Полный текст

УДК 521.75 + 521.73
АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МЕТЕОРНОЙ ФИЗИКИ
ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
М.И. Грицевич 1, 2, 3, В.Т. Лукашенко 1,4, Л.И. Турчак 1
Отдел вычислительной физики, Вычислительный центр РАН имени А.А.
Дородницына, 119333, ул. Вавилова 40, г. Москва
2
Финский геодезический институт, 02431 Масала, Финляндия
3
Физико-технологический институт, Уральский федеральный университет, 620002, ул.
Мира 21, г. Екатеринбург
4
Механико-математический факультет, Московский Государственный Университет
имени М.В. Ломоносова, Москва
1
E-mail: gritsevich@ccas.ru, lukashenko@ccas.ru, turchak@ccas.ru
В работе рассмотрена возможность приближения элементарными функциями
аналитического решения уравнений метеорной физики, применяемого для описания
траекторий и нахождения определяющих параметров метеорных тел, входящих в
атмосферу Земли. Показана возможность замены аналитического решения на склейку по
одному параметру из двух элементарных функций. Приведены оценки погрешности
предложенной замены. Исследована величина функционала ошибки при аппроксимации
метеорных наблюдательных данных.
Ключевые слова: интегральная экспонента, аналитическое решение, аппроксимация,
атмосферная траектория, метеор, торможение, абляция
APPROXIMATION BY ELEMENTARY FUNCTIONS FOR THE SOLUTION OF
METEOR PHYSICS EQUATIONS
M.I. Gritsevich 1, 2, 3, V.T. Lukashenko 1, 4, L.I. Turchak 1
1
Department of Computational Physics, Dorodnicyn Computing Centre, Russian Academy of
Sciences, 119333 Moscow, Russia
2
Finnish Geodetic Institute, PO Box 15, 02431 Masala, Finland
3
Institute of Physics and Technology, Ural Federal University, 620002 Ekaterinburg, Russia
4
Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia
In this paper we examine the possibility of approximation by elementary functions for the
analytical solution of meteor physics equations, used to describe the trajectory and to evaluate the
defining parameters of meteoroids entering the Earth's atmosphere. We show the possibility to
replace the analytical solution with the concatenation of two elementary functions along one
parameter. We provide estimates for the error of the proposed replacement. We investigate the
error functional value in the approximation of meteor observational data.
Keywords: exponential integral, analytical solution, approximation, atmospheric trajectory,
meteor, meteoroid, deceleration, ablation.
1. Введение
Относительно недавно была предложена простая и при этом достаточно надёжная
модель определения параметров метеорных тел, входящих в атмосферу, на основе
аналитического решения уравнений метеорной физики [1, 2]. Данное решение
представляется для безразмерных величин как зависимость высоты y от скорости v и
параметров  и  , именуемых соответственно баллистическим коэффициентом и
параметром уноса массы, и записывается в виде:
y  ln     ln

,
2
(1)
x
e z dz
  Ei(  )  Ei(  v ), Ei( x)  
z

2
Поскольку параметры метеорного тела  ,  априорно неизвестны, то вводится
функционал ошибки, для которого ищется локальный минимум
n
G    2 exp   yi   i exp     
 min ,
2
(2)
,
i 1
i  Ei(  )  Ei(  vi2 ) , i  1,..., n по известным точкам наблюдений  vi , yi  .
Формально здесь значения скорости v принадлежат единичному отрезку, однако на
практике
возможность
отслеживания
траектории
метеорного
тела
ограничена
светящимся участком траектории метеора и областью обзора регистрирующих камер.
Так что для большинства метеоров безразмерные значения наблюдаемой скорости
v 0.3; 1.0 [3, 4]. При этом также присутствуют физические ограничения на
коэффициенты   0,   0 [5].
Особенностью решения (1) является наличие интегральной экспоненты. Отметим,
что для её вычисления существует простой и точный алгоритм [6], дающий вплоть до 15
знаков после запятой. Однако на практике такая точность является избыточной,
поскольку наблюдательные данные едва ли гарантируют второй знак после запятой при
вычислении скорости метеорных тел. Кроме того, помимо задач, в которых детально
анализируются конкретные метеорные события, например [7, 8], актуальность
представляют также и более простые методы анализа, позволяющие в сжатые сроки
обработать большой наблюдательный материал (до десятков тысяч метеорных
регистраций), предоставляемый в рамках крупных международных проектов по
метеорному мониторингу [9, 10, 11]. Такой подход, в частности, позволяет ответить на
ряд статистических вопросов о распределении метеорных параметров и выделить группу
событий, представляющих особый интерес для дальнейшего, более тщательного
изучения. Другими словами, интересен вопрос об аналитических свойствах решения и
альтернативах для оперативного нахождения подходящих параметров  ,  по данным
наблюдений. В данной статье рассматривается вопрос о качественном приближении
решения (1) элементарными функциями, который до сих пор оставался открытым [12].
В монографии [13] отмечено, что при β < 2 функцию (1) можно заменить на
y  ln   ln   ln v   0.83 (1  v) ,
(3)
а при   3 среднестатистическое отличие получаемых коэффициентов  ,  составляет
около 5% [5].
При этом для   1 была получена функция приближения вида
y  ln  2


1  e  (v
2
1)
  ,
(4)
которая представляет самостоятельный интерес и, в частности, может быть успешно
применена для вычисления высоты погасания метеорного тела [14, 15].
Цель данной работы состоит в улучшении данной аппроксимации, поскольку
предложенные функции (3), (4) всё же значительно отличаются от точного
аналитического решения при определённых значениях параметров.
2. Функция приближения для больших значений параметра уноса массы 
Рассмотрим вопрос об исправлении функции (4) путём замены     A ,
потребовав для этого выполнение равенства с точным решением (1) в точках y(v) для
v 0.3; 1.0 при фиксированных значениях параметров  ,  :
 2    A 

ln 
 ln     ln

2

  A(v 1) 
2
 1  e

 A


 A v2  1 
e  e    v2 1  A v2 1

e
e



 A v 2 1  e 
e    v 2 1 2
e
v 1 e

   v2  1  0 ,
 








 e

   v 2  1 , получим
сделав замену x  A v 2  1  
 






xe x 
e
 v2




v2  1
 e
 2
    v 1


e


 e
 2


2
    v 1

v
e



x W 
v 2  1 e
,







где W – функция, обратная к z  xe x , называемая функцией Ламберта [16].
Тогда для функции

  A( v 2 1)  
y  ln  2    A  1  e




(5)
имеем явное выражение
 e
 2


2
    v 1

v
 2
e
  e

2

W
v  1 e




 v  1
 

 
  


A
,
v2  1




(6)
где W – функция Ламберта.
При этом, для отрицательных значений аргумента функция Ламберта W является
двухзначной [16]. Однако для приближения возможно использовать лишь основную
ветвь W0, соответствующую значениям W ( z )  1 , так как отрицательная ветвь W-1 не
будет соответствовать наложению на точное решение.
Рис.1. Поведение функции A(β, v) и предлагаемого приближения A1(β, v).
Точками отмечены значения соответствующие v = 0.3
Как видно из рис. 1, найденная функция A = A(β, v) достаточно нетривиальна.
Поэтому мы рассмотрим её замену константой A0  1.1, а также линейной функцией от v
A1  1.0  1.0  v 
2.5

с углом наклона обратно пропорциональным параметру уноса
массы  .
2. Анализ погрешностей
Проведём численный анализ погрешностей полученного приближения при помощи
равномерной сетки h с постоянным шагом h . Для этого используем нормы
Y
ch
 max Yi ,
vih
Y
L1 ,h
h

vih
Yi
При этом рассмотрим абсолютную погрешность  Y , Z   Y  Z
погрешность вида  Y , Z   1  Y Z
(7)
и относительную
– в силу положительности функций на
рассматриваемом участке скоростей v и особенностей функций в точке v = 1.0.
Для простоты изложения избавимся от зависимости от параметра  в функциях
(5), (1), и обозначим получившиеся функции как
 2    A 

Y   , v   ln 
 , Z   , v     ln
2



A
(
v

1)

2
 1  e

(8)

h
3.0
10-6
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10-6
10-6
10-6
10-6
10-6
10-6
10.0 10-6
15.0 10-6
20.0 10-6
25.0 10-6
-6
30.0 10
-6
40.0 10
-6
50.0 10
Таблица 1. Погрешности при A0/A1 на [0.3; 1.0)
 Y , Z  L
 Y , Z C
 Y , Z C
 Y , Z  L
0.176764
0.037498
0.130589
0.025055
0.010883
0.118432
0.004168
0.027009
0.007484
0.069115
0.002534
0.014893
0.022751
0.076538
0.003818
0.018970
0.013277
0.038140
0.002115
0.009135
0.017880
0.048294
0.005291
0.013086
0.008910
0.021504
0.002520
0.005697
0.010626
0.030033
0.004875
0.008909
0.004732
0.012294
0.002098
0.003585
0.008238
0.018484
0.004000
0.005996
0.003327
0.007087
0.001595
0.002264
0.007096
0.011225
0.003150
0.003982
0.002691
0.004082
0.001182
0.001426
0.006142
0.006636
0.002476
0.002595
0.002215
0.002310
0.000884
0.000887
0.005343
0.002871
0.002061
0.000997
0.001848
0.000829
0.000707
0.000293
0.002916
0.002643
0.001085
0.001515
0.000874
0.000715
0.000324
0.000413
0.001810
0.002425
0.000661
0.001559
0.000497
0.000622
0.000181
0.000401
0.001229
0.002224
0.000441
0.001484
0.000317
0.000546
0.000113
0.000364
0.000887
0.001879
0.000313
0.001879
0.000218
0.000431
0.000077
0.000293
0.000525
0.001608
0.000181
0.001103
0.000120
0.000350
0.000041
0.000240
0.000346
0.000118
0.000075
0.000025
1, h
h
h
1, h
Полученные результаты (таблица 1) показывают, что при использовании
константы A0 в функции (5) погрешности будут порядка 0.2 при  ~3, при  >5
погрешности быстро убывают с ростом параметра  , и уже при  >8 не превышают
0.02. При использовании же линейной функции A1(β, v) погрешности в целом будут
меньше 0.023.
3. Влияние на величину функционала ошибки
Из-за особенности решения (1) в точке v = 1, в качестве критерия для нахождения
параметров  ,  используется условие минимизации особого функционала ошибки (2).
Чтобы оценить погрешности, вносимые приближением в этот функционал при поиске
параметров, аналогично рассмотрим абсолютные и относительные погрешности (7)
функций e-Y, e-Z для (8).
Таблица 2. Погрешности при A0/A1 на [0.3; 1.0)

h
3.0
10-6
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10-6
10-6
10-6
10-6
10-6
10-6
10.0 10-6
15.0 10-6
20.0 10-6
25.0 10-6
Δ(e , e-Z) Ch
-Y
Δ(e-Y, e-Z) L1,h
δ(e-Y, e-Z) Ch
δ(e-Y, e-Z) Ch
0.041852
0.007928
0.162023
0.035604
0.002603
0.020129
0.000804
0.004244
0.010943
0.111688
0.004184
0.026062
0.004054
0.009904
0.000624
0.002322
0.022494
0.073682
0.003796
0.018524
0.002382
0.004990
0.000645
0.001297
0.017721
0.047146
0.005263
0.012884
0.001118
0.002571
0.000476
0.000736
0.010570
0.029586
0.004854
0.008821
0.000690
0.001349
0.000325
0.000423
0.008204
0.018314
0.003987
0.005959
0.000506
0.000713
0.000219
0.000243
0.007071
0.011163
0.003141
0.003968
0.000382
0.000373
0.000150
0.000139
0.006123
0.006614
0.002470
0.002590
0.000295
0.000092
0.000111
0.000033
0.005329
0.002876
0.002057
0.000997
0.000103
0.000066
0.000038
0.000039
0.002911
0.002647
0.001085
0.001516
0.000047
0.000049
0.000017
0.000032
0.001809
0.002428
0.000661
0.001561
0.000025
0.000009
0.001228
0.000440
-6
30.0 10
-6
40.0 10
-6
50.0 10
0.000038
0.000025
0.002226
0.001486
0.000015
0.000024
0.000005
0.000016
0.000887
0.001880
0.000313
0.001282
0.000006
0.000016
0.000002
0.000011
0.000542
0.001610
0.000181
0.001104
0.000003
0.000001
0.000346
0.000118
Как видно из таблицы 2 для функционала ошибки абсолютные погрешности
становятся меньше, однако возрастает роль относительных погрешностей. Тем не менее,
общий характер поведения погрешностей сохраняется.
4. Склейка элементарных функций
Помимо исправления функции (4) необходимо рассмотреть вопрос о её склейке с
функцией (3). В принципе, можно, как и ранее, потребовать выполнения равенства этих
двух функций в точках y(v) для v 0.3; 1.0
 2    C  
ln 
  ln   ln   ln v   0.83 (1  v)

 C (v 2 1) 
 1  e

тогда, проведя аналогичные выкладки, получим
 e0.83  1v 




   v 2 1   0.83 1v 
 e0.83 1v    v2 1 2



2ln v
e

W 
e
v  1 e
   v2  1


2 ln v

  2 ln v





,
C
v2  1




где W – функция Ламберта.
Однако приведённая функция является крайне нелинейной и плохо совмещается с
приведённой для приближения формулой (6). Если же численно в представленных
нормах (7) искать минимум модуля разности между приближениями (3) и (5) по
параметру  , то получим значения   3.04 в норме Ch,   2.91 в норме Lh для A0, а
также значения   2.2 в норме Ch,   2.24 в норме Lh для A1. Однако такой подход не
является оптимальным для уменьшения погрешностей склейки с точным решением (1).
Рис.2. Погрешности в норме Ch по отношению к точному решению (1). Сплошная чёрная линия
соответствует приближению (3) для β < 3; штриховая серая – предлагаемому приближению с
A1(β, v) для β > 3, пунктирная серая – приближению с A0 для β > 3.
Анализ расхождения приближений (3) и (5) с точным решением (1) показывает, что если
использовать норму Ch – см. рис. 2, – то оптимальной оказывается несколько другая
склейка. Как показывают расчёты, при использовании A1(β, v) оптимально будет склеить
функции при   2.89 для A0 и при   2.09 для A1(β, v). В норме же Lh картина будет
аналогичной,
но
точки
пересечения
погрешностей
будут
лежать
правее,
и
соответственно оптимальной будет склейка при   2.88 для A0 и   2.23 для A1(β, v).
5. Заключение
В рассматриваемом диапазоне скоростей v 0.3; 1.0 для параметров   0,   3
аналитическое решение уравнений метеорной физики с хорошей точностью можно
заменить функцией вида


2
y  ln  2 (   Ai ) 1  e(   Ai )(v 1)  , i = 0, 1


A0  1.1,
A1  1.0  1.0  v 
2.5

Это позволяет полностью заменить аналитическое решение уравнений метеорной
физики (1) на элементарные функции, используя для небольших значений параметра
уноса массы β функцию
y  ln   ln   ln v   0.83 (1  v) .
Так как в приводимых наблюдателями данных количество точек для траектории
отдельного метеорного тела
обычно не
превышает
нескольких
десятков, то
оптимальным значением для склейки будет   2.89 при использовании A0, и   2.1
при использовании A1.
Отметим, что в случае использования A0, в целом, можно рассчитывать на
среднестатистическое отклонение получаемых параметров порядка 5-10%. В случае же
использования нелинейной функции A1 приближение получается на порядок лучше, и
погрешность при использовании склейки будет лежать в пределах 1-2%.
Авторы выражают благодарность рецензенту за внимательное ознакомление с
текстом и полезные замечания, позволившие улучшить работу. Исследования проведены
при частичной поддержке РФФИ, гранты номер 12-07-00697, 13-07-00276, и 14-0800204.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Including English version of the references (where applicable) for the journal "Mathematical Models
and Computer Simulations"
1. M.I. Gritsevich. Determination of Parameters of Meteor Bodies based on flight Observational
Data // Advances in Space Research 44, 2009, p.323-334.
2. М.И. Грицевич. Идентификация динамических параметров болидов // Вестник МГУ,
сер.1, Математика, механика, 2008, №1, с.38-42.
англ. пер.: M.I. Gritsevich. Identification of Fireball Dynamic Parameters // Moscow
University Mechanics Bulletin, 2008, 63(1), 1-5, http://dx.doi.org/10.1007/s11971-008-
1001-5
3. G.W. Wetherill, D.O. ReVelle. Which fireballs are meteorites – A study of the Prairie Network
photographic meteor data // Icarus, 1981, 48, p.308-328.
4. I. Halliday, A.A. Griffin, A.T. Blackwell. Detailed data for 259 fireballs from the Canada camera
network and inferences concerning the influx of large meteoroids // Meteoritics & Planetary
Science, 1996, v.31, p.185-217.
5. М.И. Грицевич Приближение наблюдаемого движения болидов аналитическим решением
уравнений метеорной физики // Астрономический вестник, 2007, т.41, №6, с.548-554.
англ. пер.: M.I. Gritsevich. Approximation of the Observed Motion of Bolides by the
Analytical Solution of the Equations of Meteor Physics // Solar System Research, 2007, 41(6),
509-514, http://dx.doi.org/10.1134/S003809460706007X
6. Н.Н. Калиткин, И.А. Панин. О вычислении интегральной экспоненты // Математическое
моделирование, 2008, т.20, №1, с.87-91.
англ. пер.: N.N. Kalitkin, I.A. Panin. On the computation of the exponential integral //
Mathematical Models and Computer Simulations, 2009, v. 1(1), p. 88-90,
http://dx.doi.org/10.1134/S2070048209010098
7. В.В. Винников, М.И. Грицевич, В.Т. Лукашенко. Траектория и орбитальные
характеристики Челябинского метеороида // Сборник тезисов докладов научной
конференции "Ломоносовские чтения", Секция механики. – М.: Изд. Московского
университета, 2013, ISBN 978–5–19–010860–6, c.34-36.
англ.: V.V. Vinnikov, M.I. Gritsevich, V.T. Lukashenko. Trayektoriya i orbital'nyye
kharakteristiki Chelyabinskogo meteoroida // Sbornik tezisov dokladov nauchnoy
konferentsii "Lomonosovskiye chteniya", Sektsiya mekhaniki. – M.: Izd. Moskovskogo
universiteta, 2013, ISBN 978–5–19–010860–6, p.34-36.
8. М.И. Грицевич Анализ атмосферных траекторий для падений Пржибрам, Лост_Сити,
Иннисфри, Нойшванштайн // Астрономический вестник, 2008, т.42, №5, с.397-417.
англ. пер.: M.I. Gritsevich. The Pribram, Lost City, Innisfree, and Neuschwanstein Falls: An
analysis of the Atmospheric Trajectories // Solar System Research, 2008, 42(5), 372-390,
http://dx.doi.org/10.1134/S003809460805002X
9. R.J. Weryk, P.G. Brown, A. Domokos, W.N. Edwards, Z. Krzeminski, S.H. Nudds, D.L. Welch.
The Southern Ontario All-sky Meteor Camera Network // Earth, Moon, and Planets, 2008,
v.102, p.241-246.
10. Jenniskens P., Gural P.S., Dynneson L., Grigsby B.J., Newman K.E., Borden M., Koop M.,
Holman D. CAMS: Cameras for Allsky Meteor Surveillance to establish minor meteor showers
// Icarus, 2011, v.216, issue 1, p.40-46.
11. J. Kero, C. Szasz, T. Nakamura, D.D. Meisel, M. Ueda, Y. Fujiwara, T. Terasawa, K.
Nishimura., J. Watanabe. The 2009-2010 MU radar head echo observation programme for
sporadic and shower meteors: radiant densities and diurnal rates // Monthly Notices of the
Royal Astronomical Society, 2012, v.425(1), p.135-146.
12. P. Gural. A Meteor Propagation Model based on Fitting the Differential Equations of Meteor
Motion // Proceedings of the International Meteor Conference 2012: Eds.: Gyssens, M.,
Roggemans, P. International Meteor Organization, ISBN 978-2-87355-024-4, p.130-132.
13. В.П. Стулов, В.Н. Мирский, А.И. Вислый. Аэродинамика болидов.- М.: Наука, Физматлит,
1995, 236 с.
англ.: V.P. Stulov, V.N. Mirskiy, A.I. Vislyy. Aerodinamika bolidov.- M.: Nauka,
Fizmatlit, 1995, 236 p.
14. М.И. Грицевич, Н.В. Попеленская Траектории метеоров и болидов при больших
значениях параметра уноса массы // Доклады Академии Наук, 2008, т.418, №4, с.477-481.
англ. пер.: M.I. Gritsevich, N.V. Popelenskaya. Meteor and Fireball Trajectories for High
Values of the Mass Loss Parameter // Doklady Physics, 2008, 53(2), 88-92,
http://dx.doi.org/10.1134/S1028335808020092
15. Н.В. Попеленская Зависимость высоты погасания малых метеорных тел от их параметров
// Вестник МГУ, сер.1, Математика, механика, 2010, №4, с.65-68.
англ. пер.: N.V. Popelenskaya. Dependence of the height of disappearance for small meteoric
bodies on their parameters // Moscow University Mechanics Bulletin, 65(4), 90-93,
http://dx.doi.org/10.3103/S0027133010040047
16. А.Е. Дубинов, И.Д. Дубинова, С.К. Сайков. W-функция Ламберта и её применение в
математических задачах физики.- Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2006, 160 с.
англ.: A.E. Dubinov, I.D. Dubinova, S.K. Saykov. W-funktsiya Lamberta i yeyo
primeneniye v matematicheskikh zadachakh fiziki.- Sarov: FGUP «RFYATSVNIIEF», 2006, 160 p.