2. dokx

Профессиональный конкурс работников образования
ВСЕРОСИЙСКИЙ ИНТЕРНЕТ-КОНКУРС
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА
(2012-13 учебный год)
государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
(среднее специальное учебное заведение)
«Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Номинация конкурса: педагогические идеи и технологии:
профессиональное образование
Учебное пособие по дисциплине «Математика»
для студентов заочного отделения по специальностям:
«Технология машиностроения», «Техническая эксплуатация и обслуживание
электрического и электромеханического оборудования» (по отраслям),
«Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта
Автор: Дьякова Елена Борисовна преподаватель математики, ГБОУ СПО
«ЗлатИК им.П.П.Аносова», высшей категории
Место выполнения работы: ГБОУ СПО «ЗлатИК им. П.П. Аносова», город
Златоуст, Челябинской области, ул. Таганайская, д.2
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Общие указания
В курсе «Математика» студенты I курса изучают основы
Математического анализа и Теории Вероятностей. Изучение этих разделов
математики занимает важное место в формировании специалистов высокой
квалификации.
Необходимо придерживаться следующих правил:
1. Студент обязан выполнить контрольную работу только своего
варианта, отсылая её на проверку в сроки, предусмотренные графиком.
2. Контрольную работу следует выполнять в ученической тетради
чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля (3-4 см) для
замечаний преподавателя. Рекомендуется оставлять в конце тетради
несколько чистых страниц для исправлений и дополнений в
соответствии с указаниями преподавателя.
3. Перед решением задачи нужно полностью выписывать её условие.
Решение каждой задачи студент должен сопровождать подробными
объяснениями и ссылками на соответствующие формулы, теоремы и
правила. Вычисления должны быть доведены до конечного числового
результата (в виде десятичного числа).
4. После получения проверенной работы студенту необходимо исправить
все отмеченные ошибки и недочёты. Если работа возвращена на
доработку, то следует переделать те задачи, на некоторые указывает
преподаватель. Переделанная работа высылается на повторную
проверку обязательно с не зачтенной ранее работой и замечаниями к
ней. При этом на обложке следует указать фамилию преподавателя.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
Программа курса
Тема 1. Комплексные числа
Основные определения.
Действия над комплексными числами.
Геометрическая интерпритация комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия с числами в
тригонометрической форме.
Показательная форма комплексного числа. Действия с числами в
показательной форме.
Тема 2. Производная функции
Производная функции, её геометрический и механический смысл.
Таблица производных основных элементарных функций. Основные
правила дифференцирования.
Вычисление производной сложной и обратной функций.
Приложение производной к исследованию функции.
Тема 3. Неопределенный интеграл
Понятие неопределённого интеграла.
Таблица неопределённого интеграла.
Методы интегрирования.
Тема 4. Определённый интеграл
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
1. Понятие определённого интеграла и методы его вычисления.
2. Геометрические приложения определённого интеграла.
Тема 5. Дифференциальные уравнения
1. Понятие дифференциального уравнения. Задача Коши.
2. Типы дифференциальных уравнений первого порядка.
3. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка
постоянными коэффициентами.
Тема 6. Элементы комбинаторики и теория вероятностей
1. Основные понятия комбинаторики.
2. Случайные события. Вероятность события.
3. Основные теоремы теории вероятностей.
с
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Тема 1. Комплексные числа
п. 1.1. Основные понятия
Решение многих задач сводится к решению алгебраических уравнений.
Уравнение x2+1=0 не имеет действительных корней.
X2=-1 – называется мнимой единицей и обозначается i2=-1
 Комплексным числом называется выражение вида a+bi, Где а и b действительные числа, a i – мнимая единица.
a – действительная часть комплексного числа.
bi – мнимая часть.
Z=a+bi - алгебраическая форма комплексного числа.
Z=0+0i – называется нулём.
Z=a+0i=a – действительное число.
Z=0+bi=bi – чисто мнимое число.
Числа a+bi и a-bi – называются сопряжёнными.
п. 1.2. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.
 Суммой двух комплексных чисел Z1=a1+b1i и Z1=a2+b2i называется
комплексное число Z1+Z2=(a1+a2)+(b1+b2)i
 Произведением двух комплексных чисел Z1=a1+b1i и Z1=a2+b2i
называется комплексное число Z1∙Z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i.
 Правила вычитания и деления комплексных чисел Z=a2+b2i и Z1=a1+b1i
определяются формулами Z2-Z1=(a2-a1)+(b2-b1)i.
Z 2 a1a2  b1b2 a1b 2 a2 b1

 2
i, где a1  b1i  0  0i.
Z1
a12  b12
a1  b12
1) Формулы суммы, разности и произведения комплексных чисел
получаются
автоматически,
если
формально
выполнить
соответствующие действия над двучленами a1+b1i и a2+b2i и заменить i2
на -1.
2) При делении на комплексное число достаточно умножить числитель
и знаменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю.
Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел Z1=3-4i и
Z2=2+6i.
Решение: Сумму находили формальным сложением двучленов 3-4i и 2+6i.
Z1+Z2=(3-4i)+(2+6i)=3-4i+2+6i=5+2i.
Произведение находим формальным умножением двучленом 3-4i и 2+6i c
последующей заменой i2=-1.
Z1∙Z2=(3-4i)(2+6i)=6 +18i-8i-24i2=6+18i-8i+24=30+10i.
Пример 2. Найти разность Z2 – Z1 и
!
частное
Z2
для чисел Z1=3-4i и Z2=10+5i.
Z1
Решение: Разность находим формальным вычитанием двучленов 10+5i
и 3-4i.
Z2-Z1=(10+5i)-(3-4i)=10+5i-3+4i=7+9i.
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Чтобы найти частное
Z2
умножим числитель и знаменатель этой дроби на
Z1
число, сопряжённое знаменателю 3+4i.
Z 2 10  5i (10  5i)(3  4i) 30  40i  15i  20i 2 30  55i  20





Z1
3  4i
(3  4i)(3  4i)
3 2  (4i ) 2
9  16i 2
10  55i 10  55i


 0,4  2,2i
9  16
25
п. 1.3. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Комплексное число Z=a+bi изображается на координатной плоскости точкой
M(a;b) или вектором OM , начало которого совпадает с началом координат, а
конец – с точкой M. (рис. 1.)
y
b
M
Мнимая ось
r
φ
0
ax
Действительная ось
Рис. 1.
Z  r  a 2  b 2 - модуль комплексного числа.
Пример: Найти модуль комплексного числа Z=8-6i.
Z  a 2  b 2  8 2  (6) 2  64  36  100  10
 Аргументом комплексного числа Z  0 называется величина угла φ
между положительным направлением действительной оси x вектором,
соответствующим этому числу (рис. 1)
φ=arg Z
п. 1.4. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Z  r  (cos   i  sin  ) - тригонометрическая форма комплексного числа.
r – модуль комплексного числа.
φ – аргумент комплексного числа.
Для того чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного
числа Z=a+bi к тригонометрической необходимо:
4. Найти модуль комплексного числа r  a 2  b 2
5. Определить геометрически в какой четверти лежит вектор,
изображающий комплексное число.
!
a

cos   r
6. Найти аргумент из системы 
sin   b

r
7. Записать комплексное число в тригонометрической форме.
Z=r∙(cos φ+i∙sin φ)
Пример: Записать число Z   3  i в тригонометрической форме.
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Решение.
1. Найдём модуль r  a 2  b 2  (3) 2  (1) 2  3  1  4  2
2. Определим в какой четверти лежит угол φ.
y
Вектор, соответствующий данному
комплексному числу лежит в 3ей четверти.
φ
1
x
- 3
III четверть
-1
III четверть
a  3
cos   

r
2         7
3.

6
6
b 1 
sin   
r
2 
4. Запишем комплексное число в тригонометрической форме.
Z   3  i  2(cos
!
7
7
 i  sin
)
6
6
Таблица вспомогательных углов:

Углы
функция
6

4
1
2
sin
3
2
1
3
cos
tg
ctg
3
2
2
2
2
1
1
Действия
над
комплексными
числами,
тригонометрической форме.
1. Если z1=r1(cos φ1+i sin φ1) и z2=r2(cos φ2+i sin φ2), то
z1 z 2  r1r2 (cos(1   2 )  i sin(1   2 )) ,
z1 r1
 (cos(1   2 )  i sin( 1   2 ))
z 2 r2
2. Если Z=r(cos φ+ i sin φ), то
z n  (r (cos   sin  )) n  r n (cos n  sin n ),
  2 
   2
z  n r (cos   i sin  )  n r  cos
 i sin
,
n
n


где k=0,1,2, …, n-1.
n

3
3
2
1
2
3
1
3
заданными
в
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Пример 1: Даны комплексные числа Z1=12(cos 225o+i sin 225o) и Z1=
3
(cos 75 o  i sin 75 o ) . Найти: а) произведение Z1Z2, б) частное Z1/Z2.
2
Решение: Применяя правила умножения и деления комплексных чисел,
имеем
3
а) Z1 Z 2  12  (cos( 225o  75 o )  i sin( 225o  75 o ))  18(cos 300 o  i sin 300 o );
2
Z
3
б ) 1  12 : (cos( 225o  75o )  i sin( 225o  75 o ))  8(cos 150 o  i sin 150 o ).
Z2
2
Пример 2: Вычислить Z5, если Z  2(cos 24o  i 24o ).
Решение: Находим Z  25 (cos 5  24 o  i sin 5  24 o )  32(cos 120 o  i sin 120 o )
Пример 3: Вычислить 4  81. Ответ записать в тригонометрической и
алгебраической формах.
Решение: Запишем число -81 в тригонометрической форме: -81=81(cos π +
i sin π). Следовательно.
  2
  2 

 81  4 81(cos   i sin  )  4 81 cos
 i sin

4
4


    
    
 3 cos 
  i sin  
 , где k  0,1,2,3.
2 
2  
4
 4
4
При k=0, 1, 2, 3 получим:


При k=0, z0=3  cos  i sin 
4
4


 
  
3
3
k=1, Z1  3 cos    i sin      3 cos  i sin 
4
4 
 4 2  
 4 2




5
5
k=2, Z 2  3 cos     i sin       3 cos  i sin 
4
4 

4
 
 4


3

3 
7
7
k=3, Z 3  3 cos    i sin      3 cos  i sin 
4
4 
 4 2  
 4 2 
п. 1.5. Показательная форма комплексного числа.
Рассматривая функцию y=ex для комплексного переменного, Эйлер
установил замечательное соотношение:
ei  cos   i sin  ,
которое называется формулой Эйлера.
Из этой формулы следует, что каждое комплексное число Z  0 можно
записать в форме
z  r cos   i sin    re i ,
которая называется показательной формой комплексного числа.
Над комплексными числами, заданными в показательной форме,
удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную
степень и извлечение корня:
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
r1e i1 r2 e i 2  r1 r2 e i (1  2 ) ;
r1e i1
r1 11  2 

e
;
r2 e i 2 r2
re 
i n
i
 r n e in ;
i
  2
re  r e n , k  0,1,2,..., (n  1).
Пример: Записать комплексное число z=3+3i в показательной форме.
Найдём модуль комплексного числа.
1. Z  r  a 2  b 2  32  32  9  9  18  3 2
2. Изобразим геометрически комплексное число.
n
n
у
I Четверть
3
0
x
a
3
1
2




r 3 2
2 

2
5. Найдём  из системы
  .
4
b
3
1
2
sin   


r 3 2
2 
2
1

4. Z  3 2e 4
3
cos  
i
Вопросы и упражнения для самопроверки.
1. Дайте определение комплексного числа.
2. Дайте определение мнимой единицы.
3. Какие комплексные числа называются сопряженными?
4. Как изображаются комплексные числа геометрически?
5. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа.
6. Перечислите формы записи комплексного числа.
7. Как выполняются действия над комплексными числами, заданными в
алгебраической форме; в тригонометрической форме; в показательной
форме?
8. Найдите модуль и аргумент комплексного числа Z  2  2 3.
9. Запишите в тригонометрической форме комплексное число Z   3  i.
10.Запишите в алгебраической форме комплексное число Z=5i.
Ответы: 9. 4;

10. Z  2 cos

11. Z  5e
i

2
2
.
3
5
5 
 i sin
.
6
6 
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Тема 2. Производная и её приложения.
п. 2.1 Производная, её геометрический и механический смысл.
 Предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента
Δx стремящемуся к нулю, называется производной функции y=f(x) по
аргументу x.
f ' ( x)  lim
x 0
y
x
Геометрический смысл производной:
k=y'(xo) – угловой коэффициент касательной, проведённой к графику
функции в точке (xo, yo) равен значению производной функции при
x=xo или y'(xo)=tg α.
y
касательная
yo
y=f(x)
α
xo
0
x
 Физический смысл производной: скорость υ в данный момент времени
равна производной пути S по времени t.
Υ(t)=S'(t).
п. 2.2. Формулы дифференцирования.
Во всех приведенных формулах буквами u и υ обозначенные
дифференцируемые функции независимой переменной x: u=u(χ), u=υ(χ), а
буквами a, c, n — постоянные:
12. (cu)' = cu'.
1. c' = 0.

 u  u 'u '
2. x' = 1.
.
  
2.


3. (u ± υ)' = u' ± υ'.


13.
4. (u υ)' = u' υ + υ' u.
14. (xn) = nxn-1 .
5.
 x   2 1 x .
6. (sin x)' = cos x.
7. (cos x)'= -sin x
8.
9.
1
.
cos 2 x
ctg x    12 .
sin x
(tg x) 
x
x
10.(a ) = a ln a.
11. (еx) = ex.

c
c
15.     2 .
 x
x
x ) 
1
.
x
17. log a x 

16. (ln
18. (arcsin x) 
1
.
x ln a
1
1 x2
19. (arccos x)  
20. (arctg x) 
21.
.
1
1 x2
1
.
1 x2
.
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
3
x
Пример 1. Найти производную функцию y  5 x 3  2 x  .
Решение:

3
3
3
3

y   (5 x )  (2 x)     5( x 3 )  2( x)  2  5  3x 2  2  2  15 x 2  2  2 .
x
x
x
 x
3
Нашли производную по формулам 3,5,7 и 8.
x2
Пример 2. Найти производную функции f ( x)  2 .
x 1
Решение:

 x2 
( x 2 )( x 2  1)  ( x 2  1)  x 2 2 x  ( x 2  1)  2 x  x 2 2 x 3  2 x  2 x 3
2x
 
y ( x)   2


 2
2
2
2
2
2
2
( x  1)
( x  1)
( x  1)
( x  1) 2
 x 1
Нашли производную по формулам 6; 3; 7; 1.
п. 2.3. Производная сложной функции.
 Пусть y=f(u), где u является не независимой переменной, а функцией
независимой переменной х: u=φ(x). Таким образом y=f(φ(x)).
y – сложная функция.
Переменная u – промежуточный аргумент.
Производная сложной функции находится по формуле: y x  y u  u x .
 Второй производной называется производная от её первой
производной: y''=(y'(x))'
 Физический смысл второй производной: вторая производная пути S по
времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t.
a(t)=υ'(t)=S''(t).
Пример: Найти производную функции:
a) y  sin 3 x.
a) y'=sin3x – это сложная функция с промежуточным аргументом u=sin x.
y'=(u3)'=3u2, u'=(sin x)'=cos x значит y'=(sin3x)'=3sin2x∙(sin x)'=3sin2x∙cos x.
п.2.4. Приложение производной к исследованию функции.
y
y=f(x)
1
3
2
x1
x2
x
!
1) на 1 и 3 промежутках
функция возрастает, в каждой
точке этих промежутков
производная не отрицательна
f'' (x) ≥ 0.
2) на 2 промежутке функция
убывает, в каждой точке этого
промежутка производная не
положительна f'' (x) ≤0.
3) x1, x2 – экстремумы (точки, в
которых производная равна 0
или не существует).
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
f(x)
Точка
максимума.
+
f(x)
Точка
минимума.
+
x
x1
x
x2
Пример. Исследовать на монотонность и экстремум функцию f (x)=x3–3x2+1.
Решение.
1. D (y) = R – область определения
2. f' (x) = (x3 - 3x2 + 1)' = 3x2 + 6x
3. Найдём критические точки f''(x)=0
3x2-6x=0
3x∙(x-2)=0
3x=0
или
x-2=0
X=0
x=2
4.
f'(x)
-
+
f''(x)
0
+
x
2
Функция возрастает на (-∞;0] и [2;+∞)
Функция убывает на [0;2].
xmax=0
ymax=y(0)=03-3∙02+1=1
xmin=2
ymin=y(2)=23-3∙22+1=8-12+1=-3
Вопросы и упражнения для самопроверки.
1. Дайте определение производной функции.
2. В чем состоит геометрический смысл производной?
3. В чем состоит физический смысл производной?
4. Дайте определение второй производной функции.
5. В чем состоит физический смысл второй производной?
6. Напишите все формулы дифференцирования.
7. Сформулируйте условия возрастания и убывания функции.
8. Как найти точки экстремума и экстремумы функций?
9. Найдите производные функции:
а) y = 2 – z2;
б) y = sin2(x+1);
1
3
в) y  sin x  tg x.
1
6
10. Тело движения прямолинейно по закону s   t 3  3t 2  5 (s – в метрах, t –
в секундах). Найти скорость движения в тот момент времени, когда
ускорение равно нулю.
11. Найти экстремумы функции y = 2x3 – 6x2 – 18x + 7.
Ответы. 9. а) -2z; б) 2sin(x+1)cos(x+1); в) cos x 
10. υ(6) = 18 м/с.
1
.
3 cos 2 x
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
11. ymax = y (-1) = 17, y min = y(3) = -47.
Тема3 . Неопределенный интеграл.
п. 3.1. Неопределенный интеграл
 Функция F (x) называется первообразной для функции f (x), если
F' (x) = f (x).
 ∫f(x)dx = F(x) + C – неопределенный интеграл
Свойства:
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции:
2.
 f xdx  f x 
 kx  b  dx  k F kx  b   G.
1
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного
интеграла:
 af x dx  a  f x  dx.
4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функции равен
алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой
функции:
  f ( x)  f
1
2
( x) dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx
п. 3.2. Таблица основных интегралов.
1. ∫0dx=C, C-константа.
7.  sin x dx   cos x  C
2.  dx  x  C
8.  cos x dx  sin x  C
x n 1
 C , (n  1)
n 1
dx
4.  x 1 dx    ln x  C
x
3.  x n dx 
5.  e x dx  e x  C
6.  a x dx 
dx
 cos
 tg x  C
x
dx
10.  2  ctg x  C
sin x
dx
11. 
 arcsin x  C
1 x2
dx
 arctg x  C
12. 
1 x2
9.
ax
C
ln a
2
п. 3.3. Методы интегрирования.
 Непосредственное интегрирование.
Пример 1. Найти интеграл

3dx
.
x7
Решение. Воспользуемся определением степени с отрицательным
показателем (a-n=1/an, a≠0) b и найдём неопределённый интеграл от
степени:
3dx
x 71
x 6
3 1
1
7

3
x
dx

3

C

3
C    6 C   6 C
 x7 
 7 1
6
6 x
2x
Пример 2. Найти интеграл  85 x 3 dx.
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем
a m / n  n a m , a  0 и найдём неопределённый интеграл от степени:


3
3
5
1
1
3
x5
x5
5
3
5
8
x
dx

8
x
dx

8

C

8
 C  8 x 1  x 3 5  C  5 x 5 x 3  C.


3
8
8
1
5
5
5x  x x
dx.
Пример 3. Найти интеграл  3
x
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем
a m / n  n a m , a  0 , правилами действий над степенями с одинаковыми
основаниями (am∙an=am+n, am:an=am-n), правилом деления суммы на число и
найдём интеграл от каждого слагаемого отдельно. Имеем:



5x  x x
3
x
dx  
 5x x 3 / 2 
5 x  x  x1 / 2
5x  x 3 / 2
dx

dx

 x1 / 3
  x1 / 3  x1/ 3 dx 
x1 / 3
 5 x 2 / 3 dx   x 7 / 6 dx  5
2
1
x 5 / 3 x13 / 6
3 1
6 2
6

 C 5  x 3  x 6  C  3x3 x 2  x 2 6 x  C
5 / 3 13 / 6
5
13
13
 Интегрирование методом подстановки.
Для интегрирования методом подстановки используется следующая
схема:
1. Часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;
2. Найти дифференциал от обеих частей замены;
3. Всё подынтегральной выражение выразить через новую переменную
(после чего должен получится табличный интеграл);
4. Найти полученный табличный интеграл;
5. Сделать обратную замену.
Найти интегралы:
Пример
1.
2  cos x  t

d (2  cos x)  dt 
t3
1
2
2


(2  cos x) sin x dx 
   t dt    C   (2  cos x) 3  C
 

  sin x dx  dt 
3
3
 dt
t2


sin x dx  dt 
2  3e x  t



d (2  3e x )  dt 
x

e dx
dt 1 dt 1
1
      ln t  C  ln 2  3e x  C .
Пример 2. 
 3e x dx  dt
x
3t 3 t
3
3
2  3e


 x

dt
e dx  3

1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы и упражнения для самопроверки:
Какое действие называется интегрированием?
Какая функция называется первообразной для функции f(x)?
Дайте определение неопределённого интеграла.
Перечислите основные свойства неопределённого интеграла.
Напишите основные формулы интегрирования (табличные интегралы).
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
6. Найдите интегралы:
x 4  2 x 3  3x 2
dx;

x2
б)  x dx;
а)
x 2 dx
;
в)  3
(2 x  1) 2
cos x dx
;
г) 
3  sin x
1
Ответы: а) x 3  x 2  3x  C
3
2
б) x x  C
3
1
C
в)
6(1  2 x 3 )
г) 2 3  sin x  C
Тема 4. Определённый интеграл.
п. 4.1. Понятие определенного интеграла и методы его вычисления.
Верхний предел интегрирования

b
∫a f(x)dx
– определённый интеграл
Нижний предел интегрирования
b
 ∫a f(x)dx=F(x)| ba =F(b)-F(a) – Формула Ньютона – Лейбница.
 Непосредственное вычисление определённого интеграла.
Порядок вычисления определённого интеграла:
1. Найти неопределённый интеграл от данной функции;
2. В полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала
верхний, затем нижний предел интеграла;
3. Из результата подстановки верхнего предела вычесть результат
подстановки нижнего предела.
4
Пример 1. Вычислить интеграл ∫−1⁄2 𝑥 𝑑𝑥
Решение. Применив указанное правило, вычислим данный определённый
интеграл:
4
∫-1⁄2 x

1)
2)
3)
4)
x2
dx= |
4
2 -1⁄2
1
1 2
1
1
1 63
= (42 - (- ) ) = (16- ) = ∙
2
2
2
4
2
4
=
63
8
7
=7 .
8
Вычисление определённого интеграла методом подстановки:
Часть подынтегральной функции заменить новой переменной;
Найти дифференциал от обеих частей замены;
Найти новые пределы определенного интеграла α и β;
Все подынтегральное выражение выразить через новую переменную
(после чего должен получится табличный интеграл);
5) Вычислить полученный определённый интеграл.
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Пример:
Вычислить
интеграл
2
x 2 dx
∫ 3
(x +2)2
1
3
x +2=t
d(x 3 +2)=dt
10
10
2
10
10
3x 2 dx=dt
x 2 dx
1 dt
1
1 t -2+1
1 t -1
-2
1
∫ 3
=
= ∫ ∙ 2 == ∫ t dt= ∙
| = ∙ | =
x 2 dx= dt
(x +2)2
3 t
3
3 -2+1 3
3 -1 3
3
1
3
3
α=13 +2=3
[β=23 +2=10]
1 1 10
1 1 1
1 3 − 10
1 −7
7
− ∙ | == − ( ∙ ) = − (
)=− ∙( )= .
3 𝑡 3
3 10 3
3
30
3 30
90
п. 4.2 Геометрический смысл определенного интеграла.
 aABb – криволинейная
трапеция
y
x=b
x=a
a
0
 Геометрический смысл
определенного
интеграла:
B
А y=f(x)
b
x
Пример 1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y=x2,
прямыми x=-1; x=2 и осью абсцисс (рис. 1).
y
y=x2
Рис.
1.0
-1
2
x
Решение.
2
1 32 1
1
Sф = ∫ x dx= x | = (8-(-1))= ∙9=3;S=3 кв.ед.
3 -1 3
3
2
-1
y
B
x=a
A
a
C
y=f1(x)
x=b
y=f2(x)
D
b x
ABCD – некриволинейная трапеция.
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Рис.
2.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя параболами
y=4-x2 и y=x2-2x.
Решение:
1. y=4-x2 – график парабола, «ветви» вниз, т.к. а=-1, -1<0.
b
0

0
2a  2
yb  4  0 2  4
xb 
x
y
А(0;4)
2
0
-1 0
3 4
1
3
2
0
y=x2-2x – график парабола, «ветви» вверх, т.к. а=1, 1>0.
b 2
 1
2a 2
yb  1  2  1
B
xb 
B(1;-1)
x
-1 0
1
2
3
y
3
-1 0
3
0
y
y=x2-2x
A
C
D
x
y=4-x2
2. Найдём пределы интегрирования:
4  x2  x2  2x
 x2  x2  2x  4  0
 2x2  2x  4  0
 y  4  x 2
2
D  b 2  4ac   1  4  1(2)  1  8  9
;


 y  x 2  2 x
b D
x1, 2 
2a
1 3
1 3
x1 
 1
x2 
2
2
2
a=-1 – нижний предел интегрирования.
b=2 – верхний предел интегрирования.
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
S ABCD
2

2x3 2x 2 
 
  (4  x  x  2 x)dx   (4  2 x  2 x)dx   4 x 

3
2  1

1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3.   4 x  x 3  x 2    4  2   23  2 2    4  (1)   (1) 3  (1) 2  
3
3
3

 1 
 

16
2
18
 8   4  4   1  15 
 15  6  9 кв.ед.
3
3
3
Вопросы и упражнения для самопроверки.
1. Дайте определение определенного интеграла.
2. В чем заключается смысл геометрический смысл определённого
интеграла?
3. Напишите формулы для определения площади плоской фигуры с
помощью определённого интеграла.
3
4. Вычислите определенные интегралы: а)  3 x 2 dx ; б)
2
1
dx
 (4 x  5)
2
;
1
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y=x2+1, y=0,
x=-1, x=1;
б) x2-9y=0 и x-3y+6=0.
Ответы. 4. а) 19; б) 2/9.
5. а) 6 кв. ед.; б) 13,5 кв.ед.
Тема 5. Дифференциальные уравнения.
п. 5.1. Понятие дифференциального уравнения.
 Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее
независимую переменную, искомую функцию, ее производную.
F(x,y,y')=0
 Общим решением дифференциального уравнения первого порядка
называется функция y=φ (x, c) от x и произвольной постоянной С,
обращающая это уравнение в тождество по х.
 Частным решением уравнения F (x, y, y') = 0 называется решением,
полученное из общего решения при фиксированном значении
C: y = φ (x, C0), где C0 – фиксированное число.
 График любого частного решения дифференциального уравнения
F (x, y, y') = 0 называется интегральной кривой. Общему решению (и
общему интегралу) этого уравнения соответствует семейство
интегральных кривых, зависящих от одного параметра.
y
с=1
с=0
с=-1
с=-2
1
x
-1
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
 Задача нахождения частного интеграла дифференциального уравнения
n – го порядка (n = 1,2,3, …), удовлетворяющего начальным условиям
вида y (x0) = y0, y' (x0) = y0', y'' (x0) = y0''…, y0(n-1), называется задачей
Коши.
п. 5.2. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.
Общий вид такого уравнения
X(x)Y(y)dx+X1(x)Y1(y)dy=0,
Где X(x), X1(x) - функции только от x, Y(y), Y1(y) – функции только от y.
Чтобы решить поступим так:
1. Разделим переменные;
2. Проинтегрируем левую и правую части уравнения;
3. Запишем общее решение дифференцированного уравнения.
Пример: Решить уравнение (1 + ex) y ∙ y' = ex.
Решение: Так как
y 


dy
dy
, то 1  e x  y 
 ex
dx
dx
(1  e x )  ydy  e x dx
Разделим переменные для этого разделим обе части уравнения на 1+eх.
1  e ydy 
x
1 ex
e x dx
1 ex
e x dx
ydy 
1 ex
Интегрируем обе части уравнения:
 ydy  
e x dx
1 ex
Вычислим оба интеграла:
y2
2
1  e x  t

x

e dx 
dt
2. 
 d (1  e x )  dt     ln t  C  ln( 1  e x )  ln C
x
t
1 e
e x dx  dt



1.  ydy 
Значит
y2
 ln( 1  e x )  ln C
2
ln e
e
y2
2
y2
2
 ln C  (1  e x )
 C  (1  e x )
y2
2
Ответ: e  C  (1  e x )
п. 5.3. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянным коэффициентом.
 Линейным однородным дифференциальным уравнением 2ого
порядка с постоянными коэффициентами, называется уравнение
вида y'' + pу/ + qy=0, где p и q – некоторые числа.
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
 Для его решения составляем характеристическое уравнение
k2+pk+q=0.
При решении характеристического уравнения возможны три случая:
№ Корни уравнения
Частные
Общее решение
решения
1 Действительные различные y1  e k x
y  C1e k x  C2 e k x
(k1≠k2)
y2  e k x
1
1
2
2
2
3
Действительные
(k1=k2=k)
равные y1  e k x
Комплексно-сопряженные
(α±βι)
1
y  e kx (C1  C2 x)
y2  xek2 x
y1  ex cos x
y  ex (C1 cos x  C2 sin x)
y2  ex sin x
Пример 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения
y′′-5y′+6y=0.
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
𝑘 2 − 5𝑘 + 6 = 0, 𝐷 = 25 − 24 = 1,
5−1
5+1
𝑘1 =
= 2, 𝑘2 =
= 3.
2
2
Корни характеристического уравнения являются действительными и
различными. Поэтому y1=e2x, y2=e3x – частные решения, а y=C1e2x+C2e3x –
общее решение данного дифференциального уравнения.
Ответ: y=C1e2x+C2e3x.
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения y′′2y′+y=0, удовлетворяющее начальным условиям при x=0, y=4, y′=2.
Решение. Характеристическое уравнение
k2-2k+1=0
(k-1)2=0
k1=k2=1, поэтому y1=ex, y2=xex – частные решения, а y=ex(C1+C2x) – общее
решение данного дифференциального уравнения.
Для определения частного решения, удовлетворяющего данным начальным
условиям, сначала найдем производную y′ функции y=ex(C1+C2x):
𝑦 ′ = 𝑒 𝑥 (𝐶1 + 𝐶2 𝑥)′ + (𝑒 𝑥 )′ (𝐶1 + 𝐶2 𝑥) = 𝑒 𝑥 𝐶2 + 𝑒 𝑥 (𝐶1 + 𝐶2 𝑥)
= 𝑒 𝑥 (𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶2 𝑥).
Теперь подставим начальные условия в выражения для y и y′:
4 = 𝑒 0 ∙ 𝐶1,
С1 = 4,
{
или
{
2 = 𝑒 0 (𝐶1 + 𝐶2 )
2 = С1 + С2 ,
Откуда С1=4, С2=-2.
Подставив эти значения в общее решение, найдем частное решение
дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным
условиям: y=ex(4-2x).
Ответ: y=ex∙(4-2x).
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Вопросы и упражнения для самопроверки.
1. Какое уравнение называется дифференциальным?
2. Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения
(частные интегралы), удовлетворяющих данным условиям:
а) xdy=ydx, y=6 при x=2.
б) (x2+4)y′-2xy=0, y=5 при x=1.
в) y′′-7y′+10y=0.
г) Найти частное решение уравнения y′′+8y′+16y=0, если y=1 и y′=1 при
x=0.
Ответы: 2. а) y=Cx, y=3x; б) y=C(x2+4), y=x2+4; в) y=C1e2x+C2e5x;
г) y=e-4x+5xe-4x.
Тема 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей.
п.6.1.Основные понятия комбинаторики.
 Произведение первых n натуральных чисел принято обозначать n! (n –
факториал);1∙2∙3∙…n =n!
 О! = 1.
Размещения. Пусть имеется множество, содержащее n элементов.
Каждое его упорядоченное
подмножество, содержащее по m
элементов, называется размещением из n элементов по m элементов
(0≤m≤n; подмножества, отличаются составом элементов или порядком
их
следования.)
n!
Am
n=
(n-m)!
Пример 1. Сколькими способами из группы, включающей 25 учащихся,
можно выбрать актив группы в составе старосты, комсорга и
профорга?
Решение. Состав актива группы является упорядоченным множеством
из 25 элементов по три элемента. Значит, искомое число способов
равно числу размещений по три элемента в каждом:
A325 =25∙24∙23=13800
или
25!
25!
A325 =
=
=23∙24∙25=13800.
(25-3)! 22!
 Размещения из n элементов по n элементов называют перестановками
из n элементов (различные перестановки отличаются друг от друга
только порядком элементов).
Pn=1∙2∙3∙…n=n!.
Пример 2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,
2, 3, 4 без повторений?
Решение. По условию дано множество из четырёх элементов, которые
требуется расположить в определенном порядке. Значит, требуется
найти количество перестановок из четырех элементов:
P4=4!=1∙2∙3∙4=24,
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Т.е. из цифр 1,2,3,4 можно составить 24 четырехзначных числа (без
повторений цифр).
Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов.
Каждое его подмножество, содержащее m элементов, называется
сочетанием из n элементов по m элементов (подмножества имеют
неодинаковый состав элементов).
n!
Сm
n=
m!(n-m)!
.
Пример 3. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд
в однокруговом чемпионате?
Решение. Так как игра любой команды A с командой B совпадает с
игрой команды B с командой A, то каждая игра есть сочетание из 20
элементов по 2. Искомое число всех игр равно числу сочетаний из 20
элементов по 2 элемента в каждом:
20∙19
С220 =
=190.
1∙2






п. 6.2. Случайные события. Вероятность события.
Случайным событием называется событие, связанное с данным
испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти,
а может и не произойти (бросание монеты – испытание; появление
герба или цифры – события).
Событие называется достоверным, если оно непременно должно
произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдет
(выпадение не более шести при бросании одной игральной кости –
достоверное событие; выпадение десяти очков при бросании одной
игральной кости – невозможное событие).
События называются несовместными, если никакие два из них не
могут появиться на месте (попадание и промах при одном выстреле –
это несовместные события).
Несколько событий в данном опыте образуют полную систему
событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя
бы одно из них (при бросании игральной кости события, состоящие в
выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти, и шести очков, образуют
полную систему событий).
События называются равновозможными, если ни одно из них не
является объективно более возможным, чем другие (при бросании
монеты выпадение герба или числа – события равновозможные).
Классическое определение вероятности.
Вероятность события А называют отношение m числа исходов,
благоприятствующих событию А, к числу всех исходов данного
испытания:
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
m
P(A)= .
n
Пример 5. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятность
событий: A – появление чётного числа очков; B – появление не менее пяти
очков; C – появление не более пяти очков.
Решение. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов
(появление одного, двух, трёх, четырёх, пяти и шести очков), образующих
полную систему.
Событию А благоприятствует три исхода (выпадение двух, четырех и
шести очков), поэтому Р(А)=3/6=1/2;
событию В – два исхода (выпадение пяти и шести очков), поэтому
Р(В)=2/6=1/3;
событию С – пять исходов (выпадение одного, двух, трех, четырех и пяти
очков), поэтому Р(С)=5/6.
Пример 6. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны
одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара
красных (событие А)?
Решение: Число равновозможных независимых исходов равно
13∙12
n= С213 =
=78.
1∙2
Событию
А
благоприятствует
7∙6
m= C72 =
=21
1∙2
21
7
исходов. Следовательно, Р(А) = = .
78
26
п.6.3 Основные теоремы теории вероятностей.
1. Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Вероятность появления одного из нескольких
попарно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий.
2. Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р (А∙В)
Вероятность появление хотя бы одного из двух совместных событий равна
сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного
появления.
 Р(А) + Р(Ā) = 1. Сумма двух противоположных событий = 1.
3. Р (А∙В) = Р(А) ∙ Р(В)
Вероятность появления двух независимых событий равна произведению
вероятностей этих событий.
1. Р(АВ) = Р(А) ∙РА(В) = Р(В) ∙ РВ(А)
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна
произведению одного из них на условную вероятность второго.
2. Пусть событие (гипотезы) В1, В2 … Вn образует полную группу событий и
при наступлении каждого из них, Например Вi событие А может
наступить с некоторой условной вероятностью РВi (А). Тогда вероятность
наступлений каждой из гипотез на соответствующую условную
вероятность событий А:
Р(А) = Р(В1) ∙ Р(А) + Р(В2) ∙ РВ2(А) + … Р(Вn) ∙ РBn(А), - формула полной
вероятности, где Р(В1) + Р(В2) + … + Р(Вn) =1.
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
3. Пусть событие А может наступить лишь при условие появление одного из
несовместных событий (гипотез) В1, В2 … Вn , которые образуют полную
группу событий. Если событии А уже произошло, то вероятности гипотез
могут быть переоценены по формуле Байеса (формуле вероятности
гипотез);
Р (В )∙Р (A)
РА (Вi )= А i Bi
Р(А)
где РА (В𝑖 ) - вероятность каждой из гипотез после испытания, в результате
которого наступило событие А; Р𝐵𝑖 (𝐴) условная вероятность события А
после наступления события В𝑖 , а Р(А) находится по формуле полной
вероятности.
4. Вероятность того, что n независимых испытаниях, в каждом из которых
вероятность появления события А равна р (где О < р< 1), событие А
наступит равно k раз (безразлично в какой последовательности0,
находится по формуле
Бернулли:
Рn(k)=Cnk pk ∙g n-k , где q=1-p
.
Пример 1. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число
окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
Решение. Событие А – наудачу взятое число кратно 3.
Событие В – наудачу взятое число кратно 5.
Так как А и В совместны, то
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∙B).
Всего 90 двузначных чисел 10,11,12…99. Из них 30 являются кратными
3 (благоприятствуют наступлению события А); 18 – кратными 5
(благоприятствуют наступлению события B) и 6 – кратными
одновременно 3 и 5 (благоприятствуют событию АВ). Значит:
30
1
18
1
6
1
P(A)= = , P(B)= = , P(AB)= = ⇒
90
1
3
1 1 1
90
8
5
1
7
90
15
P(A+B)= + - ∙ = - = =0,467.
3
5 3 5
15 15
15
Пример 2. В одной урне находится 4 белых и 8 черных шаров, в другой 3
белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность
того, что оба шара окажутся белыми.
Решение. Событие А – появление белого шара из первой урны.
Событие В – появление белого шара из второй урны.
m
4
1
P(A)= = =
n
m
12
3
3
1
P(B)= = = .
n
12
4
События А и В независимы. ⇒P(A∙B)=P(A)∙P(B).
1 1
1
P(A∙B)= ∙ = ≈0.083=8.3%.
3 4
12
Вопросы и упражнения для самопроверки.
1. Какое событие называется невозможным; достоверным?
2. Какие события называются несовместным; равновозможными?
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
3.
4.
5.
6.
Какие события образуют полную систему событий?
Что понимается под вероятностью события?
Основные формулы Теории Вероятностей.
а) В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимают один
шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным?
б) В урне 4 красных и 7 синих шаров. Из урны вынимают два шара.
Какова вероятность того, что оба шара красные?
в) Первенство по футболу оспаривают 18 команд, среди которых 5
лидирующих. Путем жеребьевки команды распределены на две группы
по 9 команд в каждой. Какова вероятность попадания всех
лидирующих команд в одну группу?
Контрольные задания.
Задание № 1.
Выполните действия в алгебраической форме. Результат запишите в
тригонометрической и показательной формах:
1.
6.
1+i 4 2
- ( - i) .
1-2i 5 5
7.
2(1−𝑖 √3
2.
.
1+𝑖 √3
8.
1-i
20
3. ( ) +i17 .
1+i
4.
5.
(1-2i)(1+2i)
2+i
2(1+i√3)
1-i
-i12 .
-(1+i√3).
9.
10.
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Выполните действия в тригонометрической форме. Результат запишите в
показательной и алгебраической формах:
11. 4(cos 220o+i sin 220o)∙1,5(cos 20o+i sin 20o).
3
12. 3(cos 280o+i sin 280o): (cos 70o +i sin 70o).
4
13. (2(cos 50o + i sin 50o))6.
3𝜋
3𝜋
𝜋
𝜋
14. 10(𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 sin ): 2(cos + 𝑖 sin ).
4
4
o
4
3
o
4
o
15. 3 (cos 340 +i sin 340 ): (cos 25 + i sin 25o).
8
Задание № 2.
Найти производную функций:
3x
3
1. a) y=3x 2 -2 √x-1; b) y=
;
c) y=cos( ln 5x) .
2
1-8x
3
2. 𝑎) 𝑦 = 𝑥 −
3. a) y=4x 2 -
3
√x
1
𝑥3
+ 5√𝑥;
3
2
x2
4
7𝑥
1−𝑥 2
b) y=2x ∙3x;
+4;
4. a) y= x 5 - √x+1;
5. a) y=6x 2 -
𝑏) 𝑦 =
1-4x 2
b) y=
+5;
x
b) y=
;
𝑐) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠√𝑥 2 + 3.
c) y=arcsin( ln 4x) .
;
c)y=sin( ln 5x) .
3x
3x 2 +4
;
c) y=ln( sin 6x).
6. а) y=x 3 -4∙√x 3 +2; b) y=x 2 ∙tg x; c) y=ln(tg 2x).
1
7x
7. a) y=3x 5 - 4 +7;
b)
;
c) y=sin( ln 2x) .
2
x
2-9x
3
8. a) y=x 4 +2 √x+1;
9. a) y=3x 5 -
1
x4
x3
b) y=
+7;
b) y=
5
4-9x 5
x4
4x 2 +7
;
c) y= ln ( cos 5x) .
;
c) y= arcsin ( ln 2x) .
10.a) y=5x 2 -3√x 2 -2; b) y=ex ∙3x;
3
11.a) y=x 4 +2 √x+1;
2
12.a) y=3x 6 - -8;
13.a) y=
x
3 3
x - 2 +4;
x
2
4
14.a) y=2x +
15.a)
b)y=
b) y=
-7;
x3
5
y=3x 2 - 3 +1;
x
2-x 2
2x
3-5x 3
c) y= ln ( cos 7x) .
;
x
c)y= ln ( arcsin 3x) .
;
c) y=tg ( ln 8x) .
b) y=3x∙tg x;
c) y= ln ( cos 4x) .
b) y=6x∙ sin x ; c) y=ln( sin 7x) .
b) y=
4x-2
;
c)y= arccos ( ln 2x) .
Задание № 3.
7x
Найти интегралы:
1. a) ∫(2-3ex +x)dx ;
π
3
b) ∫ √(3x 2 -1)2 ∙xdx ;c) ∫02 2 sin x dx.
cos x dx
2. a) ∫(3x 5 - cos x-1)dx) ; b) ∫
;
4+3 sin x
3. a) ∫(7x 6 - sin x +3)dx ;
1
xdx
b) ∫ 2 ;
x +1
2
4. a) ∫ (7-x 2 ) dx ; b) ∫ x∙2x dx ;
2cos 2 x
1
5. a) ∫ (3- 2 +2)dx;
2sin x
xdx
b) ∫ (x2 4 ;
+5)
4
c) ∫0 (2√x-x 2 )dx .
1
c) ∫-1(5-x-x 2 )dx .
π
c) ∫04 √2 cos x dx .
1
c) ∫-1(x 2 -2)dx .
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
2
1
7. a) ∫ (x-
1
5
6. 𝑎) ∫(3𝑥 2 −
− 5)𝑑𝑥;
1+𝑥 2
𝑏) ∫ √(2𝑥 3 − 4)5 ∙ 𝑥 2 𝑑𝑥 ; 𝑐) ∫0 (𝑒 𝑥 + 𝑥)𝑑𝑥.
b) ∫ cos 4 x∙ sin x dx;
+2) dx;
3√1-x 2
ex dx
b) ∫
xdx
c) ∫-2 (1+x)2 dx .
1
t 2 dt
3
c) ∫-1(1-√x 2 )dx .
;
√2x 2 -5
10.a) ∫(3 sin x +4x 3 -1)dx ; b) ∫ 5
1
2
8. a) ∫(2 cos x -5x 4 +3)dx ; b) ∫ x ;
3+e
9. a) ∫(5ex -x 3 -4)dx ;
4
c) ∫1 (2+ ) dx .
√x
;
√5-2t 3
3 1+x 5
c) ∫2
x4
dx .
11.
x
5
π
4
12.a) ∫ (2- + ) dx ; b) ∫ √2 sin x +1∙ cos x dx ;
5
x
c) ∫0
13.a) ∫ (5x 4 - -4) dx ; b) ∫
3x
c)
1
4
1
cos t dt
;
√1-2 sin t
x 2 dx
14.a) ∫ (10x - 2 -2) dx ; b) ∫
;
2sin x
5-2x 3
cos x dx
15.a) ∫(2 cos x -3x 2 -3)dx ; b) ∫
;
(3 sin x+1)3
dx
.
2cos 2 x
16
∫1 (√x -2)dx.
π
dx
4
π
3 sin2 x
6
2 1+x 7
c) ∫
c) ∫1
x6
.
dx.
Задание № 4.
Сделать чертеж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
1.
y=8x-x2-7 и осью Ox.
2.
y=x3-1, y=0, x=0.
3.
y=x2-3x-4 и осью Ox.
4.
y=5x-x2+6 и осью Ox.
5.
y=x3, y=x2, x=-1, x=0.
6.
y=x2-6x+8 и осью Ox.
7.
y=x2 и y=x+2.
8.
y=x2-4x-5 и осью Ox.
9.
y=6x-3x2 и осью Ox.
10. y=x2+2 и y=2x+2.
11. y=7x-x2-6 и осью Ox.
12. y=5-x и y=x+3.
13. y=6x-x2 и y=0.
14. y=x2 и y=2x+3.
15. y=8+2x-x2 и y=2x-4.
Задание № 5.
Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения,
удовлетворяющие данным условиям:
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
1. a) (1+y 2 )dx=xydy, y=1 при x=2;b) y '' +y ' -6y=0.
2. a) (1+x 2 )dy-2xydx=0, y=1 при x=0; b)y '' -8y ' +15y=0.
3. a) (1+x 2 )dy-2x∙(y+3)dx=0, y=-1 при x=0;
b) y '' +5y ' +6y=0.
4. a) x 2 dy=3y 2 dy; b)y '' -10y ' +25y=0, y=2 и y ' =8 при x=0.
5. a) √xdy=√ydx; b) y '' +6y ' +9y=0, y=1 и y ' =2 при x=0.
6. a) (1+y)dx=(x-1)dy;
b) y '' +8y ' +16y=0, y=1 и y ' =1 при x=0.
7. a) xydx=(1+x 2 )dy; b) y '' -5y ' =0, y=1 и y ' =-1 при x=0.
8. a) y 2 dx+(x-2)dy=0; b)y '' -7y ' +10y=0.
9. a) ydy=xdx, y=4 при x=-2; b)y '' -6y ' +9y=0.
10.a) xdy=ydx, y=6 при x=2; b)y '' +2y ' +y=0.
11.a) dy=(3x 2 -2x)dx, y=4 при x=2; b) y '' +10y ' +25y=0.
12.a)
dy
dx
x
y2
=
2
, y=2 при x=0; b) y '' -9y ' =0.
13.a) x∙(1+y 2 )dx=ydy; b) y '' -8y ' +16y=0.
14.a) (1+x)ydx+(1-y)xdy=0,y=1 при x=1;b) y '' +3y ' =0.
15.a)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
dy
x-1
=
dx
y-2
, y=4 при x=0; b)y '' -16y=0.
Задание № 6.
Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «крыша». Ребенок
рассыпал буквы и собрал в произвольном порядке. Найдите
вероятность того, что у него снова получится слово «крыша».
Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6
чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 6 чисел?
Восемь различных книг расставляются наугад на одной полке.
Какова вероятность того, что три определенные книги окажутся
поставленные рядом?
На карточках разрезной азбуки написано 32 буквы алфавита. Пять
карточек вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в
порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово
«хорда»?
В урне 7 красных и 6 синих шаров. Из урны наугад вынимают два
шара. Найдите вероятность того, что они разного цвета.
Из группы, состоящей из 10 юношей и 8 девушек, выбирают по
жребию 4 дежурных. Какова вероятность того, что в числе
избранных окажутся двое юношей и две девушки?
Экзаменационные билеты пронумерованы от 1 до 35. Какова
вероятность того, что наудачу взятый билет имеет номер, кратный
пяти?
Из семи одинаковых карточек разрезной азбуки «а», «к», «н», «о»,
«с», «у», «ф» наудачу выбирают пять карточек и складывают их в
Дьякова Е.Б. «Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
ряд в порядке извлечения. Какова вероятность получить при этом
слово конус?
9. Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5
чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 3 числа?
10.Из числа шаров, занумерованных всеми двузначными числами,
наудачу берется один. Какова вероятность того, что номер взятого
шара оканчивается нулем?
11.Карточка «Спортлото» содержит 45 чисел. В тираже участвуют
шесть чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано три
числа?
12.В партии из 20 лампочек 3 бракованных. Из партии выбирают
наугад 5 лампочек. Найти вероятность того, что среди этих пяти
лампочек окажется две бракованных.
13.Полная колода карт 36 листов делится наугад на две равные пачки
по 18 листов. Найти вероятность того, что в каждой пачке будет по
два короля.
14.В урне лежат 12 одинаковых шаров: 3 белых, 7 черных, остальные
красные. Какова вероятность того, что наугад выбранный шар
окажется не белым?
15.В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того,
что среди пяти наугад выбранных билетов два будут
выигрышными?