Векторное и смешанное произведение векторов.

Векторное и смешанное произведение векторов.
Определение 1. Векторным произведением двух векторов α
и в называется вектор с, обозначаемый символом а х в или [а x в]
и удовлетворяющий условиям:
1) модуль (длина) векторного произведения численно равен
площади параллелограмма, простроенного на векторах а и в, т.е.
|с| = |а х в| = |а| ∙ |в| ∙ sin φ = SOACB, где φ — угол между векторами
α и в;
2) векторное произведение с = α х в направлено по перпендикуляру к плоскости, образованной векторами α и в так, что если смотреть с конца вектора с на плоскость OACB, то кратчайший
поворот
от
вектора
а
к
вектору
в
в
их плоскости совершается против движения часовой стрелки.
Векторное произведение двух векторов α и в имеет следующие свойства:
1) α х в = -(в x а) (антикоммутативный закон);
2) α х в = 0, если α = 0 или в = 0 или а || в;
3) λ ∙ (α х в) = λα х в = α х λв, где λ — действительное число;
4) (α + в) х с = (α х с) + (в х с).
В силу попарной ортогональности ортов I,j,k можем записать: i x i = j x j.= k x k = 0; i x j = k, j x i = -k, i x k = -j, k x i = j,
j x k = i, k x j = -i.
Векторное произведение двух векторов α{αx;αy;αz}, заданных своими координатами, выражается по формуле:
Из определения векторного произведения вытекает формула
для вычисления площади треугольника
Определение 2. Смешанным произведением трех векторов
α,в,с называется число, обозначаемое символом (α,в,с) и равное
скалярному произведению векторного произведения α х в на третий вектор с, т.е. (α, в, с)=( α х в) ∙ с.
Смешанное произведение векторов, обладает следующими
1
свойствами:
1) (α х в) ∙ с = а ∙ (в х с)=(а, в, с).
2) (а, в, с)=-(в, α, с)= -(с, в, α)=-(α, с, в).
3) Смешанное произведение трех некомпланарных векторов
а, в, с, приведенных к одному началу, по модулю численно равно
объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, т.е. |(а,
в, с)| = Vпаралл.
4) Если три вектора α,в,с компланарны, то их смешанное
произведение равно нулю и обратно, если смешанное произведение трех векторов равно нулю, то эти векторы компланарны.
Смешанное произведение трех векторов α{αx; αy; αz} заданных своими координатами выражается по формуле:
Общее уравнение плоскости
Теорема. В декартовой прямоугольной системе координат
Oxyz каждая плоскость определяется линейным уравнением вида
Ах+Ву+Сz+Д=О, где числа А, В, С не равны нулю одновременно.
Доказательство:
Пусть нам заданы координаты какой-нибудь точки
M0(xo;yo;z0), принадлежащей плоскости (П) и координаты ненулевого вектора n(А;В;С), перпендикулярного этой же плоскости.
Вектор n называется нормальным вектором плоскости.
Возьмем произвольную точку M(x;y;z), лежащую в плоскости (П) и составим вектор М0М (x-xo;y-y0;z-z0).
При любом положении точки М на плоскости (П) векторы n
и М0М перпендикулярны, т.е. (n,М0М)=0.
Выражая скалярное произведение векторов через их координаты, получим: A(x-x0)+B(y-yo)+C(z-zo)=O (1) —уравнение
плоскости по заданной точке и заданному ненулевому нормальному вектору.
Перепишем уравнение (1): Ax+By+Cz+(-Axo-By0-Cz0)=0.
Обозначая Д=-Ахо-Ву0-Сzо, получим: Ах+Ву+Сz+Д=0 (2) —
общее уравнение плоскости.
Рассмотрим частные случаи общего уравнения плоскости:
1) Д=0: Ax+By+Cz=0 — плоскость проходит через начало
координат (уравнению плоскости удовлетворяют координаты
2
точки О(0;0;0)).
2) С=0: Ах+Ву+Д=0 — плоскость параллельна (или совпадает) оси Oz (проекция нормального вектора плоскости n (А;В;0)
на ось Oz равна нулю).
3) В=0: Ах+Сz+Д=0 — плоскость параллельна (или совпадает) оси Оу.
4) А =0: Ву+Сz+Д=О — плоскость параллельна (или совпадает) оси Ох.
Кроме этого важно отметить, что координатная плоскость
Oyz определяется уравнением х=0.
Координатная плоскость Oxz уравнением у=0.
Координатная плоскость Оху уравнением z=0.
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку М0(-1;2;-3), перпендикулярно к вектору n(2;-2;3).
Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение двух
плоскостей.
Пусть в системе координат Oxyz заданы своими общими
уравнениями две плоскости
A1x+В1у+С1z+Д1=0 (1)
А2Х+В2у+С2z+Д2=0 (2)
Двугранный угол между плоскостями (1) и (2) измеряется
линейным углом φ, который равен углу между нормальными векторами n1(A1B1C1) и n2(А2В2С2) этих плоскостей. Его можно
найти из формулы для скалярного произведения векторов n1 и n2:
В координатной форме:
Рассмотрим различные случаи взаимного расположения
двух плоскостей:
1) Если φ=π/2, то cosφ=0 и условие перпендикулярности
двух плоскостей имеет вид: A1A2+BlB2+C1C2=0.
2) Если нормальные векторы n1 и n2 двух плоскостей коллинеарны, то эти плоскости либо параллельны, либо совпадают.
Таким образом, условие параллельности двух плоскостей
имеет вид:
3
Совпадение двух плоскостей происходит в том случае, когда
3) Если нормальные векторы двух плоскостей неколлинеарны, то плоскости пересекаются по прямой.
Это происходит в том случае, когда
Прямая в пространстве. Каноническое и параметрические
уравнения прямой
Пусть в системе координат Oxyz прямая (l) задана точкой
М0(хо;уо;zо) и направляющим вектором а (l;m;n), т.е. вектором
коллинеарным этой прямой.
Напишем каноническое уравнение этой прямой.
Возьмем произвольную точку M(x;y;z) на прямой (l). Составим вектор М0М (x-xo;y-y0;z-z0). При любом положении точки М
на прямой (l) векторы М0М и α коллинеарны, следовательно, их
координаты пропорциональны.
Будем иметь:
— каноническое уравнение прямой.
Продолжим исследование канонического уравнения.
Обозначим буквой t каждое из равных отношений в каноническом уравнении прямой. Получим:
— параметрические уравнения прямой, проходящей через
заданную точку M0(x0,y0;z0) в направлении вектора α (l;m;n).
На значение параметра t не накладываются никакие ограничения. Поэтому мы будем полагать, что -∞<t<+∞.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные очки пространства
Уравнение прямой (l), проходящей через две различные точ4
ки M1(x1;y1;z1) и М2(х2;у2,z2) получим как частный случай ее канонического уравнения. За направляющий вектор α прямой примем вектор M1M1 (x2-x1;y2-y1;z1-z1), а за точку М0 точку
M1(x1;y1;z1).
Будем иметь:
— уравнение прямой, проходящей через две различные точки.
Нахождение канонического уравнения прямой, заданной как
линия пересечения двух плоскостей
Данная задача сводится к решению системы двух линейных
уравнений с тремя неизвестными:
где каждое из уравнений есть общее уравнение соответствующей плоскости и
Каноническое уравнение прямой можно написать, зная координаты какой-нибудь точки, лежащей на прямой и координаты
направляющего вектора этой прямой.
Как видно из чертежа направляющий вектор α искомой прямой (l) перпендикулярен нормальным векторам n1 (A1; В1; С1) и
п2 (A2; В2; С2) плоскостей (1) и (2), и, следовательно, он может
быть вычислен как векторное произведение этих векторов, т.е.
Каноническое уравнение искомой прямой (l) запишется в
виде:
где координаты точки М0 [х0; у0; z0) являются одним из ре-
5
шений первоначальной системы уравнений и их нахождение мы
покажем на конкретном примере.
Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть в системе координат Oxyz заданы каноническим
уравнением две прямые (l1) и (l2).
Угол φ между прямыми (l1) и (l2) равен углу между их
направляющими векторами α (l1; m1; и n1) α2 (l2, m2; n2) и, следовательно, может быть вычислен по формуле:
При этом возможны случаи:
1) Если φ=π/2, то cos φ = 0 и условие перпендикулярности
двух прямых имеет вид: l1∙l2+m1∙m2+n1∙n2=0.
2) Если прямые параллельны, то их направляющие векторы
α1 и α2 коллинеарны, следовательно,
— условие параллельности двух прямых.
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и
перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть в системе координат Oxyz заданы плоскость (П) общим уравнением Ax + By + Cz + Д = 0 (1) и прямая (l) каноническим уравнением
Углом между прямой и плоскостью (φ) называется угол
между прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Обозначим угол ψ — угол между нормальным вектором n
плоскости (П) и направляющим вектором прямой α.
Будем иметь: φ= 90° - ψ, откуда sin φ = sin(90° - ψ)= cos ψ.
Но
6
следовательно, окончательная формула для вычисления угла
между прямой и плоскостью имеет вид:
Возможны случаи:
1) Если φ = 0, то sin φ = 0 и условие параллельности прямой
и плоскости имеет вид: А∙l + В∙m+С∙n = 0.
2) Условие перпендикулярности прямой и плоскости вытекает из коллиниарности векторов n и α и имеет вид:
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть в системе координат Oxyz заданы две прямые (l1) и
(l2) своими каноническими уравнениями:
Ранее было получено условие параллельности двух прямых:
Если же прямые не параллельны, и не совпадают, то они либо пересекаются, либо скрещиваются. В каждом из этих случаев
должны выполняться два условия:
Если прямые пересекаются, то
1)
(направляющие векторы прямых не коллинеарны).
2) Векторы М1М2, а1, а2 компланарны, следовательно, их
смешанное произведение равно нулю, т.е.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть в системе координат Oxyz заданы прямая (l) параметрическими уравнениями:
7
(1)
и плоскость (П) общим уравнением Ах + By + Cz + Д = 0 (2).
Прямая в пространстве может:
1) быть параллельной плоскости;
2) пересекать данную плоскость;
3) находиться в данной плоскости.
Условие параллельности прямой и плоскости было получено ранее и имеет вид: А∙l + В∙m + С∙n = 0.
Пусть теперь прямая пересекает плоскость или лежит в ней.
Для нахождения координат общих точек прямой (l) и плоскости (П) подставим значения переменных х; у; z из системы (1) в
уравнение (2). Будем иметь: А(х0+l∙t)+B(y0 + m∙t)+C(z0 +n∙t)+Д=0
или (A∙l+B∙m+C∙n)∙t+(Ax0+Ву0+Cz0+Д)=0 (3)
Получили линейное уравнение относительно параметра t,
при котором прямая и плоскость имеют общие точки.
При этом возможны случаи:
1) Если A∙l+B∙m+C∙n≠0, то уравнение (3) имеет единственное решение
т.е. в этом случае прямая и плоскость имеют одну общую
точку, координаты которой находятся после подставки найденного параметра t в систему (1) и имеют вид:
2) Если А∙l+В∙m+С∙n=0 и Ах0+Ву0+Cz0+Д=0, то уравнение
(3) имеет бесчисленное множество решений, следовательно, в
этом случае прямая с плоскостью имеет бесчисленное множество
общих точек, прямая лежит в плоскости.
8