электричество и магнетизм - Уфимский государственный

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА ФИЗИКИ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА.
КОЛЕБАНИЯ
И
ВОЛНЫ
Учебно-методическое пособие
для студентов заочной формы обучения
к выполнению контрольных работ № 3, 4
Уфа 2010
Учебно-методическое пособие содержит краткие теоретические положения курса физики по разделам «Электродинамика. Колебания и волны», примеры решения задач и 10 вариантов контрольных работ № 3, 4. Предназначено
для студентов заочного обучения всех факультетов УГНТУ, в том числе для
изучения материала при дистанционной форме обучения.
Составители:
Лейберт Б.М., доц., канд. тех. наук
Маненкова Л.К., доц., канд. физ. − мат. наук
Рецензент
Пестряев Е.М., доц., канд. физ. − мат. наук
© Уфимский государственный нефтяной технический университет,
1-е изд.,
2004
© Уфимский государственный нефтяной технический университет,
2-е изд., дополненное, 2007
© Уфимский государственный нефтяной технический университет,
3-е изд., стереотипное, 2010
1
ВВЕДЕНИЕ
Процесс изучения физики на заочном отделении состоит из следующих
этапов:
1 посещение и проработка установочных и обзорных лекций;
2 самостоятельная работа с теоретическим изложением дисциплины;
3 выполнение контрольных работ;
4 выполнение лабораторного практикума во время экзаменационной и установочной сессий;
5 сдача зачетов и экзаменов.
Для самостоятельной работы предлагается учебное пособие, содержащее
теоретические основы электричества и магнетизма. Пособие содержит все требуемые рабочей программой сведения в краткой систематизированной форме.
Проверку полученных знаний можно осуществить с помощью контрольноизмерительных материалов (КИМ), имеющихся в электронной форме на сайте
УГНТУ, доступном из читального зала.
В процессе обучения студент должен выполнить 6 контрольных работ, в
том числе после прочтения настоящего пособия: третья контрольная работа –
по электричеству и четвертая контрольная работа – по магнетизму. Каждая контрольная работа включает десять задач. Номер варианта определяется последней цифрой номера зачетной книжки студента (0 => 10, 1 =>1, 2 =>2 и т.д.).
При оформлении контрольной работы необходимо соблюдать следующие
правила:
1 на титульном листе тонкой школьной тетради указывать номер контрольной работы, наименование дисциплины, фамилию и инициалы студента,
шифр и домашний адрес;
2 текст задач своего варианта переписывать полностью, а заданные условия выписать отдельно, при этом численные значения должны быть переведены
в систему единиц измерения СИ;
3 для пояснения решения задачи представлять, где это нужно, чертеж с
теми же обозначениями величин, что и в решении;
4 решения задач и формулы сопровождать пояснениями, указывая те основные законы и формулы, на которых базируется решение;
5 при использовании расчетной формулы необходимо приводить её вывод;
6 рекомендуется решение задачи сделать сначала в общем (формульном)
виде;
7 вычисления проводить путем подстановки числовых величин в окончательную расчетную формулу;
8 проверить размерность полученного результата;
9 округлить полученный результат с учетом точности исходных данных.
Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, оцениваться
не будут.
При повторном рецензировании обязательно представлять работу с пер-
2
вичной рецензией.
Таким образом, промежуточный контроль, результатом которого является
допуск к сдаче экзамена или зачет, включает:
1 выполнение и защиту лабораторных работ в соответствии с расписанием деканата;
2 выполнение контрольных работ № 3 и № 4 и получение по ним положительной рецензии.
Заключительной аттестацией является сдача экзамена по физике (часть 2),
которая пока проводится очно. Однако развитие системы дистанционного образования предусматривает в будущем проведение компьютерной аттестации
студентов.
3
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
В основе всех физических явлений лежит взаимодействие между телами
или частицами, участвующими в этих явлениях. Так, в механике рассматривались силы тяготения, упругости, трения. Из них лишь закон тяготения является
фундаментальным – он справедлив во всех случаях, независимо от строения
тел и условий, где они находятся. Законы же для сил трения и упругости не являются фундаментальными. В формулы, отражающие эти законы, входят опытные коэффициенты, и сами формулы справедливы не всегда. Трение и упругость проявляются как усреднение большого числа взаимодействий между атомами и молекулами. Такое взаимодействие не имеет гравитационной природы,
т.к. тела сопротивляются не только растяжению, но и сжатию – между частицами тела могут возникать не только притяжение, но и отталкивание, а это есть
проявление нового типа взаимодействия – электромагнитного.
Электромагнитное взаимодействие – фундаментальное взаимодействие, в
котором участвуют частицы, имеющие электрический заряд. Это взаимодействие обуславливает существование атомов, молекул, является причиной действия сил между атомами и молекулами газов, жидкостей и твердых тел. По силе
электромагнитное взаимодействие значительно превосходит гравитационное.
Электромагнитное взаимодействие передается через электромагнитное
поле, скорость распространения которого равна скорости света в пустоте. Такое
представление лежит в основе концепции близкодействия, которая затем была
распространена и на другие виды взаимодействий.
Изучением электромагнитного взаимодействия в вакууме и различных
средах и занимается классическая электродинамика.
1.
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Электрический заряд и напряженность электрического поля. Дискретность заряда.
Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Электрический диполь. Поток вектора. Электростатический закон Гаусса. Работа электростатического поля.
Потенциал. Связь напряженности и потенциала электростатического поля.
Проводник в электрическом поле. Идеальный проводник. Поверхностная
плотность заряда. Граничные условия на границе «проводник – вакуум». Электростатическое поле в полости. Электростатическая емкость. Емкость
конденсаторов. Электростатическая индукция.
Энергия взаимодействия электрических зарядов. Энергия системы заряженных проводников. Энергия конденсатора. Плотность энергии электростатического поля.
Плоский конденсатор с диэлектриком. Энергия диполя во внешнем электростатическом поле. Поляризационные заряды. Поляризованность. Неоднородная поляризованность. Электрическое смещение. Основные уравнения
электростатики диэлектриков. Граничные условия на границе «диэлектрик –
4
диэлектрик» и «проводник – диэлектрик». Плотность энергии электростатического поля в диэлектрике.
1.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД
Электрический заряд (q, Q) есть физическая величина, выражающая
свойства частиц вступать в электромагнитное взаимодействие. Опытные данные о взаимодействиях сводятся к следующему:
1. Заряды бывают двух типов. Одни из них условились называть положительными, другие – отрицательными.
2. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные заряды – притягиваются.
В природе существует наименьший возможный заряд – элементарный
заряд е. Носителем такого заряда являются элементарные частицы: электроны
-е и протоны +е. Заряды других частиц могут быть кратными элементарному: q = e, 2e, 3e, …. Заряд является дискретной величиной.
3. Тела, не участвующие в электромагнитном взаимодействии, называются
нейтральными. У таких тел число положительных зарядов равно числу отрицательных.
4. Полный заряд изолированной системы остается постоянным. Это есть фундаментальный закон сохранения электрического заряда.
Обычно рассматриваются либо точечные заряды, либо заряженные тела,
для которых пользуются понятиями линейной плотности заряда τ = dq dl , поσ = dq ds ,
объемной плотности заряда
верхностной плотности заряда
ρ = dq dV . Единица заряда – производная. В СИ это 1 кулон (Кл). Элементар−19
ный заряд при этом e = 1,6 ⋅ 10 Кл.
1.2. ЗАКОН КУЛОНА
Основным фундаментальным законом электрических сил является закон
Кулона, который устанавливается для точечных зарядов в вакууме:
qq
qq
F = k 1 22 (1.1)
или
F = k 1 32 r , (1.2)
r
r
где
k=
1
4πε 0
= 9 ⋅ 109 Нм 2 / Кл 2 ,
а
ε 0 = 8,85 ⋅ 10− 12 Кл 2 / Нм 2
электрическая постоянная
Сила взаимодействия направлена по прямой линии, соединяющей заряды.
Закон Кулона автоматически устанавливает и знак силы (рис. 1.1).
Если заряды находятся в вакууме, то сила их взаимодействия становится
меньше. Формально это учитывается опытным коэффициентом – диэлектрической
±q1
r
±q2
F>0
±q1
Рис. 1.1
r
F < 0 ±q2
5
проницаемостью среды ε (ε ≥ 1). Тогда
F = k ⋅ q1q2 ε r 2 .
(1.3)
1.3. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Так как в закон Кулона входит произведение зарядов, то сила, действующая на некоторый заряд q со стороны другого заряда Q, может быть записана
так:
F = qЕ ,
(1.4.)
где Е – вектор, определяемый только зарядом Q, являющимся источником
электрического поля, который является силовой характеристикой поля. В СИ
измеряется в единицах Н/Кл или В/м (1 В – вольт, единица потенциала в СИ).
Если источником поля служит точечный заряд Q, то создаваемая им напряженность в соответствии с (1.1) равна
E = kQ r 2 .
(1.5)
Если же поле создается системой точечных зарядов Q1, Q2, Q3, …, то
создаваемая ими напряженность поля равна
Е = Е1 + Е2 + Е3 + …
(1.6)
Это утверждение называют принципом суперпозиции (наложения) электрических полей. Он выражает фундаментальные свойства электрических
взаимодействий: электриE+
r
ческое
взаимодействие
между двумя зарядами не
E
E
зависит от присутствия
l
-q
+E третьего заряда.
E+q
EОдной из часто используемых в физике сисr
тем электрических заря-q
+q
Рис. 1.2 дов является электричеl
ский диполь – система из
двух точечных зарядов +q и -q, расстояние l между которыми мало по сравнению с расстоянием r до некоторой точки поля (l << r). Создаваемая диполем напряженность поля зависит от величины дипольного момента
p = q l.
(1.7)
Дипольным моментом обладают многие молекулы, например, СО, Н2О
и др. Пользуясь формулами (1.5), (1.6) и (1.7), можно найти напряженность
поля диполя. Так, для двух случаев (рис. 1.2) напряженность поля равна:
1
p
1
2p
E=
⋅ 3
E=
⋅ 3
4π ε 0 r
4π ε 0 r
1.4. ТЕОРЕМА ГАУССА
Для наглядного описания электрического поля используют силовые линии (линии напряженности). Силовой линией называют линию, направление
6
касательной в каждой точке которой совпадает с направлением Е. Условились так проводить силовые линии,
чтобы их густота – число линий, пронизывающих единицу поверхности площадки, перпендикулярной линиям,
была численно равна значению Е (рис. 1.3). Силовые
линии начинаются и заканчиваются на электрических зарядах, либо уходят в бесконечность.
a
б
Е
Рис. 1.3
α
n
E
S
S
S1
Рис. 1.4
Естественно предположить, что напряженность электрического поля пропорциональна заряду, который его создает. Чтобы установить эту закономерность, вводят понятие потока вектора напряженности ФЕ. Эта величина
равна полному числу силовых линий, пронизывающих данную площадь перпендикулярно ей. Если напряженность электрического поля перпендикулярна
площадке (рис. 1.4), то
ФЕ = Е S .
(1.8)
Если площадка S не перпендикулярна Е, то
ФЕ = E S1 = E S cosα .
(1.9)
Для неоднородного поля (общий случай)
ФЕ = ∫ En dS .
(1.10)
Основное соотношение между источником и полем можно выразить с
помощью потока вектора напряженности через замкнутую поверхность, охватывающую данный заряд. Этот поток является мерой полного воздействия заряда на пространство, окружающее его: поток ФЕ пропорционален заряду,
или
ФЕ = ∫ En dS = Q ε 0 .
(1.11)
Для системы зарядов Q = q1 + q2 + …
Формула (1.11) выражает теорему Гаусса. Она является основной теоремой электростатики и выражает тот факт, что электрические заряды являются
источниками электрического поля. Кроме того, эта теорема позволяет вычислять напряженности полей, создаваемые заряженными телами простой формы.
Так, например,
7
сфера (шар)
Плоскость
EA =
Q
4π ε 0 r
Q
EA =
.
2ε 0
2
R
.
r
σ
σ
.
ε0
τ
.
EA =
2π ε 0 x
Две плоскости E A =
Нить
A
A
x
+σ
-σ
A
1.5. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Сила взаимодействия электрических зарядов, как и сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами (F ~ 1/r2). Поэтому
можно заключить, что электрическое поле, как и гравитаци- 1
а
онное является потенциальным, т.е. работа перемещения заряда в электрическом поле не зависит от формы пути, а при
этом перемещении заряда по замкнутому пути равна нулю. Из
в
рис. 1.5 видно, что
2
2
1
A = A12 + A21 = F1dl + F1dl = F1dl = 0,
Рис. 1.5
1
2
∫
∫
∫
т.к. F1 = qF1, где F1 и Е1 – проекции F и E на направление перемещения, то
∫ L E1dl ≡ 0
(1.12)
Это утверждение называют теоремой о циркуляции вектора Е. Формула
(1.12) является математическим выражением потенциальности электрического
поля. В потенциальном поле любое тело обладает соответствующей потенциальной энергией W. Этой энергией будет обладать и заряд q, находящийся в
электрическом поле.
Потенциальная энергия, приходящаяся на единицу положительного заряда, называется потенциалом электрического поля ϕ.
ϕ = W q.
(1.13)
В СИ единица потенциала 1 вольт (В) = 1 Дж/1 Кл. Потенциал – скалярная величина, являющаяся энергетической характеристикой электрического
поля. Если источник поля – точечный заряд Q, то
ϕ = k Q r,
(1.14)
а если поле создано системой точечных зарядов Q1, Q2, …, то
kQ
ϕ = ∑ ϕi = ∑ i
ri
Всегда работа равна убыли потенциальной энергии:
8
A12 = W1 − W2 ,
или
A12 = q (ϕ1 − ϕ 2 ).
(1.15)
Сопоставляя формулу (1.15) с выражением для работы силы
dA12 = F dl cos α = Fl dl = qEl dl , можно записать
El = − dϕ dl ,
(1.16)
где l – произвольное направление в пространстве.
Итак, напряженность равна градиенту потенциала со знаком минус.
1.6. ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Все тела в природе можно условно разделить по их электрическим свойствам на два класса – проводники и диэлектрики. К проводникам обычно относят все металлы, в которых имеется много «свободных» электронов, оторвавшихся от ионов кристаллической решетки и свободно перемещающихся по металлу.
Если к проводнику добавить или отнять часть электронов, то он оказывается заряженным отрицательно или положительно. Избыточные заряды могут
перемещаться по проводнику только под действием внешнего поля.
При равновесии зарядов на заряженном проводнике направленное движение отсутствует. Это означает, что поле внутри проводника равно нулю. Согласно теореме Гаусса отсутствие поля внутри проводника приводит к отсутствию внутри него и избыточного заряда, а также как следует из формулы (1.16),
постоянству потенциала внутри проводника. Таким образом, внутри заряженного проводника Е = 0, Q = 0, ϕ = const.
Потенциал на поверхности проводника
также постоянен, что следует из непрерывности
E
потенциала как функции координат, поэтому
линии электрического поля в среде, окружающей проводник, должны быть перпендикулярE=0
ны к поверхности проводника, которая является эквипотенциальной (рис. 1.6). ЭлектричеQ=0
ские заряды располагаются лишь вдоль поверхности проводника с некоторой плотностью σ и
создают вне его электрическое поле, напряженность которого пропорциональна поверхностРис. 1.6
ной плотности зарядов E = En = σ ε 0 .
Заряды в состоянии равновесия распределяются на поверхности проводника всегда независимо от их возникновения. Если замкнутый полый проводник находится во внешнем электрическом поле, то на нем появляются индукционные заряды (рис. 1.7). Эти заряды также располагаются только на внешней
поверхности, а электрическое поле внутри проводника и в полости будет равно
нулю. Этим пользуются для устройства электрической защиты.
9
+
Е=0
Рис. 1.7
1.7. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ
Увеличение заряда на проводнике пропорционально увеличению напряженности поля, что приводит в свою очередь к возрастанию потенциала проводника. Следовательно, потенциал проводника пропорционален его заряду:
Q = C ϕ.
(1.17)
Коэффициент пропорциональности С называют электроемкостью. Она
численно равна заряду, который надо сообщить уединенному проводнику, чтобы повысить его потенциал на единицу. Эта величина характеризует способность тел накапливать электрические заряды. Электроемкость проводника не
зависит от материала проводника, а зависит лишь от его формы, размеров и
свойств среды, где находится проводник. Так, например, емкость проводящей
сферы (шара) C = 4π ε 0 R.
В СИ единица емкости 1 Фарад (Ф) = 1 Кл/1 В. При этом емкость Земли (R = 6370 км) составляет около 700 мкФ.
Если к заряженному проводнику приблизить другой проводник, то емкость первого будет возрастать. Это вызвано тем, что под действием поля заряженного проводника на поднесенном к нему другом проводнике возникают индуцированные заряды противоположного знака, поле которого ослабляет поQ
Q
⇒ C/ =
> C , где ϕ’ – потенциал поля интенциал данного: C =
/
ϕ
ϕ −ϕ
дуцированных зарядов. Это позволило создать устройства, основанные на свойстве проводников увеличивать свою емкость в присутствии других проводников – конденсаторы. Простейший конденсатор представляет систему из двух
проводников, которые называют обкладками. Емкость конденсатора вычисляется по формуле
C = q (ϕ1 − ϕ 2 ),
(1.18)
где ϕ1 и ϕ2 – потенциалы обкладок; Q – заряд обкладки.
Вычислим для примера емкость плоского конденсатора. Этот конденсатор состоит из двух параллельных пластин, разделенных зазором толщиной d.
Q,
то напряженность поля внутри него
Если заряд конденсатора
E = σ ε 0 = Q Sε 0 , а разность потенциалов между обкладками
ϕ1 − ϕ 2 = E d = Qd S ε 0 и C = Q (ϕ1 − ϕ 2 ) = ε 0 S d .
10
1.8. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Если соединить пластины заряженного конденсатора проводником, то
начинается перемещение электрических зарядов, и конденсатор разрядится.
Это связано с определенной работой, которую производят силы электрического
поля. В результате энергия поля превратится во внутреннюю работу, которая
численно будет равна энергии электростатического поля конденсатора W. При
перемещении заряда q совершается работа (см. (1.15)).
2
0 q dq
q
q dq
=
.
dA = − q dϕ = −
= dW . Отсюда W = ∫
q C
2C
C
Используя (1.18), можно получить выражение для энергии электрического поля заряженного конденсатора
q 2 q(ϕ1 − ϕ 2 ) C (ϕ1 − ϕ 2 )2
W=
=
=
.
2C
2
2
(1.19)
Эту энергию можно выразить и через характеристику поля – напряженность Е. Так как
С (ϕ1 − ϕ 2 )2 ε 0 S (E d )2 ε 0 E 2V
, ϕ1 − ϕ 2 = E d , то W =
=
=
,
С=
2
2
2
d
ε 0S
где V = S d – объем конденсатора.
Распределение энергии поля в пространстве характеризуется плотностью
энергии ω = dW dV , где dW – энергия поля в малом объеме dV. Для однородного поля, как в плоском конденсаторе,
ω = ε0E 2 2 .
(1.20)
1.9. ДИЭЛЕКТРИКИ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЗАРЯДЫ
При внесении в электрическое поле какихq
+
+
либо диэлектриков электрическое поле изменяет+
+
ся. Так, например, если пространство между об+
q’ +
кладками конденсатора заполнить диэлектриком,
+
+
то его емкость возрастает. Это означает, что в соРис. 1.8
ответствии с формулой (1.17) электрическое поле стало слабее. Объяснить подобное можно тем, что на первоначально незаряженном диэлектрике (рис. 1.8) в электрическом поле возникают электрические
полюсы, поэтому и само явление называют поляризацией диэлектриков. Заряды, возникающие на диэлектриках в электрическом поле, называют поляризационными или связанными зарядами q’. В отличие от «свободных» зарядов
металла q они не могут перетекать по проволоке от одного образца к другому.
1.10. ТИПЫ ДИЭЛЕКТРИКОВ И ВИДЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Процессы, происходящие в диэлектриках во внешнем поле, легко рассмотреть, если представить диэлектрик как среду, состоящую из электрических
11
диполей (см. 1.4), которая характеризуется дипольным y
-q
+q
моментом p = q l. Эту величину можно определить и
rтак (рис. 1.9): p = q l = qr+ + ( − q) r− , где l = r+ − r- ,
r+
r+, r- − радиусы-векторы зарядов.
Такое определение можно распространить и на
x
систему зарядов, для которых можно составить эквиваРис. 1.9
лентный диполь с моментом p = ∑ qi ri .
P
Таким образом, любую молекулу можно
+q
схематично рассматривать как электрический
α F+
диполь с дипольным моментом.
Диэлектрики, молекулы которых в отсутствие внешнего поля не имеют дипольного момента, называют неполярными. К ним относят-q
ся молекулы, имеющие симметричное строе- FРис. 1.10
ние, например, метан СН4.
Диэлектрики, молекулы которых имеют отличный от нуля дипольный
момент, называют полярными. К ним относятся молекулы, имеющие несимметричное строение, например, СО2, Н2О и др.
В отсутствие внешнего поля в любом объеме диэлектрика дипольный
момент равен нулю. Во внешнем поле разноименные заряды молекул (электроны и атомные ядра) смещаются в разные стороны, и молекула неполярного диэлектрика приобретает некоторый дипольный момент.
Так как внешние поля намного меньше электрического поля внутри молекулы, то такая поляризация носит упругий характер, а дипольный момент
пропорционален электрическому полю:
р = α ε 0 E.
(1.20)
Здесь коэффициент α − поляризуемость молекулы.
Молекулы полярного диэлектрика в отсутствие электрического поля
движутся хаотически, а потому их дипольные моменты ориентированы также
хаотично.
Действие внешнего поля приводит к частичной ориентации молекулы, на
которую действует вращающий момент силы (рис. 1.10) F+ = q l , F− = − q l.
Эти силы образуют пару сил, механический момент которой равен
M = [P , E ],
M = F l sin α = q E l sin α = P E sin α
(1.21)
В этом случае молекулы приобретают частичную ориентацию, и объем
диэлектрика приобретает дипольный момент. И в этом случае процесс поляризации носит упругий характер. Поляризация такого вида называется ориентационной. На рис. 1.11 схематично показаны различные виды поляризации.
1.11. ВЕКТОР ПОЛЯРИЗАЦИИ И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ
Количественной мерой процесса поляризации является вектор поляризации. Он равен дипольному моменту в единице объема диэлектрика:
12
Без поля
Без поля
В поле
Электронная поляризация
+
В поле
Ориентационная поляризация
+
Атомная поляризация
Рис. 1.11
+
+
P = ∑ pi V
(1.22)
Для однородного и изотропного диэлектрика P = p n, где р – дипольный момент одной частицы; n – их концентрация. При упругой поляризации
вектор поляризации пропорционален напряженности поля:
P = χ ε 0 E.
(1.23)
Безразмерный коэффициент пропорциональности χ («каппа») называют
диэлектрической восприимчивостью.
Поляризация диэлектрика – это процессы, приводящие к появлению связанных зарядов q’ и появлению в любом объеме диэлектрика дипольного момента, отличного от нуля. Поэтому, естественно, между Р и q’ существует
прямая связь. Так, плотность связанного заряда σ’ на поверхности, ограничивающей объем диэлектрика, равна численно нормальной составляющей вектора
поляризации:
Pn = σ / .
(1.24)
У большинства диэлектриков поляризация неоднородна, и поляризационные заряды появляются внутри объема диэлектрика. При этом поляризационный заряд q’ внутри объема диэлектрика V, ограниченного поверхностью S,
равен потоку вектора поляризации через всю поверхность со знаком минус:
q / = −∫ Pn dS
(1.25)
S
1.12. ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ
Влияние диэлектрика на электрическое поле сводится к действию поляризационных зарядов. К диэлектрикам также можно применить формулу (1.10),
добавив к свободным зарядам Q поляризационные q’:
Ф Е = Q + q' ε 0
или ∫ ε 0 En dS = Q + q /
S
Подставляя в последнюю формулу значение q’ из (1.25), получаем
∫ S (ε 0 En + Pn )dS = Q
Новый вектор
13
D = ε0E + P
(1.26)
называют электрическим смещением и тогда
∫ Dn dS = Q
(1.27)
S
Это и есть теорема Гаусса для диэлектриков: поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность определяется
только свободными зарядами.
Вектор D не является силовой характеристикой поля. Это есть вспомогательная величина, с помощью которой определяется Е, этим и оправдывается введение вектора D. Для однородного и изотропного диэлектрика он связан
простым соотношением с Е. Из (1.23) и (1.26) находим
D = ε 0 (1 + χ ) E = ε 0ε E .
(1.28)
Величину ε = 1 + χ называют относительной диэлектрической проницаемостью. Значения ее различны: для газов ε = 1,0002 ÷ 1,006 (ε ≈ 1); для
жидкостей ε = 1,8 ÷ 81 (вода); стекла ε = 4 ÷ 7; слюды ε = 6 ÷ 8 и т.д.
Таким образом, диэлектрик ослабляет электрическое поле и во всех формулах электростатики для вакуума (п. 1) надо ε0 заменить на ε0ε.
1.13. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
F =
Q1Q 2
4π ε 0ε r
2
= 9 ⋅ 10 9
Q1Q 2
εr
2
E = F q,
Q
9 Q
=
9
⋅
10
.
4π ε 0ε r 2
ε r2
Е = Е1 + Е2 + …
E=
C
R
0
В
А
х
.
Закон Кулона. В задачах, где в условии не
сказано о среде, в которой находятся заряды или
среда – воздух, принимаем ε = 1. Для
вычислений удобнее использовать вторую
формулу закона Кулона.
Напряженность электрического, поля где q –
заряд, на который в электрическом поле
действует сила F
Источник поля – точечный заряд Q
Поле создано несколькими точечными зарядами
Q1, Q2, …
Источник поля – заряженная сферическая
поверхность радиуса R, то (см. рис.). Внутри
сферы (т. О, т. С) Е = 0.
На поверхности сферы (т. А)
Q
9 Q
=
9
⋅
10
.
E=
ε R2
4π ε0ε R2
На расстоянии х от поверхности сферы (т. В)
Q
Q
9
E=
=
⋅
9
10
.
2
2
4π ε 0ε (R + x )
ε (R + x )
14
E = σ 2 ε 0ε .
+σ
А
Поле создано заряженной плоскостью, с поверхностной
плотностью заряда σ, то в т. А и т. В
В
+σ
E = σ ε 0ε .
-σ
Поле создано двумя плоскостями, то в т. А, т. С Е = 0,
в т. В
А
В
С
E = τ 2π ε 0ε x .
τ
А
В
Поле создано заряженной нитью с линейной плотностью
заряда τ, то в т. А и т. В
x
x
E=
х
r
А
E =∫
dq
4π ε 0ε r
σr
ε 0ε (r + x )
.
Поле создано заряженным цилиндром радиуса r с
поверхностной плотностью заряда σ, то на расстоянии
х от поверхности цилиндра в т. А
,
2
2
A = ∫ qEl dl ,
1
A = qEl =
= mV22 2 − mV12 2 .
ϕ = Wп q ,
Поле создано заряженным телом протяженных
размеров, где dq – заряд элемента либо длины тела
(стержень), либо площади тела (диск), либо объема тела.
Сила, действующая на точечный заряд q, находящийся
в электрическом поле F = q E. Эта сила совершает
работу А, которая идет на приращение кинетической
энергии заряженной частицы
Если поле однородное, Е = const, то F = const
Электрический потенциал, где Wn – потенциальная
энергия заряда q в данной точке электрического поля.
Источник поля – точечный заряд Q
9 ⋅ 109 Q
Q
.
ϕ=
=
4π ε 0ε r
εr
Потенциял поля нескольких зарядов Q1, Q2, – Q3,
ϕ = ϕ1 + ϕ 2 − ϕ3 + …
… (с учетом знака заряда)
Поле создано заряженной сферой радиуса R,
Q
9 ⋅ 109 Q
ϕ=
=
.
внутри сферы (т. О, т. С)
4π ε 0 R 4π ε 0 R
15
9 ⋅ 109 Q
ϕ=
.
=
4π ε 0ε R
εR
Q
На поверхности сферы (т. А)
Q
9 ⋅ 109 Q На расстоянии х от поверхности сферы (т. В)
ϕ=
.
=
εR
4π ε 0ε (R + x )
R
.
R+x
E = ϕ1 − ϕ 2 d
ϕ = ϕ0
E = − dϕ d l
A12 = q (ϕ1 − ϕ 2 ).
q (ϕ1 − ϕ 2 ) =
= mV22 2 − mV12 2 .
C = Q ϕ.
Q
Q
C=
= .
ϕ1 − ϕ 2 U
ε εS
C= 0 ,
d
Если ϕ0 – потенциал, до которого заряжена сфера, то на
расстоянии х от сферы
Связь напряженности с потенциалом для однородного
поля
Для поля, обладающего центральной или осевой симметрией
Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом ϕ1 в точку поля с потенциалом ϕ2
Эта работа идет на приращение кинетической энергии
заряженного тела
Электроемкость проводника
Электроемкость конденсатора
Электроемкость плоского конденсатора, где S – площадь одной пластины конденсатора, d – расстояние между пластинами.
C, Q, U – емкость, заряд, напряжение на батарее конденсаторов.
U = U1 + U 2
+Q
Последовател
-Q
-Q
+Q
ьное
Q = Q1 = Q 2
соединение
1
1
1
=
+
+ ...
C1
конденсаторо
C2
C C1 C 2
в
U1
U2
C
C
U1 = U
C1
, U2 = U
C2
.
U = U1 = U 2
Q = Q1 + Q2
U
-Q1
+Q1
C = C1 + C 2 + ...
C
C
Q1 = Q 1 , Q2 = Q 2 .
C
C
C1
C2
+Q2
-Q2
Параллельное
соединение
конденсаторов
16
Q2 Cϕ 2 Qϕ
W=
=
=
.
2C
2
2
Энергия заряженного проводника
Q2 C U 2 QU
W=
=
=
.
2C
2
2
Энергия заряженного конденсатора
ϖ E = ε 0ε E 2 2 .
Плотность энергии электрического поля
1.14. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.14.1. Пример 1
Рассчитайте силу, действующую на заряд Q3 со стороны зарядов Q1 и
F2
Q3 = +65 мкКл
α
F
α
F1
30 cм
60 cм
Q1 = -86 мкКл
Q2 = +50 мкКл
52 см
Q2 (см. рисунок).
Силы F1 и F2 направлены, как показано на чертеже, поскольку Q1 создает силу притяжения, а Q2 – силу отталкивания по величине силы F1 и F2
составляют:
9
F1 = 9 ⋅ 10 ⋅
86 ⋅ 10 −6 ⋅ 65 ⋅ 10 −6
9
65 ⋅ 10 −6 ⋅ 50 ⋅ 10 −6
= 140 H , F2 = 9 ⋅ 10 ⋅
= 330 H
60 2 ⋅ 10 − 4
30 2 ⋅ 10 − 4
F = F1 + F2 – результирующая сила. Ее находим, пользуясь теоремой косину2
2
2
где
cos α = 30 60 = 0.5.
сов F = F1 + F2 − 2 F1F2 cos α ,
Вычисления дают F = 286,9 H ≈ 287 H.
1.14.2. Пример 2
По тонкому кольцу радиуса а равномерно распределен заряд Q. Определить напряженность и потенциал электрического поля в точке Р на оси
кольца на расстоянии х от его центра (см. рисунок)
Напряженность электрического поля dE, обусловленная элементом дли-
ны кольца
dl,
равна
dE =
dQ
Q
1 τ dl
⋅ 2 =
⋅ 2 , где τ =
,
4π ε 0 r
4π ε 0 r
2π a по1
скольку заряд равномерно распределен по длине кольца
2πа.
Отсюда
17
dl
a
dEX = dEcos α
P
α
α
x
dE
dE⊥
dE =
Q dl
⋅ 2
.
4π ε 0 r 2π a
1
Вектор dE имеет компоненты dEx вдоль оси х и dE⊥ в направлении
перпендикулярном оси х. Суммируя (интегрируя) по всему кольцу, замечаем,
что каждому элементу dl кольца соответствует диаметрально противоположный элемент равной длины такой, что перпендикулярные компоненты напряженности электрического поля этих двух элементов взаимно компенсируются.
Так что в итоге вектор Е направлен вдоль оси кольца. Тогда полная напряженQ
dl
1
⋅
cosα .
ность электрического поля равна E = ∫ dE = ∫ dE cosα =
∫
4π ε 0 2π a V 2
(
E=
Q
)
где V = x 2 + a 2 1/ 2,
2π a
Заметив, что cosα = x V ,
Получим
x
Qx
1
⋅ 2
dl
=
⋅
.
(4π ε 0 )(2π a ) x + a 2 3 / 2 ∫0
4π ε 0 x 2 + a 2 3 / 2
(
)
)
(
На больших расстояниях от (x >> a) получаем формулу напряженности
2
точечного заряда E = Q 4π ε 0 x . В центре кольца х = 0, Е = 0.
Так как в данном случае распределение зарядов можно считать непрерывным, то суммирование потенциалов от зарядов dQ элементов длины кольца dl сводится к интегрированию:
ϕ=
dQ
Q
1
1
1
=
⋅
dQ
=
⋅
.
4π ε 0 ∫ r
4π ε 0 x 2 + a 2 1 / 2 ∫
4π ε 0 x 2 + a 2 1 / 2
1
(
)
(
)
1.14.3. Пример 3
Электрон ускоряется в кинескопе телевизора в горизонтальном направлении разностью потенциалов 20 кВ. Затем он проходит между двумя параллельными горизонтальными пластинами длиной 6,0 см, расстояние между которыми равно 1,0 см, а разность потенциалов 200 В. На какой угол θ отклонится электрон в результате прохождения пластин (см. рис.).
18
Дано:
U0 = 2 кВ
l = 6,0 см
d = 1,0 см
m = 9,1⋅10-31 кг
q = -e = -1,6⋅10-19 Кл
U = 200 B
Решение:
Ускоряясь, в горизонтальном направлении разностью
потенциалов U0 электрон приобретает
горизонтальную скорость V0, c которой влетает в
пространство между пластинами:
mV02
2eU 0
2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 20 ⋅ 103
=
≈ 2,6 ⋅ 107 м / с.
, или V0 =
31
−
2
m
9,1 ⋅ 10
Электрическое поле направлено вертикально вниз, а т.к. заряд электрона отрицательный, то электрическое поле Е сообщает электрону постоянное вертикальное ускорение
а,
направленное
eE eU
U
y
V
=
, т.к. E = .
вверх: a =
m md
d
На выходе из пластин в т. Р компоθ
+ + + + + + +
ненты
скорости
электрона
будут V
P
0
F
V X = V0 = const, V y = a t , где t = l V0 −
x
время прохождения пластин.
Тогда
eU 0 =
Vy =
eU l
⋅
md V0
tg α =
eU l
md ⋅ V02
и
=
tg α =
Vy
VX
,
1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 200 ⋅ 6 ⋅ 10−2
9,1 ⋅ 10
− 31
⋅ 10
−2
2
14
⋅ 2,6 ⋅ 10
= 0,3 откуда θ ≈17o.
1.14.4. Пример 4
Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин, расположенных на расстоянии 4 мм друг от друга, общей площадью 100 см2. Конденсатор заряжают от батареи 200 В и отключают от нее. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками в два раза? Решить
задачу при условии, когда конденсатор не отключают от батареи.
2
Дано:
W
=
C
U
2
1
1
Заряженный конденсатор обладает энергией
ε=1
Поскольку конденсатор отключили от батареи, то при
d1 = 4 мм
раздвижении пластин от d1 до d2 заряд конденсатора не
S1 = S2 = 50 см2
меняется, а меняется напряжение на пластинах:
U = 200 B
d2 = 8 мм
Q = const
или
C1U = C2U / .
Емкости плоского конденсатора в первом и втором случаях будут
C1 = ε 0ε S1 d1 ,
C2 = ε 0ε S 2 d 2 , тогда напряжение на пластинах станет
C
U/ =U 1 =U
C2
d2
C2U / 2
.
и энергия конденсатора станет W2 =
d1
2
19
Искомая
работа
будет
равна
изменению
энергии
конденсатора:
C1U 2 C2U / 2 C1U 2 ⎛⎜ C2 U / 2 ⎞⎟
A = W1 − W2 =
1−
−
=
2
2
2 ⎜⎝ C1 U 2 ⎟⎠
или
C U 2 ⎛ U / ⎞⎟ C1U 2 ⎛ d 2 ⎞
⎜1 − ⎟⎟.
A = 1 ⎜1 −
=
2 ⎜⎝
2 ⎜⎝
U ⎟⎠
d1 ⎠
Так как d2 > d1, то A < 0, поскольку работу совершают против сил притяжения пластин, поэтому вычисляем | A |. Находим
8,85 ⋅ 10 − 12 ⋅ 1 ⋅ 50 ⋅ 10 − 4
С1 =
≈ 11 ⋅ 10 −12 Ф ,
−3
4 ⋅ 10
11 ⋅ 10 − 12 ⋅ 4 ⋅ 10 4 ⎛
8⎞
A =
⋅ ⎜ 1 − ⎟ = 2, 2 ⋅ 10 − 7 Дж .
2
4⎠
⎝
Во втором случае конденсатор не отключают от батареи, поэтому напряжение на пластинах не меняется. Поскольку увеличивается расстояние между
пластинами, то емкость уменьшается и уменьшится заряд на пластинах: часть
его q уйдет в источник. Найдем эту величину
Q1 Q1 − q
U = const
или
=
, где Q1 = C1U – первоначальный заряд на
C1
C2
⎛
⎛ C ⎞
⎛ C1 − C 2 ⎞
d ⎞
⎟⎟ = Q1 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = Q1 ⎜⎜1 − 1 ⎟⎟ . Заряд на пластине стапластинах q = Q1 ⎜⎜
C1 ⎠
⎝ d2 ⎠
⎝
⎝ C1 ⎠
нет Q2 = Q1 − q = Q1d1 d 2 . Совершенная при этом работа также равна разности
энергий
конденсатора
до
и
после
раздвижения
пластин:
Q2
Q2
Q2 ⎛ Q2 C ⎞
A = W1 − W2 = 1 − 2 = 1 ⎜1 − 22 1 ⎟ или
2C1 2C2 2C1 ⎜⎝ Q1 C2 ⎟⎠
Q12 ⎛
⎜1 −
A=
2C1 ⎜⎝
2.
d1 ⎞ C1U 2
⎟=
d 2 ⎟⎠
2
⎛
⎜⎜ 1 −
⎝
d1 ⎞ 11 ⋅ 10 − 7 ⋅ 4 ⋅ 10 4
⎟=
d 2 ⎟⎠
2
4⎞
⎛
⋅ ⎜ 1 − ⎟ = 1,1 ⋅ 10 − 7 Дж .
8⎠
⎝
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Проводники и изоляторы. Электропроводность металлов. Носители тока в металлах. Недостаточность классической электронной теории. Условие
существования тока. Законы Ома и Джоуля−Ленца в локальной форме. Сторонние силы. ЭДС гальванического элемента. Закон Ома для участка цепи с
гальваническим элементом. Правило Кирхгофа.
Электрический ток в вакууме. Термоэлектронная эмиссия. Электрический ток в газе. Процессы ионизации и рекомбинации. Электропроводность
слабо ионизированных газов. Понятие о плазме.
20
2.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
Всякое упорядоченное движение электрических зарядов называют электрическим током.
В металлах носители тока являются электроны, в проводящих растворах
(электролиты) это ионы, в газах – ионы и электроны.
Направлением тока условились считать направление движения положительных частиц, поэтому направление тока в металлах противоположно движению электронов.
Для количественной характеристики электрического тока служат две основные величины: сила тока и плотность тока.
Сила тока (i, I) в каком-либо проводнике равна величине заряда, проходящего в единицу времени через полное сечение проводника:
i=−
dq
.
dt
(2.1)
Если ток постоянный, то i = q t .
Единицей силы тока в СИ служит 1 Ампер (А) = 1 Кл/с.
Плотность тока j равна величине заряда, проходящего в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к линиям тока, т.е. она равна
силе тока, приходящейся на единицу плотности поперечного сечения проводника
i
j = , или i = j S ;
(2.2)
S
если же плотность тока меняется по сечению, то
i = ∫ jn dS
S
(2.3)
Плотность тока можно связать со скоростью направленного движения зарядов (скорость дрейфа) Е:
j = n eЕ
(2.4)
или в векторном виде
j = n eЕ,
(2.5)
где n – концентрация носителей тока; е – заряд каждого из них.
Основным признаком тока является магнитное поле, существующее вокруг движущихся зарядов. Кроме того, при прохождении электрического тока
через вещество наблюдаются тепловые, оптические и химические явления.
2.2. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ
Пусть внешний источник создает внутри металлического проводника
электрическое поле с напряженностью Е. Оно действует на свободные электроны проводимости с силой F = е Е, сообщающей им ускорение
a = F m = eE m . . Если бы движение электрона происходило без потерь энергии, то их скорость, а, следовательно, и сила тока, все время бы росла. Но ток в
21
проводнике постоянный, значит, при своем движении электроны все время испытывают столкновения с ионами металла, отдавая им полностью свою энергию, которую он получил под действием силы F за время свободного пробега
τ между двумя столкновениями. Под действием силы F = eE движение электрона можно считать равноускоренным с начальной скоростью V0 = 0. За время свободного пробега электрон приобретает скорость V1 = aτ = eE τ m , а
средняя скорость упорядоченного движения будет V = (V0 + V1 ) 2 = eE τ 2m .
Время свободного пробега τ определяется средней длиной свободного
пробега электрона λ и скоростью теплового (хаотичного) движения электронов в металле: τ = λ VT . Тогда для плотности тока получаем выражение
n e 2λ
j = n eV =
E,
2mVT
или
j = σ E.
(2.6)
Величина
n e 2λ
σ=
(2.7)
2mVT
характеризует свойства проводника и называется его удельной электропроводностью.
Формула (2.6) выражает закон Ома в дифференциальной форме.
За время t электрон в металле испытывает Z = t τ столкновений и приобретает при этом кинетическую энергию
⎛ mV12 ⎞ t m ⎛ e E ⎞ 2 t e2
⎟⋅ = ⋅
W1 = ⎜
⋅τ ⋅ =
⋅ τ E 2t.
⎜ 2 ⎟ τ 2 ⎜⎝ m ⎟⎠ τ 2m
⎠
⎝
При постоянном токе вся эта энергия передается ионам металла, и он нагревается. Найдем тепловую мощность ω − тепло, выделяемое в единицу времени в единице объема металла:
nW1 n e 2τ 2 n e 2λ 2
ω=
=
E =
E ,
или
ω = σ E 2.
(2.8)
t
2m
2mVT
Эта формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Вывод обоих законов основан на классической электронной теории. В
основе ее лежит представление о свободных электронах, образующих «электронный газ», к которому применимы все законы идеального газа, в частности,
VT = 3kT m и т.д. Такой подход делает эту теорию не совсем точной. Так, например, VT ~ T и из (2.7) следует, что σ ~ 1 T , тогда как опыт дает
σ ~ 1 T . Несмотря на это, классическая электронная теория не утратила свое
значение. Она позволяет во многих случаях быстро найти правильные качественные результаты в наглядной форме.
22
2.3. ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Формула (2.6) справедлива для точки внутри проводника. Запишем теперь этот закон для объема проводника. Из формулы (2.6) и (1.16) находим
dl
i
E dl = i
j = = σE ,
= − dϕ ,
σS
S
2
ϕ1 − ϕ 2 = U = i∫
1
dl
= i R.
σS
(2.9)
2 dl
dl
=∫ ρ
зависит от свойств проводника (σ) и его
Здесь R = ∫ 1
1
S
σS
конфигурации (l, S) и называется электрическим сопротивлением участка
проводника, а ρ = 1 σ − удельным сопротивлением проводника. Сопротивление однородного проводника постоянного сечения будет равно R = ρ l S .
В СИ сопротивление измеряется в Омах: 1 Ом = 1 В/А, а удельное сопротивление в Ом⋅м.
Формула (2.9) выражает закон Ома для участка цепи. С ее помощью за2
кон Джоуля-Ленца для участка цепи можно записать Q = ω Vt = i Rt.
С нагреванием сопротивление проводника возрастает. При этом
R = R0 (1 + α t ), , где R0 – сопротивление при 00С; α − температурный коэффициент сопротивления, который для многих металлов соизмерим с 1/273.
При температурах, близких к абсолютному нулю (0,5 – 10 К), сопротивление некоторых металлов скачком падает до нуля. Так, для цинка эта температура 0,91 К, а для свинца 7,2 К. Такое явление получило название сверхпроводимость.
Электрический ток может существовать лишь в замкнутой цепи, где
можно выделить два участка (рис. 2.1): ϕ1Rϕ2, где заряды движутся от большего потенциала ϕ1 к меньшему ϕ2 . Это возможно
i
под действием электрических сил; ϕ2 ε ϕ1, где заряR
ды движутся от меньшего потенциала ϕ2 к большеϕ2
ϕ1
му ϕ1. Это движение не могут вызвать электрические силы. Здесь должны действовать другие силы,
ε
Рис. 2.1 например, силы инерции, магнитные силы и т.д. Такого рода силы называют общим названием – сторонние силы, а устройство для создания таких сил – источником тока. Одним
из первых источников тока явился гальванический элемент, в котором сторонние силы – это химические силы, возникающие за счет химической реакции металлической пластины, опущенной в раствор электролита.
Действие сторонних сил характеризуется электродвижущей силой
(ЭДС), величина которой равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда в замкнутом контуре:
2
23
ε = ACT q .
(2.10)
Работу, совершаемую как сторонними, так и электрическими силами при
перемещении единичного заряда, называют напряжением на участке цепи или
падением напряжения
U = ϕ1 − ϕ 2 + ε .
(2.11)
С учетом этого закон Ома для однородного участка цепи (Е = 0) будет
i = (ϕ1 − ϕ 2 ) R , для неоднородного участка (Е ≠ 0) i = (ϕ1 − ϕ 2 + ε ) R , для
замкнутой цепи (ϕ1 = ϕ2) и i = ε R . Здесь R – полное сопротивление цепи,
включая сопротивление источника тока. Для расчета разветвленных цепей (нахождение токов в отдельных участках) пользуются правилами Кирхгофа.
Первое правило. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна
нулю (узел – это точка пересечения не менее трех проводников):
∑ ik = 0.
(2.12)
Второе правило. В замкнутом контуре алгебраическая сумма падений
напряжений на всех участках цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:
(2.13)
∑ iK RK = ∑ ε K .
2.4. ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ
Совершая внутри металла хаотичное движение, электроны, тем не менее,
не покидают его. Этому преV
пятствуют электрические силы на границе металла со срее
дой. Для их преодоления неF
e обходима работа – работа
выхода электрона из металла.
+ + + + + +
Она включает в себя работу
А1 против сил F «зеркально+
го изображения» вылетающего электрона и двойного элекб)
a)
трического слоя, образованРис. 2.2
ного вылетающими электронами А2 (рис. 2.2, а и б).
Пользуясь формулой (1.15), можно приближенно оценить величину работы выхода, считая, что от поверхности металла электрон может оторваться на
расстояние, сравнимое с атомным (d ~ 10-10 м). Тогда
А = еϕ ≈ 7 эВ.
-19
1 эВ =1,6⋅10 Дж – внесистемная единица энергии.
Величина же энергии теплового движения электрона при комнатной температуре (Т = 300 К) сравнима с величиной kT ≈ 0,026 эВ << A. Если нагреть
A
металл до температуры T > , то его энергия превысит работу выхода, и
k
24
электроны начнут вылетать из металла. Явление испускания электронов нагретыми металлами называют термоэлектронia
ной эмиссией. Это явление наблюдают в
электронных лампах, простейшей из котоiн
рых является вакуумный диод. Он содержит
два электрода: нагреваемый отрицательный
катод и положительный анод. Зависимость
силы термоэлектронного тока от напряже0
Ua
ния (рис. 2.3) существенно отличается от заРис. 2.3
висимости для металлов. Так, при данной
температуре катода наблюдается ток насыщения (iH), а до этого зависимость
имела нелинейный характер:
i = CU 3 / 2 ,
(2.14)
где С – const. Зависимость плотности тока насыщения от температуры катода
дается формулой Ричардсона-Дэшмана:
j H = B 2T 2 exp(− A kT ),
(2.15)
где B – const; А – работа выхода.
Явление термоэлектронной эмиссии используется в электровакуумных
приборах (электронные лампы, электронно-лучевые трубки и т.д.).
2.5. ТОК В ГАЗАХ
Газ в обычном состоянии не проводит электричества. Но с помощью
внешних воздействий его можно сделать электропроводным. Опыт показывает,
что под действием высокой температуры и различных излучений в газе появляются ионы и электроны, и газ приобретает электропроводность.
Процесс образования ионов в газах называют ионизацией, их возбудителей – ионизаторами.
Ионизация атома требует определенной затраты энергии – энергии ионизации, которая составляет для атомов и молекул газа порядка 10 – 30 эВ.
Итак, носителями тока в газах являются положительные и отрицательные
ионы и электроны, а потому плотность тока в газе дается выражением
(см. формулу (2.4))
j = q+ n+V+ + q− n−V− .
(2.16)
Движение ионов в газах при наличии тока сопровождается большим числом соударений, подобно упорядоченному движению электронов в металле, а
поэтому их скорость будет пропорциональна напряженности поля:
V± = μ± E.
(2.17)
Здесь μ± − подвижность газовых ионов. Как правило, n+ ≈ n− = n, и
формулу (2.16) записывают в виде
j = n (q+ μ+ + q− μ− ) E.
(2.18)
Для одновалентных ионов q+ = q− = e.
Прохождение тока через газ сопровождается исчезновением ионов. Про-
25
исходит это за счет двух процессов: 1) столкновение положительного иона с
электроном или отрицательным ионом и может привести к восстановлению
нейтральных атомов, этот процесс называют рекомбинацией; 2) нейтрализация
ионов у электродов.
При установившемся токе в газе соблюдается равновесие:
ΔnИ = ΔnР + ΔnT , где ΔnИ – число пар ионов, образующихся в единицу времени за счет ионизации, ΔnР – нейтрализованных рекомбинацией, ΔnТ – током.
ΔnT = Q q = j qd . Условие равновесия будет
Учитывая, что ΔnP ≈ n+ n− ,
ΔnИ = γ n 2 + j qd ,
(2.19)
где γ − коэффициент рекомбинации; q – заряд иона; d – расстояние между электродами; j – плотность тока. Из (2.19) следует, что при малых на2
пряжениях между электродами (ток мал) ΔnT << ΔnP ), ΔnИ ≈ γ n и согласно
(2.18)
j = const E.
(2.20)
При больших напряжениях ( ΔnT >> ΔnP ) j = const – ток насыщения.
Этот результат можно изобразить графически (рис. 2.4, 0-а-в).
Все сказанное относится к несамостоятельному разряду, который прекращается как только прекращается действие внешнего ионизатора. При увеличении напряжения электроны приобретают энергию, достаточную для ионизации атомов и молекул газа – возникают при этом вторичные электроны и ионы,
причем их число резко возрастает (n ∼ ea). Такой процесс называют ионной
лавиной. Кроме того, под действием бомбардировки катода положительными
ионами возникает вторичная электронная эмиссия.
Действие внешнего ионизатора оказывается ненужным, разряд поддерживает сам себя и называется самостоятельным (рис. 2.4., участок в-с).
Прохождение тока через газ, как правило, сопровождается свечением.
Это является результатом возбуждения атомов при их столкновениях, а также
рекомбинацией ионов, когда высвобождается энергия в виде излучения.
Газ с большой концентрацией положительных и отрицательных ионов и
свободных электронов, называется плазмой. Отношение количества ионизированных атомов к их полному числу в плазме называется степенью ионизации
составляет α ≈ 0,001 ÷ 1,0.
Плазма может быть получена либо
j
с при прохождении электрического тока через газы, либо при нагревании вещества до
очень высоких температур (свыше
a
10 0000С). При этих условиях вещество
в
находится в газообразном состоянии, и
вследствие столкновений почти все атомы
превращаются в ионы. При этом плазма
0
E является электронейтральной: ρ+ + ρ− = 0.
Это условие соблюдается (ионизироРис. 2.4
26
ванный газ можно считать плазмой), если объем, занимаемый ионизированным
газом, много больше характерной для данного газа и условий величины – дебаевского радиуса.
В обычном газе частицы взаимодействуют друг с другом лишь в парных
столкновениях, а в плазме наблюдается коллективное взаимодействие, благодаря чему плазма ведет себя как упругая среда, где могут возбуждаться колебания
заряженных частиц плазмы.
Другим важным свойством плазмы является сходство в тепловом движении частиц плазмы и идеального газа. Из формулы mV 2 2 = 3kT 2 следует,
что средняя энергия теплового движения составных частей плазмы различна.
Различают электронную (ТЭ) температуру и ионную (ТИ). Если ТЭ = ТИ, то
плазму называют изотермической. В зависимости от ТИ различают низкотемпературную плазму (ТИ < 105 К) и высокотемпературную плазму (Т > 105 К).
Плазма является хорошим проводником электрического тока, сильно
взаимодействует с электрическим и магнитным полями, обладает магнитными
свойствами.
Плазма – наиболее распространенное состояние вещества во Вселенной.
Солнце и звезды состоят из высокотемпературной плазмы. Плазма, возникающая при самостоятельных газовых разрядах, это низкотемпературная плазма.
Плазма используется в МГД – генераторах, для создания управляемых термоядерных реакций.
2.6. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Сила постоянного тока, где Q – заряд, прошедший через
I =Q t,
j = I S,
j = e nV ,
ϕ − ϕ2 U
I= 1
= ,
R
R
ϕ − ϕ2 ± ε
I= 1
,
R
I=
ε
R+r
R≈ρ
l
,
S
,
поперечное сечение проводника за время t.
Плотность тока, где S – площадь поперечного сечения
проводника.
Связь плотности тока со средней скоростью
V
направленного движения заряженных частиц, где е – заряд
частицы, n – концентрация заряженных частиц.
Закон Ома Для однородного участка цепи (не содержащего
ЭДС), где ϕ1 − ϕ 2 = U − разность потенциалов (напряжение)
на концах участка цепи; R – сопротивление участка.
Для неоднородного участка цепи (содержит ЭДС), где
ε − ЭДС источника тока, R – полное сопротивление участка
(сумма внешних и внутренних сопротивлений).
Для полной цепи (замкнутая цепь с источником тока), где
R – внешнее сопротивление цепи,
r – сопротивление
источника тока.
Сопротивление проволоки (тонкий, длинный проводник), где
ρ − удельное сопротивление проволоки,
l – длина
проволоки, S – площадь поперечного сечения.
27
)
(
Зависимость сопротивления металлического проводника от
температуры, где R0 – сопротивление при 00С, R – при t0C,
α − температурный коэффициент сопротивления (ТКС).
R ≈ R0 1 + α t o ,
∑IK = 0 ;
2) ∑ I K R K = ∑ ε K
1)
Правила Кирхгофа, где
∑IK
токов, сходящихся в узле,
сумма произведений сил
− алгебраическая сумма
∑ I K RK − алгебраическая
тока
на
сопротивление
участков, ∑ K − алгебраическая сумма ЭДС.
Работа тока
ε
U2
A = IU t = I Rt =
t.
R
U2
2
.
P = IU = I R =
R
Q = I 2 R t.
2
j = σ E,
Мощность тока
Закон Джоуля-Ленца
Закон Ома в дифференциальной форме, где
σ = 1 ρ , удельная электропроводность металла
R1
R2
U2
U1
U
R
R
U1 = U 1 , U 2 = U 2 ,
R
R
I1
R1
Последовательное сопротивление проводников
R = R1 + R2 + … − сопротивление
последовательных проводников
Напряжения на отдельных проводниках
Параллельное соединение проводников
I
I2
R2
Cопротивление параллельных проводников
1
1
1
=
+
+ ...
R R1 R2
Токи в параллельных проводниках
R
R
I1 = I , I 2 = I
, ...
R1
R2
Удельная электропроводность в газах и жидкостях где
σ = q n (u+ + u− ),
q – заряд иона,
n – концентрация ионов,
u+
u− − подвижности ионов.
Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка не содержащего ЭДС.
28
2.7. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
V
2.7.1. Пример 1.
A
Потенциометр сопротивлением R = 100 Ом подB
ключен к батарее с ЭДС ε = 150 В и внутренним сопроR
тивлением r = 50 Ом. Определить: 1) показание вольтметра сопротивлением RV = 500 Ом, соединенного с одε
ной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посредине потенциометра; 2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.
Дано:
Решение
Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В
R = 100 Ом
ε = 150 В
определяем по формуле: UV = IV RV = I ⋅ R1, где IV – ток
r = 50 Ом
вольтметра, он равен IV = IR1 RV , где I – общий ток
RV = 500 Ом
цепи, R1 – сопротивление параллельно соединенных
вольтметра и половины потенциометра.
R
2 = RV R ,
Находим: R1 =
R 2 RV + R
RV +
2
RV ⋅
I=
ε
R2 + r
=
ε
⎞
⎛R
⎜ + R1 ⎟ + r
⎠
⎝2
, где R2 –
внешнее сопротивление всей цепи. Проведем вычисления:
500 ⋅ 100
150
R1 =
= 45,5 Ом,
I=
= 1,03 A
1000 + 100
50 + 45,5 + 50
UV = 1,03 ⋅ 45,5 = 46,9 B.
Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна U = I 2 R 2 , где I2 – сила тока в цепи при отключенном вольтметре
ε
150
100
=
= 1 A,
U = 1⋅
= 50 B.
I2 =
2
R + r 100 + 50
2.7.2. Пример 2.
R1
B
Найти токи, протекающие в каждой
C
A
ветви электрической цепи, если
ε1 = 130 В, ε2 = 117 В, R1 = 0,5 Ом,
I2
R3
R2
R2 = 0,3 Ом, внутренние сопротивления
ε1
I1
I3
источников тока соответственно равны
ε2
0,1 Ом и 0,2 Ом.
D
N
M
29
Дано:
ε1 = 130 В
ε2 = 117 В
r1 = 0,1 Ом
r2 = 0,2 Ом
R1 = 0,5 Ом
R2 = 0,3 Ом
R3 = 12 Ом
I1, I2, I3−?
Решение
Задача на расчет токов в разветвленной цепи с несколькими
источниками тока. Задачи такого типа решаются с помощью
правил Кирхгофа. Первое правило – для узлов цепи, т.е. точек,
где сходится более двух проводников: алгебраическая сумма
токов сходящихся в узле равна нулю ∑ I K = 0, или сумма
токов входящих в узел равна сумме токов выходящих из узла.
Второе правило – для замкнутых контуров: в любом замкнутом
контуре алгебраическая сумма произведений сил токов на
сопротивление соответствующего участка этого контура равна
алгебраической сумме ЭДС в этом контуре ∑ I K RK = ∑ ε K .
Решая совместно составленные уравнения, находим токи во всех участках. Для составлений уравнений надо придерживаться правил: 1) обозначить
на схеме буквами контуры и узлы; 2) произвольно выбрать направление токов
(если они не заданы в условии задачи), текущих по отдельным участкам и обозначить их стрелками; 3) составить уравнения по первому правилу Кирхгофа
(их число должно быть на единицу меньше числа узлов в цепи); 4) для каждого
контура выбирать произвольно направление обхода (по часовой стрелке или
против). При этом знак тока будет совпадать с направлением обхода контура, а
знак ЭДС выбираем так: если в направлении обхода ток внутри источника течет
от «−»– к « + », то +ε, и наоборот. В данной задаче два узла: т. В и т. С,
находим: I1 = I2 + I3 (1). Контур ABMNA:
I1R1 + I 2 ( R2 + r2 ) + I1r 1= ε1 − ε 2 (2).
Контур BCDMB: I 3 R3 − I 2 ( R2 + r2 ) = ε 2 (3).
Подставляем числовые данные и получаем систему трех уравнений
I1 − I 2 − I 3 = 0
0,6 I1 + 0,5 I 2 = 13
⎫
⎪
⎬ ( 4) . Решаем ее:
− 0,5 I 2 + 12 I 3 = 117⎪⎭
13 − 0,6 I1
117 + 0,5 I 2
I2 =
; I3 =
= 9,87 − 0,06 I1.
0,5
12
Находим после подстановки: I1 = 11,4 A; I2 = 12,3 A; I3 = 9,2 A.
Заметим, что если бы в результате решения одно из значений токов оказалось бы отрицательным, то в схеме его направление надо изменить на противоположное.
2.7.3. Пример 3.
Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение
времени Δt = 2 с по линейному закону от I0 = 0 до I1 = 6 A. Определить количество тепла, выделившееся в проводнике за это время.
30
Дано:
R = 20 Ом
Δt = 2 c
I1 = 6 A
Q−?
Решение
Количество тепла, выделившееся в проводнике по которому
течет меняющийся ток I (t) за время Δt равно по закону
Джоуля-Ленца: dQ = I2(t) R dt. Так как по условию ток
меняется по линейному закону, то I = I0 + k t, где k –
коэффициент пропорциональности, который равен
I −I
I
k = 1 0 = 1 = 3 A / с. Тогда I = k t = 3 t и
Δt
Δt
Δt
Q =
∫
0
I 2 R dt =
Δt
∫
0
1 2
k 2 t 2 R dt =
k R t3
3
Δt
,
Q = 480
Дж .
0
МАГНЕТИЗМ
3.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Сила Лоренца и сила Ампера. Вектор магнитной индукции. Основное
уравнение магнитостатика в вакууме. Магнитное поле простейших систем.
Единица силы тока – ампер. Движение заряженной частицы в электрических и
магнитных полях.
Виток с током в магнитном поле. Энергия витка с током во внешнем
магнитном поле. Момент сил, действующих на рамку. Индуктивность длинного соленоида. Взаимная индукция. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции. Магнитное поле кругового тока.
Явление электромагнитной индукции. Правило Ленца. Магнитная энергия тока. Плотность магнитной энергии.
Магнетики. Парамагнетики, диамагнетики, ферромагнетики, антиферромагнетики. Теория ферромагнетизма. Обменное происхождение молекулярного поля. Доменная структура. Техническая кривая намагничивания.
Фарадеевская и максвелловская трактовки явлений электромагнитной
индукции. Ток смещения. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Векторный и скалярный потенциалы поля. Скорость
распространения электромагнитных возбуждений. Волновое уравнение. Плотность энергии. Плотность потока энергии.
Магнитные свойства веществ были известны еще в глубокой древности.
Описываемый древними учеными камень, притягивающий железо, представляет собой естественный магнит – минерал, довольно часто встречающийся в
природе. Он состоит из соединений железа (FeO – 31 % и Fe2O3 – 69 %). Уже
в 1600 г. вышел труд В. Гильберта «О магните, магнитных телах и о великом
магните Земли», в котором содержалось сообщение большого числа опытных
фактов. Основные из них сводились к следующему:
магнит имеет два полюса – северный и южный, различные по своим
свойствам;
31
разноименные полюсы притягиваются, одноименные отталкиваются;
магнитная стрелка располагается в пространстве определенным образом,
указывая север и юг;
нельзя получить магнит с одним полюсом;
Земля – большой магнит.
Природа магнитных явлений была раскрыта лишь после установления в
XIX веке экспериментальных фактов, что электрический ток (движущиеся заряды) создают магнитное поле (Г.Х. Эрстед, 1820 г.). Изучение взаимодействия
проводников с токами, в результате чего было установлено, что параллельные
токи одного направления притягиваются, а противоположного отталкиваются
(А.Ампер, 1820 г.), привело к выводу, что силы взаимодействия между движущимися электрическими зарядами отличаются от сил взаимодействия между
неподвижными зарядами.
Дополнительные силы, возникающие между движущимися зарядами, назвали магнитными силами. Это связано с тем, что их обнаружили по воздействию тока на магнитную стрелку.
Таким образом, все магнитные явления можно свести к электрическим, а
магнитные силы, как показал Эйнштейн, есть релятивистская поправка к закону Кулона.
Пока тока нет между проводниками, не возникают силы взаимодействия,
т.к. положительный заряд ионов кристаллической решетки металла и отрицательный заряд электронов распределены равномерно, и суммарный заряд внутри проводника равен нулю. При наличии тока, вследствие движения электро-
1 − V 2 c 2 , где V –
нов, среднее расстояние между ними сокращается в
дрейфовая скорость электронов; с – скорость света. В результате плотность
2 2
заряда электронов увеличивается в 1 1 − V c
раз и, следовательно, результирующий заряд не будет равен нулю. Это и приводит к взаимодействию
проводников.
3.1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ДВИЖУЩИМИСЯ ЗАРЯДАМИ
Если два электрических заряда q и Q движутся параллельно со скоростью V (рис. 3.1), то можно показать, что сила взаимодействия между ними
будет равна
F=
⎛ V2⎞
⎜1 −
⎟.
2⎜
2 ⎟
4π ε 0r ⎝
c ⎠
qQ
(3.1)
Она складывается из чисто кулоновской силы отталкивания
Fe = qQ 4 π ε 0 r 2
и
магнитной силы взаимного
притяжения
V
V
Fe
+
q
r
Fm
Fm
Рис. 3.1
+
Q
Fe
32
Fm =
qQ V 2
μ0 q Q
=
,
4π ε 0c 2r 2 4 π r 2
(3.2)
здесь μ0 = 1 ε 0c 2 = 4π ⋅ 10−7 В ⋅ с /( А ⋅ м) или Г / м (генри на метр) – магнитная постоянная. Сравнение Fe и Fm показывает, что Fm << Fe:
Fm Fe = V 2 c 2 ≈ 10−24. Однако в обычном проводнике заряд электронов проводимости составляет порядка 105 Кл/м3, и перемещение такого громадного
заряда вызывает действие магнитных сил между проводниками.
3.2. ВЕКТОР ИНДУКЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. СИЛА ЛОРЕНЦА
Точно так же как для описания электростатического взаимодействия ввели понятие электростатического поля – пространства, окружающего неподвижный заряд Q – источник поля; для описания магнитного взаимодействия вводят понятие магнитного поля – пространства окружающего движущийся заряд
Q. Оно обладает особым свойством – в любой его точке на другой движущийся
заряд q действует магнитная сила.
Силовой характеристикой магнитного поля является вектор индукции В.
Формулу (3.2) можно записать
Fm = qVB ,
(3.3)
и индукцию В определить как магнитную силу, действующую на единичный заряд, движущийся со скоростью, равной единице. В СИ это 1 тесла
(1 Т). 1 Т = 1 Н⋅с/(Кл⋅м).
Как видно из рис. 3.1, в направлении движения заряда Q на заряд q
магнитная сила не действует, а в направлении перпендикуляра к V эта сила
максимальная, т.е. Fm, а следовательно, и В в данной точке поля будет зависеть от направления, т.е. угла α между r и V. Из сказанного и формул (3.2)
и (3.3) запишем формулу для индукции магнитного поля, если источник –
движущийся точечный заряд Q:
μ QV sin α
μ0Q (V ⋅ r )
B
=
B= 0
или
(
3
.
4
)
.
(3.5)
4π r 2
4π r 2
Таким образом, вектор В лежит в плосr
кости, перпендикулярной плоскости, где лежат B
B
V и r, и образует с ними правовинтовую сисα
+
тему (рис. 3.2), а силовые линии магнитного
поля представляют собой концентрические окружности, охватывающие движущийся заряд.
Рис. 3.2
Магнитная сила, действующая на движущийся заряд, называется силой Лоренца:
FЛ = qVB sin α
(3.6)
или
FЛ = q [V , B ].
(3.7)
33
Эта сила перпендикулярна плоскости, где находятся V и B, а потому
работы не совершает. Действие этой силы приводит лишь к искривлению траектории. Если α = 900, то заряд движется по окружности (рис. 3.3а). При этом
FЛ = FЦ.С. или qVB = mV 2 R , где R – радиус окружности. Если α ≠ 900, то
траектория частицы – винтовая линия (рис. 3.3б).
q
Vτ
q
B
Vn α
V
V
B
FA
V
a) (α = 900)
Рис. 3.3
б) (α ≠ 900)
3.3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРОВОДНИКА С ТОКОМ.
ЗАКОН БИО − САВАРА − ЛАПЛАСА
dl
i
r
Если по проводнику течет ток, то вокруг него возникает
магнитное поле, являющееся результирующим от сложения
магнитных полей, создаваемых движением отдельных заряженных частиц:
B = B1 + B2 + B3 + ... = ∑ Bi .
Эта формула выражает принцип суперпозиции магнитных
полей. Поэтому индукцию магнитного поля, созданного отрезком проводника Δl с током i, можно найти из формулы (3.4).
dB Учитывая, что
QV = i Δt dl dt = i Δl ,
можно получить
μ i dl sin α
μ0i (dl ⋅ dr )
Рис. 3.4
(
3
.
9
)
.
(3.10)
B
=
или
d
dB = 0
4π r 2
4π r3
Эта формула определяет индукцию магнитного поля dB, созданного элементом тока i dl на расстоянии r от него (рис. 3.4). Они выражают закон БиоСавара-Лапласа. Пользуясь формулой (3.9), можно рассчитать индукцию магнитного поля, созданного токами различной конфигурации. Так, для прямого
длинного провода и витка с током радиусом R получается (рис. 3.5 а,б)
В случае кругового тока индукция определяется не током i, а произведением тока на площадь витка (см. 3.12). Магнитным моментом контура называется величина
рm = i S
(3.13)
3.4. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПРОВОДНИК С
ТОКОМ. СИЛА АМПЕРА
На электрический заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила
(
34
Лоренца. Ток в проводнике есть совокупность движущихся зарядов, поэтому на
отрезок проводника Δl будет действовать сила. Заменяя в формуле (3.6) qV
элементом тока i Δl, получаем силу, действующую на отрезок проводника Δl
с током i в магнитном поле с индукцией В:
F = i Δl B sin α
(3.14)
или
F = i (Δl ⋅ B )
(3.15)
Эти формулы выражают силу Ампера.
Если в магнитном поле находится контур с током (рис. 3.6), то на каждую его сторону будет действовать сила Ампера. Силы, действующие на стороны а, перпендикулярны к ним и к полю и будут лишь деформировать контур, а
на стороны b действуют силы Ампера F = i b B, которые образуют пару сил
M = Fd = F a sin ϕ = i b a B sin ϕ ,
с
вращающим моментом
где
d = a sin ϕ − плечо пары, а i a b = i S = pm или
M = Pm B sin ϕ
(3.16)
M = [Pm , B ].
(3.17)
Под действием этого момента контур начнет вращаться, пока угол ϕ не
станет равным 00 или 1800.
Формула (3.14) позволяет найти силу взаимодействия двух параллельных проводников с током:
μ ii
f = 012.
2π x
(3.18)
Здесь f = F/1 – сила, действующая на единицу длины провода; х – расстояние между проводами. На основе магнитного взаимодействия проводов с
током из (3.13) в СИ определяют основную единицу – силу тока 1 Ампер: 1 А
– сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводам бесконечной длины, расположенным в вакууме на расстоянии
−7
1 м, вызывает силу на 1 м длины, равную f = F l = μ0 2π = 2 ⋅ 10 Н / м.
Под действием магнитного поля проводники совершают перемещение, а
сила Ампера совершает работу:
dA = F dx cosα = i B cosα l dx = i Bn dS ,
где l – длина проводника; dx – перемещение; dS – площадь, описываемая при движении проводника.
Так же, как в электростатике (см. 1.4, формулы (1.8), (1.9)), BndS есть
число магнитных силовых линий, пронизывающих площадь dS, т.е. магнит-
F
a
b
i
ϕ
n
B
+
Рис. 3.6
B
ϕ
F
n
35
ный поток dФ:
Фm = ∫ Bn dS
(3.19)
S
Эта величина в СИ имеет специальное название 1 Вебер (Вб) = 1 Т⋅1 м2.
При этом работа магнитного поля будет равна
ΔA = i Bn ΔS = i ΔФm .
(3.20)
3.5. ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА
Соотношение между током и вызванным им магнитным полем выражается законом полного тока:
(3.21)
∫ Bl dl = μ0 ∑ iK ,
циркуляция вектора магнитной индукции вдоль произвольного замкнутого контура, который охватывает токи, равна произведению μ0 на алгебраическую сумму токов внутри этого контура.
Сопоставляя этот результат с условием потенциальности электрического
поля (формула (1.11)), видно, что магнитное поле не является потенциальным.
Оно – вихревое или соленоидальное. Этот результат является следствием замкнутости магнитных силовых линий, из чего следует, что магнитный поток
сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:
(3.22)
∫ BS dS = 0.
Эта формула выражает теорему Гаусса для магнитного поля.
Формула (3.20) позволяет вычислить индукцию магнитного поля внутри
тонкого соленоида:
B = μ0 n i = μ0 N i l ,
(3.23)
где N – число витков; l – длина соленоида.
3.6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Поскольку электрический ток создает магнитное поле (i → B), то должно
существовать и обратное: магнитное поле должно создавать в проводниках
электрический ток (B → i). Оказалось, что лишь меняющееся магнитное поле
может создать ток в проводнике (Фарадей, 1831 г.). Это фундаментальное открытие получило название электромагнитной индукции.
В некоторых случаях его можно получить как следствие закона сохранения энергии. Так, при движении замкнутого витка с ЭДС Е в магнитном поле
за время dt силы Ампера совершают работу dAm = i dФm, в проводнике выделяется тепло dQ = i2 R dt, а работа источника тока при этом dAИ = dQ + dAm,
откуда
i=
ε − (dФm / dt )
=
ε + εi
.
R
R
Сравнивая эту формулу с законом Ома для замкнутой цепи, можно заключить, что ток в замкнутом витке, движущимся в магнитном поле, определя-
36
ется не только ЭДС источника, но и величиной (dФm/dt), которая представляет собой ЭДС электромагнитной индукции:
dФ
εi = − m .
(3.24)
dt
ЭДС электромагнитной индукции равна скорости изменения магнитного
потока. Знак минут указывает направление индукционного тока, определяемое
правилом Ленца.
ЭДС электромагнитной индукции возникает не только при изменении
магнитного поля сквозь поверхность контура, но и при движении проводников.
Так, при движении проводника в магнитном поле на его концах возникает разность потенциалов – ЭДС индукции
ε i = VB l sin α ,
(3.25)
здесь V – скорость движения проводника; l – длина проводника; α= V^B.
При вращении витка в магнитном поле с угловой скоростью ω в нем
возникает переменная ЭДС:
ε = ε 0 sin ω t = BS ω sin ω t .
(3.26)
ЭДС электромагнитной индукции может возникать в
B
замкнутом контуре и без внешнего магнитного поля. Она
может возникать под воздействием меняющегося тока, текуi
щего в самом контуре. Это явление получило название самоиндукции. Так, ток контура i создает магнитное поле В,
линии которого пересекают плоскость контура и создают
Рис. 3.7
магнитный поток: i → B → Ф или Фm ~ i, или
(3.27)
Фm = L i.
Коэффициент пропорциональности L называют индуктивностью контура. В СИ единица индуктивности 1 Генри (Г) = 1 Вб/1 А. Эта величина зависит от конфигурации и размеров контура и свойств среды, где он находится.
Так, для тонкого соленоида
L = μ0n 2lS = μ0 N 2 S l ,
(3.28)
здесь N – число витков; l – длина; S – площадь сечения соленоида. Из
(3.27) следует, что если i = i (t), то Фm = Фm(t), и в контуре возникает ЭДС
самоиндукции
di
εS = −L .
(3.29)
dt
3.7. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
При размыкании цепи (рис. 3.8) в ее
замкнутом участке аГва некоторое время будет течь ток за счет самоиндукции. Работа,
совершаемая этим током, идет на выделение
тепла в проводниках и сопровождается исчезновением магнитного поля. Таким образом,
Г
a
в
ε
k
Рис. 3.8
37
проводник с индуктивностью L, по которому течет ток i, обладает энергией,
сосредоточенной в окружающем его магнитном поле
W = L i2 2.
(3.30)
Эту энергию называют магнитной энергией тока. Как и в случае электрического поля, ее можно выразить через силовую характеристику – индукцию.
Так, например, для тонкого соленоида из формулы (3.23), (3.30) находим
B2
V,
2 μ0
где V = l S – объем соленоида, а плотность энергии магнитного поля
ω = B 2 2 μ0 .
(3.31)
W=
3.8. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ.
ВЕКТОР НАМАГНИЧИВАНИЯ
Если проводники находятся не в вакууме, а в какой-либо среде, то магнитное поле существенно изменяется. Так, например, если в катушку с индуктивностью L вдвинуть железный сердечник, то индуктивность катушки возрастет, следовательно, возрастет магнитное поле внутри катушки. Это показывает, что вещество в магнитном поле намагничивается, т.е. само становится источником магнитного поля. Намагниченное вещество создает поле В’, которое
накладывается на поле токов В0, и результирующее магнитное поле будет равно
В = В0 + В’.
(3.32)
Для объяснения намагниченности вещества Ампер предположил наличие
в атомах и молекулах круговых токов, обладающих магнитным моментом рm и
создающих магнитное поле с индукцией В ∼ рm (см. 3.13).
Так, схематично рассматривая атом как систему вращающихся электронов, можно вычислить соответствующий магнитный момент (рис. 3.9):
рm = im S = imπ r 2 ,
где im = e/T – «молекулярный ток»; S = π r2 – площадь орбиты. Тогда
eπ r2
eV r
=
.
рm =
(2π r ) / V
2
Этот магнитный момент называют орбитальным. По современным представлениям о строении
атома величина орбитального магнитного момента
электрона кратна некоторой величине μБ – магнетону
рm = n μ Б ,
Бора
где
n = 1, 2, …;
-23
μБ ≈ 0,927⋅10 Дж/Т. Помимо орбитального момента
электрон обладает еще и собственным или спиновым
магнитным моментом рms, равным магнетону Бора.
Первоначально представление о спине для наглядности
(3.33)
im
Pm
e
V
Рис. 3.9
38
связывали с вращением электрона вокруг собственной оси. Однако такое представление НЕВЕРНОЕ. Спин – особое свойство микрочастиц, присущее им как
масса и заряд.
Магнитный момент атома, таким образом, будет суммой этих моментов,
причем эта сумма не арифметическая, а более сложная. Ядра атомов также обладают магнитным моментом, однако их величина значительно меньше, чем у
электронов, поэтому магнитные моменты атомов определяются в основном
магнитными моментами электронной оболочки.
Так обстоит дело в случае изолированного атома. Для твердого тела магнитный момент определяется не только составляющими его частицами, но и
взаимодействием их с соседними атомами.
Существование магнитных моментов у атомов было обнаружено в опытах Эйнштейна и де Гааза, Штерна и Герлаха.
Под действием магнитного поля магнитные моменты отдельных атомов
получают существенную ориентацию, и вещество намагничивается. Интенсивность намагничивания принято характеризовать вектором намагничивания,
J – магнитным моментом единицы объема:
J = ∑ рmi V
(3.34)
Для однородного вещества
J = pm ⋅ n,
(3.35)
где рm – магнитный момент атома; n – концентрация атомов.
Закон полного тока в веществе с учетом молекулярных токов IМ будет
иметь вид:
∫ Bl dl = μ0 (i + I M ),
где i – ток проводников; IM – молекулярный ток, охватываемый контуром L. Этот ток можно выразить через вектор намагничивания:
I M = ∑ im = ∫ J l dl.
(3.36)
Тогда закон полного тока запишется так:
⎛ B
⎞
⎜
−
J
(3.37)
∫ ⎜⎝ μ0 ⎟⎟⎠ dl = i.
l
Вектор
H = B μ0 − J
(3.38)
называют напряженностью магнитного поля, и закон полного тока в веществе принимает вид
∫ H l dl = i.
(3.39)
Напряженность магнитного поля Н является вспомогательной величиной, с помощью которой определяется индукция магнитного поля в веществе
В. Вектор Н вводится аналогично вектору D в электростатике.
В СИ напряженность измеряется в А/м. Кроме того, пользуются внесистемной единицей 1 эрстед (Э) ≈ 80 А/м.
39
Вектор напряженности магнитного поля принято связывать с вектором
намагничивания
J = χ ⋅ H,
(3.40)
где безразмерный коэффициент χ («хи») называют магнитной восприимчивостью. Подставив (3.40) в (3.38), получим
B = μ0 (1 + χ ) = μ0 μ H .
(3.41)
Величину μ =1 + χ называют относительной магнитной проницаемостью вещества. Большинство веществ очень слабо намагничиваются и для них
μ ≈1. Лишь для малого круга веществ (ферромагнетики) эта величина имеет
существенное значение. Таким образом, во всех формулах магнетизма (п. 3)
надо μ0 заменить на μ0 μ.
Из сказанного следует, что на все атомы вещества будет действовать магнитное поле. Следовательно, немагнитных веществ не существует. По этой
причине вещества по отношению к их магнитным свойствам называются магнетиками. По магнитным свойствам, в зависимости от строения атомов, вещества делятся на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.
3.9. ДИАМАГНЕТИКИ
Явление диамагнетизма заключается в том, что в веществе, помещенном
в магнитное поле, возникает дополнительный магнитный момент, направленный противоположно полю. Вещество при этом намагничивается противоположно внешнему полю. Это явление есть следствие электромагнитной индукции. За счет внешнего поля в атоме возникают индукционные токи, противодействующие ему, которые и создают дополнительный магнитный момент противоположного направления.
Электрон, вращающийся по орбите, можно представить в виде своеобразного волчка с магнитным моментом. В магнитном поле возникают силы,
стремящиеся ориентировать плоскость орбиты перпендикулярно полю, что
приводит к прецессии орбиты около направления
B
поля (рис. 3.10). Прецессия – это медленное по
сравнению с осевой скоростью вращение вокруг
вертикальной оси. Электронная орбита при этом
начнет прецессировать с угловой скоростью
ω L = eB 2m .
e
S
Ее называют частотой Лармора.
Прецессия орбиты эквивалентна дополнительному вращению, что и вызывает дополнительный
S⊥
магнитный момент, противоположный полю В и
Δрm
Рис. 3.10
eV r eω L r 2 e 2 r 2 B e2 S⊥ B
Δрm =
=
=
=
,
равный
2
2
4m
4π m
где S⊥ − площадь проекции прецессирующей
40
орбиты электрона S на плоскость, перпендикулярную В.
Диамагнетизм присущ всем веществам, хотя у многих он не проявляется
из-за более сильного парамагнетизма. Диамагнетизм проявляется у тех веществ,
у атомов которых орбитальные и спиновые моменты взаимно скомпенсированы. Диамагнетиками являются все
В поле
Без поля
инертные газы, углеводородные жидкости, вода, медь, серебро, золото,
висмут и др. металлы. Диамагнитная
восприимчивость для них отрицательна χ < 0 и изменяется в пределах
χ = 10-6 ÷ 10-5, а μ ≤ 1.
а)
б)
3.10. ПАРАМАГНЕТИКИ
Если результирующий магнитный момент атома не равен нулю, то в
отсутствие магнитного поля магнитные моменты отдельных атомов и молекул
ориентированы хаотично и вещество не намагничено (рис. 3.11а).
При наложении магнитного поля возникают силы, ориентирующие магнитные моменты каждого атома по полю (рис. 3.11б). Объем вещества приобретает магнитный момент – оно намагничивается. С повышением температуры
дезориентирующая роль теплового движения увеличивается, и намагниченность убывает. П. Кюри установил закон этой зависимости: χ = C T , где
χ − парамагнитная восприимчивость; С – постоянная. Парамагнетиками являются газы СО2, Н2, N2, щелочные металлы, хром, молибден, марганец и др.
Для них χ > 0 и составляет χ = 10-5 ÷ 10-4, а μ ≥ 1.
Рис. 3.11
3.11. ФЕРРОМАГНЕТИКИ
Рассмотренные явления относятся к слабомагнитным. Термин «магнетизм» по сути относится только к сильно магнитным веществам – ферромагнетикам, названным из-за известного представителя этого класса – железа. К этому классу относятся химически чистые элементы: железо, никель, кобальт, гадолиний, сплавы их с другими элементами, а также ферриты. Они представляют собой ферромагнитные химические соединения типа MeO Fe2O3, где
Ме – один из двухвалентных ионов Mn, Co, Ni, Mg, Zn, Cd, Fe+2.
Ферромагнетики, помимо способности сильно намагничиваться, обладают рядом свойств, существенно отличающих их от диа- и парамагнетиков.
Характерной их особенностью является сложная зависимость между индукцией В и напряженностью Н. Эта зависимость была установлена
А.Г. Столетовым (рис. 3.12). HS – напряженность, при которой достигается
магнитное насыщение (рис. 3.13). Такие зависимости В(Н) и J(H) приводят
к тому, что от напряженности поля зависит и магнитная проницаемость
(рис. 3.14).
41
Для ферромагнетиков магнитная проницаемость достигает больших значений. Так, для железа, например, μmax = 5000.
J
B
μ
JS
0
HS
Рис. 3.12
H
0
HS
Рис. 3.13
H
1
0
H
Рис. 3.14
При намагничивании ферромагнетика в переменном по величине и направлению внешнем
поле А.Г. Столетов обнаружил способность у них
JR
сохранять намагниченность. Это приводит к
магнитному гистерезису (рис. 3.15). Здесь НК –
HK
H
коэрцитивная сила; JR – остаточная намагниченность. С повышением температуры остаточная намагниченность у ферромагнетиков уменьРис. 3.15
шается. При достаточно высокой температуре –
точке Кюри – она полностью исчезает. Так, для
0
железа она 780 С, никеля 3500С, кобальта 11500С.
Причина ферромагнитных свойств лежит не только в строении атомов, но
и в связи между атомами в кристалле. У атомов ферромагнетиков имеются незаполненные электронные слои, в результате чего возникает нескомпенсированный магнитный момент. Однако, в отличие от парамагнетиков у ферромагнетиков расстояния между атомами в кристаллической решетке такие, что между соседними электронами устанавливается сильное взаимодействие – обменное взаимодействие, приводящее к тому, что их спины устанавливаются параллельно. Это приводит к появлению связанных со спинами магнитных моментов. Вследствие объединения большого числа таких электронов возникает самопроизвольная (спонтанная) намагниченность, более сильная, чем способно
создать внешнее поле. Такие области спонтанной намагниченности называют
доменами.
В отсутствие внешнего поля наличие доменов не проявляется, т.к. каждый из них имеет случайную ориентацию. Полное упорядочение в расположении доменов происходит лишь во внешнем поле. При возрастании напряженности внешнего поля Н домены с наиболее выгодной ориентацией увеличивают
свои размеры за счет процессов смещения границ и вращения, и при больших
напряженностях (H = HS) процесс завершается – вещество намагничивается.
J
3.12. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Всю совокупность основных законов электричества и магнетизма – законы Кулона, полного тока, электромагнитной индукции можно представить в
виде системы уравнений, известной под названием уравнений Максвелла. Эти
42
уравнения отражают единую теорию электромагнетизма, созданную в 60-х годах XIX столетия Дж.К. Максвеллом. Уравнения эти не выводятся, они являются обобщением и уточнением опытных фактов и играют в электродинамике такую же роль, как и законы Ньютона в механике.
3.12.1. Первое уравнение Максвелла
Это уравнение является обобщением закона электромагнитной индукции
Фарадея (3.24).
Анализируя явления электромагнитной индукции, Максвелл заключил,
что индукционный ток в контуре, вызванный меняющимся магнитным полем,
является результатом возникновения в контуре вихревого электрического поля,
а поэтому в любом замкнутом контуре, мысленно выделенном в переменном
магнитном поле, всякое изменение магнитного поля вызовет появление вихревого электрического поля. Этот результат выражают количественно:
⎛ dB ⎞
E
dl
=
−
(3.43)
l
∫
∫ ⎜⎝ dt ⎟⎠ dS.
L
S
Здесь S – поверхность, натянутая на контур L.
Это уравнение выражает количественную связь между изменяющимся
магнитным полем В и электрическим полем Е.
3.12.2. Второе уравнение Максвелла
Это уравнение является обобщением закона полного тока. Максвелл
предположил, что по отношению к электромагнитной индукции должно иметь
место и обратное явление – меняющееся электрическое поле должно индуцировать магнитное поле. Этого требует симметрия природы и связь электричества
с магнетизмом. В этом случае аналогично (3.43) должно существовать уравнение
⎛ dD ⎞
∫ Bl dl = ∫ ⎜⎝ dt ⎟⎠n dS ,
L
S
где D – вектор электрического смещения.
Но согласно закону полного тока
∫ Bl dl = μ0i.
Поэтому в полной записи соответствующее уравнение имеет вид:
⎡
⎤
dD ⎞
⎛
∫ Bl dl = μ0 ⎢⎢i + ∫ ⎜⎝ dt ⎟⎠n dS ⎥⎥.
L
⎣ S
⎦
(3.44)
Здесь i – ток в проводниках (ток проводимости); S – поверхность, натянутая на контур L.
Добавленное второе слагаемое в (3.44) имеет смысл силы тока, который
Максвелл назвал током смещения iCM.
43
dD/dt
dB/dt
⎛ dD ⎞
iCM = ∫ ⎜
⎟ dS .
dt ⎠ n
⎝
S
Экспериментальным
обоснованием существования
тока смещения являются опыB
E
ты А.А. Эйхенвальда, изучавшего магнитное поле тока поРис. 3.16
ляризации в диэлектрике.
Итак, механическая модель тока – перемещение заряженных частиц, является грубым отображением реальности.
Говоря о токе, следует, прежде всего, иметь в виду электромагнитное поле вокруг него. В случае постоянного тока главную роль играет движение заряженных частиц, в случае переменного – электромагнитное поле, влияние которого тем больше, чем больше частота колебаний. Таким образом, полный ток
равен
i = i ПР + iCM .
(3.46)
Ток смещения создает лишь магнитное поле по тому же закону, что и ток
проводимости, но не выделяет джоулевого тепла.
Оценим величину тока смещения. Пусть в проводнике сечением
S = 1 мм2 имеется разрыв d = 1 м, по нему течет переменный ток с напряжением U = U0sin ωt, частоты ν = 50 Гц. Тогда
iCM = jCM S =
dD
d
dE ε 0 S dU ε 0U ω S
S = (ε 0 E ) S = ε 0 S
=
=
cos ω t.
dt
dt
dt
d dt
d
Его максимальное значение при U0 = 200 В составит при этом всего
5⋅10 А. При тех же условиях в области радиотехнических частот (ν = 1011 Гц)
iCM ≈ 1 A, сравним с током проводимости.
Из первого (3.43) и второго (3.44) уравнений Максвелла следуют важные выводы. Между электрическим и магнитным полями существует тесная
связь: изменение электрического поля Е вызывает появление магнитного поля,
а переменное поле является источником вихревого электрического поля. Знаки
при скоростях изменения B и D различны: dD/dt и B образуют «правовинтовую» систему, а dB/dt и E – «левовинтовую» (рис. 3.16)
3.12.3. Полная система уравнений Максвелла
К первым двум уравнениям добавлю еще два: теорему Гаусса для электрического поля, которая выражает существование электрических зарядов (силовые линии электрического поля не замкнуты), и теорему Гаусса для магнитного поля (магнитных зарядов нет, а магнитные силовые линии замкнуты). Эти
четыре уравнения образуют полную систему уравнений Максвелла в интегральной форме:
-10
44
⎛ dB ⎞
=
−
E
dl
∫ l
∫ ⎜⎝ dt ⎟⎠dS
L
S
∫ DndS = q
S
⎡
⎤
⎛ dD ⎞
⎢
∫ Bl dl = μ0 ⎢i + ∫ ⎜⎝ dt ⎟⎠n dS ⎥⎥
L
⎣ S
⎦
∫ BndS = 0
(3.47)
S
Их дополняют материальными уравнениями, связывающими E, H, D, B
и j:
D = ε ε0E,
B = μ μ0 H ,
j = σ E.
(3.48)
Физическая сущность уравнений Максвелла сводится к следующему.
Разделение электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет лишь
относительный характер. Если с точки зрения одной инерциальной системы отсчета существует лишь электрическое поле, то с точки зрения другой инерциальной системы отсчета, движущейся относительно первой со скоростью V,
наряду с электрическим полем существует и магнитное поле.
Таким образом, существует единое электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью.
3.13. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
μ I
B= 0 .
2R
B=
(
μ0 R 2 I
2 R2 + x
)
2 3/ 2
.
Индукция магнитного поля В, созданного
проводниками с током I (в вакууме)
В центре кругового тока, радиуса R
На оси кругового тока, на
расстоянии х от центра витка
I
α1
x
B
α2
μ 0I
.
2π x
μ I
B = 0 (cos α1 − cos α 2 ).
4π x
B=
B = μ0
N
I = μ0 n I .
l
На расстоянии х от длинного прямого
проводника с током
На расстоянии х от отрезка проводника с током
Индукция магнитного поля на оси тонкого
соленоида (катушка с током)
−7
В этих формулах μ 0 = 4π ⋅ 10 г / м − магнитная постоянная; N – число витков
соленоида, l – длина соленоида.
Сила, действующая на отрезок проводника с током (сила
F = I B l sin α ,
Ампера), где l – длина проводника, α − угол между
направлениями В и направлением тока в проводе
45
M = I B S sin α = Pm Механический (вращательный) момент, действующий на
контур с током в магнитном поле, где S – площадь
контура, α − угол между нормалью к плоскости контура
и В
магнитный момент контура.
Pm = I S
F = qV B sin α ,
Фm = B S cos α
Фm = B n S ,
Фm = ∫ Bn dS .
Сила, действующая на частицу с зарядом q,
движущуюся со скоростью V в магнитном поле с
индукцией В (сила Лоренца), где α − угол между
векторами V и В.
Магнитный поток для однородного магнитного поля, где
S – площадь контура, α − угол между нормалью к
плоскости контура и В
Для неоднородного магнитного поля
S
Ψ = NФm .
A = I ΔФm .
ε = − dΨ dt .
Полный поток для контура с N витками
(потокосцепление)
Работа по перемещению контура с током в магнитном
поле
ЭДС электромагнитной индукции
Δϕ = V B l sin α , Разность потенциалов Δϕ на концах проводника с
длиной l, движущимся со скоростью V в магнитном
поле с индукцией В, где α − угол между V и В
ε = ε max sin ω t = ЭДС индукции, возникающей в рамке при ее вращении в
магнитном поле,где N – число витков рамки, В –
= N B S ω sin ω t , индукция магнитного поля, S – площадь рамки,
ω − угловая скорость вращения рамки.
Заряд Q, протекающий по замкнутому контуру при
ΔΦ m
Q=
,
изменении магнитного потока, где R – сопротивление
R
контура.
Индуктивность контура L
L = Фm I .
dI
.
dt
L = μμ0n 2V ,
εS = −L
ЭДС самоиндукции
Индуктивность соленоида, где μ − магнитная
проницаемость сердечника n = N l , N – число витков
соленоида, l – длина соленоида, V = l⋅S – объем
соленоида, S – площадь сечения соленоида.
значения токов в цепи с индуктивностью
I = I 0 1 − e − Rt L Мгновенные
L и сопротивлением R При размыкании цепи
(
I = I 0 e − Rt L .
)
При замыкании цепи
46
Wm = L I 2 2 ,
ϖ=
B2
2 μμ0
,
B = μμ0 H .
Энергия магнитного поля, где L – индуктивность
проводника с током I
Объемная плотность энергии магнитного поля (для
вакуума μ = 1).
Связь напряженности Н и индукции магнитного поля В
3.14. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
3.14.1. Пример 1.
Бесконечно длинный провод изогнут так, как показано
на рисунке. Радиус дуги окружности R = 10 см.
Определить магнитную индукцию поля В в точке 0,
создаваемого током I = 10 А, текущим по этому
проводу.
I
R
0
Дано:
R = 10 см
I = 10 А
В−?
Решение
Магнитная индукция В в точке 0 создается тремя участками
провода: АВ, ВС и CD, поэтому В = В1 + В2 + В3. Здесь АВ
и СD – два прямолинейных участка, уходящих в
бесконечность, ВС – дуга окружности радиуса R.
Так как точка О лежит на оси провода, то В1 = 0. Векторы В2 и В3, в
соответствии с правилом буравчика для данного направления тока, направлены
перпендикулярно плоскости чертежа от нас, поэтому В = В2 + В3. Используя
соответствующие формулы, для кругового и пряD
μI
−
мого полубесконечного тока находим: B 2 =
α
4R
B
(полуокружность),
μI
(cos α1 − cos α 2 ), где x = R, α1 = 900 ,
B3 =
B
4π x
μ I
α 2 ⇒ 1800 , тогда B3 = 0 , (cos α 2 = −1).
Из
A
4π R
μ I μ I μ I
B = 0 + 0 = 0 (π + 1), B = 3,31 ⋅ 10− 4 Тл.
этих выражений получаем
4 R 4π R 4πR
3.14.2. Пример 2.
По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2,5 м каждый, находящийся на расстоянии d = 20 см друг от друга текут токи I1 = I2 = 1 кА.
Найти силу взаимодействия токов.
47
Решение
I2
I1
Взаимодействие проводников с
l = 2,5 м
F21
током, осуществляется через
d = 20 см
магнитное поле. Проводник с током
I1 = I2 = 1 кА
+ B1
I1 создает вокруг себя магнитное
F−?
F12
поле с индукцией В1 направленной
перпендикулярно плоскости чертежа
от нас и равную B1 = μ0 I 2π d . Это поле действует на проводник с током I2 с
силой FA = F21, F21 = I2 B1 l2 (sin90o = 1) Точно также на проводник с током I2
μ0I2
l = F21.
будет действовать сила FA = F12, F12 = I1 B2 l1. Причем F12 = I1
2π d
Эти силы направлены друг к другу и проводники будут притягиваться:
Дано:
μ I I
F = 0 1 2 l = 2,5 H . Заметим, что эта формула лежит в основе определения ос2π d
новной единицы силы тока в «СИ» – 1 А.
3.14.3. Пример 3.
Электрон, влетев в магнитное поле с индукцией В = 0,2 Тл, стал двигаться по окружности радиуса R = 5 см. Определить магнитный момент pm
эквивалентного кругового тока.
Решение
Дано:
Так как электрон стал двигаться по окружности, то он
В = 0,2 Тл
R = 5 см
влетел перпендикулярно магнитному полю В, т.е. α = 900
pm − ?
и сила Лоренца FЛ = e V B является центростремительной
2
F , т.е. eVB = mV R , откуда скорость электрона равна
V = eBR m .
ц.с.
Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току силы I: I = e T , где е – заряд
электрона, Т – период вращения электрона. Тогда магнитный момент эквивалентного тока равен
e
e R ⋅ 2π R eVR
=
, где S = π R 2 −
Pm = I S = πR 2 =
T
2T
T
FЛ
е
В
V
площадь окружности по которой движется электрон.
2πR
V =ωR =
− линейная скорость электрона. Подставим выражение для V и
T
найдем
e 2 BR 2
pm =
= 1 A ⋅ м2 .
2m
3.14.4. Пример 4.
Электрон движется в магнитном поле по винтовой линии радиуса R = 1
см, шаг винтовой линии h = 6 см. Определить период электрона Т и его
скорость V, если индукция магнитного поля В = 10 мТл.
48
Дано:
Решение
В
R = 1 см
Электрон будет двигаться Vy
V
h = 6 см
по винтовой линии, если
В = 10 мТл
он влетел в магнитное
α
Vx
h
T, V − ?
поле под углом α.
Тогда скорость V можно разложить на две составляющие: Vx = V cos α,
направленную вдоль поля с индукцией В и Vy = V sin α, направленную перпендикулярно полю. При этом электрон одновременно участвует в двух движениях: по окружности со скоростью Vy и равномерно прямолинейно движется вдоль В со скоростью Vx. Находим радиус окружности:
FЛ = Fц.с.
или
период Т: T =
eV y B =
mV y2
R
,
R=
mV y
eB
. Тогда V y =
e BR
.
m
Находим
2р R 2 π m
=
. Находим шаг винтовой линии
Vy
eB
h = V xT = V x ⋅
2π m
, откуда
eB
равна V =
Vx2 + Vy2 . Вычисления дают Т = 3,57 нс, V = 2,46⋅107 м/с.
Vx =
eBh
. Скорость электрона при этом
2π m
3.14.5. Пример 5.
Короткая катушка, содержащая N = 1000 витков, равномерно вращается
с частотой v = 10 c-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и
перпендикулярной линиям однородного магнитного поля с индукцией
В = 0,04 Тл. Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол α = 600 с линиями поля. Площадь сечения катушки S = 100 см2.
Дано:
Решение
A
ω
N = 1000
Мгновенное значение ЭДС
v = 10 c-1
индукции определяется формулой:
dФm
B = 0,04 Тл
ε = −N
, где Фm = B S cos ω t.
2
S = 100 см
α
dt
0
α = 60
ε = N B S ω sin ω t.
B
ωt
Тогда находим
ε−?
n
Здесь ω = 2 π ν, а для
B
соответствующих моментов
времени, как видно из рисунка
0
ω t = 90 − α , тогда ε = N B S ⋅ 2π ν cos α = 21,5 B.
3.14.6. Пример 6.
Плоский квадратный контур свободно установился в магнитном поле с
индукцией В = 1 Тл. Сторона контура а = 10 см, ток в контуре I = 100 A.
Определить работу совершаемую внешними силами при повороте контура на
49
угол Δα = 900.
Дано:
Решение
В = 1 Тл
Так как контур свободно установился в магнитном поле, то его
а = 10 см
плоскость перпендикулярна В и α1 = 0. При повороте
I = 100 A
контура на угол Δα = α2 − α1 = α2. На него будет действовать
0
Δα = 90
вращательный момент внешних сил M = pmB cosα2,
A−?
где pm = I⋅S – магнитный момент контура. Для этого надо
совершить работу
α
α
α
A = 2 M dϕ = 2 pm B sin α dα = pm B (− cos α ) |0 2
0
0
B
2
2
A = pm B = I a B , где S = a , A = 1 Дж.
α
n
3.14.7. Пример 7.
Pm
∫
∫
Соленоид без сердечника содержит N = 1200 витков провода, плотно
прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 A магнитный поток
Фm = 6 мкВб. Определить индуктивность соленоида L и энергию магнитного
поля Wm соленоида.
Дано:
Решение
N = 1200
Индуктивность соленоида L связана с потокосцеплением ψ
I=4A
и силой тока формулой: ψ = N Фm = L I . Откуда находим
Фm = 6 мкВб
L = N Фm I = 1,8 мГн. Энергия магнитного поля соленоида
Wm−?
2
W
=
L
I
2 = 14,4 мДж.
m
равна
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
4.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Гармонические колебания (механические и электрические) и их характеристики. Маятники. Колебательный контур. Энергия гармонических колебаний. Сложение колебаний. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс.
Волны в упругой среде. Уравнение плоской волны. Энергия волны. Сложение волн.
Электромагнитные волны. Свойства электромагнитных волн. Энергия
электромагнитной волны.
4.1. ПОНЯТИЕ КОЛЕБАНИЙ
Колебания – движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости, относительно положения равновесия. Колебания свойственны всем явлениям природы: пульсируют излучения звезд, периодическим
50
является вращение планет Солнечной системы, ветры возбуждают колебания и
волны на поверхности водоемов и т.д. Внутри любого живого организма непрерывно происходят разнообразные ритмично повторяющиеся процессы, например, биение сердца.
В технике колебания выполняют определенные функции – колесо, маятник, колебательный контур и т.д.
В физике особо выделяют колебания двух видов – механические и электромагнитные и их комбинации. Это обусловлено той исключительной ролью,
которую играют гравитационные и электромагнитные взаимодействия в жизнедеятельности человека. С помощью распространяющихся механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук, а также
очень быстрых колебаний электрических и магнитных полей, воспринимаемых
нами как свет, мы получаем большую часть прямой информации об окружающем нас мире.
Колебания любых физических величин всегда сопровождаются превращением энергии одного вида в энергию другого вида. Так, у колеблющегося
маятника потенциальная энергия при отклонении его от положения равновесия
переходит в кинетическую энергию движения. В случае электрических зарядов
и токов в колебательном контуре или электрических и магнитных полей в электромагнитных волнах роль потенциальной энергии играет электрическая энергия, а кинетической – магнитная.
4.2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
По мере изучения колебаний различной физической природы возникло
убеждение в возможности общего подхода к ним независимо от их природы. В
результате появилась теория колебаний и волн, которая, основываясь на математических и физических моделях, устанавливает общие свойства колебательных и волновых процессов.
На первый взгляд кажется, что у четырех физических систем, показанных
на рис. 4.1, мало общего:
a) простой (математический маятник);
б) пружинный маятник;
в) физический маятник – массивное тело массы М, которое может вращаться относительно оси С;
г) электрический контур в виде катушки индуктивности L, присоединенный к конденсатору с емкостью С и зарядом q на его пластинах.
Все эти системы представляют собой простые колебательные системы
или гармонические осцилляторы.
При малом отклонении от своего положения равновесия или покоя, они
совершают простые гармонические колебания. Это самый важный вид колебаний отдельной частицы. При малом смещении х относительно положения равновесия возникает возвращающая сила F, пропорциональная смещению х и
направленная к положению равновесия. Таким образом,
F = − k x,
51
a)
в)
l
ϕ
С
x
m&x& + mg = 0
l
g
ω02 =
l
x
0
I ϕ&& + Mg a ϕ = 0
mg l
ω02 =
I
Mg
I – момент инерции
l
ϕ
mg
б)
г)
m&x& + kx = 0
k
ω02 =
m
q
L
x
C
q
=0
C
1
ω02 =
LC
L q&& +
Рис. 4.1
где k – постоянная, называемая коэффициентом жесткости. Уравнение
движения таких колебаний определяется вторым законом Ньютона
m&x& = − kx, где &x& =
d 2x
k
&x& + х = 0 или
−
ускорение.
Отсюда
m
dt 2
&x& + ω02 x = 0.
(4.1.)
Здесь ω0 = 2 π ν = 2 π T − угловая частота; Т – период; v – частота колебаний. Это уравнение гармонических колебаний, а его решение – закон гармонических колебаний
x = A cos (ω0 t + ϕ 0 ).
(4.2)
Оно может быть также представлено в виде
(
)
x = A sin ω0t + ϕ0/ .
Здесь А = xmax – амплитуда; (ω0t + ϕ0 ) − фаза; ϕ0 – начальная фаза колебаний.
Скорость и ускорение для гармонических колебаний, описываемых формулой (3.2), даются выражениями
V = dx dt = x& = − A ω0 sin (ω0t + ϕ0 )
a = d 2 x dt 2 = &x& = − A ω02 cos (ω0t + ϕ0 ).
Vmax = A ω0 – амплитуда скорости; аmax = ω02A – амплитуда ускорения.
В идеальном случае полная энергия гармонических колебаний остается
постоянной:
52
mV 2 kx 2
E = WK + WП =
+
= const.
2
2
Так как при этом происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую и наоборот, то
mω0 2 A2
.
E = WK max = WП max =
2
(4.3)
4.3. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Такие колебания возникают в цепи колебательного контура, состоящего
из конденсатора с емкостью С и катушки с индуктивностью L (рис. 4.2).
Уравнение второго закона Ньютона, использоq/C
вавшееся для механических колебаний, заменя+
ется теперь уравнением для напряжений в элекL
трической цепи. Если сопротивление равно ну+
лю, то в любой момент времени UC = εS, т.к. меняющийся ток при разрядке конденсатора вызыРис. 4.2
вает появление в катушке ЭДС самоиндукции
di
q
dq
ε S = − L . . Так как при этом U C = , i =
= q& , то получаем
dt
C
dt
Lq&& + q C = 0, или, сделав замену ω02 = 1 LC . , получим
q&& + ω 2q = 0.
0
(4.4)
Энергия, накопленная индуктивностью в виде магнитного поля, будет
Li2
L di
.
i dt = ∫ L i di =
WL = ∫ ε S i dt = ∫
2
dt
Потенциальная энергия представляет собой теперь энергию электростаq2
1
2
CU
=
.
тического поля конденсатора
2
2C
Приведем сравнение механических и электрических колебаний:
механические (сила) − m&x& + kx = 0;
q
электрические (напряжение) − Lq&& + = 0;
C
1 2 1 2
механические (энергия) − mx& + kx = const;
2
2
1 2 1 q2
= const.
электрические (энергия) − Lq& + ⋅
2
2 C
4.4. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
На практике чаще встречаются не простые, а более сложные колебания,
являющие результатом сложения простых. Так, если складывать два гармони-
53
ческих колебания одного направления и периода (ω1 = ω2 = ω):
x1 = A1 cos (ω t + ϕ1 ) и
x2 = A2 cos (ω t + ϕ 2 ),
то получается также гармоническое колебание той же частоты:
x
x = x1 + x2 = A cos (ω t + ϕ ).
Если же складываются колебания
разных частот, то результирующее колеt
бание уже не будет гармоническим, траектория колебаний будет иметь сложную
Рис. 4.3
форму.
Например, если амплитуды одинаковы, а начальные фазы равны нулю
x1 = A1 cos ω1t и x2 = A2 cos ω2t , то
x = x1 + x2 = A (t ) cos ω t.
Это выражение описывает колебание со средней частотой и модулированной амплитудой (рис. 4.3).
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний результат зависит
как от частот, так и от начальных фаз.
Так, если ω1 = ω2 = ω, x = a cos (ω t + ϕ1 ), y = b cos (ω t + ϕ 2 ), , то в зависимости от Δϕ = ϕ 2 − ϕ1 траектория может быть либо прямой
(Δϕ = 0, π , 2π , ...), либо эллипсом (Δϕ = π 2) (рис. 4.4).
4.5. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В идеальном случае энергия гармонических колебаний остается постоянной, и колебания продолжаются неограниченно долго. В действительности же
некоторая доля энергии всегда теряется из-за наличия сопротивления или вязкости в случае механических колебаний и сопротивления цепи в случае электрических колебаний. Это ведет к уменьшению во времени амплитуды колебаний и увеличению периода. Колебания уже не будут гармоническими, их закон
имеет вид (рис. 4.5)
x = A (t )cos (ω t + ϕ ).
(4.5)
−β t
, ω = ω02 − β 2 . Постоянную β называют коэфЗдесь A( t ) = A0e
фициентом затухания. Он характеризует скорость убывания амплитуды
β =1τ ,
(4.6)
где τ − время, за которое амплитуда уменьшается в е раз, т.е.
A (t + τ ) = A (t ) ⋅ e−1 = 0,368 A (t ).
Δϕ = 0
Δϕ = π
Δϕ = π/2
Рис. 4.4
Δϕ = - (π/2)
54
Скорость затухания колебаний характеризуют также логарифмическим
декрементом затухания δ:
δ = ln
A(t )
1
= βT =
,
A (t + T )
Ne
(4.7)
где A(t) – амплитуда в момент времени t, A(t + T) – амплитуда через
время (t + T), T – период колебаний
-β t
e
или δ − величина, обратная числу коA0
лебаний Ne, за которое амплитуда
0
t уменьшится в е раз.
Нередко вместо коэффициента
затухания β и логарифмического декРис. 4.5
ремента δ вводят другую величину,
характеризующую затухание – добротность колебательной системы (например, колебательного контура) Q:
Q = 2π
энергия колебаний
W
= 2π 0 .
потеря энергии за период
ΔW
2
2
2
Так, для колебательного контура W0 = L I 0 2 , ΔW = R I ЭФ T = R I 0 T 2
− выделение тепла за период. Поэтому
L
π
L
1 L
R
Q = 2π
=
, или Q = ВОЛН = , где RВОЛН =
− волновое
C
δ
RT R C
R
сопротивление контура.
Чтобы колебания стали незатухающими,
А
к системе надо подвести периодически действующую внешнюю силу F = F0 cos(Ω t ) для
механических колебаний или ЭДС для электрических колебаний ε = ε 0 cos( Ω t ). В этом случае устанавливаются гармонические вынужденные колебания с частотой внешнего воздейΩ
ω0
ствия Ω:
Рис. 4.6
x = A cos (Ω t + ϕ ).
(4.8)
Особенностью этих колебаний является зависимость амплитуды А и начальной фазы ϕ от частоты Ω. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты приводит к ее резкому возрастанию, когда частота внешнего
воздействия Ω приближается к частоте собственных колебаний ω0. Это явление называют резонансом (рис. 4.6).
4.6. ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЛН
Волна – это колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной
скоростью и несущие с собой энергию без переноса вещества. Наиболее часто
встречаются упругие волны, в частности звук, волны на поверхности воды и
55
электромагнитные волны. Несмотря на разную природу, все волны подчиняются общим закономерностям. Если колебания происходят вдоль направления
распространения волны, то волна называется продольной (например, звуковая
волна в газе); если же колебания происходят перпендикулярно направлению
распространения волны, то волна называется поперечной (например, упругая
волна, распространяющаяся вдоль струны, электромагнитная волна в свободном пространстве).
Поверхность, до которой в данный момент времени дошел колебательный процесс, называют волновым фронтом. В зависимости от формы поверхности различают плоские или сферические волны, на большем же расстоянии
от источника волну можно считать плоской.
Расстояние, на которое переместился колебательный процесс за время
одного периода колебаний, называют длиной волны λ
λ =V T,
(4.9)
где V – так называемая фазовая скорость, с которой перемещаются в среде поверхности одинаковой фазы, т.е. горбы или впадины.
4.7. УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ. ИНТЕНСИВНОСТЬ ВОЛНЫ
Для наглядности рассмотрим поперечную волну (рис. 4.7), распространяющуюся в направлении оси Х от источника гармонических колебаний в точке 0: S = A cos ω t.
S
λ
В точку С на расстоянии х колеC
бания придут через время τ = x V , и тогда колебания частицы в этой точке будут 0
X
S = A cos ω (t − τ ) = A cos ω (t − x V ) . Это
x
соотношение и называют уравнением волРис. 4.7
ны. Обычно его записывают по-другому.
Учитывая, что ωx V = 2πx Vτ = 2πx λ , получаем
S (x, t ) = A cos (ω t − kx ),
(4.10)
где k = 2π λ называют волновым числом. Из (4.10) можно определить фазовую скорость волны. Так, для постоянной фазы V = dx dt = ω k .
Распространяясь в пространстве, волна вовлекает в колебательный процесс все новые частицы, каждая из которых приобретает энергию колебаний
W1 = mω 2 A2 2 . Таким образом вместе с волной перемещается в пространстве и
энергия колебаний. Энергия, переносимая волной за единицу времени через
единицу площади, называется интенсивностью волны I. Если n – число частиц, l – расстояние, на которое переместилась волна за время t, то
I = W St = W1 N St = W1n S l St = ϖV , где n – концентрация частиц; V – скорость
волны, а ϖ = W V = W1n − плотность энергии. Таким образом,
I = ϖ V.
(4.11)
56
2
Так как W1 ~ A , то
I ~ A2 .
4.8. СЛОЖЕНИЕ ВОЛН
Если в среде несколько источников колебаний, то исходящие от них волны распространяются друг от друга и после взаимного пересечения расходятся,
не имея последствий встречи.
В местах встречи волн колебания среды, вызванные каждой из волн,
складываются друг с другом, и результат сложения зависит от соотношения
фаз, частот и амплитуд встречающихся волн. Большой практический интерес
вызывает случай сложения двух или нескольких волн, имеющих одинаковую
частоту (постоянную разность фаз). Такие волны и создающие их источники
называют когерентными. СлоS1
жение когерентных волн называr1
ют интерференцией.
Пусть складываются две когерентные волны одинаковой амS2
P
плитуды, исходящие из когерентr2
ных источников S1 и S2
r2 – r1
Рис. 4.8
(рис. 4.8).
Результирующее колебание в точке Р при этом будет
A = 2 a0 cos 2 π r 1− r2 λ .
S = a cos (ω t − kr1 ) + a cos (ω t − kr2 ), а амплитуда
[ (
) ]
Таким образом, результат сложения определяется разностью фаз
θ = 2 π r 1− r2 λ .
(
)
θ:
Если θ = 2π n, то A = Amax = 2 a и т точке Р будет максимум, т.е.
усиление колебаний. Если же θ = (n + 1 2) 2 π , где n = 0,1, то в точке Р будет
минимум и А = 0. Условия максимумов и минимумов обычно записывают так:
r 1− r2 = n λ
(4.12)
r1 − r2 = (n + 1 2) λ.
Разность Δ = r1 − r2
(4.13)
называют разностью хода волн, n = 0, ±1, ±2 … .
Более общим является случай, когда волны существуют в виде набора
или группы составляющих волн с разными частотами. Например, белый свет
имеет сплошной спектр, занимающий участок видимого диапазона примерно от
0,3 мкм в голубой области от 0,7 мкм в красной области. Набор таких волн
называют волновым пакетом. Его форма уже не будет иметь вид синусоидальной волны, а будет более сложной (см. рис. 3.3). Анализ поведения таких пакетов приводит к понятию групповой скорости.
Так, например, амплитуда волнового пакета из двух компонентов с частотами ω1 и ω2 и одинаковой амплитудой будет A = 2 a cos (Δω t − Δk X ).
Скорость перемещения максимума амплитуды пакета будет определять перенос
энергии и ее называют групповой скоростью
57
U = Δω Δk
или U = dω dk . Поскольку ω = kV , где V = ω k − фазовая
dω d (kV )
k dV
λ dV
=
=V +
=V −
.
скорость, групповая скорость U =
dk
dk
dk
dλ
Среда, в которой фазовая скорость зависит от частоты (ω k ≠ const ),
называется диспергирующей. Зависимость ω от k выражается дисперсионной
формулой. Обычно dV dλ > 0 б так что U < V. Это случай нормальной дисперсии. Но возможна и аномальная дисперсия, когда dV dλ < 0, a U > V .
5.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ И СВЕТ
5.1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Электромагнитные волны – это электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью. Существование электромагнитных волн теоретически было обосновано К. Максвеллом, а впервые на
опыте получены Г. Герцем.
Согласно электромагнитной теории Максвелла переменное электрическое
поле порождает переменное магнитное поле, а переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле. Эти вторичные поля имеют вихревой
характер: силовые линии порождающего поля концентрически охвачены кон-
E0
Рис. 5.1
центрическими линиями порождаемого поля. В результате образуется система
«переплетенных» между
E
собой электрических и
магнитных полей – единое
электромагнитное
поле. «Мгновенная» фотография этого поля показана на рис. 5.1.
V
Будучи
первонаH
Рис. 5.2
чально связанными с зарядами и токами, переменные электрические и магнитные поля могут затем
существовать независимо от зарядов и токов (отделяться от них) и, порождая
друг друга, перемещаться в пространстве с конечной скоростью. Таким образом, электромагнитное поле распространяется в виде поперечной электромагнитной волны (рис. 5.2), состоящей из двух совпадающих по фазе колебаний:
электрического поля Е и магнитного поля Н. При этом скорость распространения электромагнитной волны согласно теории равна:
58
V = 1 ε 0ε μ0 μ = 3 ⋅ 108 ε μ ( м / с ).
(5.1)
Уравнение электромагнитной волны имеет вид
E = Em cos (ω0t − kx ),
H = H m cos (ω0t − kx ).
Перемещаясь в пространстве, электромагнитная волна переносит энергию
электромагнитного поля, объемная плотность которой равна сумме
ω = ω e + ω m = ε 0ε E 2 2 + μ μ 0 H 2 2 .
Из уравнений Максвелла можно вывести, что при распространении электромагнитной волны векторы Е и Н перпендикулярны друг к другу и лежат в
плоскости перпендикулярной к направлению распространения волны, при этом
ε ε 0 E = μ μ0 H . Следовательно, ε ε 0 E 2 = μ μ0 H 2 , т.е. в электромагнитных волнах электрическая энергия равна магнитной, тогда
ω = ε ε 0 E 2 = ε ε 0 E ⋅ E = ε ε 0 E ⋅ μμ0 ε ε 0 H = E ⋅ H V .
При этом интенсивность электромагнитной волны I = ωV = E ⋅ H
Эту величину обозначают Р и называют вектором Умова − Пойнтинга. В
электромагнитной волне Е ⊥ Н, поэтому
(5.2)
Р = [Е, Н].
Как показывает опыт, действие электромагнитной волны на вещество определяется в основном колебаниями электрического вектора Е, поэтому обычно принимают, что интенсивность электромагнитной волны I ~ E2.
Источниками электромагнитного поля или электромагнитного излучения
служат всевозможные переменные токи: переменный ток в проводниках, колебательное движение ионов, электронов и других заряженных частиц, вращение
электронов в атоме вокруг ядра и др.
5.2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
x = A cos (ω0 t + ϕ 0 ) Уравнение гармонического колебания, где x – смещение,
(ω t + ϕ0 ) − фаза колебаний, рад;
x = A sin (ω0 t + ϕ 0 ) м; А – амплитуда, м; 0
Vm = ω0 A
am = ω02 A.
E = mω02 A2 2 .
T = 2π LC .
λ = V ⋅ T.
ϕ0 – начальная фаза, рад; ω0 – круговая (циклическая)
ω = 2π T = 2πν ; Т – период колебаний,
частота, рад/с; 0
с; v – частота, 1/с.
При гармонических колебаниях максимальная скорость
Vm и ускорение am
Полная энергия гармонических колебаний.
Период электромагнитных колебаний (формула
Томсона).
Длина волны.
59
x = A cos (ω0t − kx )
x = A sin (ω0t − kx )
V =c
εμ.
Уравнение плоской (бегущей) волны, где
ω0 = 2π T = 2πν , k = 2π λ − волновое число.
Скорость распространения электромагнитной волны в
среде.
5.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
5.3.1. Пример 1.
Математический маятник массой m = 200 г колеблется с амплитудой
А = 5 см. Максимальная скорость Vm = 15,7 см/с. Определить частоту, период
и циклическую частоту колебаний, длину нити, полную энергию и максимальное ускорение маятника.
Решение
Дано:
Так как в условии не сказано, по какому закону колеблется
m = 0,2 кг
А = 0,05 м
маятник, то берем x = A sin (ω0t + ϕ0 ). Скорость колебаний
Vm = 0,157 м/с
V = dx dt = Aω0 cos(ω0t + ϕ0 ) = Vm cos (ω0t + ϕ0 ). Отсюда
ω0, ν, Е, Т−?
−1
находим ω0 = Vm A = 3,14 c , T = 2π ω0 = 2 c, ν = 1 T = 0,5 Гц. Период
колебаний маятника T = 2π l g , где g = 9,8 /с2, l − длина нити.
l = g T 2 4π 2 ≈ 1 м.
2 2
−4
Полная энергия маятника E = mω0 A 2 = 2,5 ⋅ 10 Дж.
5.3.2. Пример 2.
Плоская электромагнитная волна распространяется в среде (ε = 9) и описывается уравнением H = 2 cos 2π 2 ⋅ 107 t − 0,2 x . Определить: 1) период и частоту колебаний, длину волны и скорость ее распространения, магнитную проницаемость среды; 2) Амплитудное значение напряженности электрического
поля, среднюю по времени объемную плотность энергии и энергию, переносимую волной за t = 10 c через площадку S = 10 см2 перпендикулярно направлению распространения волны.
Решение
Дано:
Уравнение
плоской электромагнитной волны имеет вид
ε=9
2
H = H m cos (ω0t − kx )
S = 10 cм
. Сравниваем с условием
t = 10 с
7
H = 2 cos 4π ⋅ 107 t − 0,4 π x . Находим ω0 = 4π ⋅ 10 (1 / c ) ,
ω0,ν,Е,Т,k,
λ, V−?
T = 2π ω0 = 5 ⋅ 10−8 c, ν = 1 T = 2 ⋅ 107 Гц, k = 2π λ = 0,4 π , κ = 5 м.
)
(
(
)
Скорость электромагнитной волны V = λ ⋅ T = 108 м / с. С другой стороны
V =c
ε μ , где c = 3 ⋅ 108 − скорость в вакууме. Отсюда
μ = с 2 ε V 2 = 1. В электромагнитной волне векторы Е и Н совершают синε ε 0 E = μμ0 H ,
фазные колебания, а их модули связаны соотношением:
что справедливо и для амплитудных значений Em и Hm. Тогда
60
−12
Ф / м,
Em = H m μμ0 ε ε 0 , Em = 250 В / м, здесь ε 0 = 8,85 ⋅ 10
μ0 = 4π ⋅ 10−7 Г / м − электрическая и магнитные постоянные. Мгновенное зна-
(
)
чение объемной плотности энергии волны равно ω = ε ε 0 E 2 + μμ0 H 2 2 , или
ω = ε ε 0 E 2 = μμ0 H 2 , а среднее по времени
ωCP = μμ0 H m 2 = 2,5 ⋅ 10−6 Дж / м3. Энергия, переносимая волной через пло2
щадь S за время t равна W = ωCPV S t = 2,5 Дж. ϖ СР = ε ε 0 E ,
E = H μμ0 ε ε 0 , ω = ε 0ε E ⋅ H μμ0 ε ε 0 = ε 0ε μ μ0 E H = E ⋅ H V .
6.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. –
608 с.
2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1994. – 542 с.
61
7.
К ОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
7.1. ВАРИАНТ 1
1. Сила гравитационного притяжения двух водяных одинаково заряженных
капель радиусами 0,1 мм уравновешивается кулоновской силой отталки3
вания. Определить заряд капель. Плотность воды равна 1 г/см .
2. Определить напряженность электростатического поля в точке А, распои
ложенной вдоль прямой, соединяющей заряды
Q1 = 10 нКл
Q2 = −8 нКл и находящейся на расстоянии r = 8 см от отрицательного
заряда. Расстояние между зарядами l = 20 см.
3. Шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно с объемной плотностью
3
ρ = 10 нКл/м . Определить напряженность электростатического поля:
1) на расстоянии r1 = 5 см от центра шара; 2) на расстоянии r2 = 15 см
от центра шара. Построить зависимость Е (r).
4. Электростатическое поле создается положительно заряженной с постоян2
ной поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м бесконечной плоскостью.
Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль
линии напряженности с расстояния r1 = 2 см до r2 = 1 см?
5. В однородное электростатическое поле напряженностью Е0 = 700 В/м
перпендикулярно полю помещается бесконечная плоскопараллельная
стеклянная пластина (ε = 7). Определить: 1) напряженность электростатического поля внутри пластины; 2) электрическое смещение внутри пластины; 3) поляризованность стекла; 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.
6. Определить расстояние между пластинами плоского конденсатора, если
между ними приложена разность потенциалов U = 150 В, причем пло2
щадь каждой пластины S = 100 см , ее заряд Q = 10 нКл. Диэлектриком
служит слюда (ε = 7).
7. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (ε = 7). Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения,
давление пластин на стекло оказалось
1 Па.
Определить:
1) поверхностную плотность свободных зарядов на пластинах конденсатора и связанных − на стекле;
2) электрическое смещение;
3) напряженность электростатического поля в стекле; 5) объемную плотность энергии электростатического поля в стекле.
8. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от I0 = 0 до I = 2 А в течение времени t = 5 с. Определить заряд, прошедший в проводнике.
9. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 120 Ом равномерно возрастает от I0 = 0 до Imax = 5 А за время τ = 15 с. Определить выделившееся
за это время в проводнике количество теплоты.
62
10. На рисунке ε1 = 10 В, ε2 = 20 В, ε3 = 40 В, а сопротивления R1 = R2 = R3 = R = 10 Ом. Определить силу токов,
протекающих через сопротивление (I) и через источники ЭДС (I’). Внутренние сопротивления источников
ЭДС не учитывать.
R1
R3
ε1
R2
ε2
ε3
11. В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл помещена квад2
ратная рамка площадью S = 25 см . Нормаль к плоскости рамки состав0
ляет с направлением магнитного поля угол 60 . Определить вращающий
момент, действующий на рамку, если по ней течет ток I = 1 А.
12. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного провода, в точке, равноударенной от концов отрезка и находящейся на расстоянии R = 4 см от его середины. Длина отрезка провода l = 20 см, а сила тока в проводе I = 10 А.
13. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл
по окружности. Определить угловую скорость вращения электрона.
14. В однородное магнитное поле напряженностью Н = 100 кА/м помещена
квадратная рамка со стороной а = 10 см. Плоскость рамки составляет с
0
направлением магнитного поля угол α = 60 . Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.
15. Соленоид диаметром d = 4 см, имеющий N = 500 витков, помещен в
магнитное поле, индукция которого изменяется со скоростью 1 мТл/с.
0
Ось соленоида составляет с вектором магнитной индукции угол α = 45 .
Определить ЭДС индукции, возникающей в соленоиде.
16. Катушка длиной l = 50 см и диаметром d = 5 см держит N = 200 витков.
По катушке течет ток I = 1 А. Определить: 1) индуктивность катушки;
2) магнитный поток, пронизывающий площадь ее поперечного сечения.
17. Через катушку, индуктивность L которой равна 200 мГн, протекает ток,
изменяющийся по закону I = 2 cos 3t. Определить: 1) закон изменения
ЭДС самоиндукции; 2) максимальное значение ЭДС самоиндукции.
S
описываются уравнением
18. Гармонические колебания величины
S = 0,02 cos(6π t + π 3). .
Определить:
1) амплитуду колебаний;
2) циклическую частоту; 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.
19. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 1 мГн и
конденсатора емкостью С = 2 нФ. Пренебрегая сопротивлением контура,
определить, на какую волну этот контур настроен.
20. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых
уравнениями x = 3 cos ωt см и y = 4 cos ωt см. Определить уравнение
траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба.
7.2. ВАРИАНТ 2
1. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опус-
63
3
каются в керосин плотностью 0,8 г/см . Какова должна быть плотность
материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине
был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина ε = 2.
2. Два точечных заряда Q1 = 4 нКл и Q2 = -2 нКл находятся друг от друга
на расстоянии 60 см. Определить напряженность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если второй
заряд положительный?
3. Фарфоровый шар (ε = 5) радиусом R = 10 см заряжен равномерно с объем3
ной плотностью ρ = 15 нКл/м . Определить напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии 5 см от центра шара; 2) на поверхности
шара; 3) на расстоянии r2 = 15 см от центра шара. Построить график зависимости E(r).
4. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью τ = 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити
вдоль линии напряженности с расстояния r1 = 1,5 см до r2 = 1 см?
5. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено парафином (ε = 2). Расстояние между пластинами d = 8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная
2
плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,1 нКл/см .
6. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность по2
тенциалов U1 = 500 В. Площадь пластин S = 200 см , расстояние между
ними d = 1,5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли парафин (ε = 2). Определить разность потенциалов U2 между пластинами после внесения диэлектрика. Определить также емкости конденсатора С1 и С2 до и после внесения диэлектрика.
7. Пространство между пластинами плоского конденсатора с площадью
2
50 см заполнено слюдой ε = 7. Определить поверхностную плотность
связанных зарядов на слюде, если пластины конденсатора притягиваются
с силой 1 мН.
8. Определить плотность тока, если за 2 с через проводник сечением
2
19
1,6 мм прошло 2⋅10 электронов.
9. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 100 м равномерно убывает
от I0 = 10 A до I = 0 за время τ = 30 с. Определить выделившееся за это
время в проводнике количество теплоты.
R1
R2
10. На рисунке ε = 2 В, R1 = 60 Ом, R2 = 40 Ом,
R3 = R4 = 20 Ом и RG = 100 Ом. Определить сиR3
R4
лу тока IG, протекающего через гальванометр.
ε
64
11. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл находится прямоугольная рамка длиной а = 8 см и шириной b = 5 см, содержащая
N = 100 витков тонкой проволоки. Ток в рамке I = 1 А, а плоскость рамки
параллельна линиям магнитной индукции. Определить: 1) магнитный
момент рамки; 2) вращающий момент, действующий на рамку.
12. Определить индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной
рамки со стороной а = 15 см, если по рамке течет ток I = 5 А.
13. Электрон, обладая скоростью V = 10 Мм/с, влетел в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Индукция магнитного поля В = 0,1 Тл. Определить нормальное и тангенциальное ускорения электрона.
14. В одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом с током
I = 20 А расположена квадратная рамка со стороной, длина которой
а = 10 см, причем две стороны рамки параллельны проводу, а расстояние
d от провода до ближайшей стороны рамки равно 5 см. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий рамку.
15. В магнитное поле, изменяющееся по закону B = B0 cos ωt (B0 = 0,1 Тл,
1
ω = 4 с- ), помещена квадратная рамка со стороной а = 50 см, причем
0
нормаль к рамке образует с направлением поля угол α = 45 . Определить
ЭДС индукции, возникающую в рамке в момент времени t = 5 с.
16. Длинный соленоид индуктивностью L = 4 мГн содержит N = 600 витков.
2
Площадь поперечного сечения соленоида S = 20 см . Определить магнитную индукцию поля внутри соленоида, если сила тока, протекающего
по его обмотке, равна 6 А.
17. В соленоиде без сердечника, содержащем N = 1000 витков, при увеличении силы тока магнитный поток увеличился на 1 мВб. Определить среднюю ЭДС самоиндукции ⟨εS⟩, возникающую в соленоиде, если изменение силы тока произошло за 0,1 с.
18. Точка совершает гармонические колебания с периодом Т = 6 с и начальной фазой, равной нулю. Определить, за какое время, считая от начала
движения, точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды.
19. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,2 мГн
2
и конденсатора площадью пластин S = 155 см , расстояние между которыми
d = 1,5 мм. Зная, что контур резонирует на длину волны
λ = 630 м, определить диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора.
20. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых
уравнениями x = 3 cos 2ωt, см и y = 4 cos (2ωt + π), см. Определить
уравнение траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба.
65
7.3. ВАРИАНТ 3
1. В вершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые положительные заряды Q = 2 нКл. Какой отрицательный заряд Q1 необходимо поместить в центр треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы отталкивания положительных зарядов?
2. Расстояние l между зарядами Q = ±2 нКл равно 20 см. Определить напряженность Е поля, созданного этими зарядами в точке, находящейся на
расстоянии r1 = 15 см от первого и r2 = 10 см от второго заряда.
3. Длинный прямой провод в вакууме несет заряд, равномерно распределенный по всей длине провода с линейной плотностью 2 нКл/м. Определить
напряженность Е электростатического поля на расстоянии r = 1 м от
провода.
4. Одинаковые заряды Q = 100 нКл расположены в вершинах квадрата со
стороной а = 10 см. Определить потенциальную энергию этой системы.
5. Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 5 мм. После
его зарядки до разности потенциалов U = 500 В между пластинами вставили стеклянную пластинку (ε = 7). Определить диэлектрическую восприимчивость стекла и поверхностную плотность связанных зарядов на
стекле.
6. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность по2
тенциалов U1 = 500 В. Площадь пластин S = 200 см , расстояние между
ними d = 1,5 мм. При включенном источнике напряжения в пространство
между пластинами внесли парафин (ε = 2). Определить разность потенциалов U2 между пластинами после внесения диэлектрика. Определить
также емкости конденсатора С1 и С2 до и после внесения диэлектрика.
7. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора
2
U = 100 В. Площадь каждой пластины S = 200 см , расстояние между
пластинами d = 0,5 мм, пространство между ними заполнено парафином
(ε = 2). Определить силу притяжения пластин друг к другу.
8. По медному проводнику сечением 0,8 мм2 течет ток 80 мА. Найти среднюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника,
предполагая, что на каждый атом меди приходится один свободный элек3
трон. Плотность меди ρ = 8,9 г/см .
9. Определить напряженность электрического поля в алюминиевом провод3
нике объемом V = 10 см , если при прохождении по нему постоянного
тока за время t = 5 мин выделилось количество теплоты Q = 2,3 кДж.
Удельное сопротивление алюминия ρ = 26 нОм⋅м.
66
10. На рисунке ε1 = ε2 = ε3, R1 = 48 Ом, R2 = 24 Ом,
падение напряжения U2 на сопротивлении R2
равно 12 В. Пренебрегая внутренним сопротивлением элементов, определить: 1) силу тока во ε1
всех участках цепи; 2) сопротивление R3.
R1
R3
R2
ε2
11. В однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл находится квадратная рамка со стороной а = 10 см, по которой течет ток I = 4 А. Плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить
работу, которую необходимо затратить для поворота рамки относительно
0
оси, проходящей через середину ее противоположных сторон: 1) на 90 ;
0
0
2) на 180 ; 3) на 360 .
12. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам, находящимся на расстоянии АВ = 10 см друг от друга в вакууме, текут токи
I1 = 20 A и I2 = 30 А одинакового направления. Определить магнитную
индукцию, создаваемую токами в точках, лежащих на прямой, соединяющих оба провода, если: 1) точка С лежит на расстоянии r1 = 2 см левее
левого провода; 2) точка D лежит на расстоянии r2 = 3 см правее правого провода; 3) точка G лежит на расстоянии r3 = 4 см правее левого
провода.
13. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, движется параллельно прямолинейному длинному проводнику на расстоянии r = 1 см
от него. Определить силу, действующую на электрон, если через проводник пропускать ток I = 10 А.
14. Прямой провод длиной l = 20 см с током I = 5 А расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции однородного поля В = 0,1 Тл. Определить работу сил поля, под действием которых проводник переместился
на 2 см.
15. Кольцо из алюминиевого провода (ρ = 26 нОм⋅м) помещено в магнитное
поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца
D = 30 см, диаметр провода d = 2 мм. Определить скорость изменения
магнитного поля, если ток в кольце I = 1 А.
16. Определить, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к
другу, диаметром d = 0,5 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром D = 1,5 см, чтобы получить однослойную катушку индуктивностью L = 100 мкГн?
L = 0,1 Гн
и сопротивлением
17. Имеется катушка индуктивностью
R = 0,8 Ом. Определить, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке
через t = 30 мс, если источник тока отключить и катушку замкнуть накоротко.
совершает
гармонические
колебания
по
закону
18. Точка
x = 3 Cos (π t/2 + π/8) м. Определить: 1) период Т колебаний; 2) максимальную скорость Vmax точки; 3) максимальное ускорение аmax точки.
67
19. Колебательный контур содержит соленоид (длина l = 5 см, площадь по2
перечного сечения S1 = 1,5 см , число витков N = 500) и плоский конденсатор (расстояние между пластинами d = 1,5 мм, площадь пластин
2
S2 = 100 см ). Определить частоту ω собственных колебаний контура.
20. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых
уравнениями x = cos 2πt и y = cos πt. Определить уравнение траектории
точки и вычертить ее с нанесением масштаба.
7.4. ВАРИАНТ 4
1. Свинцовый шарик (ρ = 11,3 г/см3) диаметром 0,5 см помещен в глице3
рин (ρ = 1,26 г/см ). Определить заряд шарика, если в однородном электростатическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине. Электростатическое поле направлено вертикально вверх, и его напряженность
Е = 4 кВ/см.
2. В вершинах квадрата со стороной 5 см находятся одинаковые положительные заряды Q = 2 нКл. Определить напряженность электростатического поля: 1) в центре квадрата; 2) в середине одной из сторон квадрата.
3. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального провода радиусом R1 = 1,5 мм заряжен с линейной плотностью
τ1 = 0,20 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом R2 = 3 мм заряжен с линейной плотностью τ2 = - 0,15 нКл/м.
Пространство между проводниками заполнено резиной (ε = 3). Определить напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси
провода на расстояниях: 1) r1 = 1 мм; 2) r2 = 2 мм; 3) r3 = 5 мм.
4. Металлический шар радиусом 5 см несет заряд Q = 10 нКл. Определить
потенциал ϕ электростатического поля: 1) на поверхности шара; 2) на
расстоянии а = 2 см от его поверхности. Построить график зависимости
ϕ (r).
5. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на слюдяной
пластинке (ε = 7) толщиной d = 1 мм, служащей изолятором плоского
конденсатора, если разность потенциалов между пластинами конденсатора U = 300 В.
6. Определить емкость коаксиального кабеля длиной 10 м, если радиус его
центральной жилы r1 = 1 см, радиус оболочки r2 = 1,5 см, а изоляционным материалом служит резина (ε = 2,5).
7. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность по2
тенциалов U1 = 500 В. Площадь пластин S = 200 см , расстояние между
ними d1 = 1,5 мм. Пластины раздвинули до расстояния d2 = 15 мм. Найти энергию W1 и W2 конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением: 1) отключался; 2) не отключался.
68
8. Определить суммарный импульс электронов в прямом проводе длиной
l = 500 м, по которому течет ток I = 20 A.
9. Плотность электрического тока в медном проводе равна 10 А/см2. Определить удельную тепловую мощность тока, если удельное сопротивление
меди ρ = 17 нОм⋅м.
10. Два источника тока с ЭДС ε1 = 2 В и ε2 = 1,5 В и внутε2
ренними сопротивлениями r1 = 0,5 Ом и r2 = 0,4 Ом
включены параллельно сопротивлению R = 2 Ом (см.
ε1
рис.). Определить силу тока через это сопротивление.
R
11. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл находится прямой
проводник длиной l = 15 см, по которому течет ток I = 5 А. На проводник действует сила F = 0,13 Н. Определить угол α между направлениями тока и вектором магнитной индукции.
12. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 20 см, текут токи I1 = 40 А и I2 = 80 А в
одном направлении. Определить магнитную индукцию В в точке А,
удаленной от первого проводника на r1 = 12 см и от второго – на
r2 = 16 см.
13. Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, влетая в однородное магнитное поле с магнитной индукцией В = 2 мТл, движется по
окружности. Определить радиус этой окружности.
14. Квадратный проводящий контур со стороной l = 20 см и током I = 10 A
свободно подвешен в однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 0,2 Тл. Определить работу, которую необходимо совершить, что0
бы повернуть контур на 180 вокруг оси, перпендикулярной направлению магнитного поля.
15. Плоскость проволочного витка площадью S = 100 см2 и сопротивлением
R = 5 Ом, находящегося в однородном магнитном поле напряженностью
H = 10 кА/м, перпендикулярна линиям магнитной индукции. При повороте витка в магнитном поле отсчет гальванометра, замкнутого на виток, составляет Q = 12,6 мКл. Определить угол поворота витка.
16. В однородном магнитном поле равномерно вращается прямоугольная
-1
рамка с частотой n = 600 мин . Амплитуда индуцируемой в рамке ЭДС
ε0 = 3 В. Определить максимальный магнитный поток через рамку.
17. Определить, через сколько времени сила тока замыкания достигнет
0,95 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением R = 12 Ом и индуктивностью 0,5 Гн.
18. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см и периодом Т = 5 с. Определить для точки: 1) максимальную скорость;
2) максимальное ускорение.
19. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,1 Гн и
69
конденсатора емкостью С = 39,5 мкФ. Заряд конденсатора Qm = 3 мкКл.
Пренебрегая сопротивлением контура, записать уравнение: 1) изменения
силы тока в цепи в зависимости от времени; 2) изменения напряжения на
конденсаторе в зависимости от времени.
20. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых
уравнениями x = A sin ωt и y = A sin 2ωt. Определить уравнение траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба.
7.5. ВАРИАНТ 5
1. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плос2
кости с поверхностной плотностью σ = 1 нКл/см расположена круглая
пластинка. Плоскость пластинки составляет с линиями напряженности
0
угол 30 . Определить поток ФЕ вектора напряженности через эту пластинку, если ее радиус r равен 15 см.
2. Определить поверхностную плотность заряда, создающего вблизи поверхности Земли напряженность Е = 200 В/м.
3. Шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно с объемной плотностью
3
ρ = 10 нКл/м . Определить напряженность электростатического поля:
1) на расстоянии r1 = 5 см от центра шара; 2) на расстоянии r2 = 15 см
от центра шара. Построить зависимость Е(r).
4. Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Определить
радиус шара, если потенциал в центре шара равен ϕ1 = 200 В, а в точке,
лежащей от его центра на расстоянии r = 50 см, ϕ2 = 40 В.
5. Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя диэлектрика – слюдяная пластинка (ε1 = 7) толщиной d1 = 1 мм и парафин
(ε2 = 2) толщиной d2 = 0,5 мм. Определить: 1) напряженности электростатических полей в слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение, если
разность потенциалов между пластинами конденсатора U = 500 В.
6. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер радиусами r1 = 5 см и r2 = 5,5 см. Пространство между обкладками конденсатора заполнено маслом (ε = 2,2). Определить: 1) емкость этого конденсатора; 2) шар какого радиуса, помещенный в масло, обладает такой емкостью.
7. Плоский воздушный конденсатор емкостью С = 10 пФ заряжен до разности потенциалов U1 = 500 В. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в 3 раза. Определить: 1) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению
пластин.
8. Вольтметр, включенный в сеть последовательно с сопротивлением R1,
показал напряжение U1 = 198 В, а при включении последовательно с со-
70
противлением R2 = 2R1 – U2 = 180 B. Определить сопротивление R1 и
напряжение в сети, если сопротивление вольтметра r = 900 Ом.
9. Определить ток короткого замыкания источника ЭДС, если при внешнем
сопротивлении R1 = 50 Ом ток в цепи I1 = 0,2 А, а при R2 = 110 Ом –
I2 = 0,1 А.
R1
R3
10. На рисунке ε1 = 10 В, ε2 = 20 В, ε3 = 40 В, а сопротивления R1 = R2 = R3 = R = 10 Ом. Определить силу токов,
ε1
ε2
протекающих через сопротивление (I) и через источники ЭДС (I’). Внутренние сопротивления источников
R2
ε3
ЭДС не учитывать.
11. По прямому горизонтально расположенному проводу пропускают ток
I1 = 10 A. Под ним на расстоянии R = 1,5 см находится параллельный
ему алюминиевый провод, по которому пропускают ток I2 = 1,5 А. Определить, какова должна быть площадь поперечного сечения алюминиевого
провода, чтобы он удерживался незакрепленным. Плотность алюминия
3
ρ = 2,7 г/см .
12. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 15 см, текут токи I1 = 70 А и I2 = 50 А в
противоположных направлениях. Определить магнитную индукцию В в
точке А, удаленной на r1 = 20 см от первого и r2 = 30 см от второго
проводника.
13. Электрон, обладая скоростью V = 1 Мм/с, влетает в однородное магнит0
ное поле под углом α = 60 к направлению поля и начинает двигаться по
спирали. Напряженность магнитного поля Н = 1,5 кА/м. Определить:
1) шаг спирали; 2) радиус витка спирали.
14. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 0,2 Тл находится квадратный проводящий контур со стороной l = 20 см и током
0
I = 10 А. Плоскость квадрата составляет с направлением поля угол в 30 .
Определить работу удаления провода за пределы поля.
15. В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл помещена прямоугольная рамка с подвижной стороной, длина которой l = 15 см. Определить ЭДС индукции, возникающей в рамке, если ее подвижная сторона
перемещается перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью V = 10 м/с.
l = 50 см
и диаметром
d = 5 см
содержит
16. Катушка длиной
N = 200 витков. По катушке течет ток
I = 1 А.
Определить:
1) индуктивность катушки; 2) магнитный поток, пронизывающий площадь ее поперечного сечения.
17. Катушку индуктивностью L = 0,6 Гн подключают к источнику тока. Определить сопротивление катушки, если за время t = 3 c сила тока через
катушку достигает 80 % предельного значения.
18. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению x = A sin
71
ωt. В какой-то момент времени смещение точки х1 = 15 см. При возрастании фазы колебаний в два раза смещение х2 оказалось равным 24 см.
Определить амплитуду А колебаний.
19. Сила тока в колебательном контуре, содержащем катушку индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатор, со временем изменяется согласно уравнению I = -0,1 sin 100πt A. Определить: 1) период колебаний; 2) емкость
конденсатора; 3) максимальное напряжение на обкладках конденсатора;
4) максимальную энергию магнитного поля; 5) максимальную энергию
электрического поля.
20. Амплитуда затухающих колебаний маятника за t = 2 мин уменьшилась в
2 раза. Определить коэффициент затухания δ.
7.6. ВАРИАНТ 6
1. Определить поток ФЕ вектора напряженности электрополя через сферическую поверхность, охватывающую точечные заряды 5 нКл и −2 нКл.
2. Под действием электростатического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости точечный заряд Q = 1 нКл переместился вдоль силовой
линии на расстояние r = 1 см; при этом совершена работа 5 мкДж. Определить поверхностную плотность заряда на плоскости.
3. Фарфоровый (ε = 5) шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно с объ3
емной плотностью ρ = 15 нКл/м . Определить напряженность Е электростатического поля: 1) на расстоянии r1 = 5 см от центра шара; 2) на поверхности шара; 3) на расстоянии r2 = 15 см от центра шара. Построить
график Е(r).
4. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити,
если работа сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл с расстояния
r1 = 5 см до r2 = 2 см в направлении, перпендикулярном нити, равно
50 мкДж.
5. Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет
d = 1 см, разность потенциалов U = 200 В. Определить поверхностную
плотность σ’ связанных зарядов эбонитовой пластинки (ε = 3) толщиной d = 8 мм, помещенной на нижнюю пластину конденсатора.
6. Два плоских воздушных конденсатора одинаковой емкости соединены параллельно и заряжены до разности потенциалов U = 300 В. Определить
разность потенциалов этой системы, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнено слюдой (ε = 7).
7. В однородное электростатическое поле напряженностью Е0 = 700 В/м
перпендикулярно ему поместили стеклянную пластинку (ε = 7) толщи2
ной d = 1,5 мм и площадью 200 см . Определить: 1) поверхностную
плотность связанных зарядов на стекле; 2) энергию поля в пластине.
72
8. В цепи на рисунке амперметр показывает ток
R1
R2
I = 1,5 А. Ток через сопротивление R1 равен
A
I1 = 0,5 А. Сопротивления R2 = 2 Ом, R3 = 6 Ом.
R3
Определить сопротивление R1, а также токи I2 и
I3, протекающих через сопротивление R2 и R3.
9. В цепь, состоящую из батареи и резистора сопротивлением R = 8 Ом,
включают вольтметр, сопротивление которого RV = 800 Ом, один раз последовательно резистору, другой раз – параллельно. Определить внутреннее сопротивление батареи, если показания вольтметра в обоих случаях
одинаковы.
R1
R2
10. На рисунке ε = 2 В, R1 = 60 Ом, R2 = 40 Ом,
R3 = R4 = 20 Ом и RG = 100 Ом. Определить силу тоR3
R4
ка IG, протекающего через гальванометр.
ε
11. Контур из провода, изогнутого в форме квадрата со
I
стороной а = 0,5 м, расположен в одной плоскости с
a
бесконечным прямолинейным проводом с током
I = 5 А так, что две его стороны параллельны проводу.
b
Сила тока в контуре I1 = 1 А. Определить силу, действующую на контур, если ближайшая к проводу сторона контура находится на расстоянии b = 10 см. Направления токов указаны на рисунке.
12. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка с магнит2
ным моментом pm = 1,5 А м равна 150 А/м. Определить: 1) радиус витка; 2) силу тока в витке.
13. Электрон движется в однородном магнитном поле с магнитной индукцией
В = 0,2 мТл по винтовой линии. Определить скорость V электрона, если
радиус винтовой линии R = 3 см, а шаг h = 9 см.
14. Плоскость кругового проводящего контура радиусом r = 5 см и током
I = 1 А перпендикулярна направлению магнитного поля. Напряженность
поля равна 10 кА/м. Определить работу, которую необходимо совершить,
0
чтобы повернуть контур на 90 вокруг оси, совпадающей с диаметром
контура.
15. Две замкнутые металлические шины с расстоянием
между ними 30 см, со подвижной перемычкой, находятся в однородном магнитном поле с индукцией
V
В = 0,1 Тл, перпендикулярном плоскости контура.
Перемычка массой m = 5 г скользит вниз с постоянной скоростью V = 0,5 м/с. Определить сопротивление перемычки, пренебрегая самоиндукцией контура и сопротивлением
остальной части контура.
73
16. Длинный соленоид индуктивностью L = 4 мГн и площадью поперечного
2
сечения S = 20 см содержит N = 600 витков. Определить магнитную
индукцию поля внутри соленоида, если ток в его обмотке 6 А.
17. Трансформатор с коэффициентом трансформации 0,15 понижает напряжение с 220 до 6 В. При этом сила тока во вторичной обмотке равна
6 А. Пренебрегая потерями энергии в первичной обмотке, определить сопротивление вторичной обмотки трансформатора.
18. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению x=0,02 Cos(π t + π/2) м. Определить: амплитуду, период и начальную фазу колебаний; максимальные скорость и ускорение точки; через
сколько времени после начала отсчета точка будет проходить через положение равновесия.
19. Энергия свободных незатухающих колебаний, происходящих в колебательном контуре, составляет 0,2 мДж. При медленном раздвигании пластин конденсатора частота колебаний увеличилась в n = 2 раза. Определить работу, совершенную против сил электростатического поля.
20. Логарифмический декремент затухания Θ маятника равен 0,01. Определить число N полных колебаний маятника до уменьшения его амплитуды
в 3 раза.
7.7. ВАРИАНТ 7
1. Сила гравитационного притяжения двух водяных одинаково заряженных
капель радиусами 0,1 мм уравновешивается кулоновской силой отталки3
вания. Определить заряд капель. Плотность воды равна 1 г/см .
2. Электростатическое поле создается двумя бесконечными параллельными
плоскостями, заряженными равномерно одноименными зарядами с по2
2
верхностной плотностью σ1 = 2 нКл/м и σ2 = 4 нКл/м . Определить напряженность электростатического поля: между плоскостями; за пределами
плоскостей. Построить график напряженности поля по линии, перпендикулярной плоскостям.
3. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямого коаксиального
кабеля радиусом
R1 = 1,5 мм
заряжен с линейной плотностью
τ1 = 0,20 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник кабеля радиусом
R2 = 3 мм заряжен с линейной плотностью τ2 = −0,15 нКл/м. Пространство между проводниками заполнено резиной (ε = 3). Определить напряженность электрополя в точках, лежащих от оси кабеля на расстояниях:
1) r1 = 1 мм; 2) r2 = 2 мм; 3) r3 = 5 мм.
4. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь от нити под действием поля вдоль линии напряженности с расстояния r1 = 1 см до r2 = 5 см, изменил свою скорость
от 1 до 10 Мм/с. Определить линейную плотность заряда нити.
5. Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 5 мм, разность
потенциалов U = 1,2 кВ. Определить: 1) поверхностную плотность заря-
74
6.
7.
8.
9.
да на пластинах конденсатора; 2) поверхностную плотность связанных
зарядов на диэлектрике, если известно, что диэлектрическая восприимчивость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами, χ = 1.
C1 C2
Разность потенциалов между точками А и В U = 9 В.
A
B
Емкости конденсаторов соответственно равны С1 = 3 мкФ
и С2 = 6 мкФ. Определить: 1) заряды Q1 и Q2; 2) разности потенциалов
U1 и U2 на обкладках каждого конденсатора.
Шар, погруженный в масло (ε = 2,2), имеет поверхностную плотность за2
ряда σ = 1 мкКл/м и потенциал ϕ = 500 В. Определить: 1) радиус шара; 2) заряд шара; 3) емкость шара; 4) энергию шара.
Лампа накаливания потребляет ток, равный 0,6 А. Температура вольфра0
мовой нити диаметром 0,1 мм равна 2200 С. Ток подводится медным
2
проводом сечением 6 мм . Определить напряженность электрического
0
поля: 1) в вольфраме (удельное сопротивление при 0 С ρ0 = 55 нОм⋅м,
0 -1
температурный коэффициент сопротивления α = 0,0045 С ); 2) в меди
(ρ = 17 нОм⋅м).
На рисунке R1 = R2 = R3 = 100 Ом. Вольтметр показывает
UV = 200 В, сопротивление вольтметра RV = 800 Ом. ОпреR1
V R2
делить ЭДС батареи, пренебрегая ее сопротивлением.
R3
10. На рисунке ε1 = ε2 = ε3, R1 = 48 Ом, R2 = 24 Ом, падеR3
R1
R2
ние напряжения U2 на сопротивлении R2 равно 12 В.
ε3
Пренебрегая внутренним сопротивлением элементов, ε1
ε2
определить: силу тока во всех участках цепи; сопротивление R3.
11. Прямоугольная рамка со сторонами а = 40 см и b = 30 см расположена в
одной плоскости с прямолинейным проводом с током I = 6 А так, что
длинные стороны рамки параллельны проводу. Ток в рамке I1 = 1 А. Определить силы, действующие на каждую из сторон рамки, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии с = 10 см, а ток в
ней сонаправлен току I.
12. Определить магнитную индукцию ВА на оси тонкого проволочного
кольца радиусом R = 10 см, в точке, расположенной на расстоянии
d = 20 см от центра кольца, если в центре кольца В = 50 мкТл.
13. В однородное магнитное поле с магнитной индукцией 0,2 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции с постоянной скоростью влетает заряженная частица. В течение 5 мкс включается электрическое поле напряженностью 0,5 кВ/м в направлении, параллельном магнитному полю.
Определить шаг винтовой траектории заряженной частицы.
14. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 1 Тл находится плоская катушка из 100 витков радиусом r = 10 см, плоскость ко-
75
0
торой с направлением поля составляет угол β = 60 . По катушке течет
ток I = 10 А. Определить: 1) вращающий момент, действующий на катушку; 2) работу для удаления этой катушки из магнитного поля.
15. В катушке длиной l = 0,5 м, диаметром d = 5 см и числом витков
N = 1500 ток равномерно увеличивается на 0,2 А за одну секунду. На катушку надето кольцо из медной проволоки (ρ = 17 нОм⋅м) площадью се2
чения SK = 3 мм . Определить силу тока в кольце.
16. Определить, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к
другу, диаметром d = 0,5 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром D = 1,5 см, чтобы получить однослойную катушку индуктивностью L = 100 мкГн?
17. Автотрансформатор, понижающий напряжение с
U1 = 6 кВ
до
U2 = 220 В, содержит в первичной обмотке N1 = 2000 витков. Сопротивление внешней цепи (в сети пониженного напряжения) R = 12 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной обмотки, определить число витков
во вторичной обмотке.
18. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой
v = 1 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение c координатой
х0 = 5 см, со скоростью V0 = 15 см/с. Определить амплитуду колебаний.
19. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 1 мГн и
конденсатора емкостью С = 2 нФ. Пренебрегая сопротивлением контура,
определить, на какую волну этот контур настроен.
20. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин
уменьшилась в 3 раза. Определить, во сколько раз она уменьшится за
4 мин.
7.8. ВАРИАНТ 8
1. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опус3
каются в керосин плотностью 0,8 г/см . Какова должна быть плотность
материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине
был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина ε = 2.
2. Электростатическое поле создается двумя бесконечными параллельными
плоскостями, заряженными равномерно разноименными зарядами с по2
2
верхностной плотностью σ1 = 1 нКл/м и σ2 = 2 нКл/м . Определить напряженность электростатического поля: между плоскостями; за их пределами. Построить график напряженности поля вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.
3. Шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно с объемной плотностью
3
ρ = 10 нКл/м . Определить напряженность электростатического поля:
1) на расстояниях 5 см и 15 см от центра шара. Построить зависимость
Е(r).
4. Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, равномерно
2
заряженной с поверхностной плотностью σ = 1 нКл/м . Определить раз-
76
ность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях х1 = 20 см и х2 = 50 см от плоскости.
5. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (ε = 7). Расстояние между ними d = 5 мм, разность потенциалов
U = 1 кВ. Определить: 1) напряженность поля в стекле; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах; 3) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.
6. Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно соединенными конденсаторами, С = 100 пФ, а заряд Q = 20 нКл. Определить емкость второго конденсатора, а также разности потенциалов на обкладках каждого конденсатора, если С1 = 200 пФ.
7. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (ε = 7). Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения,
давление пластин на стекло оказалось 1 Па. Определить: 1) поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2) электрическое
смещение; 3) напряженность электрополя в стекле; 4) поверхностную
плотность связанных зарядов на стекле; 5) объемную плотность энергии
электрополя в стекле.
8. По алюминиевому проводу сечением S = 0,2 мм2 течет ток I = 0,2 А.
Определить силу, действующую на отдельные свободные электроны со
стороны электрического поля. Удельное сопротивление алюминия
ρ = 26 нОм⋅м.
9. Определить: ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока, если во
внешней цепи при силе тока 4 А развивается мощность 10 Вт, а при силе тока 2 А − мощность 8 Вт.
10. Два источника тока с ЭДС ε1 = 2 В и ε2 = 1,5 В и внутε2
ренними сопротивлениями r1 = 0,5 Ом и r2 = 0,4 Ом
ε1
включены параллельно сопротивлению R = 2 Ом. Определить силу тока через это сопротивление.
R
11. В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл помещена квад2
ратная рамка площадью S = 25 см . Нормаль к плоскости рамки состав0
ляет с направлением магнитного поля угол 60 . Определить вращающий
момент, действующий на рамку, если по ней течет ток I = 1 А.
12. Плоскость кругового витка радиусом R = 15 см параллельна бесконечно
длинному проводу. Перпендикуляр, восставленный на провод из центра
витка, является нормалью к плоскости витка. Сила тока в проводе
I1 = 1 А, сила тока в витке I2 = 5 А. Расстояние от центра витка до провода d = 20 см. Определить магнитную индукцию в центре витка.
13. Ионы двух изотопов с массами m1 = 6,5⋅10-26 кг и m2 = 6,8⋅10-26 кг, ускоренные разностью потенциалов U = 0,5 кВ, влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции В = 0,5 Тл. Принимая
77
заряд каждого иона равным элементарному электрическому заряду, определить, насколько будут отличаться радиусы траекторий ионов изотопов в
магнитном поле.
14. Прямой провод длиной l = 20 см с током I = 5 А, находящийся в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл, расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить работу сил поля, под
действием которых проводник переместился на 2 см.
15. Короткозамкнутая катушка диаметром d = 2 см, содержащая один слой
плотно намотанных
N = 500
витков алюминиевого провода
2
(ρ = 26 нОм⋅м) сечением S = 1 мм , помещена в магнитное поле, осью параллельно линиям индукции. Индукция поля равномерно изменяется со
скоростью 1 мТл/с. Определить тепловую мощность, выделяющуюся в
катушке.
16. В однородном магнитном поле равномерно вращается прямоугольная рам1
ка с частотой n = 600 мин- . Амплитуда индуцируемой в рамке ЭДС
ε0 = 3 В. Определить максимальный магнитный поток через рамку.
17. Трансформатор, понижающий напряжение с 220 до 12 В, содержит в
первичной обмотке N1 = 2000 витков. Сопротивление вторичной обмотки
R2 = 0,15 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной обмотки, определить число витков во вторичной обмотке, если во внешнюю цепь (в сеть
пониженного напряжения) передают мощность Р = 20 Вт.
18. Определить максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой А = 3 см и периодом
Т = 4 с.
19. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,2 мГн
2
и конденсатора площадью пластин S = 155 см , расстояние между которыми d = 1,5 мм. Зная, что контур резонирует на длину волны λ = 630 м,
определить диэлектрическую проницаемость среды между пластинами
конденсатора.
20. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника А0 = 3 см. По истечении t1 = 10 c А1 = 1 см. Определить, через сколько времени амплитуда колебаний станет равной А2 = 0,3 см.
7.9. ВАРИАНТ 9
1. В вершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые положительные заряды Q = 2 нКл. Какой отрицательный заряд Q1 необходимо поместить в центр треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы отталкивания положительных зарядов?
2. На металлической сфере радиусом 15 см находится заряд Q = 2 нКл.
Определить напряженность Е электростатического поля: 1) на расстоянии r1 = 10 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии r2 = 20 см от центра сферы. Построить график зависимости Е(r).
78
3. Фарфоровый шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно с объемной
3
плотностью ρ = 15 нКл/м . Определить напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии r = 5 см от центра шара; 2) на поверхности
шара; 3) на расстоянии r2 = 15 см от центра шара. Построить график зависимости E(r). Диэлектрическая проницаемость фарфора ε = 5.
4. Электростатическое поле создается равномерно заряженной сферической
поверхностью радиусом R = 10 см с общим зарядом Q = 15 нКл. Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими
на расстояниях r1 = 5 см и r2 = 15 см от поверхности сферы.
5. В однородное электростатическое поле напряженностью Е0 = 700 В/м
перпендикулярно полю помещается бесконечная плоскопараллельная
стеклянная пластина (ε = 7). Определить: 1) напряженность электростатического поля внутри пластины; 2) электрическое смещение внутри пластины; 3) поляризованность стекла; 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.
6. Определить емкость С батареи конденсаторов, изображенной на рисунке. Емкость каждого конденсатора
Сi = 1 мкФ.
7. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено слю2
дой (ε = 7). Площадь пластин конденсатора составляет 50 см . Определить поверхностную плотность связанных зарядов на слюде, если пластины конденсатора притягивают друг друга с силой 1 мН.
8. Электрическая плитка мощностью 1 кВт с нихромовой спиралью предназначена для включения в сеть с напряжением 220 В. Сколько метров
проволоки диаметром 0,5 мм надо взять для изготовления спирали, если
0
0
ее температура 900 С? Удельное сопротивление нихрома при 0 С
а температурный коэффициент сопротивления
ρ0 = 1 мкОм⋅м,
-3 -1
α = 0,4⋅10 К .
9. Даны четыре элемента с ЭДС ε = 1,5 В и внутренним сопротивлением
r = 0,2 Ом. Как нужно соединить эти элементы, чтобы получить от собранной батареи наибольшую силу тока во внешней цепи, имеющей сопротивление R = 0,2 Ом? Определить максимальную силу тока.
10. На рисунке
ε = 2 В,
R1 = 60 Ом,
R2 = 40 Ом,
R1
G R2
R3 = R4 = 20 Ом и RG = 100 Ом. Определить силу тока
IG, протекающего через гальванометр.
R3
ε R4
11. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл находится прямоугольная рамка длиной а = 8 см и шириной b = 5 см, содержащая
N = 100 витков тонкой проволоки. Ток в рамке I = 1 А, а плоскость рамки
параллельна линиям магнитной индукции. Определить: 1) магнитный
момент рамки; 2) вращающий момент, действующий на рамку.
12. Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца
79
радиусом R = 5 см, по которому течет ток I = 10 A, в точке А, расположенной на расстоянии d = 10 см от центра кольца.
13. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, движется параллельно прямолинейному длинному проводнику на расстоянии r = 1 см
от него. Определить силу, действующую на электрон, если через проводник пропускать ток I = 10 А.
14. Квадратный проводящий контур со стороной l = 20 см и током I = 10 A
свободно подвешен в однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 0,2 Тл. Определить работу, которую необходимо совершить, что0
бы повернуть контур на 180 вокруг оси, перпендикулярной направлению магнитного поля.
15. В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) вращается с постоянной уг1
ловой скоростью ω = 50 с- вокруг вертикальной оси стержень длиной
l = 0,4 м. Определить ЭДС индукции, возникающей в стержне, если ось
вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнитной
индукции.
l = 50 см
и диаметром
d = 5 см
содержит
16. Катушка длиной
N = 200 витков. По катушке течет ток
I = 1 А.
Определить:
1) индуктивность катушки; 2) магнитный поток, пронизывающий площадь ее поперечного сечения.
17. Сила тока I в обмотке соленоида, содержащего N = 1500 витков, равна
5 А. Магнитный поток Ф через поперечное сечение соленоида составляет 200 мкВб. Определить энергию магнитного поля в соленоиде.
Тело массой m = 10 г совершает гармонические колебания по зако18.
x = 0,1 cos(4πt + π 4 ) м.
ну
Определить максимальные значения:
1) возвращающей силы; 2) кинетической энергии.
19. Колебательный контур содержит соленоид (длина l = 5 см, площадь по2
перечного сечения S1 = 1,5 см , число витков N = 500) и плоский конденсатор (расстояние между пластинами d = 1,5 мм, площадь пластин
2
S2 = 100 см ). Определить частоту ω собственных колебаний контура.
20. Тело массой m = 0,6 кг, подвешенное к спиральной пружине жесткостью
k = 30 Н/м, совершает в некоторой среде упругие колебания. Логарифмический декремент колебаний Θ = 0,01. Определить: время, за которое
амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза; число полных колебаний,
которые должна совершить гиря, чтобы произошло подобное уменьшение
амплитуды.
7.10. ВАРИАНТ 10
1. Свинцовый шарик (ρ = 11,3 г/см3) диаметром 0,5 см помещен в глице3
рин (ρ = 1,26 г/см ). Определить заряд шарика, если в однородном электростатическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине. Электростатическое поле направлено вертикально вверх, и его напряженность
Е = 4 кВ/см.
80
2. Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами радиусами R1 = 5 см и R2 = 8 см. Заряды сфер соответственно равны
Q1 = 2 нКл и Q2 = −1 нКл. Определить напряженность электростатического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях: 1) r1 = 3 см;
2) r2 = 6 см; 3) r3 = 10 см. Построить график зависимости Е(r).
3. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального провода радиусом R1 = 1,5 мм заряжен с линейной плотностью
τ1 = 0,20 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом R2 = 3 мм заряжен с линейной плотностью τ2 = −0,15 нКл/м.
Пространство между проводниками заполнено резиной (ε = 3). Определить напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси
провода на расстояниях: 1) r1 = 1 мм; 2) r2 = 2 мм; 3) r3 = 5 мм.
4. Металлический шар радиусом 5 см несет заряд Q = 10 нКл. Найти потенциал ϕ электростатического поля: 1) на поверхности шара; 2) на расстоянии а = 2 см от его поверхности. Построить график зависимости ϕ (r).
5. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено парафином (ε = 2). Расстояние между пластинами d = 8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная
2
плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,1 нКл/см .
6. На пластинах плоского воздушного (S = 200 см2, d = 1,5 мм) конденсатора разность потенциалов U1 = 500 В. После отключения конденсатора от
источника напряжения между пластинами внесли парафин (ε = 2). Определить разность потенциалов U2 между пластинами после внесения диэлектрика и емкости конденсатора С1 и С2 до и после внесения диэлектрика.
7. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора
U = 100 В. Площадь каждой пластины S = 200 см2, расстояние между
пластинами d = 0,5 мм, пространство между ними заполнено парафином
(ε = 2). Определить силу притяжения пластин друг к другу.
8. Два цилиндрических проводника одинаковой длины и одинакового сечения, один из меди, а другой из железа, соединены параллельно. Определить отношение мощностей токов для этих проводников. Удельные сопротивления меди и железа равны соответственно 17 и 98 нОм⋅м.
C
9. На рисунке
R1 = R2 = 50 Ом,
R3 = 100 Ом,
С = 50 нФ. Определить ЭДС источника, пренебA R1
B
регая его внутренним сопротивлением, если заряд
R3
на конденсаторе Q = 2,2 мкКл.
R2
ε
81
10. На рисунке ε1 = ε2 = ε3, R1 = 48 Ом, R2 = 24 Ом, падеR1
R2 R3
ε
ние напряжения на сопротивлении R2 U2 = 12 В. 1
ε3
Пренебрегая внутренним сопротивлением элементов,
ε2
определить: силу тока во всех участках цепи; сопротивление R3.
11. В однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл находится квадратная рамка со стороной а = 10 см и током I = 4 А. Плоскость рамки перпендикулярна линиям индукции. Определить работу А, которую необходимо затратить для поворота рамки относительно оси, проходящей через
0
0
0
середины ее противоположных сторон: 1) на 90 ; 2) на 180 ; 3) на 360 .
12. Определить магнитную индукцию в центре кругового проволочного витка
радиусом R = 10 см, по которому течет ток I = 1 А.
13. Электрон, обладая скоростью V = 1 Мм/с, влетает в однородное магнит0
ное поле под углом α = 60 к направлению поля и начинает двигаться по
спирали. Напряженность магнитного поля Н = 1,5 кА/м. Определить:
1) шаг спирали; 2) радиус витка спирали.
14. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 0,2 Тл находится квадратный проводящий контур со стороной l = 20 см и током
0
I = 10 А. Плоскость квадрата составляет с направлением поля угол в 30 .
Определить работу удаления провода за пределы поля.
15. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл равномерно вращается вокруг вертикальной оси горизонтальный стержень длиной
l = 0,5 м. Ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнитной индукции. Определить число оборотов в секунду, при котором на концах стержня возникает разность потенциалов U = 0,1 В.
16. Длинный соленоид индуктивностью L = 4 мГн содержит N = 600 витков.
Площадь поперечного сечения соленоида S = 20 см2. Определить магнитную индукцию поля внутри соленоида, если сила тока, протекающего
по его обмотке, равна 6 А.
17. Индуктивность соленоида длиной 1 м и площадью поперечного сечения
2
20 см равна 0,4 мГн. Определить ток в соленоиде, при которой объем3
ная плотность энергии магнитного поля внутри него равна 0,1 Дж/м .
18. Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания по закону x = 0,1cos(4π t + π 4) м. Определить полную энергию Е
этой точки.
19. Колебательный контур имеет катушку индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатор емкостью С = 39,5 мкФ. Заряд конденсатора Qm = 3 мкКл. Пренебрегая сопротивлением контура, записать уравнения: изменения силы
тока в цепи и напряжения на конденсаторе в зависимости от времени.
20. Определить добротность Q колебательного контура, состоящего из катушки индуктивностью L = 2 мГн, конденсатора емкостью С = 0,2 мкФ
и резистора сопротивлением R = 1 Ом.
82
8.
К ОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Электрический заряд и напряженность электрического поля. Дискретность заряда.
Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Электрический диполь. Поток вектора. Электростатический закон Гаусса. Работа электростатического поля.
Потенциал. Связь напряженности и потенциала электростатического поля.
Проводник в электрическом поле. Идеальный проводник. Поверхностная
плотность заряда. Граничные условия на границе «проводник – вакуум». Электростатическое поле в полости. Электростатическая емкость. Емкость
конденсаторов. Электростатическая индукция.
Энергия взаимодействия электрических зарядов. Энергия системы заряженных проводников. Энергия конденсатора. Плотность энергии электростатического поля.
Плоский конденсатор с диэлектриком. Энергия диполя во внешнем электростатическом поле. Поляризационные заряды. Поляризованность. Неоднородная поляризованность. Электрическое смещение. Основные уравнения
электростатики диэлектриков. Граничные условия на границе «диэлектрик –
диэлектрик» и «проводник – диэлектрик». Плотность энергии электростатического поля в диэлектрике.
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Проводники и изоляторы. Электропроводность металлов. Носители тока в металлах. Недостаточность классической электронной теории. Условие
существования тока. Законы Ома и Джоуля − Ленца в локальной форме. Сторонние силы. ЭДС гальванического элемента. Закон Ома для участка цепи с
гальваническим элементом. Правило Кирхгофа.
Электрический ток в вакууме. Термоэлектронная эмиссия. Электрический ток в газе. Процессы ионизации и рекомбинации. Электропроводность
слабо ионизированных газов. Понятие о плазме.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Сила Лоренца и сила Ампера. Вектор магнитной индукции. Основное
уравнение магнитостатика в вакууме. Магнитное поле простейших систем.
Единица силы тока – ампер. Движение заряженной частицы в электрических и
магнитных полях.
Виток с током в магнитном поле. Энергия витка с током во внешнем
магнитном поле. Момент сил, действующих на рамку. Индуктивность длинного соленоида. Взаимная индукция. Закон Био − Савара − Лапласа. Принцип суперпозиции. Магнитное поле кругового тока.
Явление электромагнитной индукции. Правило Ленца. Магнитная энергия тока. Плотность магнитной энергии.
Магнетики. Парамагнетики, диамагнетики, ферромагнетики, антиферромагнетики. Теория ферромагнетизма. Обменное происхождение молекуляр-
83
ного поля. Доменная структура. Техническая кривая намагничивания.
Фарадеевская и максвелловская трактовки явлений электромагнитной
индукции. Ток смещения. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Векторный и скалярный потенциалы поля. Скорость
распространения электромагнитных возбуждений. Волновое уравнение. Плотность энергии. Плотность потока энергии.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Гармонические колебания (механические и электрические) и их характеристики. Маятники. Колебательный контур. Энергия гармонических колебаний. Сложение колебаний. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс.
Волны в упругой среде. Уравнение плоской волны. Энергия волны. Сложение волн.
Электромагнитные волны. Свойства электромагнитных волн. Энергия
электромагнитной волны.
84
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
1.
ЭЛЕКТРОСТАТИКА.......................................................................... 3
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД ........................................................................ 4
ЗАКОН КУЛОНА..................................................................................... 4
НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ........................................... 5
ТЕОРЕМА ГАУССА ................................................................................. 5
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ .................................................. 7
ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ ..................................... 8
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ .................................................................... 9
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ........................................... 10
ДИЭЛЕКТРИКИ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЗАРЯДЫ ................................. 10
ТИПЫ ДИЭЛЕКТРИКОВ И ВИДЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ................................. 10
ВЕКТОР ПОЛЯРИЗАЦИИ И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ ................................... 11
ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ
СМЕЩЕНИЕ .......................................................................................... 12
1.13. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.................. 13
1.14. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................................. 16
1.14.1. Пример 1.................................................................................... 16
1.14.2. Пример 2.................................................................................... 16
1.14.3. Пример 3.................................................................................... 17
1.14.4. Пример 4.................................................................................... 18
2.
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ................................. 19
2.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА ...................................... 20
2.2. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ .................................................... 20
2.3. ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА............................................................ 22
2.4. ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ ......................................................... 23
2.5. ТОК В ГАЗАХ....................................................................................... 24
2.6. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.................. 26
2.7. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ..................................................... 28
2.7.1. Пример 1.................................................................................... 28
2.7.2. Пример 2.................................................................................... 28
2.7.3. Пример 3.................................................................................... 29
85
МАГНЕТИЗМ
3.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ...................................................................... 30
3.1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ДВИЖУЩИМИСЯ ЗАРЯДАМИ ................... 31
3.2. ВЕКТОР ИНДУКЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. СИЛА ЛОРЕНЦА ................. 32
3.3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРОВОДНИКА С ТОКОМ. ЗАКОН
БИО − САВАРА − ЛАПЛАСА ............................................................... 33
3.4. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПРОВОДНИК С ТОКОМ. СИЛА
АМПЕРА ............................................................................................... 33
3.5. ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА ....................................................................... 35
3.6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ ...................................................... 35
3.7. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ............................................................ 36
3.8. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ. ВЕКТОР НАМАГНИЧИВАНИЯ .... 37
3.9. ДИАМАГНЕТИКИ .................................................................................. 39
3.10. ПАРАМАГНЕТИКИ ................................................................................ 40
3.11. ФЕРРОМАГНЕТИКИ .............................................................................. 40
3.12. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ................................................................... 41
3.12.1. Первое уравнение Максвелла ................................................... 42
3.12.2. Второе уравнение Максвелла................................................... 42
3.12.3. Полная система уравнений Максвелла ................................... 43
3.13. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.................. 44
3.14. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ..................................................... 46
3.14.1. Пример 1.................................................................................... 46
3.14.2. Пример 2.................................................................................... 46
3.14.3. Пример 3.................................................................................... 47
3.14.4. Пример 4.................................................................................... 47
3.14.5. Пример 5.................................................................................... 48
3.14.6. Пример 6.................................................................................... 48
3.14.7. Пример 7.................................................................................... 49
86
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
4.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ............................................................... 49
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
5.
ПОНЯТИЕ КОЛЕБАНИЙ ........................................................................ 49
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ................. 50
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ .................... 52
СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ...................................................................... 52
ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ .................................... 53
ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЛН ..................................................................... 54
УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ. ИНТЕНСИВНОСТЬ ВОЛНЫ .................................. 55
СЛОЖЕНИЕ ВОЛН ................................................................................ 56
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ И СВЕТ............................... 57
5.1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ............................................................. 57
5.2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.................. 58
5.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ..................................................... 59
5.3.1. Пример 1.................................................................................... 59
5.3.2. Пример 2.................................................................................... 59
6.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................... 60
7.
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ ............ 61
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
8.
ВАРИАНТ 1........................................................................................... 61
ВАРИАНТ 2........................................................................................... 62
ВАРИАНТ 3........................................................................................... 65
ВАРИАНТ 4........................................................................................... 67
ВАРИАНТ 5........................................................................................... 69
ВАРИАНТ 6........................................................................................... 71
ВАРИАНТ 7........................................................................................... 73
ВАРИАНТ 8........................................................................................... 75
ВАРИАНТ 9........................................................................................... 77
ВАРИАНТ 10......................................................................................... 79
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ......................................................... 82