Дифракция света. Лабораторная работа № 10

Лабораторная работа № 10
Дифракция света.
Цель работы: наблюдение дифракционных картин от щели, от объекта
с хаотичным расположение рассеивающих частиц,
от дифракционной решетки; расчет основных параметров
объектов и применяемого излучения по дифракционным
картинам.
Введение.
Первое упоминание о дифракционных явлениях появилось ещё в работе
Леонардо да Винчи в 1502 году. Однако, впервые они были описаны
детально в книге Гримальди, опубликованной в 1665 году спустя два года
после его смерти. Вопросами дифракции света занимались Роберт Гук, Томас
Юнг, Исаак Ньютон. Корпускулярная теория, которую считали в то время
правильно описывающей распространение света, не могла объяснить
дифракцию. О возможности объяснить дифракцию с волновых позиций
нигде не упоминалось вплоть до 1818 года, когда появился прекрасный
"Мемуар о дифракции света" Огюстена Жака Френеля, где было показано,
что явления дифракции можно объяснить с помощью построений Гюйгенса и
применяя принцип интерференции. Позднее Кирхгоф (1882) придал
исследованиям Френеля строгое математическое обоснование, и с этого
времени началось широкое изучение дифракции.
Проблемы, возникающие при изучении дифракционных явлений
относятся к наиболее трудным в оптике, и их редко удается довести до
строгого решения. Первое такое решение было получено только в 1896 году
Зоммерфельдом. С тех пор было найдено строгое решение только нескольких
задач, относящихся главным образом к двумерным структурам.
В большинстве же случаев, представляющих практический интерес, изза математических трудностей приходится прибегать к приближенным
методам, и тут теория Гюйгенса и Френеля служит чрезвычайно мощным
орудием, позволяющим решить большинство вопросов, встречающихся в
инструментальной оптике.
Согласно построению Гюйгенса каждую точку волнового фронта можно
считать центром вторичного возмущения, которое вызывает элементарные
вторичные сферические волны.
Френель смог объяснить дифракцию, дополнив построения Гюйгенса
утверждением, что вторичные волны интерферируют между собой.
Различают дифракцию Френеля и дифракцию Фраунгофера.
Их
различие определяется положением точки наблюдения по отношению к
объекту, на котором происходит дифракция и видом волны, падающей на
объект.
В 1821 году Фраунгофер рассмотрел несколько другой тип дифракции,
чем дифракция Френеля - дифракция сферической волны на конечных
расстояниях до объекта. Он использовал плоскую волну, которую легко
получить, поместив точечный источник в фокусе собирающей линзы.
Помещая, затем, различные объекты на пути плоской волны можно
наблюдать различные дифракционные эффекты. Важность фраунгоферовой
дифракции велика. Она находит широкое применение в оптических
приборах, а с момента изобретения лазерных источников, стала основной.
Рассмотрим дифракционные эффекты, возникающие при прохождении
плоской световой волны через щель.
Пусть щель шириной b освещается монохроматическим светом с
длиной волны λ (рис.1). Фронт волны плоский, т.е. имеет место дифракция
Фраунгофера.
Eo
b
x
dx
X
Δ
φ
dEφ
Z
Рис. 1
Ось х направлена вдоль ширины щели. Ось z перпендикулярно
плоскости щели. Пусть элемент волны dx, находящийся во фронте волны и
дошедший до плоскости щели, становится источником вторичных волн.
Рассмотрим амплитуду волны, излучаемую в направлении φ. Тогда dE = Cdx,
где С - коэффициент пропорциональности не зависящий от φ. Суммарная
амплитуда от всей щели Eo запишется, как
b
E o  C  dx  Cb , тогда C 
0
Eo
.
b
В направлении φ элемент фронта волны пошлет амплитуду
dE 
Eb
E
exp i t  k   o exp i t  kxSin  .
b
b
Просуммируем элементарные вторичные волны от элемента dx по
направлению φ по всей щели.
b
Eo b
Eo
E 
 exp i t  kx Sin dx  b exp i t  exp  ikx Sin  dx 
b o
o

Eo
exp  ikb Sin   1
exp i t
.
b
 ik Sin 
1
Умножив числитель и знаменатель на exp ikb Sin  и применив
2
формулу Эйлера, получим
1
Sin kbSin 
1

 Eo
2
E   exp it  i kbSin  
.
1
2
b


kSin 
2
Временной множитель не влияет на распределение интенсивности в
пространстве, и поэтому перейдем к интенсивности, учитывая, что Iφ = Eφ
Eφ*, окончательно получим
Sin 2 u
d
I  Io
,
где
u

Sin  .

u2
Исследуем это уравнение распределения интенсивности в направлении φ.
Если φ = 0, то I = Io.
Если φ ≠ 0, то нулю все же может равняться числитель при других
условиях.
Этому
условию
удовлетворяет
уравнение
bSin   m, где m  1,2,3,.... - минимумы дифракции.
Рис. 2
На рис. 2 представлено графически распределение относительной
интенсивности при дифракции на щели. Максимумы этой функции очень
малы. Если принять Io = 1000, то I1 = 47, I2 = 17 и т.д.
Ширину дифракционного нулевого максимума при малом φ можно
записать

  2 ,
b
т.е. при увеличении размера щели ширина максимума уменьшается и,
наоборот, при уменьшении - увеличивается.
Рассмотрим теперь дифракцию Фраунгофера при падении плоской
волны на отверстие произвольной формы. В отличие от щели здесь волны
дифрагируют во всех направлениях. Каждое направление дифрагировавших
волн характеризуется единичным вектором s (рис. 3).
x
s
dS
r
s
0
z
y
Рис. 3
Пусть отверстие лежит в плоскости xy. Разность хода идущих по
направлению s вторичных волн из элемента dS этого отверстия и из начала
координат О равна проекции вектора r, определяющего положение dS в
плоскости xy, на направление s, т.е. r s. В соответствии с принципом
Гюйгенса-Френеля напряженность электрического поля световой волны в
направлении s пропорциональна интегралу по всей площади отверстия:
E   E (r ) exp(ikr) dS ,
S
где k = ks - волновой вектор светового излучения. Напряженность Е(r) в
плоскости xy считается равной напряженности поля падающей волны в
пределах отверстия и равной нулю за его пределами. Понимая функцию
Е(x,y) именно так, можно распространить интегрирование на всю плоскость
xy:
E(k x , k y )   Ex, y  exp  i k x x  k y y dxdy .
Отсюда видно, что поле в фраунгоферовой дифракционной картине
представляет собой двумерное преобразование Фурье функции Е(x,y),
описывающей поле в плоскости xy.
Большой практический интерес представляет дифракция на круглом
отверстии, так как в оптических приборах оправы линз и объективов, а также
диафрагмы имеют обычно круглую форму. При вычислении двумерного
интеграла целесообразно перейти к полярным координатам ρ и φ в
 

плоскости отверстия:
x = ρ cos (φ), y = ρ sin (φ). Направление s
дифрагировавшей волны, удобно характеризовать углом θ с осью z и
азимутальным углом ψ: kx = ksin θ cos ψ, ky = ksin θ sin ψ. Тогда kx + ky =
= kρsin θ cos(φ - ψ) и интеграл для напряженности поля примет вид
a 2
E  E o   exp  ik sin  cos    d d.
o o
Здесь а - радиус отверстия. Используя интегральное представление для
бесселевых функций, вычислим этот интеграл. Результат даст следующее
радиальное распределение интенсивности в дифракционной картине:
a
I   I o 2 J 1 u  / u 2 , u  ka sin   2 sin .

График этой функции очень похож на график интенсивности рассеяния
от щели. Функция имеет главный максимум при u = 0 и с ростом u
осциллирует с быстрым уменьшением амплитуды. Угловые радиусы темных
колец равны 0,61λ/а; 1,12λ/а; 1,62λ/а; 2,12λ/а … . Эффективный размер
дифракционной картины здесь обратно пропорционален размеру отверстия.
Интенсивность максимумов быстро уменьшается. Поэтому центральный
максимум, имеющий угловой радиус θ = 0,61λ/а, можно рассматривать как
изображение точечного источника, уширенное дифракцией на круглом
отверстии радиусом а. Соотношение играет важную роль в вопросе о
разрешающей силе оптических инструментов.
Особый интерес представляет случай, когда в экране имеется большое
число одинаковых, круглых отверстий. При хаотическом, беспорядочном,
расположении отверстий фазовые соотношения между волнами от отдельных
отверстий имеют случайный характер. Поэтому для каждого направления
наблюдения происходит простое сложение интенсивностей волн,
дифрагировавших от всех отверстий. Распределение интенсивности в
дифракционной картине от одного отверстия не зависит от его положения.
От большого числа N отверстий получается такая же картина, но усиленная
по интенсивности в N раз.
При правильном, регулярном расположении отверстий, когда их
ориентация и расстояния между ними одинаковы, разность фаз между
дифрагировавшими волнами имеет определенное значение. В направлениях,
для которых разность фаз кратна 2π, амплитуда дифрагировавших волн в N
раз больше, а интенсивность в N 2 раз больше чем от одного отверстия. Такое
резкое увеличение интенсивности имеет большое практическое применение.
Случай регулярного расположения отверстий рассмотрим на примере
дифракционной решетки.
Пусть имеем правильную структуру из N щелей (рис. 4). От элемента dx
n-ой щели распространяется элементарная волна dEφ.
E
dE n  o exp i t  k n  1d  x  Sin  dx.
b
Вся n - ая щель пошлет волну в виде
E n
b
Eo

exp i t  kd n  1Sin   exp  ikxSin  dx.
b
0
Eo
d
b
φ
z
x dx
x
Δ
dEnφ
Рис. 4
Интеграл нам уже знаком тем, что он представляет дифракцию от одной
щели, в этом случае
Sin u
E n  exp i t  kd n  1 Sin  E o
.
u
Для нахождения действия всех щелей необходимо просуммировать
амплитуды от каждой щели по N щелям.
N
Sin u
E    exp i t  kd n  1 Sin  E o
.
u
n 1
Sin u
Член E o
не зависит от n, тогда его выносим за знак суммы и,
u
d
обозначив
Sin    , получим следующее выражение

E o Sin u N
E 
 exp i 2n  1.
u
n 1
Сумма представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем
q  exp  2i . Учитывая это и, что I = E·E*, окончательно получаем
2
Sin 2 u  1  exp(2iN) 
Sin 2 u Sin 2 N

  I o
I  Io

,
u 2  1  exp  2i  
u2
Sin 2 
b
d
Sin ,

Sin .
где u 


Множитель Sin2u/u2 характеризует распределение интенсивности в
результате дифракции плоской волны на одной щели, а множитель
(Sin Nδ/Sin δ)2 учитывает интерференцию между пучками, исходящими от
всех щелей. На рис. 5 представлен график распределения интенсивности в
дифракционной картине от решетки из пяти щелей, причем соотношение
d/b=5. Штриховой линией изображен график функции без учета действия
щели, т.е. I/Io = (Sin Nδ/Sin δ)2.
Анализ полученных результатов позволяет сделать ряд важных выводов.
При нулевом значении угла φ=0 относительная интенсивность
пропорциональна N2. Такие же значения получаются для случая, если
πd/λ·Sinφ=mλ, где m = ± 1, 2, 3, …. Это есть ни что иное, как условие
положения дифракционных максимумов, которое принято записывать в виде
d sin   m - формула дифракционной решетки.
Однако, если учитывать и первый член в уравнении интенсивности
рассеяния, т.е. множитель обусловленный действием щели, то вид
дифракционной картины изменяется. Дифракционные максимумы
изменяются в интенсивности и наблюдаются только при таких углах, при
которых оба члена уравнения не нулевые.
Для того чтобы выяснить условие минимумов следует обратить
числитель уравнения интенсивности в нуль, при не нулевом знаменателе.
Nd
k
Это возможно при
, где k = ± 1,2,3,…. В
Sin   k или d Sin  

N
этом случае k/N ≠ m, так как m входит в выражение знаменателя
уравнения
Рис. 5
интенсивности и обнуляет его. Необходимо исключит это условие. Такое
возможно при k ≠ 0, k ≠ N, k ≠ 2N и т.д., другими словами - между двумя
главными максимумами будет находится (N – 1) минимум. Минимумы будут
разделятся (N – 2) побочными максимумами, интенсивность которых очень
мала.
Анализ, проведенный выше, предполагал, что λ = const. Если на решетку
будет падать белый свет, то из условия d sin   m видим, что для
различных длин волн углы дифракции будут различны и чем больше длина
волны, тем больше угол дифракции при постоянном периоде решетки. Таким
образом, все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр. При
больших порядках дифракции возможно перекрывание спектров соседних
порядков. Это свойство дифракции, дисперсию, стали использовать в
спектральных исследованиях.
Угловая дисперсия - это характеристика дифракционной решетки как
спектрального дисперсионного прибора. Она выражается соотношением

,
D

и показывает, на какое угловое расстояние разойдутся две спектральные
линии, отличающиеся на δλ. Чтобы найти угловую дисперсию
дифракционной решетки из её параметров возьмем полный дифференциал от
формулы решетки
d
m
m
d Sin   m, dCos  d  md, тогда

 .
d dCos  d
Из полученного выражения следует, что угловая дисперсия обратно
пропорциональна периоду решетки и прямо пропорциональна порядку
дифракционного максимума.
Описание экспериментальной установки.
В работе используется распространенная в лабораторной практике
решетка, представляющая собой стеклянную или пластиковую пластинку, на
которую с помощью делительной машины специальным алмазным резцом
нанесен ряд параллельных штрихов.
Для измерения угла отклонения применяется гониометр Г-5.
Источником исследуемого излучения является ртутная лампа.
При исследовании дифракции на щели и хаотично расположенных
круглых частичках одинакового размера применяется в качестве источника
гелий неоновый лазер. Рассеянное объектом излучение лазера фиксируется
коллимированным фотоприемником, установленным на препаратоводителе и
позволяющим отсчитывать линейное перемещение фотоприемника с
точностью 0,5 мм.
Измерения и обработка результатов.
Задание 1. Получение дифракционной картины от одной щели и расчет
ширины раскрытия этой щели.
1. Включить питание лазера (выполняет преподаватель или инженер).
2. На пути лазерного излучения поместить объект исследования (щель) и
юстируя её положение относительно луча лазера, получить на экране,
расположенном на расстоянии l от щели, отчетливую и устойчивую
дифракционную картину.
3. Установить окно фотоприемника на центральный максимум, а затем
сдвинуть его на три - четыре порядка вдоль дифракционных максимумов.
Затем, перемещая фотоприемник в обратном направлении вдоль
дифракционных максимумов шагом в 1 мм, считывать показания цифрового
вольтметра, пропорциональные интенсивности излучения. Результаты
измерений свести в таблицу для дальнейшей компьютерной обработки.
λ
(нм)
632,8
l
m
aпр
алев
a пр  а лев
2l
 tg 
Таблица 1.
_
m
b
b
Sin 
1
2
3
Задание 2. Получение дифракционной картины от препарата
ликоподия и расчет размеров частиц спор плауна.
1. Убрать щель и на её место поместить препарат ликоподия (споры
растения плауна). Получить на экране отчетливую дифракционную картину
в виде одной или двух концентрических размытых окружностей.
2. Установить окно фотоприемника в центр дифракционной картины.
Сместить при помощи микрометрических винтов окно в крайне положение
относительно центра картины и сдвигая окно фотоприемника в обратном
направлении шагом 1мм, считать показания цифрового вольтметра,
пропорциональные интенсивности дифракционного рассеяния. Результаты
измерений записать в таблицу. Произвести, необходимое при расчетах,
измерение расстояния от объекта до экрана и записать эту величину в
таблицы 1 и 2.
Таблица 2.
λ
_
a пр  а лев

tg

(нм)
l
aпр
алев
r
r
m
2l
1

0
.
61
632,8
Sin 
2

1.12
Sin 
3. Используя
программу "Advanced Grapher", построить графики
зависимости относительной интенсивности от угла рассеяния. Используя
положение минимумов дифракции и длину волны излучения лазера,
рассчитать
ширину щели и размер спор плауна. Результаты свести в
соответствующие таблицы 1 и 2.
Задание 3. Определение постоянной дифракционной решетки.
Для определения постоянной решетки применяем излучение наиболее
ярких линий спектра ртути.
Включите ртутную лампу и, передвигая зрительную трубу гониометра,
добейтесь яркого изображения щели. Поворачивая зрительную трубу до
совмещения креста нитей с первым левым фиолетовым изображением щели
(максимум первого порядка), снимите отсчет угла φлев. Поверните
зрительную трубу до совмещения креста нитей с первым правым
фиолетовым изображением щели и снимите отсчет угла φпр. Такие же
измерения проделайте для желтой и зеленой линий спектра, как первого так и
второго порядков. Пользуясь формулой дифракционной решетки и
значениями длин волн желтой и фиолетовой линий спектра определите
постоянную решетки d. Результаты измерений, расчетов и постоянные
величины сведите в таблицу 3.
Таблица 3
λ
_
m
 пр   лев

d


m
(нм)
m
φпр
φлев
d
Sin  m
2
437
1
2
579
1
2
Задание 4. Определение длины волны зеленой линии спектра ртути.
Пользуясь формулой дифракционной решетки и вычисленным в третьем
задании значением постоянной решетки, рассчитайте длину волны зеленой
линии спектра ртути. Результаты измерений удобно свести в таблицу 4.
d
m
φпр
φлев
 пр   лев
2
 m

d Sin 
m
Таблица 4.
_
d
λ
d
1
2
Задание 5. Определение дисперсии решетки.
Определите разность углов отклонения для желтой и зеленой линий в
спектрах первого и второго порядка. Используя эту разность и разность
угловых положений соответствующих линий, вычислите угловую дисперсию
решетки для первого и второго порядков. Результаты запишите в таблицу 4.
Список рекомендуемой литературы:
1. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука. 1976.
2. Бутиков Е.И. Оптика. М.: Высшая школа. 1986.
3. Сивухин Д.В. Курс общей физики. Оптика. М. 1986г.
4. Савельев И. В. Курс общей физики. Т 2, 3 изд, испр. М.: Наука. 1982г.
5. Гершензон Е.М., Малова Н.Н. Лабораторный практикум по общей
физике. М.: Просвещение, 1985.
Приложение
Краткое описание гониометра Г-5
и методики работы с прибором.
Оптическая схема гониометра приведена на рис 10. На рисунке
изображен коллиматор 1, в передней фокальной плоскости которого
расположена узкая щель и зрительная труба 2, которая в фокальной
плоскости окуляра дает изображение щели коллиматора.
5
2
3
1
4
Рис. 10
Если свет содержит несколько длин волн, то возникает, ряд
изображений щели, соответствующих этим длинам волн (линейчатый
спектр); как это наблюдается в работе № 7.2, 11. Окуляр зрительной трубы 3
снабжен автоколлимационным устройством, позволяющим установить ось
зрительной трубы строго
параллельно оси коллиматора или
перпендикулярно некоторой плоскости.
Внешний вид гониометра показан на рисунке 11.
Здесь 1 - микрометр, регулирующий
ширину входной щели
коллиматора, 2 - фокусировочный винт коллиматора, 4 - юстировочный винт
предметного столика 3, 5 - фокусировочный винт зрительной трубы, 7 окуляр зрительной трубы, 8 - окуляр отсчета показаний по шкале лимба, 9 маховик оптического микрометра.
Зрительная труба укреплена на подвижном кронштейне, который можно
поворачивать вокруг предметного столика (вокруг его вертикальной оси).
С помощью винта 11 можно точно наводить визирный крест зрительной
трубы на нужную спектральную линию или другое изображение
коллиматора.
На рисунке 12 показано, как выглядит поле зрения отсчетного
микроскопа 8. В левом окне наблюдаются изображения диаметрально
противоположных участков лимба и вертикальный индекс для отсчета
градусов, в правом окне - деления шкалы оптического микрометра
горизонтальный индекс для отсчета минут и секунд.
7
5
3
4
9 и
2
8
1
9
10
11
Рис. 11
Чтобы снять отсчет по лимбу, необходимо повернуть маховик 9
оптического микрометра (см. рис. 12) настолько, чтобы верхние и нижние
изображения штрихов лимба в левом окне точно совместились.
295
17
116
296
297
5
0
5
10
5
20
115 11
Рис. 12
Число градусов определяется видимой ближайшей левой от
вертикального индекса цифрой. Число десятков минут равно числу
интервалов, заключенных между верхним штрихом, который соответствует
отсчитанному числу градусов, и
отличающимся от верхнего на 180о.
нижним
оцифрованным
штрихом,
Единицы минут отсчитываются по шкале микрометра в правом окне по
левому ряду чисел, а десятки секунд - в том же окне по правому ряду чисел.
Число единиц секунд равно числу делений между штрихами,
соответствующих отсчету десятков секунд, и неподвижным горизонтальным
индексом. Например, положение, показанное на рисунке 12, соответствует
отсчету 295о 45' 02".