Основные теоретические сведения

Планиметрия. Задания типа В4.
Тип заданий: задание на вычисление элементов прямоугольного треугольника.
Характеристика заданий: вычисления элементов прямоугольного треугольника, связанные
с определениями тригонометрических функций острых углов прямоугольного треугольника, в том числе по готовому чертежу.
Решения планиметрических задач традиционно трудно даётся учащимся, учащиеся
«не любят» подобные задачи, которые в свою очередь требуют для своего решения достаточно гибкого мышления, умения видеть и чувствовать чертёж, видеть решение задач на
готовом чертеже, умение применять множество формул, определений, свойств и теорем в
нужное время и в нужном месте. В геометрии решение любой задачи требует установления определенных соотношений между данными и искомыми. В одних задачах эта связь
ясна и требуется произвести лишь определенные операции с числами, чтобы эта связь
сделалась очевидной. В других задачах связь данных и искомых скрыта от непосредственного усмотрения. Раскрыть ее, сделать очевидной можно только при использовании
других, хорошо известных данных.
Цель разработки данного методического комплекса - помочь учителям и учащимся
в выборе способов, методов решения планиметрических задач типа В4. Данное пособие
содержит 16 задач, каждая задача сопровождается решением, а некоторые из них и двумя
способами решения. При подготовке к ЕГЭ по математике всегда важно уметь выделять
ключевые моменты в той или иной задаче. Такие моменты определяются основными теоретическими сведениями, которыми должен владеть каждый выпускник. Для решения подобных заданий достаточно знать определения синуса, косинуса и тангенса острого угла
прямоугольного треугольника, основное тригонометрическое тождество и теорему Пифагора.
Кроме того, методический комплекс содержит 22 задачи для самостоятельного решения или для формирования проверочных работ по усмотрению учителя. К каждой задаче приведены ответы.
Все задачи взяты из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.
 http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main
Основные теоретические сведения
1. Геометрия прямоугольного треугольника
Определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника
ABC , C  900
1) A  B  900
BC
AC
2) sin A 
sin B 
AB
AB
AC
BC
cos A 
cos B 
AB
AB
BC
AC
tg A 
tg B 
AC
BC
Из данных определений получаем следующие соотношения между углами и
сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного
треугольника , то



катет, противолежащий углу α , равен произведению гипотенузы на sin α;
катет, прилежащий к углу α , равен произведению гипотенузы на cos α;
катет, противолежащий углу α , равен произведению второго катета на tg α.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
ABC , C  900 , ÑÍ  âûñîòà
1) ÑÍ  ÀÍ  ÂÍ
ÀÑ  ÂÑ
ÑÍ 
ÀÂ
2) ÀÑ  ÀÍ  ÀÂ
ÂÑ  ÂÍ  ÀÂ
Теореме Пифагора ÀÂ2  ÀÑ 2  ÂÑ 2
2. Равнобедренный треугольник
ABC , AC  BC
1) A  B
2) CH  âûñîòà, ïðîâåä¸ííà
ÿ ê îñíîâàíèþ
AH  HB , ACH  BCH
3. Четырёхугольники
Параллелограмм
ABCD  ïàðàëëåëîã ðàìì
1) ÀÂ  CD, AD  ÂÑ
2) À  Ñ , Â  D
3) ÀÎ  ÎÑ , ÂÎ  ÎD
4) À  Â  1800 , À  D  1800
Трапеция
ABCD  ð / á òðàïåöèÿ
1) AD  ÂÑ
2) À  Â, Ñ  D
3) ÀÑ  BD
4) C  Â  1800 , À  D  1800
4. Тригонометрия
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 A  cos 2 A  1
Следствия из основного тождества
sin A  1  cos 2 A
cos A  1  sin 2 A
1
1
1  tg 2 A 
, 1  ctg 2 A 
2
cos A
sin 2 A
Формулы приведения
cos(90  A)  sin A, cos(180  A)   cos A
sin( 90  A)  cos A, sin( 180  A)  sin A
Основные методы решения задач типа В4
открытого банка заданий ЕГЭ по математике
В
С
А
1. В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ = 25, АС = 20. Найдите sinА.
Решение: 1) по теореме Пифагора
2)
Ответ:
0,6
2. В треугольнике АВС угол С равен 90, АС = 4,8, sinА =
. Найдите АВ.
Решение: 1 способ
1) sinА =
ВС = 7х, АВ = 25х
sinА =
по теореме Пифагора 25 х   7 х   4,8
2
2
2
625 х 2  49 х 2  23,04
579 х 2  23,04
х 2  0,04  х  0,2
2) АВ = 25  0,2 = 5
2 способ
1) По основному тригонометрическому тождеству
49 24

625 25
AC
AC
4,8  25
 AB 

5
2) cos A 
AB
cos A
24
cos A  1  sin 2 A  1 
Ответ:
5
3. Âòðåóãîëüíè êå ÀÂÑ óãîë Ñ ðàâåí 900 , ÀÂ  4 5 , ÀÑ  8. Íàéäèòå tgA.
Решение: 1) по теореме Пифагора
2) tgA 
Ответ:
BC 4
  0,5
AC 8
0,5
В
Н
А
С
4.
 òðåóãîëüíè êå ÀÂÑ óãîë Ñ ðàâåí 900 , CÍ  âûñîòà , À  8, cos À  0,5.
Íàéäèòå ÀÍ .
Решение: 1) cos A 
AC
 AC  AB cos A  8  0,5  4
AB
2) из пропорциональности отрезков
АС 2 16
АС  АВ  АН  АН 
 2
АВ
8
2
Ответ:
2
5. Â òðåóãîëüíè êå ÀÂÑ óãîë Ñ ðàâåí 900 , CÍ  âûñîòà , BC  3, cos À 
Íàéäèòå ÀÍ .
Решение: 1 способ
1) по основному тригонометрическому тождеству
sin A  1  cos 2 A  1 
2)
sin A 
35 1

36 6
BC
BC
 AB 
 3  6  18
AB
sin A
3) из пропорциональности отрезков
35
.
6
BC 2 9
BC  AB  BH  BH 
  0,5
AB 18
AH  AB  BH  18  0,5  17,5
2
2 способ
1)
cos A 
AC
AB
cos A 
35
6
АС =
35 х , АВ = 6х
по теореме Пифагора
6 х 2  

2
35 х  32
36 х 2  35 х 2  9
х2  9  х  3
2) АС = 3 35
АСН : cos A 
Ответ:
AH
35 35
 AH  AC cos A  3 35 

 17,5
AC
6
2
17,5
6. Âòðåóãîëüíè êå ÀÂÑ óãîë Ñ ðàâåí 900 , âûñîòà CH  20, BC  25. Íàéäèòå sin A.
Решение: 1 способ
1)  СВН: по теореме Пифагора
ВС 2  ВН 2  СН 2  ВН  ВС 2  СН 2  625  400  15
2) из пропорциональности отрезков
BC 2 625 125
BC  AB  BH  АB 


ВН
15
3
2
3)
sin A 
BC
125 25  3
 25 :

 0,6
AB
3
125
2 способ
1)
CBH : sin B 
CH 20

 0,8
BC 25
2) по основному тригонометрическому тождеству
cos B  1  sin 2 B  1  0,64  0,6
3) т.к. в АВС угол С равен 90, то А + В = 90
sinА = sin(90 B) = cosB = 0,6
Ответ:
0,6
7. Â òðåóãîëüíè êå ÀÂÑ óãîë Ñ ðàâåí 90 0 , cos À  4 . Íàéäèòå tgA.
17
Решение: 1 способ
1) по основному тригонометрическому тождеству
sin A  1  cos 2 A  1 
2) tgA 
16
1

17
17
sin A
1
4
1

:
  0,25
cos A
17 17 4
2 способ
1  tg 2 A 
Ответ:
1
1
17
1

tg
A


1


1

 0,25
16
4
cos 2 A
cos 2 A
0,25
В
С
А
8. В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ = 25, АС = 20. Найдите синус
внешнего угла при вершине А.
Решение: 1) cos A 
AC 20

 0,8
AB 25
по основному тригонометрическому тождеству
sin A  1  cos 2 A  1  0,64  0,6
2) пусть угол А1 – внешний угол при вершине А
sin A1  sin( 180  A)  sin A  0,6
Ответ:
0,6
9. В треугольнике АВС угол С равен 90, cos A 
7
. Найдите косинус
25
внешнего угла при вершине В.
Решение: 1 способ
1) по основному тригонометрическому тождеству
sin A  1  cos 2 A  1 
2) sin A 
BC
AB
cos B 
BC
AB
sin A 
49 24

625 25
24
24
 cos B 
25
25
3) пусть В1 – внешний угол при вершине В
cos B1  cos(180  B)   cos B  
24
 0,96
25
2 способ
1) cos A 
cos A 
AC
AB
АС = 7, АВ = 25
7
25
по теореме Пифагора 25  7  BC
2
2
2
BC 2  576  BC  24
2) cos B 
BC 24

AB 25
пусть В1 – внешний угол при вершине В
cos B1  cos(180  B)   cos B  
Ответ:
24
 0,96
25
 0,96
10. В треугольнике АВС угол С равен 90, tg A 
24
. Найдите косинус
7
внешнего угла при вершине А.
2
Решение: 1) 1  tg A 
1
1
49
7
 cosA 


2
2
49  576 25
cos A
1  tg A
2) пусть угол А1 – внешний угол при вершине А
cos A1  cos(180  A)   cos A  
Ответ:
7
 0,28
25
 0,28
С
А
11.
В
Н
В треугольни ке АВС АС  ВС , АВ  4, sin А 
17
. Найдите
17
высоту СН .
Решение: 1 способ
1) АВС, АС = ВС, АВ = 4  АН = 2
2) sin A 
sin A 
17
1

17
17
СН = х, АС =
CH
AC
по теореме Пифагора
17 х
 17 x   x
2
2
 22
17 x 2  x 2  4
x2 
1
 x  0,5
4
3) СН = 0,5
2 способ
1) АВС, АС = ВС, АВ = 4  АН = 2
2) 1  ctg 2 A 
3) ctgA 
Ответ:
1
1
 ctgA 
 1  17  1  4
2
sin A
sin 2 A
AH
AH 2
 CH 
  0,5
CH
ctgA 4
0,5
12. Â òðåóãîëüíè êå ÀÂÑ ÀÑ  ÂÑ  8, ÀÂ  8. Íàéäèòå cos A.
Решение: 1) АВС, АС = ВС = АВ = 8 А = 60
2)
Ответ:
13.
cos A  cos 60 
1
 0,5
2
0,5
В треугольни ке АВС АС  ВС , AH  высота, АВ  25, ВН  20.
Найдите sin BAC .
Решение: 1) АВН, АН  ВН  по теореме Пифагора
AB2  AH 2  BH 2
AH  625  400  15
2) sin B 
AH 15

 0,6
AB 25
3) АВС, АС = ВС В =  ВАС  sinB = sinBAC = 0,6
Ответ:
0,6
14. В тупоугольном треугольнике АВС АС = ВС = 25, высота АН равна 20.
Найдите cosACB.
Решение:
Н
С
А
В
1) АНС, АН  НС  по теореме Пифагора АС2 =АН2 + НС2
НС = 15
2) AHC , cos C 
HC 15

 0,6
AC 25
3) угол АСВ – внешний угол угла С треугольника АНС
cosACB = cos(180  C) =  cosC =  0,6
Ответ:
 0,6
15. В параллелограмме АВСD высота, опущенная на сторону АВ, равна 4,
AD = 8. Найдите синус угла В.
Решение:
С
D
А
В
H
1 способ
1) ADH, DH  AH  sin A 
DH 4
  0,5
AD 8
2) ABCD – параллелограмм  A + B = 180
sinB = sin(180  A) = sinA = 0,5
2 способ
1) ADH, DH  AH, AD = 8, DH = 4  A = 30
2) ABCD – параллелограмм  A + B = 180  B = 150
sinB = sin 150 = sin(180  30) = sin 30 = 0,5
Ответ:
0,5
16. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны
равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.
Решение:
D
А
С
H
K
В
1) ABCD – равнобедренная трапеция, АВ и CD – основания, DH
и СK – высоты трапеции  АН = КВ = (АВ – CD) : 2 = 7
2) ADH, по теореме Пифагора AD2 = AH2 + DH2
DH = 24
3)
Ответ:
sin A 
0,96
DH 24

 0,96
AD 25