Лекция №30

Лекция №30
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛА. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
1.
2.
3.
4.
5.
План
Фарадеевская и максвелловская трактовки явления электромагнитной индукции. Ток смещения.
Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной
формах. Электромагнитное поле.
Волновые уравнения для электромагнитного поля и их решения.
Скорость распространения электромагнитных волн в средах. Основные свойства электромагнитных волн.
Энергия и поток энергии электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга.
Изучение диполя. Диаграмма направленности.
1. Фарадеевская и максвелловская трактовки явления электромагнитной индукции. Ток смещения.
Из закона электромагнитной индукции Фарадея следует
ℇ i = -dФ/dt,
где ℇ i - ЭДС электромагнитной индукции; dФ/dt, - скорость изменения
магнитного потока. В фарадеевской трактовке при изменении магнитного
потока, пронизывающего некоторый проводящий контур, в нем возникает
ЭДС и индукционный ток. Максвелл предположил, что изменяющееся со
временем магнитное поле обуславливает появление в пространстве электрического поля независимо от присутствия в этом пространстве проволочного контура. Наличие контура лишь позволяет обнаружить по возникновению в нем индукционного тока существование в соответствующих
точках пространства электрического поля.
Итак, согласно идее Максвелла изменяющееся со временем магнитное
поле порождает электрическое поле. Это поле существенно отличается от
порождаемого неподвижными зарядами электростатического поля. Электростатическое поле потенциально, его силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах. Электрическое поле, создаваемое переменным
магнитным полем вихревое, его силовые линии замкнуты.
35
В 1865 г. Максвелл высказал гипотезу о том, что изменение электрического поля должно вызывать образование магнитного поля. В дальнейшем
эта гипотеза нашла экспериментальное подтверждение.
Переменное электрическое поле, которое может создавать переменное
магнитное поле, Максвелл назвал током смещения.
Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис.
30.1). Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденса(–)+q
–(+)q
тора имеется переменное электрическое поле. Когда меняется заряд пластин, в проводнике, связывающем пластины конденсатора, течет электричеI
ский ток. Этот ток равен скорости изменения заряда на конденсаторе
Рис. 30.1
I
dqC
dt
(30-1)
Так как qC  CU C (С - емкость конденсатора, U C - напряжение на нем)
C  ℰℰ 0 S/ℓ (здесь кроме известных обозначений ℓ - расстояние ме-
жду пластинами конденсатора)
Напряжение на конденсаторе U C можно представить как произведение
напряженности электрического поля внутри конденсатора на расстояние
между пластинами, то есть U C = Е⋅ℓ, подставляя в (30 -1), получим
I
dqC
d
d
 CU C   (Еℓ⋅ℰℰ 0 S/ℓ) = S⋅d(ℰℰ 0 E)/dt
dt
dt
dt
Выражение в скобках ℰℰ 0 E = D – электрическое смещение, то есть
IS
dD
dt
Разделим обе части на S, тогда в левой части будет плотность тока j 
в правой -
I
,а
S

dD
dD
, то есть j 
. Так как в общем случае D может иметь
dt
dt
производные по координатам, запишем j через частную производную по
времени j 
D
или в векторной форме
t

 D
j
t
Эта величина получила название плотности тока смещения. Ток смещения находится интегрированием.
36
I см ещ



D
  
  jсм ещdS   dS   DdS
t S
S
S t
(30-2)
При этом еще раз отметим, что никакого тока между пластинами конденсатора нет, а есть переменное электрическое поле. Название «ток смещения» является условным, исторически сложившемся (так назвал Максвелл).
По Максвеллу переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый
момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между

D

H
+
I
–

 D
j
t
обкладками конденсатора существует
ток, равный току в проводящих проводах.
На рис. 30.2 в качестве примера показан случай разрядки конденсатора через
проводник, соединяющий обкладки. Ток
течет от левой обкладки к правой через
соединяющий проводник, поле в кон
денсаторе ослабляется, вектор D убыва-

D
ет со временем; следовательно,
 0,
t
Рис. 30.2



 D
D
т.е. вектор
направлен противоположно вектору D , а вектор j 
t
t
I
имеет такое направление, что как бы «продолжает» направление тока в
подводящих проводах.
Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости и смещения. Плотность полного тока


 D
j полн  j 
t
(30-3)
2. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Электромагнитное поле.
В законе электромагнитной индукции (ЭМИ) ℇ i = -dФ/dt ЭДС можно
представить по определению как циркуляцию поля сторонних сил
37


ℇ =  E стор d  (см. часть 2, лекция №20), в данном случае (ЭМИ) сторонние
силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами, они также не могут быть магнитными силами, по тому, что такие силы работу над
зарядами не совершают. Остается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем, тогда ЭДС
 
 
ℇ i =  Ed . Магнитный поток по определению Ф =  BdS . Подставляя в за
S
кон ЭМИ получим
 
  
E
d



BdS

t S
(30-4)
Это первое уравнение Максвелла.
Интеграл в правой части берется по произвольной поверхности S, опирающейся на контур ℓ (рис. 30.3).

(Поскольку в общем случае B может быть
S
функцией и координат, то берем частную
производную

)
t
ℓ
Смысл первого уравнения соответствует
Рис. 30.3
максвелловской трактовке явления ЭМИ, то
есть, изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое
электрическое поле.
Второе уравнение Максвелла
 
 BdS  0
(30-5)
S
Это уравнение выражает тот факт, что силовые линии магнитного поля
не имеют источника (нет «магнитных зарядов») и всегда замкнуты и, что
оно имеет вихревой характер, поток вектора магнитной индукции равен
нулю.
Третье уравнение Максвелла
 
 
H
d


I

DdS
пров

t S
(30-6)
Это обобщенный закон полного тока (см. часть 3, лекция №24), который
подчеркивает тот факт, что магнитное поле может создаваться не только
38
токами проводимости ( I пров ), но и перемещенным электрическим полем
(«ток смещения»
 
DdS ).
t S
Четвертая теорема Максвелла (см. часть 3, лекция №18).
 
D
 dS   qсвоб
(30-7)
S
Физически эта теорема подчеркивает тот факт, что электрическое поле
может создаваться зарядами, то есть источниками силовых линий электрического поля являются электрические заряды.
Уравнения (30-3,5,6,7) представляют уравнения Максвелла в интегральной форме.
Уравнения Максвелла подчеркивают тот факт, что электрическое поле
может создаваться как зарядами, так и переменным магнитным полем, а
магнитное поле может создаваться как токами проводимости, так и переменным электрическим полем. При этом магнитное поле всегда носит вихревой характер, о чем говорит второе уравнение Максвелла. Электрическое поле, создаваемое зарядами и переменным магнитным полем носят
различный характер. Силовые линии в первом случае начинаются и кончаются на зарядах (четвертое уравнение Максвелла). А электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем не имеет источников и носит вихревой характер, также как магнитное поле (первое уравнение Максвелла).
В вакууме, где нет зарядов и токов, магнитное поле может создаваться
только переменным электрическим полем, а электрическое поле только
переменным магнитным полем.
Эту совокупность непрерывно изменяющихся и порождающих друг
друга электрического и магнитного полей Максвелл назвал электромагнитным полем.
Кроме четырех рассмотренных уравнений в полную систему уравнений
Максвелла входят еще три уравнения, называемых материальными. В них
входят характеристики вещества («материи»), такие как диэлектрическая и
магнитная проницаемости ℰ и µ, проводимость σ.


D  ℰℰ 0 E


B  μμ 0 H




Связь D и E (лекция №18, часть 3)
Связь B и H (лекция №23, часть 3)
39


j σ E
Закон Ома в локальной форме (лекция №20, часть 3)
Уравнения Максвелла (30-4) ÷ (30-7) можно представить в дифференциальной форме, т.е. в виде системы дифференциальных уравнений. Для этого используем теоремы Стокса
 
 
a
d


rot
a

 dS

(30-8)
S
и Остроградского – Гаусса:
 

a
 dS   divadV
S
(30-9)
V






где a - некоторый вектор в нашем случае: E , B, H , D. (О функции rot a
см. примечание к п.2).
Первое уравнение Максвелла

 
  
B 
 Ed    t S BdS  S  t dS
С другой стороны, используя теорему Стокса, получим
 
 
 Ed    rotEdS

S
Поскольку равны левые части, равны и правые

 
B 

d
S

rot
E
S t
S dS
откуда следует


B
rotE  
t
Второе уравнение Максвелла
(30-10)
 
B
 dS  0
S
С другой стороны из теоремы Остроградского – Гаусса
 

B
d
S

div
B

 dV
S
получаем
V

divB  0
40
(30-11)
Третье уравнение запишем, предварительно выразив токи проводимости

через плотность токов проводимости j пр
 
I пров   j пр dS ,
тогда

 

D  
 Hd   S  jпр  t dS
с другой стороны
 
 
 Hd    rotH dS ,

S
получим

 
D
rotH  j пр 
t
(30-12)
Аналогичный подход для четвертого уравнения дает систему уравнений
 

 DdS  divDdV

S
V
,
  
 DdS   dV
 S
V
(в последнем уравнении мы заменили
q
своб
  dV , где  - объемная плотV
ность заряда) из которой следует:

divD  
(30-13)
Сведем четыре уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной
формах, а также три материальных уравнения в таблицу:
Уравнения Максвелла
Интегральная форма
Дифференциальная форма


B
rotE  
t

divB  0
 
  
E
d



BdS

t S
 
B
 dS  0
S

 

D  
 Hd   S  jпр  t dS
 
 DdS   dV
S

 
D
rotH  j пр 
t

divD  
V


D  ℰℰ 0 E ;


B  μμ 0 H
41
;


j σ E
Отметим, что физический смысл уравнений в дифференциальной форме
такой же, что и соответствующих уравнений в интегральной форме. Инте   
грируя их, можно получить E , B , H , D .
Примечание. Вихревое электрическое поле характеризуется особой

векторной величиной, называемой ротором напряженности поля: rotE.
Вектор ротора приложен в центре поля перпендикулярно плоскости его
силовых линий (в случае круговых линий – в центре окружностей) и
направлен относительно них согласно правилу правого винта.
По определению
   a a y    ax az    a y ax 
  ey 
.
rotE  ex  z 


  ez 
z 
x 
y 
 z
 y
 x
Наглядное представление о роторе вектора можно получить, представив
себе небольшую легкую турбинку, помещенную в данную точку текущей
жидкости.

В тех местах, где ротор скорости жидкости V отличен от нуля, турбина будет вращаться (рис. 30.4),
причем с тем большей скоростью, чем больше проек
ция ротора V на ось турбинки.

(Аналогично определяется rotH )

V
Рис. 30.4
3. Волновые уравнения для электромагнитного поля и их решения.
Скорость распространения электромагнитных волн в средах. Основные свойства электромагнитных волн.
Пусть имеется однородная и изотропная среда вдали от зарядов и токов.
Возбудим в какой-либо точке пространства переменное электрическое
гармоническое поле E y (t ). (Предположим E x  H x  0. Для простоты рассматриваем этот частный случай).
Из уравнений Максвелла при условии сделанных предположений можно получить волновые уравнения электромагнитного поля
2
 2 E y
1  Ey
 2  2
 x

t 2 ,
 2
2
 H z  1   H z
 x 2
 2 t 2
где
(30-14)
 = √ℰμℰ 0 μ 0
- скорость распространения электро42
магнитной волны.
Процесс распространения электромагнитного поля в пространстве
называется электромагнитной волной.
Подставим ℰ 0 = 8,85 10 12 Ф / м и μ 0 = 4  10 7 Гн / м в выражение для скорости . Если среда – вакуум, то ℰ = 1, μ = 1, тогда получим  = 3  10 м / с  с,
то есть скорость электромагнитной волны в вакууме равна скорости света
в вакууме. Это обстоятельство приводит к выводу, что свет - электромагнитная волна.
Решения уравнений (30-14)
8
 E  E sin    t  kx


m
 y



 H z  H m sin    t  kx



(30-15)
Выражения (30-15) – уравнения электромагнитной волны. Их графическое

E
У

E


Х

H

H
Z
Рис. 30.5
представление показано на рис.
30.5. Электромагнитная волна
является поперечной волной, то


есть колебания векторов E и H
происходят перпендикулярно
направлению распространения


волны. Вектора E и H достигают максимума одновременно,
но колеблются в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях.
Как показывает опыт, электромагнитные волны проходят через диэлектрики и отражаются от металлов. Для них свойственны такие явления
как интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия (рассмотрим далее в разделе «Оптика»).
Итак, из решения уравнений Максвелла получаются следующие выводы:
– если в какой-либо ограниченной области пространства возникает
электромагнитное поле, то оно не остается локализованным в этой области, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств
среды;
43
– если электрическое и магнитные поля меняются по простому гармоническому закону, то электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде плоской электромагнитной волны.
4. Энергия и поток энергии электромагнитных волн. Вектор
Пойнтинга.
Поскольку и электрическое и магнитное поля обладают определенной
энергией, то электромагнитная волна имеет определенный запас энергии.
Объемная плотность электрического поля wэ = ℰℰ 0 Е 2 /2, магнитного поля
w м = μμ 0 H 2 /2. Можно показать [ ], что вследствие равноценности элек-
трического и магнитного полей wэ = w м . То есть
ℰℰ 0 Е 2 /2= μμ 0 H 2 /2.
Извлекая, квадратный корень из обеих частей, получим
√ℰℰ 0 E = √μμ 0 H
(30-16)
Существенно то, что электрическое и магнитное поля колеблются в
одинаковых фазах. Они одновременно достигают максимума и минимума,
но в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
Плотность энергии электромагнитного поля складывается из составляющих
w = wэ + w м = ℰℰ 0 Е 2 /2 + = μμ 0 H 2 /2
Представляя ℰℰ 0 ∙ Е 2 /2 как ℰℰ 0 ∙ E ∙ ℰℰ 0 ∙ E /2 и μμ 0 ∙ H 2 /2 как μμ 0 ∙ H ∙
μμ 0 ∙ H /2, получим
w=
ℰℰ 0 ∙ E ∙ ℰℰ 0 ∙ E /2 + μμ 0 ∙ H ∙ μμ 0 ∙ H /2
Умножим и разделим первое слагаемое на
w=
μμ 0 ∙ H , а второе на ℰℰ 0 ∙ E
μμ 0 ∙ H ℰℰ 0 ∙ E /2 ∙ ℰℰ 0 ∙ E / μμ 0 ∙ H + ℰℰ 0 ∙ E μμ 0 H /2∙
∙ μμ 0 ∙ H / ℰℰ 0 ∙ E
Учитывая равенство (30-16), производим необходимые сокращения и в результате получим
w=
ℰ∙ℰ 0 ∙μ∙μ 0 ∙ E ∙ H
44
Поскольку 1/
ℰ∙μ∙ℰ 0 ∙μ 0 =  - скорость распространения электромаг-
нитной волны (см. (30-15)), то w = 1/  ∙ E H . Умножив найденное выражение для w на скорость волны , получим модуль вектора плотности по

тока энергии S = w∙ = E ∙ H . Векторы E и H перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему.
Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии мож

но представить как векторное произведение E и H , так как направление
 
вектора E  H  совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен E H . Таким образом


 
S  EH

(30-17)

Вектор S называется вектором Пойнтинга. (Или вектором УмоваПойнтинга.) Общее представление о потоке энергии в пространстве впервые было введено русским ученым Умовым в 1874 г. Поэтому вектор потока энергии без конкретизации ее физической природы называется вектором Умова. Пойнтингом было получено выражение (30-17).)
Физический смысл вектора Пойнтинга – плотность потока электромагнитной энергии, распространяющейся вместе с волной, то есть количество
энергии, проходящей за единицу времени через единицу площади, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны (рис.
30.6).

E



H

S
Рис. 30.6
5. Изучение диполя. Диаграмма направленности.
Простейшим излучателем электромагнитных волн является электрический
диполь, электрический момент которого изменяется во времени по гармо 


ническому закону p  pm cos ωt, где pm - амплитуда вектора p . Примером
подобного диполя может служить система, состоящая из покоящегося заряда +Q и отрицательного заряда – Q, гармонически колеблющегося вдоль

направления p с частотой ω.
45
Задача об излучении диполя имеет в теории излучающих систем важное
значение, так как всякую реальную излучающую систему (например, антенну) можно рассчитывать, рассматривая излучение диполя. Кроме того,
многие вопросы взаимодействия излучения с веществом можно объяснить
на основе классической теории, рассматривая атомы как системы зарядов,
в которых электроны совершают гармонические колебания около их положения равновесия.
Характер электромагнитного поля диполя зависит от выбора рассматриваемой точки. Особый интерес представляет так называемая волновая зона
диполя – точки пространства, отстоящие от диполя на расстоянии r, значительно превышающего длину волны (r>>λ), так как в ней картина электромагнитного поля диполя сильно упрощается. Это связано с тем, что в волновой зоне диполя практически остаются только «отпочковавшиеся» от
диполя, свободно распространяющиеся поля, в то время как поля, колеблющиеся вместе с диполем и имеющие более сложную структуру, сосредоточены в области расстояний r<<λ. (Заметим, что в этой области справедливы те же формулы, что и для постоянных электрического и магнитного полей.)


В волновой зоне векторы Е и H колеблются по закону cos(ωt –kr). Амплитуды этих векторов зависят от расстояния r до излучателя и угла ϑ
между направлением радиуса-вектора и осью диполя и пропорциональны
1
sinϑ. Отсюда следует, что интенсивность излучения диполя в волновой
r
I  sin 2 ϑ/ r 2 .
зоне
Зависимость I от ϑ при заданном значении r, приводимая в полярных координатах, называется диаграммой направленности излучения диполя (см.
рис. 30.7).
r = const
Диполь сильнее всего излучает в
направлениях, перпендикуляр-
ϑ
I (ϑ)
)
диполь
ных его оси, где ϑ = π/2 (ось Х).
Вдоль своей оси (ϑ = 0 и ϑ = π)
диполь не излучает вообще.
Х
диаграмма
направленности
Рис. 30.7
46
Вопросы для самоконтроля.
1. В чем заключается максвелловская трактовка явления электромагнитной индукции?
2. Что называется током смещения?
3. Напишите систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. В чем состоит физический смысл каждого
уравнения?
4. Напишите волновые уравнения для электромагнитного поля и их
решения.
5. Перечислите Основные свойства электромагнитных волн.
6. Что называется вектором Пойнтинга? Каков его физический смысл?
7. нарисуйте диаграмму направленности излучения диполя.
47
ОПТИКА
Лекция № 31
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ ДВУХ СРЕД
План
1. Электромагнитная природа света. Принцип Гюйгенса. Абсолютный
показатель преломления. Законы отражения и преломления. Относительный показатель преломления
2. Полное внутреннее отражение. Световоды.
3. Геометрическая оптика как предельный случай волновой оптики.
Свет с волновой точки зрения, как уже отмечалось в Лекции №30,
п.3, - электромагнитная волна. С одной стороны светого диапазона шкалы
электромагнитных волн – рентгеновское излучение (за ультрафиолетовой
областью). Что же касается видимого света, то это достаточно узкий интервал длин электромагнитных волн, заключенных примерно между 400 и
800 нм. Они действуют непосредственно на человеческий глаз и вследствие этого, указанный интервал играет особую роль для человека.
Принцип Гюйгенса устанавливает способ построения фронта волны в
момент t + t по известному положению в момент t (рис. 31.1).
Каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром
вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени.
Принцип Гюйгенса позволяет достаточно просто в
ряде случаев построить волновые фронты и определить направление распространения волн при отражении, преломлении и т.п. (Мы будем использовать
этот принцип при изучении темы «Поляризация света».)
t
t  t
Рис. 31.1
Законы отражения и преломления.
48
Линии, вдоль которых распространяется световая энергия, называется лучами. В изотропных средах направление распространения
световой энер
гии совпадает с направлением волнового вектора k . (Напомним, что век

тор k  k  n . равный по модулю волновому числу k = 2πۤ/λ и имеющий
направление по нормали к волновой поверхности)

При падении плоской световой волны ( k ) на на плоскую границу раздела двух однородных и изотропных диэлектриков (рис. 31.2) кроме
ℰ1
ϑ

k
ϑ΄
распространяющейся во втором диэлектрике плоской преломленной

волны ( k  ) возникает плоская отраженная волна, распространяющаяся
 
в первом диэлектрике ( k  ); n - единичный вектор нормали к поверхности раздела. Плоскость, в которой


лежат вектора k и n называется

k

n
ℰ2
ϑ˝
Рис. 31.2

k 
плоскостью падения волны. Энергия, которую несет с собой падающий
луч, распределяется между отраженным и преломленным лучами. На рис.
31.2 ϑ, ϑ΄и ϑ˝ собственные углы падения, отражения и преломления световой волны.
Отношение скорости световой волны в вакууме к фазовой скорости υ в
некоторой среде называется абсолютным показателем преломления
этой среды и обозначается n .
n =с/υ
Так как υ = 1/ ℰ∙μ∙ℰ 0 ∙μ 0 (см. лекцию №39), а для вакуума ℰ = 1, μ = 1 и
с = 1/
ℰ 0 μ 0 , то υ = с / ℰμ , отсюда n = ℰμ .
Для прозрачных веществ можно считать μ  1, тогда
n 
ℰ
Законы отражения и преломления. Относительный показатель
преломления.
Закон отражения света: отраженный луч лежит в одной плоскости с па
49
дающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения
ϑ = ϑ΄
Закон преломления: преломленный луч лежит в одной плоскости с па
дающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; отношение
синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная
для данных веществ и равном отношению показателя преломления второй
среды к показателю преломления первой среды
sin  n2

sin   n1
Заметим, что отношение абсолютных показателей преломления второй
среды к первой называется относительным показателем преломления второй среды относительно первой
n2
 n21
n1
Замечание. законы отражения и преломления вытекают из так называемого принципа Ферма (французский ученый, 17 век, не путать с теоремой
Ферма). Он представляет в геометрической оптике аксиому, именуемую
принципом кратчайшего оптического пути (или минимального времени
распространения) – утверждение, что луч света всегда распространяется в
пространстве между двумя точками по тому пути, вдоль которого время
его прохождения меньше, чем вдоль любого из других путей, соединяющих эти точки.
2. Полное внутреннее отражение. Световоды.
При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее
плотную ( n1  n2 ) преломленный луч удаляется от нормали к поверхности
раздела сред. Увеличение ϑ сопровождается более быстрым ростом угла
преломления ϑ˝, и по достижении угла ϑ значения
ϑ пред  arcsin
ϑ пред
ϑ˝

n
Рис. 31.3
n2
n1
(31-1)
угол ϑ˝ ставится равным π / 2. Угол,
определяемый (31-1) называется предельным углом (рис. 31.3).
При углах падения, заключенных в пределах от ϑ пред до π / 2 световая
50
волна проникает во вторую среду на расстояние порядка длины волны λ и
затем возвращаются в первую среду. Это явление называется полным
внутреннем отражением.
Световоды. Явление полного внутреннего отражения используется в световодах, представляющих собой тонкие нити (волокна) из оптически прозрачного материала. Оптическое волокно состоит из сердцевины и оболочки. Свет, падающий на торец световода (рис. 31.4) под углами,
оболочка
ϑ
большими предельного, претерпевает на
границе раздела сердцевины и оболочки
полное отражение и
распространяется
только по световеду-
сердцевина
ϑ пред
Рис. 31.4
щей жиле (сердцевине). С помощью световодов можно произвольным образом исправлять путь светового пучка. Для передачи изображений применяется, как правило, многочисленные световоды. Вопросы передачи
световых волн и изображений изучаются в специальном разделе оптики –
волоконной оптике.
Световоды применяются кроме всего в волоконно-оптических линиях
связи.
Примечание. В чем преимущество диапазона по сравнению с радиопаозоном?
При передаче информации модулированными электромагнитными колебаниями необходимо, чтобы частота модуляции была в 10..100 раз
меньше несущей частоты. Кроме того, частоты модуляции занимают некоторую полосу частот. Так, для передачи музыкальной программы нужна
полоса от 10 Гц до 10 кГц. Поэтому, несущая частота не может быть
меньше 105 Гц. Для передачи одного телевизионного канала требуется полоса частотой около 107 Гц. Так что, для передачи телевизионного изображения нужна несущая частота ≈108 Гц. Частота видимого излучения около
1015 Гц, поэтому информационная емкость канала связи может быть многократно увеличена. По оптическому кабелю можно вести одновременно де51
сятки тысяч телефонных разговоров, передавать сотни телевизионных программ (теоретически до 1013 телефонных разговоров или 108 телевизионных программ [ ], реально, конечно, немного меньше, но все равно эти
цифры впечатляют).
4. Геометрическая оптика как предельный случай волновой оптики.
Распространение света представляет в общем случае волновой процесс.
Однако, в частности, в вопросах образования изображения решение можно
получить более простым путем, с помощью представлений геометрической
оптики, в которой распространение света рассматривается на основе представления о световых лучах.
Реально невозможно получить световой луч как прямую линию вследствие явления дифракции. Например, угловое расширение реального светового пучка, пропущенного через диафрагму (отверстие) диаметра D,
определяется углом дифракции φ ≈ λ / D. Однако, угловое отклонение,
нарушающее прямолинейность распространения света в однородной среде,
может быть весьма мало, если размеры отверстия (или препятствия) велики по сравнению с длиной волны λ (λ << D).
При пользовании законами лучевой оптики нельзя забывать, что они
лишь первое приближение к действительности и, что без дифракционных
явлений не обходится ни один случай распространения света.
Соответствующие оценки влияния расстояния  от освещаемого объекта до экрана при данных λ и D дают соотношение выполнения приближения геометрической оптики [ ]
D2
 1

(31-2)
Примечание. Реальные оптические системы дают удовлетворительное
изображение только при определенном ограничении ширины пучков лучей. Любая оптическая система – глаз, фотоаппарат и т. п. в конечном счете рисует изображение практически на плоскости (сетчатка глаза, фотопленка и т. п.), объекты же в большинстве случаев трехмерны. Чем уже
пучки, тем отчетливее изображение предмета на плоскости. Наличие ограничивающих диафрагм, роль которых может играть, например, оправа
линзы, объектива существенно для всякого оптического инструмента: от
величины и положения диафрагм зависит отчетливость изображения. Но
при этом должно выполнятся соотношение (31-2).
52
Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется абсолютным, относительным показателями преломления?
2. Сформулируйте законы отражения и преломления.
3. В чем заключается явление полного внутреннего отражения?
4. Как устроен световод? Его применение.
5. При каких условиях можно использовать приближение геометрической оптики?
53
1.
2.
3.
4.
Лекция № 32
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
План
Интерференция света. Когерентность и монохроматичность световых волн. Временная когерентность. Время и длина когерентности.
Пространственная когерентность. Радиус когерентности.
Оптическая длина пути. Оптическая разность хода. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников.
Полосы равной толщины и равного наклона.
1. Интерференция света. Когерентность и монохроматичность
световых волн. Временная когерентность. Время и длина когерентности.
Интерференция света – пространственное перераспределение энергии
светового излучения при наложении когерентных световых волн.
Когерентностью называется согласованное протекание двух или нескольких колебательных или волновых процессов (см. лекцию № 28, п.3).
Монохроматическое излучение (от греч. monos – один, единый и chroma – цвет) – электромагнитное излучение одной определенной и строго
постоянной частоты. Происхождение термина связано с тем, что различие
в частоте световых волн воспринимается человеком как различие в цвете.
Отметим, что излучаемый реальным источником свет не может быть строго монохроматичным.
Различают временную и пространственную когерентность.
Временная когерентность характеризует сохранение взаимной когерентности при временном отставании одного из лучей по отношению к
другому. Мерой когерентности служит время когерентности  ког - максимально возможное время отставания одного луча по отношению к другому, при котором их взаимная когерентность еще сохраняется.
В идеализированном случае рассматривают интерференцию строго монохроматических волн с постоянной разностью фаз. Однако, такие волны
бесконечны в пространстве, времени и, не существуют в природе. Поэтому
интерференция монохроматических волн является лишь первым приближением в изучении интерференции волн от реальных источников.
Выясним роль немонохроматичности волн во временной когерентности.
При рассмотрении интерференции близкий к монохроматическому реальный свет можно представить как набор монохроматических составляющих – волн в интервале частот от ω до ω + Δω. где Δω – достаточно ма54
лая величина. Пусть волны, соответствующие крайним значениям спектрального интервала (ω; ω + Δω) вызывают в данной точке пространства
(например, на экране) колебания A1 cos ωt и A2 cos (ω + Δω)t (начальные фазы для простоты полагаем равными нулю). Если разность фаз составляющих (компонент) кратных частот в этой точке равна π, то это означает, что
на «горб» от одной составляющей наложится «впадина» от другой крайней
компоненты (ω + Δω) Интерференционная картина «смажется». Наглядно
представить ситуацию можно следующим образом. Наложите ладонь одной руки на ладонь другой, палец на палец, а теперь сместите одну из ладоней на ширину одного пальца, картина интенсивности сладится.
(Замечание. Рассмотрение промежуточных по частоте компонент между ω
и ω + Δω не изменит качественной картины.)
Итак, время, за которое разность фаз компонент световой волны с верхней и нижней частотой составит порядка π и будет временем когерентности. Разность фаз этих колебаний Δφ = Δωt. Время когерентности определится из соотношения Δω t ког ≈π. Так как Δω = 2πΔν t ког , то 2πΔν t ког ≈π. Отсюда t ког ≈1/2Δν, пренебрегая в наших оценках «двойкой», получим
t ког ≈
1

.
От частоты перейдем к длине волны ν = с / λ. Продифференцируем поc
следнее выражение: dν = –
2
d и заменим знак дифференциала d на Δ,
полагая изменение λ конечным, но достаточно малым.
Модуль  = 
c

2
 
c
2
.
2
t ког ≈
с 
Соответственно время когерентности
(32-1)
где Δλ – ширина интервала длин интерферирующих волн; чем меньше интервал Δλ, тем больше время когерентности.
Можно сказать, что в тех случаях, когда время фиксирования интерференционной картины t приб много больше времени когерентности накладываемых волн ( t приб >> t ког ), прибор не зафиксирует интерференции. Если же
t приб << t ког , прибор
обнаружит четкую интерференционную картину.
Расстояние, на которое перемещается волна за время когерентности,
называется длиной когерентности   сt
ког
55
ког
Подставляя (32-1), в последнюю формулу, получим
 ког
2


(32-2)
Таким образом, временная когерентность связана со степенью монохроматичности света, которая характеризуется отношением λ /Δλ. Чем больше
λ /Δλ, тем больше и степень монохроматичности, тем больше время и длина когерентности.
2. Пространственная когерентность. Радиус когерентности.
Пространственная когерентность волны характеризует наличие взаимной когерентности двух световых лучей, взятых из различных точек по сечению волны.
Мерой пространственной когерентности служит радиус когерентности –
наибольший радиус круга, мысленно вырезаемый в поперечном сечении
волны, при котором любые два луча, исходящие из различных точек внутри этого круга, еще остаются взаимокогерентными.
Если размеры источника значительно меньше длины световой волны, то
всегда получается резкая интерференционная картина (лучи идут, по существу, из одной точки).
В случае источника конечных размеров получаем, по существу, наложение многих интерференционных картин, создаваемых многими парами
когерентных источников.
Можно смоделировать

излучение от двух участk 
ков источника. Закрываем
φ
Δφ
источник света конечных
φ
Δ
размеров перегородкой с

ρ
φ
k
двумя небольшими отверэкран
стиями (рис. 32.1). Если
оставить одно из отверстий

в фиксированном положеk
нии, а другое отверстие
передвигать, то можно заРис. 32.1
метить понижение контра-
56
стности полос до их практически полного размытия. Пусть расстояние
между отверстиями ρ. Рассмотрим излучение в направлении угла φ (волно

вые вектора k и k  ). Разность хода волн Δ = ρsinφ. В случае малого угла φ
можно заменить sinφ на φ, тогда Δ = ρφ. Соответствующая этой разности


хода разность фаз лучей k и k 
δ = kΔ =
2

ρφ.
При разности фаз ≈π максимумы наложатся на минимумы, интерференционная картина будет размытой, неразличимой. (Заметим, что при малых
ρ максимумы наложатся на максимумы, минимумы - на минимумы, картина будет контрастной).
Исходя из выше сказанного, приравняем
2

ρφ≈π. Максимальный угол

. Учитывая излучение от одной щели по обе сто2


роны от нормали к щели ( k  и k  ), получим Δφ = 2φ = 2λ /2ρ = λ / ρ. Со-
φ в одну сторону φ =
гласно данному в начале пункта определения радиуса когерентности, из
последнего соотношения получаем радиус когерентности
ρ ког ≈ λ /Δφ
(32-3)
Соотношение (32-3) является ограничением размеров источника.
Пример. Имеется некоторый светящийся предмет размером d (рис. 32.2),
Δφ
d
Δφ
экран
длина волны λ = 0,5 мкм, радиус когерентности ρ = 1
мм, расстояние до экрана
1 м.
Оценить размеры предмета.
Решение.
Из рисунка видно, что размеры предмета в силу достаРис. 32.2
точно большого расстояния
 можно оценить как d≈  Δφ. Из соотношения (32-3) Δφ ≈λ / ρ, тогда d

 0,5  106  1
 0,5  10 3 м  0,5 мм. То есть, размеры предметы должны быть
≈ 
3

1  10
57
< 0,5 мм. Если размеры больше, то для получения интерференционной
картины нужно ставить диафрагму.
3. Оптическая длина пути. Расчет интерференционной картины
о двух когерентных источников.
Произведение геометрической длины пути  световой волны в среде на
абсолютный показатель преломления n называется оптической длиной пути (ОДП) L. Для однородной среды L = n  , а для неоднородной L =  nd .

Пусть некоторый источник света S испускает волны в двух направлениях
n1
1
1
S
А
2
поворотное
зеркало
Величина
n2
2
экран
(рис. 32.2). Первый луч
проходит через среду с
показателем преломления n1 расстояние 1 , а
второй через среду с n2
расстояние  2 , а остальной путь по обоим
направлениям одинаков.
Рис. 32.3
Δ = L2  L1  n2 2  n11
называется оптической разностью хода
интерферирующих волн. Если на оптической разности хода укладывается
четное число полуволн 2m

2
(целое число длин волн m), т. е.
Δ = mλ
(32-4)
то колебания, возбужденные в данной точке экрана А обеими волнами будут проходить в одинаковой фазе и максимально усилят друг друга (условие (32-4) – условие min интерференции).
Если же на длине Δ укладывается нечетное число полуволн
Δ = (2m+1)

2
(m = 0, 1, 2…)
(32-5)
то колебания будут происходить в противофазе, световые волны в данной
точке максимально ослабят друг друга (условие (32-5) – условие min).
58
4. Полосы равной толщины и равного наклона.
Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются при отражении света от верхней и нижней границ
тонкой воздушной прослойки, образованной поверхностями, соприкасающихся друг с другом толстой плоскопараллельной стеклянной пластинки и
плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны (рис. 32.4).
Большой радиус кривизны линзы делает поверхности пластинки и линзы,
обращенные друг к другу практически параллельными. Тем более, что
r
h
O
1
Рис. 32.4
2 3
интерференция происходит в области,
близкой к точке касания пластинки и линзы (на рис. 32.4 лучи показаны для удобства восприятия далеко в стороне от этой
области).
Луч 1, падающий на поверхность прослойки делится на два луча. Лучи 2 и 3
являются когерентными при малой толщине прослойки h (длина когерентности  ког должна быть больше 2h), поэтому при их сложении будет иметь
место интерференция. Поскольку интерференция наблюдается в малой области вблизи точки касания О линзы и плоской стеклянной пластинки, поверхности линзы и пластинки здесь можно считать параллельными, а падающий и отраженный лучи (1, 2, 3) направленными вдоль одной прямой.
На радиусе r вдоль окружности толщина прослойки h будет одинаковой, и в этом случае наблюдаются интерференционные полосы равной
толщины, имеющие форму колец с центром в точке касания линзы О. Эта
интерференционная картина была впервые описана в 1675 г. Ньютоном и
называется кольцами Ньютона.
Из рисунка 32.4 видно, что оптическая разность хода интерферирующих
волн 2 и 3 Δ = 2hn +λ /2.
Коэффициент преломления воздуха n = 1. Слагаемое λ /2 возникает изза того, что при отражении от оптически более плотной среды волны 3 (от
стекла) оптический ход волны скачком увеличивается на λ /2. В том месте
воздушного зазора, где выполняется условие
Δ = 2d + λ /2 = mλ (условие максимума),
наблюдаются светлые кольца, а там, где
Δ = 2d + λ /2 = (2m + 1) λ /2 (условие минимума),
59
возникают темные кольца. В месте соприкосновения линзы с плоскостью
пластины толщина воздушной прослойки практически равна нулю, поэтому разность хода стремится к λ /2, выполняется условие минимума, поэтому
в центре интерференционной картины темное пятно (рис. 32.5). Интерференционные полосы имеют
Рис. 32.5
вид концентрических колец. Таким образом, полосы равной толщины – это
интерференционные полосы, возникающие в результате интерференции
когерентных волн от мест с одинаковой толщиной.
Полосы равного наклона – интерференционные полосы, возникающие
в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами.
Рассмотрим оптическую схему на рис. 32.6. Почти монохроматический
свет лазера попадает на рассеивающую линзу, вмонтированную в экран. Расходящийся пучок света частично
отражается от передней поверхности плоскопараллельной стеклянной пластины и,
попадает на экран (1- 1΄), частично преломляется в пластине и, отражаясь от
А
1΄
1
2
лазер
рассм.
линза
2΄
α
β
пластина
экран
h
Рис. 32.6
задней поверхности пластины, снова преломляясь, попадает на экран (22΄). Если длина когерентности  ког >>2hn, где h – толщина пластины, а n –
показатель преломления, то волны пучка, сходящиеся в некоторой точке
экрана. например т. А, будут интерферировать. На схеме рис. 32.6 это волны, соответствующие лучам 1 и 2. Поскольку расходящийся от линзы пучок является коническим, то интерференционные полосы будут иметь вид
окружностей. А так как интерференционные максимумы (а также минимумы) будут располагаться в местах, соответствующих одинаковому углу падения лучей (одинаковому наклону их к поверхности), то получающаяся
картина называется полосами равного наклона.
60
Вопросы для самоконтроля.
1. В чем состоит явление интерференции?
2. Что такое когерентность?
3. В чем состоит временная когерентность?
Каков смысл времени и длины когерентности?
4. В чем состоит пространственная когерентность?
Каков смысл радиуса когерентности?
5. Что называется оптической длиной пути
и оптической разностью хода?
6. Каковы условия получения интерференционных максимумов и минимумов при положении света от двух когерентных источников?
7. Как получаются полосы равной толщины и равного наклона?
61
Лекция № 33
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
1.
2.
3.
4.
План
Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля
и Фраунгофера. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске.
Дифракция Фраунгофера на одной щели.
Дифракция Фраунгофера на одномерной дифракционной решетке.
Многолучевая интерференция*.
Понятие о голографии.
1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля.
Если световая волна распространяется в пространстве, в котором имеются резкие неоднородности, например непрозрачные препятствия, отверстия в непрозрачных экранах и т.п., то первоначальное направление распространения света и распределение интенсивности светового потока изменяются.
Явления, связанные с непрямолинейностью распространения световых
волн, огибанием волнами препятствий и проникновением в область геометрической тени, называются дифракцией света.
Наглядно дифракция прослеживается в том случае, когда длина падающей световой волны λ сравнима с размерами D препятствий или отверстий.
Однако явление дифракции можно обнаружить и при достаточно больших
размерах неоднородностей, т. е. при D >> λ, но в этом случае дифракционные явления проявляются только вблизи границ препятствий (и отверстий)
в области, размеры которой сравнимы с длиной волны света, то есть очень
малой.
Точное математическое описание дифракции производится с помощью
уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями и
представляет очень сложную задачу.
Однако механизм распространения света и основные качественные закономерности дифракции света могут быть установлены с помощью принципа Гюйгенса-Френеля:
62
– каждая точка поверхности среды, до которой в данный момент времени доходит световая волна, становится источником вторичных
волн;
– интенсивность света в какой-либо точке пространства, лежащей за
этой поверхностью, может быть рассчитана как результат интерференции этих вторичных волн.
Дифракция Френеля и Фраунгофера.
Различают два случая дифракции:
1. – дифракция сферической волны на препятствии (или отверстии),
расположенном на конечном расстоянии от источника света, причем
точка наблюдения находится на конечном расстоянии от препятствия. Это так называемая дифракция Френеля;
2. – дифракция плоской волны, когда источник и точка наблюдения
расположены на бесконечно большом расстоянии от препятствия. В
этом случае лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку
наблюдения, образуют параллельные пучки. Это – дифракция Фраунгофера.
Количественный критерий, позволяющий определить, какой вид дифракции будет иметь место
 1 дифракция Фраунгофера
b2 
 1 дифракция Френеля
 
 1 геометрическая оптика
где b – характерный размер объекта, на котором происходит дифракция
(диаметр отверстия, радиус кривизны края препятствия и т. п.);  –
расстояние от объекта до экрана;  – длина волны света (рис. 33.1).
b

экран
источник
света
отверстие
Рис. 33.1
63
Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света.
Пусть в некоторый произвольный момент времени фронт сферической
волны, распространяется из источника S 0 , занимает положение S (рис.
33.2).
d + 3λ / 2
d + 2λ /2
d + λ /2
O
S0
P
d
S
Рис. 32.2
В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля интенсивность света в
точке Р определяется результатом интерференции всех вторичных волн,
испущенных точками поверхности S. Для расчета результата интерференции Френель предложил мысленно разбить поверхность S на кольцевые
зоны, которые и называются зонами Френеля. Они построены таким образом, чтобы расстояние от краев соседних зон до точки Р отличались на λ/2.
В этом случае колебания, приходящие в т. Р от соответствующих частей
соседних зон, будут иметь разность хода λ/2 и находиться в противофазе.
Прономеруем зоны Френеля, начиная от центральной, индексом m (m =
1, 2, …) и обозначим амплитуду колебания, возбуждаемого в т. Р m-ой зоной, Am . Можно показать, что площади зон Френеля примерно одинаковы
[ ]. Расстояние bm от зоны до точки Р медленно растет с номером зоны m.
Угол φ между нормалью к элементам зоны и направлением на т. Р также
растет с m. Все это приводит к тому, что амплитуда Am колебания, возбуждаемого m-ой зоной в т. Р, монотонно убывает т. е. A1  A2  A3 ...  Am  Am1 .
Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на π. Поэтому амплитуда А результирующего колебания в т. Р может быть представлена в виде:
A  A1  A2  A3  A4  ...
(33-1)
Запишем выражение (33-1) в виде:
64
A
A  A
A 
A1  A1
   A2  3    3  A4  5   ...
2  2
2   2
2 
(33-2)
Вследствие монотонного убывания Am можно приближенно считать, что
Am 
Am 1  Am 1
2
Тогда выражения в скобках (33-2) будут равны нулю и, формула упрощается (число зон достаточно велико, а амплитуда последней зоны ничтожно
мала по сравнению с амплитудой первой зоны).
A
A1
2
Таким образом, амплитуда, создаваемая в некоторой точке Р всей сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой
лишь одной центральной зоной. Так как величина зоны 1 мала (мала длина
волны), то с точки зрения наблюдателя в точке Р, свет распространяется от
источника S 0 (рис. 33.2) и т. Р в виде узкого прямолинейного пучка.
Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе
и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга.
Если поставить на пути световой волны пластину, которая перекрывала
бы четные или нечетные зоны, то интенсивность волн в т. Р резко возрастет (зонная пластинка).
Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске.
Пусть сферическая волна исходит из источника S 0 , а круглое отверстие
оставляет открытым m зон Френеля (см. рис. 33.3).
P
S0
экран
S
A
Рис. 33.3
Амплитуда колебания в
т. Р:
A  A1  A2  A3  A4  ...  Am ,
где Am берется со знаком
«+», если m – нечетное и со
знаком «-», если m – четное. Предыдущее выражение можно переписать в
виде:
A
1
1
1
1 
1
A1   A1  A2  A3   …  m  A1  Am .
2
2
2
2
2 
2
65
Если m – мало, то A1 почти не отличается от Am . Следовательно, при нечетных m амплитуда А в т. Р приблизительно равна A1 , а при четных m –
практически равна нулю. При нечетном числе открытых зон амплитуда в т.
Р имеет некоторые промежуточные значения. Следует отметить, что амплитуда колебаний в т. Р при небольшом нечетном числе открытых зон в
два, а интенсивность света в четыре раза выше, чем в отсутствие преграды
(!). Полученный результат, с точки зрения геометрической оптики выглядит совершенно неправдоподобно.
Дифракционная картина представляет систему чередующихся темных и
светлых колец.
Дифракция Френеля на круглом непрозрачном диске.
Р
Пусть диском закрыто m зон
(рис. 33.4). Повторяя те же
рассуждения, что и в пункте
«Метод зон Френеля», можно получить амплитуду в т.
Р: A 
S
Am1
. При небольшом
2
числе закрытых зон амплитуда колебаний и соответствующая интенсивность
m + 1 – ая зона
будут почти такими же, как
Рис. 33.4
и при отсутствии диска.
Однако даже если m достаточно велико, то амплитуда колебаний в т. Р
всегда отлична от нуля, т. е. центр геометрической тени диска всегда будет
освещен! При любом m наблюдается пятно – «пятно Пуассона». С увеличением радиуса диска интенсивность центрального максимума падает, так
как уменьшается Am1 .
2. Дифракция Фраунгофера на одной щели.
Пусть плоская волна падает нормально на непрозрачный экран, в котором имеется бесконечно длинная узкая щель шириной b. Когда фронт волны дойдет до щели, то все ее точки станут, согласно принципу ГюйгенсаФренеля источниками вторичных когерентных волн (рис. 33.4).
66
Падающая световая волна в точке с
координатой x в элементе dx вызывает электромагнитное колебание
dξ = dAcosωt.
Амплитуда колебания, обусловленного одним таким элементом пропорциональна его ширине dx, т. е. dA =
Cdx. Константа С определяется из
условия, что в направлении, перпендикулярном щели, при φ = 0 амплитуда волны, посылаемая всей щелью
b
F
x
dx
φ
M
φ
N
Рис. 33.4
A0  Cb , отсюда C  A0 / b (угол φ - между нормалью к щели и некоторым
произвольным направлением волны после щели). Тогда световое возмущение (колебание) в элементе dx dξ = A0 / b cosωt.
Распространение колебаний в пространстве это волна. В точку N волна от
dx (т. M) приходит с запаздыванием по ходу по сравнению с волной от т. F
(где фаза ωt как и в т. M с координатой x) в направлении φ MN = xsinφ.
Световая волна в т. N
dξ =
A0
dx cos (ωt – кхsinφ),
b
где к = 2π /λ – волновое число.
Результирующая световая волна от всех точек щели в направлении угла φ
получается интегрированием по ширине щели
ξ=
b

0
A0
cos (ωt – кхsinφ)dx.
b
Введем под знак дифференциала (ωt – кхsinφ) и, соответственно, чтобы не
изменился результат, разделим на (– кхsinφ).
A0
A0 b
sin (ωt – кхsinφ)
cos (ωt – кхsinφ)d(ωt – кхsinφ) = 
ξ= 

bk sin 
bk sin  0
=
b
0
A0
[sin(ωt – кхsinφ) – sin(ωt)].
bk sin 
Воспользуемся формулой разности синусов
( sin   sin   2 sin
 
cos

), тогда
2
2
A0
A0
t  kb sin   t
t  kb sin   t
 kb sin  
cos

2 sin  
ξ= 
2 sin
∙
2
2
bk sin 
bk sin 
2 

67
=
∙ cos t 

kbsin  
.
2 
Подставляя вместо k его значение 2π /λ, учтем, что функция sin нечетная,
получим


A
0
ξ= 
sin b /  sin   cost  b /  sin  
 (b /  ) sin 

A
Амплитуда световой волны, идущей в направлении φ
A  A0
sin b /  sin  
b /  sin 
Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность света под углом φ
I  I 0
sin 2 b /  sin  
b /  sin  2
(33-3)
где I 0  A02 .
A (соответственно I  ) обращается в нуль для углов (b /  ) sin   n
(где n = 1, 2, 3…), то есть для
sin  
n
b
, или
b sin   n
(33-4)
Получим условие минимумов интенсивности для дифракции на щели (334).
Картина распределения интенсивности световой волны I  в зависимости
от sin  представI
лена на рис. 33.5.
I0
На экране за щелью образуется
ряд чередующихся светлых и темных полос с макsinφ симальной по инλ/b
тенсивности свет– 2 λ/b – λ/b
2λ/b
лой полосой в
центре.
Рис. 33.5
68
3. Дифракция Фраунгофера на одномерной дифракционной решетке.
Дифракционная решетка представляет ряд параллельных щелей
одинаковой ширины b, разделенных между собой
непрозрачными промежутками шириной a. Сумма a
+ b = d называется периодом или постоянной дифракционной решетки (рис. 33.6).
a
b
Рассмотрим дифракцию плоской световой волны,
падающей нормально на поверхность решетки (рис.
d
33.7). Поскольку световые волны от каждой щели
Рис. 33.6
являются когерентными, необходимо принимать во
внимание их взаимную интерференцию (многолучевая интерференция).
На рис. 33.7 для наглядности показаны только соседние щели AB и
d
CD. Так как щели находятся друг от
друга на одинаковых расстояниях,
A
B
C
D
то разности хода лучей, идущих от
E
двух соседних щелей, будут для
φ
φ
данного направления φ одинаковы в
пределах всей дифракционной реРис. 33.7
шетки:
Δ = СЕ = dsinφ (из прямоугольного треугольника АСЕ). И если
(33-5)
dsinφ =  m λ
где m = 0, 1, 2, …, то лучи, идущие от аналогичных точек соседних щелей
главные
максимумы
I реш
I
I N
– λ/b
+ λ/b
0
Рис. 33.8
69
sinφ
(например
крайних, как
на рис. 33.7,
или центральных и т.
п.) будут
иметь разность хода,
кратную λ
(четное число
полуволн),
приходить в одной фазе и усиливать друг друга. В направлении φ, удовлетворяющему условию (33-4), будут так называемые главные максимумы
интенсивности (рис. 33.8). Очевидно, что минимумы интенсивности будут
наблюдаться в направлениях, определяемых условием (33-3) (условие миb sin    n
нимумов для одной щели
(n = 1, 2, 3…) (главные минимумы).
Отметим, что кроме главных минимумов имеются дополнительные мини-
мумы из условия dsinφ =  (2m  1)

2
(m = 0, 1, 2…). Количество этих мини-
мумов зависит от количества щелей в дифракционной решетке (для двух
щелей – один, для трех – два и т. д.). Так как модуль sinφ не может быть
больше единицы, то из условия (33-5) следует, что число главных максимумов m  d/λ.
Распределение интенсивности света на экране за дифракционной решеткой I реш (без вывода):
I реш
= I0 
sin 2 b /  sin   sin 2 N d /  sin  

b /  sin  2 sin 2 d /  sin  
I
(33-5)
I N
Согласно выражению (33-5) распределение интенсивности при дифракции
на решетке определяется произведением двух функций I  - распределение
интенсивности (33-3) при дифракции на одной щели (на рис. 33.8 - сплошная линия) и многолучевой интерференции световых волн от всех щелей
дифракционной решетки I N . В результате получается распределение I реш в
виде жирной линии на рис 33.8 (кривая интенсивности на щели как бы «зарезает» максимумы I N ). Дополнительные минимумы, их количество,
изображены условно.
Отметим важный момент. Положение главных минимумов зависит от
длины волны λ (см. (33-5)). Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр. Это
свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света (определение длин волн и интенсивностей его
компонентов) т. е. дифракционная решетка может быть использована как
спектральный прибор.
70
Разрешающая сила дифракционной решетки R = λ /Δλ; где Δλ - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти
линии воспринимаются отдельно. В более подробных курсах показывается, что R = mN, где m – порядок спектра, N – число штрихов на дифракционной решетке. (Примечание: кроме прозрачных дифракционных решеток
имеются непрозрачные – отражательные, на которых имеются продольные
штрихи (аналог непрозрачной части), промежутки между штрихами отражают свет и являются аналогами прозрачных частей (щелей)).
4. Понятие голографии (от греч. голос – весь, графо – пишу).
Голография – это способ записи волнового поля и его последующего восстановления, основанный на регистрации интерференционной картины.
Изобретен англ. физиком Д. Габором в 1947 году. (Нобелевская премия
1971 г.)
лазер
линзы
зеркало
1
1
предмет
2
фотопластинка
(голограмма)
2
Рис. 33.9
Рассмотрим основы
принципа голографии.
Испускаемый лазером
световой пучок расширяется с помощью системы линз и делится на
2 части (рис. 33.9). Одна
часть отражается зеркалом к фотопластинке
(будущей голограмме),
образуя опорный пучок
1-1 (опорная волна).
Вторая часть попадает
на пластинку, отразившись от фотографируемого предмета, образуя
предметный пучок 2-2 (предметная волна). Оба пучка должны быть когерентны. Опорный и предметный пучки, налагаясь друг на друга, образуют
интерференционную картину, которая фиксируется фотопластинкой. После проявления фотопластинки и получается голограмма - зарегистриро-
71
ванная на фотопластинке интерференционная картина, образованная при
сложении опорной и предметной волн.
Для восстановления изображения голограмму помещают в то самое место, в котором она находилась при фотографировании, и освещают опорным пучком света (рис. 33.10). Часть лазерного пучка, которая освещала
предмет при фотографировании теперь перекрывается перегородкой.
В результате дифракции опорной волны на интерференционной структуре
голограммы возникает волна, имеющая точлазер
но такую же структуру,
как волна, отражавшаяся предметом. Эта волна
дает мнимое изображение предмета, которое
перегородка
воспринимается глазом
наблюдателя. Это изображение является объголограмма
емным, на него можно
смотреть из разных поглаз
ложений, создается
мнимое изображение
полная иллюзия существования реального
Рис. 33.11
предмета.
Наиболее важное применение голографии – запись и хранение информации, а в будущем возможны голографическое кино и телевидение.
Вопросы для самоконтроля.
Какое явление называется дифракцией?
Сформулируйте принцип Гюйгенса-Френеля.
Что такое зона Френеля?
Как объяснить образование максимумов и минимумов с помощью
принципа Гюйгенса-Френеля?
5. Как отличается дифракция Фраунгофера от дифракции Френеля?
1.
2.
3.
4.
72
6. Как объясняется появление «пятна Пуассона»?
7. Выведите формулу распределения интенсивности при дифракции
Фраунгофера на одномерной щели.
8. Что представляет собой дифракционная решетка? Каково распределение интенсивности на экране за дифракционной решеткой? Как
оно объясняется?
9. Каков принцип голографии? Каковы возможные применения голографии?
73
Лекция № 34
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
План
1. Естественный и поляризованный свет. Виды поляризации. Степень
поляризации.
2. Поляризация при отражении и преломлении. Закон Брюстера.
3. Поляризация при двойном лучепреломлении. Обыкновенный и необыкновенный лучи. Оптическая ось кристалла. Волновые поверхности в одноосном кристалле.
4. Поляроиды и поляризационные предметы. Поляризаторы и анализаторы. Закон Малюса.
5. Искусственная оптическая анизотропия. Эффект Керра.
6. Вращение плоскости поляризации.
1. Естественный и поляризованный свет. Виды поляризации. Степень поляризации.
В естественном свете имеются колебания, совершающиеся в самых различных направлениях, перпендикулярных к лучу. Излучение светящегося
тела слагается из волн, испускаемых его атомами. Процесс излучения отдельного атома продолжается около 10 8 с. За это время успевает образоваться последовательность горбов и впадин (или, как говорят, цуг волн)
протяженностью примерно 3 м. Одновременно излучает множество атомов. Цуги волн, испускаемых атомами, накладываются друг на друга, образуя испускаемую телом световую волну. Плоскость колебаний для век
тора E напряженности электрического поля у каждого цуга ориентирована
случайным образом. Поэтому в результирующей волне колебания различ
ных направлений представлены с равной вероятностью.EСвет со всеми
возможными равновероятными ориентациями вектора называется есте
ственным. (Заметим, что вектор E называется световым вектором, так как
74
при действии света на вещество основное значение имеет электрическая
составляющая поля волны, действующая на электроны
 в атомах вещества.)
Свет. в котором направление колебаний вектораE упорядоченно каким
либо образом, называется поляризованным.
Виды поляризации.

1. Если колебания вектора E происходят только в одной плоскости, проходящей через луч, то свет называется плоскополяризованным (или ли
нейнополяризованным). Плоскость, в которой колеблется вектор E называется плоскостью поляризации (или плоскостью колебаний).

2. Если вектор E вращается по мере распространения волны в пространстве, а конец этого вектора в каждой точке пространства описывает
окружность, то свет называется поляризованным по кругу (или циркулярно
поляризованным).

3. Если вектор E вращается вокруг направления распространения волны

(вокруг луча), изменяясь периодически по модулю, при этом вектор E
описывает эллипс, то свет называется эллиптически поляризованным.

Если смотреть навстречу распространения волны и вектор E при этом
поворачивается по часовой стрелке, то поляризация называется правой, если против часовой стрелки – левой.
4. Если свет представляет смесь естественного и плоскополяризованного,
то он называется частично поляризованным.
Частично поляризованный свет характеризуется степенью поляризации
р, которая определяется как
I  I min
p  max
(34-1)
I max  I min
где I max и Imin - максимальная и минимальная интенсивности света, соот
ветствующие двум взаимно перпендикулярным компонентам вектора E .
Для плоскополяризованного света I min = 0 и р = 1; для естественного света
I max  I min , соответственно р = 0; для эллиптически поляризованного света
это понятие не применяется.
2. Поляризация при отражении и преломлении. Закон Брюстера.
Если угол падения света на границу раздела двух сред диэлектриков
(например, из воздуха на поверхность стеклянной пластинки) отличен от
нуля, то отраженный и преломленный лучи оказываются частично поляри75
зованными. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные
к плоскости падения (на рис. 34.1
обозначены точками), в преломленном луче – колебания, параллельные плоскости падения (обозначены двусторонними стрелками). Степень поляризации зависит
от угла падения.
Закон Брюстера (англ. физик):
Если тангенс угла наклона равен
θ
Рис. 34.1
показателю преломления второй среды относительно первой
tg θ Бр  n21 
n2
n1
то отраженный луч полностью поляризован (он содержит только колебания, перпендикулярные к плоскости падения).
Угол θ Бр называется углом Брюстера. Преломленный луч поляризован
только частично. Отраженный и преломленный лучи при этом взаимно
перпендикулярны. Степень поляризации отраженного и преломленного
лучей при различных углах падения можно получить с помощью так называемых формул Френеля (нами в этом пособии не рассматриваются).
3. Поляризация при двойном лучепреломлении. Обыкновенный и необыкновенный лучи. Оптическая ось кристалла.
При прохождении света через некоторые кристаллы световой луч разделяется на два луча, распространяющиеся с разными скоростями и в различных направлениях. Это явление получило название двойного лучепреломления.
Кристаллы, обладающие свойствами двойного лучепреломления, могут
быть одноосными и двуосными (см. далее). У одноосных кристаллов (таких как кварц, исландский шпат, турмалин) один из лучей подчиняется
обычному закону преломления. Этот луч называется обыкновенным и обозначается буквой «о». Другой луч не подчиняется закону преломления; он
называется необыкновенным и обозначается буквой «е» (от англ. ordinary –
76
обыкновенный, extraordinary – необыкновенный). Необыкновенный луч не
лежит, как правило, в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к
преломляющей поверхности. Отношение синусов углов падения и преломления не остается постоянным при изменении угла падения. Даже при
е
о
нормальном падении света на
поверхность кристалла необыкновенный луч откланяется от
первоначального направления.
В одноосных кристаллах имеется направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются,
не разделяясь и с одинаковой
скоростью. Это направление называется оптической осью кристалла (отметим, что это направление в кристалле, а не какая-то единственная прямая).
Любая плоскость, проходящая через оптическую ось, называется главным сечением или главной плоскостью кристалла. Обычно пользуются
главным сечением, проходящим через световой луч. Оба луча поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. Необыкновенный луч поляризован в плоскости соответствующему ему главного сечения, а обыкновенный – перпендикулярно плоскости соответствующего ему главного
сечения. У одноосных кристаллов (таких как слюда, гипс) имеются два
направления, в которых свет не разделяется на два луча. В таких кристаллах оба луча необыкновенные (рассматривать не будем).
Замечание. Когерентные лучи, поляризованные в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, не интерферируют. Поэтому обыкновенный и необыкновенный лучи интерферировать не могут.
Волновые поверхности в одноосном кристалле.
Двойное лучепреломление объясняется анизотропией кристаллов. В таких кристаллах диэлектрическая проницаемость ℇ в направлении оптической оси и в направления, перпендикулярных к ней имеет разные значения
ℇ‖ и ℇ⊥. Показатель преломления n связан с ℇ соотношением
n = с /υ = ℇμ , а т.к. для прозрачных веществ μ ≈ 1, то n ≈ ℇ
77
Следовательно, из анизотропии ℇ вытекает, что волнам с различным

направлением колебаний вектора E соответствуют различные значения
показателя преломления n, поэтому и скорость световых волн υ = с / n в

кристалле будет зависеть от направления колебаний вектора E .
Пусть точечный источник света С расположен внутри одноосного кристалла (рис. 34.3). Выделим в кристалле плоскость главного сечения и
1
2
С
направление
оптической
оси
Рис. 34.3
3
рассмотрим лучи, исходящие из источника в различных направлениях
этого сечения. В обыкновенном луче
колебания светового вектора происходят в направлении, перпендикулярном к главному сечению кристалла (колебания изображены точками).
Поэтому при любом направлении

обыкновенного луча (1, 2,3) вектор E
образует с оптической осью кристалла прямой угол и скорость световой
волны будет одна и та же υ0 = с / ℇ⊥ . Волновой поверхностью является
сфера (если рассмотреть совокупность всех главных плоскостей).
78
Колебания в необыкновенном луче совершаются в главном сечении, по
этому для разных лучей направления колебаний вектора E образуют с
оптической осью разные углы. Для
луча 1 углл прямой, скорость υ1 =
1
с /√ℇ⊥ = υ0, для луча 3 угол равен
2
3
C
направление
оптической
оси
нулю, υ3 = с /√ℇ‖, а для луча 2 –
промежуточное значение. Волновая поверхность необыкновенных
лучей представляет собой эллипсоиду вращения (в пространстве, а
не плоскости – эллипс).
В качестве примера построения
обыкновенного и необыкновенного лучей рассмотрим преломление
Рис. 34.4
плоской волны на границе анизотропной среды (рис. 34.5). Пусть свет
1
2
е
о
1´
2´
о, е
направление
оптической
оси
о, е
Рис. 34.5
падает нормально к
преломляющей грани
кристалла, а оптическая ось перпендикулярна преломляющей
грани кристалла. В
точках 1 и2 построим
сферические волновые
поверхности, соответствующие обыкновенному лучу и эллипсоидальные – необык-
новенному. Огибающая всех вторичных волн, центры которых лежат в
промежутке между точками 1 и2 для о-лучей и е-лучей, представляют плоскость (на рис. 34.5 это точки 1´ и 2´). Таким образом мы показали, что
вдоль оптической оси о и е-лучи идут не разделяясь.
Рассмотрим другой случай, когда оптическая ось составляет косой угол
с преломляющей гранью кристалла (рис. 34.6). В этом случае огибающие
79
1
2
е
е
оптическая
ось
1´
о
2´
о
е
Рис. 34.6
о
волновых поверхностей уже
не совпадают.
Проведя к точкам касания
огибающих с
волновыми поверхностями
прямые (для необыкновенных
е-лучей это
прямые 1-1´ и 2-2´), получим, что необыкновенный луч заметно откланяется от нормали к преломляющей грани кристалла. Обыкновенный о-луч
пойдет вдоль первоначального направления.
4. Поляроиды и поляризационные призмы. Поляризаторы и анализаторы.
Поляроид – поляризационный прибор, который представляет из себя целлулоидную пленку, в которую вкраплены одинаково ориентированные
кристаллы сульфата йодистого хинина. В этих кристаллах обыкновенный
луч поглощается на пути примерно в 0,1 мм, так что выходит один луч –
необыкновенный (одного направления поляризации – поляризованный
свет).
Призма Николя (шотландский ученый 1768-1851) представляет собой
призму из исландского шпата (рис. 34.7), которая разрезается и
склеивается канадским бальзамом, показатель преломления
которого n = 1, 55, лежит между
значениями показателей преломления n0 и ne для обыкновенного необыкновенного лучей n0
> nкан.б. > ne . Угол падения для
канадский шпат
80
е
е
о
о
Рис. 34.7
обыкновенного луча подбирается
таким, чтобы превышал предельный угол и обыкновенный луч испытывает
полное внутреннее отражение. Из кристалла выходит только необыкновенный луч (свет поляризованный), незначительно смещенный параллельно падающему лучу.
Призму Николя часто называют николем.
И поляроиды и поляризационные предметы являются поляризаторами –
устройствами для получения полностью или частично поляризованного
оптического излучения.
Поляризаторы свободно пропускают колебания, параллельные плоскости, называемой плоскостью поляризатора и задерживают колебания, перпендикулярные этой плоскости. Если поляризатор используется для определения характера и степени поляризации, то он называется анализатором.
Закон Малюса.
81
Пусть плоскополяризованный свет падает на анализатор, причем

направление вектора
E0 в световой волне составляет угол φ с плоскостью

E

E0
I
φ
I0
плоскость
поляризации
Рис. 34.8
анализатора (рис. 31.8). Такая волна
проходит через анализатор только
частично. Колебание с амплитудой

E0 можно разложить на два взаимноперпендикулярных колебания с
амплитудами E||  E 0 cos φ и
E  E0 sin φ. Первое колебания
пройдет через поляризатор, второе
будет задержано. Отношение интенсивностей прошедшего I и падающего I 0 света, учитывая, что интенсивность прямо пропорцио-
нальна квадрату амплитуды напряженности
2
E
I
 || 2
I 0 E0
Учитывая, что E||  E 0 cos φ, получаем
I = I 0 cos 2 φ
Это соотношение называется законом Малюса: интенсивность прошедшего через анализатор поляризованного света пропорциональна квадрату косинуса угла между плоскостью поляризации падающего света и плоскостью анализатора.
5. Искусственная оптическая анизотропия. Эффект Керра.
Обычные прозрачные тела, не обладающие двойным лучепреломлением,
под влиянием внешних воздействий могут становиться двупреломляющими. В частности, при сжатии или растяжении направление деформации играет роль оптической оси. Тело становиться оптически анизотропным.
Опыт дает, что разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей пропорциональна напряжению σ в данной точке тела n0  ne  k σ, где к – коэффициент, зависящий от свойств вещества. Если
поместить некоторое прозрачное тело, например пластинку из оргстекла
между скрещенными поляризаторами, то пока тело не деформировано, си82
стема света не пропускает. Если же пластину подвергнуть сжатию, то свет
начинает проходить и наблюдается картина в виде темных и светлых полос. На этом основывается оптический метод исследования напряжений.
Изготавливают модель, подвергают ее нагрузке и по наблюдаемой картине
судят о распределении внутренних напряжений, что порой значительно
упрощает трудоемкую работу по расчету напряжений в новых конструкциях.
Эффект Керра (шотландский физик, 1824-1904). Между двумя скрещенными поляризаторами Р и Р´ помещают ячейку Керра (сосуд с жидкостью, обычно нитробензолом), в которую введены пластины конденсатора
Р
Р´
ячейка Керра
Рис. 34.9
среда становится анизотропной (вещество поляризуется). Оптическая
ось - вдоль поля. Проходя через ячейку – свет
эллиптически поляризованным и частично через второй поляризатор
Р´. Наиболее важной
особенностью эффекта
Керра является его малая инерционность (до 10 12 с!), что позволяет использовать его для создания быстродействующих оптических затворов.
Применяется в быстропротекающих процессах (управление режимом работы лазеров, скоростное фото и киносъемка), оптической локации, оптической телефонии.
6. Вращение плоскости поляризации.
Многие вещества, называемые оптически активными, обладают способностью поворачивать плоскость поляризации.
Это кристаллические тела (кварц и др.), чистые жидкости (скипидар и
др.) и растворы оптически активных веществ (например, водный раствор
сахара).
83
Опыт показывает, что все оптически активные вещества поворачивают
плоскость поляризации падающего на них света. Для чистых кристаллов и
жидкостей
φ = αd
для оптически активных растворов
φ = [α]cd
,
где d – расстояние, пройденное светом в оптически активном веществе; с –
концентрация раствора; α ([α]) – удельное вращение (или постоянная вращения). Постоянная α имеет различное значение для разных веществ и,
кроме того, сильно зависит от длины волны света. Так для кварцевой пластинки толщиной 1 мм углы поворота желтого и фиолетового света равны
соответственно 20 и 50 .
В зависимости от направления вращения плоскости поляризации, оптически активные вещества подразделяют на право и левовращающие, то
есть вращающие по или против часовой стрелки, если смотреть навстречу
световому пучку.
Вращательная способность кварца связана с особенностями кристаллической структуры, расположением частиц в кристаллической решетке (на
макроуровне), так как плавленый кварц не обладает оптической активностью.
Измерение угла поворота плоскости поляризации используется для
определения концентрации оптически активных веществ, например сахара
в растворах (пищевая промышленность) и биологических объектах (кровь).
Отметим, что способность поворачивать плоскость поляризации приобретают даже оптически неактивные вещества, если их поместить в магнитное поле (эффект Фарадея).
Вопросы для самоконтроля.
1. Чем отличается поляризованный свет от естественного? Каковы виды поляризованного света?
2. В чем смысл закона Брюстера?
84
3. В чем суть двойного лучепреломления? В чем особенности обыкновенного и необыкновенного лучей? Как объяснить двойное лучепреломление?
4. Что такое оптическая ось кристалла?
5. Объясните закон Малюса для света, прошедшего через два поляризатора.
6. Объясните эффект Керра.
7. С чем связано вращение плоскости поляризации на макро- и микроуровнях? Где применяется?
85
Лекция № 35
ДИСПЕРСИЯ СВЕТА. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА.
1.
2.
3.
4.
План.
Дисперсия света. Методы наблюдения дисперсии. Нормальная и
аномальная дисперсия.
Электронная теория дисперсии света.
Затруднения электромагнитной теории Максвелла.
Поглощение света. Спектр поглощения. Цвета тел.
1. Дисперсия света. Методы наблюдения дисперсии. Нормальная и
аномальная дисперсия.
Из опыта известно, что показатель преломления n зависит от длины
волны света, т. е. n(λ). Явления, обусловленные зависимостью показателя преломления вещества от длины волны или частоты ω световой
волны, называются дисперсией света.
Наиболее простой метод наблюдения дисперсии – метод скрещенных призм (рис. 35.1). Свет от источника S 0 проходит через щель и
Кр.
щель
Источник
света
линза 1
Призма 1
Призма 2
Кр.
Ф.
Ф.
линза 2
экран
Рис. 35.1
попадает через линзу 1 на призму 1. Цветная полоска, получающаяся в
результате действия первой призмы, отклоняется второй призмой в
разных своих частях различно, в зависимости от величины показателя
преломления, так что окончательная форма и расположение спектра
определяется величиной дисперсии обеих призм.
Если показатель преломления увеличивается с частотой, то есть
dn/dω>0 (или dn/dω<0), то такую зависимость называют нормальной
86
дисперсией (рис. 35.2). Если dn/dω<0 (или dn/dω>0) дисперсия света
называется аномальной (рис. 35.3). Она наблюдается вблизи полос поглощения вещества.
n
n
норм.
аном.
ω
Рис. 35.2
Кр.
ω
Рис. 35.3
Ф.
Кр.
В случае аномальной дисперсии
вид спектра, получаемого по методу
скрещенных призм на экране (рис.
35.1) получается качественно как на
рис. 35.4.
Ф.
Рис. 35.4
2. Электронная теория дисперсии.
Исследуем зависимость диэлектрической проницаемости среды от
частоты ℇ(ω) световых волн, вызывающих смещение электрических зарядов вещества(а т. к. n = ℇ, то получим зависимость n(ω)). Электри

ческое смещение D связано с напряженностью электрического поля E


D = ℇℇ 0 E ,
(35-1)
а с другой стороны



D = ℇ0 E + P ,
(35-2)

где P - поляризованность (см. ч.3, лекц. №18). Приравнивая (35-1) и
(35-2) можно выразить ℇ. Предварительно получим выражение для по
ляризованности P .
Под влиянием электрического поля электрон в атоме смещается из

положения равновесия на расстояние r , превращая таким образом атом
87


в электрическую систему с электрическим моментом p  er , направленную вдоль поля-диполь. (Речь идет о так называемых «оптических»
электронах, слабо связанных с ядром.) Если в единице объема среды


находится N атомов, то электрический момент единицы объема P  Ner ,

а эта величина P по определению является поляризованностью.
В одном атоме может быть несколько электронов, взаимодействующих
с внешним полем («оптических» электронов), тогда целесообразно записать


P  N  eri
(35-3)
i
Подставляя это выражение в (35-2)



D  ℇ 0 E  N  eri
i
(35-4)

Далее определим смещение электронов r под действием внешнего пе

риодически меняющегося поля E(t )  Em cos (ωt + α). При прохождении
световой волны на каждый оптический электрон действует сила электрического поля волны



Fэл  eEm cos (ωt + α) = eE (t ) .
Под воздействием этой силы электроны совершают вынужденные колебания с частотой ω.
Оптические электроны согласно классическим представлениям свя

заны с остальной частью атома квазиупругой силой Fупр  kr , где к –

коэффициент упругости, определяемый свойствами вещества, r - смещение электрона из положения равновесия. Таким образом, каждый оптический электрон обладает собственной частотой колебаний ω0.

Смещение r можно найти из уравнения движения (в пренебрежении
затуханием колебаний)
 

d 2r
m 2  Fупр  Fэл ,
dt
где m – масса электрона, или



d 2r
m 2  kr  eE (t ) .
dt

Разделим обе части на m и перенесем - kr в левую часть уравнения.

d 2r
k  e 


r  E (t )
m
m
dt 2
k
Обозначим   2 0 , тогда
m
88

d 2r
e 
2



r

E (t )
0
m
dt 2
Решение этого уравнения

r

eE (t )
m  02   2


Тогда из уравнения (35-3) поляризованность

P  N
i
Подставляя это выражение для
получим
ℇℇ 0

E (t)
= ℇ0

D

eE (t )
m  02   2


в (35-2) и приравнивая (35-2) к (35-1),

E (t)
+ N
i

eE (t )
m  02   2


E (t), разделим обе

Сократим последнее равенство на
части на ℇ 0 и получим выражение для диэлектрической проницаемости среды
e2
ℇ  1 N / ℇ 0 
2
2
i m i  


(35-5)
Так, как n = ℇ, то
n 2  1 N / ℇ 0 
i
e2
m  i2   2


(35-6)
n
Без затухания
С учетом
затухания
Аном.
Норм.
1
ω
ω01
ω02
Рис. 35.5
89
Дисперсионная кривая n(ω), соответствующая выражению (35-6) представлена на рис. 35.5 в предположении двух оптических электронов у атома. Дисперсионная кривая распадается на ряд ветвей. Вблизи ω0i (собственные частоты колебаний разных оптических электронов) n  
(пунктир). Если учесть реально существующее затухание колебаний, то
можно получить более точное выражение для зависимости n(ω), пригодное
и для областей аномальной дисперсии (где n убывает с частотой).
2. Затруднения электромагнитной теории Максвелла.
1. Само наличие дисперсии света является одним из фундаментальных затруднений электромагнитной теории света Максвелла. С помощью электронной теории дисперсии эта проблема была решена.
2. Соотношение между показателем преломления и диэлектрической проницаемостью n = ℇ , вытекающее из теории Максвелла, для ряда газообразных и жидких диэлектриков выполняется достаточно хорошо (см. табл.)
Вещество
Водород
Азот
Бензол
Таблица.
n
1,000139
1,000299
1,501
ℇ
1,000139
1,000307
1,511
Однако для многих других тел, например для стекла и таких жидкостей как
вода и спирт ℇ гораздо больше n2. Так для воды n2 = 1,75, тогда как ℇ =
81 (!?). Дело в том, что дисперсия создается не только в результате колебаний электронов, но и ионов. Собственные частоты ионов лежат в далекой
информационной области и не оказывают существенного влияния на ход
дисперсионной кривой в видимой области спектра. Однако они играют
главную роль в объяснении отличия значения статистической диэлектрической проницаемости от значения в видимом диапазоне. У воды для оптических частот ℇ = n = 1, 33, а статистическое значение ℇ = 9. Это
различие объясняется колебаниями ионов. Поскольку собственные частоты колебаний ионов ω 0 малы, при малых частотах в статике ω→ 0, в знаменателе выражение (35-5) стоит малая величина, поэтому ℇ >>1. Таким
образом разрешается второе затруднение теории Максвелла.
90
3. Поглощение света, спектр поглощения. Цвета тел.
Опыт показывает, что интенсивность света I при прохождении через вещество убывает по закону Бугера:
I  I 0 exp (-æ‧ℓ)
(35-6)
где I 0 - интенсивность света на входе в поглощающий слой; ℓ - толщина
слоя; æ – постоянная, зависящая от свойств поглощающего слоя. длины
волны и называется коэффициентом поглощения. По своему смыслу эта
величина, обратная длине слоя, на котором интенсивность убывает в е-раз.
Продифференцируем (35-6), получим
dI = -æ‧ I 0 ‧e–ædℓ – æ‧I d ,
то есть убыль интенсивности пропорциональна толщине слоя d и значению самой интенсивности I, а коэффициентом пропорциональности служит коэффициент поглощения.
Зависимость коэффициента поглощения от длины волны æ(λ) называется спектром поглощения. Характер спектра паров веществ и твердых тел,
жидкостей качественно отличается. В парах например металлов при невысоком давлении в спектре обнаруживаются резкие узкие максимумы (рис.
35.6), а спектры поглощения твердых тел, жидкостей, дают широкие
æ
æ
λ
Рис. 35.6
λ
Рис. 35.7
полосы поглощения (плавный ход æ, рис. 35.7).
Для прозрачных веществ коэффициент поглощения невелик (для стекла
æ  1м -1). Для металлов æ  106 м -1, т.е. приблизительно в миллион раз
больше. Физически это обусловлено наличием свободных электронов. Под
действием поля электромагнитной световой волны электроны приходят в
91
движение. Возникают быстропеременные токи, сопровождаемые выделением джоулева тепла, энергия световой волны убывает, превращаясь во
внутреннюю энергию металла. (Замечание. Мы не касаемся процесса рассеяния света, что требует отдельного рассмотрения).
Цвет. Цвет есть результат двух физико-химических явлений: процесса
взаимодействия света с молекулами вещества и воздействия волн, идущих
от вещества, на сетчатку глаза.
Окончание зрительного нерва состоит из палочек и колбочек. Волны
светового электромагнитного поля, воспринимаемые колбочками, вызывают то или иное цветовое ощущение. Поглощенный цвет как бы «вычитается» из общего белого луча. Цвет, таким образом, является результатом
избирательного поглощения определенных участков в непрерывном спектре падающего белого цвета. Например, если тело поглощает красные лучи, кажется окрашенным в зеленый цвет; если же тело поглощает синевато-зеленоватые лучи, то оно кажется нашему глазу красным. Рассеянные и
поглощенные лучи дополняют друг друга в белом свете, поэтому они
называются дополнительными.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Вопросы для самоконтроля.
В чем заключается дисперсия света?
Какая дисперсия называется нормальной? Аномальной?
В чем суть метода скрещенных призм?
В чем суть электронной теории дисперсии? Выведите формулу зависимости n(ω).
Каковы затруднения электромагнитной теории Максвелла?
Напишите формулу закона Бугера и объясните ее.
Что такое спектр поглощения?
Как можно физически объяснить поглощение света в металлах?
Как цвета тел связаны с их спектрами поглощения?
92
Лекция №36 (дополнительная)
СПЕКТР КОЛЕБАНИЙ. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУРЬЕ.
План.
1. Спектр и спектрограмма функции.
2. Разложение Фурье. Понятие о гармониках.
3. Спектральное разложение несинусоидального периодического сигнала.
1. Спектр и спектрограмма функции.
Слово спектр (лат. spectrum) первоначально было синонимом слова «изображение», но впоследствии спектром стали называть в оптике только цветную картинку, полученную Ньютоном в результате преломления пучка
солнечного света призмой. Значительно позднее, в процессе развития учения о колебаниях и волнах, слово «спектр» приобрело в науке еще и другой смысл.
Рассмотрим функцию вида
N
f (t )   cn cos nt   n  ,
(36-1)
n 1
где cn ,  n ,  n - константы.
( f (t )  c1 cos1t  1   c2 cos 2t   2   ...)
N может быть конечным или бесконечным. В первом случае функция (1)
обычно называется тригонометрической суммой, во втором - тригонометрическим рядом. Мы будем называть функцию вида (1) тригонометрическим рядом, рассматривая тригонометрическую сумму как частный случай
последнего.
Совокупность пар чисел (ω1, с12), (ω2, с22)…( ωn, сn2) называется спектром функции f(t). Отметим на оси абсцисс точки, соответствующие в некотором масштабе частотам ω1, ω2,…, ωN. В каждой такой точке восстановим
перпендикуляр к оси абсцисс и отложим на нем отрезок, длина которого
пропорциональна квадрату амплитуды (по существу интенсивности) с12, с22
, …, сN2 соответствующей синусоидальной слагаемой.
Получающуюся в результате такого построения диаграмму (рис. 36.1)
мы будем называть спектрограммой функции f(t). Спектр функции - математическое понятие. Между математическим понятием спектра функции и
физическим понятием спектра существует некая связь. Характер спектра
93
с1 2
как например реально существующей
цветной картинки (спектра в физическом смысле) определяется характером
спектра функции (в математическом
смысле), описывающей световую волну, падающую на призму или дифракционную решетку. Однако нужно
сN2
с2 2
ω1
ω2
ωN
ω
Рис. 36.1
иметь в виду, что задание спектра функции f(t) не эквивалентно заданию
самой функции: две функции, имеющие одинаковый спектр, могут различаться фазами компонент. Например функции ( cosωt + сos2ωt) и (cosωt +
sin2ωt) имеют одинаковые спектрограммы, но различные осциллограммы.
2. Разложение Фурье. Понятие о гармониках.
Пусть имеется периодическая функция f(t). Она может быть представлена на всем интервале - < f(t)<+  в виде суперпозиции бесконечного
множества синусоид, имеющих частоты, кратные ω = 2π Т, где Т – период
функции f(t).

f (t )   ( An cos n ωt  Bn sin n ωt)
n o
,
причем коэффициенты An , B n (коэффициенты Фурье периодической функции) даются формулами
1
A0 
T
2
An 
T
Bn 
2
T
t 0 T
 f (t )dt,
B0  0
t0
t 0 T
 f (t ) cos n  tdt,
t0
t 0 T
 f (t ) sin n  tdt,
t0
где n = 1, 2, 3,..., t0 - произвольно
(Заметим, что эта процедура называется разложением в ряд Фурье)
Синусоида с частотой ω = 2πn  Т при n = 1 называется основной или
первой гармоникой; соответственно при к = 2, 3… получаем вторую, третью и т. д. гармоники.
94
В качестве примера приведем представление прямоугольных периодических колебаний с помощью трех синусоидальных колебаний (гармоник).
f (t ) 
4
1
1

 sin  0 t  sin 3 0 t  sin 5 0 t ,

3
5

где ω0 – циклическая частота прямоугольных колебаний (ω0 = 2π Т). На
рис. 36.2 показаны прямоугольные колебания, первые три члена разложения и их сумма. Чем больше членов разложения, тем ближе формы суммы
к форме исходных прямоугольных колебаний. Отдельные члены разложения называют еще фурье-компонентами.
Т
1
0
t
-1
Прямоугольные
колебания
1
0
t
4

sin  0t
( первая
гармоника)
-1
1
0
t
-1
t
1
1
4
sin 5 0t
5
(пятая
гармоника)
f(t) (Сумма членов
0
-1
4
sin 3 0t
3
(третья
гармоника)
разложения)
Т
Рис. 36.2
95
3. Спектральное разложение несинусоидального периодического
сигнала.
Пусть некоторое тело испытывает периодические прямоугольные толчки силой F. Продолжительность каждого толчка  (рис. 36.3).

F
T

2
T
o
T
2
Рис. 36.3
Требуется разложить заданное периодическое воздействие на его гармонические
компоненты (получить коэффициенты Фурье).
Как следует из формулировки разложения Фурье t0
можно брать произвольно. В заданной задаче целесообразно принять t0 =

T
. Воспользовавшись формулами для коэффициентов Фурье, получим
2
(учитывая, что F отлично от 0, от 


до )
2
2
 /2
1
1
F
f (t )dt 
Fdt 


T T / 2
T  / 2
T
T /2
A0 
 /2
2
2
An 
F cos n  tdt 

T  / 2
Tn
=
F
n
 /2
2F
F cos n  td nt  
sin n  t

Tn2 / T
 / 2
 /2
=
 / 2



  2F
n
   F 
 sin n  sin n     
sin
 sin n  sin n  
2
2
2  n
T
 2   n 

 /2
2
Bn 
F sin n  tdt
T / 2
вычисление последнего интеграла представляем проделать любознательному читателю, и убедится, что Bn  0. Качественная спектрограмма,
соответствующая полученному разложению
изображена на рис. 36.4
(ω0 = 2π  Т).
A12 отн. ед.
ω  ω0
2 4 6 8 10 12 14 16 18
96
Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется спектром функции? Спектрограммой?
2. Какова суть разложения Фурье?
3. Решите самостоятельно задачу о спектральном разложении несинусоидального периодического сигнала.
97