Оригинал работы
реклама
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 1 из 115
Государственное профессиональное образовательное учреждение
Ярославской области Ярославский градостроительный колледж
Учебно-методическое пособие по организации
самостоятельной внеаудиторной работы студентов
по дисциплине
Элементы высшей математики
для специальностей
09.02.02 КОМПЬЮТЕРНЫЕ СЕТИ
09.02.04 ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ (ПО
ОТРАСЛЯМ)
по программе базовой подготовки
Ярославль 2014 г.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 2 из 115
Авторы:
Холманова В. М., преподаватель математики высшей квалификационной
категории ЯГК;
Шереметьева Н.В., преподаватель математики высшей квалификационной
категории ЯГК
Аннотация
Данная работа представляет собой учебно-методическое пособие по организации
самостоятельной внеаудиторной работы студентов по дисциплине «Элементы
высшей математики» (раздел «Основы математического анализа», темы «Теория
пределов. Непрерывность», «Дифференциальное
действительной
действительной
переменной»,
переменной»).
«Интегральное
Пособие
исчисление функции одной
исчисление
предназначено
функции
для
одной
студентов
специальностей 09.02.02 «Компьютерные сети», 09.02.04 «Информационные
системы» (по отраслям) базовой подготовки.
Работа включает в себя рекомендации по работе с данным учебным пособием,
задания для самостоятельной внеаудиторной работы, методические рекомендации
по их выполнению с образцами решения типовых задач, основными правилами и
формулами, а также критериями оценки выполнения самостоятельной работы. В
пособии представлены не только типовые задания, но и задачи повышенного уровня
для студентов, увлеченных математикой, задания с нестандартной формулировкой,
позволяющие вскрыть интересные факты из жизни гениальных математиков.
Данная работа – часть комплекса, включающего в себя курс лекций, пособие по
проведению практических занятий, тесты в программной оболочке по всем темам
курса.
Материалы, изложенные в пособии, помогут студентам систематизировать и
закрепить полученные на аудиторных занятиях по математике теоретические
знания,
сформировать
практические
познавательную деятельность.
навыки,
активизировать
учебно-
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 3 из 115
СОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Рекомендации по работе с учебно-методическим пособием . . . . . . . . . . . . .
9
Рекомендации по выполнению разных видов самостоятельной работы . .
10
Задания для самостоятельной работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Раздел 3. Основы математического анализа
Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность
Задание 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Задание 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Задание 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной
действительной переменной
Задание 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Задание 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Задание 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Задание 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Задание 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Задание 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Задание 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Задание 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
80
85
88
90
95
99
102
104
109
Критерии оценки выполнения самостоятельной работы. . . . . . . . . . . . . . . .
112
Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 4 из 115
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Согласно требованиям государственного образовательного стандарта среднего
профессионального образования каждый студент обязан выполнить по каждой
учебной дисциплине определенный объем внеаудиторной самостоятельной работы.
Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы
составлены для студентов специальностей 09.02.02 «Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» (по отраслям) базовой подготовки. Цель методических
указаний
состоит
в
обеспечении
эффективности
самостоятельной
работы,
определении ее содержания, установления требований к оформлению и результатам
самостоятельной работы.
Целями самостоятельной работы студентов по дисциплине «Элементы
высшей математики» являются:
систематизации
и
закрепления
полученных
теоретических
знаний
и
практических навыков;
развитие навыков применения полученных знаний при решении конкретных
прикладных задач;
углубление и расширение теоретических знаний;
формирование
умений
использовать
справочную
и
дополнительную
литературу;
развитие познавательных способностей и активности студентов, творческой
инициативы, самостоятельности и самоорганизации;
активизации учебно-познавательной деятельности будущих специалистов.
Рабочей
программой
дисциплины
«Элементы
высшей
математики»
предусмотрены следующие виды внеаудиторной самостоятельной работы:
1. изучение материала лекций или учебника, составление конспектов;
2. решение задач;
3. подготовка докладов, сообщений;
4. подготовка презентаций;
5. выполнение домашних контрольных работ.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 5 из 115
Содержание самостоятельной работы по каждой теме, количество часов,
предусмотренных на ее выполнение, формы контроля выполнения работы
представлены в следующей таблице:
Название раздела и темы
№
задания
Тематика самостоятельной
внеаудиторной работы
Объем Виды отчётных
в часах
работ
Раздел 3.
Основы
математического
анализа
Тема 3.1.
Теория пределов.
Числовая
1
Непрерывность.
последовательность и её
решение задач,
1
предел
составление
конспекта
Вычисление предела
2
функции в точке и на
2
решение задач
2
решение задач
бесконечности
3
Точки разрыва функции, их
классификация
Тема 3.2.
Нахождение производных
Дифференциальное
и дифференциалов
подготовка
исчисление функции
функций
докладов,
одной действительной
4
решение задач
2
переменной
рефератов,
презентаций
(по выбору
студента)
5
Нахождение производных
высших порядков
1,5
решение задач
1,5
решение задач
1
решение задач
Нахождение пределов
6
функций по правилу
Лопиталя
7
Исследование функции на
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 6 из 115
возрастание и убывание
8
Исследование функции на
экстремумы
1
решение задач
1
решение задач
1
решение задач
Исследование выпуклости9
вогнутости графика
функции, определение
точек перегиба
10
Нахождение асимптот
графика функции
Полное исследование
11
функции и построение
домашняя
2
графика
Тема 3.3.
Нахождение
Интегральное
неопределённых
исчисление функции
12
интегралов методом
одной действительной
непосредственного
переменной
интегрирования
контрольная
работа
1
решение задач
2
решение задач
1
решение задач
1
решение задач
1
решение задач
Нахождение
13
неопределённых
интегралов методом
подстановки
Нахождение
14
неопределённых
интегралов методом по
частям
Нахождение
15
неопределённых
интегралов различными
методами
16
Нахождение определённых
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 7 из 115
интегралов методом
непосредственного
интегрирования
Нахождение определённых
17
интегралов методом
1
решение задач
1
решение задач
1
решение задач
подстановки
Нахождение определённых
18
интегралов методом по
частям
Нахождение определённых
19
интегралов различными
методами
Приложения
20
домашняя
определённого интеграла
2
контрольная
работа
21
Нахождение
несобственных интегралов
Итого
1
решение задач
28
Каждое задание включает в себя:
название раздела (в соответствии с рабочей программой);
название темы;
цель выполнения работы;
формулировку заданий для самостоятельной внеаудиторной работы:
- задания, предполагающие актуализацию теоретических знаний;
- задания для письменного решения;
- дополнительные задания повышенного уровня сложности;
- интересные задания, направленные на развитие познавательной
активности студентов посредством открытия фактов из истории жизни и
деятельности творцов науки;
методические указания по выполнению работы;
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 8 из 115
список литературы.
Хочется верить, что данное пособие поможет студентам в правильной организации
их самостоятельной работы, даст возможность получить прочные и глубокие
знания, добиться хорошо сформированных умений по дисциплине «Элементы
высшей математики», а главное - может послужить ступенькой к их дальнейшему
самосовершенствованию и творческой самореализации.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 9 из 115
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАБОТЕ С УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИМ ПОСОБИЕМ
Уважаемые студенты!
Прежде чем приступить к выполнению заданий, прочтите рекомендации по работе с данным
учебно-методическим пособием.
Главное, чему Вы должны научиться при изучении математики – умению мыслить,
анализировать, рассуждать, и, конечно же, решать задачи.
Каждая задача по математике – особенная, и нужно постараться найти путь, ключ к ее решению.
Последовательно выполняя задания из предложенного пособия, Вы освоите материал трёх тем из
раздела «Математический анализ», без знания которых невозможно стать специалистом в
области современных компьютерных технологий.
Не торопитесь сразу же решать задачи, заданные преподавателем!
Внимательно изучите теоретический материал!
Такие задания в пособии обозначены символом .
Затем постарайтесь самостоятельно решить задачи.
Не забудьте выписать исходные данные, решение, ответ.
Задания для письменного решения обозначены в пособии символом,
а задачи с интересной формулировкой – символом .
Если Вы никак не можете отыскать ключ к решению задачи, внимательно прочтите
методические указания по выполнению работы. В них вы найдете:
основные правила, формулы, теоремы;
указания, как решать задачи данного типа;
разобранные примеры решения ключевых задач.
Если Вас заинтересовала эта тема, Вы хотите испытать себя и решить более сложные
задачи, то попробуйте решить задачи, обозначенные символом . Техники и приёмы
решения подобных задач могут с успехом быть Вами использованы при подготовке к
олимпиадам по Вашей специальности.
Если Вы хотите узнать о критериях оценки, которые поставит Вам преподаватель за
выполненную работу, обратитесь к критериям оценки (стр. 112)
Помните, что работа должна быть выполнена к следующему занятию по дисциплине!
Успехов Вам!!!
Если знания, полученные на занятии, не кажутся Вам исчерпывающими, обратитесь
к списку рекомендуемой литературы (стр. 115).
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 10 из 115
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗНЫХ ВИДОВ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Как самостоятельно изучить теоретический материал
Прежде чем приступать к решению задач, необходимо внимательно изучить
теоретический материал учебника или конспект лекции.
Советуем Вам соблюдать следующие правила:
Правило 1. Внимательно прочтите материал несколько раз. Это не займет много
времени,
но
совершенно
необходимо,
так
как,
какими
бы
большими
математическими способностями ни обладал человек, после одного-двух прочтений
нового материала обычно невозможно полноценно усвоить его содержание.
При первом прочтении нужно ставить цель - понять, а не запомнить. Обычно
для достижения хорошего понимания материала одного прочтения мало. К тому же
часто приходится, полистав книгу или конспект лекций, припомнить кое-что из
ранее изученного.
А для того, чтобы хорошо запомнить главное (основные утверждения, формулы и
т.п.) необходимо второе, а иногда и третье прочтение.
Правило 2. Повторите по памяти формулировку основных правил, понятий,
теорем из изученного параграфа. Только тогда вы приобретете знания, ради которых
изучается курс.
Правило 3. Разберите типовые примеры и решение ключевых задач по данной теме.
Тогда Вы поймете, как усвоенные теоретические знания могут применяться в различных
ситуациях.
Правило 4. Ответьте на контрольные вопросы, не заглядывая в книгу или в
тетрадь. Обычно контрольные вопросы приведены в конце каждого параграфа учебника.
Попробуйте оценить свои знания, сравнив свой ответ с текстом книги или конспекта
лекции.
Правило 5. Самостоятельно решите предложенные задачи по данной теме.
Только при выполнении всех этих правил Вы можете быть уверены, что
теоретический материал по данной теме Вами усвоен.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 11 из 115
2. Как решать задачи (методика Д. Пойа)
Понимание постановки задачи
Нужно ясно понять
задачу
Внимательно прочтите условие задачи. Четко определите для
себя, что дано в условии задачи, а что требуется найти.
Спросите себя, что означают понятия, о которых идет речь в
задаче. И ответьте себе.
Если же ответить сразу не удается, то ответ надо поискать,
например, в теоретической части курса. Иначе для Вас задача
может оказаться неразрешимой.
Составление плана решения
Нужно найти связь
Ответьте на вопрос: как взаимосвязаны понятия в задаче?
между данными и
Именно благодаря взаимосвязи понятий задачу удается
неизвестными. В
решить. Чаще всего такие взаимосвязи предстают в виде
конечном итоге
формул, формулировок теорем, а некоторые из них задаются
нужно перейти к
формулировкой задачи.
плану решения.
Знаете ли Вы теорему (теоремы), формулы, которые
помогут в решении?
Известна ли Вам похожая задача? Нельзя ли использовать
метод ее решения?
Все ли данные нами были использованы?
Приняты ли во внимание все существенные понятия,
содержащиеся в задаче?
Осуществление плана
Нужно
Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой
осуществить план
шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен?
решения
Сумеете ли вы доказать, что он правильный?
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 12 из 115
Взгляд назад (изучение полученного решения)
Нужно изучить
Нельзя ли проверить найденный результат?
найденное решение
Нельзя ли проверить ход решения?
Нельзя ли получить тот же результат иначе?
Нельзя ли увидеть его сразу?
Помните! Вы должны не только решить задачу, но и грамотно оформить ее
решение.
Оформление решения задачи включает в себя:
запись исходных данных;
что требуется найти по условию задачи;
собственно решение задачи с указанием используемых формул и теорем;
запись ответа.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 13 из 115
3. Как выполнить домашнюю контрольную работу
1. Ознакомьтесь с темой работы.
2. Прочитайте цели выполнения работы.
3. Внимательно изучите задание (обратите внимание на номер своего варианта). Все
ли понятия, о которых идет речь в задании, Вам известны? Если нет, то
обратитесь к лекциям, учебнику или изучите материал, предлагаемый в указаниях
по решению работы.
4. Ознакомьтесь с пояснениями к решению работы.
5. Приступите к выполнению расчетов (опираясь на приведенные формулы или
алгоритмы).
6. Проанализируйте полученные результаты: нет ли противоречий с теорией?
Проверьте правильность проведенных вычислений.
7. Оформите отчет о выполнении домашней контрольной работы в тетради для
практических работ по следующему образцу:
Домашняя контрольная работа.
Тема «_____________________________________________»
Вариант №__.
Цель работы:
_______________________________________________________________________
1. Исходные данные./выпишите функцию для исследования/
2. Исследовательская часть./исследуйте функцию в соответствии с предложенным
алгоритмом /
3. Построение графика функции./помните, что построение графика необходимо
выполнять аккуратно карандашом, используя линейку, в заданной на плоскости
прямоугольной декартовой системе координат (не забывайте подписывать название
осей, задавать единицы измерения и соблюдать масштаб)/
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 14 из 115
4. Как подготовить доклад
Помните, что доклад – публичное сообщение на определенную тему.
Доклад имеет следующую структуру:
план;
основную часть;
выводы и обобщения;
список использованной литературы.
При подготовке доклада удобно соблюдать следующий порядок работы:
1. Подберите литературу по изучаемой теме, познакомьтесь с ее содержанием.
2. Отметьте или выпишите ключевые моменты, раскрывающие данную тему.
Продумайте, как можно изложить основной текст кратко, но с минимальными
информационными потерями: что исключить? что обобщить?
3. Составьте план доклада.
4. Используя составленный план, напишите текст доклада:
в начале доклада необходимо обосновать выбор темы, показать ее
актуальность; чтобы доклад был интересен слушателям, сформулируйте
проблемный или оригинальный вопрос по теме выступления;
в основной части доклада раскройте каждый пункт плана; старайтесь
использовать только понятную Вам информацию, иллюстрируя ее яркими,
образными, запоминающимися примерами;
в заключении доклада кратко изложите основные мысли, затронутые в докладе;
выразите свое отношение к излагаемой теме и ее содержанию; для
резюмирования можно использовать фразы: «таким образом…», «итак…»,
«можно
утверждать…»,
«основная
идея,
следовательно,
сводится
к
следующему…», «подытожим сказанное…».
5. Прочитайте текст доклада и отредактируйте его.
6. Оформите текст доклада в соответствии со структурой. Если Вы будете
набирать текст доклада на компьютере, то используйте шрифт Times New Roman
№ 12, междустрочный интервал одинарный, поля по 2 см, снизу по центру –
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 15 из 115
нумерация страниц. По-возможности текст доклада могут иллюстрировать
картинки и фотографии.
7. Оформите титульный лист следующим образом:
Государственное профессиональное образовательное учреждение
Ярославской области Ярославский градостроительный колледж
Доклад на тему «_______________________»
Дисциплина: Элементы высшей математики
Выполнил: студент группы ________________________
Проверил: преподаватель_________________________
Ярославль, ____ год
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 16 из 115
5. Как создать презентацию
Помните, что презентация – это последовательность слайдов с текстовой
информацией и визуальными материалами (рисунками, фотографиями,
диаграммами, видеороликами).
Презентация по заданной тематике должна иметь следующую структуру:
1. титульный слайд (название работы, авторы);
2. план презентации (желательно наличие гиперссылок для удобства перехода к
нужным слайдам);
3. основная часть;
4. заключение (краткое изложение основных мыслей, отношение автора к
излагаемой теме и ее содержанию);
5. список использованной литературы.
При подготовке презентации удобно соблюдать тот же порядок работы, что и
при подготовке доклада.
При оформлении презентации продумайте, как будет представлена информация
на каждом слайде. Используйте следующие рекомендации:
1. По содержанию информации:
используйте короткие слова и предложения, выражающие основную
мысль;
минимизируйте количество предлогов, наречий, прилагательных;
дополните текстовую информацию визуальными материалами
(фотографиями, формулами, рисунками…);
структурируйте информацию, выделяйте ключевые слова, термины,
понятия.
2. По объёму информации:
не заполняйте один слайд слишком большим объемом информации;
используйте не более 7 строк на слайде.
3. По расположению информации на слайде:
отдавайте предпочтение горизонтальному расположению информации;
продумайте подписи изображений.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 17 из 115
4. По оформлению слайдов:
соблюдайте единый стиль оформления презентации.
при выборе шрифта
используйте шрифты без засечек (Arial, Franklin и др.);
для заголовков – размером не менее 24 пунктов;
для информации – размером не менее 18 пунктов;
для выделения применяйте жирный шрифт или курсив.
при выборе цвета:
для фона выбирайте светлые тона;
для фона и текста используйте контрастные цвета;
на одном слайде применяйте не более трёх цветов.
при выборе эффектов анимации:
анимационные эффекты не должны отвлекать от содержания
информации на слайде;
не применяйте анимации к заголовкам на пустом слайде.
6. Как составить конспект по теме
1. Выпиши тему, по которой необходимо составить конспект.
2. Внимательно изучи материал учебника, рекомендованного преподавателем (см.
рекомендации 1). Выдели ключевые моменты, раскрывающие данную тему.
3. Составь план темы, по которой нужно выполнить конспект, включающий в себя:
основные понятия;
основные формулы и теоремы.
4. Проработай основные понятия темы:
дай определение каждого понятия и запиши его;
вычлени ведущие свойства понятия, по которым оно отличается от других
понятий;
приведи примеры, конкретизирующие данное понятие, и запиши их;
продумай область применения понятия.
5. Проработай теоремы и формулы, встречающиеся в данной теме:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 18 из 115
запиши формулировку теоремы;
выпиши доказательство теоремы;
проиллюстрируй на примерах приложение формулы или теоремы к решению
задач.
6. Ответь на контрольные вопросы, предложенные в учебнике.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 19 из 115
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность
Задание 1. Числовая последовательность и её предел - 1 ч.
Цель: формирование умения классифицировать числовые последовательности и
вычислять их пределы.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
1.1.Выучите
определение
числовой
последовательности,
видов
числовой
последовательности (возрастающей, убывающей, ограниченной), предела числовой
последовательности.
1.2.
Выпишите
первые
пять
членов
числовой
последовательности,
классифицируйте данную последовательность по критериям монотонности и
ограниченности, найдите её предел:
7 n2
1
1
n
5
;
б)
а
=
;
в)
а
=
;
г)
а
=
.
2
1
n
n
n
n
n2
2n 2 3n
а) аn=
1.3. Используя материал учебника, составьте конспект по теме «Бесконечно малые
и бесконечно большие числовые последовательности, число е» по следующему
плану:
определение бесконечно малой числовой последовательности, пример такой
последовательности;
определение бесконечно большой числовой последовательности, пример
такой последовательности;
теорема, устанавливающая связь между бесконечно малыми и бесконечно
большими числовыми последовательностями;
теорема Вейерштрасса (признак существования предела последовательности);
числовая последовательность, приводящая к числу е.
1.4. Найдите предел числовой последовательности:
n
2n 3
1
1
5
а) a n 1 ; б) a n 1 ; в) a n 1 ; г) an
3n
n
n
2n
4n
2n
n
4
.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 20 из 115
1.5. Используя дополнительную литературу, найдите апории философа Зенона
Эллийского (490-430 г. до н.э.) - задачи, содержащие в себе противоречия.
Попробуйте объяснить причину возникающих противоречий с точки зрения
математики. Возможно ли решение этих задач на основании понятия предела
последовательности?
Методические указания по выполнению работы:
Знание следующего теоретического материала будет Вам полезно при
классификации и нахождении предела числовой последовательности.
Бесконечной числовой последовательностью называется функция an f (n) ,
заданная на множестве натуральных чисел (п N). Для обозначения числовой
последовательности принята следующая запись: {аn}.
Последовательность {аn} называется убывающей, если каждый последующий
член
последовательности
меньше
или
равен
предыдущему,
т.е.
если
a1 а 2 а3 ... аn an1 ... ( a n a n1 ) для всех п N.
Последовательность {аn} называется возрастающей, если каждый последующий
член последовательности больше или равен предыдущему ( аn an1 ).
Последовательность {аn} называется ограниченной, если существуют числа М и
m такие, что для любого номера n имеет место неравенство: manM.
Геометрически
ограниченность
существование отрезка
[m;
M],
на
последовательности
котором помещены
{аn}
означает
все члены
этой
последовательности. Для неограниченной последовательности {аn} отрезка [m; M],
которому принадлежат все члены an, не существуют.
Число a называется пределом последовательности {аn}, если для любого
наперед заданного положительного числа найдется такое натуральное число N,
что для любого номера элемента
an a .
n>N выполняется неравенство: |an – a| <. В этом случае пишут lim
n
Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а не
имеющая предела – расходящейся.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 21 из 115
Для практического нахождения пределов числовых последовательностей
используют следующие свойства пределов:
a n a , lim bn b .
Пусть {аn} и {bn} – сходящиеся последовательности, т.е. lim
n
n
Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
2. Для любого числа kпоследовательность {kаn} также сходится, причем
lim kan =
n
k lim a n ka .
n
( a n bn ) = lim a n lim bn a b .
3. Сумма (разность) аn± bnтакже сходится, причем lim
n
n
n
( a n bn ) = lim a n lim bn ab .
4. Произведение аnbnтакже сходится, причем lim
n
n
n
5. При дополнительном условии
a
lim n
n b
n
b≠0 частное
an
bn
также сходится, причем
an a
lim
n .
bn b
lim
n
Проиллюстрируем использование теоретического материала при исследовании
числовых последовательностей.
Пример 1. Исследуйте числовую последовательность аn=
1
.
2n
Решение: Выпишем элементы числовой последовательности, поочерёдно
подставляя вместо n значения 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим бесконечное числовое
1
2
множество:{ ;
1 1 1
1
; ; ; ; …}
4 8 16 32
1
n
2
Последовательности
соответствует
следующее
геометрическое
изображение:
𝑎4 𝑎3
0
1
16
1
8
𝑎2
𝑎1
1
4
1
2
a
1
1
1 1 1 1
1
Последовательность n убывающая, т.к. > > > > … > n > …
2
2
4
8
16
2
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04 Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст. Стр. 22 из 115
1
1
Она ограничена, т.к. существует m=0 и М= , такие, что 0an . Геометрически
2
2
1
1
все элементы последовательности n принадлежат промежутку (0; ].
2
2
1
Покажем, что lim
0 . Выберем любую точность >0(например, =0,001).
n n
2
Тогда найдется натуральное число N (в нашем случае N=9), такое что для всех n>N
выполняется неравенство:
1
0 <(уже для п=10
2n
1
1
10 0,00098 будет меньше
n
2
2
=0,001).
Пример 2.Исследуйте числовую последовательность an 3п-2.
Решение: Подставляя вместо n значения 1, 2, 3 и т.д., найдем следующие
элементы последовательности: {1; 4; 7; 10; 13; 16…}.
Последовательности {3п-2} соответствует следующее изображение:
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6
a
1
4
7
10
13
16
Последовательность {3п-2} является возрастающей, т.к. каждый следующий
член последовательности больше предыдущего:1 < 4 < 7 < 10 < … < 3п-2< …
Она не ограничена, т.к. не существует числа М, которое бы ограничивало
последовательность сверху.
Последовательность {3п-2} не имеет предела, т.к. ее элементы неограниченно
возрастают,
следовательно,
эта
последовательность
является
расходящейся(
lim (3n 2) ).
n
Пример 3. Найдите предел последовательности a n
8n 3
.
13 7 n
Решение. Числитель и знаменатель представляют собой расходящиеся
последовательности (так как они не ограничены), поэтому непосредственно
применять теорему о пределе частного нельзя. В этом случае поступим так:
числитель и знаменатель разделим на п (от этого дробь не изменится), а затем
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 23 из 115
применим теоремы о пределах последовательностей. Приведем подробную запись
вычисления предела:
3
3
3
lim 8
lim 8 lim
n
8n 3
80 8
1
n
n n
n
n
lim
lim
1 .
n 13 7 n
n 13
13
13
07 7
7
7 lim 7 lim
lim 7
n n
n
n n n
8
Ответ:
8n 3
n 13 7 n
lim
=1
1
7
При составлении конспекта по теме «Бесконечно малые и бесконечно большие
числовые последовательности, число е» воспользуйтесь памяткой 6.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. учреждений СПО /
В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2014. – 320с.
– Глава 4, §4.1-4.4, стр. 82 – 95.
2. Источники литературы, найденные самостоятельно.
3. Материалы сети Интернет.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 24 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность
Задание 2. Вычисление предела функции в точке и на бесконечности – 2 ч.
Цель:
формирование
умения
вычислять
пределы
функций,
раскрывая
неопределенности и используя замечательные пределы.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
2.1.Выучите определение предела функции в точке. Выясните, когда
при
0
вычислении пределов функции в точке возникает неопределенность вида и в
0
чем заключается техника ее раскрытия.
2.2. Вычислите предел функции в точке:
x3
;
x 8 x 15
3x 2 2 x 1
;
г) xlim
1 x 2 8 x 7
а) lim(2x 3 -5x2 4);
б) xlim
-3
x2
25 x 2
;
в) lim
x 5 x 2 11x 30
4 x 4 x
.
д) lim
x0
6x
2
2.3.Выучите определение предела функции на бесконечности. Выясните, когда
при вычислении пределов функции возникает неопределенность вида и в чем
заключается техника ее раскрытия.
2.4. Вычислите предел функции на бесконечности:
3x 7
;
3
а) x x 5 x 4
lim
4 x 2 8 x 13
;
2
б) x x 2 x 1
lim
x5 6x3 2
.
4
в) x x 3x 7
lim
2.5. Запомните, какие пределы называются замечательными и проанализируйте,
как они используются для вычисления пределов.
2.6. Вычислите предел функции с помощью замечательных пределов:
sin 20 x
;
а) x 0 8 x
lim
7
lim (1 ) 3x .
б) x x
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 25 из 115
2.7. Вычислите предел функции:
а) lim
x 1
x3 x 2 x 1
;
x3 x 2 x 1
2x 1
2x 5
в) xlim
б) xlim
( x 2 x );
2 x 1
.
2.8. Выясните, при каком значении параметра a lim
x
ax 3 3x 2 1
1
будет равен-1; 0; 8.
3
7 2x
2.9. Найдите предел функции, заданной графически, в указанных точках или на
бесконечности:
y
а)
б)
y=f(x)
1
0
1
x
lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x) , lim f ( x) lim g ( x) , lim g ( x) , lim g ( x) , lim g ( x)
x 0
x 3
x
x
x 0
x 3
x
x
Методические указания по выполнению работы:
При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:
1. Предел функции в точке. Вычисление пределов путем раскрытия
0
неопределённости вида .
0
Число bназывается пределом функции f (x) при х, стремящемся к хо (или в точке
хо), если для любого наперед заданного 0 существует такое 0 , что для всех х,
удовлетворяющих условиям | x x0 | , x x0 , имеет место неравенство: | f ( x) b | .
Если b есть предел функции f (x) при x → x 0 то пишут: lim f ( x) b .
x x0
При вычислении предела функции в точке удобно использовать следующую
технику:
1. Если под знаком предела стоит многочлен, то предел вычисляется простой
подстановкой.
Пример 1.Вычислите: lim (3x 2 2 x 1) .
x1
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 26 из 115
Решение. Подставим в многочлен вместо х значение -1, тогда
lim (3x 2 2 x 1) = 3 (1) 2 2 (1) 1 3 2 1 0 .
x1
Ответ: lim (3x 2 2 x 1) =0.
x1
2. Если под знаком предела стоит отношение двух многочленов
проверяем, обращается ли при подстановке
f ( x)
, то
g ( x)
хо знаменатель в ноль. Если не
обращается, то предел вычисляется простой подстановкой.
Если при подстановке хо знаменатель обращается в ноль, то необходимо
использовать дополнительные приемы.
0
Если f ( x0 ) g ( x0 ) 0 , то имеем неопределенность вида . В этом случае предел
0
lim
x x0
f ( x)
g ( x)
можно вычислить разложением многочленов f (x) и g (x ) на множители,
используя формулы сокращенного умножения и формулу разложения квадратного
трехчлена на множители:
ax 2 bx c a ( x x1 ) ( x x2 ) , где х1 и х2 – корни уравнения ax 2 bx c 0 .
Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны
получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения
предел вычисляется простой подстановкой.
Пример 2. Вычислите lim
x 3
2 x 2 5x 3
.
x2 9
Решение. Проверим, какие значения будут принимать числитель и знаменатель
при подстановке вместо х значения 3:
f (3) 2 32 5 3 3 0 ,
g (3) 32 9 0 .
0
Получили неопределенность вида .
0
Разложим числитель на множители по формуле разложения квадратного
трехчлена. Составим уравнение 2 x 2 5 x 3 0 и найдем его корни:
D= (5) 2 4 2 (3) 25 24 49 ;
x1
57
57
1
; x1 3 или x 2
; x2 .
4
4
2
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 27 из 115
Тогда числитель можно представить в виде произведения двух множителей:
1
2 x 2 5 x 3 2( x 3) ( x ) = ( x 3) (2 x 1)
2
Знаменатель x 2 9 разложим по формуле разности квадратов: x 2 9 = ( x 3) ( x 3)
.
Вернемся к исходному пределу:
2 x 2 5x 3
( x 3) (2 x 1)
2x 1 2 3 1 7
1
=
=
lim
1 .
lim
2
x 3 x 3
x 3
x 3 ( x 3) ( x 3)
33
6
6
x 9
lim
Ответ: lim
x 3
2 x 2 5x 3
1
=1 .
2
6
x 9
0
0
3. Если под знаком предела стоит дробь вида , включающая иррациональную
функцию (функцию, содержащую корень), то домножаем числитель и знаменатель
дроби на выражение, сопряженное иррациональному.
Пример 3. Вычислите lim
x 0
2x
3x 2 x 4 2
.
Решение. Поскольку при подстановке в числитель и знаменатель вместо х
0
значение 0, получаем неопределенность вида , домножим числитель и
0
знаменатель дроби на выражение
3x 2 x 4 2 ,
сопряженное знаменателю.
Получим:
lim
x 0
2x
3x 2 x 4 2
= lim
x 0
2 x ( 3 x 2 x 4 2)
( 3x 2 x 4 2) ( 3 x 2 x 4 2)
.
В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов:
lim
x 0
2 x ( 3x 2 x 4 2)
( 3x 2 x 4 ) 2 2 2
2 x ( 3x 2 x 4 2)
2 x ( 3x 2 x 4 2)
lim
.
lim
x 0
x 0
3x 2 x 4 4
3x 2 x
2 x ( 3 x 2 x 4 2)
Вынесем в знаменателе х за скобки lim
и сократим дробь на х:
x 0
x (3 x 1)
2 ( 3x 2 x 4 2)
.
x 0
3x 1
lim
Видим, что при подстановке х=0 числитель и знаменатель не обращаются в 0,
следовательно, теперь предел вычисляется простой подстановкой:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 28 из 115
2 ( 3x 2 x 4 2) 2 ( 3 0 0 4 2) 2 ( 2 2)
=
=
=-8.
x 0
3 0 1
1
3x 1
lim
Ответ: lim
x 0
2x
3x 2 x 4 2
=-8.
2. Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов путем раскрытия
неопределенности вида .
Число bназывается пределом функции f (x) при x →∞, если для любого наперед
заданного 0 существует такое M 0 , что для всех | x | M имеет место
неравенство: | f ( x) b | .
f ( x) b .
Если b есть предел функции f (x) при x →∞, то пишут: lim
x
Для нахождения пределов функций на бесконечности часто используют два
c
x
c
x
0 и lim , где с – константа.
основных предела: lim
x
x 0
При вычислении предела дроби при x →∞ возникает неопределенность вида
.Техника ее раскрытия заключается в том, что каждое слагаемое числителя и
знаменателя нужно разделить на х в наивысшей степени. Возможны три случая:
1) наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя:
Пример 4. Вычислите lim
x
2 x 2 6 x 11
.
x2 5
Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х2. Получим:
6 11
2 x 2 6 x 11
2 2
2 2
2
2
2 x 6 x 11
x x ;
x
x
x = lim
lim
= lim
x
x
x
5
x2
5
x2 5
1 2
2
2
x
x
x
Каждое слагаемое
6 11 5
, ,
стремится к 0 при x →∞, тогда
x x2 x2
6 11
x x 2 = lim 2 0 0 =2.
x
5
1 0
1 2
x
2
lim
x
Ответ: lim
x
2 x 2 6 x 11
=2.
x2 5
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 29 из 115
Итак, если наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью
знаменателя, то в пределе получается число, отличное от нуля.
Пример 5. Вычислите lim
x
2 x 2 6 x 11
.
x5
Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х2. Получим:
6 11
2 x 2 6 x 11
2 2
2 2
2
2
2 x 6 x 11
x x =∞.
x
x
x = lim
= lim
lim
x
x
x
x
5
1 5
x5
x2 x2
x x2
Ответ: lim
x
2 x 2 6 x 11
= .
x5
Таким образом, если наивысшая степень числителя больше наивысшей степени
знаменателя, то в пределе получается бесконечность.
3)наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя:
Пример 6.Вычислите lim
x
2 x 2 6 x 11
.
x3 5
Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х3. Получим:
2 6 11
2 x 2 6 x 11
2 3
3 3
3
2 x 2 6 x 11
x
x
x = lim 0 0 0 0 .
x
x
x
lim
lim
=
=
lim
3
3
x
x
x
x
5
1 0
x
5
x 5
1 3
3
3
x
x
x
2 x 2 6 x 11
Ответ: lim
=0.
x
x3 5
Таким образом, если наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени
знаменателя, то в пределе получается ноль.
3. Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью замечательных.
Вычисление пределов функции можно осуществлять с помощью замечательных
пределов:
sin x
1 - первый замечательный предел;
x 0
x
lim
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 30 из 115
x
1
lim 1 e - второй замечательный предел.
x
x
Пример 7. Вычислите lim
x 0
sin 3 x
.
x
Решение. Поскольку под знаком синуса стоит угол 3х, домножим числитель и
знаменатель дроби на 3, чтобы выражение под знаком синуса и выражение в
знаменателе стали равны: lim
x 0
sin 3 x
3 sin 3 x
.
lim
x
0
x
3x
Вынесем число 3 за знак предела: lim
x 0
3 sin 3x
sin 3x
.
3 lim
x
0
3x
3x
Применив первый замечательный предел, получим, что 3 lim
x 0
Ответ: lim
x 0
sin 3 x
3 1 3 .
3x
sin 3 x
=3.
x
5x
3
Пример 8. Вычислите lim
1
.
x
2x
Решение. Постараемся преобразовать выражение под знаком предела таким
образом, чтобы прийти ко второму замечательному пределу. Необходимо, чтобы
числитель дроби
3
был равен 1. Для этого разделим числитель и знаменатель
2x
данной дроби на 3; получим дробь вида:
1
. Теперь постараемся преобразовать
(2 x / 3)
показатель степени 5х таким образом, чтобы в нем можно было выделить
множитель (2х/3). Для этого 5х домножаем на 2 и 3 и делим на 2 и 3:
3
lim 1
x
2x
5x
1
lim 1
x
(
2
x
/
3
)
2 3
5 x
3 2
( 2 x / 3)
1
lim 1
x
(
2
x
/
3
)
35
2
.
Применив к выражению в скобках второй замечательный предел, получим, что
1
lim 1
x
(2 x / 3)
е
( 2 x / 3)
35
2
15
e2 .
5x
3
Ответ: lim
1
=e 2
x
2x
15
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 31 из 115
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. учреждений СПО /
В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2014. – 320с.
– Глава 5, §5.2, стр. 99 – 102.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 32 из 115
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность
Задание 3. Точки разрыва функции, их классификация – 2 ч.
Цель: формирование умения вычислять односторонние пределы, находить точки
разрыва функции и классифицировать их.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
3.1.Выучите определения односторонних пределов функции в точке и
проанализируйте, как они вычисляются.
3.2. Вычислите односторонние пределы функции в указанной точке:
1 𝑥
−𝑥 2 + 2𝑥 − 1, 𝑥 < 1
, 𝑥0 = 1; б)𝑓(𝑥) = { (2) , 𝑥 ≤ −1; , 𝑥0 = −1;
𝑥 + 3, 𝑥 ≥ 1
2𝑥 + 4, 𝑥 > −1
−𝑥, 𝑥 ≤ 0
в)𝑦(𝑥) = { 3
, 𝑥 = 0.
, 𝑥>0 0
𝑥
3.3.Выучите определения непрерывной в точке и на отрезке функции, точки
а)𝑦(𝑥) = {
разрыва функции. Изучите классификацию точек разрыва функции. Выясните, какая
техника позволяет находить и классифицировать точки разрыва функции.
3.4. Найдите точки разрыва и определите их род для функции, заданной
графически:
y
а)
б)
y
y=g(x)
y=f(x)
1
0
1
0
в)
1
1
x
x
y
y
г)
y=f(x)
1
0
1
1
0
x
y=h(x)
1
x
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 33 из 115
3.5. Исследуйте функцию на непрерывность в указанных точках. Если точка
является точкой разрыва функции, определите ее род:
а) 𝑦(𝑥) =
х+5
𝑥 2 +𝑥−20
, 𝑥0 = −6, 𝑥0 = −5, 𝑥0 = 1, 𝑥0 = 4;
4 − 𝑥 2 , 𝑥 < 0;
б)𝑦(𝑥) = {
,𝑥0 = −2, 𝑥0 = 0, 𝑥0 = 3.
9, 𝑥 ≥ 0
3.6. Найдите и классифицируйте точки разрыва для функции:
а)𝑦(𝑥) =
5𝑥−1
в)𝑦(𝑥) =
14−2𝑥
𝑥+8
;
𝑥 − 3, −3 ≤ 𝑥 ≤ 0,
б)𝑦(𝑥) = {
3𝑥 3 , 0 < 𝑥 ≤ 5;
𝑥 2 −49.
3𝑥 2 −48
, 𝑥 ≠ 4;
3.7. Выясните, при каком значении параметра a функция 𝑦(𝑥) = { 64−𝑥 3
3𝑎 + 0,5 , 𝑥 = 4
будет непрерывной на всей области определения.
Методические указания по выполнению работы:
При решении задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции
одним из главных умений является умение вычислять односторонние пределы
функции: левосторонний и правосторонний.
Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной х только
слева от точки хо, то такой предел называется левосторонним и обозначается
lim f ( x) b .
x x0 0
Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной х только
справа от точки хо, то такой предел называется правосторонним и обозначается
lim f ( x) b .
x x0 0
Функция имеет в точке единый предел тогда и только тогда, когда в этой точке
существуют как правосторонний, так и левосторонний пределы, и они равны.
Пример 1.Вычислите односторонние пределы функции
−2𝑥 − 2, 𝑥 < −2;
𝑓(𝑥) = { 2
в точке x0 2 .
𝑥 + 4𝑥 + 4, 𝑥 ≥ −2
Решение. Для нахождения левостороннего предела функции в точке x0 2
будем выбирать значения переменной, меньшие -2. Но при x <-2 наша функция
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 34 из 115
задается формулой f x 2x 2 . Таким образом, получим:
lim f ( x) lim (2 x 2) 2(2) 2 4 2 2 .
x 2-0
x 2
При нахождении правостороннего предела функции в точке x0 2 будем выбирать
значения переменной, большие -2. Но при x > -2 наша функция задается формулой
f x x 2 4 x 4 . Таким образом, получим:
lim f ( x) lim ( x 2 4 x 4) (2) 2 4(2) 4 4 8 4 0 .
x20
x-2
f ( x) =2, lim f ( x) =0.
Ответ xlim
2-0
x 20
Функция у=f(x) называется непрерывной в точке хо, если она определена в ней,
существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой
f ( x) f ( x 0 ) .
точке, т.е. xlim
x
0
Функция у=f(x) называется непрерывной на промежутке (a; b), если она
непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Все элементарные функции (основные элементарные и полученные из них путем
выполнения конечного числа арифметических операций или составления сложных
функций) непрерывны на области определения.
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками
разрыва этой функции.
Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго
рода.
Точка разрыва хо называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке
f ( x) A1 и
существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы, т.е. xlim
x
x x0
0
lim f ( x) A2 .
x x0
x x0
Если А1 = А2, то точка хо называется точкой устранимого разрыва.
Точка разрыва хо называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке
хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел не существует или равен
бесконечности.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 35 из 115
Пример 2. Найдите точки разрыва и определите их
у
род для функции y g x , заданной графически:
2
функции y g x
1
нарушена в единственной точке x0 1 . Она будет
0
Решение:
Непрерывность
у=g(x)
х
1
точкой разрыва функции. Определим ее род. Для
этого по графику найдем односторонние пределы функции в этой точке: lim g ( x) 2
x 1 0
и lim g ( x) 1. Они существуют и конечны. Следовательно, точка x0 1 является
x 1 0
точкой разрыва I рода функции. Поскольку односторонние пределы не равны друг
другу, точка x0 1 будет точкой устранимого разрыва.
Ответ: x0 1
-
точка
разрыва
у
функции I рода (точка устранимого разрыва).
и
2
определите их род для функции y f x , заданной
1
графически:
0
Пример
Решение:
3.
Найдите
точки
Непрерывность
разрыва
у=f(x)
1
х
функции y f x
нарушена в единственной точке x0 1 . Она будет точкой разрыва функции.
Определим ее род. Для этого по графику найдем односторонние пределы функции в
этой точке:
lim f ( x)
x 1 0
и
lim f ( x) . Они
x 1 0
существуют , и оба равны
бесконечности. Следовательно, точка x0 1 является точкой разрыва II рода
функции.
Ответ: x0 1 - точка разрыва функции II рода.
Если функция задана аналитически, для нахождения и классификации ее точек
разрыва удобно использовать следующую технику:
1) выясните, является ли функция элементарной (если да, то она непрерывна на
своей области определения);
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 36 из 115
2) найдите область определения функции и исследуйте на разрыв точки, не
принадлежащие ей (но находящиеся внутри области); если перед Вами – функция –
скобка, обратите внимание на повторяющуюся в способе задания точку;
3) найдите односторонние пределы функции в каждой из таких точек и в
зависимости от этого классифицируйте разрыв (если односторонние пределы
существуют и конечны, в точке - разрыв I рода; если хотя бы один из этих пределов
не существует или равен бесконечности, в точке – разрыв II рода).
Пример 4. Найдите точки разрыва функции у=
Решение.
Функция
у=
x 1
x2 1
является
x 1
и определите их род.
x2 1
элементарной,
следовательно,
она
непрерывна на области определения.
Найдем D(у): х2-1≠0; х≠1 и х≠-1. Получили, что точки x0 1 и x0 1 являются
точками разрыва функции. Для того, чтобы их классифицировать, найдем
односторонние пределы функции в указанных точках.
Для точки x0 1 xlim
1 0
Для точки x0 1 lim
x 1 0
x 1
, следовательно, x0 1 - точка разрыва II рода.
x2 1
x 1
x 1
1
1
lim
lim
,
2
x 1 x10 ( x 1)( x 1) x10 x 1 2
x 1
x 1
1
1
lim
lim
. Следовательно, x0 1 - точка разрыва I
2
x 10 x 1
x 10 ( x 1)( x 1)
x 10 x 1
2
lim
рода. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке
совпадают, то x0 1 – точка устранимого разрыва. Положив у=
1
при x0 1 , разрыв
2
устранится, функция станет непрерывной.
Ответ: x0 1 - точка разрыва функции II рода,
x0 1 - точка разрыва функции I рода.
x 1, если 1 x 2;
и определите
2 x 4.
2 x, если
Пример 5. Найдите точки разрыва функции у=
их род.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 37 из 115
x 1, если 1 x 2;
состоит из двух частей: у=х-1 (при
2 x4
2 x, если
Решение. Функция у=
1 x 2 ) и у=2-х (при 2 x 4 ). Функции у=х-1 и у=2-х являются элементарными,
непрерывными на множестве R.
x 1, если 1 x 2;
разрыв? Она определена во всех точках
2 x4
2 x, если
Имеет ли функция у=
отрезка [-1; 4]. Найдем односторонние пределы данной функции в точке x0 2 .
Левосторонний предел: lim f ( x) lim ( x 1) 2 1 1 .
x 2 0
x 2 0
f ( x) lim (2 x) 2 2 0 .
Правосторонний предел: xlim
2 0
x 2 0
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции конечны, то x0 2 –
точка разрыва I рода.
Ответ: x0 2 – точка разрыва функции I рода.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. учреждений СПО /
В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2014. – 320с.
– Глава 5, §5.4, стр. 106 – 110.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 38 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 4. Нахождение производных и дифференциалов функций – 2 ч.
Цель: формирование умения находить производные и дифференциалы функций,
используя правила и формулы дифференцирования, технику дифференцирования
сложной функции.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
4.1.Выучите определение производной функции в точке, с помощью таблицы
«Формулы дифференцирования» проанализируйте, как находятся производные
основных элементарных функций. Запомните правила дифференцирования функций
и выясните, как они применяются. Изучите технику нахождения производной
функции.
4.2. Найдите производную функции:
а) 𝑦(𝑥) = 7𝑥 5 + 𝑒 𝑥 − 14; б) 𝑦(𝑥) =
г) 𝑦(𝑥) = 9𝑥 4 𝑡𝑔𝑥; д) 𝑦(𝑥) =
3𝑥 2 −7
𝑥+2
;
1
𝑥3
4
− √𝑥 3 +
е) 𝑦(𝑥) =
2
√𝑥
+ 8; в) 𝑦(𝑥) = 6𝑥 arcsin 𝑥;
4𝑥 3 +𝑥
1−ln 𝑥
.
Вам известно, что к созданию дифференциального исчисления одновременно и
независимо друг от друга в семнадцатом веке пришли гениальные ученые Исаак
Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц. Они использовали
абсолютно разные подходы. Концепция Лейбница базировалась на
введенном им понятии дифференциала. Однако в научных кругах
достаточно долго не утихала бурная дискуссия о приоритете
изобретения дифференциального исчисления. Вероятно, именно ее
имел в виду замечательный русский поэт, когда писал такие строки:
О Лейбниц, о мудрец, создатель вещих книг!
Ты выше мира был, как древние пророки.
Твой век, дивясь тебе, пророчеств не достиг
И с лестью смешивал безумные упреки.
Г.В.Лейбниц
(1646-1716)
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 39 из 115
Выполнив задание 4.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы
узнаете фамилию автора стихотворения- поэта серебряного века.
Фамилия автора стихотворения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Карта ответов:
Ч
4
5𝑥 + 𝑒
𝑥
Б
Ж
Л
Н
35𝑥 4
+ 𝑒𝑥
36𝑥 3 𝑡𝑔𝑥
9𝑥 4
− 2
sin 𝑥
9𝑥 4
4𝑥 𝑡𝑔𝑥 +
cos 2 𝑥
8𝑥 2 − 12𝑥 2 ln 𝑥 − ln 𝑥
(1 − ln 𝑥)2
И
Ы
Р
В
3
16𝑥 2 − 12𝑥 2 ln 𝑥 − ln 𝑥 +9𝑥
2 2 + 12𝑥 − 7
(1 − ln 𝑥)2
(𝑥 + 2)2
Е
3𝑥 2 + 12𝑥 − 7
(𝑥 + 2)2
3 3 √𝑥
1
−
−
𝑥4
4
𝑥 √𝑥
3
3
1
−
−
𝑥 4 4 4√𝑥 𝑥√𝑥
П
К
Ю
35𝑥 4 − 𝑒 𝑥
6𝑥 arcsin 𝑥
6𝑥
+
√1 − 𝑥 2
6𝑥 ln 6 arcsin 𝑥
6𝑥
+
√1 − 𝑥 2
4
−
−
О
М
3𝑥 2 + 12𝑥 + 7
(𝑥 + 2)2
𝑥
6 ln 6 arcsin 𝑥 −
С
А
6𝑥
√1 − 𝑥 2
−
3
3
1
−
−
𝑥 4 4 4√𝑥 √𝑥
Й
8𝑥 2 − 12𝑥 2 ln 𝑥 − ln 𝑥 + 2
9𝑥 4
36𝑥 𝑡𝑔𝑥 +
(1 − ln 𝑥)2
cos 2 𝑥
4.3. Выясните, как находится производная функции в точке.
3
4.4. Найдите производную функции в указанной точке:
а) 𝑦(𝑥) = 5𝑥 cos 𝑥 − 8 sin 𝑥 , 𝑥0 = 0;
б) 𝑦(𝑥) =
𝑥 2 −4
2−𝑥 3
, 𝑥0 = 1.
4.5. Выучите определение дифференциала функции и запомните формулу,
которая используется для его нахождения.
4.6. Найдите дифференциал функции:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
а) 𝑦(𝑥) =
sin 𝑥
3𝑥 2 −6𝑥
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 40 из 115
;б) 𝑦(𝑥) = (7𝑥 + 𝑥) log 7 𝑥.
4.7. Выясните, при каких значениях xпроизводная функции 𝑦(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 +
√13 отрицательна.
4.8.
Найдите
область
определения
дифференцирования данной функции: y x
4.9.Выучите,
какую
функцию
функции,
полученной
в
результате
sin x cos x
.
sin x cos x
называют
сложной.
Запомните
правило
дифференцирования сложной функции. Изучите технику нахождения производной
сложной функции.
4.10. Найдите производную сложной функции:
а) 𝑦(𝑥) = 𝑒 2√х ; б) 𝑦(𝑥) = sin 20𝑥; в) 𝑦(𝑥) =
д) y(x) = cos(𝑥 2 + 4);
1
(3𝑥 4 −5)6
е) 𝑦(𝑥) = ln4 (6 − 10𝑥 3 );
;
г) 𝑦(𝑥) = arccos 9𝑥 ;
ж) 𝑦(𝑥) =
3
√𝑡𝑔2 (log 5 𝑥 + 8).
4.11. Найдите производную сложной функции в точке:
а) 𝑦(𝑥) = 33−2 sin 𝑥 , 𝑥0 = 0; б) 𝑦(𝑥) = √𝑥 4 + 8𝑥 2 , 𝑥0 = 1; в)𝑦(𝑥) = ln
5𝑥 2 −1
3−𝑥 2
, 𝑥0 =
−1.
4.12. Начните работу над подготовкой доклада или сообщения, сопровождаемого
презентацией, по одной из следующих тем:
Дифференциально-интегральное исчисление: история развития
Великий физик Исаак Ньютон как один из основателей дифференциальноинтегрального исчисления
Готфрид Вильгельм Лейбниц и его вклад в развитие математики
Гийом де Лопиталь и его знаменитое правило Лопиталя
Производная функции: работает ли она в современном мире?
Сферы приложения определённого интеграла
Представление работ пройдёт в конце изучения темы 3.3 «Интегральное исчисление
функции одной действительной переменной».
Методические указания по выполнению работы:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 41 из 115
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического
материала:
Производной функции y f (x)
в точке x0
называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю.
y lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x)
или f ( x 0 ) lim
.
x 0
x
x
Производная функции f (x) есть некоторая функция f (x) , производная из
данной функции. Значение производной функции
y f (x)
в точке
x x0
обозначается одним из символов: f ( x0 ) или y ( x0 ) .
Функция y f (x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a, b) ,
называется
дифференцируемой
на
этом
интервале;
операция
нахождения
производной функции называется дифференцированием.
Для нахождения производных основных элементарных функций
использовать следующую таблицу: «Формулы дифференцирования».
Формулы дифференцирования:
1. c' = 0
10.(sin x)' = cos x
2. x' = 1
11.(cos x)' = -sin x
3. (xn)' = п·xn-1
12.(tg x)' =
4.
/
х
1
2 x
1
cos 2 x
13.(сtg x)' =-
/
1
1
5. 2
x
x
6.
x
x
x
x
(e )' = e
14. (arcsin x)'=
7. (a )' = a lna
8. (ln x)' =
1
x
9. (logax)' =
1
sin 2 x
1 х2
1
15.(arccos x)'=
16.(arctgx)'=
1
x ln a
1
1 х2
1
1 х2
17.(arcctgx)' =
1
1 х2
удобно
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 42 из 115
В ряде случаев, если функция представляет собой сумму,
разность,
произведение или частное двух функций, для нахождения ее производной
используются правила дифференцирования.
Пусть u и v – дифференцируемые функции, с – константа. Тогда справедливы
правила нахождения производной суммы, произведения и частного двух функций:
1. (cu)' = cu'
2. (u ± v)' = u' ±v'
3. (u·v)' = u'v + v'u
u
u /v v /u
4.
2
/
v
v
Таким образом,
для нахождения производной функции удобно использовать
следующую технику. Определите, что представляет собой функция. Если она
является основной элементарной – для нахождения производной сразу используйте
таблицу «Формулы дифференцирования». В тех случаях, когда перед Вами сумма,
разность,
произведение
или
частное
функций
–
сначала
используйте
соответствующее правило дифференцирования, затем (для дифференцирования
основной элементарной функции) таблицу «Формулы дифференцирования».
Рассмотрим примеры решения типовых задач.
Пример 1. Найдите производную функции y 3x 4 5x 3 2 x 7 .
Решение. Функция представляет собой сумму и разность функций. Тогда для
нахождения её производной воспользуемся правилом (u ± v)' = u' ±v':
y (3x 4 ) (5x 3 ) (2 x) (7) .
Константу можно вынести за знак производной по правилу: (cu)' = cu'. Тогда
y 3( x 4 ) 5( x 3 ) 2( x) (7) .
Далее воспользуемся формулами нахождения производных:
y 3 4 x 3 5 3x 2 2 0 = 12 x 3 15 x 2 2 .
Ответ: y 12 x 3 15 x 2 2 .
Пример 2. Найдите производную функции y
2x 2 3
.
x4
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 43 из 115
Решение. Функция представляет собой частное функций. Тогда для нахождения
её производной воспользуемся правилом u
v
y
/
u /v v /u :
v2
(2 x 2 3) ( x 4) ( x 4) (2 x 2 3) 4 x ( x 4) 1 (2 x 2 3) 4 x 2 16 x 2 x 2 3
=
=
=
( x 4) 2
( x 4) 2
( x 4) 2
2 x 2 16 x 3
=
.
( x 4) 2
Ответ: y
2 x 2 16 x 3
.
( x 4) 2
Если производная функции в общем случае представляет собой некоторую
функцию, то
производная функции в точке является числом. Для нахождения
производной функции в точке надо продифференцировать данную функцию, а
затем в полученное выражение вместо аргумента подставить указанную точку.
Пример 3.Найдите производную функции y x ln x в точке хо=е.
Решение. Сначала найдем производную функции y x ln x как производную
произведения. Воспользуемся правилом (u·v)' = u'v + v'u:
y ( x) ln x (ln x) x = 1 ln x
1
x = ln x 1 .
x
Для нахождения производной функции в точке в производную ln x 1 вместо
аргумента подставим x0 e :
Тогда y (e) = ln e 1=1+1=2.
Ответ: y (e) =2.
Дифференциалом функции y f (x) в точке x называется главная часть ее
приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента,
и обозначается dy (или df (x) ): dy f ( x) x . Поскольку дифференциал независимой
переменной равен приращению этой переменной: dx x , дифференциал функции
равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой
переменной: dy f ( x)dx
Пример 4. Найдите дифференциал функции y( x) 3x 2 sin x .
Решение. По формуле dy f ( x)dx находим:
dy (3x 2 sin x)dx (6 x cos x)dx .
Ответ: dy (6 x cos x)dx .
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 44 из 115
Рассмотрим функции у=f(и) и и=g(x). Тогда функция у=f(g(x)) будет
называться сложной функцией. Например, если y 2u , а u x , то y 2
x
будет
являться сложной функцией.
Для нахождения производной сложной функции используется следующая
теорема: если функция g(x) дифференцируема по переменной х, а функция f(и)
дифференцируема
по
переменной
и,
то
сложная
функция
у=f(g(x))
дифференцируема по переменной х, причем её производная вычисляется по
формуле: у'х=f'(и)·g'(x).
Функцию f(и) называют основной функцией, аи – «сложностью». Тогда правило
нахождения производной сложной функции будет иметь вид: производная
сложной функции равна производной основной функции, умноженной на
производную «сложности»: у'х=f'(и)·и'.
Для нахождения производных конкретных сложных функций целесообразно
использовать следующую технику: принять какое-либо выражение за и, чтобы
прийти к одной из формул таблицы «Формулы дифференцирования сложных
функций».
Формулы дифференцирования сложных функций
1. (un)' = п·un-1·u'
2.
/
u
1
2 u
10. (ln u)' =
·u'
11.(logau)' =
/
3.
1
1
2
u
u
·u'
1
·u'
u
1
·u'
u ln a
1
12.(arcsin u)' =
1 u2
4. (sin u)' = cos u·u'
5. (cos u)' = -sin u·u'
6. (tg u)' =
1
·u'
cos 2 u
7. (ctg u)' = -
1
sin 2 u
8. (eu)' = eu·u'
9. (au)' = au lna·u'
·u'
13.(arccos u)'=14.(arctg u)'=
1
1 u2
·u'
·u'
1
·u'
1 u2
15.(arcctg u)'=-
1
·u'
1 u2
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 45 из 115
Рассмотрим нахождение производных сложных функций на конкретных
примерах.
Пример 5.Найдите производную функции y 2 x .
Решение. Функция y 2
x
- сложная функция. Обозначим u x и придем к
показательной функции y 2u . Найдем ее производную по таблице производных
сложных функций:
y (2 u ) = 2 u ln 2 u . Заменяя и через x придем к производной вида:
y 2
x
ln 2 ( x ) = 2
x
ln 2
1
2 x
=
2
x
ln 2
2 x
.
2
Ответ: y
x
ln 2
2 x
.
Пример 6. Найдите производную функции y cos 8 x .
Решение. Функция y cos 8 x - сложная функция. Обозначим u 8x и придем к
y cos u . Найдем ее производную по таблице
тригонометрической функции
производных сложных функций:
y (cos u ) = sin u u = sin 8 x (8 x) = 8 sin 8x .
Ответ: y 8 sin 8x .
Пример 7. Найдите производную функции y 3 (6 7 x 5 ) 2 в точке x0 1 .
Решение.
Сначала
продифференцируем
данную
функцию.
Функция
y 3 (6 7 x 5 ) 2 - сложная функция. Представим исходную функцию в виде степени:
y 6 7x5
2
3
2
. Обозначим u 6 7 x 5 и придем к степенной функции вида y u 3 .
2
Найдем ее производную по таблице производных сложных функций: y (u 3 ) =
2
1
1
2 1 3
2
2
u u = (6 7 x 5 ) 3 (6 7 x 5 ) = (6 7 x 5 ) 3 35 x 4 =
3
3
3
2
3
=
1
1
5 3
(6 7 x )
35 x 4 =
70 x 4
33 6 7 x 5
. Итак, y
70 x 4
33 6 7 x 5
.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 46 из 115
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Затем в найденную производную
Получим: y1
70 14
3 6 7 1
3
5
=
70
3 1
3
=
70 x 4
33 6 7 x 5
вместо аргумента подставим x0 1 .
70
1
= 23 .
3
3
Ответ: y 1 23 .
1
3
Пример 8. Найдите производную функции у=arcsinе2х.
Решение. Функция y arcsin e 2 x - сложная функция. Обозначим u e 2 x и придем к
обратной тригонометрической функции y arcsin u . Найдем ее производную по
таблице производных сложных функций: y (arcsinu)'=
1
1 u
2
·u' =
1
1 (e )
2x 2
(e 2 x ) .
Однако, мы видим, что е2х тоже сложная функция. Обозначив u 2 x и придя к
показательной функции y e u , найдем её производную по таблице производных
сложных функций: (e 2 x ) e 2 x (2 x) 2e 2 x (здесь мы применили краткую запись
решения).
Получили, что y
1
1 e4x
2e 2 x =
2e 2 x
1 e4x
.
Ответ: y
2e 2 x
1 e4x
.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. учреждений СПО /
В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2014. – 320с.
– Глава 6, §6.1, стр. 116 – 121.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 47 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 5. Нахождение производных высших порядков– 1,5 ч.
Цель: формирование умения находить производные высших порядков.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
5.1.Выучите определение производной n-го порядка. Проанализируйте, как найти
производную второго, третьего и четвертого порядков.
5.2. Найдите вторую производную функции:
а) yx 3x 4 2 x 3 x 12 ; б) yx ln(cos x) ; в) y x
6x 7
;г) yx 1 x 2 arcctgx ;
x4
д) yx cos 5 x .
5.3. Найдите третью производную функции:
а) y x ln 3 x ; б) yx x 7 x .
5.4. Найдите четвертую производную функции yx sin 8x .
5.5. Выясните, сколько раз нужно продифференцировать функцию yx x 2 1 ,
50
чтобы в результате получился многочлен тридцатой степени.
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического
материала:
I. Понятие производной высших порядков
Пусть y f (x) - дифференцируемая на интервале a, b функция. Тогда ее
производная y f (x) - тоже функция, определенная на интервале a, b . И у нее
можно найти производную, называемую производной второго порядка или второй
производной.
Итак,
производная
от
первой
производной
производной функции и обозначается y или f (x) .
( f ( x )) называется
второй
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 48 из 115
Пример 1. Найдите вторую производную функции y x 3 4 x 2 3x 5 .
Решение. Найдем у': y 3x 2 8x 3 .
Найдем y как производную оту': y = (3x 2 8x 3) 6 x 8 .
Ответ: y = 6 x 8 .
Вторая производная – тоже представляет собой функцию, следовательно,
существует производная второй производной ( f (x) )', называемая третьей
производной или f (x) . Так, в примере 1. y =( 6 x 8 )'=6.
Аналогично вводится определение четвертой производной f ( 4) ( x) ( f ( x)) ;
пятой производной f (5) ( x) ( f ( 4) ( x)) ;
п-й производной f ( n) ( x) ( f ( n1) ( x)) .
Таким образом, производной п-го порядка функции
y f (x) называется
производная от производной (п-1)-го порядка (если она существует).
Пример 2. Найдите четвертую производную функции y cos 3x .
Решение. Найдем у' как производную сложной функции (и=3х):
y (cos 3x) sin 3x (3x) 3 sin 3x .
Найдем y как производную от у': y =( 3sin 3x )'= 3 cos 3x (3x) = 9 cos 3x .
y =( 9 cos 3x )' = 9 ( sin 3x) (3x) 27 sin 3x .
у(4)=( 27 sin 3x )' = 27 cos 3x (3x) = 81cos 3x .
Ответ: у(4)= 81cos 3x .
Пример 3.Найдите п-ю производную функции y e 2 x .
Решение. Найдем y как производную сложной функции (и=2х):
y (e 2 x ) = e 2 x ( 2 x ) = 2 e 2 x .
y =( 2e 2 x )'= 2e 2 x (2 x) = 4e 2 x .
y =( 4e 2 x )'= 4e 2 x (2 x) = 8e 2 x .
Очевидно, что у(п)= 2 n e 2 x .
Ответ: у(п)= 2 n e 2 x .
Список литературы:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 49 из 115
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. учреждений СПО /
В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2014. – 320с.
– Глава 6, §6.5, стр. 132 – 134.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 50 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 6. Нахождение пределов функций по правилу Лопиталя – 1,5 ч.
Цель:
формирование
умения
вычислять
пределы
функций,
раскрывая
неопределенности по правилу Лопиталя.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
6.1.Запомните, в каких случаях используется правило Лопиталя. Выясните, как
оно применяется.
6.2.
Установите
правильную
последовательность
косточек
математического домино и Вы узнаете титул французского
математика Гийома Франсуа Антуана де Лопиталя (1661 – 1704):
автора первого печатного учебника по дифференциальному
исчислению;
учёного, в честь которого назван приём раскрытия неопределённостей вида
0
или .
0
Р
lim
7
x 0
x arctgx
x3
И
lim
x0
∞
A
2
cos x 1
x 0
3x 2
lim x 4 ln x
e7x 1
lim
x 0
x
3
e
K
1
3
9e x
lim 2
x x
З
sin( 8 x 16)
x2
x2 4
lim
0
M
1
6
1 x 2 ln x
x 1
e ex
lim
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического
материала:
Правило Лопиталя. Если при вычислении предела функции возникает
0
неопределенность вида или вида , и никакой из существующих приемов
0
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 51 из 115
ее раскрытия не работает, на помощь придет правило Лопиталя. Под правилом
0
Лопиталя понимают прием раскрытия неопределенностей вида или .
0
Теорема (правило Лопиталя). Для вычисления предела lim
x x
0
f ( x)
, где lim f ( x) =
x x0
g ( x)
lim g ( x) 0 , достаточно найти предел отношения производных данных функций
x x0
(если он существует), т.е. lim
x x
0
f ( x)
f ( x)
= lim
.
g ( x) x x0 g ( x)
Замечание. 1. Правило Лопиталя справедливо также для случаев
0
неопределенности вида при х→∞;
0
неопределенности вида при х→хо и х→∞.
2. Правило Лопиталя может быть применено последовательно несколько раз для
0
раскрытия неопределенностей вида или .
0
Рассмотрим примеры нахождения пределов функций с использованием правила
Лопиталя.
ex 1
Пример 1. Вычислите lim
.
x 0
x
0
Решение. Поскольку в примере встречается неопределенность вида , можно
0
применить правило Лопиталя:
(e x 1)
ex 1
ex
lim
=
=
=е0=1.
lim
x 0
x
0
x
0
x
1
( x)
lim
Ответ: lim
x 0
Пример 2. Вычислите lim
x
ex 1
=1.
x
x3
.
ex
Решение. Поскольку в примере рассматривается неопределенность вида ,
можно применить правило Лопиталя:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
x3
3x 2
( x 3 )
lim x = lim x = lim x .
x e
x (e )
x e
Снова
получили
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 52 из 115
неопределенность
вида
,
следовательно, можно применить правило Лопиталя еще раз:
3x 2
(3 x 2 )
6x
=
= lim
. Повторно применяя правило Лопиталя, получим
lim
x
x
x
x e
x (e )
ex
lim
6x
6
(6 x )
=
lim x = lim x =0, т.к. ех→∞ при х→∞.
x
x e
x e
x (e )
lim
x3
=0.
x e x
Ответ: lim
( x ln x) .
Пример 3. Вычислите lim
x 0
Решение.
Поскольку
при
х→0
функция
lnx→∞,
то
имеет
место
неопределенность вида (0∙∞) и правило Лопиталя применить нельзя. Попытаемся
преобразовать выражение, стоящее под знаком предела:
x ln x =
ln x
. Тогда под
1/ x
знаком предела будет неопределенность вида , к которой правило Лопиталя
применимо:
1 1
(ln x)
x2
ln x
1/ x
x =0.
lim
=
=
=
==- lim
lim
lim
:
lim
2
x 0
x 0 1 / x
x 0 1 / x 2
x 0 x
x 0 (1 / x )
x x 0 x
lim ( x ln x) = lim
x 0
( x ln x) =0.
Ответ: lim
x 0
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. учреждений СПО /
В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2014. – 320с.
– Глава 6, §6.3, стр. 127 – 130.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 53 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 7. Исследование функции на возрастание и убывание- 1ч.
Цель: формирование умения находить промежутки возрастания и убывания
функции.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
7.1.Вспомните определения возрастающей (убывающей) на интервале функции,
интервалов
(промежутков)
монотонности.
Изучите
критерий
возрастания
(убывания) функции.
7.2. Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий
находить промежутки
монотонности функции.
7.3. Найдите промежутки монотонности функции:
а) yx
x3
x3
.
2 x 2 21x 14 ; б) y x 2
3
x 16
7.4. Найдите промежутки монотонности функции yx ln 1 x 2 .
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического
материала:
I. Признаки возрастания и убывания функции
Критерий
возрастания
и
убывания
функции:
пусть
y f (x)
-
дифференцируемая на интервале a, b функция. Функция y f (x) возрастает на a, b
тогда и только тогда, когда её производная больше или равна нулю в любой точке
этого промежутка.
Функция y f (x) убывает на a, b тогда и только тогда, когда её производная
меньше или равна нулю в любой точке этого промежутка.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 54 из 115
Критерий возрастания и убывания функции удобно представляется в виде
схемы:
f(x)
f ( x) 0
f(x)
f ( x) 0
Критическими точками функции (первого рода) называются точки, в
которых производная функции равна нулю или не существует.
Для
нахождения
промежутков
монотонности
функции
используется
следующий алгоритм:
1. Найдите область определения функции.
2. Найдите первую производную функции.
3. Определите критические точки первого рода (f'(xo)=0 или f'(xo) не существует).
4. На числовой оси отметьте критические точки и определите знаки производной на
каждом из получившихся интервалов.
5. Выпишите интервалы монотонности.
1
3
Пример 1. Найдите промежутки монотонности функции y x 3 3x 2 5 x 5 .
Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.
1
3
2. Найдем первую производную функции: y 3x 2 3 2 x 5 = x 2 6 x 5 .
3. Определим критические точки первого рода (у'=0): x 2 6 x 5 =0;
х1=1 или х2=5.
4. На числовой оси отметим критические точки х1=1 и х2=5. Эти точки
разбивают область определения функции на три интервала (-∞;1), (1;5); (5;+∞).
Расставим знаки производной функции у' = x 2 6 x 5 на каждом из полученных
интервалов:
при х=0 (-∞;1) у'(0)=5>0;
при х=2 (1;5) у'(2)= 2 2 6 2 5 =-3<0;
при х=6 (5;+∞) у'(6)= 6 2 6 6 5 =5>0.
f (x) +
f (x)
+
1
5
х
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 55 из 115
1
3
5. Согласно критерию возрастания и убывания функция y x 3 3x 2 5 x 5
возрастает при х (-∞;1] [5;+∞), убывает при х [1;5].
1
3
Ответ: y x 3 3x 2 5 x 5 возрастает при х (-∞;1] [5;+∞), убывает при х [1;5].
Пример 2. Найдите промежутки монотонности функции y x 2 e x .
Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.
2.
Найдем
первую
производную
функции
по
правилу
производной
произведения:
y ( x 2 ) e x (e x ) x 2 = 2 x e x e x x 2 = x e x ( 2 x )
3. Определим критические точки первого рода (у' =0): x e x (2 x) =0;
х1=0 или 2+х=0 x2 2 (ех≠0 для всех х из множества R).
4. На числовой оси отметим критические точки х=-2 и х=0. Эти точки
разбивают область определения функции на три интервала (-∞;-2), (-2;0); (0;+∞).
Расставим знаки производной функции у'= x e x (2 x) на каждом из полученных
интервалов:
f (x) +
f (x)
+
-2
0
х
5. Согласно критерию возрастания и убывания функция y x 2 e x возрастает при
х (-∞;-2] [0;+∞), убывает при х [-2;0].
Ответ: y x 2 e x возрастает при х (-∞;-2] [0;+∞), убывает при х [-2;0].
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. учреждений СПО /
В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2014. – 320с.
– Глава 6, §6.3, стр. 126 – 127.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 56 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 8. Исследование функции на экстремумы- 1ч.
Цель: формирование умения находить промежутки возрастания и убывания
функции, исследовать функцию на экстремум с помощью производной.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
8.1. Вспомните определения точки экстремума и экстремума функции.
Проанализируйте,
в
чем
заключается
их
кардинальное
отличие.
Изучите
достаточное условие существования экстремума (критерий нахождения точек
экстремума) функции.
8.2. Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий
находить экстремумы
функции.
8.3. Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции:
а) yx
4x 3
2
x 4 1 ; б) yx x 2 5 x .
3
3
8.4. Определите, при каком значении a функция yx a ln x x 2 3x имеет
экстремум в точке x0 1 . Выясните, будет ли в этом случае данная точка являться
точкой максимума или точкой минимума функции.
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического
материала:
По теореме Ферма (необходимое условие существования экстремума функции),
точки экстремума нужно искать среди критических точек. Но не любая критическая
точка является точкой экстремума функции. Чтобы выяснить, в каких критических
точках функция имеет экстремум, рассмотрим достаточные условия существования
экстремума.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 57 из 115
Достаточные условия существования экстремума (критерий нахождения
точек экстремума): пусть функция y f (x) непрерывна и дифференцируема в
некоторой окрестности точки хо. Тогда:
1. если производная f (x) при переходе через точку хо меняет знак с плюса
на минус, то точка хо является точкой максимума;
2. если производная f (x) при переходе через точку хо меняет знак с минуса
на плюс, то точка хо является точкой минимума.
Критерий нахождения точек экстремума функции удобно представляется
в виде схемы:
хо – критическая точка: f`(xо)=0 или f`(xо) не
существует
хо – точка
хо
f (x)
минимума
хо – точка
f (x)
хо
максимума
хо
хо
Для нахождения экстремумов функции используется следующий алгоритм:
1. Найдите область определения функции.
2. Найдите первую производную функции.
3. Определите критические точки первого рода (f'(xo)=0 или f'(xo) не существует).
4. На числовой оси отметьте критические точки и определите знаки производной на
каждом из получившихся интервалов.
5. Выпишите
точки
экстремума
функции
(если
они
есть),
используя
соответствующие критерии, вычислите значения функции в точках экстремума.
1
3
Пример 1.Найдите экстремумы функции y x 3 3x 2 5 x 5 .
Решение. Воспользуемся решением примера 1 из задания 17. На 4-м шаге мы
получили:
f (x) +
f (x)
+
1
т.max
5
т.min
х
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 58 из 115
5. Согласно критерию нахождения точек экстремума х=1 – точка максимума,
х=5 – точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в
этих точках:
1
1
1
y max = y (1) 13 3 12 5 1 5 = 3 5 5 = 7 - максимум функции;
3
3
3
1
1
125
2
1
45 = 41 45 = 3 - минимум
ymin = y (5) 5 3 3 5 2 5 5 5 = 125 3 25 5 5 5 =
3
3
3
3
3
функции.
1
3
Ответ: х=1 – точка максимума; y max = y (1) = 7 ;
1
3
х=5 – точка минимума; ymin = y (5) = 3 .
Пример 2. Найдите экстремумы функции y x 2 e x .
Решение. Воспользуемся решением примера 2 из задания 17. На 4-м шаге мы
получили:
f (x) +
f (x)
+
0
т.min
-2
т.max
х
5. Согласно критерию нахождения точек экстремума х=-2 – точка максимума,
х=0 – точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в
этих точках:
y max = y(2) (2) 2 e 2 4e 2 =
4
- максимум функции;
e2
ymin = y(0) 0 2 e 0 0 - минимум функции.
Ответ: х=-2 – точка максимума; y max = y (2) =
4
;
e2
х=5 – точка минимума; ymin = y (0) 0 .
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. учреждений СПО /
В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2014. – 320с.
– Глава 6, §6.7, стр. 138 – 141.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 59 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 9. Исследование выпуклости-вогнутости графика функции,
определение точек перегиба- 1 ч.
Цель: формирование умения находить промежутки выпуклости, вогнутости
графика функции и его точки перегиба.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
9.1.Выучите определения вогнутого и выпуклого на интервале графика функции,
точки перегиба. Запомните критерий выпуклости (вогнутости) графика функции.
9.2.Выясните, в чем заключается достаточное условие существования точек
перегиба. Детально изучите и постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий
находить промежутки выпуклости (вогнутости) графика функции и точки перегиба.
9.3. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика
функции:
а) yx
2x3
x2 6
4 x 2 7 x 8 ; б) y x
; в) yx x 3 ln x .
3
x4
9.4. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика
функции yx e x 9 .
2
9.5. Определите, при каком значении а график функции
yx x 4 2ax 3 6 x 2 1
будет вогнутым на области определения функции.
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического
материала:
График функции y f (x) называется вогнутым на интервале a, b , если он
расположен выше любой касательной к графику функции на данном интервале.
График функции y f (x) называется выпуклым на интервале a, b , если он
расположен ниже любой касательной к графику функции на данном интервале.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 60 из 115
Точка графика непрерывной функции, в которой меняется характер выпуклости,
называется точкой перегиба.
Функция может иметь несколько интервалов
у
выпуклости и вогнутости, несколько точек перегиба.
При
определении
промежутков
выпуклости
у2
х1 0
вогнутости в качестве ответа выбирают интервал
значений:
точки
перегиба
не
относят
ни
к
y f (x)
у1
и
х2
х
Рис. 1.
промежуткам выпуклости, ни к промежуткам вогнутости.
Так, график функции на рис.1. является выпуклым на промежутках (- ;х1) и (х2;
+ ); вогнутым на (х1;х2). График функции имеет две точки перегиба: (х1;у1) и (х2;у2).
Критерий выпуклости-вогнутости функции: если функция y f (x) имеет
положительную вторую производную, то график функции на интервале a, b
вогнутый;
если функция y f (x) имеет отрицательную вторую производную, то график
функции на интервале a, b выпуклый.
Критерий выпуклости-вогнутости функции удобно представляется в виде
схемы:
f(x)вогнутая
f ( x) 0
f(x) выпуклая
f ( x) 0
Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти
те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой
знак.
Критическими точками функции второго рода называются те точки, в
которых вторая производная равна нулю или не существует.
Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения
используется следующая теорема:
Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая
производная f (x) при переходе через точку хо меняет знак, то точка графика с
абсциссой хо является точкой перегиба.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 61 из 115
При исследовании функции y f (x) на выпуклость-вогнутость и точки перегиба
удобно использовать следующий алгоритм:
1. Найдите область определения функции.
2. Найдите первую производную функции f (x) .
3. Найдите вторую производную функции f (x) .
4. Определите критические точки второго рода ( f (xo)=0 или
f (xo) не
существует).
5. На числовой оси отметьте критические точки второго рода и определите знаки
второй производной на каждом из получившихся интервалов.
6. Найдите интервалы выпуклости-вогнутости графика функции, используя
соответствующие критерии; выпишите абсциссы точек перегиба (если они
есть) и найдите значение функции в этих точках.
Пример 1. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба
1
3
графика функции y x 3 3x 2 5 x 5 .
Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.
1
3
2. Найдем первую производную функции: y 3x 2 3 2 x 5 = x 2 6 x 5 .
3. Найдем вторую производную функции: y ( x 2 6 x 5) =2х-6.
4. Определим критические точки второго рода ( y 0): 2х-6= 0 х=3.
5. На числовой оси отметим критическую точку х=3. Она разбивает область
определения функции на два интервала (-∞;3) и (3;+∞). Расставим знаки второй
производной функции y 2х-6 на каждом из полученных интервалов:
при х=0 (-∞;3) y (0)=-6<0;
при х=4 (3;+∞) y (4)= 2∙4-6=2>0.
f (x)
f (x)
6.
y
+
вып.
3
х
вогн.
т. перегиба
Согласно
критерию
выпуклости-вогнутости
график
1 3
x 3 x 2 5 x 5 выпуклый при х (-∞;3), вогнутый при х (3;+ ∞).
3
функции
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 62 из 115
Значение х=3 – абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при х=3:
y (3)
1 3
3 3 3 2 5 3 5 = 9 27 15 5 =2. Итак, точка с координатами (3;2) – точка
3
перегиба.
1
3
Ответ: график функции y x 3 3x 2 5 x 5 выпуклый при х (-∞;3),
вогнутый при х (3;+ ∞); (3;2) – точка перегиба.
Пример 2. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба
x2 5
графика функции y
.
x7
Решение. 1. Данная функция определена в том случае, когда знаменатель
отличен от нуля: х-7≠0 x 7 .
2. Найдем первую производную функции:
y
=
( x 2 5) ( x 7) ( x 7) ( x 2 5) 2 x ( x 7) ( x 2 5) 2 x 2 14 x x 2 5
=
=
=
( x 7) 2
( x 7) 2
( x 7) 2
x 2 14 x 5
.
( x 7) 2
x 2 14 x 5
=
3. Найдем вторую производную функции: y =
2
(
x
7
)
=
( x 2 14 x 5) ( x 7) 2 (( x 7) 2 ) ( x 2 14 x 5)
=
(( x 7) 2 ) 2
=
(2 x 14) ( x 7) 2 2( x 7) ( x 2 14 x 5)
.
( x 7) 4
Вынесем в числителе 2∙(х-7) за скобки:
y =
2( x 7) (( x 7) ( x 7) ( x 2 14 x 5))
( x 7) 2 ( x 2 14 x 5)
=2∙
=
( x 7) 4
( x 7) 3
=2
x 2 14 x 49 x 2 14 x 5
54
108
=2
=
.
3
3
( x 7)
( x 7) 3
( x 7)
4. Определим критические точки второго рода: y не может быть равна нулю,
поскольку числитель дроби 108≠0.
y не существует, если (х-7)3=0 x 7 - критическая точка второго рода.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 63 из 115
5. На числовой оси отметим критическую точку х=7 выколотой точкой,
x2 5
поскольку в этой точке функция y
не определена. Эта точка разбивает
x7
область определения функции на два интервала (-∞;7) и (7;+∞). Расставим знаки
второй производной функции y =
108
на каждом из полученных интервалов:
( x 7) 3
при х=6 (-∞;7) y (6)=
108
<0;
(6 7) 3
при х=8 (7;+∞) y (8)=
108
>0.
(8 7) 3
f (x)
f (x) вып. 7
+
х
вогн.
6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции y
x2 5
x7
является выпуклым при х (-∞;7), вогнутым при х (7;+ ∞).
Точка с абсциссой х=7 не может быть точкой перегиба, т.к. в этой точке
функция не существует (терпит разрыв).
x2 5
Ответ: график функции y
выпуклый при х (-∞;7), вогнутый при х (7;+ ∞).
x7
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. учреждений СПО /
В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2014. – 320с.
– Глава 6, §6.8, стр. 141 – 144.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 64 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 10. Нахождение асимптот графика функции – 1 ч.
Цель: формирование умения находить асимптоты графика функции.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
10.1.Запомните основные виды асимптот графика функции. Проанализируйте, в
каких случаях график функции имеет вертикальную асимптоту, в каких горизонтальную или наклонную.
10.2.Детально изучите и постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий находить
асимптоты графика функции.
10.3. Найдите асимптоты графика функции:
а) y x
4x 2 x 2
x4
3x 6
2
; б) yx
; в) y x 2
; г) yx 2 .
x7
x5
x 2х
2x 1
10.4. Найдите асимптоты графика функции:
а) yx x 2 e x ; б) yx 3 1 x 3 .
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического
материала:
Поиск асимптот является одним из важных этапов построения графиков функций.
Асимптоты бывают трех видов: вертикальная, горизонтальная и наклонная.
1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции y f (x) ,
f ( x) .
если lim
xa
2. Прямая у=с называется горизонтальной асимптотой графика функции y f (x)
f ( x) c .
, если lim
x
3. Прямая у=kx+bназывается наклонной асимптотой графика функции y f (x) ,
( f ( x) kx b) 0 .
если lim
x
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 65 из 115
На чертеже асимптоты принято обозначать пунктирными линиями.
Рассмотрим следующий искусственно составленный график функции (рис.1), на
примере которого хорошо видны все виды асимптот:
у
х=а – вертикальная
асимптота
у=c
у=c – горизонтальная
у=f(x)
c
0
у=kx+b
а
х
асимптота
у=kx+b – наклонная
Рис. 1
х=а
асимптота
Горизонтальные и наклонные асимптоты рассматриваются только при условии
x →∞. Иногда их различают на горизонтальные и наклонные асимптоты при x →+∞
и x →-∞.
Для поиска асимптот удобно использовать следующий алгоритм:
1. Для поиска вертикальных асимптот находим точки, не принадлежащие
f ( x) ,
области определения (х=а) и проверяем следующее условие: если lim
xa
то х=а – вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть одна, несколько или не быть совсем.
f ( x) c .
2. Для поиска горизонтальных асимптот находим lim
x
Если с – число, то у=с – горизонтальная асимптота;
Если с – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.
3. Для поиска наклонных асимптот находим lim
x
f ( x)
k.
x
( f ( x) kx) . Тогда у=kx+b –
Если k– число, отличное от 0, то находим b lim
x
наклонная асимптота;
Если k – бесконечность, то наклонных асимптот нет.
Если функция представляет собой отношение двух многочленов, то при наличии
у функции горизонтальных асимптот наклонные асимптоты искать не будем – их
нет.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 66 из 115
Рассмотрим примеры нахождения асимптот функции:
Пример 1. Найдите асимптоты графика функции y
2x 1
.
x 1
Решение. 1. Найдем область определения функции: х-1≠0; х≠1.
Проверим, является ли прямаях=1 вертикальной асимптотой. Для этого
вычислим предел функции y
2x 1
2x 1 1
в точке х=1: lim
.
x
1
x 1
x 1 0
f ( x) , следовательно, х=1 - вертикальная асимптота.
Получили, что lim
x 1
f ( x) c : с= lim
2. Для поиска горизонтальных асимптот находим lim
x
x
Поскольку
в
пределе
фигурирует
правилом Лопиталя: с = lim
x
неопределенность ,
2x 1
2
2.
= lim
x
x 1
1
Т.к. с=2
2x 1
.
x 1
воспользуемся
(число), то у=2 –
горизонтальная асимптота.
Так как функция представляет собой отношение многочленов, то при наличии
горизонтальных асимптот утверждаем, что наклонных асимптот нет.
Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х=1 и
горизонтальную асимптоту у=2.
Ответ:
график функции y
2x 1
имеет вертикальную асимптоту х=1 и
x 1
горизонтальную асимптоту у=2.
Пример 2. Найдите асимптоты графика функции y
x2 1
.
x2
Решение. 1. Найдем область определения функции: х-2≠0; х≠2.
Проверим, является ли прямаях=2 вертикальной асимптотой. Для этого
x2 1 5
x2 1
вычислим предел функции y
в точке х=2: lim
.
x 2 x 2
x2
0
f ( x) , следовательно, х=2 - вертикальная асимптота.
Получили, что lim
x2
f ( x) c : с= lim
2. Для поиска горизонтальных асимптот находим lim
x
x
x2 1
.
x2
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Поскольку
правилом
в
пределе
Лопиталя:
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 67 из 115
неопределенность ,
фигурирует
x2 1
2x
= lim
.
x 1
x x 2
с= lim
Т.к.
с
–
воспользуемся
бесконечность,
то
горизонтальных асимптот нет.
3. Для поиска наклонных асимптот находим lim
x
f ( x)
k:
x
x2 1
x2 1
x2 1 1
x2 1
= lim 2
.
: x = lim
= lim
x x 2
x x 2
x x x( x 2) x x 2 x
k lim
Получили неопределенность вида , воспользуемся правилом Лопиталя:
x2 1
2x
( f ( x) kx) .
= lim
=1.Итак, k 1. Найдем bпо формуле: b lim
x
x 2 x 2
x x 2 2 x
lim
x2 1
x 2 1 x ( x 2)
=
x = lim
x x 2
x2
x
b= lim
= lim
x
x 2 1 x 2 2x
2x 1
2.
= lim
x x 2
x2
Получили, чтоb= 2. Тогда у=kx+b – наклонная асимптота. В нашем случае она
имеет вид: у=x+2.
Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х=2 и
наклонную асимптоту у=x+2.
Ответ: график функции
x2 1
y
x2
имеет вертикальную асимптоту х=2 и
наклонную асимптоту у=x+2.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. учреждений СПО /
В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2014. – 320с.
– Глава 6, §6.9, стр. 144 – 146.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 68 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 11. Полное исследование функции и построение графика – 2 ч.
Цель: формирование умения проводить полное исследование функции и стоить её
график.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
11.1.Выполните домашнюю контрольную работу №1.
Проведите полное исследование функции и постройте её график.
Вариант
Функция
Вариант
Функция
19
y
x2 4
x
10
28
y
2
20
x3
y 2
x 1
11
29
y 2x
3
21
y
3x
1 x2
12
30
y
x2 1
x2 1
4
22
y x
x2
x2
5
23
y
6
24
x3
y 2
x 4
7
25
1
y
1
x
13
31
y
1
x 1
14
32
y x
2
x2 2x 2
x 1
8
26
y
9
27
y
x
x 4
2
1
x2
4
x2
15
33
x2 4
y
x
16
34
y
2x
1 x2
17
35
2 x3
x4
18
36
y
1 4x2
x
x2 6x 5
x
y
2
x2
x
Методические указания по выполнению работы:
При исследовании функции y f (x) используйте следующую схему:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 69 из 115
1. Найдите область определения функции (если функция представляет собой дробь,
то знаменатель дроби должен быть отличен от нуля).
2. Исследуйте функцию на четность-нечетность:
если f ( x) f ( x) , то функция четная (график четной функции симметричен
относительно оси Оу);
если
f ( x) f ( x) ,
то
функция
нечетная
(график
нечетной
функции
симметричен относительно начала координат);
в противном случае функция ни четная, ни нечетная.
3. Исследуйте функцию на периодичность (среди изучаемых нами функций
периодическими могут быть только тригонометрические функции).
4. Найдите точки пересечения графика функции с осями координат:
Ох: у=0 (решаем уравнение лишь в том случае, если можем использовать
известные нам методы);
Оу: х=0.
5. Найдите первую производную функции и критические точки ( f ( x) 0 или f (x) не
существует).
6. Найдите интервалы монотонности, точки экстремума и экстремумы функции.
7. Найдите вторую производную функции и критические точки ( f ( x) 0 или f (x)
не существует).
8. Найдите интервалы выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба.
9. Найдите асимптоты графика функции.
10. Постройте график функции. Для этого задайте систему координат и выполните
следующие действия:
отметьте точки экстремума и экстремумы функции (найдены в п.6), причем
рекомендуется прямо на чертеже обозначить поведение графика функции в
окрестности этих точек дугами: или
;
отметьте точки перегиба (найдены в п.8);
отметьте точки пересечения графика функции с осями координат (найдены
в п.4);
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 70 из 115
постройте асимптоты графика функции пунктирными линиями (найдены в
п.9);
пользуясь полученными данными о промежутках возрастания, убывания,
выпуклости и вогнутости, постройте график функции с учётом его поведения
вблизи асимптот:
вертикальной
горизонтальной
наклонной
или
или
или
или
или
или
проверьте, соответствует ли график функции результатам проведенного
исследования.
11. Выберите
контрольные
точки
вблизи
точек
экстремума,
найдите
соответствующие значения у, проверьте правильность построения графика.
Если при выполнении домашней контрольной работы возникают вопросы,
разберите решение аналогичного примера 1:Постройте график функции f ( x)
x2
.
x3
Решение. 1. Данная функция определена на всей числовой прямой за
исключением х=3, т.к. в этой точке знаменатель обращается в ноль.
2. Для определения четности и нечетности функции найдем f ( x) :
f ( x)
x2
( x) 2
x2
=
=
.
x 3 ( x 3)
x3
Видим,
что
f ( x) f ( x)
и
f ( x) f ( x) ,
x2
следовательно, функция f ( x)
ни четная, ни нечетная.
x3
3. Функция непериодическая.
4. Найдем точки пересечения с осями координат. Для нахождения точки
пересечения с осью Ох примем у=0. Получим уравнение:
Итак, точка (0; 0) – точка пересечения с осями координат.
x2
0 x2 0 x 0 .
x3
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 71 из 115
5. Найдем производную функции по правилу дифференцирования дроби:
( x 2 ) ( x 3) ( x 3) x 2 2 x ( x 3) x 2 2 x 2 6 x x 2 x 2 6 x x ( x 6)
=
=
=
=
.
f ( x)
( x 3) 2
( x 3) 2
( x 3) 2
( x 3) 2
( x 3) 2
Для нахождения критических точек первого рода найдем точки, в которых
производная функции равна 0 или не существует.
f ( x) 0 ,
если
x ( x 6)
=0, следовательно, x( x 6) 0 . Произведение тогда равно
( x 3) 2
0, когда хотя бы один из множителей равен 0: x 0 или x 6 .
f (x) не
существует, если знаменатель (х-3)2 равен 0, т.е. f (x) не существует
при х=3.
Итак, функция имеет три критические точки первого рода: x1 0 ; x2 6 ; x3 3
.
6. На числовой оси отметим критические точки первого рода, причем точку
x3 3 отмечаем выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена.
Расставляем знаки производной f (x) =
f (x) +
f (x )
-
0
т.max
3
+
6
т.min
x ( x 6)
на каждом промежутке:
( x 3) 2
х
На промежутках, где f ( x) 0 , исходная функция возрастает (при x (-∞;0]
6; ), где f ( x) 0 - убывает (при x [0;3) (3;6]).
Точка х=0 является точкой максимума функции. Для нахождения максимума
функции найдем значение функции в точке 0: y max f (0)
02
0.
03
Точка х=6 является точкой минимума функции. Для нахождения минимума
функции найдем значение функции в точке 6: y min f (6)
62
36
12 .
63 3
7. Найдем вторую производную функции как производную от первой
x 2 6 x ( x 2 6 x) ( x 3) 2 (( x 3) 2 ) ( x 2 6 x)
=
производной: f (x)
=
2
(( x 3) 2 ) 2
( x 3)
=
(2 x 6) ( x 3) 2 2( x 3) ( x 2 6 x)
.
( x 3) 4
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 72 из 115
Вынесем в числителе х-3 за скобки и выполним сокращение:
( x 3) [( 2 x 6) ( x 3) 2( x 2 6 x)] 2 x 2 6 x 6 x 18 2 x 2 12 x
=
.
f (x )
( x 3) 4
( x 3) 3
Приведем в числителе подобные слагаемые: f (x)
18
.
( x 3) 3
Найдем критические точки второго рода: точки, в которых вторая производная
функции равна нулю или не существует.
f (x ) 0,
если
18
=0. Данная дробь не может равняться нулю, следовательно,
( x 3) 3
точек, в которых вторая производная функции равна нулю, нет.
f (x)
не существует, если знаменатель (х-3)3 равен 0, т.е. f (x) не существует
при х=3.
Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода: x 3 .
8. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
На числовой оси отметим критическую точку второго рода выколотой точкой,
т.к. в ней функция не определена.
Расставляем знаки второй производной f (x)
f (x)
f (x )
вып.
+
3
18
на каждом промежутке:
( x 3) 3
х
вогн.
На промежутках, где f ( x) 0 , исходная функция вогнута (при x (3;+∞)), где
f ( x) 0 -
выпукла (при x (-∞;3)).
Точка х=3 не является точкой перегиба графика функции, т.к. в ней исходная
функция не определена.
9. Найдем асимптоты графика функции.
9.1. Поскольку область определения функции – все действительные числа за
исключением х=3, то проверим, является ли прямая х=3 вертикальной асимптотой.
Для этого вычислим предел функции f ( x)
x2
x2
9
в точке х=3: lim
.
x 3 x 3
x3
0
f ( x) , следовательно, х=3 - вертикальная асимптота.
Получили, что lim
x 3
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 73 из 115
x2
9.2. Для поиска горизонтальных асимптот находим lim
.
f ( x) c : с= lim
x
x x 3
Поскольку в пределе фигурирует неопределенность
, воспользуемся правилом
x2
2x
Лопиталя: с= lim
= lim
. Т.к. с – бесконечность, то горизонтальных
x 1
x x 3
асимптот нет.
9.3. Для поиска наклонных асимптот находим lim
x
f ( x)
k:
x
x2
x2
x2
= lim 2
=1.
: x = lim
k lim
x x 3 x
x x 3
x x( x 3)
( f ( x) kx) .
Итак, k 1. Найдем bпо формуле: b lim
x
x2
x 2 x ( x 3)
x 2 x 2 3x
3x
3.
b= lim
= lim
= lim
x = lim
x
x
x
x x 3
x3
x3
x3
Получили, чтоb= 3. Тогда у=kx+b – наклонная асимптота. В нашем случае она
имеет вид: у=x+3.
Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х=3 и
наклонную асимптоту у=x+3.
10. По полученным ранее данным строим график функции . Поскольку к
построению графика предъявляются высокие требования,
система координат должна быть задана корректно: должно
у
y
присутствовать обозначение осей Ох, Оу, начало отсчета,
единицы измерения по каждой оси.
у=х+3
отметим экстремальные точки: (0;0) – вершина дуги
, (6;12) – вершина дуги ;
12
x2
x3
проведём асимптоты графика функции: х = 3 и у =
1
3
0 1 6
х=3
х
x+3 пунктирными линиями;
пользуясь полученными данными о промежутках возрастания, убывания,
выпуклости и вогнутости, построим график функции.
11. Для более точного построения можно выбрать несколько контрольных точек.
Например, найдем значения функции в точках -2 и 7:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
(2) 2
4
f (2)
0,8 ;
23 5
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 74 из 115
72
49
f (7)
12,25 .
73 4
Корректируем график функции с учетом контрольных точек.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. учреждений СПО /
В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2014. – 320с.
– Глава 6, §6.9, стр. 146 – 148.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 75 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 12. Нахождение неопределённых интегралов методом
непосредственного интегрирования – 1 ч.
Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом
непосредственного интегрирования.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
12.1.Проанализируйте,
чем
операция
интегрирования
отличается
от
дифференцирования. Выучите определение первообразной функции, основное
свойство первообразных. Разберите, что называют неопределённым интегралом,
каковы его основные свойства. Ответьте на контрольные вопросы:
1. Какую операцию называют интегрированием?
2. Что называют первообразной данной функции?
3. Сколько первообразных имеет любая функция?
4. В чём заключается основное свойство первообразных и каков его
геометрический смысл?
5. Что называют неопределённым интегралом от функции у = f(x)?
6. Перечислите основные свойства неопределённого интеграла.
7. В чём заключается сущность метода непосредственного интегрирования?
12.2. Найдите интеграл методом непосредственного интегрирования:
а)
3x
2
г) 3 x 2
10 x 5 dx ;
1
2
4 dx ;
4
x
x
б) 3 5 x 4 cos x dx ; в) 5 sin x
д)
7
x
2x 2 x 3
dx ;
x2
е)
2
dx ;
sin 2 x
3 1 x2
1 x2
dx .
12.3. Найдите интеграл:
а)
1 4x
1 2 x dx ;
б)
x 35 x 2 1
dx ;
4
x
в)
sin 3 x cos 3 x
dx ;
1 0,5 sin 2 x
г)
x2
dx .
x2 1
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 76 из 115
Методические указания по выполнению работы:
Напомним, что суть дифференцирования: по заданной функции f(x) найти её
производную.
Интегрирование – операция, обратная дифференцированию: нахождение
первоначальной функции F(x) по известной производнойf(x).
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а;b),
если для всех x из этого промежутка справедливо равенство: F'(x) = f(x).
Основное свойство первообразных: множество первообразных для функции f(x)
задается формулой: F(x) + C, где С – константа.
Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределённым
интегралом от функции f(x)и обозначается символом
т.е.
f ( x)dx ,
f ( x)dx = F(x) + C.
Свойства неопределенного интеграла:
1. af ( x)dx a f ( x)dx, a- const, a 0;
2. ( f ( x) g ( x)) dx f ( x)dx g ( x)dx .
Для нахождения неопределённых интегралов существует несколько методов.
Рассмотрим первый метод – метод непосредственного интегрирования.
В основе метода – сведение неопределенного интеграла к одному или
нескольким табличным путем преобразований подынтегральной функции и
применения свойств неопределенного интеграла.
Основные формулы интегрирования:
1. dx x C
11. e x dx e x C
x2
2. xdx C
2
ax
C , а – const
12. a dx
ln a
3. x n dx
x n 1
C
n 1
4.
1
x dx ln x C
5.
x
1
2
dx
1
C
x
x
1
13.
1 x
14.
2
dx arctgx C
1
1 x2
dx arcsin x C
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04 Версия 1.
Идентификационный номер –
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст. Стр. 77 из 115
1
dx
x
6. dx 2 x C
15. 2 2 arcsin C , а – const
a
x
a x
7. sin xdx cos x C
16.
17.
x
2
18.
x
2
x 2
a2
2
x a dx
x a
ln x x 2 a 2 C
2
2
8. cos xdx sin x C
1
9. 2 dx tgx C
cos x
1
10. 2 dx ctgx C
sin x
dx
ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
19.
a x
2
2
ln x x 2 a 2 C
dx
1
x
arctg C
2
a
a
a
dx
1
xa
ln
C
2
2a x a
a
2
2
При нахождении неопределенных интегралов методом непосредственного
интегрирования используйте следующие рекомендации:
Проанализируйте, что представляет собой выражение под знаком интеграла.
Если подынтегральное выражение представляет собой сумму или разность
функций,
то
воспользуйтесь
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
свойством:
:представьте интеграл как сумму и разность соответствующих интегралов.
Вынесите константы за знаки интегралов
( af ( x)dx a f ( x)dx )и возьмите табличные интегралы (разберите пример 1).
Если в подынтегральном выражении встречаются члены вида
1
помощью формул п = х-п;
x
n
табличному интегралу: x n dx
x
m
m
n
x ;
n
1
xm
x
m
n
1 n m
, x ,
xп
1
n
xm
, то с
приведите каждый одночлен к
x n 1
C (разберите пример 2).
n 1
Если подынтегральное выражение представляет собой произведение функций,
попробуйте раскрыть скобки, выполнить преобразования и прийти к табличным
интегралам (разберите пример 3).
Если подынтегральное выражение представляет собой дробь, в знаменателе
которой стоит одночлен, то разделите почленно каждое слагаемое числителя на
знаменатель и придите к табличным интегралам (разберите пример 4).
В остальных случаях попробуйте:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
o разложить
числитель
и
знаменатель
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 78 из 115
на
множители
и
выполнить
соответствующие сокращения;
o добавить и вычесть из числителя какое-либо выражение, чтобы возможно
было представить дробь как сумму двух дробей, одна из которых сокращается,
а от другой можно взять табличный интеграл.
Пример 1. Найдите ( x 4 2 x 5)dx .
Решение. Воспользуемся свойствами неопределенного интеграла: представим
интеграл как сумму и разность соответствующих интегралов: ( x 4 2 x 5)dx =
x
4
dx 2 xdx 5dx .
Вынесем константы за знак интеграла:
табличными
интегралами.
Получим,
x
4
dx 2 xdx 5 dx и
воспользуемся
x5
x2
( x 2 x 5)dx = 5 2 2 5x C =
что
4
x5
x 2 5x C .
5
Ответ: ( x 4 2 x 5)dx =
Пример 2. Найдите (3 x 2
x5
x 2 5x C .
5
2
6
5 )dx .
3
x
x
Решение. Каждое слагаемое, стоящее под знаком интеграла, представим в виде
степени с рациональным показателем. Для этого применим следующие свойства
m
степени: а-п =
1
; a n n a m . Тогда
п
а
2
3
( x
2
1
2
6
5 )dx = ( x 3 2 x 3 6 x 5 )dx .
3
x
x
Представим данный интеграл как сумму и разность интегралов, вынесем
2
1
константы за знак интеграла: x 3 dx 2 x 3 dx 6 x 5 dx .
Воспользовавшись табличным интегралом x n dx
2
1
1
1
x n 1
C , получим:
n 1
5
4
x3
x 31
x 5
x3
x 2
x5
3
2
6
C
2
6
C =
x
dx
2
x
dx
6
x
dx
=
=
2
1
5
4
3 1
2
1
1
3
5
3
5
2
3
1
5
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 79 из 115
5 x 2
4
3 1
5
6x 5 : C = x 3 2 6x 5 C =
=x :
3
1
5
5 x
4
5
3
4
5
4
33 x 5
1 65 x 4 5
33 x 5
1 35 x 4 5
=
2
C =
2
C .
5
4
5
2
x
x
Ответ: (3 x 2
33 x 5
1 35 x 4 5
2
6
=
)dx
2
C .
5
2
x3 5 x
x
ex
Пример 3. Найдите e (4 2 )dx .
sin x
x
Решение. Раскрывая скобки и применяя табличные интегралы, получим:
x
e (4
ex
e x ex
1
x
=
)
dx
4
e
dx
dx = 4 e x dx 2 dx = 4e x ctgx C .
2
2
sin x
sin x
sin x
Ответ: e x (4
Пример 4. Найдите
ex
)dx = 4e x ctgx C .
2
sin x
4 x 3 5 x 2 3x 2
dx .
x2
Решение. Разделим почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель.
Получим
4 x 3 5 x 2 3x 2
4 x 3 5 x 2 3x 2
3 2
2 2 2 2 dx = 4 x 5 2 dx .
=
dx
2
x x
x
x
x
x
x
Представим данный интеграл как сумму и разность интегралов, вынесем
константы за знак интеграла:
4x 2
2
1
1
2
4 xdx 5 dx 3 dx 2 2 dx =
5 x 3 ln x C = 2 x 2 5 x 3 ln x C .
x
x
2
x
x
Ответ:
4 x 3 5 x 2 3x 2
2
dx = 2 x 2 5 x 3 ln x C .
2
x
x
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб.для студентов СПО / В.П.
Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2014.-320 с. - Глава 7, п. 7.1, 7.2, стр.
150 – 154.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 80 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 13. Нахождение неопределённых интегралов методом подстановки – 2 ч.
Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом
подстановки.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
13.1.Разберите,
какие
функции
можно
считать
«некоторыми
сложными
функциям», какова техника нахождения интеграла от «некоторых сложных
функций». Проанализируйте, в чём заключается сущность метода замены
переменной в неопределённом интеграле (метода подстановки). Разберите алгоритм
нахождения неопределённого интеграла методом подстановки. Ответьте на
контрольные вопросы:
1. Какие функции мы будем считать «некоторыми сложными»?
2. Какова техника нахождения интегралов от «некоторых сложных функций»?
3. В чём заключается сущность метода интегрирования подстановкой?
13.2. Найдите интеграл от «некоторых сложных функций»:
1
5
а) e 5 x dx ; б) cos xdx ; в)
1
dx ;
2x 1
г) (3 4 x) 5 dx ; д)
1
dx .
2 x3
13.3. Найдите интеграл методом замены переменной (подстановки):
а) x 2 452 x dx ;
3
б)
1
1
sin 3 dx ;
2
x
x
в)
x
dx ;
sin ( x 2 3)
2
д) sin x 54 cos xdx .
13.4. Найдите интеграл:
а)
1
x 6 ln x 3
5
dx ; б)
x 4 arcsin x
1 x2
dx ; в)
e tgx 7 sin x 5 sin 2 x
dx .
cos 2 x
Методические указания по выполнению работы:
г)
1
cos 2 x tgx
dx ;
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 81 из 115
Некоторыми сложными функциями будем считать функции вида f(kx+b), где
k иb – любые действительные числа, f(x) – функция, от которой существует
табличный интеграл.
Так, cos(4 x 2), e1 x , sin 2 x, (5 3x) 4 - примеры некоторых сложных функций. В
аргументе этих функций переменная х находится только в первой степени!
Для
нахождения
использовать формулу:
интеграла
от
некоторых
1
f (kx b)dx k F (kx b) C
сложных
функций
будем
или применять следующий
алгоритм:
1. Проанализируйте, к какому табличному интегралу можно свести данный
интеграл.
2. Вместо х в табличный интеграл подставьте выражение kх+b из исходного
интеграла.
3. В правую часть введите дополнительный множитель
1
, где k – коэффициент
k
перед х.
Рассмотрим нахождение интеграла от некоторых сложных функций на примерах.
Пример 1. Найдите sin 2 xdx .
Решение. Видим, что под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция.
Воспользуемся табличным интегралом sin xdx cos x C .
В нашем примере в качестве аргумента выступает угол 2х. Выделим
коэффициент k, стоящий перед х: k = 2, следовательно, в правую часть мы должны
ввести множитель
1
1
1
, то есть . Тогда получим, что sin 2 xdx cos 2 x C .
k
2
2
1
2
Ответ: sin 2 xdx cos 2 x C .
Пример 2. Найдите e1 x dx .
Решение.
Под
знаком
интеграла
стоит
некоторая
Воспользуемся табличным интегралом e x dx e x C .
сложная
функция.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 82 из 115
В примере в качестве аргумента выступает выражение 1 - х. Выделим
коэффициент k, стоящий перед х: k = -1, следовательно, в правую часть вводим
множитель (-1). Тогда получим, что e1 x dx e1 x C .
Ответ: e1 x dx e1 x C .
Пример 3. Найдите
Решение.
Под
1
0,5x 3 dx .
знаком
интеграла
Воспользуемся табличным интегралом
стоит
некоторая
сложная
функция.
1
x dx ln x C .
В примере в качестве аргумента выступает выражение 0,5х+3. Выделим
коэффициент k, стоящий перед х: k = 0,5, следовательно, в правую часть введём
множитель 1:0,5=2. Тогда получим, что
Ответ:
1
dx 2 ln 0,5 x 3 C .
0,5 x 3
1
dx 2 ln 0,5 x 3 C .
0,5 x 3
Пример 4. Найдите (5 3 x) 4 dx .
Решение.
Под
знаком
интеграла
стоит
Воспользуемся табличным интегралом x n dx
некоторая
сложная
функция.
x n 1
C.
n 1
В примере в качестве аргумента выступает выражение 5 - 3х. Выделим
коэффициент k, стоящий перед х: k = -3, следовательно, в правую часть введём
1 (5 3x) 5
(5 3x) 5
C=
C.
3
5
15
множитель (-1/3). Тогда получим, что (5 3x) 4 dx
Ответ: (5 3 x) 4 dx =
(5 3x) 5
C.
15
Сущность метода интегрирования подстановкой заключается в том, что
путем введения новой переменной удаётся свести заданный интеграл к новому
интегралу, который является табличным.
В основе метода подстановки лежит формула замены переменной в
неопределенном интеграле:
f ( g ( x)) g ( x)dx f (u )du .
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 83 из 115
Для нахождения неопределенного интеграла методом подстановки (замены
переменной) целесообразно использовать следующий алгоритм:
1. Введите новую переменную uтаким образом, чтобы под знаком интеграла стояла
функция, содержащая и (от этой функции должен существовать табличный
интеграл), и производная и.
2. Найдите du по формуле: du=и'dx.
3. Выразите dx через du(при этом помните, что если множитель в одной части
формулы находился в числителе, то в другую часть он перейдет в знаменатель и
наоборот: если множитель находился в знаменателе, то в другую часть он
«перейдёт» в числитель).
4. Подставьте и и dx в исходный интеграл. Если подстановка выполнена верно, то
произойдет сокращение одинаковых множителей и интеграл сведется к
табличному относительно переменной и: f (u )du .
5. Пользуясь таблицей неопределённых интегралов, возьмите полученный интеграл
с переменной и.
6. Перейдите от переменной интегрирования и к исходной переменной х.
Рассмотрим применение метода подстановки на конкретных примерах.
Пример 5.Найдите x e x dx .
2
Решение. 1. Выполним подстановку u = х2 с целью прийти к интегралу от
функции еи.
2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=(х2)'dx =2хdx.
3. Выразим dx из выражения пункта 2 (du=2хdx): dx
4. Подставим и иdx в исходный интеграл:
du
.
2x
x
u
x e dx = x e
2
du
. Видим, что
2x
переменную х можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной и:
e
u
du
.
2
5. Для нахождения полученного интеграла константу
1
вынесем за знак интеграла:
2
1 u
1
1
e du . По таблице неопределенных интегралов находим, что e u du = e u C .
2
2
2
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 84 из 115
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
2
1
1 2
6. Поскольку u=х2, x e x dx = e u C = e x C .
2
2
1
2
Ответ: x e x dx = e x C
2
Пример 6. Найдите
cos x
sin x 1
2
dx .
Решение. 1. Выполним подстановку u= sin x 1 . Тогда под знаком интеграла
будет стоять функция от u(
1
u
) и производная u (u'=cosx).
2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=( sin x 1 )' dx = cosхdx.
3. Выразим dx из выражения пункта 2 (du=cosхdx): dx
4. Подставим и иdx в исходный интеграл:
cos x
sin x 1
du
.
cos x
dx =
cos x
u
du
. Видим, что cosх
cos x
можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной и:
5. По таблице неопределенных интегралов находим, что
6. Поскольку u= sin x 1 ,
cos x
sin x 1
du
u
du
u
.
=2 u C .
dx = 2 u C = 2 sin x 1 C .
Ответ:
cos x
sin x 1
dx = 2 sin x 1 C .
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб.для студентов СПО / В.П.
Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2014.- 320 с. - Глава 7, п. 7.2, стр. 153
– 156.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 85 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 14. Нахождение неопределённых интегралов методом по частям – 1 ч.
Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом по
частям.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
14.1.Проанализируйте, в чём заключается сущность метода интегрирования по
частям. Разберите алгоритм нахождения неопределённого интеграла методом по
частям. Ответьте на контрольные вопросы:
1. В чем заключается сущность метода интегрирования по частям?
2. Приведите формулу метода интегрирования по частям.
3. В каких типах интегралов целесообразно использовать метод интегрирования
по частям? Что принимать за и, а что за dv?
14.2. Найдите интеграл методом по частям:
1
2
а) ( x 2) sin xdx ; б) x cos xdx ; в) (3x 6)e 5 x dx ; г) arcsin xdx .
24.3. Найдите интеграл:
а) x 2 cos xdx ; б) e x cos xdx (указание: за и обозначьте e x ); в)
arccos x
1 x
dx .
Методические указания по выполнению работы:
При вычислении интеграла методом по частям подынтегральное выражение
f ( x)dx
представляют в виде произведения двух множителей u и dv, причем dх
обязательно входит в dv. Далее пользуются формулой интегрирования по частям:
udv uv vdu .
Существуют интегралы, которые удобно находить методом интегрирования по
частям:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
1. В интегралах вида
P( x)a
kx
P ( x )e
dx ,
kx
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 86 из 115
dx , P( x) sin kxdx ,
P( x) cos kxdx ,
где Р(х) –
многочлен, k- const, за и принимают многочлен Р(х), остальные множители – за
dv.
2. Если в подынтегральной функции один из множителей - логарифмическая или
обратные тригонометрические функции (arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx), то их
обозначают за и, остальные множители – за dv.
Для нахождения неопределенного интеграла методом по частям используйте
следующий алгоритм:
1. Разбейте подынтегральное выражение на u и dv (в соответствии с правилом,
рассмотренным выше).
2. Найдите dи = и'dx и v dv .
3. Подставьте u, v, dи и dv в формулу
udv uv vdu
и возьмите получившийся
интеграл.
Рассмотрим применение метода интегрирования по частям на примерах.
Пример 1. Найдите x ln xdx .
Решение. 1. Поскольку под знаком интеграла встречается логарифмическая
функция, то ее принимаем за u: u=lnx. Остальные множители принимаем за dv:
dv=хdx.
1
x
2. Находим dи=и'dx: dи=(lnx)'dx= dx .
Находим v dv : v xdx =
x2
(полагаемС=0).
2
3. Воспользуемся формулой udv uv vdu : x ln xdx =lnx·
x2
x2 1
- dx =
2
2 x
x2
x 2 ln x x 2
x
C.
=lnx· - dx =
2
2
2
4
Ответ: x ln xdx =
Пример 2. Найдите (2 x 3) e 3 x dx .
x 2 ln x x 2
C.
2
4
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Решение. 1. Исходный интеграл имеет вид
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 87 из 115
P ( x )e
kx
dx , следовательно, за и
принимают многочлен (и = 2х-3), остальные множители – за dv: dv = е3хdx.
2. Находим dи = и'dx: dи = (2х-3)'dx = 2dx.
1
3
Находим v dv : v e 3 x dx = e 3 x (полагаемС=0).
1
3
1
3
3. По формуле udv uv vdu имеем: (2 x 3) e 3 x dx =(2х-3)· e 3 x - e 3 x dx =
(2 x 3) e 3 x e 3 x
=
C.
3
9
Ответ: (2 x 3) e 3 x dx =
(2 x 3) e 3 x e 3 x
C.
3
9
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб.для студентов СПО / В.П.
Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2014.-320 с. - Глава 7, п. 7.2, стр. 153 –
156.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 88 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 15. Решение задач на применение методов интегрирования в
неопределенном интеграле – 1 ч.
Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методами
непосредственного интегрирования, подстановки, по частям.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
15.1.Вспомните, какие основные методы интегрирования существуют. В чём
заключается их сущность?
15.2. Определите, какой метод интегрирования необходимо использовать, и
найдите неопределённый интеграл:
а) 2 2 x 3 dx ; б)
ex
1 e
x 2
x2 3
x
dx
;
в)
x dx ;
x2 3
г) x cos 6 xdx ;
4
д) 5
x
3 x
2
dx ;
x 5
e)
dx .
15.3. Найдите неопределённый интеграл:
а)
x cos x
e arctgx 8 x
dx .
dx ; б) cos 2 x sin 2 x 3 1 sin 2 x dx ; в)
2
sin 3 x
1 x
Методические указания по выполнению работы:
Если в задании не указан метод интегрирования, проанализируйте, можно ли
использовать ранее изученные методы:
1. Метод непосредственного интегрирования используйте, если
интеграл глобально представляет собой сумму или разность табличных
функций;
возможно раскрыть скобки или почленно поделить каждое слагаемое
числителя на знаменатель для получения табличных функций.
Если в решении возникают проблемы – перечитайте методические указания к
заданию 12.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 89 из 115
2. Интегралы от «некоторых сложных» функций берите, если подынтегральная
функция - функция вида f(kx+b), причём от f(x) можно взять табличный интеграл.
Используйте формулу:
1
f (kx b)dx k F (kx b) C .
Если в решении возникают сложности – перечитайте методические указания к
заданию 13.
3. Метод подстановки применяйте, если приняв какое-либо выражение заи под
знаком интеграла окажется табличная функция, содержащая и, и производная и.
Подробный алгоритм Вы найдёте в методических указаниях к заданию 13.
4. Метод интегрирования по частям применяйте для нахождения интегралов
вида P( x)a kx dx , P ( x)e kx dx , P( x) sin kxdx , P( x) cos kxdx ;
внутри которых один из множителей - логарифмическая или обратные
тригонометрические функции (arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx).
Указания к решению таких примеров Вы найдёте в методических указаниях к
заданию 14.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб.для студентов СПО / В.П.
Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2014.- 320 с. - Глава 7, п. 7.1, 7.2, стр.
150 – 156.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 90 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 16. Нахождение определённых интегралов методом непосредственного
интегрирования – 1 ч.
Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом
непосредственного интегрирования и как интегралы от некоторых сложных
функций.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
16.1.Выучите
определение
определенного
интеграла.
Разберите,
в
чём
заключается техника непосредственного интегрирования в определённом интеграле.
Ответьте на контрольные вопросы:
1. Что называют определенным интегралом
b
f ( x)dx ?
a
2. Какими свойствами обладает определенный интеграл?
3. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
4. Какова техника нахождения определённого интеграла при помощи формулы
Ньютона-Лейбница?
5. Какова глобальные отличия определенного интеграла от неопределенного?
16.2.
Найдите
определённый
интеграл
методом
непосредственного
интегрирования или как интеграл от «некоторой сложной» функции:
1
а) (3x 6 x 2)dx ; б)
2
0
1
0
1
3
x
2
dx ;
4
0
0
1
в) sin 4 xdx ; г) e dx ; д)
2 x
1
2
6 x 1 dx .
1
3
Вам известно, что одним из создателей интегрального исчисления
был Готфрид Вильгельм Лейбниц.
Много
гениальных
открытий
принадлежит
Лейбницу.
И
действительно это была неординарная личность! Современников
Лейбница
Г.В.Лейбниц
(1646-1716)
поражали
его
фантастическая
эрудиция,
почти
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 91 из 115
сверхъестественная память и удивительная работоспособность.
А как же любовь? Лейбницу посчастливилось и здесь. Он
полюбил одну из лучших германских женщин – первую
королеву Пруссии.
Лейбниц стал её учителем, когда юной принцессе было 12 лет.
В 16 лет принцессу выдали замуж за тщеславного, недалёкого,
любившего
блеск
и
роскошь
брандербургского
принца
Фридриха.
королева Пруссии
Серьёзная, вдумчивая, мечтательная принцесса не могла выносить пустой и
бессмыссленной придворной жизни. Её отдушиной стала переписка с дорогим и
любимым учителем. Эта переписка прекращалась лищь на время свиданий. В
письмах теперь уже королевы при всей её сдержанности, нравственной чистоте и
сознании долга перед мужем, никогда не ценившем и не понимавшем её,
прорывалось сильное чувство.
Выполнив задание 16.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы
узнаете, как звали королеву, рано ушедшую из жизни, которую искренне и
беззаветно любил Готфрид Вильгельм Лейбниц.
Имя королевы:
а)
б)
в)
г)
д)
Карта ответов:
А
Е
И
Л
М
О
Н
Р
С
Ф
Я
1 e2
1 e2
2
e2 1
2
-0,5
0
3
-2
ln 5
-4
0,5
1
ln 5
3
16.3. Найдите определённый интеграл:
lg 2
1
а) 2 5 dx ; б)
x
0
x
0
x4
x 2
dx .
Методические указания по выполнению работы:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 92 из 115
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называют предел
n
интегральных сумм Sn (Sn= f ( i ) xi ) при п и λ→0 (λ=maxΔхi, где i=1,2,…,п),
i 1
который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на части, ни от выбора
b
n
точек ξi: f ( x)dx = lim f ( i ) xi .
n
0 i 1
a
Числа а и b называются соответственно нижней и верхней границами
интегрирования, f(x) - подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным
выражением, х - переменной интегрирования, отрезок [a;b] – областью
(отрезком) интегрирования.
При нахождении определённых интегралов используют следующие методы:
1. Непосредственное интегрирование – метод, основанный на использовании
свойств определённого интеграла и формулы Ньютона-Лейбница.
Основные свойства определенного интеграла:
1.
2.
b
b
a
a
kf ( x)dx k f ( x)dx (k – const).
b
b
b
a
a
a
( f ( x) g ( x))dx = f ( x)dx ± g ( x)dx .
b
3.
a
a
f ( x)dx = f ( x)dx .
b
Формула Ньютона-Лейбница:
b
f ( x)dx = F ( x)
b
a
F (b) F (a ) .
a
Для нахождения определённых интегралов методом непосредственного
интегрирования можно использовать следующий алгоритм:
1. Найдите неопределённый интеграл от заданной функции (если возникают
сложности, перечитайте методические указания к выполнению задания 12).
2. Выпишите получившуюся первообразную функции, в которую вместо слагаемого
С запишите вертикальную черту с верхними и нижними пределами интегрирования.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 93 из 115
3. По формуле Ньютона-Лейбница в первообразную вместо переменной подставьте
сначала верхний предел интегрирования, затем запишите знак «минус», затем
подставьте нижний предел интегрирования.
Советуем рассмотреть реализацию данного метода на примере:
1
Пример 1. Вычислите ( x 2 4 x 2)dx .
1
Решение.
1.
Найдем
неопределенный
интеграл
от
заданной
функции:
x3
2
( x 4 x 2)dx 3 2 x 2 x C .
2
2. Для нахождения определённого интеграла вместо константы С введём пределы
интегрирования:
1
x3
2 x 2 2 x .
(
x
4
x
2
)
dx
=
1
3
1
1
2
3. В полученную первообразную подставим сначала верхний, потом нижний предел
13
13
x3
2
2
2
=
2
1
2
1
2
1
2
1
интегрирования: 2 x 2 x =
3
3
3
1
1
1 1
2
1
1
1 1
1 1
2 2 2 2 4 . Раскроем скобки: 4 4 4 .
3
3 3
3
3
3 3
3 3
1
2
3
Ответ: ( x 2 4 x 2)dx 4 .
1
2. Интегрирование некоторых сложных функций – метод, основанный на
использовании техники интегрирования некоторых сложных функций и формулы
Ньютона-Лейбница.
Для нахождения определённых интегралов от некоторых сложных функций
можно использовать следующий алгоритм:
1. Найдите неопределённый интеграл от заданной функции, используя формулу
1
f (kx b)dx k F (kx b) C
(если возникают сложности, перечитайте методические
указания к выполнению задания 12).
2. Для получившейся первообразной вместо слагаемого С запишите вертикальную
черту с верхними и нижними пределами интегрирования.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 94 из 115
3. По формуле Ньютона-Лейбница в первообразную вместо переменной подставьте
сначала верхний предел, затем знак «минус», затем нижний предел интегрирования.
Советуем рассмотреть реализацию данного метода на примере:
Пример 2. Вычислите
x
cos 2 dx .
2
Решение. 1.Сначала найдем неопределенный интеграл от заданной функции как
интеграл от некоторой сложной функции, введя пределы интегрирования:
2 sin
x
2
2
.
2
2. Подставим сначала верхний, потом нижний предел интегрирования: 2 sin
2 sin
2
x
cos 2 dx =
2
2
- 2 sin( : 2) = 2 sin
4
2
- 2 sin( ) = 2 sin
+ 2 sin
4
=2∙1+ 2
x
2
==
2
2
=2 2 .
2
x
2
Ответ: cos dx = 2 2 .
2
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб.для студентов СПО / В.П.
Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2014.-320 с. - Глава 7, п. 7.3 - 7.6, стр.
156 – 167.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 95 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 17. Нахождение определённых интегралов методом подстановки – 1 ч.
Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом
подстановки.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
17.1.Разберите, в чём заключается сущность использования метода подстановки
в определённом интеграле.
17.2. Найдите определённый интеграл как интеграл от «некоторой сложной»
функции или методом подстановки:
а)
4
2
1
ctgx
e
dx ; б) 2 dx ;
2x 1
sin x
0
2
в) sin x 1 cos xdx ; г)
3
0
2
2x
1
3
x
2
1
dx ; д)
x
2
sin x 3 dx ;
0
4
е)
1
0
2x
4
x2 1
dx .
Лейбниц успел сделать чрезвычайно много в различных
областях науки. Как ему это удалось? Просто он имел
способность работать в любом месте, в любое время и при
любых условиях. Он много читал, записывал и постоянно
думал.
Большинство
математических
работ
Лейбница
написаны в тряских колымагах, переносивших его по Европе
XVII века. Результатом этой активности стала масса
исписанных бумаг всех размеров и сортов, которые он так и
не разобрал и не опубликовал. Сейчас большинство из них
Здание Берлинской академии
наук (ныне библиотека)
хранится в Ганноверской библиотеке, ожидая своих исследователей.
Лейбница мы можем по-праву назвать гениальным немецким философом,
математиком, юристом и дипломатом. В 1700 году он основал Берлинскую
Академию наук и стал её первым президентом. Но, как ни покажется странным, нет
трудов Лейбница, написанных на родном немецком языке. Почему так? Лейбниц
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 96 из 115
считал, что в его эпоху немецкий был недостаточно очищен от варваризма, чтобы
быть пригодным для выражения на нём математических и философских мыслей.
Выполнив задание 17.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы
узнаете, на каком языке (помимо французского) были написаны труды Готфрида
Вильгельма Лейбница.
Язык:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Карта ответов:
А
Е
И
Й
Л
О
Н
Р
С
e 1
1 e
0
1
4
2
1
ln 6
4
2
3
ln 7
3
4
Т
1
4
Ь
Ы
44 8 4
3
1
ln 7
4
17.3. Найдите определённый интеграл:
4
sin 2 x
а)
dx ; б)
2
0 1 cos 2 x
4arctgx x
dx .
1 x2
0
1
Методические указания по выполнению работы:
Интегрирование подстановкой (заменой переменной) – осуществляется с
использованием формулы
b
g (b )
f ( g ( x)) g ( x)dx
a
f (u)du .
g (a)
Для нахождения определенного интеграла методом подстановки (замены
переменной) целесообразно использовать следующий алгоритм:
1. Введите новую переменную uтаким образом, чтобы под знаком интеграла стояла
функция, содержащая и (от этой функции должен существовать табличный
интеграл), и производная и.
2. Найдите du по формуле: du=и'dx.
3. Выразите dxчерез du.
4. Найдите новые пределы интегрирования u1иu2, подставив исходные пределы в
функцию и.
5. Подставьте и иdx в исходный интеграл. Если подстановка выполнена верно, то
произойдет сокращение одинаковых множителей и интеграл сведется к
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
табличному
относительно
переменной
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 97 из 115
и: f (u )du .
Смените
пределы
интегрирования на u1иu2.
6. Пользуясь
таблицей
неопределённых
интегралов,
возьмите
полученный
определенный интеграл с переменной и.
Рассмотрим применение метода замены переменной на примере.
Пример 1.Вычислите
sin x
(1 cos x)
2
dx .
2
Решение.
1. Выполним подстановку u = 1- cosx с целью прийти к интегралу от функции f(u)=
1
.
u2
2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=(1-cosx)'dx =sinxdx.
3. Выразим dx из выражения пункта 2 (du=sinxdx): dx
du
.
sin x
4. Вычислим новые пределы интегрирования для переменной и. Для этого
подставим существующие пределы (π,
Тогда нижний предел u1 = 1- cos
2
) в выражение u=1-cosx.
2
= 1 – 0 = 1; верхний предел u2 = 1 - cosπ = 1- (-1) =
2.
5. Подставим и иdx в исходный интеграл (пока неопределенный):
sin x
(1 cos x)
2
dx =
sin x du
. Видим, что sinх можно сократить и прийти к интегралу относительно
u 2 sin x
переменной и:
du
u
2
.
В результате всех преобразований первоначальный интеграл примет вид:
2
du
u
2
.
1
6. Вычислим полученный интеграл. По таблице интегралов находим, что
2
du
u
1
2
=
1
u
2
1
.
Воспользуемся свойством 3 определенного интеграла, позволяющим менять
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
пределы
интегрирования,
при
b
этом
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 98 из 115
избавляясь
a
определенным интегралом ( f ( x)dx =- f ( x)dx ). Тогда
a
b
Ответ:
sin x
(1 cos x)
2
от
1
u
2
1
=
знака
1
u
1
2
1
1
"минус"
1
2
перед
1
2
= .
1
dx = .
2
2
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб.для студентов СПО / В.П.
Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2014.-320 с. - Глава 7, п. 7.3 - 7.6, стр.
168.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 99 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 18. Нахождение определённых интегралов методом по частям – 1 ч.
Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом по
частям.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
18.1.Разберите, в чём заключается сущность использования метода по частям в
определённом интеграле.
18.2. Найдите определённый интеграл методом по частям:
2
e
2
x
а) x sin xdx ; б) 4 x ln xdx ; в) xe dx ; г) x cos dx .
5x
0
1
0
0
2
Готфрид Лейбниц был не только
гениальным математиком, но ещё и
талантливым изобретателем. Вам, как
студентам
компьютерных
специальностей, известно, что первую
Арифметическая машина Лейбница
механическую
счетную
машину
сконструировал в 1642 г. французский ученый Блез Паскаль. Машина Паскаля могла
только складывать и вычитать.
Лейбниц пытался сначала лишь улучшить машину Паскаля, но понял, что для
выполнения операций умножения и деления необходим совершенно иной принцип.
Можно понять гордость Лейбница, писавшего впоследствии «Мне посчастливилось
построить такую арифметическую машину, которая совершенно отлична от машины
Паскаля, поскольку дает возможность мгновенно выполнять умножение и деление
над огромными числами». Арифметическая машина Лейбница была первой в мире
машиной, предназначенной для выполнения четырех действий арифметики.
Интересно, что один из первых экземпляров «арифметического инструмента»
Лейбниц намеревался подарить Петру I, но машина оказалась неисправной, а
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 100 из 115
механик ученого не смог ее починить в короткий срок. Лейбница живо интересовал
молодой царь далекой Московии, которого он считал выдающимся реформатором.
Петр встречался и переписывался с Лейбницем, обсуждал с ним проект организации
Академии наук в Петербурге и развертывания системы образования в России.
Выполнив задание 18.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы
узнаете, в каком году Лейбницем была сконструирована первая счётная машина для
умножения и деления.
Год:
а)
б)
в)
г)
Карта ответов:
0
1
-1
1
2
3
0
1
4
4
2 4
5
2
1
4
6
7
8
9
e 1
e 1
15e 25
9e10 1
25
2
2
10
18.3. Найдите определённый интеграл:
2
4
а) x sin xdx ; б)
2
0
x
dx .
sin 2 x
6
Методические указания по выполнению работы:
Интегрирование по частям - осуществляется с использованием формулы
b
udv uv
a
b
b
a
vdu .
a
Рекомендации по выбору u и dv, а также алгоритм нахождения интеграла
методом по частям были подробно разобраны в методических указаниях к
выполнению задания №14.
Рассмотрим примеры применения метода интегрирования по частям в
определенном интеграле.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 101 из 115
x
3
Пример 1. Найдите x sin dx .
0
Решение. 1. Исходный интеграл имеет вид
b
P( x) sin kxdx ,
следовательно, за и
a
x
3
принимаем многочлен (и=х), остальные множители примем за dv: dv= sin dx.
2. Находим dи=и'dx: dи=х'dx=dx.
x
3
Находим v dv : v sin dx = 3 cos
x
(интеграл от некоторой сложной функции,
3
полагаемС=0).
x
3 x cos
3
x
3
3 x cos
x
0
b
a
a
имеем:
x
x
x
0 x sin 3dx = x (3 cos 3 ) 0 - 0 (3 cos 3 )dx = =
x
3
+ + 3 cos dx . Преобразуем каждое слагаемое отдельно:
0
0
b
b
udv uv a vdu
3. По формуле
= 3 x cos
x
3
x
3 cos 3 dx = 3 3 sin 3
0
0
0
3
1
2
= 0 3 cos - 3 cos =0- 3 =
= 9 sin
0
3
3
0
3
- 9 sin = 9
3
9 3
-9 0 =
.
2
2
x
3
Тогда исходный интеграл равен x sin dx =
0
3
.
2
3 9 3 9 3 3
+
=
.
2
2
2
x
3
Ответ: x sin dx =
0
9 3 3
.
2
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб.для студентов СПО / В.П.
Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2014.-320 с. - Глава 7, п. 7.3 - 7.6, стр.
167.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 102 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 19. Нахождение определённых интегралов различными методами – 1
ч.
Цель: формирование умения находить определённые интегралы методами
непосредственного интегрирования, подстановки, по частям.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
19.1.Вспомните, какие основные методы интегрирования в определённом
интеграле существуют. В чём заключается их сущность?
19.2. Определите, какой метод интегрирования необходимо использовать, и
найдите определённый интеграл:
2
а) 4 x x e dx ; б)
2
1
2
1
x
1
0
3x 2
4
dx ; в) 2
x
1
4
dx ; г)
0
4
0
cos x
x
e
dx ; д) ( x 1) ln xdx .
1
19.3. Найдите определённый интеграл:
1
3x 2 x
sin ln x
dx
dx
;
б)
;
в)
x 2 3 x dx .
x
x
6
1
1
0
0
а)
e
Методические указания по выполнению работы:
Если в задании не указан метод интегрирования, проанализируйте, можно ли
использовать ранее изученные методы. Определиться в выборе метода Вам помогут
методические указания к заданию 15.
Если у Вас возникают сложности в технике использования метода:
1. непосредственного интегрирования – перечитайте методические указания к
заданию 16.
2. интегрирования «некоторых сложных» функций – изучите методические
указания к заданию 16.
3. подстановки – перечитайте методические указания к заданию 17.
4. по частям – изучите методические указания к заданию 18.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 103 из 115
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб.для студентов СПО / В.П.
Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2014.-320 с. - Глава 7, п. 7.3 - 7.6, стр.
156 – 168.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 104 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 20. Приложения определённого интеграла – 2 ч.
Цель: формирование умения применять определённый интеграл для вычисления
площадей плоских фигур.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
20.1.Сформулируйте, в чём заключается геометрический смысл определённого
интеграла. Какие типы плоских фигур, для нахождения площади которых
используется определённый интеграл, существуют?
20.2. Выполните домашнюю контрольную работу №2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
Вариант
Уравнения линий
Вариант
y 1 x2 ,
1
19
y x 1
y x , y 0,5 x 5 ,
10
28
y x 2 3x 2 ,
2
20
y x 1
21
y 2x 2
11
29
22
y 3 x
12
30
23
y x 2 8x 16
y 1 x , y 3 2x ,
13
31
24
y x 2 2x 5
14
32
25
y x 2 2x 3
y x5
y x 2 8 x 16 ,
15
33
y x 2 6x 9 ,
7
x0
y x 2 4x 5 ,
y x 2 2x 3 ,
6
x
,
4
x 2 , x 1
y x 2 4x ,
5
y x 2, x 4
y x , y 3
y x 2 2x 3 ,
4
x 1 , x 3
y 2x ,
y x2 1,
3
Уравнения линий
y 6 x
y x 2 2x 3 ,
16
34
y x 1
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
y x 2 4x 3 ,
8
26
y x 2 4x 4 ,
17
y x 2 6x 5
35
y cos x , y x , x 0 ,
9
27
x
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 105 из 115
y sin x , y x , x 0 ,
18
y 4 x2
36
2
x
2
Методические указания по выполнению работы:
При нахождении площадей плоских фигур, ограниченных некоторыми линиями,
удобно использовать следующий алгоритм:
1. Постройте линии, ограничивающие фигуру.
Возможны следующие варианты:
а) y kx b ( k
x a (a
, b
) - график – прямая линия, строится по двум точкам;
) - график - прямая, параллельная или совпадающая (при а = 0) с
осью ОY;
б) y ax 2 bx c ( а
используйте
либо
, b
метод
, с
) - график – парабола. Для её построения
преобразований,
либо
классический
способ
построения:
найдите координаты вершины ( x0 ; y 0 ), где x0
b
, y 0 получается
2a
подстановкой x 0 в уравнение параболы;
составьте таблицу значений функции y ax 2 bx c , выбирая значения х
близкими к x 0 :
х
x0
у
y0
в системе координат по точкам, найденным в выше, постройте параболу;
в) y sin x , y cos x - график – синусоида.
2. В соответствии с таблицей «Виды фигур, площадь которых находится с
помощью определенного интеграла» определите вид фигуры и составьте
формулу для вычисления площади фигуры. Обратите внимание на границы
интегрирования. Если они не следуют непосредственно из условия задачи, а
определяются пересечением графиков каких-либо функций, то границы
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 106 из 115
интегрирования следует находить аналитически, приравнивая уравнения,
задающие соответствующие функции.
3. Вычислите площадь фигуры. Следует помнить, что площадь есть число
положительное.
4. Выпишите ответ.
Виды фигур, площадь которых находится
с помощью определенного интеграла
№
Вид фигуры
Площадь
№
Вид фигуры
Площадь
фигуры
1
у
Фигура
у=f(x)
S
х=а
а
х=b
Часть фигуры,
4
расположена
bх
0
фигуры
х=а
выше осиОх
а
у у=f(x)
х=b
х
b
S
0
(криволинейная
огран.
графиками двух
функций,
у=g(x)
трапеция)
находится выше,
b
а часть ниже
a
осиОх
S= f ( x)dx
b
S= f ( x)dx a
b
g ( x)dx
a
2
Фигура
у
а
b
0
х=а
S
у=f(x)
х расположена
х=b
5
ниже осиОх
b
S= f ( x)dx или
Фигура
у
у=f(x)
S
а
0
ограничена
у=g(x)
b
c
графиками двух
х
неотрицательны
a
х функций
S= f ( x)dx
S= f ( x)dx +
b
b
a
a
c
g ( x)dx
b
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
3
Часть фигуры,
у
у=f(x)
х
S
а
c
b
0
6
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 107 из 115
у
огран. графиком
S
одной функции,
у=g(x)
находится выше,
Фигура
у=f(x)
а 0
ограничена
графиками двух
b
х
функций
а часть ниже
b
S= ( f ( x) g ( x))dx
осиОх
a
b
S= f ( x)dx +
a
c
f ( x)dx
b
Если при выполнении домашней контрольной работы возникают вопросы,
разберите решение примера 1:
Пример 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y x 3 и
y x2 1.
Решение. 1. Построим фигуру, ограниченную
графиками функций y x 3 и y x 2 1 (рис. 1). Линия,
у
у=х2+1
задаваемая уравнением y x 3 - прямая. Построим ее
по двум точкам.
у=х+3
3
х
0
-3
у
3
0
1
-1 0 2
Линия, задаваемая уравнением y x 2 1 - парабола,
Рис.1.
х
ветви которой направлены вверх. Построим ее методом преобразований: выполним
параллельный перенос графика функции y x 2 на 1 единицу вверх.
Получили фигуру, ограниченную двумя графиками функций (заштрихована на
рис. 1).
2. Согласно таблице «Виды фигур, площадь которых находится с помощью
определенного
интеграла»
рассматриваемая
фигура
соответствует
6
типу
(ограничена графиками двух функций). Её площадь можно вычислить по формуле:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 108 из 115
b
S= ( f ( x) g ( x))dx , где f(x) – функция, ограничивающая фигуру "сверху" ( f ( x) x 3 ),
a
а g(x) - функция, ограничивающая фигуру "снизу" ( g ( x) x 2 1 ).
Пределы интегрирования а и b в данном случае не следуют непосредственно из
условия задачи. Решив уравнение
x 2 1 x 3,
мы найдем абсциссы точек
пересечения графиков соответствующих функций, т.е. а и b.
x2 1 x 3 0 ; x2 x 2 0 .
Найдем корни уравнения по теореме, обратной
теореме Виета: х1=-1 или х2=2. Следовательно, а=-1, b=2.
Составим
формулу
для
вычисления
площади
искомой
фигуры:
S=
2
(x 3 (x
2
1))dx .
1
2
x2 x3
3. Вычислим значение площади: S= ( x 3 x 1)dx = ( x x 2)dx = 2 x =
3
2
1
1
1
2
2
2
2
2 2 23
(1) 2 (1) 3
8
8
1 1
2 2
2 (1) = 2 4
2 = 6
3
3
3
3
2 3
2
2
=
8
3
1
2
1
3
9
3
1
2
1
2
1 1
2 =
2 3
1
2
= 6 2 = 8 = 8 3 = 5 = 4,5.
Ответ: S =4,5.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб.для студентов СПО / В.П.
Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2014.-320 с. - Глава 7, п. 7.7, стр. 169 –
170.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 109 из 115
Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной
переменной
Задание 21. Нахождение несобственных интегралов – 1 ч.
Цель: формирование умения находить несобственные интегралы I рода.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
21.1.Какие интегралы называют несобственными интегралами I и II рода? В
каких случаях несобственный интеграл называют сходящимся, а в каких
расходящимся? В чём заключается техника нахождения несобственных интегралов I
рода?
21.2. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость:
а)
1
1
1 x 3 dx ; б) 1 3x 1 dx ;
1
x
dx .
x 4
в) e 4 x dx ; г)
1
2
21.3. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость:
1
1
dx .
а)
dx ; б)
2
x ln x
1 x
13
Методические указания по выполнению работы:
Несобственными будем считать интегралы двух видов:
1. Определённые интегралы от непрерывной функции, у которых один или оба
пределы интегрирования равны бесконечности:
b
a
f ( x)dx , f ( x)dx , f ( x)dx .
Их
называют несобственными интегралами I рода.
2. Определённые интегралы от разрывной функции с конечными пределами
интегрирования. Их называют несобственными интегралами II рода.
Для нахождения несобственных интегралов I рода будем использовать формулы:
b
b
a
b
c
a
c
f ( x)dx = lim f ( x)dx , f ( x)dx = lim f ( x)dx , f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx
a
b
произвольное число.
a
(*), где с –
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 110 из 115
Если найденный предел равен конечному числу, то говорят, что несобственный
интеграл
сходится. Если указанный предел не существует или бесконечен, то
говорят, что интеграл расходится.
Удобен следующий алгоритм нахождения несобственных интегралов:
1. Проверьте, является ли подынтегральная функция непрерывной на области
интегрирования.
2. Используя одну из формул (*) от несобственного интеграла перейдите к пределу.
3. Отдельно найдите определённый интеграл с переменной границей а, b или с.
4. Подставьте полученное выражение под знак предела и найдите его значение.
5. Проанализируйте, является ли исходный интеграл сходящимся (значение предела
– конечное число) или расходящимся (значение предела – бесконечность).
Рассмотрим примеры нахождения несобственных интегралов I рода.
Пример 1. Вычислите несобственный интеграл или установить его
e
расходимость:
x
dx .
0
Решение. 1. Подынтегральная функция y e x непрерывна на промежутке (0;+∞].
2. Воспользуемся формулой:
b
f ( x)dx = lim f ( x)dx . Тогда e
b
a
a
0
b
x
dx = lim
b
e dx .
x
0
3. Отдельно найдём определённый интеграл с переменной границейb:
b
e dx = e
x
x b
0
= eb e0 = eb 1
0
4. Подставим полученное выражение под знак предела и найдём его значение:
f ( x)dx = lim (e
a
b
b
1) =∞.
5. Так как значение предела бесконечность, несобственный интеграл расходится.
Ответ: e x dx расходится.
0
Пример 2. Вычислите несобственный интеграл или установить его
1
1
dx .
2
x
расходимость:
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04 Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст. Стр. 111 из 115
1
Решение. 1. Подынтегральная функция y 2 непрерывна на промежутке (-∞;x
1].
2. Воспользуемся формулой:
b
b
a
f ( x)dx = alim
1
1
1
1
f ( x)dx . Тогда 2 dx = lim 2 dx .
a
x
a x
1
1
1
3. Отдельно найдём определённый интеграл с переменной границей а: 2 dx =
x
a x
Избавимся от знака "минус", поменяв границы интегрирования местами:
1
x
1
=
a
1
x
1
.
a
a
=
1
1 1 1
= 1.
a 1 a
4. Подставим полученное выражение под знак предела и найдём его значение:
1
1
x
2
1
dx = lim 1 =1.
a a
5. Поскольку значение предела – конечное число, то несобственный интеграл
сходится.
Ответ:
1
1
x
2
dx =1.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб.для студентов СПО / В.П.
Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2014.-320 с. - Глава 7, п. 7.8, стр. 173 –
175.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 112 из 115
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
ВНЕАУДИТОРНОЙ РАБОТЫ
Вид и
наименование
работы
Вид
контроля
1. Изучение
Устный
1. Демонстрирует
1. Демонстрирует
1. Демонстрирует
1. Демонстрирует
материала лекции
контроль
полное усвоение
усвоение
понимание вопроса
непонимание вопроса
изученных понятий
изученных понятий 2. Имеются затруднения
2. Иллюстрирует
2. Иллюстрирует
в формулировке понятий сформулировать понятия
теорию примерами
теорию примерами
3. Отвечает на
3. Не отвечает на
3. Не нуждается в
3. Возможны 1-2
наводящие вопросы
наводящие вопросы
или учебника
Критерии оценок
«отлично»
«хорошо»
«удовлетворительно» «неудов-но» или
работа не
засчитывается
2. Не может
наводящих вопросах наводящих вопроса
преподавателя
2. Решение
Письменны
Задачи решены
Допущено не более Допущено не более
Выполнено менее 50%
задач,
й
безошибочно или
одной негрубой
одной грубой ошибки и
работы.
упражнений,
контроль
допущено не более
ошибки и двух
трех недочетов
домашней
2 недочетов (96-
недочетов
(выполнено 50 – 79%
контрольной
100% работы)
(выполнено 80 –
работы)
работы
95% работы)
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
3. Подготовка
Устное
1. Составлен план
докладов,
выступление выступления.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 113 из 115
1. Небольшие
1. Неточности в тексте 1. Нет текста доклада
неточности в
доклада.
или готовой
сообщений,
2. Логичное
тексте доклада.
2. Неточности в
презентации.
презентаций
изложение.
2. Неточности в
изложении доклада.
2. Студент не готов к
3. Четкая дикция
изложении
3. Плохая дикция
выступлению
4. Оформление
доклада.
4. Оформление
доклада или
3. Оформление
доклада или
презентации
доклада или
презентации не
соответствует
презентации
полностью
требованиям
соответствует
соответствует
требованиям
требованиям
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 114 из 115
4. Составление
Письменны
1. Конспект
1. Конспект
1. Конспект составлен не 1. Конспект не
конспекта
й
составлен в
составлен в
в полном соответствии с
составлен.
контроль
соответствии с
соответствии с
заданным планом.
2. В конспекте
заданным планом.
заданным планом.
2. В конспекте
отсутствует
2. В конспекте
2. В конспекте
представлены основные
большинство
представлены все
представлены
определения, формулы и определений, формул и
определения,
основные
теоремы данной темы.
формулы и теоремы
определения,
3. Недостаточное
данной темы.
формулы и
количество или
3. Каждое понятие
теоремы данной
отсутствие примеров.
иллюстрируется
темы.
примерами
3. Большинство
понятий
иллюстрируется
примерами
теорем данной темы.
ОПОП специальностей 09.02.02«Компьютерные сети», 09.02.04
«Информационные системы» Пособие по орг. самост. внеауд. раб.ст.
Версия 1.
Идентификационный номер – ДСМК – 2.4 ИС ЕН.01
Стр. 115 из 115
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. учреждений СПО
/ В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2014. –
320с.
Дополнительная литература:
2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.
пособие для студентов СПО. – М.: ИД «Академия», 2013.
3. Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: учебное пособие / В.Т.
Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Изд. «Лань», 2014. – 464 с.
4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб.пособие для
вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е издание. – М.: Изд. АСТ,
2014. – 816 с.
5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.] Ч.1. / Д.Т.
Письменный. – 6-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2011.- 288 с.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.] Ч.2. / Д.Т.
Письменный. – 5-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2011.- 256 с.
7. Подольский В.А. Сборник задач по математике: Учеб.пособие / В.А. Подольский,
А.М. Суходский, Е.С. Мироненко. – М.: Высш. шк., 2005. – 495 с.