ЛЕКЦИЯ 20 Преобразование скоростей. Опыт Физо

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 20
ЛЕКЦИЯ 20
Преобразование скоростей. Опыт Физо. Четырехмерные векторы и тензоры II ранга. Четырехмерная скорость. Гиперболическое движение.
Преобразование скоростей
Мы нашли формулы, связывающие координаты события в одной инерциальной системе с координатами того же события в другой инерциальной
системе. Теперь давайте найдем формулы, связывающие скорость движущейся материальной точки в одной системе отсчета со скоростью той
же точки в другой системе. Пусть опять система K 0 движется относительно системы K со скоростью V в положительном направлении вдоль
оси x. Пусть vx = dx/dt есть x компонента скорости в системе K, а
vx0 = dx0 /dt0 — компонента скорости той же точки в системе K 0 .
Будем исходить из преобразований Лоренца для координат и времени
0
0
x +Vt
x= q
,
2 2
1 − V /c
y = y0,
z = z0,
V
t0 + 2 x0
c
t= q
.
2 2
1 − V /c
(1)
Отсюда имеем
0
0
dx + V dt
,
dx = q
2 2
1 − V /c
dy = dy 0 ,
dz = dz 0 ,
V
dt0 + 2 dx0
c
dt = q
.
2 2
1 − V /c
(2)
Разделив первые три равенства на четвертое и введя скорости
dr0
v = 0,
dt
dr
v= ,
dt
находим
0
dx0 + V dt0
vx0 + V
dx
= vx =
=
,
V 0
vx0 V
dt
0
dt + 2 dx
1+ 2
c
c
p
p
vy0 1 − V 2 /c2
dy 0 1 − V 2 /c2
dy
= vy =
=
,
V 0
vx0 V
dt
0
dt + 2 dx
1+ 2
c
c
1
(3)
(4)
(5)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 20
p
p
dz 0 1 − V 2 /c2
vz0 1 − V 2 /c2
dz
= vz =
=
.
(6)
V 0
vx0 V
dt
0
dt + 2 dx
1+ 2
c
c
Формулы (4-6) и определяют преобразование скоростей. Они представляют собой закон сложения скоростей в теории относительности. В предельном случае c → ∞ они переходят в известные формулы классической механики:
vx = vx0 + V, vy = vy0 , vz = vz0 .
(7)
В частном случае движения частицы параллельно оси x имеем vx = v,
vy = vz = 0. Тогда vy0 = vz0 = 0, а vx0 = v 0 , причем
v=
v0 + V
.
v0V
1+ 2
c
(8)
Легко убедиться в том, что сумма двух скоростей, меньших или равных скорости света, есть снова скорость, не большая скорости света. Если
обозначить
v
v0
V
= th ϕ,
= th ϕ0 ,
= th ψ,
(9)
c
c
c
то правило сложения скоростей запишется в виде
th ϕ0 + th ψ
th ϕ =
= th(ϕ0 + ψ).
0
1 + th ϕ th ψ
(10)
Отсюда получаем, что ϕ = ϕ0 +ψ. Поскольку гиперболический тангенс не
может превышать единицу, то всегда v 6 c. Знак равенства достигается
при v 0 = c, тогда из (8) следует, что и v = c. Это еще раз подтверждает
тот факт, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах
отсчета.
Опыт Физо
Применим формулу (8) для сложения скоростей к распространению света в жидкости, которая относительно неподвижной (лабораторной) системы отсчета равномерно движется (течет) со скоростью V . Как известно, скорость света относительно неподвижной жидкости равна v 0 = c/n,
где n — показатель преломления жидкости. Предполагая, что свет распространяется в направлении течения жидкости, найдем его скорость
2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 20
относительно неподвижной системы отсчета. Для этого подставим в формулу (8) v 0 = c/n и преобразуем, оставляя только члены первого порядка
по V /c ¿ 1:
c
c
¶
³c
´µ
+V
+V
V
c
6c V
v= n
= n
+V
1−
≈ +V −
. (11)
≈
cV
V
n
nc
n
n n 6c
1+ 2
1+
nc
nc
В итоге мы приходим к результату, что скорость света в движущейся (в
направлении распространения света) жидкости равна
µ
¶
c
1
v = + 1 − 2 V.
(12)
n
n
То есть она оказывается больше, чем скорость света в покоящейся жидкости. Жидкость увлекает свет за собой.
Интересно отметить, что эта формула была получена еще Френелем в
1818 г. Он исходил из представления, что эфир увлекается движущимися
телами, однако не полностью, а лишь частично. Эта же формула была
* Sвода
2
V
P
1
V
2
1
Рис. 1: Опыт Физо.
экспериментально подтверждена Физо 1 в 1851 г. Схема его опыта, в
трактовке, усовершенствованной Майкельсоном (1886 г.) следующая.
Луч света от источника S раздваивается разделительной пластинкой
P . Один луч на рисунке (прошедший через пластинку) изображен сплошной, а другой (отраженный от пластинки) пунктирной линией. Затем
лучи проходят через трубки, по которым течет вода. Один луч идет в
направлении течения, а другой против течения воды. Из-за различия
Арман Ипполит Луи Физо (фр. Armand-Hippolyte-Louis Fizeau; 23 сентября 1819, Париж — 18
сентября 1896) — знаменитый французский физик, член Парижской Академии Наук (1860). Его имя
внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.
1
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 20
скоростей лучей относительно неподвижных стенок трубки между ними
при выходе из прибора возникает разность хода, изменяющаяся с изменением скорости течения V . Сначала наблюдается интерференция между
лучами при неподвижной, а затем при текущей воде. По смещению интерференционных полос можно измерить разность хода, возникающую
при течении, а по ней и разность скоростей v − c/n.
Четырехмерные векторы и тензоры II ранга
Совокупность координат события (ct, x, y, z) можно рассматривать как
компоненты четырехмерного радиус-вектора (или 4-радиус-вектора) в
четырехмерном пространстве. Его компоненты мы будем обозначать через xi , где индекс i пробегает значения 0, 1, 2, 3, причем
x0 = ct,
x1 = x,
x2 = y,
x3 = z.
(13)
Квадрат ”длины” 4-радиус-вектора дается выражением
(x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 .
(14)
Он не меняется при любых поворотах четырехмерной системы координат, которыми являются, в частности, преобразования Лоренца.
Вообще четырехмерным вектором (4-вектором) Ai называется совокупность четырех величин A0 , A1 , A2 , A3 , которые при преобразованиях четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты
4-радиус-вектора xi . При преобразовании Лоренца
V
V
A0 0 + A0 1
A0 1 + A0 0
A0 = r c
, A1 = r c
, A2 = A0 2 , A3 = A0 3 . (15)
2
2
V
V
1− 2
1− 2
c
c
Квадрат величины всякого 4-вектора определяется аналогично квадрату 4-радиус-вектора:
(A0 )2 − (A1 )2 − (A2 )2 − (A3 )2 .
(16)
Очевидно, что эта величина, так же как и квадрат 4-радиус-вектора, инвариантна по отношению к преобразованиям Лоренца. Часто для удобства записи подобных выражений вводят два ”сорта” компонент 4-векторов, обозначая их буквами Ai и Ai с индексами сверху и снизу. При этом
A0 = A0 ,
A1 = −A1 ,
A2 = −A2 ,
4
A3 = −A3 .
(17)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 20
Величины Ai называют контравариантными, а Ai — ковариантными компонентами 4-вектора. Квадрат 4-вектора можно представить тогда в виде
3
X
Ai Ai = A0 A0 + A1 A1 + A2 A2 + A3 A3 ≡ Ai Ai .
(18)
i=0
Здесь мы воспользовались правилом суммирования Эйнштейна, согласно
которому по дважды повторяющемуся (немому) индексу подразумевается суммирование. При этом в отличие от обычной векторной алгебры
(см. Лекцию 4) в каждой паре одинаковых индексов один должен стоять
наверху, а другой внизу. В дальнейшем изложении мы будем обозначать
четырехмерные индексы, пробегающие значения 0, 1, 2, 3, латинскими
буквами i, k, l, . . .
Аналогично квадрату 4-вектора определяется скалярное произведение
двух разных 4-векторов:
Ai Bi = A0 B0 + A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 = Ai B i .
(19)
Очевидно, что во всякой паре немых индексов всегда можно переставлять верхний и нижний индексы.
Произведение Ai Bi является 4-скаляром — оно инвариантно по отношению к вращениям четырехмерной системы координат (т. е. по отношению к преобразованиям Лоренца). Иными словами,
Ai Bi = A0 i Bi0 .
(20)
Это обстоятельство (по аналогии с инвариантностью квадрата Ai Ai ) следует из того факта, что все 4-векторы преобразуются по одинаковому закону. Однако его можно проверить и непосредственно, если учесть, что
закон преобразования ковариантных компонент вектора отличается от
закона (15) для контравариантных компонент лишь знаком
V
A00 − A01
A0 = r c ,
V2
1− 2
c
V
A01 − A00
A1 = r c ,
V2
1− 2
c
A2 = A02 ,
A3 = A03 .
(21)
По аналогии с 4-радиус-вектором компоненту 4-вектора A0 называют
временной, а компоненты A1 , A2 , A3 — пространственными. Квадрат 4вектора может быть положительным, отрицательным или равным нулю.
5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 20
В этих трех случаях говорят соответственно о времениподобных, пространственноподобных и нулевых 4-векторах (снова по аналогии с
терминологией для интервалов).
По отношению к чисто пространственным поворотам (т. е. преобразованиям не затрагивающим оси времени) три пространственные компоненты 4-вектора Ai составляют трехмерный вектор A. Временная же
компонента 4-вектора A0 представляет собой (по отношению к этим же
преобразованиям) трехмерный скаляр. Перечисляя компоненты 4-вектора,
мы часто будем записывать их как
Ai = (A0 , A) или Ai = (A0 , −A),
(22)
для контравариантных и ковариантных компонент соответственно. Квадрат 4-вектора будем записывать в виде
Ai Ai = (A0 )2 − A2 .
(23)
Например, для 4-радиус-вектора
xi = (ct, r),
xi = (ct, −r),
xi xi = c2 t2 − r2 .
(24)
Четырехмерным тензором (4-тензором) 2-го ранга называется совокупность 16 величин Aik , которые при преобразовании координат преобразуются как произведения компонент двух 4-векторов. Например, компонента тензора A01 преобразуется как x0 x1 :
x0 x1
V
V
x0 0 + x0 1 x0 1 + x0 0
· r c
=
= r c
V2
V2
1− 2
1− 2
c
c
V 01 01 V 00 00 V 2 01 00
x x + x x + x x + 2x x
c
c
c
=
.
2
V
1− 2
c
00 01
(25)
Иными словами
V 0 11 V 0 00 V 2 0 10
A + A + A + 2A
01
c
c
c
.
(26)
A =
2
V
1− 2
c
Таким же образом получаются формулы преобразования для остальных
компонент тензора Aik .
0 01
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 20
Компоненты 4-тензора 2-го ранга могут быть представлены в трех видах: как контравариантные Aik , ковариантные Aik и смешанные Aik (в
последнем случае надо вообще различать Aik и Aik , т. е. следить за тем,
какой именно — первый или второй — индекс стоит вверху, а какой внизу). Связь между различными видами компонент определяется по общему правилу: поднятие или опускание временного индекса (0) не меняет, а
поднятие или опускание пространственного индекса (1, 2, 3) меняет знак
компоненты. Так:
A00 = A00 ,
A01 = −A01 ,
A00 = A00 ,
A01 = A01 ,
A11 = A11 ,
A01 = −A01 ,
A01 = −A01 . . . ,
A11 = −A11 , . . .
(27)
Единичным 4-тензором называется тензор δki , для которого имеет место равенство
δik Ai = Ak
(28)
при любом 4-векторе Ai . Очевидно, что компоненты этого тензора равны
½
1,
если i = k,
k
δi =
(29)
0,
если i 6= k.
Поднимая у тензора δik один или опуская другой индекс, мы получим
контра- или ковариантный тензор, который обозначают как g ik или gik
и называют метрическим тензором. Тензоры g ik и gik имеют одинаковые компоненты, которые можно представить в виде таблицы:


1 0 0 0
 0 −1 0 0 

(g ik ) = (gik ) = 
(30)
 0 0 −1 0 
0 0 0 −1
(индекс i нумерует строки, а индекс k — столбцы в порядке значений 0,
1, 2, 3). Очевидно, что
gik Ak = Ai ,
g ik Ak = Ai .
(31)
Скалярное произведение двух 4-векторов можно поэтому записать в виде
Ai Ai = Ai gik Ak = gik Ai Ak = g ik Ai Ak .
(32)
В частности, квадрат интервала
ds2 = gik dxi dxk .
7
(33)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 20
Отсюда понятно название — метрический тензор — он определяет метрику пространства-времени. Тензоры δki , gik и g ik исключительны в том
отношении, что их компоненты одинаковы во всех системах координат.
Другими словами, преобразования Лоренца не меняют их вида.
Четырехмерная скорость
Из обычного трехмерного вектора скорости v можно образовать и четырехмерный вектор. Такой четырехмерной скоростью (4-скоростью)
частицы является вектор 2
dxi
.
u =
ds
i
(34)
Для нахождения его компонент замечаем, что скалярная величина
r
v2
ds = cdt 1 − 2 ,
(35)
c
где v — обычная трехмерная скорость частицы. Поэтому
0
u
1
u
dx0
=
=
ds
dx1
=
=
ds
cdt
cdt
cdt
r
=r
dx1
r
= r
v2
1− 2
c
v2
1− 2
c
1
v2
1− 2
c
c
,
vx
v2
1− 2
c
и так далее. Таким образом,

,
(36)


1

u = r
,

v2
1− 2
c
i
r
v
c
1−


.
v2 
(37)
c2
Отметим, что 4-скорость есть величина безразмерная.
Компоненты 4-скорости не независимы. Из выражения (37) следует,
что квадрат длины 4-скорости равен единице
ui ui = 1
2
Обычная скорость v не является пространственной компонентой какого-либо 4-вектора.
8
(38)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 20
(это также следует из того факта, что dxi dxi = ds2 ). Таким образом, ui
есть единичный 4-вектор, касательный к мировой линии частицы.
Аналогично определению 4-скорости, вторую производную
d 2 xi
dui
w =
=
ds2
ds
i
(39)
можно назвать 4-ускорением. Дифференцируя соотношение (38), найдем
dui
dui
ui + ui
= 2wi ui = 0,
ds
ds
т. е. 4-векторы скорости и ускорения взаимно ортогональны.
(40)
Гиперболическое движение
В нерелятивистской механике, как это следует из преобразований Галилея, ускорение материальной точки не зависит от выбора системы отсчета. Оно одинаково во всех инерциальных системах. Поэтому понятна та
особая роль, которая отводилась в механике Ньютона равноускоренному
движению материальной точки. Однако это уже не так в релятивистской механике. В ней ускорение (определяемое обычным образом как
производная от скорости частицы dv/dt) оказывается разным в разных
инерциальных системах отсчета. Поскольку скорость частицы ни в одной системе отсчета не может превысить скорости света, равноускоренное движение в релятивистской механике в течение достаточно большого
промежутка времени в некоторой фиксированной системе отсчета вообще невозможно (в противном случае скорость частицы в этой системе
могла бы превзойти скорость света).
При рассмотрении произвольного движения точки среди всех инерциальных систем отсчета имеется одна выделенная (в каждый данный
момент времени). Это так называемая собственная (или сопутствующая) система, которая движется вместе с частицей и в которой скорость
частицы равна нулю. Понятно, что если частица не движется равномерно и прямолинейно, то в каждый момент времени это, очевидно, будут
разные системы отсчета. Так вот, применительно к этой системе отсчета
можно определить релятивистское равноускоренное движение частицы,
как движение, при котором остается постоянной величина ускорения w
в собственной (в каждый данный момент времени) системе отсчета. Наша цель сейчас будет определить характер этого движения в некоторой
(лабораторной) системе.
9
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 20
Для простоты рассмотрим движение вдоль оси x. Согласно формуле
(4) для сложения скоростей
vx0 + V
vx =
.
vx0 V
1+ 2
c
Вычисляя дифференциал от этой величины получаем
V 0
V2
+ V ) 2 dvx
1− 2
dvx0
0
c
c ¶ .
dvx =
− µ
¶2 = dvx µ
0
2
0
0
v V
vx V
vx V
1 + x2
1+ 2
1+ 2
c
c
c
(vx0
Разделив это выражение на
(41)
(42)
µ
¶
vx0 V
dt 1 + 2
c
dt = r
V2
1− 2
c
(см. (2)), получим связь между ускорениями в системах K и K 0 :
µ
¶3/2
V2
1− 2
dvx
dvx0
c
= 0 µ
¶3 .
dt
dt
vx0 V
1+ 2
c
0
(43)
(44)
Пусть в лабораторной системе отсчета скорость частицы vx = v. В
собственной системе отсчета (для которой V = v) скорость vx0 = 0. Обозначая (постоянное) ускорение в этой системе отсчета через w
dvx0
,
dt0
получаем для ускорения в лабораторной системе
µ
¶3/2
dv
v2
=w 1− 2
.
dt
c
w≡
Отсюда

dv
w=
dt µ
1
v2
1− 2
c
¶3/2
(45)
(46)


v
d 


= r
,
dt 
v2 
1− 2
c
10
(47)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
или
r
Лекция 20
v
= wt + const.
(48)
v2
1− 2
c
Выбирая начальные условия v = 0 при t = 0, имеем const = 0. Тогда
wt
v=r
.
(49)
w2 t2
1+ 2
c
Интегрируя еще раз и полагая x = 0 при t = 0, получим:
Ãr
!
2
2
2
c
w t
x=
1+ 2 −1 .
(50)
w
c
При wt ¿ c эти формулы переходят в известные классические выражения для случая равноускоренного движения
wt2
v = wt,
x=
.
(51)
2
При t → ∞ скорость стремится к постоянному значению, равному скорости света c.
Собственное время равноускоренно движущейся частицы дается интегралом
Zt r
Zt
v2
dt
c
wt
r
τ=
1 − 2 dt =
= Arsh ,
(52)
2 2
c
w
c
w t
0
0
1+ 2
c
где Arsh x функция обратная sh x. При t → ∞ собственное время растет
по значительно более медленному, чем t, закону
c 2wt
τ ≈ ln
.
(53)
w
c
Так, при движении с ускорением w = g ≈ 9.8 м/сек2 , равным ускорению
силы тяжести на поверхности Земли, в течение τ = 10 лет (по часам
космонавта) на Земле при этом пройдет срок
wτ
c
exp
≈ 14430 лет.
(54)
t=
2w
c
При τ = 20 годам, t = 430 млн. лет.
Рассмотренное нами выше релятивистское равноускоренное движение
называют еще гиперболическим 3 . Действительно, связь (50) между
3
В противоположность параболическому движению в классической механике.
11
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 20
координатой и временем при таком движении в лабораторной системе
отсчета можно переписать в виде
µ
¶2
c2
c4
2 2
x+
− c t = 2.
(55)
w
w
В координатах (x, ct) это есть уравнение гиперболы с центром на оси
x в√
точке xc = −c2 /w. Фокусы гиперболы располагаются на расстояниях 2c2 /w от ее центра. Как следует из рис. 2, фотон, посланный из
ct
x
2
c
-_
w
Рис. 2: Гиперболическое движение.
начала координат x = 0, позже момента времени c/w уже не догонит
вылетевшую оттуда частицу в момент t = 0. Интересной особенностью
гиперболического движения является также то, что движущийся таким
образом электрический заряд не излучает электромагнитных волн!
Задачи
1. Два электрона движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями (в лабораторной системе) равными c/2. Найти скорость движения одного электрона относительно другого.
Ответ: v = 4c/5.
2. Инерциальная система отсчета K 0 движется относительно лабораторной системы отсчета K со скоростью V в положительном направлении оси x. Определить скорость v инерциальной системы отсчета
00
K , движущейся в том же направлении, относительно которой скорости движения систем K и K 0 равны по величине и противоположны
12
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
по направлению. Чему равны эти скорости?
Ответ:
q
1 − 1 − β2
V
v=c
, где β = ,
β
c
Лекция 20
VK 0 , K = ± v.
3. Стержень, параллельный оси x, движется в положительном направлении оси y в лабораторной системе отсчета со скоростью v. В системе отсчета ракеты, движущейся в положительном направлении оси
x со скоростью V , этот стержень несколько наклонен вверх в положительном направлении оси x0 . Объясните почему это так и найдите
угол наклона стержня ϕ0 к оси x0 в системе отсчета ракеты.
Ответ:
vV
1
tg ϕ0 = 2 r
.
c
V2
1− 2
c
4. Две системы отсчета движутся со скоростями v1 и v2 . Доказать, что
их относительная скорость удовлетворяет соотношению
v2 =
[v1 × v2 ]2
c2
.
³
´
2
v1 · v2
1−
c2
(v1 − v2 )2 −
5. Тележка катится по длинному столу со скоростью V . По первой тележке в том же направлении со скоростью V относительно нее катится вторая тележка меньших размеров. По второй тележке в том
же направлении со скоростью V относительно нее катится третья тележка и т. д. Общее число тележек равно n. Найти скорость vn n-й
тележки в системе отсчета, связанной со столом. К чему стремиться
vn при n → ∞?
Ответ: пусть β = V /c, тогда
1 − [(1 − β)/(1 + β)]n
vn = c
.
1 + [(1 − β)/(1 + β)]n
При n → ∞ vn → c.
6. Скорость частицы в системе отсчета K 0 , движущейся со скоростью
V в положительном направлении оси x относительно системы отсчета K, равна v 0 и направлена к оси x0 под углом θ0 . Найти угол θ,
образуемый скоростью частицы v относительно оси x в системе отсчета K.
13
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Ответ:
Лекция 20
r
V2
sin θ0
2
c
tg θ =
.
0
v cos θ0 + V
7. Рассмотрите подробнее важный частный случай предыдущей задачи, а именно отклонение света при переходе к другой системе отсчета, — явление, называемое аберрацией света.
Ответ: В этом случае v = v 0 = c и из предыдущей формулы получаем
r
V2
1− 2
c sin θ0 .
tg θ =
V
+ cos θ0
c
Аналогичные формулы можно получить для sin θ и cos θ:
r
V2
V
1− 2
cos θ0 +
c sin θ0 ,
c .
sin θ =
cos θ =
V
V
1 + cos θ0
1 + cos θ0
c
c
В случае V ¿ c находим из предыдущей формулы с точностью до
членов порядка V /c:
v0
1−
V
sin θ0 cos θ0 .
c
0
Вводя угол ∆θ = θ −θ (угол аберрации), находим с той же точностью
V
∆θ = sin θ0 ,
c
т. е. известную элементарную формулу для аберрации света.
sin θ − sin θ0 = −
8. Найти закон преобразования компонент антисимметричного 4-тензора
Aik при преобразовании Лоренца.
Ответ:
V
V
A0 02 + A0 12
A0 03 + A0 13
A01 = A0 01 , A02 = r c
, A03 = r c
,
2
V
V2
1− 2
1− 2
c
c
V
V
A0 13 + A0 03
A0 12 + A0 02
, A13 = r c
, A23 = A0 23 .
A12 = r c
2
2
V
V
1− 2
1− 2
c
c
14
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 20
9. Докажите, что компоненты g ik метрического тензора инвариантны
относительно преобразований Лоренца.
10. Найдите компоненты
вектора 4-ускорения wi .
¡
¢
Ответ: wi = w0 , w , где
a·v
w0 =
µ
c3
v2
1− 2
c
¶2
,
a
w=
µ
c2
v2
1− 2
c
¶
+
v 0
w ,
c
а вектор a = dv/dt — обычное трехмерное ускорение. В системе отсчета, в которой скорость частицы v = 0, вектор 4-ускорения равен:
wi = (0, a/c2 ).
11. Найти связь между ускорениями a и a0 в системах K и K 0 .
Ответ: Согласно формуле (44)
µ
¶3/2
V2
1− 2
c
0
ax = ax µ
¶3 .
vx0 V
1+ 2
c
Аналогичным образом получаем
V2
¸
·
1− 2
¢
¡
V
c ¶ a0 +
ay = µ
a0y vx0 − a0x vy0 ,
y
3
2
0
c
v V
1 + x2
c
и
V2
·
¸
1− 2
V
0
0
0
0
0
c ¶ a + (a v − a v ) .
az = µ
z
x z
3
0
c2 z x
vx V
1+ 2
c
Анекдот
В начале научной карьеры Эйнштейна один журналист спросил госпожу
Эйнштейн, что она думает о своём муже.
— Мой муж гений! – сказала госпожа Эйнштейн. – Он умеет делать
абсолютно всё, кроме денег.
15