирующих теорию. Задания для самостоятельного решения формируют
умения и навыки, необходимые для успешного освоения дисциплины. Кроме
того, в пособии приведены варианты индивидуальных домашних заданий по
всем предлагаемым к изучению разделам.
Пособие предназначено студентам, обучающимся по направлению
090900.62 «Информационная безопасность», и полностью соответствует
требованиям Федерального государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования данного направления подготовки.
Следует отметить, что данное пособие следует рассматривать лишь как
основу для изучения указанного раздела математики. Решению задач по каждой
из тем должно предшествовать тщательное изучение учебного материала.
Перечень рекомендуемой учебной литературы приведен в конце пособия.
Глава 1. Комплексные числа
1.1. Комплексные числа и операции над ними. Геометрическая интер­
претация.
Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара
действительных чисел (х,у): z = (х,у). Действительные числа х и у называются
действительной и мнимой частями комплексного числа z соответственно и
обозначаются x = Rez
(от франц. reele - "действительный"), y = \mz
(от
франц. imaginaire — "мнимый").
Определение. Два комплексных числа z ='{х ,у ) и z = {х ,у )
y
1
1
2
2
называ­
2
ются равными тогда и только тогда, когда х, = х и у\ = у , то есть
2
2
\х =х
1
z,=z
2
о
2
Определение. Суммой комплексных чисел z, =(x ,y ), z = (х ,у )называ­
l
l
2
2
2
ется комплексное число г, определяемое равенством:
z = z, + z = (х, + х , у + у ).
2
Определение.
l
l
2
2
х
Разностью
z =(x ,y ), z =(х ,у )называется
x
2
2
комплексных
чисел
комплексное число z, определяемое равен­
2
ством:
z=
z -z =(x -x ,y -y ).
1
2
1
2
1
2
Определение. Произведением комплексных чисел z, = (х ,у ), z = (х ,у )
1
1
2
2
2
называется комплексное число z, определяемое равенством
z = z, • z = (х,х - у , х у + х у ) .
2
2
У ]
2
1
2
2
х
Справедливы следующие свойства операций над комплексными числами:
1.
+ z = z + z,;
Zj
2
2
2. z, + (z, + z ) = (z, + z,) + z ;
3
3.
Zj
3
• z = z • Zj;
2
2
4. z ( r z ) = ( z z ) z ; 1
2
3
1
2
3
5. z, -(z +z ) = z, -z +z, -z ..
2
3
2
3
Геометрически комплексное число z = (x,v) можно изобразить точкой
2
М(х,у) на декартовой плоскости R или вектором z =(х, v), идущим из начала
координат в точку М{х,у) (радиус-вектором точки М). Плоскость С, на которой
комплексные числа изображаются как точки, называется комплексной
плоскостью. Ось Ох называется вещественной осью комплексной плоскости, а
ось Оу — мнимой осью. Комплексная плоскость С, дополненная бесконечно
удаленной точкой z — ос, называется расширенной комплексной плоскостью и
обозначается С .
Комплексные числа вида z = (x,0) изображаются точками на
вещественной оси и являются вещественными числами (множество
вещественных или действительных чисел есть подмножество множества
комплексных чисел), а комплексные числа вида z = (0,j) изображаются
точками на мнимой оси и называются чисто мнимыми числами.
Масштабная единица оси Ох, т.е. комплексное число z = (l,0), есть веще­
ственная единица. Масштабная единица оси Оу, т.е. число z = (0,1), называется
мнимой единицей и обозначается (0,1) = /. По правилу умножения комплексных
2
чисел получим: (0,1)(0,1) = (0-0-1• 1,0• 1 +1 • 0) = (-1,0) = - 1 , т.е. / = - 1 . Ана­
логично i = -/', ? = 1 и т.д.
3
Определение. Два комплексных числа z = (x,y) и z = (x,-y), которые
отличаются знаком мнимой части, называют комплексно сопряженными числа­
ми (рисунок 1).
уА
Рисунок 1.
Определение. Вещественное неотрицательное число
\z\ = ^х +у = V(Rez) + (Imz)
называют модулем комплексного числа z = (х,у).
Геометрически, модуль комплексного числа - это расстояние от точки,
изображающей число z, до начала координат (или длина радиус-вектора точки).
1
2
2
2
Определение. Угол ср между положительным направлением оси Ох и
вектором z = (x,y) называют аргументом комплексного числа z = (x,y) (обо­
значение Arg z). Этот угол называют общим значением аргумента, он опреде­
лен неоднозначно, с точностью до 2/ск (keZ).
Аргумент комплексного числа
z~0 не определен.
Главным значением аргумента комплексного числа называют значение
угла ф, заключенное в промежутке длины 2п (обозначение arg z). Для опреде­
лённости можно считать, что - я < arg г < л.
Общее и главное значения аргумента связаны соотношением
Справедливы следующие свойства модуля и аргумента комплексного
числа:
1 z' z — (х,уХх,-у) = (х + у ,0) = |z| ;
2. при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а
аргументы складываются, т.е.
2
2
2
= N-hl> Arg(z -z ) = Argz +Argz ;
3. при делении комплексных чисел модуль частного есть частное моду­
лей, а аргумент частного — разность аргументов делимого и делителя,
z
|v 2|
l
2
l
2
т.е.
3-=Щ,
i\ N
2
=Arg =,~Argz .
Arg\^
2
\4J
Примеры
1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа z = (6,5).
Решение. Согласно определению Rez = 6и Imz = 5.
2. Какие из данных комплексных чисел равны
Решение. Согласно определению два комплексных числа равны тогда и только
тогда, когда равны их действительные и мнимые части соответственно.
В данном случае z = z и z = z = z .
t
4
3. Найти сумму
(z
2
}
3
+z ),
2
6
разность
(z,-z )
2
и произведение
(Zj z )
2
ком­
плексных чисел z, и z , если z, = (3,-5) и z, = (2,1).
2
Решение. По определению суммы, разности и произведения комплексных чи­
сел получим:
z,+z = (3 + 2,-5 + 1) = (5,-4),
2
z, - z = (3 - 2,-5 -1) = (1,-6),
2
z, • z = (3• 2-(-5) • 1,3• 1 + (-5) • 2) = (11,-7).
2
4. Найти комплексное число, сопряжённое с данным числом z = (-7,-5).
Решение. Согласно определению сопряжённого числа z = (—7,5).
5. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = \— 1, v3J.
Решение. Найдём вещественную и мнимую части комплексного числа:
Re z = - 1 и Imz = 7з . Тогда
И = ЛЛ-1) +(7З7=Л/4=2,
2
6. Построить точку, изображающую комплексное число z = -2
Решение. Комплексное число г = -2 + 2-Уз/ представлено на рисунке 2.
УА
Рисунок 2.
7. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворя­
ющих следующим условиям |г -2/'| < 2, 1 < Imz < 3.
Решение. Множество точек z таких, что |z-2z]<2, является внутренней ча­
стью круга с центром в точке (2,0) и радиусом, равным 2. Множество точек z
таких, что l < I m z < 3 , является горизонтальной полосой, заключённой между
прямыми
у=\
и
У=3.
Тогда
множество
точек
z
таких,
что
|z-2/|<2, l < I m z < 3 , является пересечением указанных круга и полосы; гра­
ница не входит в заштрихованное множество (рисунок 3).
Рисунок 3.
1.2.
Формы записи комплексных чисел
Определение.
называется
Алгебраической формой комплексного числа z = (x,y)
представление
его
в
виде
z = x + iy
(так
как
z = (х, у) = (х, 0) + (0, у) = (х, 0) + (0, \)(у, 0) = х + iy).
Комплексные числа, записанные в алгебраической форме можно склады­
2
вать, вычитать и умножать как обычные двучлены, учитывая, что i =— 1, т.е.
для комплексных чисел z, = х, + iy и z = х + гу справедливы равенства:
x
2
2
2
z, ± z = (х, + г>,) + (х + z> ) = x, +г>, + х, ±iy = (х, ± x ) + /(v, ±>> ),
2
2
2
2
2
2
l
z, -z = (x, +/у,)-(x +;>.,) = x,x + x,/> + x /y, + < ^ y =
2
2
2
= x,x +x,r>' + x iy -y y
2
2
2
t
t
2
=(x,x -у У )
2
2
х
2
a
+ КХ\Уг + x y ).
2
2
l
Операцию деления комплексных чисел, записанных в алгебраической
форме, можно определить с помощью операции умножения. А именно, чтобы
вычислить значение —, надо числитель и знаменатель дроби умножить на чис2
ло, сопряженное к знаменателю:
z, z, • z
1
— = - -z - = 7-l2--( . 2). -e2 2' 2 |Z |
Zj _ (x, + z>,)(x -y> ) (x,x, + y y ) + / ( y x , - x y ) x,x + y,y
.y,x -x,y
Z
2
J
Z
2
Z
z
z
T
Z
2
2
2
=
1
2
z
x +y;
2
2
1
t
2
=
2
Определение.
2
2
А У\
+
x;+yl
Тригонометрической
формой
|
2
2
А + у\
комплексного
числа
z = (x,y) называется представление его в виде z = |z|(cos^ + isin#>) (так как
z = (х,у) = х + iy = |z| • coscp + / • |z| • sinq) = |z|(coscp + /sinq))).
Числа, записанные в тригонометрической форме, удобно умножать и де­
лить, используя свойства модуля и аргумента, а именно для комплексных чисел
z, =r,(cos^, -H'sin^,) и z = r (cos<p +/sin^ ) справедливы равенства:
2
z
2
2
2
z
i • 2 = I^CcosC^. + <P ) + i$H<Pi + <Рг)),
2
-t- = 5-(cos(^, - cp ) + /sin(^, - cp )).
2 2
2
Z
2
Г
Определение. Показательной формой комплексного числа z = (x,y)
llf
называется представление его в виде z = \z\e
(так как по формуле Эйлера
cos(p + ;sin(p = e"").
Числа, записанные в показательной форме, удобно умножать и делить,
используя свойства показательной функции, а именно для комплексных чисел
z, = г е и z = г е справедливы равенства:
т
х
т
2
2
z z
r
= r,/- VV
2
z
2
2
re
2
ift
!
=
r
2
r,r e'^\
2
Таким образом, всякое ненулевое комплексное число z = (x,y) можно за­
писать в трех формах:
ф
2
2
г = (х,>') = х + 7у = |г|(со8ф + /5тф) = |г|е' ||z| = <Jx + у , (p = argz).
В силу указанных свойств модуля и аргумента комплексного числа, опе­
рации умножения и деления комплексных чисел удобнее выполнять, если эти
комплексные числа записаны в тригонометрической или показательной фор­
мах.
Примеры
8. Записать комплексное число z = (-2,2) в трех формах записи.
Решение. Алгебраическая форма записи: z = (-2,2) = - 2 + 2/.
Найдём модуль и аргумент комплексного числа:
|z| = 7 ( - 2 ) + 2
2
2
=2&,
2
argz = arete
л
vп=
-2
Зя
н л = —.
4
4
Тригонометрическая форма записи: z = 2^2 •(cos^ + / - s i n ^ ) .
—i
4
Показательная форма записи: z = 2-^2 • е
.
9. Найти произведение комплексных чисел (—2 + 3/)(4 —5/).
Решение. Умножим комплексные чила как обычные двучлены. Учитывая, что
2
2
i = - 1 , получим (-2 + 3/) • (4 - 5/') = -8 +12/ +10/ -15/ = 7 + 22/.
1 + 3/
10. Найти частное комплексных чисел —г——.
-2-5/
Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое к
знаменателю, получим
2
1 + 3/
( 1 + 3 / H - 2 + 5Q ^ - 2 - 6 / + 5/ + 15/ _ - 1 7 - / _
- 2 - 5 / " ( - 2 - 5 / ) - ( - 2 + 5/)"
( - 2 ) + (-5)
~ 29
=
2
2
17
29
1_ .
29''
11. Вычислить ——-, используя показательную форму, если z , = ( - l , l ) ,
z = (73,i), z = ( - 7 2 , - 7 6 ) .
2
3
Решение. Запишем данные комплексные числа в показательной форме. Найдем
модули и аргументы комплексных чисел z , , z , z ;
2
2
2
Ы =л/(-1) +1 =^,
|-" | = 2 ,
|z | = 2 V 2 ;
2
2
x
z,-z
2
4
, z = 2e , z = 2J2e
6
2
3
Ifyf>
+n= ^ ,
2л
= -—.
. Следовательно,
3
JlJ'-lJ'
1
я
= --n
3
Тогда z = 42е
a r g z = a r c / ^ - ^ + 7r = ~
3
1
п
. ->/б
mgz = arag-j= = -,argz =arctg^j=-n
3
5n .
=
e
12
—I
=
g
12
1
3
2 ^ • e~
1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного
числа
Свойства модуля и аргумента комплексного числа позволяют получить
формулу возведения комплексного числа в целую положительную степень:
z" =(|z|(cos<p+jsincp)) = |z|"(cosw(p + /sinwq>)
или в показательной форме z" =
4
• е' *) =|z|"-e"" . Эту формулу называют
p
формулой Муавра (Абрахам Муавр (1667-1754) - английский математик).
Легко проверить, что эта формула остается справедливой для я = 0 и для
целых отрицательных степеней.
Определение. Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется
такое комплексное число a = yfz , для которого а" = z.
Из определения и формулы Муавра ясно, что модуль искомого корня бу­
1
71
дет "/jzj, а аргумент Ф" "^ ^ ^
г д е
^ g Таким образом,
е
\fz =?/|z|(cos(p + /sinq)) = (J/JZ|)(COS^' *~^ +1в'т^
'
*
п
+
П
+
П
^ ),
п
к =0,1,...(«—1),
. 4>f2nA
или ?Jz~ = sl(\z\-e" )=t§z]-e
e
" , к = 0,1,...(и-1).
Корень п-ой степени из комплексного числа z имеет п различных значе­
ний, модули которых одинаковы и равны r/jzj, а аргументы двух последова-
тельных значений отличаются на угол — (рисунок 4). Таким образом, все зна. п'
чения корня лежат на окружности с центром в начале координат радиуса
Рисунок 4.
Примеры
9
12. Найти (1 + 7з/) .
Решение. Запишем сначала число z = 1 + >/Зг в тригонометрической форме:
I I
Г, / ГГ7
Ч
~
*УЗ К
~,
ТС . . ТГ
|z| = y l + (v3) =2, arg z = arctg — = - , z = 2(cos j + z sin
.
Тогда по формуле Муавра получим:
9
9
9
9
9
z = (1 + Jdi) = 2 (cos9| + isin9 j ) . = 2 (cos3tu + шпЗтс) = 2 ( - l + /0) = -512.
13. Вычислить все значения корня \ J - \ + i.
Решение. Найдём модуль и аргумент комплексного числа, стоящего под кор­
нем: —
| 1 + /| = -J2, arg(-1 + i) = arctg— + тс = — . Представим его в показатель4
4
3
ной форме: -1 + / = >/2-е '. Тогда 3/-1+/ = \ ь / 2 - е ' = ^ 2 - е
11я.
я.
4
z , = V 2 - e , z =kl2-eu',
2
19-
z = ^2 • е
1 2
3
', Л =0,1,2, т.е.
5я
= ^2 • е~™.
2
14. Решить уравнение z - / = 0.
Решение. Поскольку z = 4i, то задача сводится к нахождению yfi. Число i в
-Л
показательной форме имеет . вид
t—
г-
2
.,-К ЛТК.
'(-+
)
z = ;' = e . Тогда \ji=e
«?
п . . я V2
..
^
~>
>/2
z, = е =cos- + /sm- =
(l + /),z, = е = е = - — ( 1 + А.
4
4 2
2
4
1
4
2
4
4
2
, £ = 0,1, т.е.
Задачи для самостоятельного решения
1.1.
Найти действительную и мнимую части комплексного числа.
1)2 = (-;г,-6);
'1 11
2 3
2)
1.2.
3)* = ( Л , - Л ) ;
Найти, при каком значении х действительная часть комплексного числа
равна коэффициенту его мнимой части.
1) z = 2x-3/;
3) z = (x + 2) + i;
2) z = 0 , 5 - ( x - l ) / ;
1.3.
Г 1-,л/5
4)
4) z = -\+5xi.
Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической фор­
ме.
3
4
2
3
1) (/ + 4/ )+(/ - 3 ( - 0 ) ;
2)
3) (-3 + V2/Xl/3-l/20;
5
5-4;
-3 + 2/
4)
;
5
+
1 + 2/
7-i
4
1.4.
Проверить тождество х + 4 = (х - 1 - / ) ( х - 1 + z')(x +1 + /')(* +1 - 0 •
1.5.
Решить уравнение.
2
1.6.
1) х + 3 + 4г=0;
4) z-z + 3[z-zj=4 + 3i;
2) (2 + / > = 3 - / ;
5) ( l - / ) - z = 2 + V3/;
3) k+2z+zz = 5+5i;
6) 2z + 3z = 5 + 2i.
Решить систему уравнений.
1 )
1(l-0x-(6-0j =4
;
3
> \3z^-z
b 7 - =3-2i
2
J (1 + / > + (1 + 2/')_y + (1 + 3/')z + (1 + 4;')? = 1+5/
x + yi-2z = 10
x-.y + 2/z = 20
.
/x + 3iy - (1 + z')z =30
4)
l(3-0x + (4-20>' + (l + /)z + 4/Y = 2 - i
x,y,z,t —вещественные.
1.7. Построить точки, изображающие комплексные числа.
1) - 1 + / ;
3)2/; • '
их 1
4)-1.
I-
2) - л / 3 - 6 / ;
1.8.
1.9.
Найти модуль и аргумент комплексного числа.
О 3-4/;
4)V5+2r;
2) - 7 + / ;
3) 1-3/;
5)-8-6/;
6)-1-1,
Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяю­
щих следующим условиям.
1) |*| = 1;
4)argz = ;r
2) (RezXlmz)=l;
5)|z-/| = l, argz = ^ / 2 ;
3) |z-3 + 4/| = 2;
6) |z + / - l | > | z + l + 3/|.
;
1.10. Используя геометрическое истолкование действий над комплексными
числами, найти длины сторон и внутренние углы треугольника, верши­
нами которого являются точки г, =3 + /, г, =5 + 3/ и z, =(7-2л/з)+3/.
1.11. Найти lmz,ecnH z = —1
1.12. Найти Rez, если г =
1.13. Представить в тригонометрической и показательной формах следующие
комплексные числа.
1) 1 + '';
4)л/3-/;
2) 1 + л/3/;
3) 2 + 2/;
. ) ;
6)-12 + 12/.
5
2 /
1.14. Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрическойформе.
5п
COS
. 5тг
+ ZSH1—
8
8
Ъп
. Ъп >
cos — + ism —
8
8
2) (cos 15' +Л5 )f;
1)
3)
coscp + ismw
cosy/-/siny/
П
4)
COS
. . nY
bJSin
10
ЗлCOS
10 А
20
1.15. Вычислить.
1)(1-/л/з7;
3)
2)
. я . n
16л sin
(cos —
^
I 3
3
1-/
4
(l+if{l-iSj;
4 )
1.16. Извлечь корни.
4) V 2 - 2 / ;
/1+7
2)t7-;
3) V - l + i ;
1-/
6)
s
4-i,
1.17. Решить уравнение.
2
1) z = - 8 1 ;
2
2) z = 8 + 6/';
2
3) z - 8 z + 41=0;
3
4)z =-8.
1.18. Доказать равенство
l+itga)
—
\-itga)
l+itgna
-—,
\-itgna
. . Ъп
hfSin
« e N.
20 У
1.19. Вычислить определитель.
CO CO
a
c + di
;
3) - 1 (0
1) c-di
b
1
2) -i
l-i
i l+i
1 0 ;
0 1
1 1
4) 1 0)
1 со
2
2n
. .
U> = COS
hZSlTi
3
1
со
3 '
2
2TT . . 2n
CO
CO = COS
hZSUl
3
з •
a(cos 75 + i sin 75 }
1.20. При каком действительном а выражение г(а + 2 / ) - ( 1 4 - З ш ) - 2 является
2
2
действительным числом?
1.21. Найти числа, сопряжённые своему кубу.
1.22. Доказать свойства сопряженных чисел.
l)z=z;
2) z, + z = zi +
2
4) z,-z
Z2;
3) Zj +z =zi v z ;
2
2
2
=zi-z ;
2
5) Zj -z =zi -z ;
2
6) \z\ = Ы
2
.
Глава 2. Функции комплексного переменного
2.1. Плоскость комплексного переменного
Определение. Величина z = x + iy называется комплексным переменным,
если х и у — переменные величины.
При изменении х и у комплексная переменная z = x + iy будет
пробегать некоторое множество точек комплексной плоскости С, которую
называют также плоскостью комплексного переменного z (рисунок 5).
Рисунок 5.
Поскольку расстояние между двумя точками z =x +iy
находится по формуле
{
P(z ,z ) = J(x -x )
2
]
2
l
2
2
+(y -у )
t
2
i
l
и z
2
-x +iy
2
2
= |z, - z | ,
2
то уравнение окружности радиуса R с центром в точке z имеет вид |z-z | = R,
0
0
а неравенство |z —z |</? задаёт множество точек z, лежащих внутри круга
0
радиуса R с центром z .
0
Определение. 5-окрестностъю точки z называется внутренность круга
0
с центром z и произвольным радиусом 8, т.е. множество |
0
z _ z
0
| < 8.
Определение. Окрестностью бесконечно удаленной точки z = оо
называется множество, состоящее из точек zeC, для которых |z|> R, и самой
точки z = оо.
Определение. Точка множества D называется внутренней, если
существует окрестность этой точки, содержащаяся в D.
Определение. Множество D называется открытым, если каждая его
точка является внутренней.
Определение. Множество D называется связным, если любые две точки
D можно соединить между собой ломанной, содержащейся в D.
Определение. Точка z, называется граничной точкой множества D,
если в любой окрестности этой точки найдутся как точки из D, так и точки, не
принадлежащие D.
Множество граничных точек называется границей множества D.
Определение. Множество, содержащее все свои граничные точки,
называется замкнутым.
Определение. Область - это открытое связное множество.
Определение. Области D называется замкнутой областью, если она
содержит все свои граничные точки (обозначение: D).
Определение. Область называется односвязной, если ее граница состоит
из одной непрерывной кривой без самопересечений (возможно, замкнутой). Все
прочие области называются многосвязными.
Примеры
15. Показать, что множество £> = {z:|z-z |</?} является открытым.
0
Решение. Возьмем любую точку z, е D . Тогда |z-z | < Л и d = R-\z-z \
0
>0 -
0
расстояние от z, до окружности |z-z | =./"?. Поэтому если 0<5<й?, то множество
0
|z-z | < 8 лежит в D, т.е. D - открыто.
0
16. Выяснить, какие из множеств являются областями: |z — z \<R;
0
r<\z-z \<R
0
(0<r<R);
вся плоскость С; полуплоскость Rez>a
(а -
действительное число); |z - z | < R.
0
Решение. По определению областями являются множества: круг |z-z |</?,
0
кольцо г <|z-z |<7? ( 0 < r < R), вся плоскость С, полуплоскость Rez><r/
0
(а — действительное число). Круг |z-z |</? не является областью, т.к. это
0
множество не является открытым (для точек z, для которых \z — z \ = R не
Q
t
существует окрестности, целиком лежащей в этом круге).
17. Выяснить, какие из множеств являются замкнутыми областями:
\z-z \<R,
0
r<\z-z \<R,
r<\z-z \<R.
0
0
Решение. По определению круг |z-z |</? и кольцо r < | z - z | < / ? являются
0
0
замкнутыми областями; но кольцо г <\z-z \<R
не является замкнутой
0
областью, т.к. не содержит все свои граничные точки.
18. Привести примеры односвязных областей.
Решение. Односвязными областями являются, например, круг |z-z |</? и по­
луплоскость Rez > 0.
0
2.2. Последовательности комплексных чисел
Если каждому числу п из натурального ряда 1,2,... по некоторому правилу
поставлено в соответствие комплексное число z , то говорят, что задана
n
последовательность {z„}.
Поскольку z =x +
n
n
iy , то задание последовательности комплексных
n
чисел {z„} равносильно заданию двух последовательностей действительных
чисел {х„} и {у„} соответственно.
Определение. Комплексное число
A = a + ib
называется пределом
последовательности {z„} при п —> +оо, если для любого е > 0 существует
положительное число N(e), что при всех п > N(s) выполнено неравенство
|z -A\<S (обозначение: limz =Л).
1
1
Л-»°о
Определение.
сходящейся.
Теорема.
Последовательность,
Соотношение
имеющая
lim(x +iy )=a + ib
n
n
предел,
называется
эквивалентно
двум
соотношениям:
limx = а
Л—КО
Из этого
соотношения:
утверждение,
и
limy =/3.
М->со
в частности,
следует,
что справедливы
lim(z„ + w ) = lim z„ + lim w„;
n
lim z. • w, = lim z„ • lim w„
Z
z„ _ 1™, n
lim—5__Jt±£—
w. lim w„ '
n->»
е с л и
limw„ *0.
"
Определение. Бесконечно удалённая точка А = а с называется пределом
последовательности {z,,} , если для любого сколь угодно большого числа R > О
найдется такой номер N(R), что при всех п > N(R) выполнено неравенство
|г I > Л (обозначение: limz,, = ос ) .
1
1
п—КО
Примеры
19.
Доказать,
что
если
limz„=a,
то
справедливо
равенство
,. Z, +Z, +...+ Z.
lim -!
= а.
2
Я—№
77
Решение. Возьмём любое е>0. Поскольку Шпz = а, то по определению пре­
n
дела последовательности для числа — > 0 существует положительное число N(e)
z
a
такое, что при всехn>N(s) выполнено неравенство „ ~ \
s
2'
Рассмотрим
Z, + Z, +...+ Z.
2
Ё1 *-°1
f f
2 2 2
при и > Ni>N, следовательно, по определению предела
/7
= а.
20. Найти предел последовательности lim
5и
,2п +п
+» 5
и + 1 Зи -1
2
Решение. Необходимым и достаточным условием сходимости последователь| 5л .2п +п\
ности {
н — - — } является сходимость последовательностей вещественных
и+1
5л 1 Зл
| 2л-1+ л1
чисел
г
г
2
Вычислим указанные пределы последовательностей
Г
\
f
2+2n
+n
l i m l ^ ^ - =lim
lim
:lim
1
3/7 - I
3-1+и J
2.
,. f 5n ,2n +n
5и - i limf 2и
, =5+ -/.
lim
Тогда lim
-+/
{ 3w -l J
3
л+1
,.-«.1 ]
Зп - I
2
2
e
2
2
и +
2.3. Функции комплексного переменного: основные определения и факты
Понятие функции комплексного переменного является частным случаем
общего математического понятия функции. Пусть D и Е - некоторые множе­
ства точек комплексной плоскости, а комплексное число z может принимать
любое значение из D (z — комплексная переменная, D - областью её измене­
ния).
Определение. Величина w называется функцией независимого перемен­
ного z, если каждому значению z по некоторому правилу соответствует одно
или несколько комплексных значений wsE (обозначение: w = f(z)).
Если каждому ze D соответствует единственное значение weE,
ворят, что на множестве D задана однозначная функция w = f(z).
то го­
Если каждому z £ D соответствует несколько значений WGE, то гово­
рят, что на множестве D задана многозначная функцця w = f(z).
Множество D называется областью определения функции w = f(z),
а
множество £, = f(D) с Е - областью значений функции w = / ( z ) .
Записав комплексные числа z и w в алгебраической форме
z = x + iy, w = u + iv,
заметим, что и = и(х,у), v = v(x,y). Таким образом, задание функции комплекс­
ного переменного
w = f(z) = и(х, у) + iv(x, у)
эквивалентно заданию двух действительных функций от двух действительных
переменных и = и(х,у), v = v(x,y).
Функция
w = f(z),
и = и(х,у)
называется
действительной
частью
а функция v = v(x,y) — мнимой частью функции w = f(z)
функции
(обозначе­
ние: Ref(z) = u(x,y), Im/(z) = v(x,y)).
Определение. Число А называется пределом функции /(z) при z —»z ,
0
z е С, если для любого г > О найдется такое 8 > 0, что |/(z) - А\ < z как только
a
0 < | z - z | < 5 (z е D) (обозначение: \\mf(z) = A).
0
Несложно
показать,
что
соотношение
f(z) = u(x,y) + iv(x,y), a A=B + iC, z =x +iy ,
0
Q
0
lim f(z) = А,
где
эквивалентно двум действи­
тельным соотношениям: lim и(х,у) = В, lim v(x,j) = С .
У^Уа
У-*Уо
Определение. Функция f(z)
называется непрерывной в точке z , если
0
она определена в некоторой окрестности этой точки и lim / ( z ) = / ( z ) .
0
Если / ( z ) , определенная на множестве D, непрерывна в каждой точке
этого множества, то говорят, что она непрерывна на множестве D. Вновь легко
показать, что условие непрерывности функции / ( z ) в точке z эквивалентно
0
двум соотношениям: lim и(х,у) = и(х ,у ),
X-Mfc
0
0
У^Уа
lim v(x,y) = v(x ,y ).
1->Д<|
0
0
Таким обра-
У-*УЪ
зом, функция комплексного переменного непрерывна в точке z тогда и только
тогда, когда ее действительная и мнимая части, рассматриваемые как функции
действительных переменных х и у, непрерывны в соответствующей точке
(•Wo)0
Примеры
2
21. Дана функция a = z +z: Найти зачение функции при z = 1 + /'.
2
Решение. Подставим число z = Г+/в функцию со = z +z. Получим
2
« = (1+/) +1 + / = 1 + 2г-1+1 + / = 1 + 3/.
2
2
22. Дана функция f(z) = х + iy , где z = х + iy. Найти /(1+2/).
2
2
Решение. Подставим х = \,у = 2 в функцию f(z) = х + iy , получим
2
/(1+2/) = 1 + /2 =1 + 4/.
23. Вычислить предел функции Нш
Решение. Поскольку при вычислении пределов от функций комплексного пе­
ременного сохраняются арифметические свойства пределов, то
о
С _^
2 V ^ (
20( -20 .
lim
z-»2i
-2i) ->»
z-2i
*-> '
i
£ ±
£
= i
.
m
2
24. Показать, что функция « = |z| непрерывна при любом значении z.
Решение. Так как разность двух сторон треугольника не больше третьей сторо­
ны, то ||z| - |z 1| < |z - z 1. Пусть 0 < S < £. Тогда из неравенства |z - z 1 < б следует
0
0
0
2 =
2
неравенство ||z|-|z || <s, т.е. ]ит1| | | о|- Значит, a> = \z\ - непрерывная функ­
0
ция при любом значении z .
2.4. Основные элементарные функции комплексного переменного
Определим основные элементарные функции комплексного переменного
z = x + iy.
Линейная и дробно-линейная функции:
az + b , , „
w = az + b,аФ0 и w =
,aa-bc*Q.
cz + d
Свойства линейной и дробно-линейной функций:
1. Линейная функция w = az + b,a*Q биективно отображает расширенную ком­
плексную плоскость Г на расширенную комплексную плоскость С .
2. Линейная функция преобразует прямую на прямую, окружность на окруж­
ность, причем область, ограниченную прямой (окружностью), линейная функ­
ция отображает на область, ограниченную образом этой линии, сохраняя при
этом взаимную ориентацию области и ее границы.
3. Существует одна и только одна дробно-линейная функция, переводящая три
произвольные точки z
k
(к=],2,3) в три произвольные точки w (к=],2,3), при­
k
чем соответствующая функция определяется равенством:
w - ve, w — W, _ z - z, _ z - z,
w-w 'w -w
z-z
z -z '
2
3
2
2
3
3
2
3
4. Дробно-линейная функция преобразует обобщенную окружность (окруж­
ность или прямую) на обобщенную окружность, причем область, ограниченную
обобщенную окружностью, дробно-линейная функция отображает на область,
ограниченную образом этой линии, сохраняя при этом взаимную ориентацию
области и ее границы.
Степенная функция:
w= z.
a
Степенная функция w = z",asR,
в общем случае является многозначной
1пг
функцией и определяется равенством w = е " , а е R.
Степенная функция w = z",neN, является однозначной функцией. Она
биективно отображает угол {z|a<argr</?} на угол {w\а, <argwx Д } при
условиях - л < па - а,, Д = п/3<л.
1
Степенная функция w = z",/?e/V, является n-значной функцией. Ее глав­
ная
ветвь
w = !^iz|(cos^-^ + / s i n ^ ^ )
биективно
отображает
угол
и
п
{г\-л <а <argz </3<л] на угол {w|a, <argw<$}, причем а = пщ, Р = пР .
х
Показательная функция:
z
e
+,у
= е'
x
= e (cos_y + / sin у)
Свойства показательной функции:
!
гг
7
Zl
1. Для любых z, и z справедливо: е '* = е ' • e .
2
2
2. Функция е периодична с периодом 2тс/: е
г+2га
= е'.
3. Функция е' непрерывна на всей комплексной области.
х
z
4. Для любого z=x + iy имеют место равенства:
=е , Arge = у.
5. Функция e принимает все значения, кроме нуля, т.е. уравнение е =Л раз­
решимо для любого комплексного Л Ф 0.
z
г
z
6. Функция e биективно отображает горизонтальную полосу {z\ а <Imz <a + h}
с шириной Л<2л- на внутренность угла, офаниченного лучами Argw = a+2nk,
Argw - а + h + 2лк. к е Z.
Тригонометрические функции:
е"+е~
.
е"-е"
sinz
.e"-e"
cosz
.е"+е"
, sinz = — - — , tgz =
= -/—
- , ctgz = -— = i—
—.
2
2/
cosz
e +e
sinz
e -e
Свойства тригонометрических функций:
1. Функции sinz, cosz непрерывны на всей комплексной плоскости.
cosz =
2. Функции sinz, cosz принимают все значения, т.е. уравнения sinz = <7 и
cosz = а имеют решения для любого комплексного числа а.
я
3. sinz = 0 при z = kn, k&Z;cosz = 0 при z = — + пк, ksZ.
4. Все формулы элементарной тригонометрии, справедливые для всех действи­
тельных чисел, остаются справедливыми и при всех комплексных значениях z;
5.
Функции
sinz, cosz
являются
периодическими
с
периодом
2л:
sin(z + 2я) = sin z, cos(z+2ix) =cosz.
6. Функция sinz - нечетная функция, т.е. sin(-z) =-sinz; функция cosz — чет­
ная функция, т.е. cos(-z) = cosz.
7. Функция tgz непрерывна при z^kn, keZ,
z^n/2 + пк,
функция ctgz непрерывна при
keZ.
8. Функция sinz биективно отображает полосу {г\-0,5я <Rez <0,5л-} на плос­
кость с разрезом С\((-оо;-1]и[1;+оо)), а полуполосу {z |-0.5я-< Rez < 0,5л-,Imz > 0}
на верхнюю полуплоскость {w \ Im w > 0}.
9.
Функция
tgz
биективно
отображает
вертикальную
полосу
{z | -0,25я- < Rez < 0,25л-} на единичный круг {w | | w |< l).
10. Функция cosz биективно отображает полосу {z|0<Rez<#-} на плоскость с
разрезом С\((-оо;-1]и[1;+со)), а полуполосу {z|0<Rez<^,Imz<0} на верхнюю
полуплоскость {w | Im w > 0}.
Гиперболические функции:
е' - е'
sh z =
гиперболический синус (shz = -/sin(z'z)),
ch z =
6
+
e
гиперболический косищ'с (chz = cos(z'z)),
2
,
shz
th z =
chz
.
гиперболический тангенс,
.
cth z = —- — гиперболический котангенс,
shz
Свойства гиперболических функций вытекают из свойств функций sinz и
cosz; все формулы, справедливые при действительных значениях х, остаются
справедливыми и для комплексных значений z.
Логарифмическая функция:
Логарифмическая функция Ln z определяется как функция, обратная к
показательной, и задается равенством:
Lnz = ln|z| + iArgz - ln\z\ + /argz + 2kni, k = 0,±1,±2,...
Логарифмическая функция многозначна; ее ветвь, соответствующую
главному значению аргумента z, называют главным значением логарифмиче­
ской функции и обозначают In z. Таким образом,
lnz = ln|z| +/argz, Lnz = lnz + 2nki
keZ.
Свойства логарифмической функции:
1. Ln{z z )= Lnz^ + Lnz
x
2
2
2. Ln— = Lnz^— Lnz
2
3. Ln(z") = nLnz + 2km, (k = 0,±1,±2,...)
4. Ln?fz
=-Lnz.
n
5. Функция lnz биективно отображает угол -к<a<as:gz<a + h<я на полосу
{w\ a<lmw<a + h}.
Обратные тригонометрические функции:
Если z = sinw, то w называется арксинусом числа z и обозначается
w = Arcsmz.
Разрешая уравнение z = sinvc относительно w, получим
A rc sin z = -iLn(iz +
2
\J\-z ).
Аналогично можно получить выражения и для других обратных триго­
нометрических функций, все они выражаются через логарифмическую функ­
цию:
Arc cos z = —iLn(z + y/z — 1), Arctgz = — Ln'
2
+
2
" , Arcctg z = — Ln-—-.
i-z
2
z+i
Примеры
25. Найти sin(l + 2i).
Решение. Применяя тригонометрическую формулу «синус суммы двух углов»,
получим sin(l + 2/) = sinlcos2/ + coslsin2/, где cos2/' = c/i2, sm2i = ish2.
Таким образом, sin(l + 2i) = ch2 sin 1 + ish2 cos 1.
26. Найти ln(-l).
Решение. Поскольку
= 1, а главное значение аргумента числа -1 равно п, то
ln(-l)=Tnl +ni = тс/.
27. Найти Arc sin 2.
Решение, По определению функции Arcsinz получим:
Arcsm2 = -iLn(2i + »ч/3) = -гХ«((2 ± -J3)i) = -/(ln(2 ± ^3) + /(^ + 2кп)) =
= ^ + 2*71-/1п(2±^/з),
А = 0,±1,±2,...
28. Найти корни уравнения cos z = 2.
iz .
-iz
e +e
Решение, Используя определние c o s z - — Ъг
ние в виде е
)
перепишем исходное уравне­
:
- Ае' +1 = 0.
Это квадратное уравнение относительно ё~, корнями которого являются
е" = 2 ± V 3 .
Прологарифмируем полученное равенство:
iz = Ln{2 ± 7 з ) = ln(2 ± 7з)+ / arg(2 ± S)+ 12тй = ln(2 ± л/з)+ /2лА
Следовательно,
z = -(ln(2 ±V3)+ /2я*)= 2лк -/ln(2±л/3) (Л = 0,±1,±2...).
(к = 0,±1,±2...).
Задачи для самостоятельного решения
2.1. Найти предел последовательности.
,. (l + 2 + ... + п . п
4) lim|
-,
+i
1) Иш
5и-1Г
п
2) lim(»[ln(« + 3)-In»]+/); 5)
(
3) lim
In
n +2
.n+\
n +3 '
2
lhnf«ln(l V/«sin|-j
+
6) lim
n'
n +\
2
2
3n
3n + l
;
. 5-3"
3"-2
1
2.2. Вычислить предел функции.
cos2z
3) liml
1, chiz + ishiz ) '
1) lim — - ;
i-'v z + 1
2) lim
'
f
sin2z
4) lim
2
z +3iz-2"
г->0
2.3. Показать, что функция w = /(z) непрерывна при любом значении z ,
1) о» = 2z
3
3) <» = z
2) <y = Rez
4) <y = Imz
z
2.4. Дана функция со = e . Найти значение функции в указанных точках.
I я1
4) z = l + —+ 2як г,
т
2) г = я-(1-0;
5) г = тг + 6л7;
3) Z= 0,5(1 + ИГ);
6) z = l—от.
z
2.5. Дана функция f( )~
~> где z = x + *y. Найти ее значение в указанных
х-уг
точках.
1) / 0 + 0 ;
2) 7(3-2/);
£eZ-
3) Д О ;
4) / ( 5 ) .
2.6. Найти модуль, аргумент, действительные и мнимые части чисел.
1) COs(2 - i ) ;
4) sin(2z);
2) sH2-m);
S)&(3-i);
3) i n ( l - 0 ;
6)ft(ln3-«74).
2.7. Найти образ указанного множества при отображении со = е'.
1) {z|Rez = ce/?};
3)
{z10<Ттг<л);
2) {z|Imz = ce/?};
4) {г|0<1тг<5я-}.
2.8. Вычислить действительные и мнимые части функций.
51г
3+i
1) е "';
3)z ;
3
2) z + 5 z - l ;
4) sin(z
2.9. Найти корни уравнения.
1) sinz = 3/';
4) ln(z + ;') = l ;
2) chz = /;
5) cosz = 4;
3) sin2z = cosz;
б)е
2.10. Доказать тождества.
1) c/zzz = cos z;
2
2
2) ch z-sh z
= \;
г _ 1
=1-;'.
3) s/zz = shxcos у + ichx sin у;
4) sin/c/zl = z'cos/-j/zl.
2.11. Найти образ указанного множества при отображении со = sinz.
1) {z|Rez = ce/?};
3) {z| 0<lmz<;>r};
2 ) b | - - < R e z < - , I m z > ( H ; 4) ^z | 0 < Rez < — ,Imz > 0 У;
2.12. Найти образ указанного множества при отображении co = z".
1) {z|Imz>0}\[0,/], п=2;
3) {z|0<argz<7r/3}, и=б";
2) {z|0<argz<2^/3},«=5;
4) {z| Rez>0}\[0,1], n=2.
2.13. Найти образ указанного множества при отображении со = shz ,
1) {z|Rez = c e « } ;
3){z|-^r/2<Imz<^/2,Rez>0};
71
-.ч f
т
т* Л 4) {z\lmz = ceR\.
2) jz|0<Imz< — ,Rez>(n;
'
/
l
1
2.14. Найти дробно-линейную функцию, преобразующую заданные точки z
k
соответственно в указанные точки w , к = 1,2,3.
k
1
2
3
*i
1
1
1-i
Z
Z
7.
i
1+i
0
w .
3
2
1-i
2+i
00
1-i
i-1
1+i
2.15. Вычислить.
1) (3-4/У;
3)(3+20";
2) Г:
4
>lvr
0,5 (1-i)
oo
00
W
3
2-/
2+2i
0
Глава 3. Дифференцирование функций комплексного
переменного
3.1. Определение производной
Пусть задана однозначная функция w = / ( z ) на области D (открытом
связном множестве) комплексной плоскости С.
Определение. Производной функции w = f{z)
в точке z&D называется
предел отношения приращения функции к приращению аргумента
lim
= lim A * + * 0 - / ( z )
м-я Дг &i-*o
Дг
=
Л
ж
)
.
*L.
dz
Если этот предел существует, то функция f(z) называется дифференци­
руемой в точке z.
Определение. Функция w = f(z)
называется аналитической в точке z ,
0
если существует окрестность этой точки, в каждой точке которой у функции
f(z) существует производная.
Определение. Функция w = f(z) называется анапитической (регулярной,
голоморфной) функцией в области D, если она является аналитической в каж­
дой точке этой области D.
Поскольку определение производной функции комплексного переменно­
го полностью аналогично определению производной функции действительной
переменной, то, в случае дифференцируемое™ функции f(z), все известные
правила дифференцирования остаются в силе, в том числе правила дифферен­
цирования сложных и обратных функций:
1.
to+/ (z))'=/ '(2)+/ '(z);
2
1
2
2. ( / ( z ) - / ( z ) ) ' = / ( z ) - / ' ( z ) ;
1
2
2
3. (/i(z)-/ (r))' =/ '(z)/ (z)+/ (z)/ '(z);
2
1
5. (c/ (z))'=c/,'(-X
2
2
1
2
ceC;
6. если функция <p(z) дифференцируема в точке z, а функция
f(w)
дифференцируема в соответствующей точке w - cp(z), то функция
f((p(z))
дифференцируема в точке z, и справедливо равенство
(f(<p(z)j =f'(cp)-<p'(z);
7. если функция j (z) дифференцируема в точке z , причем f'{z) Ф 0, и
1
1
существует обратная к ней функция У" (w), тогда У"" (w) дифферен­
цируема в соответствующей точке w = f(z),
и справедливо равенство
Условия Коши — Римана (или Эйлера - Даламбера). Для того чтобы
функция f(z) = u(x,y) + iv(x,y), определенная в некоторой области D, была
дифференцируема в точке z этой области как функция комплексного перемен­
ного, необходимо и достаточно, чтобы функции и{х,у) и v(x,y) были диффе­
ренцируемы в соответствующей точке (х, у) (как функции действительных пе­
ременных), и, кроме того, выполнялись условия:
ди _dv
ди _ dv
дх ду ду
дх
При выполнении условий теоремы, производная функции f(z)
быть представлена в виде:
у'( ) _
+
дх
• dv _ dv
дх ду
.ди _ди
ду дх
может
. ди _ dv . dv
ду ду дх
+
Примеры
29. Найти производную функции w = z" по определению.
Решение.
,. (z + Az) - z
lim
Дг->0
\у
.„ »->.
2
= lim
+ HOlzJl -\^f
z
2
Az->0
+... + (Az)" .
п-\
=п•z .
Д7
Предел существует, следовательно, функция z" аналитическая, и ее производ­
ная вычисляется по формуле
(z")'=«-z" .
4
2
2
30. Показать, что функция f(z) = (x -y )
любом z, и найти её производную.
+ 2xyi дифференцируема при
2
2
Решение. Поскольку и(х,у) = х -у , v{x,y) = 2xy, то частные производные
ди
ди
dv
— - 2х, — - -2у
— - 2у, — - 2х.
Условия
Коши-Римана
ох
ду
йс
ду
ди dv ди
dv
_
,
— = —, — =
выполняются.
Следовательно,
функция
дх ду ду
дх
f(z) = (х - у ) + 2xyi дифференцируема при любом z.
Найдём её производную / ' 0 0 = — + /— = 2х + /2_у = 2(х + iy) = 2z.
дх дх
31. Доказать, что функция не является дифференцируемой f(z) = y + xi.
Решение. Поскольку и(х,у) = у, v(x,y) = x, то частные производные
дИ-п
_ i
dv_
л
т,
ди dv ди
dv
"Г~- ' "ги " Г - ! — - . Условия Коши-Римана — = — , — =
не
дх
dy
dx
dy
dx dy dy
dx
выполняются. Следовательно, функция f(z) = y + xi не дифференцируема.
и
2
2
5
- 1
и
v
-
иn
1
Т
32. Определить область аналитичности функции / 0 0 = ——-.
Z +1
Решение. Функции / ( z ) = 1 и / ( z ) = z +1 аналитические во всей комплексной
плоскости, поэтому их отношение является аналитической функцией всюду,
кроме тех точек, в которых знаменатель обращается в нульг +1=0, т.е. точек
z = ±i.
33. Найти множество точек, в которых функция / ( z ) = z(z-3Imz) явля­
ется дифференцируемой, и вычислить производную в этих точках (если тако­
вые существуют).
Решение. Представим функцию в виде w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y), где
z-x + iy: f(z) = (х + iy)(x - iy - Зу) = (x + у - Зху)- 3y i.
Следовательно, и(х, у) = х + у — Зху, v(x, у) = —Зу. Частные производные
-з
э
dv_
dv _ .
~z~ - ^ ~^Уг — - лу-зх
— - и , — --оу.
Условия Коши-Римана
дх
ду
дх
ду
ди dv du
dv
[2х-3у = -6у
— = —, — =
приводят к сисимете 1„ „
„ . Эта система имеет
дх ду ду
ох
|2>>-Зх = 0
единственное решение х = 0,>' = 0. Поэтому функция / ( z ) = z(z - 3 Im z) диф­
ференцируема в единственной точке z = 0 + /0 = 0. Найдём её производную в
dv\
этой точке: /'(0) - —
+i
= 2 0-3 0 + / 0 = 0
дх (0.0)
^
(0,0)
Следовательно, функция f(z) = (x 2 -у,Лл) + 2xyi дифференцируема.
2
2
2
2
2
2
A
х
и
2
2
z
Найдём её производную / ' ( ) = ^ +» — = 2x + f2?= 2{х +iy) = 2z.
3.2.
Производные основных элементарных функций
Производные элементарных функций w = z", w = e', w=lnz, w = sinz,
w = cosz, w = shz, w = chz, arcsinz, arccosrn arctgz находятся по тем же пра­
вилам, что и для действительного аргумента (таблица 1).
(-")' = «z"-
1
(arcsin z)'= ,
Vl-z
(arccos z)'= ,
л/l-z
2
(lnz)'Л
Z
(sin z)' = cos z
(cos z)' = —sinz
(arctgz)'=
2
1 +z
(s/zz)' = c/zz
(c/zz)' = shz
2
Таблица 1.
Таким образом, основные элементарные функции комплексного пере­
менного являются аналитическими функциями. Всякая функция комплексного
переменного, являющаяся композицией конечного числа основных элементар­
ных функций, будет аналитической или дифференцируемой в области своего
определения.
Примеры
34. Показать, что основные элементарные функции являются аналитиче­
скими и найти их производные.
Решение.
1. Показательная функция w = е'.
Поскольку e = e*(cosy + /'sin у) = и(х,у) + iv(x,y), то
и(х,у) = е* cosy, v(x, у) = е sin у.
„ „ ..
ди
ди
.
Найдем
частные
производные
— = е cos v, — = -е sin v,
дх
ду
dv
.
dv
„,
„
ди dv ди dv
— = е sin у, — = е cosy. Условия Коши-Римана — = —, — =
выполдх
ду
дх ду ду
дх
z
х
х
х
х
ди dv ди
dv _
няются — = — , —— =
. Значит, функция с аналитическая, и ее производдх ду ду
dx
ная:
, , , du .dv
... .
i у
(е ) =
и — = е cosy + ie sinv = e , (е ) =е .
dx
fW dx
rtv
^ '
2. Функция w = sin г.
g —e
По определению sinz = — — — , т.е. является аналитической функцией как
композиция элементарных функций, тогда, пользуясь правилами дифференци­
рования, получим:
г
12
(sinz) =
=
2i
2
= cosr, smz = cosz.
' \
t
3. Функция w = cosz.
Аналогично предыдущему:
tz
• tz
—iz
(cosz) =(
iz
• —iz
)=
—ir
=
= -sinz, (cosz) = —sinz.
2
2
2/
'
4. Функция we*=+ p~'
shz. p* — p~'
i
(shz)' = C
)'=
=chz, (shz) =chz.
2
5. Функция w = chz.
e' + e~
z
ichz)' =^~Y-)'
z
=
г
e - е~
= shz,
(chz)' = shz.
6. Функцияw = Inz.
Логарифмическая функция является обратной к показательной функции,
а значит - аналитической. Воспользуемся правилом дифференцирования об­
ратной функции (z =е"):
1 1 1 1
1
1 1 , , - / ]
— = - , (Inг)
7. Функция w = z".
Как показано в примере 29, (z")' = п • г"" .
1
z
35. Вычислить производную функции w =
p ch2z
.
lnz
Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, получим
е''ch2z
e ch2z\
(e*ch2z+ 2e sh2z)\nz
(z In z(ch2z + 2shlz) - ch2z) • e
ln z
-In z
.
j
z
z
z
z
:
m
z
2
3.3.
Связь между аналитическими и гармоническими функциями
Определение.
Действительная
функция
и=и(ху)
называется
гармонической в области D, если она обладает в D непрерывными частными
производными до второго порядка включительно и удовлетворяет в каждой
точке D уравнению Лапласа
2
2
8 и -' д и
Теорема. Действительная и мнимая части функции комплексного
переменного w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y), аналитической в некоторой области D,
являются гармоническими функциями в той же области D (обратное неверно).
Определение. Гармонические функция и и v, связанная условиями КошиРимана, называются сопряженными.
Теорема. Для того чтобы две гармонические функции и = и(х, у) и
v = v(x,y)
составляли аналитическую функцию w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y),
необходимо и достаточно, чтобы они были сопряженными
Следствие. Аналитическая функция w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y),
с
точностью до постоянного слагаемого, может быть задана своей
действительной или мнимой частью.
Действительно, если функция / ( z ) = и + iv является аналитической в не­
которой области D, то ее действительная и мнимая части связаны условиями
Коши - Римана:
ди _ cV ди _ dv
дх ду' ду ' дх
Пусть известна одна из частей аналитической функции, например и(х,у).
ди dv
„
,
. гди ,
...
Из условия: — = — можно найти v(x,y)= —ау + щх) (с точностью до неиздх ду
дх
J
вестной функции ф(х)). Эту функцию ср(х), с точностью до постоянного слага­
ли
dv
емого, найдем из второго условия — = ——.
ду
дх
А именно, —[ [—dy + (o(x)\ = -— или ф(х) = -("
дх{ дх
)
ду
}
Y
J
[ди
|
ди
dx.
Примеры
36. Доказать, что действительная и мнимая части аналитической функ­
2
2
ции f(z) = {х - y ) + 2xyi являются гармоническими функциями.
2
2
Решение. В задаче 30 установлено, что функция f(z) = (х -y )+2xyi яв­
ляется аналитической, причём
2
2
Ref(z) = u(x,y) = x -у
и Im f(z)
= v(x,у) = 2ху.
По определению гармонической функции для этих функций необходимо
найти частные производные до второго порядка включительно и проверить
2
2
ди
ди _
справедливость равенства ~z~^ + — г - 0
2
ди
ди
Поскольку - = 2х, — = 2
e
z =
и
^ /( )
2
2
(х,у) = х -у
и
ди
- = -2у,
2
аи
— = -2,
7
ди
—
т о
2
+
ди _
- -0^
т
т е
.
является гармонической функцией.
Аналогично устанавливается гармоничность функции Im f(z) = v(x, у) = 2ху:
dv
dv _
dv _
52v
ди
T~ ~ 2у, —j - О — - 2х, — - - 0 и, следовательно,
дх
их
ду
ду
ох
2
2
2
2
+
ди _
2 ~~ •
ду
и
37. Найти аналитическую функцию w(z), если известна её мнимая часть
2
2
v(x,^) = 2x -2_y +x.
и + 1,
1 — = —4у,
л
du = —
dv находим:
Решение. т1ак как — = 4х
то из УСЛОВИЯ —
дх
ди
дх ду
ди
г
— = -4у. Следовател ьно, и(х, у) = - 4 vtJX = -4ху + ц>(у).
dx
Для нахождения функции ф(_у) дифференцируем это равенство по у и прирав­
п
J
ниваем к известной производной, используя условие
ди
dv ди
.
,. .
.
,
—=
: — = -4х + ф(>») = - 4 х - 1 .
ду
dx dy
Откуда, ц>'(у) = -\, (р(у) = -у + С. и, следовательно, и = —4ху—у + С.
Окончательно получаем w z) = u(x,y) + iv(x,y) = -4ху — >> + С + /(2х — 2у +х) =
(
2
2
2
2
=2/(х - у + 2ixy) + i(x + iy) + C = 2iz + iz + С.
2
38. Найти аналитическую функцию w(z), если известна её действитель­
ная часть и(х,у) = х -у
+х.
•
S m _ ~ , ^ « _
— - -Zy
ду
Решение. Так как — - 2х+1,
дх
ди
0
х о
и з
dv
условия — = — находим:
дх ду
— = 2х +1, следовательно, v(x,y) = j(2х + \)dy =(2х + \)у + ср(х).
Для нахождения функции <р(х) дифференцируем это равенство по х и приравниваем
к
известной
производной,
используя
условие
ди
ду
dv
дх
dv
2у + (р'(х) = 2у.
дх
Откуда <р'(х) = 0 и <р(х) = с и, следовательно, v(x,y) = (2x + \)y + c.
2
Окончательно получим, что
2
2
2
= (х - у + 2xyi) + (х + \у) + ic-z
3.4.
2
= u(x,y) + iv(x,y) = х -у +x
+ i(2xy + y + c) =
+z + ic.
Геометрический смысл аргумента и модуля производной
Пусть f(z)
— функция комплексного переменного, определённая и
непрерывная в некоторой области D, такая, что в точке z е D существует
Q
производная f'(z )^Q.
0
Проведём через точку z
0
какую-либо кривую у:
z(/) = x(r) + zy(/) (z(t ) = z ), для которой существует производная
0
0
z'(t )*0
0
(рисунок 6а). Эта кривая обладает касательной в точке z с углом наклона,
0
равным
Argz'(t ).
0
Г = /-(г(Г))
б)
Рисунок 6.
Кривая у преобразуется посредством отображения w = f(z) в кривую Г,
расположенную в плоскости w (рисунок 66); уравнение кривой Г будет иметь
вид w = f(z(t)) (w = / ( z ) ) .
0
0
Поскольку
arg/'(zo) ~ argC/C ) - /(*<))) ~ ^ g ^
2
2 _
z
o>.
z
то величине |/'( o)| можно придать следующую интерпретацию.
Геометрический смысл величины Argf'(z ):
аргумент производной
drgfi !)) равен углу поворота каждой из гладких линий, проходящих через
точку z при отображении w = f(z) (если / ' ( z ) * 0 , то отображение w = / ( z )
сохраняет углы между кривыми).
Поскольку
0
2
0
0
—о
|z-z |
0
где числа jz-z | и |/(z)-/"(z )| представляют собой соответственно растояния
0
0
между точками z и z плоскости г и между их образами / ( z ) и / ( z ) в
0
0
плоскости w, то величине |/'(z )| можно придать следующую интерпретацию.
0
Геометрический смысл величины | / ' ( z ) | : модуль производной |/'(z )|
0
0
можно рассматривать как растяжение в точке z при отображении посредством
0
z
функции w = / ( z ) (если |/'( o)| > ' ,
т о
происходит растяжение; если | / ' ( z ) | < l ,
0
то происходит сжатие).
Определение.
Отображение
посредством
непрерывной
функции,
сохраняющее углы между кривыми, проходящими через точку z , называется
0
конформным в этой точке.
Определение. Если отображение сохраняет не только величины углов, но
и направления их отсчета, то оно называется конформным отображением
первого рода; если же направления отсчета углов изменяются на
противоположные, то говорят о конформном отображении второго рода.
Таким образом, отображение посредством аналитической в некоторой
области G функции w = / ( z ) комплексного переменного является комфорным
отображением первого рода во всех точках, в которых производная отлична от
нуля. При этом Argf'{z )
0
означает угол поворота, а | / ' 0 „ ) | | - коэффициент
растяжения при данном отображении.
Примеры
39. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении
1
w(z) = — в точке z = Зг.
z
0
-1
Решение. Поскольку w'(z) = — , то коэффициент растяжения равен |/'( o )|, т.е.
z
(з/)
а угол поворота равен Argf\z ),
0
1
9'
т.е.
<р = Argf'(z ) = Arg\ —0
2
=Arg
(3if
= Arg\-\
= 0_
40. Привести пример конформного отображения второго рода.
Решение. Конформное отображение второго рода дает функция w = z, которая
каждую область D отображает на область Е, симметричную D относительно
оси Ох.
Задачи для самостоятельного решения
3.1. Показать, что функция дифференцируема, и найти её производную.
1) / ( z ) = zsinz;
3) f( ) =
(x -3xy )+i(3x - );
3
2
2
2
y
v
2) f(z) = e";
3.2.
3
y
4 ) / ( z ) = (e~'sinx + ^+l) + zX-e~ cosx-x + l).
Доказать, что функция не является дифференцируемой.
1) / ( * ) = * ( z * 0 ) ;
3 ) / ( z ) = Rez;
2) / ( z ) = argz (z*0 );
4 ) / ( z ) = zz.
3.3. Определить область аналитичности функции.
I
\)tg2z;
3
z +1
2
' T'
. z +1
4) sin—
.
'
z +l
Г>
2 )
C g
3)
2
2
z (z -3z + 2)'
2
2
3.4. Найти множество точек, в которых функция f(z) = |x - y | + 2i |х у| являет­
ся дифференцируемой.
3.5. Вычислить производную функции.
1) w = e";
3)w=zsinz;
smze'
„
sinz + 1
2) W =
j-;
4)w=
.
'
cosz-z
cosz
3.6. Найти аналитическую функцию w(z), если известна её мнимая часть.
1) v(x,y) = x y;
4)**>y)=s*yM>°;
2) v{x,y) = х + _у-3;
5) v(x, у) = sin х-shy;
3) v(x,v) = x-2.y((x + l) + / Г ; ) v(x,7) = 2j>-arc/g(xy~') + 3.
3.7. Найти анштитическую функцию w(z), если известна её действительная
часть.
1) и(х,у) = 3х у-у ;
4) и(х, v0 = 2*cos(j.ln2);
+
2
2
6
3
3
2
2) M(x,y) = x -3x); + l ;
2
- 1
5) w(x,у) = е - ' sin х + >>;
3) и(х,>-) = 3х + > ( х + / ) " ' ; 6) w(x,x) = e^cosx + 2x + 3.
3.8. Определить действительные функции <р(у) и Ц/{х) так, чтобы функция
f(z) = (р(у) + г у/(х) была дифференцируемой.
3.9. При каком значении а функция / ( z ) = az дифференцируема?
ЗЛО. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении
w = / ( z ) в указанных точках.
1)
W
=£±£
z-i
z =2i;
0
3)w = z ,
z,=i, z = l + i,
z
z
2) w = e ,
z =i.
0
z =2;
2
4)w = e ,
' .
71
z,=ln2 + i — ,
4
1
3
Л
z, = - l - i — .
2
2
3.11. Найти те точки, в которых угол поворота данных отображений равен ука­
занному числу радиан.
2
1) w = : +\6i, 0,5л-;
2) w = z +i, 0,5л-;
3
2
3) w = z +6z-8, -0,5л-;
4) w = iz\ 0,75л".
3.12. Выяснить, в каких точках у функции существует производная. Найти про­
изводную в точках ее существования.
2
1) w = z l m z ;
4) w = z + 6 r - 8 ;
2) w = iz + zz;
5)w = zRez;
3) w = x +y +(2x}' + y)i; 6) w = 2xy + y i.
2
2
2
3.13. Существует ли аналитическая функция w(z), у которой ее мнимая часть
равна v(x,y) = 2xy-2arctg(yx^)-41
Глава 4. Интегральное исчисление функций комплексного
переменного
4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
Определение. Дуга называется гладкой, если она может быть задана
непрерывно-дифференцируемой функцией. Кривая, состоящая из конечного
числа гладких дуг, называется кусочно — гладкой.
Пусть на комплексной плоскости задана ориентированная кусочногладкая кривая Г, вдоль которой определена функция / ( г ) (рисунок 7).
Рисунок 7.
Разобьем эту кривую на п частей [z _„z ] точками z ,z,,...,z , пронуме­
t
t
0
n
рованными в направлении от z - начальной точки кривой Г, до z — конечной
0
n
точки Г. Обозначим через Дг = z -z _, {k = 1,2,...,и). В каждой части выбе­
4
k
k
рем произвольно точку z (/с = 1,2,...,я) и составим сумму:
п
k
* 1
которую назовем интегральной суммой. Устремим и в бесконечность так, что­
бы X = max
{J Az |} —> О.
k
Определение. Если существует предел интегральной суммы ст при усло­
вии произвольного способа разбиения кривой Г на части, произвольного выбо­
ра точек z (к = 1,2,...,п) и при условии X = max{JAz |} —>0, то этот предел
k
t
называется интегралом от функции f(z) по дуге (контуру) Г и обозначается:
jf(z)dz=\im±f(z )^ .
k
k
Из определения интеграла следует, что его значения зависят не только от
функции / ( г ) , но и от пути интегрирования Г. Если кривая Г замкнутая (точки
z и z совпадают), то интеграл обозначают символом
0
n
\f(z)dz.
Если функция / ( г ) непрерывна вдоль кривой Г, то интеграл
jf(z)dz
г
существует.
Пусть z=x + iy и f(z) = u(x,y) + iv(x,y), тогда
J / (z)dz = j(w + iv) d(x + iy) = = J(w + rv)(dx + idy) = judx - vdy + ijvdx + udy.
г
г
г
г
г
Таким образом, интеграл от функции комплексного переменного равен
сумме двух криволинейных интегралов 2-го рода от вещественных функций:
| f(z)dz = ju(x,y)dx —v(x, y)dy +ijv(x, y)dx + u{x,y)dy.
г
г
г
Если кривая Г задана параметрическим уравнением: z = z(t), f, < t < t
2
(или x = x(t), у = y(t), / , < / < / , ) , то
\f<z)dz=)№t))z'№
Г
=
= J[ (jc(0,;KOX-v(x(0,.y(0.v;^
M
(часто в качестве параметра / выбирают угол: (p = argz).
Поскольку интеграл от функции комплексного переменного сводится к
криволинейным интегралам второго рода от действительных функций, то его
свойства будут аналогичны известным свойствам криволинейных интегралов.
Свойства интеграла от функции комплексного переменного:
1. \f(z)dz
г*
=
-\f(z)dz,
г
где Г н Г" - один и тот же контур, проходимый в положительном и отрица­
тельном направлениях (в качестве положительного направления обхода за­
мкнутого контура принимается направление, при котором внутренняя область,
ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления
движения);
2. Ja-f(z)dz = a-J"/(z)<£r, а = const;
г
г
Г
3. jf(z)dz = \f(z)dz + ...+ jf(z)dz,
Г
Г,
Г.
Г= У *;
*=!
4- /(/,(--) + / , ( * ) ) & = J / , ( ^ +
г
г
№;
г
5. если вдоль кривой Г |/(z)| < М и |Г| - длина кривой Г, то
\f{z)dz
<Л/-|Г|;
J / (z)dz < j\f (z)\ -\dz\ = J|/(z)| •
г
г
г
, где ds - дифференциал длины дуги.
Примеры
2
41. Вычислить интеграл jlmzdz, где Г — дуга параболы у = 2х отточки
г
О до точки 1 + 2/.
Решение. Так как для всех точек кривой Г имеем у = 2х , то
2
2
2
/ Г : у = 2х , 0 < х < 1 , Imz = у = 2х
\ ', ,
\\mzdz = {
)= \2x (l + 4ix)dx =
I
\dz = d(x + iy) = d(x + i2x ) = Q+4ix)dx/ t
2х
8/x
г
У
2
2
J
2/.
2
42 . Вычислить интеграл j"(/z+z )cfe, где Г - часть окружности |z| = 2,
argz <
71
Г"
Решение. j(iz + z )dz ••
2
T:|z| = 2, cp = argze
l
l
v
, z =\z\-e-> = 2eщ
z =4- e ">, dz = d(2- е ) = 2/ЛЛр
f
2i
3 ф
3i
-
= ](2ie* +4e *)2/VVcp= } ( - 4 + 8*е ' )^ф = -4фГ +-e "
3
%
%
/
—'
\
8 8
= / е = cos(3i[) + /sin(3Tt) = - 1 , e ' = - Л = -2n - - + - i.
ш
2
2 С
43. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного \ ^ ,
I.
где L — линия, соединяющая точки г, = -1 и г = 1.
2
Решение. Неоднократно ранее отмечалось, что подынтегральная функция
f(z) — ~z не является аналитической. Поэтому используем общую формулу све­
дения интеграла от комплексной функции к криволинейным интегралам от ве­
щественных функций:
$ f(z)dz = | (и(х, у) + i v(x, yj&dx + i dy) = J M(JC, y)dx - v{x, y)dy + i J v(x, y)dx +u(x, y)dy.
L I .
L
L
Для комплексного числа z = x + iy сопряженным является число z =x — iy, то­
гда для функции f(z) = z имеем: и(х.у) = х, v(x,y) = -y.
Кривая L - отрезок, соединяющий точки z,=-\ и г =1, уравнение этой кривой:
(у = 0
\-1<х<\'
2
Тогда вдоль этой кривой: и(х, у) = х, v(x, у) = О, dy = 0, dz = dx, -1 < х < 1 и
jzdz^^xdx
;
1
7 1
=0.
4.2. Теоремы Коши
Теорема Коши. Если D - односвязная область комплексной плоскости и
f(z)
- однозначная аналитическая в этой области функция, то для любой за­
мкнутой спрямляемой кривой Г, лежащей в области D, интеграл от
f(z)
вдоль Г равен нулю, т.е.
г
Отметим, что теорема Коши остается справедливой и для многосвязной
области.
Теорема Коши для л-связной области. Если D - замкнутая и-связная
область комплексной плоскости, и f(z) - аналитическая в этой области функ-
ция, то интеграл от / ( : ) по границе области D равен нулю (при этом предпо­
лагается, что обход граничных кривых проводится в таком направлении, чтобы
область D оставалась слева).
Из теоремы Коши вытекает, что интегралы от аналитической функции
вдоль любых двух кривых Г, и Г с общим началом z и концом z имеют рав­
2
0
ные значения, т.к. кривая Г = Г7 +Г; является замкнутой, и, следовательно,
\f{z)dz = lf(z)dz
г
/••
+
jf(z)dz=JAz)dz-JAz)dz
n
гс
ri
=0,
следовательно,
\f(z)dz=\f{z)dz.
г,
Это означает, что интеграл от функции f(z), аналитической в односвязной области D, не зависит от кривой Г (от пути интегрирования), а зависит
только от начальной и конечной точек этой кривой. Поэтому для интеграла
вдоль произвольной спрямляемой кривой Г, соединяющей точки г , и г , можно
Z
пользоваться обозначением j f(z)dz.
н
Примеры
44. Вычислить интеграл \ ,
г
+
е
=
• Д Г: N ~^ •
Решение. В данном случае особая точка подынтегральной функции z = — 1
2
(в ней знаменатель дроби обращается в ноль) не лежит внутри круга | | ^ ~ .
Поэтому в этом круге подынтегральная функция является аналитической, и по
теореме Коши для односвязной области
4.3. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f(z) является аналитической в области D.
Определение. Функция F(z) называется первообразной функции / ( z ) ,
если F'(z) = f(z) для всех точек : из Z).
Легко показать, что функция F(z) также будет аналитической в обла­
сти D.
Теорема. Если функция F(z) является некоторой первообразной функ­
ции / ( z ) , то совокупность всех первообразных функции f(z) задается форму­
лой
F{z) + C,C=const.
Определение. Неопределенным интегралом от фунции f(z) называется
совокупность всех первообразных функции f{z)
и обозначается символом
\f(z)dz.
Таким образом,
\f(z)dz=F(z)
+ C.
Рассмотрим интеграл от аналитической функции f(z) в односвязной обZ
ласти D. Если конечная точка - переменная, то | f(z)dz - некоторая функция
от верхнего предела, т.е.
]f(z)dz=F(z).
'о
Можно показать, что функция F(z) аналитична в области D и является
первообразной для подынтегральной функции / ( z ) .
Формула Ньютона-Лейбница. Если f(z)
односвязной области D, то
]f(z)dz
=
— аналитическая функция в
F(z )-F(z,)
2
где F(z) - любая первообразная функции f(z),
z и z, - любые две точки из
0
области D, и интегрирование ведется по произвольному пути, лежащему в
области D .
Этот
результат
позволяет
сводить
вычисление
интеграла
от
аналитической функции / ( г ) к/отысканию какой-либо первообразной функции
/ ( z ) и, следовательно, использовать известную таблицу первообразных и
методы интегрирования функций действительной переменной.
В частности, если функции f{z) и g(z) являются аналитическими, то
будет справедлива формула интегрирования по частям:
]/(2)d( (=))=f( )
g
•
Z
-
) (z)d(f(z)).
g
Примеры
2
45. Найти интеграл jz dz• используя формулу Ньютона-Лейбница.
>
о
Решение.
Применяя
3|
формулу
Ньютона-Лейбница,
получим
46. Вычислить интеграл
Решение. Подынтефальная функция является аналитической на всей ком­
плексной плоскости, поэтому для нее существует первообразная.
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
J (2z + l)dz=(
2z
I+i
+
V)2
2
2
= - [ ( - 1 - 2 / ) - ( 3 + 2/) ] = -(1 + 4 / - 4 - 9 - 1 2 / + 4) =
1.i
= -2-2/.
47. Проверить, является ли функция f(z) = zsin5- аналитической в С, и
=
если да, то найти её первообразную такую, что ^ " ^ J ®'
52
5z
Решение. Перепишем функцию в виде: f(z) = zs'm5z = -^-(е' -e"' ).
Эта функция является аналитической во всей комплексной плоскости С как
5
5
разность и произведение аналитических функций е '", е '* и z.
Поэтому, согласно определению, первообразная задаётся
формулой
ж
F{z)= Jfsin5<fd#, где интеграл берется по любому пути, соединяющему точки
л/2 и z (при этом равенство Л — = 0 очевидно).
Для вычисления интеграла используем метод интегрирования «по частям»,
1
полагая и = # , du = d%, dv = s\n5%d%, v = - - c o s 5 £ .
Тогда
J ^ s i n 5 ^ = ^ [ - ^ c o s 5 # | ; - } ^ - I J C O S 5 ^ = -|COS5^|^ + J - s i n 5 C =
2
2
= —COS5Z + 0H
sin 5r
5
25
z
1
1
Следовательно, F(z) = — cos5z + — sin 5z
.
5
25
25
2/
2
.
25
^
3
2
48. Вычислить интеграл J ( z - z ) e d z .
Решение. Подынтегральная функция является аналитической, поэтому вос­
пользуемся формулой интегрирования по частям:
21
21
2
2
—
— z I
\
J ( z - z ) e d z = J ( z - 1 ) e J — = / ^ - = p, z = 1 + i, p = /; z = 2i, p = -2 ) =
i+i
i+»
2 \2
/
-L
-J.
/применим формулу
-\(2p-\)e dp=\(2p-\)de
=
\ интегрирования по частям
3
2
2
p
=
f
(2p-\)e
2
p
2
- 2 f e"dp = -5e' + (1 - 2i)e 2-e'
2
2
2
7e- -(3-2/)e' =
2
= -7e~ - (3 - 2;)(cos 1 + isin 1) = -7e~ -3cos 1 - 2sin 1 + (2cos 1 - 3sin 1)/'.
4.4. Интегральная формула Коши
Интегральная
формула Коши выражает фундаментальное
свойство
аначитических функций.
Интегральная формула Коши. Пусть D - односвязная область, ограни­
ченная замкнутым контуром Г, а функция / ( z ) — аналитична в области О и
непрерывна на DVJ Г. Тогда для любой точки z е D справедлива формула
0
Коши:
а:
2т ,.z — z
0
Теорема о существовании производных аналитической функции.
Если функция / ( z ) аналитична
у функции f(z)
в области D, то в каждой точке
z,efl
существуют все производные высших порядков, которые
могут быть найдены по формуле:
Теорема о среднем. Если функция / ( г ) непрерывна в замкнутом круге
|z-z \< R и аналитична внутри этого круга, то её значение в центре крута равно
u
среднему значению на окружности, т.е.
Неравенства Коши. Если функция / ( г ) является аналитической в круге
|z-z | < R, то в точке z выполняются неравенства:
0
0
где М-максимум модуля функции f(z) на окружности |z-z | = /J.
0
Теорема Лиувилля. Если функция f(z)
является аналитической и
ограниченной во всей комплексной плоскости С, то f(z) является константой.
Теорема Морера. Пусть D - однозначная функция, а функция / ( : )
непрерывна в D, и интеграл от / ( z ) по любому замкнутому контуру, целиком
лежащему в D, равен нулю. Тогда у функции / ( z ) существует первообразная в
D.
Интегральная формула Коши и формула дтя производных высших
порядков дают удобный способ для вычисления интегралов по замкнутому
контуру, охватывающим особые точки функции / ( z ) .
Примеры
49. Вычислить интеграл
Коши.
-6z
dz, используя интегральную формулу
:
Решение. Рассмотрим подынтегральную функцию (p{z)
-6z'
Аналитичность этой функции нарушается в точках: z = 0, г = 6(точки, В кото­
рых знаменатель равен 0). Контур \z - 2 | = 3, по которому вычисляется интеграл,
есть окружность с центром в точке С = 2 и радиусом 3. Внутри этого контура
лежит точка z = 0, поэтому внутри контура подынтегральная функция не яв­
0
ляется аналитической.
Запишем эту функцию в виде:
z-0
z
(z-6)'
Тогда функция /(г)является аналитической внутри замкнутого контура
Воспользуемся интегральной формулой Коши:
} ^ d z
-dz ••
к-2|=з
z -6z
£>
=
z-6
| -2И
2
50. Вычислить интеграл
j
sin(^z)
JU
0) = 2mf(0) = 2m— = -—
-6
3 "
/
J
dz,
Решение. Аналитичность подынтегральной функции нарушается в точках
z — —1, z = 1. Внутри контура есть только одна из них: z = 1.
Преобразуем подынтегральную функцию к виду:
sin(;rz)
sinfrz)
sin(7rz)
/(*)
sin(nz)
0=
(z-1) '
(z + 1) '
(z -l)
(z-l) (z + l)
(z-1)
Функция / ( z ) - аналитическая внутри контура, поэтому можно применить
формулу для производных высших порядков (в данном случае п = 1):
sin(;zz)
I sin(*z) _ г (z + 1) , _ /
sinQzz)
_ Л _
2
2
2
2
2
2
П
2
)
2
2
я
2
о
т
2
sin(;rz)
л- cos(;zz) • (z +1) - 2(z + l)sin(^)
(zTIf
(г + .Г
= 2тп-
т
4,7
51. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного, испольdz
зуя интегральную формулу Коши
, L — окружность: \z - i\ = 2.
Решение. Рассмотрим подынтегральную функцию <p(z) =
2
^
.
Ее особые точки (в которых знаменатель обращается в 0) z = ±2i.
Одна из них z = -2/ не принадлежат области, охватываемой кривой L , а вторая
z = 2/ принадлежит этой области, поэтому в этой области функция <p(z) не яв­
ляется аналитической.
Интеграл можно переписать в виде:
1
при этом функция, стоящая в числителе: f(z) =
-, аналитическая в области,
z + 2i
ограниченной контуром L , и точка z = 2/ охватывается контуром L.
u
Применяя интегральную формулу Коши / ( г ) = ~ f
dz, получим
2лг z — z
0
3
r
0
Задачи для самостоятельного решения
4.1. Вычислить интегралы по формуле Ньютона-Лейбница, применяя метод за­
мены переменной интегрирования или метод интегрирования «по частям».
1) J(2z + l)ufe
;
3) jrsinzc/z;
*
I
4
3
2) J(3z -2z )tfz;
4)|z/^.
i
-I
•
4.2. Вычислить интегралы от данной функции по указанной кривой L.
1) j^dZyL-
2
дуга параболы х = у с концами в точках Л = 0.5 = 1+/';
'•
г cosz
2) J
Z
z _
_~ " ,L
- окружность | 2 | = 1, ориентированная против часовой
2
стрелки;
3) | ( z + 5)coszrfz i — произвольная линия, соединяющая точки 0 и 2/;
L
4) J(z + 2z)dz i_ду окружности
\z\ = 2, - ^ < arg z <
j
г
5) J
i.
Га
;
, Z, - отрезок /4Д, где A =
l+i,B=l-i;
6) Jzz 'fife ^ £ _ ориентированная по часовой стрелке дуга окружности |z| = 2 от
z, =2 до z = —1 —/л/3 ;
2
7) Jzlmzfife^ i — ориентированная против часовой стрелке дуга окружности
|z| = 1 от z, = / до z = - 1 .
2
4.3. С помощью интегральных формул Коши вычислить интегралы (все окруж­
ности обходятся против часовой стрелки).
4) f I H L i * .
щ
5)
,
(
I chnzdz
3
n
f (z +z + I
- 2
z +z
№
Глава 5. Ряды с комплексными членами
5.1 Числовые ряды. Признаки сходимости
Пусть {z„ =х„ +iy„} (и = 1,2,...)— последовательность комплексных чисел.
Определение. Числовым рядом называется выражение вида
оо
Zl
+z +...+z,,+... = 5 X ,
2
11=1
числа z,,z ... - его членами (z„ — общий член ряда).
2
Определение. Суммы вида
I!
Sn = z +z +...
1
2
+ z„
(и =1,2,...)
*=|
называются частичными суммами ряда.
Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует
конечный предел S последовательности частичных сумм ряда, т.е. Jjrn S„ = S. В
2
этом случае число S называется суммой ряда и обозначается S = ]Г •
Л
n=i
Определение. Если последовательность частичных сумм ряда расходит­
ся, т.е. предел последовательности частичных сумм ряда равен бесконечности
или не существует, то ряд называется расходящимся.
z
Определение. Числовой ряд Z " называется абсолютно сходящийся,
если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. действительный
со
z
ряд X ! - Hz, \ + \z !+...+1z„ |+....
2
11=1
00
z
Определение. Сходящийся ряд Z « называется условно сходящимся,
z
если ряд Z l « I' составленный из модулей его членов, расходится.
л=1
г
Определение. Ряд X * > полученный из ряда Z z отбрасыванием перk
к=п+\
вых п членов, называется п-м остатком ряда.
*=1
Заметив, что S„ = У]х +iYy
к
k
и соотношение lim s = S эквивалентно
n
n
n
двум соотношениям lim У]х = а и lim ~Yy = г заключаем, что сходимость ряк
k
да с комплексными элементами эквивалентна одновременной сходимости ря­
дов, составленных из действительных и мнимых частей данного ряда.
Благодаря этому замечанию, многие важные свойства рядов с действи­
тельными членами переносятся на случай рядов с комплексными членами:
1. Необходимый признак сходимости. Если ряд ]Tz„ сходится, то
л=1
iimz„ = 0.
Л-№
2. Сумма (разность) двух сходящихся рядов ]Tz„ =S и Л w„ =сг является
л=1
сходящимся рядом, и справедливо равенство ^{:„±w )
n
л 1
= S±a.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак ряда, т.е. если сходится ряд £ z „ = S, то для любого комплексного числа Л ряд ^(Лг )
я
л-1
тоже сходит-
л=1
ся, и справедливо равенство Х ^ л ) = AS,
л=1
4. Если к сходящемуся ряду добавить (отбросить) конечное число членов,
то получится также сходящийся ряд.
5. Критерий сходимости Коши для рядов. Ряда ^]z„ сходится тогда и
только тогда, когда для любого е > 0 существует такое N(E), что при всех
п+р
n>N(e) и при любом натуральномр выполняютя неравенства
<Е
|*=л+1
z
z
6. Если сходится ряд 2 j » I. то ряд X " также сходится (обра-тное
л=1
предложение неверно).
л=1
2
т е
Исследовать вопрос об абсолютной сдодимости р я д а ^ " . -
0
сходи­
ли
00
мости ряда 2 J n I, можно на основании любого признака сходимости действиz
л=1
тельных рядов с неотрицательными членами, например, по признаку сравнения,
признаку Даламбера, признаку Коши и др.
00
со
Признаки сравнения. Пусть ряды ]Г \w„ | и ^\z„ | такие, что их члены
л=1
KI
и*1
и |w„|, начиная с некоторого номера Л', удовлетворяют неравенству
|z„|<|w„|. Тогда
оо
со
z
1) если ряд £ | w„ | сходится, то и ряд 2J « I сходится;
л=1
л=1
2) если ряд 2]| z„ | расходится, то и ряд ^ | w„ | расходится.
л=1
л=1
СО
z
Признак Даламбера. Пусть ряд ]Г| n I такой, что существует конечный
л=1
предел lim -г—г = D. Тогда
0
"-*
Z
\ n\
ее
z
1) если £>< 1, то ряд ^1 „ I сходится;
л=1
2
2) если £)> 1, то ряд X ' л I расходится.
л=]
3) если D - 1, то признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Я
•О
Радикальный признак Коши. Пусть ряд J j n I такой, что существует
z
л=1
конечный предел hm d\z \ =К. Тогда
ос
1) если К< 1, то ряд ^1 „ I сходится;
z
л=1
z
2) если К > 1, то ряд ^ | „' I расходится;
л=1
3) если А" = 1, то признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Примеры
f\\2n + \ 2и + 1
Решение. Проверим необходимое условие сходимости lim z„ = 0. Поскольку
lim
1-Зи
. и+1
1-Зи"
' и+1 "
= lim
+ i lim
+/
2и + 1 2и + 1
_2и + 1_
2и + 1
Я—»00
Л-з
Г 1-Зи = lim ri
чт
Л—Юо
Л
и
lim
то
' "->«\2п+\) » ' -' I
2+ 1
21
л;
V + иУ
1-Зи . и + 1
+/•22 + |1,0
lim
2
2и+1 2и + 1_
Таким образом, нарушено необходимое условие сходимости. Поэтому ряд рас­
ходится.
_„
V cos/и
53. Исследовать сходимость ряда 2^ —й— •
л=1
2
И
4
т г
Решение. По определению косинуса cos /и =
cos in
2"
> -
е
+е
е
> — . Следовательно,
е
е
2-2"
2
1J.
ОС
j
По признаку Даламбера ряд — V
расходится. т.к. D = lim 1 ^
2
y
,1>1.
2
21 2
v i COS /И
Тогда по признаку сравнения ряд ^ — — также расходится.
л=1
2
54. Исследовать сходимость ряда 2
Гг
7"
2"
Решение. Поскольку Z | ^ + i^rJ = Z ^ - J
+
+
|
Г|
8" '
'Z(gJ
и ряды справа представ­
ляют собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
2
3
со знаменателем - и - соответственно, то исходный ряд сходится и его сумма
7 8
равна
1-2
7
, Л 5
8
5
5
5.2 Функциональные ряды
Определение. Функциональным рядом называется выражение вида
/,(*) + / (z) +... + /„ (z) + . . . = £ / . W ,
2
ml
где yj(z),/ (z),...— функции, определенные в некоторой области D (общей для
2
всех функций /„(z)).
При каждом фиксированном zeD
рассматриваемый функциональный
2
ряд 5] Л ( ) превращается в соответствующий ему числовой ряд, который при
одних значениях zeD сходится, а при других - расходится. Если в точке z
соответствующий числовой ряд сходится (расходится), то z называется точкой
сходимости {точкой расходимости) функционального ряда £ Л - 1
1
л=1
Определение. Множеством сходимости функционального ряда £ / „ ( z
л I
называется множество всех точек z е D, в которых ряд J]/„(z) сходится.
л=!
На множестве сходимости функционального ряда ^ / „ ( z ) определена
л»|
функция S(z), являющаяся в каждой точки z из множества сходимости функ­
ционального ряда суммой соответствующего сходящегося числового ряда.
2
Определение. Ряд £ / , ( ) называется равномерно сходящимся в области
л=1
D к функции S(z), если для любого е > 0 найдется такой N(s), что для всех
п>Ще) и всех точек zeD
выполнено неравенство \S(z) — S (z)\ < s, где S„(z) —
частичная сумма ряда ^]/„(z).
n
Отметим, что из сходимости ряда в D не следует его равномерная схо­
димость в D.
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Пусть дан функцио­
нальный ряд ^/„(г).
с
Если ряд
постоянными положительными членами
сходится и \f„(z)\<a„ при всех п > N во всех точках z из области/), то ряд
со
^f„(z)
абсолютно и равномерно сходится в D.
Определение. Ряд
называется мажорирующим рядом для ряда
л=1
л=1
Справедливы следующие свойства равномерно сходящихся рядов:
1. Если функции ./„(-) непрерывны в области D и ряд ^f„(z)
раВНО-
л.1
мерно сходится в этой области, то сумма ряда S(z) также непрерывна в D.
2. Если ряд ^f„{z),
членами которого являются непрерывные в области
пI
D функции f„(z), равномерно сходится в этой области к функции 5(z), то его
можно почленно интегрировать вдоль любой кривой Г, целиком лежащей в об­
ласти D, и справедливо равенство
\S(z)dz =//, (z)dz + J / (z)dz + ...
2
Г
Г
Г
=Y.\f (z)az.
г
n
1=1
3. Если функция g(z) ограничена в области D и ряд ^ / „ ( - ) равномерно
сходится в D к функции S(z), то ряд ^g(z)f (z)
n
также равномерно сходится
и=1
в этой области к функции
g(:)S(z).
Теорема Вейерштрасса. Пусть ряд X /»'-)• членами которого являются
л-1
z
однозначные и аналитические в области D функции f„( ), равномерно сходит­
ся в каждом замкнутом круге, содержащемся в D. Тогда
1. сумма ряда S(z) является аналитической в этой области D;
2. ряд Х / ( = ) можно почленно дифференцировать любое число раз, и
я
k)
<k)
справедливо равенство ^f' (z)
k
3. все ряды ^f^ \z),
:
^/Л ),
= S (z),
ksN;
полученные в результате дифференцирования ряда
равномерно сходятся в каждом замкнутом круге, содержащемся в D.
Примеры
2
55. Исследовать ряд на равномерную сходимость 1 + z + z + ... = £
z
•
Решение. Поскольку члены ряда - геометрическая профессия с q = z, то
Л-1
1
„п
1—
При Izl < 1 существует5(r) = lini SJz) = lim — — =
1
. Поэтому ряд схо-
дится внутри круга |z| < 1 (его сумма 5(z) = —-—).
1—z
По определнию равномерной сходимости в круге |z| < 1: для любого е > О
найдется такое N(s), что при и >N : \S(z)-S (z)\<e
для всех z из круга |z| < 1.
n
В данном случае, поскольку \S(z)-S„(z)\ =
1
1-z
1
1-z
1-г
должно вы
< е, |z| < 1. Однако, каково бы ни было значение п,
подняться неравенство
\S(z) - S„(z)j < £ не будет выполняться для всех z из единичного круга, и, следо
вательно, равномерной сходимости в этом круге нет. В то же время, в любом
круге | z! < г (г < 1) будет иметь место равномерная сходимость, т.к.
\S(z)-S (z)
n
=
1-z
Izl"
t-
г"
1-r
5.3 Степенные ряды
Степенные ряды, являясь частным случаем функциональных рядов, иг­
рают исключительно важную роль в теории функций.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
ОО
c
Z »(
z - z
o)"
2
=c +c (z-z )
0
l
+ c (z-z )
0
2
0
+... + c„(z-z Y
0
+...,
л=0
где z ,c ,c,,... - фиксированные комплексные числа (с ,с,,... - коэффициенты
0
0
0
ряда, z - его центр), a z — комплексная переменная.
Теорема Коши-Адамара. Пусть R = —- ,—-. Тогда
lim 5/с.
0
степенной
ряд £ c „ ( z - z ) "
0
л=0
1) при R=Q сходится только в точке z ;
2) при R = оо абсолютно сходится во всей комплексной плоскости С;
0
3) при 0<R<<x> сходится абсолютно в точках круга \z—z<\<R и расхо­
дится во внешности этого круга (|"
— z
0
|
>
В случае, когда 0 < R < оо, число R называется радиусом сходимости сте­
c
z
z
пенного ряда ^ „( ~ oY
, а круг |z —z |>.R - кругом сходимости степенного
0
л=0
ряда.
Применяя признаки Даламбера и Коши сходимости рядов, можно найти
радиус сходимости степенного ряда. Так, например, применив к ряду
£ e „ ( z - z ) " признак Даламбера (в предположении, что соответствующий пре0
л=0
дел существует), получим
и-1
lim
— lim
cjz-zj"
«V/z-Z(J = \z-z \ lim t s f = D.
0
Согласно признаку Даламбера, ряд будет сходиться, если D < 1, и расхо­
диться, если D > 1. Поэтому радиус сходимости можно найти по формуле
R = lim
Аналогично, применяя признак Коши, получим, что "
:
lim де,
Теорема Абеля.
1. Если ряд ^ c „ ( z - z ) " сходится в точке
ДНО
дится в круге |- - z \ <|z, - z | .
* z , то он абсолютно СХО­
0
0
0
0
2. Если ряд ^Гс„(г-г )" расходится в некоторой точке z , то он расходится
0
2
вне окружности \z - z | > |z - z | (рисунок 8).
0
2
0
Ряд
расходится
Рисунок 8.
Справедливы следующие свойства степенных рядов:
1. Ряд ^ c „ ( z - z ) " сходится абсолютно и равномерно в любом круге
0
л=0
|z-z | < г < R, лежащем внутри круга сходимости.
0
2. Сумма
степенного ряда
S(-)
^
c
z
является аналитической
z
„ ( ~ o ) "
л=0
функцией внутри круга сходимости.
3. Степенной ряд
S(z)
= Y c (z-z )"
i
n
0
= c +c,(z-z ) + c (z-z )
0
0
2
2
+...
0
+ c (z-z )"
n
0
+...
л=0
можно почленно интегрировать внутри круга сходимости, т.е.
2
)s(z)cb = (z'-z ) + | ( z ' - z ) +^(='-z f
Cu
0
0
0
1
+... -f=_(z'-z r +... = £ - ^ ( z ' - z r \
+
o
o
где z' - произвольная точка внутри круга сходимости исходного ряда.
4. В каждой внутренней точке круга сходимости сумма степенного ряда
S(z)
= J^c„(z-z )"
=c +c (z-z )+c (z-z )
0
0
l
a
2
+ . . . + c „ ( z - z ) " +...
2
0
0
имеет производные любого порядка, причём их можно найти почленным диф­
ференцированием ряда соответствующе число раз.
5. Полученный при интегрировании и дифференцировании степенные ря­
ды имеет тот же круг сходимости, что и исходный ряд.
Заметим, что при почленном интегрировании и дифференцировании сте­
пенного ряда сходимость (или расходимость) в граничных точках круга сходи­
мости может не сохраняться.
Примеры
00
56. Найти радиус сходимости степенного ряда
(sin/w)z".
Решение. Чтобы воспользоваться формулой Коши-Адамара, вычислим предел
р = lim"W|sinш| = ~hm»l-{e" -е'")=
lim I - V • lim efl-e" ")" =е.
2
Следовательно, /? = р ~ ' = е .
- 1
57. Найти круг сходимости степенного ряда У —
По nl
Решение. Применяя признак Даламбера для любого z е С, получим:
lim
= lim
(n + l)l
nl
//->co
= lim
:0=D.
n
(n + \)\z
n + \
Поскольку D= 0 < 1, то ряд абсолютно сходится на С.
58. Найти круг сходимости степенного ряда zZ"' " •
z
Решение. Применяя признак Даламбера, получим
£> = lim
(n +
n
\)lz
lim
и—»4i
(w + l)|z|= z lim
л—юо
(n+l)-
JO, еслиг = 0;
I оо, если z ?t 0.
Следовательно, если z = 0, т о £ ) = 0 < 1 и ряд сходится, а если z Ф О, то D= оо и
ряд расходится. Следовательно, круг сходимости — точка z = 0.
59. Найти множество сходимости степенного р я д а ^
(z-2)"
Решение. Применяя признак Даламбера, получим
n+1
Z> = lim (z-2)
. ( z - 2 / = lim (z-2)n
2
z - 2 lim
(n + \f
/7 + l
4
= z-2 .
y
Следовательно, при £> = | z - 2 | < l ряд абсолютно сходится, а при £) = | z - 2 | > l
ряд расходится. Таким образом, кругом сходимости является круг |z-2| < 1.
Сходимость ряда на границе, т.е. в точках окружности |z-2| = l , проверяется
непосредственно:
Iz-2|
(z-2)"
1
^ 1
Поскольку числовой ряд 2-1~~Т
л=1 П
я в л я _
ется сходящимся, то во всех точках окружности |z -2| = 1 также будет абсолют­
ная сходимость. Поэтому множеством сходимости исходного ряда является за­
мкнутый круг z - 2 < l .
60. Найти сумму степенного ряда S(z) = ^nz"
л=1
Решение. Поскольку X "
л
1
(l-z)'
наг, получим ^ " г " =
л=1
•
z
1< ^
т о
почленное дифференцирование ря-
1-Z
л=0
да даёт ^nz"
1
=~
z
j - ,
2
(1-z)
. Домножая левую и правую части равенства
т.е. S(z) = —
(l-z)
5.4 Ряд Тейлора
Определение. Говорят, что функцию /(г) можно разложить в степ
ной ряд в области D, если эту функцию можно представить в виде суммы с
дящегося в области D степенного ряда, т.е. существуют числа z ,c ,c ,...
0
0
t
такие,
что справедливо равенство
z
z
z
с
2
/( ) = 2X( ~ o)" = о + c,(z-z ) + c (z-z ) +... + c„(z-z )"+...
c
2
0
0
Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд.
Пусть в круге U— {z:|z-z | <R) функцию f(z) можно разложить в степенной
0
ряд. Тогда f(z) является аналитической в круге и функцией, и коэффициенты
с ,с,,... разложения однозначно определяются по формулам Тейлора:
0
с
_/ (*.)
(0)
О!
С =
/Ч«.)
' '
/YZ ;.
0
1! '
C
2
=
.
^ i ~ ' - '
f<">(z .
o)
C
=
"
^ i
—
'•-
Определение. Рядом Тейчора аналитической функции / ( z ) называется
степенной ряд ^ c „ ( z - z ) " , коэффициенты которого определяются по форму­
0
ле
лам Тейлора.
Теорема о существовании разложения аналитической функции в
степенной ряд. Пусть функция f(z) аналитична в области D и zeD. Тогда в
любом круге U = {z:|z-z |<R}CZ D функцию f(z) можно представить в виде
0
суммы сходящегося ряда Тейлора.
Из этих утверждений, в частности, следует, что однозначная функция
f(z) будет аналитической в области О тогда и только тогда, когда в окрестно­
сти каждой точки z е D ее можно разложить в ряд по степеням z—z .
0
a
Формулы Тейлора и формулы для производных позволяют легко полу­
чить следующие тейлоровские разложения элементарных функций (z =0):
0
е = l + zH
2!
3
+ ... + — + ...= > —
и!
S и!'
5
z z
siaz=z-—+—-...+(-1)"—
+...=У(-1)"
3! 5!
f2«+i;!
(2n + \)V
-bi
n
п
•+—-...+(-\) ——
44!
!
+ ... = У(-\)
ПпЛ
(2n)\
t")n\\
2!
t=o
(2n)\
Эти ряды сходятся во всей комплексной плоскости С, т.к. функции e , sinz
и cosz аналитичны во всей плоскости С. Их можно принять в качестве опреде­
ления функций e , sinz и cosz.
z
z
Полученные формулы с использованием методов подстановки, почленного
интегрирования и дифференцирования рядов позволяют получать разложения в ряд
Тейлора и многих других функций.
Примеры
61. Найти разложение функции f(z)= -
1
в степенной ряд с центром
2
z =0.
0
Решение. В примере 55 установлено, что в круге | z | < 1 справедливо следую­
щее разложение —— = 1-z + z +
+ ... = Y ( - l ) " z " . Подставляя в него z
1 + 2tS
2
2
2
вместо z при условии, что | z 1 < 1 (что равносильно I z | <1), получим
l+ Z
„,о
62. Разложить функцию /(z) = ln(l + z) по степеням z и найти круг сходи­
мости полученного ряда.
Решение. Поскольку главная ветвь логарифма определяется формулой
lnw = ln|w| + /'argw и (biw) = —, то /(z) = ln(l + z) является первообразной
функции - i - , причем Д0) = 1п(1) = 0. Функция /(z) = ln(l + z) имеет един1+z
ственную особую точку z=—\ и, следовательно, аналитична в круге |z| < 1.
Значит, \—— d£=\n(\ + z) + C,\z\<\.
При z = О
С = 0. Так как ряд
= JT(-l)"z" сходится в круге |z| < 1, то его можно проинтегрировать в
этом круге:
Сделав замену k = n +1, получим lnfl + z) =
(-1)
4 1
—.
Круг сходимости этого ряда будет тот же, что и у исходного ряда, т.е. | z | < 1.
63. Разложить функцию f ( z ) = —— в ряд Тейлора в окрестности точки
z-3
z =l и найти круг сходимости.
Решение. Сделаем замену переменной: z-zb = w, т.е. w = z— 1, z = w + 1, полу0
чим
=
=
=
. Используя разложение
= > (-1) z с
w+1-З w-2 -2(l-vW2)
1 +z ^
заменой z на -w/2, получим
1
w-2
w
1
2 l-w/2
1ч—н
2
w
2
«.
1
+ ...н
+.
I
В
5
х • W
t
'
В
IV
Полученный ряд сходится при |—w/2 |<1, т.е. при | w | <2. Выполняя обратную
замену, получим в круге | z - 11 < 2 искомое разложение:
=
z—3
„
=0
-—^у—.
2"
5.5 Свойство единственности аналитической функции
Пусть функция / ( г ) аналитична в области £> и Л е С .
Определение. Точка z e D называется А-точкой, если f(z )
0
0
= A.
Определение. Если А=0, то точка z называется о-точкой (или нулем)
0
функции
f(z).
Пусть z — нуль аналитической функции f{z). Возможны два случая:
0
1) / ( - ) = 0 на Z) (тривиальный случай),
2) найдётся такая точкаz s D, что / ( г , ) * 0 .
t
Во втором случае функция f(z)
разлагается в ряд Тейлора в некоторой
окрестности U точки z , Т.к. z — нуль аналитической
0
0
функции f(z),
то
/ ( z ) = 0, и, следовательно, с =0. Поскольку / ( z ) * 0, то среди остальных ко­
0
0
эффициентов с, найдется хотя бы один ненулевой. Номер п первого отличного
от нуля коэффициента с„ называется кратностью (или порядком) нуля z . В
0
частности, если п = 1, то нуль z называется простым (или однократным).
0
Если z - n-кратный нуль аналитической функции / ( z ) , то разложение
0
функции в ряд Тейлора имеет вид
+
/ ( z ) = c (z - z )" + „ (z - z )" ; +... = J c ( z - z ) * =
n
0
C
+]
0
t
0
= (z - z )" {c„ + c„ (z - z ) + ...} = (z - zj <p(z),
0
+1
0
где #>(z) = c + c „ ( z - z ) + ...-аналитическая функция и <p(z ) = с * 0.
n
+ 1
0
0
п
Очевидно, что порядок п нуля z равен порядку первой производной
0
{n
f \z),
отличной от нуля в точке z .
0
Теорема. Если функция / ( z ) , не равная тождественно нулю, аналитична
в некоторой окрестности точки z и / ( z ) = 0, то найдется окрестность точки
0
0
z , в которой у функции / ( z ) нет других нулей, крОме точки z .
0
0
Определение. Точка z называется изолированный нулем функции I{
0
если существует такая окрестность точки z , в которой у функции / ( z ) нет
0
других нулей, кроме точки z .
0
Теорема единственности аналитической функции. Пусть дана область
D и М с £>, причём существует предельная точка множества М, принадлежа­
щая D. Тогда существует не более одной аналитической в области D функции
f(z), которая на множестве А/ принимает указанные значения.
Принцип максимума модуля. Пусть / ( z ) Ф const - функция, однознач­
ная и аналитическая во всех точках области D расширенной плоскости. Тогда
ни в одной точке z e
0
D модуль |/(z)| не может иметь максимум.
Следствие. Если функции / ( z ) непрерывна в замкнутой области D и
аналитична внутри этой области, то |/ (z)| достигает наибольшего значения на
границе области.
Примеры
3
г
64. Найти нули функции / ( z ) - (z' - 4 ) е и указать их порядок.
2
Решение. Уравнение f(z) = 0 равносильно совокупности уравнений: z - 4 = О
3
3
или z = +2. Представим функцию в виде f(z) = (z — 2) (z + 2 ) V .
f
Пусть z = 2. Положим #?(z) = (z + 2)V". Тогда f(z) = z-2y<p{z),
0
3
2
^(2)= 4 e Ф 0. Поэтому ZQ = 2 - нуль порядка 3.
причем
3
г
Пусть г = -2 и <p(z) = (z — 2 ) е . Из равенства f(z) = (z + 2f(p(z),
в котором
0
<fi.-2) * О, следует, что Zo = —2 - также нуль порядка 3.
5.6 Ряд Лорана
Определение. Обобщённым степенным рядом (или рядом Лорана) назы­
вается ряд вида
=!>„(-----„ г .
Поскольку
00
+00
- I
-ИХ
-КО
+
c
г
£ c „ ( z - ) - = Х с „ ( . - - z r + 2 > „ ( * - z r = Е т з г ^ Z - ( - - о>"'
Z o
0
-oo
-«
О
то ряд / ( " ) = X " ( ~ o ) "
C
z
0
z
i v*
^0)
0
сходится, если сходятся оба р я д а ^ с ( г - г ) " и
и
-<ю
0
я=0
I^(z-z )".
0
-1
Ряд
X n(
c
z _ z
o)"
называют главной частью ряда Лорана, а ряд
П=—ос
с
Х л(
;_
Г
о)" - правильной частью ряда Лорана.
с
7
Таким образом, ряд / ( " ) = ^, „(
- z )" есть сумма двух степенных ря0
—оо
с
дов, один из которых Х л (
г _ 2
о ) " сходится внутри некоторого круга с центром
л=0
г и радиуса R, а другой - вне круга меньшего радиуса г с тем же центром.
0
Теорема Лорана о существовании разложения в ряд функции, анали­
тической в кольце. Пусть функция f(z)
аналитична в круговом кольце
V = {г <|z—z | < /?}. Тогда в каждой точке z этого кольца функцию f{z) мож­
0
но представить в виде суммы обобщённого степенного ряда
/(z) = | > „ ( z - z ) \
0
—ос
Следствие. Коэффициенты ряда Лорана определяются по формулам
c
-
=
^
l
X ( #
r
n
^ '
=
0
±
'
l
±
'
2
' - - '
r
<
p
<
R
-
\
Теорема единственности разложения функции в ряд Лорана. Если в
некотором круговом кольце F = {r<|z-z |</?} функцию f(z)
0
жить в ряд Лорана / ( z ) = YJc„(z - z ) "
0
;
т о
можно разло­
можно сделать единственным
э т о
—оо
образом.
Справедливы следующие свойства:
со
1. Ряд Лорана
z
f( )-^
c
z
n
сходится в круговом кольце
z
( ~ o)"
—со
V = {?• < \z - z \ < R] С возможным добавлением некоторых (или всех) точек гра­
0
ницы, при этом не исключено, что г = 0 и R = со.
оо
= X * ( ~ o ) " является аналитической
z
2. Сумма S(z) ряда Лорана f( )
z
е
z
—оо
функцией внутри кругового кольца V.
3. Ряд Лорана j ( ) = ^ с„ (z - z )"
z
0
можно почленно интегрировать и
—оо
почленно дифференцировать внутри кольца V любое число раз. Полученные
при этом ряды имеют то же кольцо сходимости V, что и исходный ряд; сходи­
мость в граничных точках может не сохраняться.
4. Если V = {r <\Z-Z \<R}
является кольцом сходимости ряда Лорана
0
функции f(z)
и 0 < г < R < да, то и на внутренней, и на внешней границах
кольца V лежат особые точки функции
f(z).
Примеры
6 6*
65. Разложить в ряд Лорана функцию f(z) =
в областях
(z - 2i){z + 3 - 4/)
a)I\ = {|z| < 2};b)D = {2 <|z| < 5};c)£^ = {|z| > 5}.
Решение. Используя метод неопределённых коэффициентов, представим функ­
цию/fo) в виде суммы простых дробей
Л
L _ ,
2
т
=
z-2i
-74-
z + 3-4i
Далее, используя формулу суммы геометрической прогрессии, получим для
Ы<2
\Л
1 оо /•
1
п
СО
<1.
z-2/
.[, z
~2i
Для Ы>2 справедливо разложение
l
n
+l
2^(2i)
z-2i
2 /
_^2" i"
_„ 2-it o U ;
z
l
2^
_
«+I
<1.
'
z
Аналогично, для z < 5
z
1
I
(-lfz"
3-4/
<1,
3-4/J
а для Izl > 5
1
-4i"
=
z
+
3
Г
1 +
1
_ у ( - l f ( 3 - 4 / ) " 3-4/
<1.
3-4/)-2n+\
z
Следовательно,
а) в области
: {|z| < 2} функция /(zj разлагается в следующий ряд Лорана, яв­
ляющийся рядом Тейлора
/ ( * ) = - Z 2"/" . + .(3-4/)"
п=0
Ь) в области D ={2< |z| < 5} функция/(z) разлагается в следующий ряд Лорана,
1
+1
+1
2
содержащий как положительные, так и отрицательные степени z
да -л+1 -п со , \П п
Л
(
AO-Z^TKT-Z
и=0
л=и( 0
с) в области Dh, = {|z| >5J- функция f(z) разлагается в следующий ряд Лорана, со­
2
3 _ 4
держащий только отрицательные степени z
п+1
[2 /"-(-1)"(3-4/)""
J
/W=Z
и=0
л+1
Задачи для самостоятельного решения
5.1. Исследовать сходимость числовых рядов.
1
.l\
_ ^(Зя+1
. 1
D i Ur2 «t - l') : п)>
;
з
)
2
"'ЦК 2"
п +9
4+3/Y
„ ^(-1Г'(1-0
2
ч
5.2. Найти область сходимости степенного ряда.
п О
5.3. Разложить функцию в ряд Тейлора по указанным степеням.
1) /(z) = cos3z по сте- 3) /(z) = (z+l)sin2z
пеням z;
по степеням z+1;
22
,,
1
2) /(*) = 2z-5
пеням z;
Л
по сте-
4) /(z) = e -' по сте>
пеням z+2.
J y
5.4. Разложить функцию /(z) в ряд Лорана в окрестности точки z .
1
>
1) / ( z ) = s m — , z = l;
з) / ( ) = e « \ z = 0;
z
1
2) /(z) = cos
z=/
;
4) /(z) = (z + 0sin
[Z-l)
,z = -i.
:
Z + J
5.5. Определить нули функции /(z) и их порядок.
1) /(z) = cosz;
3 ) / ( z ) = zsinz;
2) /(z) = ^
;
4)/(z) = < '
2 + 1
2
3
*' - '
z+1
+ 2
>
2
5.6. Разложить функцию /(z) в ряд Лорана в кольце {l < |z| < з}
5.7. Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию
(Z)
2
2
~ z +(i~2)z-2i
G +2Z + 3/
в кольце, которому принадлежит точка z = 5. Указать границы кольца сходи­
мости.
0
5.8. Разложить функцию f(z)= е' по степеням z в ряд Лорана в кольце.
5.9. Выписать все возможные разложения функции
в ряд Лорана по степеням z. Указать границы каждого из полученных колец
сходимости. Для каждого из разложений указать, где в нем главная, а где пра­
вильная часть.
Глава 6. Изолированные особые точки и теория вычетов
6.1 Изолированные особые точки аналитической функции. Их классифи­
кация
Определение. Точка z называется особой точкой функции / ( z ) , если
0
f(z) не является аналитической в этой точке.
Определение. Особая точка z е С функции f(z) называется изолиро­
0
ванной особой точкой f(z), если существует окрестность 0 <( z - z |< R точки
0
z , во всех точках которой функция f(z) является аналитической.
0
Различают три типа изолированных особых точек функции f(z) в зави­
симости от поведения f(z) в их окрестности:
1) точка z называется устранимой особой точкой (или правильной осо­
0
бой точкой) функции f(z), если существует конечный предел Km f(z);
Z->Zg
2) точка z называется полюсом функции /(г),если Km /(z)=oo;
0
z—>z
0
3) точка z называется существенно особой точкой функции ./(z), если
0
Km f(z) не существует.
z->z
0
Тип изолированной особой точки z функции f(z) зависит от вида глав0
со
ной части ряда Лорана f( ) = X » ( ~ oY •
z
е
z
z
Теорема. Для того чтобы точка z
0
была устранимой особой точкой
функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана функции f(z) в
окрестности 0 <] z -z 1< R этой точки не содержал главной части, т.е. имел вид
0
степенного ряда
/(z) = £ „ ( z - z ) " .
C
0
Таким образом, в окрестности 0 <j z - z |< Л устранимой особой точки
0
z функция / ( z ) совпадает с функцией S(z), аналитической во всей окрестно­
0
сти точки z (включая точку z ). Определив / ( z ) = 5(z ), функцию
0
0
0
0
f(z)
можно сделать аналитической уже в окрестности \z — z \<R точки z . Тем са­
0
0
мым можно «устранить» особенность в точке z .
0
Определение. Кратность (порядок) нуля z
функции g(z) = 1 / / (z)
0
называется порядком полюса z функции
f(z).
0
Теорема. Для того чтобы точка z была n-кратным полюсом функции
0
f(z)
необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции
/ ( z ) в окрестности 0 <| z — z \< R точки z содержала лишь конечное число
0
0
нулевых членов, т.е. ряд Лорана имел вид
/(*)= Jc (z-z )*,„>0.
t
o
k=-n
Таким образом, порядок полюса z„ функции f(z)
равен номеру старше­
го ненулевого коэффициента главной части ряда Лорана функции / ( z ) в
окрестности 0 <\z — z \< R точки z .
0
0
Следствие. Точка z является полюсом порядка п функции / ( z ) тогда и
0
только тогда, когда функция f(z)
представима в виде f(z) =
^~\„ , где
( ~ o)
h(z) - аналитическая функция в окрестности | z -z 1< R точки z и h( o) О.
z
z
z
0
Теорема. Для того чтобы точка z
0
ф
0
была существенно особой точкой
функции / ( z ) необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана
функции / ( z ) в окрестности 0<\z-z \<R
0
точки z содержала бесконечное
0
число нулевых членов, т.е. ряд Лорана имел вид
/(z) = | X ( z - z ) \
0
-оо
Теорема Сохоцкого. Пусть z е С - существенно особая точка функции
0
f(z). Тогда для любого А е С найдется последовательность точек {z„ }J
=1
что z„ ->z и lim f(z )
0
n
такая,
= А.
Для исследования изолированных особых точек часто бывают полезными
уже известные тейлоровские разложения основных элементарных функций.
Бесконечность как особая точка. Рассмотрим однозначную функцию
f(z),
аналитическую во всех точках множества | z | > R. Выполняя преобразова­
ние
w = —, мы сведём изучение такой функции к изучению функции
Z
f\w) = / ( — ), аналитической во всех точках окрестностиначала координат, кроме,
быть может, самого начала координат. При этом w = 0 будет служить образом
бесконечно удалённой точки z = оо. В зависимости от того, будет ли точка w = О
устранимой, полюсом или существенно особой для /*(w) =
будем называть
точку z = оо устранимой, полюсом или существенно особой соответственно.
Таким образом, связи между характером точки по отношению к функции и
соответствующим разложением в ряд Лорана получаются такие же, как и в случае
конечной точки, только роли членов с положительными и отрицательными степе­
нями меняются между собой.
Теорема. Для того чтобы точка z = GO была устранимой особой точкой
0
функции f(z)
необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана в проколотой
окрестности этой точки имел вид
/(;) = g „ z " =
»=о
C
C
o
+
z
^
+
^ f
...
+
z
Теорема. Для того, чтобы точка z = со была полюсом функции
0
f(z)
необходимо и достаточно, чтобы её ряд Лорана имел вид
—оо
/О) = X n"
C
л=0
Z
+
C
(1
Z +
С
2~
2 +
C
zN
•••+ N
),
> 0.
Теорема. Для того чтобы точка z = со была существенно особой точкой
0
функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы её ряд Лорана имел вид
/(z)=£c„z\
Примеры
66. Привести примеры всех типов изолированных особых точек.
Решение. 1. Покажем, что точка z =0 является устранимой особой точкой
0
, . , sin z
функции /, (z) =
. Точка z =0 является изолированной особой точкой этой
0
функции, так как функция не является аналитической только в этой точке. Ис­
пользуя разложение Тейлора функции sinz, получим следующее разложение
2
данной функции /,(z) =
4
2
sinz
z z
г
z"
= 1- — + —--••• = У!(-')" ~ , . . , из которого слеz
3! 5!
"
(2п+\)\
дует, что существует Hm /j (z) = 1. Поэтому z = 0 является устранимой особой
0
точкой функции
f,(z).
z
2. Функция f ( ) =
2
имеет полюс в точке z =1, поскольку lim
= оо,
z—1
1 z—1
0
2 _ >
z
3. Функция f (z) = e имеет существенно особую точку z = 0, поскольку в этой
3
0
точке не существует предела данной функции ( при стремлении z к нулю по дейI
i
ствительной оси пределы функции различны: ^Iim e = oo, J^ e' =0).
z
0
Q
67. Привести пример неизолированной особой точки.
Решение. Рассмотрим функцию /(z) =
, которая имеет полюсы в точsinO/z)
ках z = — (и = +1, ±2, ...). Поэтому, точка z = 0 является неизолированной
n
0
особой точкой этой функции.
z-1
68. Найти изолированные особые точки функции / ( z ) = ^
2
+
[)(
+
з)
2
и
определить их тип.
Решение. Функция имеет три особые точки: z, = i, z = —i и z = —3 (в которых
2
3
знаменатель функции обращается в ноль).
Для Z| = / имеем
z-1
(z-/)(z + /)(z + 3)
Так как /ц (i) =
^
2
=
3
1
z-1
^/i,(z)
z - / (z + i)(z + 3)
z-i'
3
z-1
(z + /)(z + 3 ) '
0, то z, = / — полюс 1 порядка.
Аналогично доказывается, что z = —i — тоже полюс 1 порядка.
2
2
Для z
3
имеем
/(*) =
Так как «з (-3) =
69.
гг^г;
(z-i)(z + i)(z + 3y2 - ,(z+3)
-3-1
-4(-3 +
—
(z-/)(z
+ /)"
* 0, то z - -3 — полюс 2 порядка.
3
i)
Определить
тип
особой
точки
z =0
для
0
функции
3z
e -1
sinz — z — z 16
Решение. Разложим числитель и знаменатель дроби в ряд Тейлора по степеням z,
сходящиеся во всей комплексной плоскости С:
2
е
- l = 3z +
(3z)
2!
„3
Z
sin z - z
'
(3z)
27z
+ ... = z 3 + —+
3!
„3 _7
Z Z
=
6
Тогда
3
|
5!
2
9z 27z
3+— +
+ ..
2
6
5!
+
7! "'
2
5 5! 7!
|-... = Z
7!
2
„ 9z 27z
, 3+—+
+.
1
2
6
- + ...
5! 7!
2
, 9z 27z
3+— +
+ ...
2
6
где A(z) =
1 z
— +...
5! 7!
2
Функция h(z) =
1
' является аналитической в некоторой окрестности точки
z
ft( )
z
z = 0 как отношение аналитических функций /1(г) и f ( ),
0
и ^(0) = 3-5!^ 0.
2
Следовательно, точка z = 0 является полюсом порядка и = 4.
0
70. Найти особые точки функции J (z) - sin - — j - и определить их тип.
Решение. Функция имеет единственную особую точку z = 1 (во всех осталь­
0
ных точках комплексной плоскости функция аналитична).
Подставляя в разложение синуса ——- вместо z, получим разложение функции
z—1
1
sin
в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z = 1:
z—1
1 1 1 1 1 1
^ (-1)"
1
sm
=
г+
- + ...= > ——
—0
z-1
z-1
3!(z-l)
3
5! (z-1)
5
2
S ( 2 « + l)! (z-l) "
+1
Полученное разложение содержит бесконечно много членов с отрицательными
степенями z — 1, то z = 1 - существенно особая точка.
71. Исследовать особую точку z = со функции / ( - ) —
( z + lz)-(1z + 3 ) 0
0
2
2
Решение. Сделаем замена w = —. Тогда
Z
1-1
G(w) = f
w
J
1
(
+
iYi
+
3
V
w(l + ^ ) ( l + 3w)
(l + ^ X l + 3w)
AW
2
W
(последнее равенство справедливо в проколотой окрестности точки w = 0, но
0
мы доопределим G(0) = 0). Полученная функция G(w) имеет особые точки
w=± i, w = -1/3. Значит, z = со является устранимой особой точкой функции
0
/ ( z ) . Если положить Дсо) = G(0) = 0, то f(z) станет аналитической в точке z
0
= со. Раскладывая функцию G(w) по степеням w и подставляя в полученный
степенной ряд w = —, можно получить разложение функции
Z
f(z).
6.2 Вычеты
Пусть z - изолированная особая точка функции f(z). Тогда f{z) ана0
литична в некоторой проколотой окрестности V = {о <|z — z | < R.} ТОЧКИ Z , И
0
0
со
ряд Лорана имеет вид f( )
z
c
~^ „(
z
2
- У
0
'
Определение. Вычетом функции / ( z ) в точке z называется коэффици­
0
ент с_! (обозначение: res f = с_,).
Пусть z = со - изолированная особая точка функции / ( z ) , и ряд Лорана
0
z
c
z
функции f(z) в окрестности со имеет вид / ( ) = Z « " '
П- ОС
Определение. Вычетом функции f{z) в точке z = со называется число
0
-с_, (обозначение: res^f = -с_,).
Теорема. Если z е С - изолированная особая точка функции f{z), и ес­
0
ли / ( z ) аналитична на замкнутой спрямляемой кривой у и во всех точках плос­
кости, ограниченных этой кривой, за исключением точки z . то
0
res, f = -^—{f{z)dz
J
2л-/
г
где у взят в положительном направлении (против хода часовой стрелки).
В качестве у можно взять окружность \z-z \=p
с центром z и доста­
0
0
точно малым радиусом p<R.
Теорема. Пусть z = со - изолированная особая точка функции f(z)
0
/( )
z
=
X " " (I I
c
z
z
>
и
R)- Пусть также у - замкнутая кусочно-гладкая кривая,
Л=—ОО
лежащая в области | z | > R. Тогда
res J
= -с_, = —jf(z)dz
f
г
где у взят в отрицательном направлении (по ходу часовой стрелки).
Основная теорема о вычетах. Пусть функция / ( z ) аналитична в обла­
сти Z? и на её границе Г, за исключением конечного числа точек, лежащих
внутри D. Тогда
-
л
} f(z)dz = 2 т п ^
r e s
z
t
f,
где контур Г взят в положительном направлении.
В устранимой особой точке z e C вычет равен нулю, т.к. ряд Лорана в
0
проколотой окрестности этой точки состоит только из правильной части.
z
Теорема. Пусть z eC-простой
полюс функции / ( ) . Тогда
0
res f=
0
lim(z-z )/(z).
0
z-»r
0
Те„ре , П с ь . п р о к о л а о к р _
м
у
т
т
„™ ,
ф н«„„ Д . , ™
0
у
е е т
z
вид f(z) = ^^-,
Hz)
где функции #>( ) и ^ О ) аналитичны в z , причем <p{z )*Q,
0
0
i//(z ) = 0 и i//'(z ) Ф 0. Тогда
0
0
Теорема. Пусть z - п-кратный полюс (и > 1) функции / ( z ) . Тогда
0
res, f =
lim ((z - z )" / ( z ) / "
- 0
0
Для вычисления вычетов в существенно особых точках аналогичных формул не
существует, и надо находить главные части лорановского разложения.
Теорема о сумме вычетов. Пусть у функции / ( z ) на плоскости суще­
ствует лишь конечное число особых точках z,, z ,
z . Тогда
2
n
п
Y ^
r
e
s
r
J
+
r
e
s
J
r
=
c
' .
Примеры
Z-1
72. Найти вычеты f(z) = —————- в ее особых точках и в точке оо.
(z*+lXz+3)
2
Решение. В примере 68 было установлено, что fiz) имеет три особые точки
К = i, -
=
_ /
2
_
и У ~ 3 , причём первые две из них - полюсы первого порядка, а
2
третья - полюс второго порядка.
Для z, = i имеем
,
..
(z-/)(z-l)
resj = lim —
,.
(z-/)(z-l)
— = lim
(z-1)
— - = lim
2
2
—- =
2
/-]
+D(z + 3)
(z-/)(z + /)(z + 3)
' (z + /)(z + 3)
2/(/ + 3)
/-1
/-1
(/-l)(-3-4Q 7+i
2/'(-l + 6/ + 9) 4(-3 + 4/') 4((-3) + 4 ) 100 '
Для z = —i имеем
. ,.
(z + /)(z-l)
,.
Z-1
-J-l
i+\
res_,f = lim
^ — -—- = lim
(z-/Xz + /)(z + 3) '-'(z-/)(z + 3) -2I(-I+3) 2i(-l-6i + 9)
/ + 1 (/ + l)(3-4Q_7-i
4(3+ 4i) ~ 4(9 + 16) ~ 100 '
=
=
=
=
2
2
_
2
2
2
=
2
r- =
2
Для z = -3 имеем
3
2
(z-z ) f(z)
(.
1, Л
Л
Сг + З Д г - i ;
=
0
0
—
z-1
2
г +Г
2
( z-1 V
f
((,-z ) /(,)) ^
=
2
(z + \)(z + 3f
2
z + l-2z(z-l)
-z +;
j =—
2
• ,1
г
=
1 ,. - z + 2z + l
-9-6+1
lim
—=
—=
—
2
14
.
2
~
1! »—3 ( z + H
(9+1/
100
Дляг = оо из равенстваres^f + 0,01(7 + /)+ 0,01(7 + /)-0,14 = 0 получим: res ,f= 0.
a
73. Найти вычет функции f(z) = sin—— в точке Zo = 1.
z —1
Решение. В примере 70 было показано, что z = l является существенно особой
0
точкой Дг), и получен ряд Лорана этой функции в окрестности точки z = l . По­
0
скольку в полученном разложении c_i=l, то res f = 1.
x
74. Найти вычет функции f(z) = 2 + — в точке z = со.
з
Решение. Разложением в со функции / ( z ) как раз и будет сумма 2 + — , состояZ
щая всего из двух членов. Коэффициент с_,=3. Поэтому
= -3.
6.3 Вычисление некоторых классов интегралов с помощью вычетов
/. Вычисление интегралов по замкнутому контуру.
Пусть функция / ( z ) имеет внутри замкнутого контура Г только изолиро­
ванные особые точки z (k=l,2,...n). Тогда интеграл от функции/(z) по поло­
k
жительно ориентированному контуру Г можно найти, применяя теорему о вы­
четах:
{ f{z)dz = 2ж/Х
res J.
z
г
к=\
Если функция / ( z ) имеет в расширенной комплексной плоскости С
только изолированные особые точки, то по теореме о сумме вычетов для вы­
числения интеграла по замкнутому контуру достаточно найти вычет в беско­
нечно удаленной точке.
2. Вычисление интегралов вида J^(cos <р, sin <p)d<p
j г д е
/{ _ рациональная
о
функция от косинуса и синуса.
Такие
интегралы
с
помощью
cos^ = i(e"'+e-"') = | ^ z + i j
замены
9
z = е' ,
dq> = — = - —,
iz
z
sin^ = l ( " - « r " ) = - ^ z - I j (при изменении <p
)
e
от 0 до 2к точка z описывает окружность I z I = 1) сводятся к интегралам по за­
мкнутому контуру.
3. Вычисление несобственных интегралов.
Определение.
Интеграл,
определенный
равенством
jf(x)dx=
Urn jf(x)dx,
где f(x)
- функция, заданная на всей оси Ох, называ­
-я
ло
ется несобственным интегралом функции f(x)
в смысле главного значения.
?
Определение. Если существует конечный предел lim J f(x)dx, то несоб-к
00
ственный интеграл
\f(x)dx
в смысле главного значения называется сходя­
щимся; если предел не существует или равен бесконечности, то несобственный
интеграл \f(x)dx
в смысле главного значения называется расходящимся.
и
О
Теорема. Если сходится каждый из интегралов j f(x)dx = \im ^f(x)dx и
j" f(x)dx
= Jrr^ J" f( x)dx
j
то несобственный интеграл
0
\f{x)dx
в смысле
0
главного значения также сходится и равен сумме этих интегралов.
Теорема. Пусть функция f(x), х е (—со; +*>), удовлетворяет условиям:
1) функция / ( z ) имеет лишь изолированные особые точки в комплекс­
ной плоскости С, причем ни одна из них не лежит на оси Ох;
2) если y(R) - полуокружность радиуса R с центром в начале координат,
лежащая в верхней (либо в нижней) полуплоскости, то предел
lim
f/(z)<fc=0.
:(R)
Тогда несобственный интеграл ^f(x)dx в смысле главного значения ра—оо
вен сумме вычетов функции / ( z ) в особых точках, лежащих в верхней полу­
плоскости, умноженной на 2т (соответственно, равен сумме вычетов в особых
точках из нижней полуплоскости, умноженной на —1т).
Лемма Жордана. Пусть функция F(z)
аналитична в полуплоскости
Imz> — а, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и
lim F(z) = 0. Если ,(/?) - дуга окружности I z I = R, расположенная в полушюскости Imz > —а, то
e ZF z dz
0
я2£ I " i )
= для всех t > 0.
(для случая t < 0 справедливо аналогичное утверждение, если в качестве y(R)
взять дугу окружности I z I = R, лежащую в полуплоскости Imz < -а).
Примеры
75. Вычислить интеграл f —=—^—^
V
2
k
сЬ.
Т
2
/ ( l)(z 3)
=2
Z +
+
Решение. В примере 71 найдены особые точки подынтегральной функции
. 1-х
z.—iz, = —г, z, = —i1 и вычеты в этих точках: res.fJ- = 7+/
1 » 2 , з
100 , res ",f = 100 и
res ,f =
"
3
соответственно.
100
Внутри окружности I z I = 2 находятся особые точки z, = г, z = -i, а точка
2
z = -3 лежит вне этой окружности. Следовательно,
3
Z
l
f f(z)dz= \ , ~
, е& = 2я-г(0,07 + 0,01/ + 0,07-0,010 = 0,28л7.
ML
^ ( Z 1 ) ( Z 3)
2
2
2
+
+
76. Вычислитьi интеграл
i...
dz
J" -
z + l/
8
Решение. Функция f{z) = ^ ^
имеет восемь особых точек - решений урав­
t
8
нения z + 1=0, каждая из которых z , как несложно показать, является полюсом
k
второго порядка. Все особые точки лежат внутри окружности | z I = 2. Вычисле­
ние вычетов во всех этих точках весьма трудоемко, поэтому найдем только вы­
чет в бесконечно удалённой точке. Перейдем к переменной w = —. Подставляя
z = —, получим
w
G(w) = Л - =
—• = w,*h(w), где h(w) = 1
,W (1 + w ) " —
,
') '
t6
8
2
2
(
+
w
Функция h(yv) аналитична в окрестности точки w = 0. Поэтому
0
2
l6
h(w) = b +b w+b w +...,
0
l
ll
n
G(w) = b w +b,w + b w +...
2
0
2
Значит, ряд Лорана функции f(z) в окрестности точки z = со имеет вид
0
8
dz
Следовательно, res^f = 0 и | —= 2яч'£ res, f = 0.
|»f.2 ( +1)
*-i
г
11. Вычислить интеграл f
,1 а I < 1.
J 1 - 2aaos<p + а
2
Решение.
Выполняя
v
bosq> = -(e' +e-")
2
= 2
г
z
z=e ,
d<p = ^- = -^
в
z
получим
idz^
+
+
0A =
С
wfe
r
^-zfl-2 4z M
a
>9
замену
az2 (a2+1)z
fl
+ a=
A
a(Z
idz
-
a)(Z
-
,/a)
'
Следовательно, подынтегральная функция f(z) имеет две особые точки полюсы первого порядка z, = а, z =\/a,
2
первая из которых лежит внутри
окружности | z | =1, а вторая - вне её. Тогда f —;
'-г= 2ni • resf.
,Laz -(a- + l)z + a
Для вычисления вычета в точке z = а используем формулу res J = ^
x
2
2
z
2
^(z) = oz -(a +l)z + a,
v/'(z) = 2az-(a + l). Тогда
resj
= -
'
rfp
а
-1
. ;'
2т
=- = 2лi —z— =
5-.
и, следовательно,
O
=^—-
— (а +\)
2аа
. где
l-2acos#> + a
а -1
78. г,
Вычислить интегралы
та
l-a
7J xcos2x
, j7 ——-^dx.
*sin2x ,
^ dx,
2
1
ze "
Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию /(z) = ——. При z - х:
z +9
f(
x)
=
J ^ L
х +9
=
=
x
(
m
s
2
2
+
x
i s i n 2 x )
=
2
т.е. действительная и мнимая
+
2
х +9
2
х +9
х +9
части функции f(x) и есть те функции, интегралы от которых нужно найти.
Функция F(z) = —^-— имеет две особые точки — полюсы первого порядка
z +9
=
Zi ± 3 i и lim —=
2
= 0.
Если y(R) — дуга окружности | z | = R, расположенная в полуплоскости Im z > О,
то lim f ^—dz = 0 (t = 2).
00
2tc
Применим лемму Жордана, согласно которой интеграл J ^^dx равен сумме
2
вычетов функции f(z)=
z e
- в особых точках из верхней полуплоскости,
2
умноженной на 2к\.
В полуплоскости l m z > 0 лежит только особая точка z\ = 3/ функции f(z).
Вычет
в этой
точке
можно
найти
по формуле
2l 3 i
2
i//(z) = z +9,
i//(r) = 2z. Следовательно,
со
f
2tf
* —dx
,* -P9
E
2
3ie
= ^
res f
3l
1
= 2ni • 4-e
„-6
1
2
6
=.-„-6
/ле
z
res f = ^ °^ , где
2
1
= — e" . Тогда
6
а действительная и мнимая части полученного числа и будут искомыми интетралами: J
6
2
^dx = 0, J ——^dx = ж .
79. Вычислить интеграл I = J
2
2
(x +l)0 +4)'
1
Решение. Подынтегральная функция R(z) =—=имеет в верхней по(z +l)(z +4)
луплоскости два полюса первого порядка в точках ZJ = /' и z = 2/. Поэтому
2
2
2
СО
f^(z)dz = 2/rz У ras / ( z ) , а I = 2;r/(re.s .fi(z) + ras Z?(z)). Поскольку
lmz
>O
*
'->•
z=2i
z_z
b
resR(z) = lim ( z - 0
res i?(z) = lim (z-2/).
z-»2i
2
6/'
2
(z +l)(z +4)
1
1
п
, то I = —.
12Г
6
z=2i
т
6.4 Логарифмические вычеты. Принцип аргумента
Пусть функция / ( z ) аналитична в области D и на её границе Г, за исклю­
чением конечного числа точек-полюсов, лежащих внутри D. Кроме того, функ­
ция / ( z ) на границе не имеет нулей, а внутри области D имеет конечное число
нулей.
Определение. Логарифмическим вычетом функции f(z)
относительно
кривой Г называется число
2Ki{f{z)
dz.
'
где /"обходится в положительном направлении.
Теорема. Если z - нуль кратности и аналитической функции f(z), то ло­
0
гарифмический вычет функции / ( z ) в точке z равен п; если z - полюс порядка
0
0
р, то логарифмический вычет равен -р.
Теорема о логарифмическом вычете. Пусть Г— замкнутый контур, ле­
жащий в области аналитичности функции f(z), а функция / ( z ) аналитична во
всех точках внутри Г, за исключением конечного числа полюсов, и не имеет на
Гни нулей, ни полюсов. Тогда разность между количеством нулей N и полюсов
Р (с учётом кратности) функции f(z) внутри контура Г равна логарифмическо­
му вычету относительно этого контура, т.е.
2ni[f{z)
Принцип аргумента. Пусть Г- замкнутый контур, лежащий в области
аналитичности функции / ( z ) , а функция f(z) аналитична во всех точках внут­
ри Г, за исключением конечного числа полюсов, и не имеет на контуре .Гни ну­
лей, ни полюсов. Тогда разность между количеством нулей N и полюсов Р (с
учётом кратности) функции f(z) внутри контура Г равна изменению argf(z)
при обходе точкой z контура Г в положительном направлении, делённому
на 2л:
A argf=
r
2n(N-P).
Теорема Руше. Если функции / ( г ) и g(z) являются однозначными и
аналитическими во всех точках замкнутого контура Г и внутри него, причем в
точках этого контура справедливо неравенство | / ( ) |
z
z
> |c?( )|,
то внутри контура
/"функция f(z) + g(z) имеет столько же нулей, сколько и функция
f(z).
Примеры
8
5
2
80. Определить число корней уравнения z -4z +z - 1 = 0 в круге | z |<1.
5
8
2
Решение. Пусть / ( z ) = -4z и g(z) = z + z - 1 .
5
8
2
В точках окружности I z | = 1 имеем | f(z) \ = \ -4z 1 = 4, | g(z) | = | z + z - 1 I
8
2
| z | + I z 1 + 1-11 = 3. Таким образом, на окружности | z | = 1 выполняется
z
неравенство
> |&( )| •
8
5
По
теореме
Руше
функция
2
f(z) + g(z) = z — 4z +z — 1 имеет в круге | z | < 1 столько же нулей, сколько и
5
функция f(z) = -4z . Поскольку / ( z ) обращается в нуль только в точке z = О,
являющейся нулем этой функции пятого порядка, то функция f(z) + g(z) име­
ет в круге I z | < 1 пять нулей (с учетом кратности). Следовательно, исходное
уравнение в круге I z I < 1 имеет пять корней.
Задачи для самостоятельного решения
6.1. Найти изолированные особые точки функции и определить их тип.
z
l)e "";
3)ze';
6.2. Показать, что функция f(z)=
( г
+ 1
^
г+ 3 )
имеет в точке z = ю полюс по0
Z-1
рядка 3.
6.3. Исследовать поведение функции на бесконечности.
\)е~>;
3)ze>;
6.4. Найти вычеты функции в ее особых точках и в бесконечно удаленной точ­
ке.
}
2
2
z (z-l)'
' z -2z
2 ) - ^ ;
4)-J-.
z (z + 4)
sin z
+
5'
6.5. Найти вычеты в конечных особых точках функции.
1)/(--)=^-т;
z
2)/W-4±L.
— Iz — i
z
е
6.6. Вычислить с помощью вычетов следующие интегралы по положительно
ориентированным кривым.
f
"z
J
(z + l) (z +9)
!
;
2
j*
'
J (z-,) 3)'
(Z+
DZ
3)
f
_J_
;
J 4z" + 1 —dz
9)
4) Mf-5
sh z
Z
J {7Тл)(7--
6.7. Вычислить с помощью вычетов следующие несобственные интегралы.
1) "f
J(x
2)
xdx
J
+ 4x + 13)
"f x s i n x
J x + 4 x + 20
;
3) f
dx
;
J(x +l)
2
2
;
4)
2
2
Г^ooex
J 1 + x"
6.8. Вычислить интеграл по положительно ориентированной кривой.
г sinz
г
'
е
1 }
3
Jz +16z '
C : | z + 4/| = 2;
2 )
2
J(z-i) (z + 2)'
c:\z-i\=2.
'
Индивидуальные домашние задания
1. Комплексные числа
1. Записать комплексное число г, в трех формах записи (таблица АЛ).
2. Вычислить:
2]
2
^ (таблица АЛ).
3. Найти все значения корня:
(таблица АЛ).
4. Решить уравнение (таблица А.2).
5. На комплексной плоскости найти все точки, изображающие комплексные
числа z , удовлетворяющие следующим условиям (таблица А.З).
П. Функции комплексного переменного
1 .Найти предел последовательности или функции (таблица Б. 1).
2. Доказать тождество (таблица Б.2).
3. Вычислите все значения степенной функции z в точке z (таблица Б.З).
0
4. Найти действительную и мнимую части функции комплексного переменного
(таблица Б.4).
5. Решить уравнение (таблица Б.5).
Ш. Дифференцирование функций комплексного переменного
1. Проверить, является ли функция w = f{z) дифференцируемой. Если да, то
найти значение её производной в заданной точке z (таблица В.1).
2. Найдите аналитическую функцию f(z) по заданной действительной части
Ref(z)=u(xy) (таблица В.2).
3. Найдите аналитическую функцию f(z)= u(xy)+iv(x,y) по следующим данным
(таблица В.З).
4. Найти коэффициент растяжения при отображении w = f(z) в указанных точ­
ках (таблица В.4).
0
5. Найти угол поворота при отображении w = f(z)
В.4).
в указанных точках (таблица
IV. Интегрирование функций комплексного переменного
1. Вычислить интеграл
J/(z)dzoT
заданной функции f(z) по гиперболе
L
3
L = | у = х | , соединяющей точки а=0 и b= -1-i (таблица Г. 1).
2. Вычислить интегралы, используя теорему Коши или формулу Коши для за­
мкнутого, положительно ориентированного контура (таблица Г.2).
3. Вычислить интегралы (таблица Г.З).
4. Вычислить интеграл
J/(z)az
от заданной функции f(z) по отрезку L , соеди-
L
няющему точки z=l+i и z=l-i (таблица Г.4).
V. Ряды
1. Исследовать сходимость ряда (таблица Д.1).
2. Найти радиус сходимости степенного ряда (таблица Д.2).
3. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 заданную функ­
0
цию / ( z ) (таблица Д.З).
4. Разложить в ряд Лорана функцию/(Z)B областях£\,02,0}.(таблица Д.4).
5. Определить нули функции и их порядок (таблица Д.5).
VI. Изолированные особые точки и теория вычетов
1. Найдите изолированные особые точки заданной функции / ( z ) , выясните их
характер и исследуйте поведение функции на бесконечности (таблица ЕЛ).
2. Вычислить вычеты заданной функции / ( z ) во всех изолированных особых
точках (таблица Е.2).
3. Вычислить интеграл ^f(z)dz,
где С — положительно ориентированная
С
окружность (таблица Е.З).
оо
4. Вычислить интеграл J R(x)dx от заданной рациональной функции (таблица
—оо
Е.4).
00
5. Вычислить интеграл J f(x)dx (таблица Е.5).
Таблица А. I
№
варирианта
1
2
Пример
Пример
№
z, =(-1,1), z =(3,1), z =(2,2);
вари
рианта
6
7
8
2 , = (-1,73), z =(2,l), г, =(0,2);
г,=(>/2,1), z =(l,3), г, =(1,1);
=(-2,2), =(4,1), =(1,^);
9
10
г, = (4,-4). г, =(0,1), г, = ( Д О ;
z,=(-l,l), z =(l,l), z,=(5,-5).
Пример
№
Пример
9z +6z + 10 = 0;
4z +4z + 5 = 0 ;
9- -12z + 5 = 0;
-Z +Z-1=0;
z -2z + 2 = 0
вари
рианта
6
7
8
9
10
16z -32z + 17 = 0;
z - 8 z + 25 = 0;
z +4z + 13 = 0;
-z +10z-26 = 0;
z + 4 z + 7 = 0.
№
Пример
2
3
3
z,=b/3,l), z =(3,2), г, =0-2);
г, = (-3,73), г, = (3,1), z, = (-1,Д);
4
5
z,=(l,-^),z =(3,2),z,=(-3,3);
z,=(-l,-l),z =(2,l),z =(2,^);
2
2
2
3
2
2
г1
г2
гз
2
Таблица А.2
№
варирианта
1
2
3
4
5
2
2
2
2
2
;
2
2
2
2
2
Таблица А.З
Пример
№
варирианта
1
1 <Rez + I m z < 2 ;
вари
рианта
6
|z + 3jj = |z + 4|;
2Rez < Imz или Rez < 3Imz;
2
3
l<(Rez) + (lm-) <16;
(Rez) =Imz + l ;
7
8
N = l'- |;
4
|Rez|-|lmz| = l
9
Re z > (im zf и (Re z) > Im z;
5
(Rez) +(lmz) <1 или
( R e : ) + ( l m : ) >16
10
J|z-/|>1
||z + 3/|<2'
2
2
2
2
;
2
:
:
;
]
2
Таблица Б. 1
№
варирианта
1
№
Пример
Пример
вари
рианта
6
. i
лп
Z. = и cos
z„ = HSin — •
п'
2
7
2
z.=(l+3/T;
n + 2i
"~ Ъп + lV
shim)
»=
n ;
3
8
S
m
1
2 '
1
;'"
n=~;
n
9
z
5
In
z
2
4
. . лп
i-j«sin — •
10
z
\ J
\
*-><\ shiz ) '
H
lim
2
Таблица l>.2
№
№
Пример
вари
вариририанта
анта
6
1
ctgz = ictg(iz) •
2
7
\m(chz) = shy • sin у;
3
8
,
ч
-shly
\m(ctgz)=
.
chzy -COS2JC
4
9
«" i + z 1 , 1 + iz
arctgz = — In
= — In
2 /' - z 2/ 1 - iz ' 10
5
arcs in z = —/ In /(z + л/ z - 1 j ;
T
2
[e'+ij-
Пример
\m(shz) = сйг • sin у•
Re(cos z) = cos x • chy;
„ , .
sin2x
cos 2x + chzy
,
1, 1+2
ormz = — In
2
1-z'
Archz = Lri z + -Jz - 1 .
2
JV
варирианта
1
2
Пример
z =-л/б + /2л/з, а = 3 - 2/,
№
нар и
рианта
6
z = 7 3 0 - / 7 l 0 , a = 2 + /,
z =—<j3-i3,a = 1-2/,
0
Пример
0
z =2 - /2%/3, а = - 1 + 3/,
7
3
ZQ=~J2- /\/2,а = -3 + /,
8
z = - 3 %/2 - / 7 б , « = 2 + 3/,
4
z = - 2 V 3 - / 2 , a = l + 2/,
9
z =->/5 + iyfE, а = 3 + 2/,
5
z =-\/5 + i-Js,a = 2 - /,
10
z =—V6 - 1-7б,а = 2-3/.
0
0
0
Таблица Б.4
Пример
№
варирианта
1
w = z - /z;
2
w = i- z ;
3
w = sinz;
4
W = 2z-1;
5
iz+l
w-—=-•
1+ z '
3
3
Таблица Б.5
№
Пример
варнрианта
1
sinz = /;
2
Ln(z+i) = \;
3
sin Z + COS Г =2;
4
C'&Z = /;
5
cos z - 1 = 0 s i n z = m ;
2
0
0
0
0
№
вари
рианта
6
7
8
9
10
Пример
2
W = Z + /;
w = e~*;
W = /gZ;
2
W= Z+ Z ;
Z
w = —.
z '
№
вари
рианта
6
7
8
9
10
Пример
S i n z = ЯЗ ;
I n ( / - Z ) = 0;
s i n z + s i n 2z = 0;
COS Z = / ;
Данное приложение содержит таблицы заданий для индивидуального
домашнего задания III «Дифференцирование функций комплексного
переменного».
Таблица В.1
Пример
№
варирианта
1
w(z) = (zz) ,
z =-l+r
№
вари
рианта
6
3
0
2
w(z) = ze\
3
w(z) = sm3z-i,
4
W(z) = ZZ,
5
z =i;
8
w(z) = Imz,
9
w(z) = е \
z =0;
w(z)= zz,
z =2.
0
Z
0
=2;
10
z =i;
0
4
№
вари
рианта
6
-2xy,
4
2
и = 4xy - 4x y - 4x + 4y ,
2
7
3
, 2 2
u = x4 + у 4 -ox
у + /oxy.
8
4
3
3
2
3
2
4
4
2
2
u = 2x + 2y - I2x y
9
2
u = x y — xy +x -y
5
0
w(z) = i(l-z )-2z,
;
Таблица В.2
Пример
№
варирианта
1
и = 12x y — 2x - 2 y
3
z =i;
z =-\+m
0
2
w(z) = e~'\
7
w(z) = z Rez,
2
;
Пример
2
,
2
- 2x + 2y ,
10
2
Z„=l;
z =0;
0
г
0
0
Пример
3
3
u = 2x y — 2xy — xy,
4
4
2
2
u = 3x + 3y -18x y
3
3
z/ =3x y-3xy
^ 2 2
+18x,
4
-3y,
4
^
z/ = 6x у -x -у
-4x,
u = 3xy -3x y + Ay.
№
варирианта
1
2
3
4
Пример
v = 2xy + y,
x
v = e cosy,
v = 2xy + 5y,
Д0)=0;
/ ( 0 ) = 1;
7
v = е* cos >>,
/ (0) = i;
v = arctg ^ , ( х > 0 ) /(1) = 1;
X
Z
v = -х f + Tj> ,
5
Д 0 ) = 0;
№
вари
рианта
6
2
3
2
0
3
4
5
2
z =V2(l + 0;
W(z) = - ,
z
v = 3x y-y\
/ ( 0 ) = 1;
V = V4".
х +у
Д2) = 0;
v = 6x y-2j +x -3xy ,
/(0) = 0.
№
вари
рианта
6
Пример
w(z)=sinz,
7
W(Z) = Z ,
8
Z =l;
0
z =-l-j—
0
Z =3»;
0
2
10
0
M<z) = zlnz,
и<г) = е \
2
2
v = 6x j>-2/-x +3xy ,
Л 0 ) = 0;
w(z) = z ,
9
/ 0 ) = 1;
Таблица В.4
№
Пример
варирианта
1
w(z) = sin z,
z =0;
2
8
Пример
2
3
3
2
Z = l+/';
0
3
Z =2-/;
0
y
и = e cos x.v = —sin x, z = ^ ;
0
9
7T
z
w(z) = e ,
;
10
г =1п2 + г —
0
, . z +i
w(z) =
,
z-i
:
z =2i.
0
;
Таблица Г.1
№
Пример
варирианта
1
/ = zRez
2
f = z Rsz
3
/ = z Imz
2
2
2
4
2
/ = z -z;
5
2
/ = z -z;
Таблица Г.2
№
вари
рианта
1
Пример
Пример
№
вари
рианта
6
/ = zRez
7
/ = zlmz
8
/ = Imz
9
/ = Rez
3
3
10
/ = (z + z)z.
№
вари
рианта
6
Пример
г
sin z
-;
dz/ z - 7 z + 10
2
4
2
f
''dz-
7
,4 z(l-z)
2
'
07
3
f
|z
4
5
J (z-0,5/)
=2
8
^
3
'
9
10
2 + 9
ii*
J
|z-2l|=3
f
1
a
Z
+ "
^-dz
iz-3|-0.5
SinZ
'
№
варирианта
1
Пример
№ ва­
риан­
та
Пример
6
2
9 8
li( -D
2
7
J
_25
3
,
|ж|=27
2
|,|=2
г
chm
Z
+
Z
8
J
5
|,-i|=i.sz - z
Z
4
9
ii ( +i)
2 3
5
f
2
2
'
Z 2 + 1
dz-
I
2
/ = zRez;
'
dz-
1
10
Z
Пример
2
Z
+
|z+/H,5
Таблица Г.4
№
варирианта
1
'
^ ЯГ
Z
№
вари
рианта
6
Пример
f = zRez ;
2
2
/ = Imz ;
7
f = z lmz;
3
/ = zlmz;
8
/ = z Rez;
4
/ = (z + z)z;
9
5
/ = Rez ;
3
3
10
2
2
/ = ?•*;
2
/ = z -z.
Таблица Д. 1
№
варирианта
1
№
вари
рианта
6
Пример
л=1
2
COS ОТ
пи 1
у\ wsinj/i
Z—t
z
cos in
>
л=1оо
7
2
-
3
2т
J
и=1
3
Пример
8
.Ж
Л,
Р "
^1
2 cos от
^ 1пи
Л=1
2
4
shi4n
7~1 sin/и '
5
Z-1
„1чл
л=1
Таблица Д.2
№
варирианта
1
2
п={
-if-n;
№
вари
рианта
6
a ={i-2n)-2 ;
3
а = ( и + 2/)-З ;
n
и
n
10
;
п;
а„= (2/I + I)-2";
„=(2»-«)-3";
fl
9
(1 + 2/)"
a ={\-2i)"
8
и
4
Пример
n
7
2
a =
"
>
n
5
У
'
"
Пример
а
л=1 »Ли
10
ch i—
\ nj
у
9
а„=(«/ + 1)-4";
(2+0"
и
№
варирианта
1
/ ( z ) = cos z;
2
/(z) = sin z;
Пример
№
вари­
анта
Пример
3
6
/(z) = l n ( z - z - 2 ) ;
3
7
/ ( ) = ln(z +z-2);
3
/ ( z ) = e sin2z;
4
/(z) = e cos2z;
5
z
8
/(z) = ln(z +2z-3);
z
9
/ ( z ) = ln(z -2z-3);
10
/(z) = ln(z +3z-4).
2z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
Z
f(zy=e shz;
Таблица Д.4
№ ва­
рианта
2
2
2
2
/<*)
A
A-
A
3z + 5
(z-l)(z+3)'
z-8z
(z + 2z)(z-3z)'
3z-4 + 2i
(z + / ) ( z - 4 ) '
z + 10 + 2/
(z-2z)(z + 5)'
z - 6/ +1
(z-l)(z + 3)'
z + 12 + 6/'
(z-3z)(z+4) '
2z-14z
(z - /)(z + 5г) '
2z + 2 / - l
(z-l)(z + 2z)'
z-12-8/
(z-2/)(z + 4 ) '
3z + 3 + 8z
H<1;
1<H<3;
|z| >3;
|z|<2;
2<|z|<3;
|z| >3;
N<1;
l<|z|<4;
[z|>4;
W<2;
2< z|<5;
z >5;
И<1;
l<|z|<3;
|z|>3;
|z|<3;
3<|z|<4;
|z|>4;
l<|z|<5;
|z|>5;
И< ;
l<|z|<2;
|z|>2;
N<2;
2<|z|<4;
|z|>4;
[z|<3;
3<|z|<4;
|z|>4.
(z + 3)(z + 4/)'
1
№
варирианта
1
2
3
4
Пример
№
Пример
вари­
анта
4
2
f(z) = Z +4z ;
f(z) = l + chz;
3
/ ( Z ) = C0SZ ;
2
Д ) =
sinz
;
z
5
6
/(Z) = z sinz;
7
8
/ ( z ) = (z + m)shz;
f(z)=cosz + chiz;
9
2
2
2
Д ) =
sA z
;
z
10
2
z
2
/ ( z ) = (z +>r Xl + e-').
Таблица Е.1
№
варирианта
1
Пример
(z
/<*) =
12
№
вари
рианта
Пример
4
+102 +2)sin-!z-3
z (z + 5) (z +9)
2
3
ll
/(*) =
2
8
(z -5z + l)c
14
2
/(z) =
4
(
I
4
(z -6z +5)
e
7
2.
2 Г ( 2 - 3 ) ( г + 4)"
3
г +
3
z-i
2
(z-3() (z + 2/) (z+4)
12
A4
z(z-2/) (z+3/)
(z -2z +4)sin-
(z-l)(z + 3) (z + 6)
9
z+2
(z +z + 5\e
№
J
( z " - 6 z + 2)cos—
+ 2i
(z + /) (z-2/)
2
6
(z +6z +l)sin—
z+1
(z + 5) (z-4j)
8
2
2
2
(z +5z +l)e - '
2
3
2
2
( z + z ) ( z + 2/)
10
5
(z -2z l)cos-^
z-2
z (z-6) (z + ; )
+
3
2
4
10
13
6
(z -5z +4)sin-
/(*)=-
2
3
2
(z H-4) (z l)'
+
+3
Пример
№
варирианта
1
2
3
4
5
/(*) =
/<*) =
/(*)=
/(*) =
sinz
(z-2/) (z-l)'
cosz
Таблица E.3
№
варирианта
1
J
8
sinz
2
(z+2/)(z + l ) '
10
sin2z
2
/)(z-2) '
Пример
fife
j
2
2
|фз(г +з) ( z - 5 )
g
2
(z-3/) (z-l)'
e
2
(z + 3 « ) ( z - 2 ) '
e
/z
/00 = (z+3/)(z-2)
2
Пример
4
г
2z dz
f
J
2
W
2
= 3
&
(z
2
2
2
5) z -4) '
+
(
4
j
3z <fc
2
2
|z|=4(z -9) (z + 5)'
9
j
2z dz
2
5
2
(z+3/)(z + l ) '
>2z
2
|z|=3^z -l) (z + 4)
4
l z
|z|=4(z +9j ( z - 5 )
8
4
z <&
e
z
/00=
7
fife
1
/00=
№
вари
рианта
6
2
3
•
9
cosz
|z|=2(z -3J (z + 4)
2
/(2) =
(z + 2 / ) ( z + l ) '
2
2
7
2
(z-2/)(z-l) '
cosz
/00 =
"(z + / ) ( z - 2 ) '
2
/00 =(z +
Пример
№
вари
рианта
6
2
|z|=2(z -l) (z-3)
|
f
|
f
J
z
=3
2
|z|=2(z -2J (z + 3)
2
2
K+4)(z-4)
10
j
2z dz
2
2
|z|=4^z +9J ( z - 6 )
2
'
№ варианта
Пример
1
2
^
2
( A - - 4 X + 5)(JC +4JC + 29J'
4Л:-7
2
3
2
2
( Л : - 2 Л : + 17)(Л: +2Л: + 10)'
_
8*-27
(лг -10л: + 29^л: -2л: + 2 ) '
ад
2
2
2л- - 9
4
5
6
7
8
9
2
2
(л: - 4л: + 29) (л: + 2л-+ 2 ) '
л ( х )
_
Зх + 4
( х - 2 л : + 5 ^ х + 4 х + 1з)'
2
Л
Х
2
2
2
(л: +4х- + 5)(л: -2л:-1-1о)'
ад-
~
2
*
+
4
2
2
( x + 4 x + 13)(x +2x + 17)'
ВД-
2л:-27
( х - 4 х + 29)(х -2х + 2)'
2
R
M
2
Зх-4
= T-2
V
( х + 2 х + 5 Д х - 4 х + 13]
2
-
8
R{x)
10
2
2
*+
1 5
2
( х - 2 х + ю ) ( х + 6 х + 25)'
№
варирианта
Пример
sinx
1
f(x)=
2
;
х +2х + 4
cosx
г *
/'
х
4
х
+
6
„
sin2x
/(*) = ,
;
х +2х + 6
,. .
cos2x
х -4х +8
.
sin3x
/(*) =
;
лГ+2x + 8
/
3
4
w
№
вари
рианта
6
2
7
=
Пример
,, .
cos3x
f(x) = -j
;
-2х + 4
. х sin2x
^
8
9
(
x
)
„
/(*)=
2
„
x 2 + 4x
+ 6„
cos2x
;
2
„
x sinx
-2x + 8
>,
x - 2x + 6
COSX
x -2x +8
l
2
5
=
10
Ч
2
;
Рекомендуемая литература
1. Арманович Н.Г., Лунц ГЛ., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного
переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., 1968.
2. Бугров Я.С, Никольский СМ. Высшая математика. Дифференциаль­
ные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменно­
го. М , 1981.
3. Зеель Э.О. Задачник по теории функций комплексного переменного.
Архангельск: Поморский университет, 2003.
4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного
переменного. М.: Наука, 1987.
5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций.
М.:Наука, 1966.
6. Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного пере­
менного и операционное исчисление в примерах и задачах: учебное пособие
для втузов. М., 2001.
7. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной пере­
менной. М., 2007.
8. Серов В. С. Задачи по теории функций комплексного переменного с
решениями: учебное пособие для втузов. М., 2005.
9. Сборник задач по высшей математике для экономистов / Под ред. Ер­
макова В.И., М., 2001.
Конечная Наталья Николаевна
Сафонова Татьяна Анатольевна
Троицкая Ольга Николаевна
ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
-
Учебное пособие
Издание осуществляется в авторской редакции
Подписано в печать 09.11.2015. Формат 60x84 1/16. Бумага офисная.
Печ. л. 7,0. Тираж 100 экз. Заказ № 333.
Издательство «КИРА»
163061, г. Архангельск, ул. Поморская, 34, тел. 650-670.
Отпечатано с готового оригинал-макета
Типография «КИРА»
163061, г. Архангельск, ул. Поморская, 34, тел. 65-47-11.
e-mail: oookira@yandex.ru