Шпоры математика - Intellectuals.ru

Математический анализ.
1.Числовая последовательность. Действия над числовыми последовательностями. Предел
числовой последовательности. Примеры. Основные теоремы о пределах числовых
последовательностей.
2. Предел функции. Определение предела функции по Гейне и по Коши. Примеры.
Основные теоремы о пределах функции.
3. Замечательные пределы.
4. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций. Понятие
равномерной непрерывности.
5. Производная функции. Геометрический, физический и экономический смысл
производной. Эластичность функции. Зависимость между дифференцируемостью и
непрерывностью функции в точке.
6. Основные правила и приемы дифференцирования. Таблица производных элементарных
функций.
7. Производная обратной функции, функции заданной параметрически, и функции
заданной в неявном виде.
8. Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Формула
малых приращений.
9. Производные и дифференциалы высших порядков.
10. Логарифмическая производная.
11. Теоремы о среднем значении дифференциального исчисления.
12. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
13. Монотонность функции. Локальные экстремумы функции. Выпуклость точки
перегиба.
14. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа и в форме Коши. Формула
Маклорена.
15. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (е^х, sinx, cosx,ln(1+x),(1+x)^m). (^степень)
16. Первообразная для функции. Понятие неопределенного интеграла. Основные формулы
и правила интегрирования.
17. Основные формулы и правила интегрирования. Метод замены переменных при
интегрировании.
18. Основные формулы и правила интегрирования. Метод интегрирования по частям.
19. Основные формулы и правила интегрирования. Интегралы от элементарных функций.
20. Основные формулы и правила интегрирования. Интегрирование рациональных
функций.
21. Основные формулы и правила интегрирования. Интегрирование иррациональных
функций.
22. Интегрирование тригонометрических функций. Формулы приведения.
23. Понятие определенного интеграла.
1.
Числовая последовательность – действительная функция натурального аргумента (f:N->R)
An=f(n)
Числовая посл {Xn} называется возраст/убыв, если каждый из ее челенов больше/меньше
предшествующего. Неубыв/Невораст, если кажд ее член не меньше (не больше) предыд.
(X1<=X2…Xn<=..)
Пример:
{n} – возр
{1/n} – убыв
Действия над ними:
1) {An}+ {Bn}={An+Bn}
2) C{An}={CAn}
3) Bn не равно 0, {An}/{Bn}= {An/Bn}
4) {An}*{Bn}={An*Bn}
Если для любого сколь угодно малого положит числа E>0 найдется такой номер N
(завис от Е N=N(E)), что для всех членов последоват с номерами n>N верно
неравенство |An-A|<E.
Расходящаяся- не имеющая конечного предела.
Ограниченная – если все ее члены лежат в конечном интерв (-k;k)
Теорема (о двух милиционерах): Пусть {An},{Bn},{Cn} – числов послед и
An<=Bn<=Cn для кажд натур n. Если пределы числ посл {An} и {Cn} существ и lim An
(n->беск)=lim Сn, то сущ предел числ посл {Bn} и lim Bn=A
2.
Предел функции
По Гейне: Число g явл пределом ф-ции f(x) при x, стремящ к Xо и обознач: lim (x->xo) f(x)
= g, если для каждой послед {Xn} такой, что Xn не равно Xo и lim (n->бескон) Xn=Xo
выполняется равенство lim (n->бескон) f(Xn) = g
Т: Пусть f(x), фи (х) – функции, определенные в интервале (а,в) и Хо принадл (а,в). Если
lim (x->xo) f(x) = g и lim (x->xo) фи(x) = h, причем g, h не равно +- бескон, то имеют место
след равенства:
1) lim (x->xo) (f(x)+g(x))=g+h
2) lim (x->xo) (f(x)*g(x))=g*h
3) если С – действит число, то lim (x->xo) (сf(x)) = сg
также:
1) lim (x->0) a^x=1 (a>o)
2) lim (x-> бескон) (1+1/x)^x = e
3) lim (x->0) sin x = 0, lim (x->0) cos x =1, lim (x->0) sinx/x = 1
3.
Замечательные пределы
Число e = lim (n->бескон) (1+1/n)^n
E~=2,718281828..
e- трансцендентное число ( не является корнем алгебр многочл)
Теорема: Если в некот числ послед {Rn} n принадл N все члены по абсол величине больше
1 и lim (n->бескон) |Rn| = бескон, то lim (n-> бескон) (1+Rn)^Rn= e
Замечат пределы:
1) li, (x->0) sin x/x = 1
2) An= (1+1/n)^n {An} – возраст
4.
Непрерывность функции в точке
Пусть функция f(x) определена в окрестности точки Xo. Функция y=f(x) непрерывна в
точке X=Xo, если lim (x->xo) f(x) = f(xo)
Равномерно непрерыв: Ф-ция f(x), определенная в замкнутом интерв [a,b] непрерывна
равномерн, если для произвольного E>0 можно так разбить замкн интерв [a,b] на
конечное число интерв [ai,ai+1] i=1,…,n
[ai,ai+1]= [a,b], что знач ф-ции в двух произв точках одного и того же интерв отлич
меньше, чем на Е
Св-ва:
Ф-ция равномерно непрерывная в интерв [a,b]:
1) непрер в кажд точке интерв
2) равномерно непрер в этом интерв
3) ограничена в этом интерв
T: Ф-ция, непрер в замкн интер,в приним в этом интерв все знач, заключ между наим и
наиб ее знач
Т: Если непрер в замкн интерв ф-ция положит на одном конце этого интерв и отриц на
др, то в интерв сущ по крайней мере одна точка, в кот ф-ция обращ в 0
Т: Если ф-ция f(x) непрер в замкн интерв, то в этом интерв сущ по кр мере одна точка,
в кот ф-ция приним наиб знач и , по крайней мере одна точка, в кот ф-ция приним
наим знач
5.
Производная ф-ции
Пусть ф-ция y=f(x) определена в окресности точки X=Xo, X=X1, точка этой же окресн,
причем X1 не равно Xo. Разность X=X1-Xo называется приращением независ перемен.
Соответствующая разность y=f(x1)-f(xo) называется приращ завис перемен .
Частное y/x = (f(xo+x)-f(xo))/x назыв разностным отношением. Производной ф-ции f(x)
в точке x=xo называется предел разностного отнош f`(xo)= lim (x->o) (f(xo+x)-f(xo))/x
Геом смысл: произв f`(xo) есть угловой коэф (tg угла наклона) касательной,
проведенной к кривой y=f(x) в точке xo, т.е. k= f`(xo)
Ур-е касат: y-f(xo)=f`(xo)(x-xo)
Физ смысл: произв – это скорость изменения ф-ции относит некот исследуемого
фактора
Экон: предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, изменение некот
экон объекта.
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее производная f`(x0) в
этой точке существует.
Т: Если ф-я F(x) дифференц в точке x0, то f(x) непрерывна в точке x0.
6.
Если ф-ция в точке x имеет конечную производную, то ф-ция назыв диффер в этой
точке.
Правила:
1) произв постоянной = 0 (с`=0)
2) произв аргум =1 (x`=1)
3) произв алгебр суммы конечного числа диффер ф-ций = такой же сумме произв этих
ф-ций (u+v)` = u`+v`
4) (u/v)`= (u`v-uv`)/v^2
5) (uv)` = u`v + uv`
Следствие1: постоянный множит можно вынос за знак производной (cu)`=cu`
Сл2: (uvw)`=u`vw+uv`w+uvw`
Таблица произв:
1) y=c; y`=0
2) y=1/x; y`=1/x^2
3) y=e^x; y`=e^x*x`
4) y=kor x; y`=1/2 kor x*x`
5) y=a^x; y`=a^xlns (a>0)
6) y=lnx; y`=1/x
7) y=logaX; y`=1/xlna*x`
8) y=tgx; y`= 1\cos^2x
9) y=sinx; y`=cosx
10) y=cosx; y`=-sinx
11) y=ctgx; y`=-1\sin^2x
12) y=arccosx; y`= -1\kor 1-x^2
13) y=arcsinx; y`=1\kor 1-x^2
14) y=arctgx; y`=1\1+x^2
15) y=arctg x; y`=-1\1+x^2
16) (cf(x)`=cf`(x)
17) Y=c\v ;y`=-c\v^2
18) Y=Cu; y`=cu`
19) Y=X; y`=1
20) Y=u\v; y`=u`v-uv`\v^2
21) Y=uvw; y`=u`vw+uv`w+uvw`
22) Y=uv; y`=u`v+uv`
23) Y=u+v; y`=u`+v`
7. Обратная ф-я.
Рассмотрим y=f(x) и x= g(y) опред. в некоторой окрестности т. x0 и y0 и взимообратные,
т.е. f(g(y))=y, g(f(x))=x =>(следовательно) f(x0)= y0 => g(y0)=x0, тогда f `(x0)g`(y0)=1
Док-во.
g(f(x))=x
g`(f(x))*f`(x)=1
x=x0=>g`(y0)*f`(x0)=1
Производная ф-я, заданной параметрически.
Рассмотрим ф-ю y=y(x) заданную параметрически:
{(фигурная скобка) y=f(t)
{ x=g(t),
Тогда yt`=f`(t)
Как сложная ф-я yt`= y`x*x`t=y`x*g`(t)
y`x=y`t/x`t= f `(t)/ g`(t)
производная ф-и заданной неявно.
Пусть ф-я y=y(x) опред. уравнением F(x,y)=0
Чтобы найти производную ф-и y(x) необходимо продифференцировать F(x,y)`x=0,
как сложную ф-ю от X, и полученное уравнение решить относительно y`.
Пример.
X3 + y3 +3x2 y=1
3x2 + 3y2 y` +6xy+3x2 y`=0
y`=(3x2+6xy)/ (3y2 +3x2),в ответе содержится как x, так и y.
8.
Дифференциал ф-ции – главная линейная относит х часть приращения ф-ции, равная
произведению производной на приращение незаис перемен dy=f`(x)x
Св-ва: (аналог св-вам произв)
Dc=0
D(cu)=cdu
D(uv)=vdu+udv
D(u+-v)=du+-dv
D(u\v)= (vdu-udv)\v^2
Инвариантность (неизменность) Если y=f(u) и u= фи (х) –дифференуир-е ф-ции от
своих аргументов, то dy=f`(u)du
Формула малых приращ: y=~dy=f(x)dx
9.
Производные высших порядков ( не облад св-вом инвар в отл от диф первого пор)
Если ф-ция y=f(x) имеет перв произв по премен х, то произв этой произв по перемен х,
если она сущ, наз-ся второй произв ф-ции f(x) п перемен х и обознач y``x^2, y``,
d^2y\dx^2
n-ая произв ф-ции обознач y^(n)
Диф n-ого пор равен произвед производной n-ого пор на n-ю степень диф зависим
перемен
F^(n)(x)=d^ny\dx^n
10.
Логарифмич производная
Пусть y=f(x)^фи(х); f(x)>0
Lny=фи(х)lnf(x) дифференцируя по х обе части равенства по перемен х, получим
y`\y=фи`(x)lnf(x)+фи(x) * f`(x)\(x) (*)
Выражение y`\y – логарифм произв ф-ции у
Из (*) получаем y`x=f(x)^(фи(х)(фи`(x)lnf(x)+фи(х)*f`(x)\f(x)) – темп изменения
функции
11.
Теорема о среднем знач диф исчисл
Если ф-ция y=f(x) непрерывн в замкн инт [a,b] и имеет произв в кжд внтур точке этого
интерв, то сущ тета принадл (0,1) для кот (f(b)-f(a))\(b-a)=f`(a+teta(b-a))
Теорема Ферма: Если дифф-ая на промежутке х ф-ция y=f(x) достигает наиб или наим
знач во внутр точке хо этого промежутка, то произв ф-ции в этой точке = 0, т.к.
f`(xo)=0
Т Роля: Пусть ф-ция удовл след усл:
1) дифф-ма на интерв (а,в)
2) непрер на отрезке [a,b]
3) на концах отрезка приним равные знач, т.е. f(a)=f`(b)
Тогда внутри отрезка сущ по крайней мере одна такая точка E принадл (a,b), в кот
произв ф-ции равна 0, т.е
F`(E)=0
Т Лагранжа: Пусть ф-ция y=f(x) удовл след усл
1)диф-ма на инт (а,в)
2) непрер на отрезке [a,b]
Тогда внтури отрезка сущ по крайней мере одна такая точка E принадл (а,b), в кот
производная равна чстному приращ аргумента на этом отрезке: f`(E)= (f(b)-f(a)\(b-a)
12,
Раскрытие неопределнностей
Т: Пусть ф-ции f(x),g(x) имеют первые производные в окрестн точки x=a (кроме а) и
удовл соотн lim(x->a)f(x)=limg(x)=0
Тогда если сущ limf`(x)\g`(x), то сущ lim f(x)\g(x) и имеет место рав-во lim
f(x)\g(x)=limf`(x)\g`(x)
Т: Пусть ф-ции f(x),g(x) имеют первые произв в окресн точки x=a (кроме а) и удовл
соотн limf(x)=limg(x)=+-бескон. Тогда если сущ lim f`(x)\g`(x) (или он = +- бескон), то
сущ также lim f(x)\g(x) (или он = +- бескон) и имеет место рав-во: lim f(x)\g(x)=lim
f`(x)\g`(x)
13,
Монотонность
Ф-ция f=f(x) назыв-ся возраст (убыв) на промеж х, если большему знач аргумента из
этого промежутка соотв большее (меньшее) знач ф-ции. Функции, убыв и возраст наз
монотон ф-циями
Лок экстрем
В некот точке ф-ция имеет лок макс(мин), если знач ф-ции в некот окресноти данной
ф-ции не больше (не меньше) знач ф-ции в этой точке
Т: (необх усл сущ экстрем): Если ф-ция y=f(x) имеет экстремум при х=хо, то произв фции f(x) в этой точке, если она сущ, обращ в 0.
Выпуклость
Ф-ция выпукла вниз на промежутке х, если для люб 2х знч х1,х2 принадл x из эотого
промеж выполн нер-во f(x1+x2)\2<= (fx1)+(fx2)\2
Выпукла вверх: f(x1+x2)\2>= (fx1)+(fx2)\2
Т: Ф-ция выпукла вверх (вниз) на промеж х тогда и только тогда, когда ее первая
произв на этом промеж монотонно возр (убыв)
Точки перегиба
Т.п графика непрер ф-ции наз-ся точка, разделяющая интерв, в кот ф-ция выпукла вниз
и вверх
Необх усл перегиба: Вторая произв f``(x) дважды дифф-мой ф-ции в точке перегиба хо
равно 0, т.е. f``(x)=0
14
Ф Тейлора
F(x)=f(xo)+f`(xo)(x-xo)+f``(xo)\2! * (x-xo)^2+..+f^(n)(xo)\n! * (x-xo)^n+ Rn(x) – остаточн
член
Ф Маклорена
F(x)=f(0)+x\1! * f`(0)+ x^2\2! * f``(0)+…+ x^n-1\(n-1)! * f^(n-1)(0)+Rn(x), где R(n) имеет
вид:
1)остат член в форме Коши
Rn(x)=x^n\(n-1)! (1-тета`)^n-1*f^(n)(тета` x); 0<тета`<1
2) ост член в форме Лагранжа
Rn(x)=x^n\n! F^(n)(тета x), 0<тета<1
Оба этих ост члена равны между собой и отлич только видом
15,
Разложение элементарных функций
1) y=e^x
Имеем f(x)=f`(x)=f``(x)=..=f^n(x)=e^x
f(0)=f`(0)=f``(0)=..=f^n(0)=e^0=1
e^x=1+x+x^2\2!+x^3\3!+…+x^n\n!...
Область сходимости ряда (-бескон;+бескон)
2) y=sinx
Имеем f(x)=sinx, f`(x)=cosx, f``(x)=-sinx; f```(x)=-cosx, f````(x)=sinx f(0)=0, f`(0)=1,
f``(0)=0. f```(0)=-1, f````(0)=0
Sinx=x-x^3\3!+x^5\5!+…+((-1)^n-1 * x^2n-1)\(2n-1)!+.. обл сход (-бескон;+бескон)
3) y=cosx
cosx=1-x^2\2!+x^4\4!-…+ (-1)^n * x^2n)\(2n)!+..
4) y=ln (1+x)
ln(1+x)=x- x^2\2+x^3\3-…+ (-1)^n * x^n+1)\n+1+.. обл сход (-1;1]
5) y =(1+x)^m, где m- люб действит число
(1+x)^m=1+mx+m(m-1)/2! *x^2 + m(m-1)(m-2)\3! * x^3 + m(m-1)(m-n+1)\n! x^n+… обл
сход (-1;1)
16,
Первообразная ф-ции
Ф-ция F(x) наз-ся первообр ф-цией для ф-ции f(x) на промежутке х, если в кажд точке х
этого промежутка F`(x)=f(x)
Неопред интегр
Совокупн всех первообр для ф-ции f(x) на промежутке х наз-ся неопред интегр от ф-ции
f(x) и обознач S f(x)dx, где S – знак интеграла
f(x) – подинтегр ф-ция, f(x)dx – подинтегр выражение
S f(x)dx=F(x)+C – произв постоянная
F(x)-первообр для f(x)
Осн правила и формулы интегрирования
1) S0dx=c (сonst)
2) S1dx=Sdx=x+c
3) S dx\x=ln|x| +c
4) S e^x dx=e^x +c
5) S sin xdx=-cosx+c
6) Scosxdx=sinx+c
7) S dx\sin^2x=-ctgx+c
8) S dx\cos^2x=tgx+c
9) S dx\1+x^2 dx = arctgx+c
10) S dx\ kor 1-x^2=arcsinx+c
11) S af(x)dx=a Sf(x)dx
12) S sinmxdx = -1\mcosmx +c; m не равно 0
13) S cos mxdx= 1\m sinmx+c
14) S dx\x-a= ln |x-a| +c
17,
Первообразная ф-ции
Ф-ция F(x) наз-ся первообр ф-цией для ф-ции f(x) на промежутке х, если в кажд точке х
этого промежутка F`(x)=f(x)
Неопред интегр
Совокупн всех первообр для ф-ции f(x) на промежутке х наз-ся неопред интегр от ф-ции
f(x) и обознач S f(x)dx, где S – знак интеграла
f(x) – подинтегр ф-ция, f(x)dx – подинтегр выражение
S f(x)dx=F(x)+C – произв постоянная
F(x)-первообр для f(x)
Осн правила и формулы интегрирования
15) S0dx=c (сonst)
16) S1dx=Sdx=x+c
17) S dx\x=ln|x| +c
18) S e^x dx=e^x +c
19) S sin xdx=-cosx+c
20) Scosxdx=sinx+c
21) S dx\sin^2x=-ctgx+c
22) S dx\cos^2x=tgx+c
23) S dx\1+x^2 dx = arctgx+c
24) S dx\ kor 1-x^2=arcsinx+c
25) S af(x)dx=a Sf(x)dx
26) S sinmxdx = -1\mcosmx +c; m не равно 0
27) S cos mxdx= 1\m sinmx+c
28) S dx\x-a= ln |x-a| +c
Метод замены переменной (метод подстановки)
S(интегр) f(x)dx=S f(фи(t)) фи`(t)dt, где x=фи(t) – ф-ция дифференцируемая на
рассматриваемом промежутке
18,
Первообразная ф-ции
Ф-ция F(x) наз-ся первообр ф-цией для ф-ции f(x) на промежутке х, если в кажд точке х
этого промежутка F`(x)=f(x)
Неопред интегр
Совокупн всех первообр для ф-ции f(x) на промежутке х наз-ся неопред интегр от ф-ции
f(x) и обознач S f(x)dx, где S – знак интеграла
f(x) – подинтегр ф-ция, f(x)dx – подинтегр выражение
S f(x)dx=F(x)+C – произв постоянная
F(x)-первообр для f(x)
Осн правила и формулы интегрирования
29) S(integral)0dx=c (сonst)
30) S1dx=Sdx=x+c
31) S dx\x=ln|x| +c
32) S e^x dx=e^x +c
33) S sin xdx=-cosx+c
34) Scosxdx=sinx+c
35) S dx\sin^2x=-ctgx+c
36) S dx\cos^2x=tgx+c
37) S dx\1+x^2 dx = arctgx+c
38) S dx\ kor 1-x^2=arcsinx+c
39) S af(x)dx=a Sf(x)dx
40) S sinmxdx = -1\mcosmx +c; m не равно 0
41) S cos mxdx= 1\m sinmx+c
42) S dx\x-a= ln |x-a| +c
Метод интегр по частям
Пусть u=u(v) и v=v(x) – дифференц-мые ф-ции. По св-ву диф d(uv)=vdu+udv или
udv=d(uv)-vdu
Интегрируя правую и левые части udv=d(uv)-vdu, получаем
S(integr)udv=uv-S(integral)vdu
19, Каждая формула из таблицы производных элементарных ф-й дает формулу интеграла.
Осн правила и формулы интегрирования
43) S0dx=c (сonst)
44) S(integr) xndx=(1/n+1)*xn+1+C,(n не = -1)
45) S1dx=Sdx=x+c
46) S dx\x=ln|x| +c
47) S e^x dx=e^x +c
48) S ax dx= (ax/ ln a)+c
49) S sin xdx=-cosx+c
50) S cosxdx=sinx+c
51) S dx\sin^2 x=-ctgx+c
52) S dx\cos^2 x=tgx+c
53) S dx\1+x^2 dx = arctgx+c
20, Рациональная ф-я – дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x)- некоторые многочлены от x,
с действит коэф.Рациональная ф-я называется правильной рац. Дробью, если deg(степень)
P(x)< deg Q(x).
С помощью деления с остатком, интнгрирование произвольной рац. ф-и сводится к
интегрированию многочлена и правильной рац. дроби.
В общем случае для интегрирования правильной рац. дроби необходимо разложить
ее в сумму прстейших рац. дробей и проинтегрировать каждую из полученных
простейших дробей.
Простейшими дробями называется –
1. Дроби вида A/x+a - I тип
2. A / (x+a )^n, n>1,
- II тип
3. Ax + B / x^2 +px +q, p^2 -4q<0 - III тип
4. Ax + B / (x^2 +px +q)^n, n>1, p^2 -4q<0 –IV тип
Разложение дроби в сумму простейших дробей можно искать методом неопред.
коэффицентов.
21 § (x,y,…) – рациональная ф-я от x,y,…Подстановка рацианализирует подинтегральную
ф-ю, если после подстановки получается интеграл от рациональной ф-ции.
Интегрир-е ф-ций вида:R(x,(√αx+β ∕ √γx+υ)^n1,(√αx+β ∕ √γx+υ)^n1,…)
Пусть m=Н.О.К корней, кот. здесь присутствуют (n1,n2,…)
t=(√αx+β ∕ √γx+υ)^m=>t^m= αx+β ∕ γx+υ выразим x: x=υt^m-β ∕α-γt^m
dx=((mυt)^m-1(α-γt^m)+mγt^m-1(υt^m-β) ∕ (α-γt^m)²)*dt
(√αx+β ∕ √γx+υ)^n1=t^(m ∕ n1) (m/n1-целое)
x=…-рац dx=(рац.ф.)dt
22, § (sinx,cosx) – рац.тригонометр. ф-я, а также приводящиеся к ним преобразованиями
тригонометр. ф-ций. Любой интеграл такого вида можно рационализировать с помощью
универсальной подстановки: t=tg(x/2)
Убедимся в этом: sinx=2t / 1+t² , cosx=1-t² / 1+t² , x/2=arctgt, x=2arctgt, dx=2dt/1+t²
Обычно, универс.тригонометр. подстановка приводит к очень сложным выражениям.
Прежде, чем использовать универс.тригонометр. подстановку, следует попытаться
упростить подинтегральную ф-ю и применить более простые подстановки (t=sinx, t=cosx,
t=tgx, и т.д.). Полезны, также, бывают ф-лы приведения.
23,
Определенный интеграл
Пусть предел интегр суммы Сумм от n до i=1 f(Ei)xi при стремлении max xi к нулю
существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х1,х2,..и точек Е1,Е2,..Тогда
этот предел наз-ся определ. интегр от ф-ции y=f(x) на [a,b], обознач-ся S от а до b f(x)dx
Достаточное условие существования опред интегр (интегрируемости ф-ции)
Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.
Геом смысл:: y=f(x) – неотриц на отрезке [a,b], где a<b, S от b до a f(x)dx численно равен
площади S под кривой y=f(x) на [a,b]
Ф Ньютна-Лейбница
Т:Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на
[a,b]. Тогда опред интегр от ф-ции f(x) на [a,b] равен приращению первообр F(x) на этом
отрезке, т.е. S от b до a f(x)dx=F(b)-F(a)