Ещё раз об индуктивности электрона, как заряженной сферы

Кинетическая индуктивность сферы
И. Мисюченко
СПб 6 июля 2015 г.
Вопрос о выводе величины кинетической индуктивности электрона до сих
пор не является решённым в рамках классической электродинамики. Используя
модель электрона в виде поверхностно заряженной сферы радиуса r0 , мы
получили в [1] выражение для кинетической индуктивности электрона в виде:
(1) L0 
0
r
l  0 0
4
2
Это выражение согласуется с величиной кинетической энергии движущегося
нерелятивистского электрона, а также полностью объясняет механизм
«релятивистского роста массы» электрона. С определёнными небесспорными
допущениями это же выражение может быть получено также из удельной
кинетической индуктивности электронов в сверхпроводнике [8]. Однако, такое
решение вопроса не представляется нам вполне удовлетворительным. Дело в том,
что до сих пор не выведена формула для индуктивности проводящей сферы, т.е. в
рамках чистой электродинамики без привлечения представлений механики, теории
сверхпроводимости или других разделов физики пока не удавалось получить
выражение (1). В то же время задача о кинетической индуктивности проводящей
сферы должна бы целиком и полностью решаться в рамках именно
электродинамики. Попытаемся такое решение, наконец, получить. Для этого
вначале запишем широко распространённое теоретическое выражение для
индуктивности отрезка прямого цилиндрического проводника [2,3,4]:
(2) L 
0 h 0 h  2h 

 1
 ln
8
2  r

Здесь h -высота цилиндра, r – радиус его основания, равный радиусу сферы.
Заменяя конвекционный ток движущейся сферы током цилиндрического
проводника высоты h , описанного вокруг сферы (Рис.1), (здесь h  2r ) получаем:
(3) L 
0 r 0 r  4r  0 r 0 r
ln 4  1  0 r  0 r  0 r  27%

 1 

 ln
4
  r

4 2.589 2
 4

Рис.1 Цилиндр, описанный вокруг сферы и вписанный в неё.
Член
0 r
вызывает определенные вопросы, ибо он больше, чем следовало бы
2.589
для соответствия (3) выражению (1). Соответственно, всё выражение (3)
оказывается больше чем предсказывает (1) на 27%. Это явление, скорее всего,
вызвано тем, что мы произвольно заменили сферу на описанный вокруг неё
цилиндр (почему, например, не вписанный? См. Рис.1), не озаботившись пока тем
фактом, что объём такого цилиндра оказывается больше объёма нашей модельной
сферы, а поверхность – также больше поверхности сферы. Следовательно, ток
модельного цилиндрического проводника заведомо распределён не по тому
объёму, по которому распределён конвекционный ток движущейся сферы. А заряд
распределён не по той поверхности, по которой распределён в сферической
модели электрона. Разумно при такой замене одного 3-х мерного геометрического
объекта на другой хотя бы поставить условия равенства их объёмов или
поверхностей (причём, учитывая, что электрон у нас – именно поверхностно
заряженная сфера, то скорее всего, надо ставить условие равенства поверхностей
цилиндра и сферы). Если мы наложим такое условие, то размеры модельного
цилиндра с током станут меньше (это естественно, поскольку наша модельная
сфера доселе была вписана в модельный цилиндр, а, значит, по определению
занимала меньший объём, чем он и обладала меньшей поверхностью).
Следовательно, полученная по (3) индуктивность «эквивалентного цилиндра»
окажется, возможно, ближе к (1). Проверим это.
4
Вначале потребуем равенства объёмов. Объём сферы VS  r 3 . Объём
3
2
3
цилиндра VC  r  2r  2r . Радиус эквивалентного цилиндра уменьшится в
2
 0.8736 , и, следовательно, согласно (3) во столько
3
же раз уменьшится его индуктивность:
результате домножения на
3
0 r0
 r
(4) L0  0.8736   0 0 
 4 2.589
 0 r0
 10%

 2
Теперь (4) соответствует (1) с погрешностью порядка 10%. Учитывая, что при
выводе (2) предполагалось равномерное распределение тока по объёму, а для
движущейся заряженной сферы это предположение не вполне справедливо,
формальное расхождение в 10% можно считать уже небольшим на фоне
сделанных предположений. Теперь попробуем добиться равенства не объёмов, а
поверхностей. Поверхность сферы, как известно, S  4r 2 . А поверхность
описанного цилиндра S  r 2  r 2  4r 2  6r 2 . Соответственно, чтобы получить
одинаковые поверхности сферы и цилиндра требуется уменьшить радиус
цилиндра домножением на коэффициент
4
2

 0.8165 . В таком случае:
6
3
0 r0  0 r0
 r
 3.9%
(5) L0  0.8165   0 0 

 4 2.589  2
Такое расхождение ещё почти втрое меньше, чем по (4) и в семь раз меньше, чем
по (3) и может уже считаться несущественным. Таким образом, мы
продемонстрировали обоснованный формальный путь отыскания кинетической
индуктивности (1) движущейся заряженной сферы, не выходя за рамки
электродинамики. Следует учесть, однако, что математических выражений для
приближенного определения индуктивности прямого цилиндрического проводника
существует множество, часть из них получены из соображений инженерного
удобства и все они выведены в тех или иных упрощающих предположениях. При
этом возможности для непосредственной опытной проверки этих выражений для
уединенных проводников весьма ограниченны. Поэтому вопрос о том, какая из
формул
является
«наиболее
правильной»
не
имеет
на
сегодня
удовлетворительного решения. Мы выбрали в качестве «отправной точки»
выражение (2), во-первых, потому, что оно является одним из наиболее
«физических» а во-вторых, явным образом учитывает собственную внутреннюю
индуктивность проводника, что в технических формулах зачастую не делается.
Кроме того, это выражение является широко распространенным как в
отечественной, так и в зарубежной литературе.
Можно задаться вопросом, а как (1) согласуется не с (2) а с какой-нибудь
другой распространённой формулой для индуктивности [5] цилиндра, например,
(6) L0  Lв нутр  Lв неш 
0 r0 0 r0  h  0 r0 0 r0
r

ln   

ln 2   0 0  19%
4
2  r  4
2
2
Теперь учтём уменьшение размеров цилиндра на коэффициент
2
 0.8165 (при
3
равенстве площадей поверхности сферы и цилиндра) и получим:
 r  r
 r
(7) L0  Lвнутр  Lвнеш  0.8165   0 0  0 0 ln 2   0 0  2.6%
2
 4
 2
Как видим, и при другой исходной приближенной формуле для индуктивности
цилиндрического проводника, снова получили хорошее совпадение вычисленной
индуктивности сферы с (1), но отклонение теперь в минус 2.6%.
Можно также попробовать использовать довольно сложные инженерные формулы,
например, из [6]:

L=



Индуктивность µH
a = радиус провода в дюймах
b = длина части проводника, параллельного подложке в дюймах
h = высота проводника над подложкой в дюймах
Использование этой формулы даёт значение погонной индуктивности для
короткого проводника, расположенного очень низко над землёй (чтобы
вертикальный участок длиной h не входил в индуктивность) 10.38 нГн/дм, в то
время как выражение (1) предсказывает 10 нГн/дм. Т.е. расхождение составляет
порядка 3-4%. Если взять формулу для погонной индуктивности [7] из области
геофизики, то она (без коррекции размеров эквивалентного цилиндра) составит
13.8 нГн/дм. С коррекцией (по площади цилиндра) 11.3 нГн/дм. Отклонение от (1)
составит +11%. В литературе, разумеется, приводятся и формулы, дающие
значительное расхождение с (1) и, соответственно, с другими известными
выражениями для индуктивности сегментов уединенного проводника. Это само по
себе свидетельствует о недостаточной проработке проблемы индуктивности
уединённого проводника, сложность которой можно представить, например, по
работе [9]. В работе ясно продемонстрировано различие между разнообразными
формулами индуктивности сегмента уединённого проводника, достигающее 40%.
Однако же, в пользу адекватности выражения (1) для сферы свидетельствует не
только хорошее совпадение с несколькими из существующих в литературе
формулами, но и её простота, соответствие физическим механизмам сразу
нескольких фундаментальных физических явлений (инерция, сверхпроводимость,
релятивистский рост массы). Таким образом мы показали, что выражение (1) для
кинетической индуктивности заряженной сферы, а) не противоречит современным
данным электродинамики, б) находится в очень хорошем (единицы процентов)
соответствии с целым рядом широко принятых приближенных формул и, весьма
вероятно, вообще является точным.
Литература
1. И. Мисюченко. Последняя тайна Бога. 2009. СПб.
http://electricaleather.com/d/358095/d/poslednyaya-tayna-boga.pdf
2. Демирчян К.С., Нейман Л.Р. 2003 Издательство: Питер. Теоретические
основы электротехники. 4-е изд. Том 3. Часть 4. Теория электромагнитного
поля. Стр. 180. http://alexandr4784.narod.ru/dnktoe3/dnktoe_3_28.pdf
3. Ф. Н. Сарапулов РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЦЕПЕЙ
ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ УСТАНОВОК. Учебное пособие.
Екатеринбург. 1999. Уральский государственный технический университет.
Формула 27(б). http://window.edu.ru/resource/485/28485/files/ustu092.pdf
4. Edward B. Rosa. Self and mutual inductances of linear conductors. Ф-ла 11a.
http://www.g3ynh.info/zdocs/refs/NBS/Rosa1908.pdf
5. Примеры расчета электрических и магнитных цепей.
http://mirkasflur.ru/rezistor/induktiv94.htm
6. The ARRL Handbook For Radio Communications.
https://www.arrl.org/shop/ARRL-Handbook-2015-Softcover-Edition/
7. Геофизика N1 2006. Н. О. Кожевников. Ф-ла 6. Незаземленная
горизонтальная петля как система с распределенными параметрами.
http://www.sibingeo.ru/sotr/publ/geo-2006.pdf
8. С. Гордюнин. Идеальные проводники и кинетическая индуктивность. Квант.
1996 N4. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/66953a15-66c9-26d8-d120474e9af74305/?fullView=1
9. ADVANCED ELECTROMAGNETICS, Vol. 3, No. 1, September2014 Improved
Formulae for the Inductance of Straight Wires H. A. Aebischer*, B.
AebischerLEGIC Identsystems AG, Switzerland Hexagon Technology Center
GmbH, Switzerland *corresponding author, E-mail: hubert.aebischer@legic.com
https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=9&ved=0CF4
QFjAI&url=http%3A%2F%2Fwww.legic.com%2Fmedia%2F981090%2Fv13%2F
File%2Fimproved-formulae-for-the-inductance-of-straight-wires.pdf&ei=3KeVZ2LA4fgywPT1LTACg&usg=AFQjCNG7QrLr78ax8J08Vt47EGmZL5PSsg