Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Методические указания и образцы решений заданий
по дисциплине «Математический анализ»
tg 5 x
x  0 sin 7 x
Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х  0, то, заменив функции эквивалентными
бесконечно малыми, получим:
tg 5 x
5x 5
lim
 lim

x 0 sin 7 x
x 0 7 x
7
Пример. Найти предел lim
x3
.
x 0 1  cos x
2
x3
x3
 x
2 x
~ 2  при х0, то lim
Так как 1 – cosx = 2 sin
 lim 2  lim 2 x  0 .
x 0 1  cos x
x 0 x
x 0
2
2
2
Пример. Найти предел lim
tgx
x
 lim 2  .
2
x 0 sin x
x 0 x
Пример. Найти предел lim
Если  и  - бесконечно малые при ха, причем  - бесконечно малая более
высокого порядка, чем , то  =  +  - бесконечно малая, эквивалентная . Это можно



доказать следующим равенством lim  lim 1    1 .
xa 
xa
 
Тогда говорят, что  - главная часть бесконечно малой функции .
Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х0, х – главная часть этой
функции. Чтобы показать это, запишем  = х2,  = х, тогда
x2
x2  x
lim
 0, lim
 lim ( x  1)  1 .
x 0 x
x 0
x 0
x
Пример. Найти предел.
tgmx
mx m
 lim

x 0 sin nx
x 0 nx
n
lim
Пример. Найти предел.
lim
x  x0
tgx  tgx0
sin( x  x0 )
sin( x  x0 )
1
1
1
 lim
 lim
 lim
 1

2
x

x
x

x
x

x
0 ( x  x ) cos x cos x
0
0 cos x cos x
x  x0
x  x0
cos x0 cos 2 x0
0
0
0
Пример. Найти предел.
sin x  cos x
lim
 lim
x  / 4
x  / 4
  4x

2
2
sin(  / 4  x)
  4x
Пример. Найти предел.
 lim
x  / 4
 sin(  / 4  x)
2 2 ( / 4  x)

1
2 2
y   / 2  x

cos x 
cos( / 2  y)
sin y 1

lim
 x   / 2  y
 lim
 lim


x  / 2   2 x
y 0
y 0
2y
y
2
  2 x      2 y 


Пример. Найти предел.
 x  3
lim 

x  x  1


x 3
 x 1 4 
 lim 

x 
 x 1 
y

 1
  z    lim 1  
4  z 
z

4z
x 3
 y  x  1
y4
y
4
 y  4


4
4


  lim 1    lim 1   
  x     lim 
y 
y 
y  y 
y
 y 

y   


4
  1 z 
  lim 1     e 4
 z 
z  

x 2  6x  8
Пример. Найти предел lim 2
.
x  2 x  8 x  12
Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель
данной дроби.
x2 – 6x + 8 = 0;
D = 36 – 32 = 4;
x1 = (6 + 2)/2 = 4;
x2 = (6 – 2)/2 = 2 ;
x2 – 8x + 12 = 0;
D = 64 – 48 = 16;
x1 = (8 + 4)/2 = 6;
x2 = (8 – 4)/2 = 2;
( x  2)( x  4)
x4 2 1
 lim
 
x 2 ( x  2)( x  6)
x 2 x  6
4 2
Тогда lim
Пример. Найти предел.
1 x  x2  1 x  x2
домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное
x 0
x2  x
1 x  x2 1 x  x2
2x
выражение: lim
=
 lim
x 0
x( x  1)( 1  x  x 2  1  x  x 2 ) x0 x( x  1)( 1  x  x 2  1  x  x 2 )
2
 1 .
=
 1  (1  1)
lim
Пример. Найти предел.
x 2  5x  6
( x  2)( x  3) 3  2 1
lim
 x 2  5 x  6  ( x  2)( x  3)  lim


2
x 3
x 3 ( x  3)( x  3)
33 6
x 9


2
.”
Пример. Найти предел lim
x 1
x 3  6 x 2  11x  6
.
x 2  3x  2
Разложим числитель и знаменатель на множители.
x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.
x3 – 6x2 + 11x – 6 x - 1
x3 – x2
x2 – 5x + 6
2
- 5x + 11x
- 5x2 + 5x
6x - 6
6x - 6
0
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
Тогда lim
x 1
( x  1)( x  2)( x  3)
 2
( x  1)( x  2)
Пример. Найти предел.
2 sin
2a  2h
2h
cos
 2 sin( a  h)
2 sin( a  h)(cosh  1)
2
2
 lim

2
h

0
h
h2
sin( a  2h)  2 sin( a  h)  sin a
 lim
h 0
h2
 2 sin 2 (h / 2)
 2 lim sin( a  h)  lim
 2 sin a  (1 / 2)   sin a
h 0
h 0
4(h / 2) 2
lim
h 0
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Пример. Найти производную функции f ( x)  ( x 2  3x) x cos x .
v  x cos x;
По формуле получаем: u  x 2  3x;
Производные этих функций: u   2 x  3; v   cos x  x sin x;
Окончательно:
f ( x)  x cos x  ( x 2  3x) x cos x 1  (2 x  3)  ( x 2  3x) x cos x (cos x  x sin x) ln( x 2  3x)
1
Пример. Найти производную функции y  x cos x sin x  cos 2 x .
2
1
1
sin 2 x  cos 2 x
2
2
1
1
1
1
y   sin 2 x  x 2 cos 2 x  2 cos x( sin x)  sin 2 x  x cos 2 x  sin x cos x  x cos 2 x.
2
2
2
2
Сначала преобразуем данную функцию: y 
3
2
x 2e x
Пример. Найти производную функции y  2
.
x 1
2
2
2
2
2
2
2
2
(2 xe x  x 2 2 xe x )( x 2  1)  (2 x) x 2 e x
2 x 3 e x  2 x 5 e x  2 xe x  2 x 3 e x  2 x 3 e x
y 


( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
2
2 xe x ( x 4  1  x 2 )

( x 2  1) 2
Пример. Найти производную функции y  ln tg
x
x

2 sin x
1 sin x  x cos x
1
sin x  x cos x sin x  sin x  x cos x
 




2
x
x
x
sin x
sin 2 x
sin 2 x
2 x 2
tg
cos
2 sin cos
2
2
2
2
x cos x

sin 2 x
1
y 
1

Пример. Найти производную функции y  arctg
2x 4
1  x8
8 x 3 (1  x 8 )  (8 x 7 )2 x 4 (1  x 8 ) 2 (8 x 3 8 x11  16 x11 ) 8 x 3  8 x11



(1  x 8 ) 2
(1  x 8 ) 2 (1  x 8 ) 2
(1  x 8 ) 2

4x8 
1 

8 2 
 (1  x ) 
8 x 3 (1  x 8 )
8x 3


(1  x 8 ) 2
1  x8
1
y 

2
Пример. Найти производную функции y  x 2 e x ln x

y  x 2e x
2
 ln x  x e
2
x2


2
2
2
2
2
1
 2 xe x  x 2 e x 2 x ln x  xe x  2 xe x (1  x 2 ) ln x  xe x 
x
2
 xe x (1  2 ln x  2 x 2 ln x)
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью
приращения х.
Также можно воспользоваться формулой
dy  f ( x)dx
Тогда абсолютная погрешность
y  dy
Относительная погрешность
y  dy
dy
4
.”
Нахождение пределов по формуле Лопиталя
x 2  1  ln x
Пример: Найти предел lim
.
x 1
ex  e
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается
0
неопределенность вида
. Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби
0
удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
1
f(x) = 2x + ;
g(x) = ex;
х
f ( x)
lim

x 1 g ( x )
Пример: Найти предел lim
1
x  2 1  3 ;
x
e
e
e
2x 
  2arctgx
3
x
x 
.
e 1
3
3
2
g ( x)  e x  2 ;
f ( x)  
;
2
x
1 x


2x 2
2
2


lim 
 .
3
 (0  1)  1  (3) 3
x  
 (1  x 2 )e x (3) 
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка
вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может
быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат.
Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в
свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Пример: Найти предел lim
x 
x
2
xe
.
x  ex
x
1
x) ;
g ( x)  1  e x ;
2
x
x
x
x
1 2 1 2 x 2 1 2
f ( x)  e  e  e  e (4  x) ;
g ( x)  e x ;
2
2
4
4
x
1 2
1
e (4  x)
(4  x)
4
4
lim 
 lim
x
x 
x 
ex
e2
x
1 2
1
1






g ( x)  e ;
f ( x)  ;
lim
 0;
x
x


2
4
2
2e
f ( x)  e 2 (1 
5
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов
вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может
быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и
др.).
e x  e  x  2x
Пример: Найти предел lim
.
x 0
x  sin x
f ( x)  e x  e  x  2 ;
g ( x)  1  cos x ;
e x  ex  2 1  1  2 0

 - опять получилась неопределенность. Применим правило
x 0
1  cos x
11
0
Лопиталя еще раз.
lim
f ( x)  e x  e  x ;
lim
x 0
x
e e
sin x
x

g ( x)  sin x ;
11 0
 - применяем правило Лопиталя еще раз.
0
0
f ( x)  e x  e  x ;
lim
x 0
g ( x)  cos x ;
x
e e
2
  2;
cos x
1
x
Неопределенности вида 0 0 ; 1 ;  0 можно раскрыть с помощью
логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов
g ( x)
функций вида y   f ( x) , f(x)>0 вблизи точки а при ха. Для нахождения предела
такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).
Пример: Найти предел lim x x .
x0
x 0
Здесь y = xx, lny = xlnx.
ln x правило 
1/ x

  lim x  0;
  lim
2
x 0
x 0
x 0 1
x

0
x 0
 Лопиталя x 0  1 / x
x 0
x 0
x 0
x 0
x
Следовательно lim ln y  ln lim y  0;  lim y  lim x x  1
lim ln y  lim x ln x  lim
Тогда
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
.
x 0
x 0
x2
.
x  e 2 x
Пример: Найти предел lim
f ( x)  2 x;
g ( x)  2e 2 x ;
lim
x 
x
e
2x


; - получили неопределенность. Применяем

правило Лопиталя еще раз.
f ( x)  2;
g ( x)  4e 2 x ;
lim
x 
1
1
  0;
2x

2e
6
.”
Пример. Найти асимптоты и построить график функции y 
1) Вертикальные асимптоты: y+
вертикальная асимптота.
x0-0:
y-
x 2  2x  1
.
x
x0+0, следовательно, х = 0-
2) Наклонные асимптоты:
x 2  2x  1
 2 1 
k  lim
 lim 1   2   1
2
x 
x


x
 x x 
 x 2  2x  1

 x 2  2x  1  x 2 
1
 2x  1 

  lim 
b  lim ( f ( x)  x)  lim 
 x   lim 
  lim
2    2
x 
x 
x


x


x


x
x
x
 x 





Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
-2
Пример. Найти асимптоты и построить график функции y 
9x
.
9  x2
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.
Найдем наклонные асимптоты: k  lim
x 
9
0
9  x2
9
9x
b  lim
 lim x  0
x  9  x 2
x  9
1
x2
y = 0 – горизонтальная асимптота.
7
6
4
2
- 7. 5
-5
- 2. 5
2. 5
5
7. 5
-2
-4
-6
x 2  2x  3
Пример. Найти асимптоты и построить график функции y 
.
x2
Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.
x 2  2x  3
x 2  2x  3
k  lim
 lim
 lim
x  x( x  2)
x 
x 
x 2  2x
2 3

x x 2  1.
2
1
x
1
3
4
 x 2  2x  3

 x 2  2x  3  x 2  2x 
 4x  3
x  4
  lim
b  lim 
 x   lim 
 lim
x 
x


x


x


2
x2
x2
 x2



1
x
Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.
20
15
10
5
- 10
-5
5
10
-5
- 10
- 15
- 20
Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее
полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо
отыскать:
8
.”
1) Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
2) Точки разрыва. (Если они имеются).
3) Интервалы возрастания и убывания.
4) Точки максимума и минимума.
5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6) Области выпуклости и вогнутости.
7) Точки перегиба.(Если они имеются).
8) Асимптоты.(Если они имеются).
9) Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию y 
x3
и построить ее график.
x2 1
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения
функции является область (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными
асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-; ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
3x 2 ( x 2  1)  2 x  x 3 3x 4  3x 2  2 x 4 x 4  3x 2

y 

 2
( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
( x  1) 2
Критические точки: x = 0; x = - 3 ; x =
3 ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
(4 x 3  6 x)( x 2  1) 2  ( x 4  3x 2 )4 x( x 2  1)
y  

( x 2  1) 4



(4 x 3  6 x)( x 4  2 x 2  1)  ( x 4  3x 2 )( 4 x 3  4 x)

( x 2  1) 4
4 x 7  8 x 5  4 x 3  6 x 5  12 x 3  6 x  4 x 7  4 x 5  12 x 5  12 x 3

( x 2  1) 4
2 x 5  4 x 3  6 x 2 x( x 4  2 x 2  3) 2 x( x 2  3)( x 2  1) 2 x( x 2  3)



.
( x 2  1) 4
( x 2  1) 4
( x 2  1) 4
( x 2  1) 3
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
- < x < - 3 ,
- 3 < x < -1,
-1 < x < 0,
0 < x < 1,
1<x < 3,
3 < x < ,
y < 0,
y < 0,
y > 0,
y < 0,
y > 0,
y > 0,
кривая выпуклая
кривая выпуклая
кривая вогнутая
кривая выпуклая
кривая вогнутая
кривая вогнутая
9
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем
знаки производной функции на промежутках.
- < x < - 3 ,
- 3 < x < -1,
-1 < x < 0,
0 < x < 1,
1<x < 3,
3 < x < ,
y > 0, функция возрастает
y < 0, функция убывает
y < 0, функция убывает
y < 0, функция убывает
y < 0, функция убывает
y > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - 3 является точкой максимума, а точка х = 3 является
точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 3 /2 и 3 3 /2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем
наклонные асимптоты.
x2
1
k  lim 2
 lim
 1;
x  x  1
x 
1
1 2
x
1
3
3
3
 x

 x  x  x
x
  lim 2
b  lim  2
 x   lim 
 lim x  0
2
x  x  1
x 
x  x  1
x 
1
x

1




1 2
x
Итого, уравнение наклонной асимптоты –
y = x.
Построим график функции:
4
3
2
1
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
10
2
.”
Векторная функция скалярного аргумента.
z
A(x, y, z)
r (t )  r0
r
r0
y
х
Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически:
x = (t); y = (t);
z = f(t);


 


Радиус- вектор произвольной точки кривой: r  xi  yj  zk   (t )i   (t ) j  f (t )k .
Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как
некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t

изменяется величина и направление вектора r .
Запишем соотношения для некоторой точки t0:
lim  (t )   0 ; lim  (t )   0 ; lim f (t )  f 0 ;
t t0
t t0
t t0







Тогда вектор r0   0 i   0 j  f 0 k - предел функции r (t). lim r (t )  r0 .
t t0
Очевидно, что


lim r (t )  r0  lim
t t 0
t t 0
 (t )   0 2   (t )   0 2   f (t )  f 0 2
 0 , тогда


lim r (t )  r0 .
t t0
Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента,
рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.

r (t )

r (t )

r (t  t )




r (t  t )   (t  t )i   (t  t ) j  f (t  t )k ;
11

dr
dt
 

r  r (t  t )  r (t ) ;




r  ( (t  t )   (t ))i  ( (t  t )   (t )) j  ( f (t  t )  f (t )) k

r  (t  t )   (t )   (t  t )   (t )  f (t  t )  f (t ) 

i
j
k
t
t
t
t
или, если существуют производные (t), (t), f(t), то

 


r
  (t )i   (t ) j  f (t )k  r 
t 0 t

Это выражение – вектор производная вектора r .

dr dx  dy  dz 

i
j k
dt dt
dt
dt
lim

dr

dt
 (t )2   (t )2   f (t )2
Если имеется уравнение кривой:
x = (t); y = (t);
z = f(t);
то в произвольной точке кривой А(xА, yА, zА) с радиус- вектором


 


r  xi  yj  zk  (t )i  (t ) j  f (t )k
x  xA y  yA z  z A


можно провести прямую с уравнением
m
n
p

dr
Т.к. производная
- вектор, направленный по касательной к кривой, то
dt
x  xA y  yA z  z A


.
dx A
dy A
dz A
dt
dt
dt
Свойства производной векторной функции скалярного аргумента.
1)
2)
3)
4)



dr1 dr2 dr3
d   
(r1  r2  r3 ) 


dt
dt
dt
dt


d (r )
dr
  , где  = (t) – скалярная функция
dt
dt
 


d (r1  r2 ) dr1   dr2

 r2  r1 
dt
dt
dt
 


d (r1  r2 ) dr1   dr2

 r2  r1 
dt
dt
dt
Уравнение нормальной плоскости к кривой будет иметь вид:
dx A
dy
dz
(x  xA )  A ( y  y A )  A (z  z A )  0
dt
dt
dt
12
.”
Пример. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии,


 
заданной уравнением r  i cos t  j sin t  3tk в точке t = /2.
Уравнения, описывающие кривую, по осям координат имеют вид:
x(t) = cost;
y(t) = sint;
z(t) = 3t ;
Находим значения функций и их производных в заданной точке:
x(t) = -sint;
x(/2) = -1;
x(/2) = 0;
y(t) = cost;
y(/2) = 0;
y(/2) = 1;
x
y 1


1
0
-
z
z (t )  3
z(/2)= 3
z(/2)=  3 /2
 3
2
3
это уравнение касательной.
Нормальная плоскость имеет уравнение:
 1  ( x  0)  0  3 ( z 
 x  3z 
 3
)0
2
3
0
2
Параметрическое задание функции.
Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений
вида:
 x  (t )
,

 y   (t )
производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).
Находим производные:
 dx
 dt  (t )

 dy   (t )
 dt
dy  (t )
Теперь можно найти производную
. Далее находятся значения параметра t,

dx (t )
при которых хотя бы одна из производных (t) или (t) равна нулю или не
существует. Такие значения параметра t называются критическими.
Для каждого интервала (t1, t2), (t2, t3), … , (tk-1, tk) находим соответствующий
dy
интервал (x1, x2), (x2, x3), … , (xk-1, xk) и определяем знак производной
на каждом из
dx
13
полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания
функции.
Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и,
определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.
Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к
которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении
к которым и х и у стремится к бесконечности.
В остальном исследование производится аналогичным также, как и
исследование функции, заданной непосредственно.
На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется,
например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t
выполняет время.
Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы
параметрически заданных кривых.
Уравнения некоторых типов кривых в параметрической
форме.
Окружность.
Если центр окружности находится в
начале координат, то координаты любой ее
точки могут быть найдены по формулам:
 x  r cos t

 y  r sin t
0  t  3600
Если исключить параметр t, то получим каноническое уравнение окружности:
x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t) = r2
Эллипс.
Каноническое уравнение:
x2 y2

 1.
a2 b2
В
C
M(x, y)
t
О
14
N P
.”
Для произвольной точки эллипса М(х, у) из геометрических соображений
x
y
 a из ОВР и
 b из OCN, где а- большая полуось
можно записать:
cos t
sin t
эллипса, а b- меньшая полуось эллипса, х и у – координаты точки М.
Тогда получаем параметрические уравнения эллипса:
 x  a cos t

 y  b sin t
где 0  t  2
Угол t называется эксцентрическим углом.
Циклоида.
у
С
М
О Р
К
В
а
2а
х
Определение. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая
точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.
Пусть окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси х. Тогда из
геометрических соображений можно записать: OB =  МВ = at;
PB = MK = asint;
MCB = t; Тогда y = MP = KB = CB – CK = a – acost = a(1 – cost).
x = at – asint = a(t – sint).
 x  a(t  sin t )
Итого: 
при 0  t  2 - это параметрическое уравнение циклоиды.
 y  a(1  cos t )
Если исключить параметр, то получаем:
a y


x  2a   a  arccos
 2ay  y 2 ,
a  x  2a
a


a y
x  a  arccos
 2ay  y 2 ,
0  x  a
a
Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в
использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через
другую.
15
Астроида.
Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиуса R/4,
вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса R.
R/4
R
Параметрические уравнения, задающие изображенную выше кривую,
 x  a cos 3 t
,
0  t  2,

 y  a sin 3 t
Преобразуя, получим: x2/3 + y2/3 = a2/3(cos2t + sin2t) = a2/3
Производная функции, заданной параметрически.
 x  (t )
,
t0  t  T
Пусть 
 y  (t )
Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = (t) имеет
обратную функцию t = Ф(х).
Тогда функция у = (t) может быть рассмотрена как сложная функция y = [Ф(х)].
dy dy dt d (t ) dФ( x)


dx dt dx
dt
dx
dФ( x)
1

d(t )
dx
dt
d(t )
dy
 (t )
Окончательно получаем:
 dt 
dx d(t ) (t )
dt
Таким образом, можно находить производную
непосредственной зависимости у от х.
т.к. Ф(х) – обратная функция, то
16
функции,
не
находя
.”
Пример. Найти производную функции
x2 y2

1
a2 b2
Способ 1: Выразим одну переменную через другую y  
b
a 2  x 2 , тогда
a
dy
b(2 x)
bx


dx
2a a 2  x 2
a a2  x2
 x  a cos t
Способ 2: Применим параметрическое задание данной кривой: 
.
 y  b sin t
dy
b cos t
b


dx  a sin t  atgt
cos 2 t 
x2 = a2cos2t;
1
a2 a2  x2
2
2
 1  tg t  tg t  1  2 
cos 2 t
x
x2
x2
a2
dy
bx
a2  x2

tgt  
;
dx
x
a a2  x2
Кривизна плоской кривой.


В
А
А
В
Определение: Угол  поворота касательной к кривой при переходе от точки А к
точке В называется углом смежности.
Соответственно, более изогнута та кривая, у которой при одинаковой длине
больше угол смежности.
Определение: Средней кривизной Кср дуги


AB называется отношение
соответствующего угла смежности  к длине дуги AB .

K ср  
AB
Отметим, что для одной кривой средняя кривизна ее различных частей может
быть различной, т.е. данная величина характеризует не кривую целиком, а некоторый
ее участок.
17
Определение: Кривизной дуги в точке КА называется предел средней

кривизны при стремлении длины дуги AB  0.
K A  lim K ср  lim
A B
AB  0


AB

Легко видеть, что если обозначить AB = S, то при условии, что угол  функция, которая зависит от S и дифференцируема, то
d
KA 
dS
Определение: Радиусом кривизны кривой называется величина R 
Пусть кривая задана уравнением y = f(x).
y
B

A  +
x

;
S
d
d dx
Если  = (x) и S = S(x), то
.

dS dS
dx
lim K cp 
Kcp =
В то же время
S  0
dy
dy
 tg;    arctg
dx
dx

d
;
dS
d2y
d
dx 2
.

2
dx
dy
 
1  
 dx 
2
dS
 dy 
 1    , тогда
Для дифференциала дуги:
dx
 dx 
d 2 y / dx 2
d
d dx
d 2 y / dx 2
1  dy / dx 



3/ 2
2
dS dS
  dy  2 
1  dy / dx 
1    
dx
  dx  
2
18
1
.
KA
.”
Т.к. K A 
d2y
dx 2
d
.

2 3/ 2
dS 

dy
 
1    
  dx  
В других обозначениях: K A 
y 
1  ( y ) 
2 3/ 2
.
Рассмотрим кривую, заданную уравнением: y = f(x).
A
C(a, b)
Если построить в точке А кривой нормаль, направленную в сторону выпуклости,
то можно отложить отрезок АС = R, где R – радиус кривизны кривой в точке А. Тогда
точка С(a, b) называется центром кривизны кривой в точке А.
Круг радиуса R с центром в точке С называется кругом кривизны.
Очевидно, что в точке А кривизна кривой и кривизна окружности равны.
Можно показать, что координаты центра кривизны могут быть найдены по
формулам:
y (1  y  2 )
1  y2
a  x
;
b y
;
y 
y 
Определение: Совокупность всех центров кривизны кривой линии образуют
новую линию, которая называется эволютой по отношению к данной кривой. По
отношению к эволюте исходная кривая называется эвольвентой.
Приведенные выше уравнения, определяющие координаты центров кривизны
кривой определяют уравнение эволюты.
Свойства эволюты.
Теорема 1: Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.
Теорема 2: Модуль разности радиусов кривизны в любых точках кривой равен
модулю длины соответствующей эволюты.
19
С3

R2  R1  C1C2
С2

R3  R2  C2 C3
С1
R1
R2
R3
M1
M’1
M2
M’2
M3
M’3
Надо отметить, что какой – либо эволюте соответствует бесконечное число эвольвент.
Указанные выше свойства можно проиллюстрировать следующим образом: если на
эволюту натянута нить, то эвольвента получается как траекторная линия конца нити
при ее сматывании или разматывании при условии, что нить находится в натянутом
состоянии.
Пример: Найти уравнение эволюты кривой, заданной уравнениями:
 x  a(cos t  t sin t )

 y  a(sin t  t cos t )
 x  a( sin t  sin t  t cos t )  at cos t

 y  a(cos t  cos t  t sin t )  at sin t
y
 tgt;
1  ( y ) 2  sec 2 t ,
x
d (tgt ) d (tgt ) dt
1 sec 3 t
y  


 sec 2 t  
dx
dt
dx
x
at
2

at sec t
 tgt  a cos t
 p  a (cos t  t sin t ) 
sec 3 t
Уравнения эволюты: 
2
q  a (sin t  t cos t )  at sec t  a sin t

sec 3 t
 p  a cos t
Окончательно: 
- это уравнения окружности с центром в начале координат
q  a sin t
радиуса а. Исходная кривая получается своего рода разверткой окружности.
Ниже приведены графики исходной кривой и ее эволюты.
y 
20
.”
15
10
5
- 10
-5
5
10
-5
- 10
- 15
Кривизна пространственной кривой.
z
A(x, y, z)

r
B

r


r  r
0
y
x
Для произвольной точки А, находящейся на пространственной кривой,
координаты могут быть определены как функции некоторой длины дуги S.
x = (S);
y = (S);
z = f(S);



 
r  r ( S )  ( S )i  ( S ) j  f ( S )k ;
21
Приведенное выше
пространстве.
уравнение
называют
векторным
уравнением
линии
в
Определение: Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус –

вектор r (S ) при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.



AB
r
dr
r
 lim
  , тогда
- вектор, направленный по касательной к кривой в точке
dS S 0 S
S
AB
А(x, y, z).

AB
 dr
Но т.к. lim   1 , то a 
- единичный вектор, направленный по
A B
dS
AB
касательной.

 
 dx  dy  dz 

i
j
k.
Если принять r  xi  yj  zk , то a 
dS
dS
dS
2
Причем
2
2
 dx   dy   dz 
         1.
 dS   dS   dS 



d 2r
d  dr  da
Рассмотрим вторую производную


;
dS 2 dS  dS  dS

da
Определение: Прямая, имеющая направление вектора
называется главной
dS

нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается n .


da
 K  n , где К – кривизна кривой.
dS
 
d 2r n
 ;
dS 2 R
Кривизна пространственной кривой может быть найдена по формуле:
r   r 2
K
3
r 2
 
Возможна и другая запись формулы для кривизны пространственной кривой (она
получается из приведенной выше формулы):
2
2
2
 2

 d 2r 
 d 2x   d 2 y   d 2z 
d 2r
K   2  
  2    2    2 
dS 2
 dS 
 dS   dS   dS 

1
d 2r
Определение: Вектор
называется вектором кривизны. Величина  
2
K
dS
называется радиусом кривизны.
22
.”
О формулах Френе.
Формулами Френе называются соотношения:
 
 

 
da n
db n
dn
a b
 ;
 ;
  ;
dS R
dS T
dS
R T
  
n  b  a;
Последняя формула получена из двух первых.
В этих формулах:

n - единичный вектор главной нормали к кривой,
b - единичный вектор бинормали,
1

R – радиус кривизны кривой  R   ,
K

Т – радиус кручения кривой.
Определение: Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль к
кривой в точке А называется соприкасающейся плоскостью.
Определение: Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся

плоскости, называется бинормалью. Ее единичный вектор- b .


db
1
db 1 
 ;
  n;
dS T
dS T
Величина
1
называется кручением кривой.
T
Ниже
рассмотрим
несколько
примеров
исследования
дифференциального исчисления различных типов функций.
методами
Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
y  3 1  x 3 и построить ее график.
1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-; ).
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;
с осью Ох: y = 0; x = 1;
4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;
3
f ( x)
1  x3
1  x3
1
 lim
 lim 3
 lim 3 3  1  1;
3
x 
x 
x 
x 
x
x
x
x
(1  x 3  x 3 )
b  lim ( f ( x)  kx)  lim (3 1  x 3  x)  lim
 0;
2
x 
x 
x   3
3
3
2
3
 1  x  x  1  x  x 
Итого: у = -х – наклонная асимптота.
k  lim


5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.
23


1
y   (1  x 3 ) 2 / 3   3 x 2 . Видно, что у 0 при любом х  0, следовательно, функция
3
убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая
производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на
возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для
нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.
y  
 2x
y = 0 при х =0 и y =  при х = 1.
(1  x 3 ) 5
Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y(1-h) < 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0;
y(h) < 0 для любого h > 0.
3
6. Построим график функции.
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
x3  4
и построить ее график.
x2
Пример: Исследовать функцию y 
1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =  3 4
с осью Оу: x = 0; y – не существует.
4. Точка х = 0 является точкой разрыва lim y   , следовательно, прямая х = 0 является
x 0
вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.
f ( x)
x3  4
4

k  lim
 lim
 lim 1  3   1
3
x 
x 
x 
x
x
 x 
3
x 4

4
b  lim ( f ( x)  kx)  lim  2  x   lim 3  0.
x 
x 
 x
 x x
Наклонная асимптота у = х.
5. Находим точки
24
.”
Пример: Исследовать функцию y  x( x  1) 3 и построить ее график.
1. Областью определения данной функции является промежуток х  (-, ).
2. В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.
3. Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;
с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.
4. Асимптоты кривой.
Вертикальных асимптот нет.
Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.
f ( x)
x( x  1) 3
k  lim
 lim
  - наклонных асимптот не существует.
x 
x 
x
x
5. Находим точки экстремума.


y   x( x 3  3 x 2  3 x  1  x 4  3 x 3  3 x 2  x  4 x 3  9 x 2  6 x  1
Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.
Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.
Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число
х = 1. Тогда:
4x3 – 9x2 + 6x – 1 x - 1
 4x3 – 4x2
4x2 – 5x + 1
2
- 5x + 6x
 - 5x2 + 5x
x-1
 x-1
0

 

Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические
точки: x = 1 и x = ¼.
Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при
нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

y   x( x  1) 3  ( x  1) 3  3x( x  1) 2  ( x  1) 2 ( x  1  3x)  ( x  1) 2 (4 x  1)


Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:
x = 1, x = ½.
Систематизируем полученную информацию в таблице:
f(x)
f(x)
f(x)
(- ; ¼)
+
убывает
вып.вниз
1/4
+
0
min
( ¼ ; ½)
+
+
возрастает
вып.вниз
6. Построим график функции.
25
1/2
0
+
пере
гиб
(½ ;1)
+
возрастает
вып.вверх
1
0
0
пере
гиб
(1 ; )
+
+
возрастает
вып. вниз
0. 4
0. 2
- 0. 5
0. 5
1
1. 5
- 0. 2
- 0. 4
Интегральное исчисление.
Пример:  ( x 2  2 sin x  1)dx   x 2 dx  2 sin xdx   dx 
Пример. Найти неопределенный интеграл

1 3
x  2 cos x  x  C ;
3
sin x cos xdx .
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
2 3/ 2
2 3/ 2
1/ 2
 t dt   t dt  3 t  C  3 sin x  C.
Пример.
 x( x
2
 1) 3 / 2 dx.
dt
; Получаем:
2x
t 5/ 2
( x 2  1) 5 / 2
C 
C 
 C;
5
5
Замена t  x 2  1; dt  2 xdx; dx 
t
3/ 2
dt 1 3 / 2
1 2
  t dt   t 5 / 2
2 2
2 5
u  x 2 ; dv  sin xdx; 
2
2
x
sin
xdx


   x cos x   cos x  2 xdx 

du

2
xdx
;
v


cos
x


u  x; dv  cos xdx;
2
2

   x cos x  2 x sin x   sin xdx   x cos x  2 x sin x  2 cos x  C.
du

dx
;
v

sin
x


Пример.


Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям
позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
26
.”
u  e 2 x ; du  2e 2 x dx; 
2x
2x
Пример.  e 2 x cos xdx  
  e sin x   sin x  2e dx 
dv  cos xdx; v  sin x


u  e 2 x ; du  2e 2 x dx; 
2x
2x
2x
2x

  e sin x  2  e cos x    cos x  2e dx  e sin x 
dv  sin xdx; v   cos x;
 2e 2 x cos x  4 cos xe2 x dx
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не
удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем
не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
5 e 2 x cos xdx  e 2 x (sin x  2 cos x)
e2x
(sin x  2 cos x)  C.
5
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.
2x
 e cos xdx 
Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов
функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов
приведением их к табличным.
Пример.
1
1 21 1
t 21
(2 x  1) 21
 (2 x  1) dx  2 x  1  t; dt  2dx;   t  2 dt  21 t  2  C  42  C  42  C
20
20
Пример.

2  x2  2  x2
4 x
x
 arcsin
 C.
2

4
Пример.
cos x
dx 
3
sin x
2  x2  2  x2
dx  
 sin
 2 sin 1 / 2 x  C  
3/ 2
2 x
2
2 x
2
dx  
dx
2 x
2

dx
2 x
x cos xdx  sin x  t; dt  cos xdx 
2
sin x
 C.
Пример.
27
2
t
 ln x  x 2  2 
3/ 2
dt  2t  1 / 2  C 
u  x 2 ; dv  e 5 x dx; 
1 5x
x 2e5x 2

 1 5x 2
2 5x
5x
x
e
dx


e
x

e
2
xdx

  xe5 x dx 

e  5


5
5
5
;
du  2 xdx; v 
5 

u  x; dv  e 5 x dx; 
1 5 x  x 2 e 5 x 2 xe5 x
2

 x 2 e 5 x 2  xe5 x




e dx  


e 5 x dx 

1 5x



5
5
5
5
5
25
25


du  dx; v  e ;
5


x 2 e 5 x 2 xe5 x 2e 5 x e 5 x  2 2 x 2 




 .
x 
5
25
125
5 
5 25 
Пример.
dx

 x 2  2x  8

dt
32  t 2
dx

 arcsin
 x 2  2x  1  9
 dx  d ( x  1)  
d ( x  1)
9  ( x  1) 2
 x  1  t 
t
x 1
 C  arcsin
 C.
3
3
Пример.
1


u  ln x; dv  3 dx; 

ln x
ln x
1 1
ln x 1 dx
ln x


x
   2    2  dx   2   3   2 
 x 3 dx  1
2 x
2x
2x x
2x
2x
du  dx; v   1 ;
2
x
2 x 

1 1
ln x
1

  x  2   C   2  2  C.
2 2
2x
4x

Пример.
u  ln x; dv  xdx; 
2
x2 1
x 2 ln x 1
x 2 ln x x 2

 x
2
x
ln
xdx


ln
x


dx


xdx


C 

1
x 

2 x

2
2
2
2
4
du

dx
;
v

;


x
2 

x2

(2 ln x  1)  C.
4
e
cos 2 x
 e cos
Пример.
2
2
2
sin 2 xdx  t  e cos x ; dt  e cos x  2 cos x sin x   sin 2 x  e cos x dx;    dt  t  C 

2

 C.
Пример.
dx
x
 ( x  1)

  x  t;
x 
dt
1
1
2tdt
dt

  2
 2 2
 2arctgt  C  2arctg x  C.
dx 2 x 2t 
(t  1)t
t 1
28
.”
Пример.
x
2
dx
dx
1
dx
1
 x  3

 
 arctg 
  C.
2
2
16
 6 x  25
( x  3)  16 16  x  3 
 4 

 1
 4 
Интегрирование элементарных дробей.
Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:
I.
1
;
ax  b
III.
1
;
IV.
(ax  b) m
m, n – натуральные числа (m  2, n  2) и b2 – 4ac <0.
II.
Mx  N
;
ax 2  bx  c
Mx  N
(ax  bx  c ) n
2
Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто
приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.
I.
II.
dx
1 dt 1
1
 ln t  C  ln ax  b  C.
t
a
a
 ax  b  a 
dx
 (ax  b)
m

1 dt
1
1

C  
 C;
m
m 1

a t
a(m  1)t
a(m  1)( ax  b) m 1
Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.
Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:
A
Ap 

(2 x  p)   B 

Ax  B
A
2x  p
Ap 
dx
2
2 


dx

dx   2
dx   B 

 2
2
 x 2  px  q

2 x  px  q
2  x  px  q
x  px  q

A
Ap 
dx
A
2 B  Ap

 ln x 2  px  q   B 
 ln x 2  px  q 


2
2
2
2
2  

p 
p  2
4q  p

 x     q 
2 
4 

2x  p
 arctg
C
4q  p 2
Пример.
29
u  6 x  5; du  6dx;
7x  2
84 x  24
84 x  24



 3x 2  5 x  4 dx   36 x 2  60 x  48 dx   (6 x  5) 2  23 dx   x  u  5 ;


6
1 14u  70  24
7
udu
23
du
7
23
u
 
du   2
  2
 ln( u 2  23) 
arctg
C 
2
6
3 u  23 3 u  23 6
u  23
3 23
23

7
23
6x  5
ln 36 x 2  60 x  48 
arctg
 C.
6
3
23
Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по
определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать
указанным выше способом.
Пример.
x
2
u  x  3; du  dx;
5x  3
5x  3
5u  15  3
udu
dx  
dx  
du  5 2

 2
2
 6 x  40
( x  3)  49
u  49
u  49
 x  u  3;

 18
du
5
18 u  7
5
9
x4
 ln u 2  49  ln
 C  ln x 2  6 x  40  ln
 C.
14 u  7
2
7 x  10
u  49 2
2
Пример.

3x  4
7  x  6x
 13
2
du
16  u 2
dx  
u  x  3; du  dx;
3u  9  4
udu
dx  
du  3


2
 x  u  3;

16  ( x  3)
16  u
16  u 2
3x  4
2
 3 16  u 2  13 arcsin
u
x3
 C  3 7  x 2  6 x  13 arcsin
 C.
4
4
Пример:
u  x  2; du  dx;
3x  5
3x  5
3u  6  5
dx

dx

du 

 2
2
 ( x 2  4 x  7) 2
 (( x  2) 2  3) 2
x

u

2
;
(
u

3
)


t  u 2  3;  3 dt

udu
du
u
1
du 

11



   2  11

2
2
2
2
2
2


(u  3)
(u  3)
 3  2(u  3) 3  2 u  3 
dt  2udu; 2 t
3
11u
11
u
3
11( x  2)
11
x2
 

arctg
C  


arctg
 C.
2
2
2
2t 6(u  3) 6 3
2( x  4 x  7) 6( x  4 x  7) 6 3
3
3
 3
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование рациональных дробей.
Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить
ее на элементарные дроби.
30
.”
Q( x)
- правильная рациональная дробь, знаменатель P(x)
P( x)
которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей
(отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть
представлен в таком виде: P(x) = (x - a)…(x - b)(x2 + px + q)…(x2 + rx + s) ), то эта
дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:
Теорема: Если R( x) 
B
A
A
A2
B1
B2
M x  N1
Q( x)
 1 

...


...



...

 21

2

2

P( x) x  a ( x  a)
( x  b) ( x  b)
( x  a)
( x  b)
x  px  q
R x  S 
M  x  N
M x  N2
R1 x  S1
R2 x  S 2
 2 2

...


...



...

( x  px  q) 2
( x 2  px  q) 
x 2  rx  s ( x 2  rx  s) 2
( x 2  rx  s ) 
где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.
При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной
дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так
называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что
для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно,
чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.
Пример.
9 x  30 x 2  28 x  88
 ( x 2  6 x  8)( x 2  4) dx
3
Т.к. ( x 2  6 x  8)( x 2  4)  ( x  2)( x  4)( x 2  4) , то
9 x 3  30 x 2  28 x  88
A
B
Cx  D


 2
2
( x  2)( x  4)( x  4) x  2 x  4 x  4
Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:
A( x  4)( x 2  4)  B( x  2)( x 2  4)  (Cx  D)( x 2  6 x  8)  9 x 3  30 x 2  28x  88
( A  B  C ) x 3  (4 A  2 B  6C  D) x 2  (4 A  4 B  8C  6 D) x  (16 A  8B  8D) 
 9 x 3  30 x 2  28 x  88.
A  B  C  9
 4 A  2 B  6C  D  30


4 A  4 B  8C  6 D  28
 16 A  8B  8D  88
C  9  A  B
 D  30  4 A  2 B  54  6 A  6 B


2 A  2 B  4C  3D  14
2 A  B  D  11
C  9  A  B
 D  24  2 A  4 B


2 A  2 B  36  4 A  4 B  72  6 A  12 B  14
2 A  B  24  2 A  4 B  11
31
C  9  A  B
 D  24  2 A  4 B


4 A  10 B  50
4 A  5 B  35
C  9  A  B
 D  24  2 A  4 B


4 A  10 B  50
50  10 B  5 B  35
C  9  A  B
 D  24  2 A  4 B


4 A  10 B  50
 B  3
A  5
B  3


C  1
 D  2
Итого:
5
3
x2
x
2
 x  2 dx   x  4 dx   x 2  4 dx  5 ln x  2  3 ln x  4   x 2  4 dx   x 2  4 dx 
1
x
 5 ln x  2  3 ln x  4  ln( x 2  4)  arctg  C.
2
2
Пример.
6 x 5  8 x 4  25 x 3  20 x 2  76 x  7
dx

3x 3  4 x 2  17 x  6
Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую
часть:
6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7
3x3 – 4x2 – 17x + 6
5
4
3
2
6x – 8x – 34x + 12x
2x2 + 3
3
2
9x + 8x – 76x - 7
9x3 – 12x2 – 51x +18
20x2 – 25x – 25
 2
20 x 2  25 x  25 
4 x 2  5x  5
2 3
2
 2 x  3  3x 3  4 x 2  17 x  6  dx   2 x dx   3dx  5 3x 3  4 x 2  17 x  6dx  3 x  3x 
4 x 2  5x  5
 5 3
dx
3x  4 x 2  17 x  6
Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3
знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:
3x3 – 4x2 – 17x + 6
x-3
3
2
3x – 9x
3x2 + 5x - 2
2
5x – 17x
5x2 – 15x
- 2x + 6
-2x + 6
0
Таким образом 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тогда:
4 x 2  5x  5
A
B
C



( x  3)( x  2)(3x  1) x  3 x  2 3x  1
A( x  2)(3x  1)  B( x  3)(3x  1)  C ( x  3)( x  2)  4 x 2  5x  5
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов
раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых
случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод
произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше
32
.”
выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных
коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в
качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби
равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:
40 A  16
A  2 / 5


35 B  21
B  3 / 5
C  1
C  1


Окончательно получаем:
2
dx
dx
dx
6 x 5  8 x 4  25 x 3  20 x 2  76 x  7
 2
 5

dx = x 3  3 x  3
3
2

3
x2
x3
3x  1
3x  4 x  17 x  6

2 3
5
x  3x  3 ln x  2  2 ln x  3  ln 3x  1  C.
3
3
Пример.
3x 4  14 x 2  7 x  15
A
Bx  C
Dx  E
 ( x  3)( x 2  2) 2 dx   x  3 dx   ( x 2  2) 2 dx   x 2  2 dx
Найдем неопределенные коэффициенты:
A( x 2  2) 2  ( Bx  C )( x  3)  ( Dx  E )( x  3)( x 2  2)  3x 4  14 x 2  7 x  15
Ax 4  4 Ax 2  4 A  Bx 2  3Bx  Cx  3C  Dx 4  2Dx 2  3Dx 3  6Dx  Ex 3  2 Ex  3Ex 2  6 E 
 ( D  A) x 4  (3D  E ) x 3  ( A  B  2 D  3E  4 A) x 2  (3B  C  6D  2 E ) x  (2 A  3C  6 E  4 A)
D  A  3
3D  E  0

 B  2 D  3E  4 A  14
3B  C  6 D  2 E  7

3C  6 E  4 A  15
D  3  A
 E  9  3 A

 B  11A  35
3B  C  7

3C  22 A  69
D  3  A
 E  9  3 A

 B  6  2 A  27  9 A  4 A  14
3B  C  18  6 A  18  6 A  7

3C  54  18 A  4 A  15
D  3  A
 E  9  3 A

11A  35  B
C  7  3B

21  9 B  70  2 B  69
A  3
B  2

C  1
D  0

 E  0
Тогда значение заданного интеграла:
dx
2x  1
dx
x
dx
1
3
 2
dx  3
 2 2
dx   2
 3 ln x  3  2

2
2
2
x3
x3
( x  2)
( x  2)
( x  2)
x 2
x
1
x


arctg
 C.
2
4( x  2) 4 2
2
33
Интегрирование некоторых тригонометрических
функций.
Пример.
2dt
dx
dt
dt
1 t2
 2
 2 2

2
2
2
 4 sin x  3 cos x  5   2t
1 t
8t  3  3t  5  5t
2t  8t  8
4
3
5
1 t2
1 t2
dt
dt
1
1
 2


C  
 C.
2
x
t2
t  4t  4
(t  2)
tg  2
2
Пример.
dx
2dt
 9  8 cos x  sin x  
 8(1  t )
2t 
(1  t 2 ) 9 


2
1 t
1 t2 

x
tg  1
1
t 1
1
 arctg
 C  arctg 2
 C.
2
4
2
4
2
Интеграл вида
 2
dt
dt
 2

t  2t  17
(t  1) 2  16
2
 R(sin x, cos x)dx
если
функция R является нечетной относительно cosx.
Пример.
sin x  t
cos 7 xdx 
 sin 4 x  dt  cos xdx
cos 2 x  1  sin 2


(1  t 2 ) 3
1  3t 2  3t 4  t 6
dt
dt

dt

dt   4  3 2 

4
4

t
t
t
t
x 
1 3
1
1
3
sin 3 x
 3 dt   t 2 dt   3   3t  t 3  


3
sin
x

 C.
t
3
3
3t
3 sin 3 x sin x
Интеграл вида
 R(sin x, cos x)dx
если
функция R является нечетной относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.
Тогда  R(sin x, cos x)dx   r (cos x) sin xdx    r (t )dt.
Пример.
34
.”
 (t  2) 2  4t  5 
cos x  t

sin 3 x
1 t2
t 2  4t  4  4t  5
dx



dt

dt



 dt 
 2  cos x
 2t

 
t2
t2
dt   sin xdx

2
4t
5 
tdt
dt
t
t

  t  2 

dt   tdt   2dt  4 
 5
  2t  5 ln t  2  4 
dt 

t  2 t  2
t2
t2 2
t2

A
 t

 t  2  t  2  B


dt
t2
 A  Bt  2  t  t 2

 4  dt   2t  5 ln t  2  8 ln t  2  4t 
   2t  5 ln t  2  8
t2
2
 B  1, A  2  2
 t

2

1 

t  2 t  2

2
t
cos 2 x
  2t  3 ln t  2  C 
 2 cos x  3 ln(cos x  2)  C.
2
2
Интеграл вида
 R(sin x, cos x)dx
функция R четная относительно sinx и cosx.
Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка
t = tgx.
Тогда  R(sin x, cos x)dx   r (t )dt
Пример.
1
tgx  t ;

2
dx


cos
x
 sin 2 x  6 sin x cos x  16 cos 2 x   tg 2 x  6tgx  16 dx   1 dx  d (tgx)  dt  
 cos 2 x


dt
dt
1 tgx  3  5
1 tgx  2

 ln
 C  ln
 C.
2
10 tgx  8
t  6t  16
(t  3)  25 10 tgx  3  5
2
Пример.
1
1
1
1
 sin 7 x sin 2 xdx  2  cos 5xdx  2  cos 9 xdx  10 sin 5 x  18 sin 9 x  C.
Пример.
1
1
 sin 10 x cos 7 x cos 4 xdx   sin 10 x[cos 7 x cos 4 x]dx  2  sin 10 x cos11xdx  2  sin 10 x cos 3xdx 
1
1
1
1
1
1
1
sin 21xdx   sin xdx   sin 13xdx   sin 7 xdx   cos 21x  cos x  cos 13x 

4
4
4
4
84
4
52
1
 cos 7 x  C.
28

Пример.
35
 sin
2
dx
4dx
2 
 dctg 2 x



  2ctg 2 x  C
2
2
x cos x
sin 2 x  dx
sin 2 x 
Пример.
2
1
1
1 1

2
2
 sin xdx    2  2 cos 2 x  dx  4  (1  cos 2 x) dx  4  (1  2 cos 2 x  cos 2 x)dx 
1
1
1
x 1
1 1
x sin 2 x
  dx   cos 2 xdx   cos 2 2 xdx   sin 2 x   (1  cos 4 x)dx  

4
2
4
4 4
4 2
4
4
1
x sin 2 x x sin 4 x 1  3x
sin 4 x 
  dx   cos 4 xdx  
 
   sin 2 x 
 C.
8
4
4
8
32
4 2
8 
4


Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.
Пример.
1 

 p  cos u; dq  e u du; 
u  ln x; du  dx;
u
 e u cos u 
x    e cos udu  
 cos(ln x)dx   u
u 
dp   sin udu; q  e ;
 x  e ; dx  e u du; 


 p  sin u; dq  e u du; 
u
u
u
  e sin udu  
  e cos u  e sin u   e cos udu;
dp  cos udu; q  e u ;
u
Итого
e
u
cos udu  e u (cos u  sin u )   e u cos udu
eu
(cos u  sin u )  C
2
1
x
 x cos(ln x) x dx  2 (cos(ln x)  sin(ln x))  C
x


 cos(ln x)dx  2 cos 4  ln x   C;
u
 e cos udu 
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный
элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции
следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в
рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.
Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов
иррациональных функций.
Интеграл вида

 R x,

n
ax  b 
dx где n- натуральное число.
cx  d 
36
.”
ax  b
 t функция рационализируется.
cx  d

 tn b 
ax  b
tn b
n


t ;
x
;
dx  
dt ;
n 
cx  d
a  ct n
 a  ct 



 t n  b  t n  b 
ax

b
dx   R
Тогда  R x, n
 a  ct n , t  a  ct n  dt   r (t )dt.

cx

d





С помощью подстановки
n
Пример.


 2dx
4

 1  2 x  t; dt 
4
1  2x  1  2x 
4 4 1  2x

dx


3
 dx 
 2t 3 dt
t 2 dt

 3 ;   2
 2

t 1
2t 
t

t

t 
t
1 


2
 2  t 
dt  t 2  2 1 
dt  2 tdt  2
dt  t  2t  2 ln t  1  C 
t

1
t

1
t

1




  1  2 x  24 1  2 x  2 ln 4 1  2 x  1  C.
Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в
качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему
общему кратному степеней корней, входящих в выражение.
Проиллюстрируем это на примере.
Пример.
12 x  1  t ; x  1  t 12 ;
(t 4  t 3 )12t 11dt
t3  t2
dx



12


 ( x  1) 1  6 x  1
 t 12 (1  t 2 )
 t 2  1 dt 
dx  12t 11dt ;

3
x 1  4 x 1


 t3

 
t2
t 
1  
tdt

 12  2
dt   2
dt   12   t  2
 12 dt 
dt   1  2
dt   12 tdt  12 2
t 1 
t 1
 t 1 
  t 1
 t 1
dt
 12 
 6t 2  12t  6 ln( t 2  1)  12arctgt  C  66 x  1  1212 x  1  6 ln( 6 x  1  1) 
2
1 t
 12arctg12 x  1  C.
Пример:
 x  a sin t ; 
a2
2
2
2
2
2
 a  x dx  dx  a cos tdt    a  a sin t a cos tdt   a cos tdt  2  (1  cos 2t )dt 
a 2t a 2
a 2t a 2
a2
x x


sin 2t  C 

sin t cos t  C 
arcsin 
a 2  x 2  C.
2
4
2
2
2
a 2
2
2
37
Теорема:
Интеграл
вида
 R(u,
m 2  u 2 )du
подстановкой
u  mtgt
или u  mctgt сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
Пример:
x
4

a


x  atgt; dx 
dt ;
2

dx
a cos tdt
cos 3 tdt
1 (1  sin 2 t )d sin t

cos t 





 
2
4
4
4
 a 4 sin 4 t a 4 
cos
ta
tg
ta
sin
t
a2  x2  a2  x2  a ;



cos t

1
1
a2


C

sin
t

1



3a 4 sin 3 t a 4 sin t
a2  x2

Теорема: Интеграл вида
u
 R(u,

(a 2  x 2 ) 3 / 2
a2  x2



 C.

3a 4 x 3
a4x
a 2  x 2 
x
u 2  m 2 )du
подстановкой
u
1
sin t
или
1
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
cos t
Пример:
2
2 sin t 

dt ;
dx
2 sin t cos tdt
1
 x  cos t ; dx 
2
cos
t


ctg 4 tdt 

2
5
5
 x( x 2  4) 5 / 2  2

32
cos t  2  2 tg t
 x  4  2tgt;



1
1
1
1
1  1
 1



ctg 2 t  2  1dt    ctg 2 td (ctgt )   ctg 2 tdt   ctg 3 t    2  1dt 

32
32
32
96
32  sin t 
 sin t 

1
1
t
2 
1
1
  ctg 3t  ctgt 
 C  ctgt 




2
3
/
2
2
2
96
32
32
12
(
x

4
)
x

4
16
x

4


1
2
 arccos  C.
32
x
Пример.

3x 3  7 x 2  1
x 2  2x  5
dx  ( Ax 2  Bx  C ) x 2  2 x  5   
dx
x 2  2x  5
.
Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на ax 2  bx  c и
сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.
3x 3  7 x 2  1
Ax 2  Bx  C

2
 (2 Ax  B) x  2 x  5 
( x  1) 
2
2
2
x  2x  5
x  2x  5
x  2x  5
3
2
2
(2 Ax  B)( x  2 x  5)  ( Ax  Bx  C )( x  1)   = 3x  7 x 2  1
2 Ax 3  4 Ax 2  10 Ax  Bx 2  2 Bx  5B  Ax 3  Bx 2  Cx  Ax 2  Bx  C   = 3 x 3  7 x 2  1
3 Ax 3  (5 A  2B) x 2  (10 A  3B  C ) x  5B  C    3x 3  7 x 2  1
38
.”
A  1
5 A  2 B  7


10 A  3B  C  0
5B  C    1
Итого

3x 3  7 x 2  1
x 2  2x  5
A  1
 B  1


C  13
  7
dx  ( x 2  x  13) x 2  2 x  5  7 
dx
( x  1) 2  4
=
= ( x 2  x  13) x 2  2 x  5  7 ln( x  1  x 2  2 x  5)  C.
Пример.
2
2
 (4 x  6 x) x  3dx  
4 x 4  6 x 3  12 x 2  18 x
(4 x 2  6 x)( x 2  3)
x2  3
dx  ( Ax 3  Bx 2  Cx  D) x 2  3   
 (3 Ax 2  2 Bx  C ) x 2  3 
( Ax 3  Bx 2  Cx  D) x
dx
x2  3


x2  3
x2  3
x2  3
4 x 4  6 x 3  12 x 2  18x  (3 Ax 2  2Bx  C )( x 2  3)  Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx  
4 x 4  6 x 3  12 x 2  18 x  3 Ax 4  2 Bx 3  Cx 2  9 Ax 2  6 Bx  3C  Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx  
4 x 4  6 x 3  12 x 2  18x  4 Ax 4  3Bx 3  (2C  9 A) x 2  (6B  D) x  3C  
A  1; B  2; C  3 / 2; D  6;   9 / 2;
3
9
 3
 2
2
2
2
2
 (4 x  6 x) x  3dx   x  2 x  2 x  6  x  3  2 ln x  x  3  C.
Пример.
x

3
1


x ; 

dx
v 3 dv
v 2 dv
dv


v

 
 ( Av  B) 1  v 2   
  
2
2
1
x  1 dx   dv 
1 v
1 v2
2
v

1

v 2 
v2
v2
( Av  B)v


 A 1 v2 

2
2
1 v
1 v
1 v2
 v 2  A  Av 2  Av 2  Bv  
 v 2  2 Av 2  Bv  A  
A  1 / 2; B  0;   1 / 2;
v 1 v2 1
1  x 2  1
1 

 arcsin v 

arcsin
C
2
2
2  x 2
x 
1 v2
v 2 dv
39
Второй способ решения того же самого примера.
sin t
1
tgt


4
x

;
dx

dt
;
dx


cos 2 t dt  sin t cos t dt  cos 2 tdt 
cos
t
cos
t


  1
 x3 x2 1  2
 cos 2 t sin t 
 x  1  tgt;


tgt
3


cos t

1
1
1
1 x 2  1 
  1  cos 2t dt  t  sin 2t  sin 2t  2 sin t cos t  2  

2
2
4
x
x 

1 
1
x 2  1 

arccos 
 C.
2 
x
x 2 
С
учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением
1 
1
arcsin   arccos , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы,
x 2
x
полученные различными методами, совпадают.
Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять
различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования
обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того
или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.
Пример.
 x  sin t ;



dx
cos tdt
dt
x
 (1  x 2 ) 3 / 2  dx  cos tdt;    cos 3 t   cos 2 t  tgt  C  1  x 2  C.

2 
cos t  1  x 
Определенный интеграл.



f [(t )](t )dt  F[(t )]  F[()]  F[()]  F (b)  F (a)


Пример.
1

0

/2
/2
 x  sin t ;
 /2
1
2
2
1  x 2 dx  

1

sin
t
cos
tdt

cos
tdt

(1  cos 2t )dt 
 
0
2 0
  0;    / 2 0
1 1

 /2  1
t

sin
2
t

   sin   .
2 2
4 4
4
 0
40
.”
.
Пример.

b
b
 cos xdx  lim  cos xdx  lim sin x  lim (sin b  sin 0)  lim sin b - не существует.
0
b
0
b
b
0
b 
Несобственный интеграл расходится.
Пример.
1
1
dx
dx
 1  1
 1

lim

lim
1    1 - интеграл сходится
 x 2 b b x 2 b  x  b  blim

 b
Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных.
2
Пример. Найти полный дифференциал функции u  x y z .
du 
u
u
u
dx 
dy 
dz
x
y
z
2
2
2
u
u
u
 y 2 zx y z 1 ;
 x y z ln x  2 yz;
 x y z ln x  y 2 ;
x
y
z
du  y 2 zx y
2
z 1
2
2
dx  2 x y z yz ln xdy  y 2 x y z ln xdz
Пример. Найти полный дифференциал функции z 
y
.
x  y2
2
z
 2 yx
 2
x ( x  y 2 ) 2
z y ( x 2  y 2 )  y (2 y ) x 2  y 2  2 y 2
x2  y2



y
(x 2  y 2 )2
(x2  y 2 )2
(x 2  y 2 )2
dz  
2 xy
x2  y2
dx

dy
(x2  y 2 )
(x2  y 2 )2
41
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z  x 2  2 xy  y 2  x  2 y
в точке М(1, 1, 1).
z
z
 2 x  2 y  1;
 2 x  2 y  2
x
y
z
z
 1;
 2;
x M
y M
Уравнение касательной плоскости:
z  1  ( x  1)  2( y  1);
Уравнение нормали:
x  2 y  z  0;
x 1 y 1 z 1


;
1
2
1
Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:
2x + 3y – 5 = 0
u  xy  (2 x  3 y  5)
u
u
 y  2;
 x  3;
x
y
 y  2  0

 x  3  0
2 x  3 y  5  0

5
5
5
 ;
x ;
y ;
12
4
6
5 5
Таким образом, функция имеет экстремум в точке  ;  .
4 6
Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции
называется также методом множителей Лагранжа.
Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения
относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего
числа переменных.
Производная по направлению.
Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по
направлению вектора АВ . В (3, 0).
42
.”
Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора АВ .


АВ =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 i  2 j .
Далее определяем модуль этого вектора:
AB = 8  2 2
Находим частные производные функции z в общем виде:
z
z
 2x  y 2 ;
 2 yx;
x
y
z
z
Значения этих величин в точке А :
 6;
 4;
x
y
Для нахождения направляющих косинусов вектора АВ производим следующие
преобразования:

AB
2 
2 
S=
 i cos   j cos  
i
j
2 2
2 2
AB
За величину S принимается произвольный вектор, направленный вдоль
заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.
Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора АВ :
2
2
cos =
;
cos = 2
2
z
2
2
 6
 4
 2 - значение производной заданной
s
2
2
функции по направлению вектора АВ .
Окончательно получаем:
Градиент.
43