 

Занятие № 5
Косинус суммы и разности двух аргументов
Теорема 1. Для любых двух углов  и  справедливо тождество
cos      cos cos   sin  sin 
Доказательство.
На
единичной
окружности
возьмем
точки
.
M  , M   ,
A
соответствующие углам       0 и   .
Найдем координаты данных точек пользуясь определениями синуса и косинуса:
и
M  ,
M  cos  ; sin   , M   cos  ; sin  
M    cos    ; sin     , A1;0 .
Очевидно, что отрезки AM    и M α M  β равны как хорды, стягивающие равные дуги. Выразим
длины этих отрезков через координаты точек A , M α  β , M  и
M  .
y
M α β
AM    
M



A1,0
x
M β
cos      12  sin 2     ;
2
2
 cos   cos    sin   sin   .
M  M 
Так как AM     M  M  , то, возводя обе части этого равенства
в квадрат и выполняя преобразования, получаем цепочку
эквивалентных равенств
cos2      2 cos      1  sin 2     
 cos2   2 cos cos   cos2   sin 2   2 sin  sin   sin 2 
cos      sin      1  2 сos     
 sin   cos    sin   cos    2 cos cos   2 sin  sin 
2
2
2
2
2  2 сos      2  2 cos cos   2 sin  sin 
 2 cos      2 cos cos   2 sin  sin 
сos      cos cos   sin  sin  . ■
2


 и  справедливо тождество
сos      cos cos   sin  sin  .
Доказательство. сos      cos      
 cos cos     sin  sin     cos  cos   sin  sin  ,
так как cos   cos -   и sin -     sin  .■
Теорема 2. Для любых двух углов
2
Синус суммы и разности аргументов
Предварительно докажем формулы:


  .
2



1) sin   cos     ;
2

2) cos  sin 




    cos cos   sin sin   0  cos   sin   sin  .
2
2
2


 
 




2) cos  cos       cos         cos cos     
2
2 2


2

2 2
1) cos 
 sin







sin      0  sin      sin     .
2
2

2

2

Теорема 1. Для любых углов
 и  справедливо тождество
sin      sin  cos   cos  sin 
.
Доказательство. Используя формулы 1) и 2), докажем теорему 1
 


 
sin      сos        cos     -   
2

 
 2




 cos     cos   sin     sin   sin  cos   cos  sin  . ■
2

2

Теорема 2. Для любых углов  и  справедлива формула
sin      sin  cos   cos  sin 
.
Доказательство.
sin      sin        sin  cos -    cos  sin -   
 sin  cos   cos  sin  ,
так как cos    cos  , sin      sin  .
Тангенс суммы и разности двух аргументов
Тангенс суммы двух аргументов можно получить из рассмотренных выше формул:
sin  cos  cos  cos 

sin(    ) sin  cos   cos  sin  cos  cos  cos  cos 
tg  tg
tg (   ) 



cos

cos

sin

sin

cos(   ) cos  cos   sin  sin 
1  tgtg

cos  cos  cos  cos 
tg  tg
tg (   ) 
1  tgtg
Рассмотрим примеры на применение выше рассмотренных формул
Пример№ 1.
Используя формулы сложения, вычислить cos750; sin750.
Решение:
соs 750 = cos(450 + 300) = cos450cos300 – sin450sin300 =
2 3
2 1


 
2 2
2 2
2 3
2 1


 
2 2
2 2
Закончите вычисления с помощью вышерассмотренных формул:
а) сos1050= cos(600 +450) =
б)sin150 = sin(450 – 300) =
Sin 750 = sin(450 + 300)= sin450cos300 + cos450sin300=
6 2
2
6 2
2
Пример № 2.
Дано sinα = 0,6, sinβ = 0,8, π/2<α<π, π/2<β<π. Найти sin(α+β)
Решение: sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα
Так как по условию задачи углы α и β принадлежат второй четверти, то cosα и cosβ имеют знак
«минус». Используем формулs cos2α = 1-sin2α; cos2β = 1-sin2β
cos2α = 1-0,62= 1-0,36 = 0,64
cosα = - 0,64 = -0,8
cos2β = 1-0,82= 1-0,64 = 0,36
cosα = - 0,36 = -0,6
Подставим полученные данные и имеющиеся в условии данные в формулу sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα
и выполним действия
sin(α+β) = 0,6·(-0,8)+0,8·(-0,6) = -0,48-0,48=-0,96
Используя решение примера №2 в качестве образца, вычислите cos(α + β), если sinα = 0,6, sinβ = 0,8,
π/2<α<π, π/2<β<π
Пример № 3.
Найдите значение выражения cos760cos160 + sin760sin160
Решение: cos760cos160 + sin760sin160 здесь развернутая формула косинуса разности двух углов.
Вспомним, что сos      cos cos   sin  sin  , значит: cos760cos160 + sin760sin160 = cos(760
– 160) = cos600 = 0,5
Вычислите самостоятельно:
а)sin580cos130 + cos580sin130
б)cos160cos140 – sin160sin140
Пример № 4
Упростить выражение: cos(α + β) + cos(α - β)
Решение: воспользовавшись формулами косинуса суммы косинуса разности, получим: cos(α + β) + cos(α
- β) = cosαcosβ – sinαsinβ + cosαcosβ + sinαsinβ = 2 cosαcosβ
Упростите самостоятельно:
а) cos(α + β) – cosαcosβ; б) sinα cosβ – sin(α - β)